Commande d’un pendule inversé stabilisé par volant d...

Université Nice Sophia Antipolis

Master Signal et Communications Numériques

Commande d’un pendule inversé

stabilisé par volant d’inertie pour la

génération de cycles limites stables

Nabil Haddad

Tuteurs : M. Ahmed CHEMORI

M. Sebastien KRUT

20 juin 2007

Table des matières

Remerciements v

Introduction vi

Présentation du laboratoire viii

0.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

0.2 Les différents départements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

0.2.1 Le département informatique . . . . . . . . . . . . . . viii

0.2.2 Le département microélectronique . . . . . . . . . . . . ix

0.2.3 Le département robotique . . . . . . . . . . . . . . . . ix

0.3 L’équipe DEXTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

1 Modélisation mathématique du systéme 1

1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Tableau récapitulatif de variables et constantes . . . . . . . . . 2

1.4 schéma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 principe de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Principes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Modèle dynamique non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7.2 Energie Cinétique totale T : . . . . . . . . . . . . . . . 8

i

TABLE DES MATIÈRES ii

1.7.3 Energie potentielle V : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.4 Lagrangien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.5 Dynamique du pendule inversé : . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Linéairisation autour de l’équilibre : . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Stabilisation autour de l’équilibre 11

2.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Généralité sur la commande Robuste . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Synthèse Linéaire Quadrarique LQ . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Représentation numérique du modèle . . . . . . . . . . 13

2.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Experimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


3 Génération de cycles limites stables 18

3.1 Génération des trajectoires de référence . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Poursuite des trajectoires de référence . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


3.4 Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.1 Premier scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


3.4.3 Deuxième scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


Conclusion et persepectives 28

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

TABLE DES MATIÈRES iii

Annexes 32

.1 Annexe 1 : Caractéristiques du moteur . . . . . . . . . . . . . 32

.2 Annexe 2 : Autres scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Table des figures

1.1 photo du système réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Schéma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 point d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Modéle mécanique équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Schéma général de la commande linéaire quadratique. . . . . . 12

2.2 Résultats de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Résultats de l’expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Schéma de la trajectoire de référence . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Résultats de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Plage d’utilisation du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Résultats de l’expérimentation du premier scénario . . . . . . 25

3.5 Résultats de l’expérimentation du deuxième scénario . . . . . 27

6 Caractéristiques du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Résultats de l’expérimentation du troisième scénario . . . . . . 34

8 Résultats de l’expérimentation du quatrième scénario . . . . . 35

iv

Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier Mr Ahmed chemori et Mr Sébastien

Krut pour m’avoir accueilli au sein de leur équipe de recherche, confié ce

sujet , guidé et soutenu tout au long de mon stage.

Je remercie également tous les collègues de la salle des stagiaires avec

lesquels nous avons passés d’excellents moments. Donc merci à Nico, Dudu,

Pilou, Diana, Alexis, Mike, Seb, Clement, Sylvain, Saïd et Juan ! ! !

Merci aussi à tous mes collègues de NICE et surtout à KEVIN qui ma

beaucoup aidé le long du master,et qui été tout le temps prêt à me soutenir

même si j’étais à Montpellier...

Je remercie également Céline Berger de m’avoir aidé pour m’installer à

Montpellier

Un merci aussi à Mr Farid Rachdi pour ces précieux conseils et sa dispo-

nibilité en cas de problème.

Un grand merci aussi Mr Luc Deneire qui m’a prêter son MAC.

Et merci à tous pour l’ambiance générale au sein du LIRMM.

Je ne peux terminer ces remerciements sans mentionner mes proches,

à qui je dédie ce travail et dont l’amour et le soutien m’ont été plus que

bénéfiques. Et surtout à mes parents et mes soeurs, qui m’ont aidé tout au

long de mon parcours et qui me manquent énormément ! ! ! !.

v

Introduction

Devant les problèmes délicats de modélisation et de commande de sys-

tèmes complexes, les outils utilisés deviennent de plus en plus pointus. L’un

des axes de recherche au sein du LIRMM concerne la commande de systèmes

multivariables.

Le but de ce projet est la mise en oeuvre d’une plate-forme d’essais per-

mettant de tester des lois de commande. Le choix de cette plate-forme s’est

arrêté sur un système multivariable, non linéaire et instable : le Pendule

Inversé.

Il existe de nombreuses formes du Pendule Inversé, les plus connus sont :

le Pendule Inversé Simple, le Pendule Inversé Double, le Pendule Inversé de

Furuta, le Pendule Inversé gyroscopique, le Pendule Inversé stabilisé par une

Roue d’Inertie, etc.

Dans notre cas, notre choix s’est porté sur le Pendule Inversé stabilisé

par une roue d’inertie. Le principe de fonctionnement de ce pendule est assez

simple la rotation du volant d’inertie provoque par les effets dynamiques

qu’elle induit, la rotation du pendule autour de sa liaison passive avec le

bâti.

La première partie de mon travail consiste à stabiliser le Pendule autour

de son point d’équilibre instable.

La deuxième partie consiste à générer des oscillations stable autour de ce

point d’équilibre. Dans un premier lieu trouver des trajectoires de références

vi

Introduction vii

et aprés faire une poursuite sur ces trajectoires en utilisant une commande

dynamique. Notre choix pour ces trajectoires s’est porté sur des fonctions

sinusoidale.

Présentation du laboratoire

0.1 Présentation générale

Le Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de

Montpellier (LIRMM) est une Unité Mixte de Recherche (UMR)de l’Univer-

sité Montpellier II (UMII) et du Centre National de la Recherche Scientifique

(CNRS).

Le LIRMM couvre un large spectre de compétences dans les domaines

des Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication Sys-

tèmes (STICS). Ces activités sont réparties au sein de trois départements

scientifiques de recherche :

- Informatique (INFO)

- Microélectronique (MIC)

- Robotique (ROB)

0.2 Les différents départements

0.2.1 Le département informatique

Les thématiques de ce département intègrent l’essentiel de la recherche

menée actuellement en informatique :

Algorithmique : bioinformatique, cryptographie, graphes, réseaux ;

viii

PRÉSENTATION DU LABORATOIRE ix

Bases de Données et Systèmes d’Information : intégration de don-

nées, fouille de données, maintien de la cohérence ;

Génie Logiciel : langages de programmation, objets, composants, mo-

dèles ;

Intelligence Artificielle : apprentissage, contraintes, représentation des

connaissances, systèmes multi-agents ;

Interaction Homme/Machine : hypermédia, langage naturel, visuali-

sation, Web sémantique et e-learning.

0.2.2 Le département microélectronique

Ce département mène depuis plusieurs années des recherches de pointe

dans les domaines de la conception et du test de systèmes intégrés et de

microsystèmes, et plus précisément, sur les aspects ayant traits à la modéli-

sation et à la méthodologie. Les activités de recherche conduites au sein du

département de Microélectronique s’articulent autour de deux projets qui lui

sont propres ainsi que d’un projet applicatif commun avec le département

Robotique :

- CCSI : Conception de Circuits et Systèmes Intégrés ;

- TCSI : Test de Circuits et Systèmes Intégrés ;

- DEMAR : (DEambulation et Mouvement ARtificiel) et Modélisation

et commande du système sensori-moteur humain, neuroprothèses.

0.2.3 Le département robotique

Ce département mène des recherches en automatique/robotique, traite-

ment du signal et de l’image, productique et informatique industrielle. Les

activités de recherche conduites au sein du département Robotique s’arti-

culent autour de cinq équipes projets :

PRÉSENTATION DU LABORATOIRE x

- ARCHI : Architecture de systèmes complexes, modélisation d’entre-

prise, affectation de ressources humaines, vérification de propriétés ;

- DEMAR : (DEambulation et Mouvement ARtificiel) et Modélisation

et commande du système sensori-moteur humain, neuroprothèses ;

- DEXTER : Conception, commande, manipulation, robotique parallèle,

robotique médicale ;

- ICAR : (Image, Computing and Augmented Reality) Image, signal,

vision, modélisation 3D, informatique graphique, réalité virtuelle ;

- NERO : (NEtwork RObots) Commande collaborative de flottilles de

véhicules sous-marins et terrestres

0.3 L’équipe DEXTER

L’équipe-projet DEXTER se positionne résolument suivant un axe méca-

tronique avec pour objectif de concevoir, réaliser et commander des robots

performants et robustes destinés à la manipulation. Les thèmes scientifiques

abordés sont la définition de méthodologies de conception, le développement

de protocoles d’estimation et la synthèse de lois de commandes. Les outils

théoriques développés sont validés et mis en oeuvre dans le domaine de la

robotique parallèle pour des applications de manipulation rapide et de la

robotique médicale pour des applications de manipulation fine. Ces deux

aspects convergent actuellement vers un thème fédérateur centré sur la ma-

nipulation fine et rapide notamment dans le contexte de l’assistance aux

gestes pour des opérations en chirurgie cardiaque mini-invasive à coeur bat-

tant. L’équipe possède dans les deux domaines de la robotique parallèle et

médicale une visibilité et une lisibilité nationale et internationale.

Les contributions majeures de l’équipe sont donc réparties en 4 domaines :

- Robots médicaux et chirurgicaux ;

- Robots parallèles et redondance ;

PRÉSENTATION DU LABORATOIRE xi

- Robots parallèles à forts débattements angulaires ;

- Identification et commande de robots.

L’équipe est composée de 8 chercheurs/enseignants chercheurs et 8 thé-

sards.

Chapitre 1

Modélisation mathématique du

systéme

1.1 Préambule

Le Pendule Inversé stabilisé par un volant d’inertie (cf.fig1.1) est un sys-

tème constitué d’une roue d’inertie et d’un pendule. En effet la rotation de

la roue d’inertie provoque par les effets dynamiques qu’elle induit la rotation

du pendule autour de sa liaison passive avec le bâti. Notre but est de trouver

la meilleur commande qui agit sur le volant pour avoir le comportement du

pendule désiré,à savoir un comportement façon ‘métronome’ c’est à dire des

oscillations cycliques autour du point d’équilibre instable (la verticale haute).

La partie modélisation mathématique du système a été inspiré des travaux

de stage de Bruno Garabedian (stagiaire au LIRMM en 2006)

1.2 Hypothèses

Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont définies

en leur centre de gravité (respectivement G1 et G2).

1

Modélisation mathématique du systéme 2

Fig. 1.1 – photo du système réel.

Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du Pendule Inversé RI est réa-

lisée en négligeant les phénomènes mécaniques liés aux frottements.

Hypothèse 3 : La dynamique du moteur actionneur associé à la roue

d’inertie n’est pas pris en compte dans le cadre de la modélisation du système.

1.3 Tableau récapitulatif de variables et constantes

Le tableau 1.1 regroupe l’ensemble des notations utilisées dans la modé-

lisation du Pendule Inversé RI :

Le tableau 1.2 regroupe l’ensemble des paramètres géométrique et dynamique

du Pendule Inversé RI :


Variable Unité Description ;

C1 N.m Couple perturbateur, Couple appliqué du bâti sur le pendule

C2 N.m Couple appliqué du pendule sur le volant d’inertie

θ1 rd Position angulaire du pendule

θ1 rd.s−1 Vitesse angulaire du pendule

θ1 rd.s−2 Accélération angulaire du pendule

θ2 rd Position angulaire du volant d’inertie

θ2 rd.s−1 Vitesse angulaire du volant d’inertie

θ2 rd.s−2 Accélération angulaire du volant d’inertie

θr1 rd Position angulaire de référence

θr1 rd.s−1 Vitesse angulaire de réference

θr1 rd.s−2 Accélération angulaire de réference

Tab. 1.1 – Notations utilisées dans la modélisation

1.4 schéma de principe

Le Pendule Inversé stabilisé par une Roue d’Inertie est un système méca-

nique sous actionné. Cela signifie qu’il à plus de degrés de liberté que d’ac-

tionneurs. Dans le cas du Pendule Inversé RI, deux axes de rotation pour

un actionneur (la roue d’inertie). Le système considéré est constitué de trois

corps (cf.fig1.2) : un bâti (0), une tige rigide ou pendule (1) et un volant

d’inertie (2). La tige rigide est en rotation libre autour du bâti alors que la

roue d’inertie possède un axe de rotation solidaire de cette même tige. Le

schéma ci-dessous (cf.fig 1.2) met en exergue la géométrie du système dans

un référentiel Galiléen.

Les mesures angulaires du système (position, vitesse et accélération) sont

réalisées sur la base d’un cercle trigonométrique. La verticale du repère Ga-

liléen correspond à l’angle 0 radian.


Variable Valeur Unité Description ;

m1 3.30810 kg Masse du pendule

m2 3.33081 kg Masse du volant d’inertie

l1 0.06 m Distance pivot / centre de gravité du pendule

l2 0.044 m Distance pivot / centre de gravité du pendule

i1 0.0314683 kg.m2 Moment d’inertie du pendule

i2 0.0004176 kg.m2 Moment d’inertie du volant d’inertie

E2 0.02 m Epaisseur du volant d’inertie

RE2 0.04 m Rayon extérieur du volant d’inertie

RI2 0.03 m Rayon intérieur du volant d’inertie

g 9.81 m.s−2 Accélération due à la gravité terrestre

Tab. 1.2 – Paramètres géométriques et dynamiques du système

1.5 principe de la commande

L’illustration graphique de la figure (1.3) qui suit met en avant les deux

états les plus significatifs du Pendule Inversé RI (appelés en automatique

points d’équilibres) afin de mieux appréhender les principes relatifs à la com-

mande de ce système [11] :

-Le point d’équilibre stable, qui correspond à l’état dans lequel le

pendule est dirigé vers le bas. En l’absence d’une quelconque force de contrôle,

le système reste naturellement dans cet état.

- Le point d’équilibre instable, qui correspond à l’état dans lequel le

pendule est pointé vers le haut. Ce point d’équilibre est dit instable car en

l’absence d’une force de contrôle, le pendule, sous l’effet de diverses pertur-

bations liées à son environnement, est incapable de maintenir cette position

indéfiniment.

Traditionnellement, la commande du Pendule Inversé consiste, à amener

le pendule, depuis sa position d’équilibre stable jusqu’à sa position d’équilibre


Fig. 1.2 – Schéma de principe

Fig. 1.3 – point d’équilibre


instable ( Swing up control ) et de le maintenir dans cet état. Mais, dans le

cadre de ce projet, nous allons générer des cycles limites stables c’est à dire

reproduire périodiquement des oscillations autour du point d’équilibre.

1.6 Principes mécaniques

En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD), on peut

démontrer très simplement la façon dont l’actionneur (roue d’inertie) in-

teragit sur le pendule afin de commander le système . Cette démonstration

s’appuie sur un modèle mécanique équivalent (La roue d’inertie est remplacée

par une barre rectiligne pour modéliser de manière imagée le couple induit

par sa rotation), pour en faciliter sa compréhension (cf.fig (1.4)). Les équa-

tions du principe fondamental de la dynamique du Pendule Inversé RI sont :

~M0FA + ~M0FB + ~M0FG1 + ~M0FG2 =∑ ~MDynamique

Soit : ~CRoueInertie + ~CPendule =∑ ~MDynamique

Avec :~CRoueInertie = ~M0FA + ~M0FB

et ~CPendule = ~M0FG1 + ~M0FG2

Le pendule est mis en mouvement lorsque le couple généré par la roue

d’inertie CRoueInertie est supérieur ou inférieur au moment résistant (MDynamique

- MPendule). La synthèse ci-après précise l’état du système en fonction de ces

différences de moment :

-∑ ~MMoment = ~0 Le pendule en équilibre statique ;

-∑ ~MMoment ≻

~0 Le pendule est en phase ascendante ;

-∑ ~MMoment ≺

~0 Le pendule est en phase descendante.

Remarque : Dans la réalité, les forces mises en jeu pour mettre en ro-

tation la roue d’inertie sont réparties homogènement sur la totalité de sa

circonférence.


Fig. 1.4 – Modéle mécanique équivalent

1.7 Modèle dynamique non-linéaire

1.7.1 Généralités

Le modèle mathématique du Pendule Inversé RI est obtenu en applicant

le formalisme de Lagrange [9]. Cette approche nécessite de déterminer les

énergies cinétiques et potentielles des composants du système en termes de

coordonnées généralisées. Le Formalisme d’Euler-Lagrange repose sur l’équa-

tion de Lagrange :ddt

[∂L∂x

] − ∂L∂x

= Qx avec L = T − V

L : Lagrangien

T : Energie cinétique


V : Energie potentielle

Q : Force généralisée non prise en compte dans T et V

x=

θ1

θ2

Le vecteur de coordonnées généralisées

1.7.2 Energie Cinétique totale T :

T = TPendule + TRoueInertie

Avec : TPendule = 1

2(m1VG1

2 + i1θ12)

Et : TRoueinertie = 1

2(m2VG2

2 + i2θ22)

Donc : T = 1

2(m1l1

2 + m2l22 + i1)θ1

2 + i2(θ1 + θ2)

1.7.3 Energie potentielle V :

V = VPendule + VRoueInertie

Avec : VPendule = m1l1g cos θ1

Et : VRoueinertie = m2l2g cos θ1

Donc :V = (m1l1 + m2l2)g cos θ1

1.7.4 Lagrangien :

L = T − V

Donc :L = 1

2Iθ1

2 + i2θ22− mlg cos θ1

avec ml = (m1l1 + m2l2)

1.7.5 Dynamique du pendule inversé :

Les équations de la dynamique du Pendule Inversé RI déduites des équa-

tions d’Euler-Lagrange décrivent l’accélération angulaire du pendule (d2θ1/dt2)

et l’accélération angulaire de la roue d’inertie (d2θ2/dt2).

- θ1 = 1

I[C1 − C2 + mlg sin θ1] : Accélération angulaire du pendule


- θ2 = 1

i2I[−i2C1 + (i2 + I)C2 − i2mlg sin θ1] :Accélération angulaire de la

roue d’inertie

Les équations de la dynamique du Pendule Inversé RI sont mises sous la

forme

G(x)x + H(x, x)x + I(x) = Qx

Donc

I + i2 i2

i2 i2

θ1

θ2

+

−mlg sin θ1

0

=

C1

C2

1.8 Linéairisation autour de l’équilibre :

La représentation d’état du Pendule Inversé RI est obtenue par la li-

néarisation de son modèle dynamique autour du point d’équilibre instable

(pendule en position verticale haute à l’arrêt) [8]. Les équations d’état sont

de la forme :

X = AX + BU

Y = CX + DU avec XT =[

θ1 θ1 θ2

]

et U =

C1

C2

D’aprés [5] la représentation d’état du systéme est la suivante :

θ1

θ1

θ1

=

0 1 0

a21 0 0

a31 0 0

θ1

θ1

θ2

+

0

b1

b2

C2

Y =

c11 0 0

0 c22 0

0 0 c33

θ1

θ1

θ2

avec : a21 = mlg

I= −a31

b21 = 1

I= −b22 = −b31, b32 = I+i2

Ii2


c11 = c22 = c33 = 1

Remarque : le couple perturbateur C1 est considéré nul est cela pour

simplifié l’analyse du Pendule Inversé RI.

Chapitre 2

Stabilisation autour de l’équilibre

2.1 Préambule

La commande du Pendule Inversé RI consiste d’une manière générale, à

stabiliser le pendule en position d’équilibre instable (position verticale du

pendule autour de 0 rad) et à le maintenir ainsi, même lorsqu’il est affecté

par des perturbations externes (rafale de vent, etc.) ou par des variations

paramétriques (modification des centres masse et de la charge utile).

2.2 Généralité sur la commande Robuste

Le but de la commande robuste est de garantir la stabilité et un niveau

de performance acceptable pour les systèmes commandés malgré des incerti-

tudes sur les paramètres et/ou des dynamiques négligées dans le modèle du

processus. Il existe plusieurs synthése pour la commande robuste citons par

exemple la synthèse linéaire quadratique LQ, la synthèse linéaire quadratique

gausienne LQG, la synthèse Hinfini etc [4]. Dans le cas de notre étude nous

allons utiliser la synthèse LQ.

11

CHAPITRE 2. STABILISATION AUTOUR DE L’ÉQUILIBRE 12

2.3 Synthèse Linéaire Quadrarique LQ

Le contrôleur Linéaire Quadratique dénommé LQ ou LQR (Linear Qua-

dratic Regulator) est conçu sur la base du modèle linéaire du Pendule Inversé

RI.

La synthèse linéaire quadratique [4] consiste en la recherche d’une matrice

de gain Kc, telle que la commande par retour d’état U = −KcX +e stabilise

le pendule autour de la position d’équilibre instable. La matrice de gain Kc

est déterminée en minimisant le critère quadratique suivant :

J =∫

∞

0 (XT QX + UT RU)dt

Q= Matrice de pondération du vecteur d’état.

R= Matrice de pondération de la commande.

Soit Kc la valeur optimale de gain K qui minimise J et Pc la solution

correspondante à l’équation de RICCATI de commande :

PcA + AT Pc − PcBR−1BT Pc + Q = 0

Donc Kc = R−1BT Pc

Le schéma bloc suivant illustre la commande

Fig. 2.1 – Schéma général de la commande linéaire quadratique.


Remarque : Afin d’avoir les meilleurs résultats, il existe une méthode

qui consiste à bien ajuster la valeur de la matrice de pondération du vecteur

d’état Q avec la valeur CT C et à remplacer la matrice de pondération R par

un coefficient de pondération.

2.3.1 Représentation numérique du modèle

La représentation numérique du modèle d’état est obtenue en substituant

ses paramètres par leur valeur respective [5] :

θ1

θ1

θ1

=

0 1 0

47.4793 0 0

−47.4793 0 0

θ1

θ1

θ2

+

0

−22.7180

2417.1

C2

Y =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

θ1

θ1

θ2

Réglage des matrices de pondérations Pour donner plus d’interêt à

la minimisation de la commande, les matrices de pondérations sont choisies

comme suit Q = Diag(1) et R = 105.

2.4 Simulation

L’objectif de cette simulation est de stabiliser le Pendule Inversé PI à par-

tir de la condition initiale X0 =[

10 0 0]T

. Les résultats de simulations

sont présentés sur la figure 2.2.


Gain :Kc =[

−8.7844 −1.2780 −0.0032]

Pôles en boucle ouverte :PBO =[

0 6.89 −6.89]

Pôles en boucle fermée :PBF =[

−7, 8822 −6, 8549 −6, 6535]

2.4.1 Interprétation des résultats

D’aprés les courbes de simulation (cf.fig 2.2) on remarque que le couple

maximum dévelloppé par le moteur est 1.544Nm et que la puissance méca-

nique maximum est égale à 118W .

On remarque aussi que le système se stabilise au bout de 2sec, en effet la

vitesse angulaire max de la roue d’inertie atteint 194.6rd/s à t = 0.25s ce qui

correspond à une vitesse de rotation de moteur égale à 1858.3tr/min. Ces

résultats semblent satisfaisantes puisqu’ils correspondent à la plage d’utilisa-

tion du moteur (annexe 1)

2.5 Experimentation

Les courbes ci dessous fig 2.3 mettent en évidence les résultats de l’expéri-

mentation sur le Pendule Inversé pour une durée de 30sec et une perturbation

extérieure appliquée au système au bout de 10sec.


D’après les figures 2.3(a) on remarque que la position angulaire du pen-

dule oscille autour de 0rd et que sa vitesse angulaire est presque nulle, ces

erreurs entre la simulation et l’expérimentation sont dûes à différents fac-

teurs tels que la précision des capteurs , les forces de frottements, les facteurs

externes imprévisible. Ces derniers n’ont pas été prise en compte dans la

modélisation du système.


(a) (b)

(c) (d)

Fig. 2.2 – Résultats de simulations

((a) : Dynamique du pendule, (b) :Dynamique de la roue d’inertie, (c) :

Couple de la roue d’inertie, (d) : Puissance mécanique de la roue d’inertie )


(a) (b)

(c) (d)

Fig. 2.3 – Résultats de l’expérimentation

(a) : Dynamique du pendule, (b) :Dynamique de la roue d’inertie, (c) : Couple

de la roue d’inertie, (d) : Puissance mécanique de la roue d’inertie


On remarque aussi que même avec une perturbation du systéme (force

), qui se manifeste par un pic à t = 10s (Fig 2.3) le pendule inversé arrive

à retrouver son équilibre et cela vérifie bien la robustesse de la commande

appliquée [6].

Chapitre 3

Génération de cycles limites

stables

La génération de cycles limites stables est le but principale du stage.

L’objectif est de reproduire périodiquement des oscillations autour du point

d’équilibre instable et cela généralement se fait en agissant sur les coordon-

nées directement commandées, qui dans notre représentent les coordonnées

de la roue d’inertie (θ2 et θ2). en effet, le but du moteur est de faire tourner

la roue d’inertie, et cette rotation peut donc provoquer des oscillations.Donc

notre but est de trouver les meilleurs trajectoires qui donnent les meilleurs

oscillations.

C’est pour ces raisons qu’on va définir des trajectoires de référence que le

pendule va suivre tout au long des cycles

3.1 Génération des trajectoires de référence

Le but est de conduire le pendule pour qu’il fasse des oscillations au-

tour de son point d’équilibre instable (position verticale). Ceci pourra être

interprété comme étant un mouvement qui part d’une certaine configuration

18

CHAPITRE 3. GÉNÉRATION DE CYCLES LIMITES STABLES 19

initiale, pour rejoindre une certaine configuration finale. Donc il faut trouver

les trajectoires permettant de réaliser ce mouvement [2].

Dans la littérature plusieurs techniques ont été proposées pour la géné-

ration de trajectoires [12]. Ces trajectoires peuvent être générées en utilisant

des oscillateurs de Vander Pol ou en utilisant des trajectoires optimales [1]qui

sont généralement utilisées dans des applications concernant les robots ma-

nipulateurs.

Le but est d’avoir des trajectoires périodiques continues, il faut donc que

les conditions initiales pour la position angulaire ainsi que pour la vitesse et

l’accélération du pendule soient les mêmes que les conditions finales.

Avec ces considérations, les trajectoires de référence proposées peuvent

être des trajectoires sinusoidales :

θr1 = Am ∗ cos(2πttf

)

θr1 = −Am ∗ (2πtf

) sin(2πttf

)

θr1 = −Am ∗ (2πtf

)2 cos(2πttf

)

θr1, θr1 et θr1 représente respectivement les trajectoires de références sur

la position, la vitesse et l’accélération de l’angle du pendule et tf représente

la durée du cycle.

Ces trajectoires de référence conduisent le Pendule Inversé à partir d’un

certain angle initial définie par Am vers le même angle tout en passant par

−Am à tf/2

3.2 Poursuite des trajectoires de référence

Pour faire la poursuite de trajectoire on a eu recours à l’utilisation d’une

commande dynamique puisqu’on va faire la poursuite sur la position et la

vitesse angulaire [9].

Comme on l’a déja indiqué dans la partie ci dessus généralement la pour-


Fig. 3.1 – Schéma de la trajectoire de référence

suite de trajectoire se fait sur la partie actionnée (la roue d’inertie), et dans

notre cas faire un asservissement pour la vitesse de la roue est obligatoire.

Par contre sur la position angulaire c’est presque inutile, donc c’est pour ces

raisons qu’on a décidé de faire plus tôt la parsuite sur la partie non-actionnée

(le pendule) et essayé de régler les paramétre du systéme pour avoir une tra-

jectoire cyclique de la roue d’inertie et donc converger vers un cycle limite

[3].

La représentation d’état du Pendule Inversé est la suivante :

θ1 = θ1

θ1 = a21θ1 + b1U

θ2 = a31θ2 + b2U

La loi de commande qui permet de faire la poursuite de la trajetoire de

position et de vitesse est définie par cette équation :

U = −1

b1(a21θ1 − θr1 + Kp(θ1) − θr1 + Kv(θ1 − θr1))

Avec : Kp= Gain proportionnel et Kv= Gain dérivateur

On pose Z1 = θ1 − θr1


En injectant la nouvelle loi de commande dans la représentation d’état

du systéme on obtient :

Z1

Z1

=

0 1 0

−Kp −Kv 0

Z1

Z1

On obtient donc un systéme autonome, il suffit donc de bien choisir les

constantes Kp et Kv pour avoir les performances désirés avec Kp et Kv dé-

fini positives et le système en boucle fermé résultant est asymptotiquement

stable.

3.3 Simulations

Le but de cette simulation est de faire osciller le pendule autour de son

point d’équilibre instable et cela sous l’effet de la rotation de la roue d’inertie.

Les courbes 3.2 présentent les résultats de la simulation pour ce scénario, dont

les paramètres sont regroupés dans le tableau 3.

Description Valeur ;

Positions angulaires initiale et finale du pendule Am = 3

Position angulaire intermédiaire du pendule Am = −3

Vitesses angulaires initiale et finale du pendule 0 tr/min

Accélérations initiale et finale du pendule 0 tr/min2

Durée d’un cycle 3s

Nombre de cycles 10

Tab. 3.1 – Paramètres du cycle


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 3.2 – Résultats de la simulation

(a) : Poursuite de la position du pendule ; (b) :Poursuite de la vitesse du

pendule ; (c) : Vitesse de la roue d’inertie ; (d) : Plan de phase ;(e) :Couple

de la roue d’inertie ; (f) : Puissance mécanique



D’après les courbes 3.2 obtenues, on constate que les trajectoires du sys-

tème en boucle fermée convergent bien vers un cycle limite stable figure(d).

D’aprés la courbe (a) on remarque que le systéme poursuit parfaitement

la trajectoire de référence

Pour la vitesse de la roue d’inertie, on constate qu’elle est périodique et

oscille entre 1694 et −907tr/min (cf.figure(3.2c)).

Ces résultats semblent satisfaisante cependant, cette vérification n’est pas

suffisante. Il faut vérifier aussi que la puissance maximale des moteurs action-

neurs n’est pas atteinte. Pour cela l’idée consiste à tracer la vitesse angulaire

de l’arbre du moteur [7](valeur absolue en tour/min) en fonction du couple

moteur (valeur absolue), et vérifier qu’on reste bien dans la région d’admis-

sibilité donnée par le constructeur [10].

Le rapport des réducteurs de vitesse, utilisé avec notre moteur est R =

13/3. Les formules suivantes sont utilisées pour passer de la vitesse de la

roue d’inertie à la vitesse niveau moteur, et du couple de la roue d’inertie au

couple niveau moteur :

Vmot = VRoue∗R∗60

2π

Cmot = CRoue

R

Le test de la puissance admissible des moteurs est concrétisé donc par

le tracé de la vitesse niveau moteur en fonction du couple niveau moteur. Il

est superposé au gabarit de la puissance admissible. Si le tracé reste bien à

l’intérieur du gabarit, on en déduit que les puissances sont admissibles. Dans

le cas de notre scénario de simulation ces courbes sont tracées sur la figure

3.3, qui justifie que la puissance maximale reste bien dans la zone admissible.


Fig. 3.3 – Plage d’utilisation du moteur

3.4 Expérimentation

3.4.1 Premier scénario

Les courbes 3.4 mettent en évidence les résultats de l’expérimentation

pour le même scénario décrit dans la partie Simulation.


Même si on n’a pas tenu compte de plusieurs facteurs lors de la linéa-

risation du systéme tels que les frottements, les erreurs de mesures et les

parasites etc... On remarque bien que les figures 3.4 présentent presque les

mêmes résultas que ceux trouvés en Simulation sauf que les courbes de l’expé-

rimentation contiennent des parasites qui sont dû à la fréquence d’envoi des

informations des capteurs. Pour la figure 3.4(c), on remarque que la vitesse

de la roue d’inertie est symétrique mais oscillant à un offset prés de la courbe

de simulation et cela est dû au passage du moteur du régime transitoire au

régime permanent.


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 3.4 – Résultats de l’expérimentation du premier scénario





3.4.3 Deuxième scénario

Dans ce scénario l’objectif est de tester la robustesse du contrôleur par

des perturbations. Les courbes 3.5 mettent en évidence les résultats de l’ex-

périmentation pour le scénario décrit dans le tableau 3.2

Description Valeur ;

Positions angulaires initiale et finale du pendule Am = 3

Position angulaire du pendule intermédiaire Am = −3

Vitesses angulaires initiale et finale du pendule 0 tr/min

Accélération initiale et finale du pendule 0 tr/min2

Durée d’un cycle 3.5s

Nombre de cycles 10

Instant de la perturbation 25s

Tab. 3.2 – Paramètres du cycle


Les résultats de la figure 3.5 témoignent de la perturbation que nous avons

fait subir au pendule à l’instant 25s. Cette perturbation se manifeste par un

pic sur les figure (a,b et c). On remarque que juste aprés la perturbation

le système retrouve rapidement son régime de fonctionnement et converge

encore une fois vers le cycle limite (cf. figure 3.5 (d)).

On peut conclure que la commande appliquée est assez robuste puisque

le système rejète les perturbation extérieures et suit la commande.

Remarque : Des résultats d’expérimentations pour d’autres scénarios

sont présent dans l’annexe2.


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 3.5 – Résultats de l’expérimentation du deuxième scénario


pendule ; (c) : Vitesse de la roue d’inertie ; (d) : Plan de phase ; (e) :Couple


Conclusion et persepectives

3.5 Conclusion

Le travail réalisé dans ce stage rentre dans le cadre de recherche sur la

commande pour la génération de cycles limites stables pour un système non

linéaire.

Le prototype en question est un Pendule Inversé stabilisé par un volant

d’inertie. C’est un système mécanique sous-actionné constitué d’une roue

d’inertie et du pendule, Le mécanisme dispose d’un moteur actionneur placé

au niveau de la roue d’inertie.

La première démarche consiste à modéliser le système puis le linéariser

autour de son point d’équilibre instable, ensuite élaborer une loi de commande

pour le stabiliser autour de cette position. L’approche de commande proposée

pour la stabilisation est une commande optimale de type LQ.

La deuxième étape était la poursuite des trajectoires de référence sur le

cycle d’oscillation. Les trajectoires de référence sont des fonctions sinusoi-

dale permettant d’aller d’une certaine configuration initiale à une certaine

configuration finale.

Les résultats prometteurs que cette étape a donnée, nous a ouvert la

porte sur plusieurs pistes à explorer qui peuvent conduire à des résultats

plus intéressants, ceci sera discuté dans la section des perspectives.

L’approche qu’on a utilisé pour la poursuite est basé sur l’utilisation d’une

28

Conclusion et persepectives 29

commande dynamique. La commande est utilisé pour poursuivre des trajec-

toires sur la partie non-actionnée (pendule)

3.6 Perspectives

Dans cette section, l’ensemble des perspectives que nous estimons abor-

dables seront présentées. Elles peuvent donner soit des améliorations, ou bien

des nouveautés aux contributions apportées par ce travail.

La perspective la plus intéressante, qui constitue l’étape suivante dans nos

travaux puisque le stage se terminera le 31 juillet 2007, est de proposer des

trajectoires de références optimales, en effet la résolution d’un problème d’op-

timisation au début de chaque cycle semble primordial car le fonctionnement

du moteur varie au cours du temps et donc cette optimisation pourra amé-

liorer le comportement global du système, de renforcer la stabilité, d’élargir

la région d’attraction, ou encore d’améliorer la robustesse.

Définir donc une nouvelle trajectoire de référence adapté au fonctionne-

ment du moteur semble trés intéressant, à moins que cela augmente signifi-

cativement le temps de calcul. Le choix des paramètres d’optimisation peut

se porter sur la configuration désirée (Am et −Am ), la période d’un cycle tf ,

ou bien sur l’ajout d’un offset.

Une autre piste intéressante consisterait à utiliser la commande prédictive.

Celle-ci est généralement utilisée pour la commande des systèmes lents à

cause du temps de calcul important qu’elle nécéssite.

Dans notre cas, la modélisation du système étant suffisamment simple,

nous espèrons respecter les temps de calcul nécessaires à une commande en

temps réel.

Bibliographie

[1] A.Chemori. Quelques contributions à la commande non linéaire des

robots marcheurs bipèdes sous-actionnés. PhD thesis, LAG, INPG, 2005.

[2] A.Chemori and M.Alamir. limit cycle generation for a class of non-

liear systems with jumps using a low dimensional predictive control.

International journal of control Vol. 78, No 15, 1998.

[3] A.Chemori and M.Alamir. Nonlinear predictive control of under-

actuated mechanical systems application the ecp 505 inverted pendu-

lum. MTNS’04 (16th International Symposium on Mathematical Theory

of Networks and Systems), Leven, Belgique., 2004.

[4] D. Arzelier and D.Peaucelle. Systèmes et asservissement non linéaires.

Cours, 1998.

[5] B.Garabedian. Etude la faisabilité d’un tramway monorail. Rapport de

stage, UM2, 2006.

[6] M.Benoit B.Garabedian and S.Krut. A futuristic monorail tramway

stabilized by an inertia wheel. International Conference on Robotics

and Automation Guangzhou, CHINA, June 2007.

[7] Fiveco. Références du constructeur du variateur de vitesse.

http ://www.fiveco.ch.

[8] H. Khalil. Nonlinear Systems. Prentice Hall, Upper Saddle River, Second

Edition, 1996.

30

BIBLIOGRAPHIE 31

[9] L.Sciavicco and B.Siciliano. Modelling and controlof robot manipulators.

ED.Springer.

[10] Maxon. Références du constructeur du moteur. http ://www.moteur.ch.

[11] P.Birr and A.Berrabeh. Commande stabilisante et observation pour le

pendule inversé ECP 505. Université PARIS-SUD, Mars 2005.

[12] L. Roussel. Génération de trajectoires optimales de marche pour un robot

bipède. PhD thesis, LAG, INPG, 1998.

Annexes

.1 Annexe 1 : Caractéristiques du moteur

.2 Annexe 2 : Autres scénario

les courbes suivantes représentent les résultats de l’expérimentation pour

d’autre scénario, dont les paramétres sont regroupés dans le tableau suivant :

Description scénario 3 scénario 4 ;

Positions angulaires initiale et finale du pendule Am = 5 Am = 4

Position angulaire intermédiaire du pendule Am = −5 Am = −4

Vitesses angulaires initiale et finale du pendule 0tr/min 0tr/min

Accélérations initiale et finale du pendule 0tr/min2 0tr/min

Durée d’un cycle 4s 3s

Nombre de cycles 7.5 20

Perturbation non oui

Tab. 3 – Paramètres des cycles

32

ANNEXES 33

Fig. 6 – Caractéristiques du moteur .

ANNEXES 34

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 7 – Résultats de l’expérimentation du troisième scénario




ANNEXES 35

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 8 – Résultats de l’expérimentation du quatrième scénario




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