Commande d’un système mécanique sous-actionné par retour d...

Rapport de projet M2Université de Montpellier

Spécialité : " Robotique"

Préparée au Laboratoire d’Informatique de Robotique et de Microelectronics de Montpellier

présentée

par

Meriem ZEKKRI et Lydia MESSAL

Promo 2015/2016

le 29 Février 2016

Commande d’un système mécaniquesous-actionné par retour d’état avec observateur

non linéairePendule inversé stabilisé par roue d’inertie

Encadré par : Monsieur Ahmed CHEMORI

Table des matières

Introduction générale 1

Chapter 1 : Contexte , état de l’art et problématique 2

1.1 Les systèmes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Les systèmes mécaniques sous-actionnés . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Exemples de systèmes mécaniques sous-actionnés . . . . . . . . . . . . 3

1.2 La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés linéaire . . . . 51.2.2 La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés non linéaire . . 5

1.3 Observateurs des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Observateurs des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Observateurs des systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Description du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Schéma de principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Modèle dynamique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Problématique : commande et observation pour la stabilisation . . . . . . . . 14

Chapter 2 : Solution proposée 15

2.1 Contrôleur proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Synthèse d’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 La commande par retour d’état avec observateur au pendule inversé RI . . . . 18

Chapter 3 : Implementation et résultats 19

3.1 Résultats de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.1 Scénario 1 : Cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Scénario 2 : Rejet de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3 Scénario 3 : Test robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Résultats d’expérimentation en temps-réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.1 Representation de la plate-forme expérimentale . . . . . . . . . . . . . 22

i

Table des matières

3.2.2 Scénario 1 : Cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.3 Scénario 2 : Rejet de perturbation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . 243.2.4 Scénario 3 : Rejet de perturbation persistante . . . . . . . . . . . . . . 253.2.5 Scénario 4 : Rejet de perturbation persistante et ponctuelle . . . . . . 26

Conclusion et perspectives 28

Bibliographie ii

ii 2015/2016

Table des figures

1.1 Avion à décollage et atterrissage vertical HARRIER-av8b . . . . . . . . . . . . 31.2 Quadrirotor et schéma de son fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Schéma de classification des commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Vu du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Schéma principe du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Schéma de retour d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Schéma principe d’observateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Schéma couplage contrôleur-observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Résultats de simulation de La commande par retour d’état avec observateur aupendule inversé RI :cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Résultats de simulation de La commande par retour d’état avec observateur aupendule inversé RI :rejet de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Résultats de simulation de La commande par retour d’état avec observateur aupendule inversé RI :Test robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Vue de la plate-forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volantd’inertie[CKT10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avec observa-teur au pendule inversé RI :cas nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avec observa-teur au pendule inversé RI :rejet de perturbation ponctuelle . . . . . . . . . . 25

3.7 Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avec observa-teur au pendule inversé RI :rejet de perturbation persistante . . . . . . . . . . 26

3.8 Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avec observa-teur au pendule inversé RI :rejet de perturbation persistante et ponctuelle . . 27

iii

Introduction générale

L’un des axes les plus importants de recherche au sein du LIRMM concerne la commandedes systèmes complexes car les outils utilisés pour leurs modélisation et leurs commande de-viennent de plus en plus pointus. Le travail envisagé dans le cadre de ce projet rentre dansle contexte de conception de lois de commande pour la stabilisation des systèmes mécaniquessous-actionnés.

Dans ce contexte notre choix s’est porté sur le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie.Un système mécanique sous actionné largement étudié dans la communauté automaticienne,vu sa dynamique non linéaire et instable. Ajoutant à son sous-actionnement l’absence des cap-teurs qui permettent la mesure de tous les états du système,comme nous le savons très bien laconnaissance de toutes les grandeurs est souvent primordiale afin de mettre en Ĳuvre une stra-tégie de commande, d’où la solution proposée qui consiste à ajouter un capteur logiciel ou plusexactement un estimateur qui vient estimer les états inconnus c’est-à-dire dans notre cas la vi-tesse du pendule et du volant dŠinertie et par la suite utiliser une commande par retour d’étatqui sera en fonction de ses estimées afin de stabiliser le pendule autour de son point d’équilibre.

Cette approche sera appliquer en simulation (environnement matlab), puis validée entemps réel sur la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volant d’inertiedisponible au LIRMM.

1

Chapitre 1

Contexte , état de l’art et problématique

1.1 Les systèmes mécaniques

La mécanique est la science des lois du mouvement, des équilibres, des forces et des éner-gies qu’ils mobilisent dans un système généralement rigides, connectés à travers des liaisonsappelées articulations. Il existe plusieurs types de liaisons, ils sont généralement dotés d’ac-tionneurs permettant un mouvement de chaque solide relativement aux autres et de capteurspermettant de mesurer de manière précise la position d’un solide.

Les systèmes robotiques sont des systèmes mécaniques dotés d’actionneurs permettant decontrôler l’évolution du système dans le temps. En revanche,le système mécatronique nécessitela conception simultanée et pluridisciplinaire de trois sous-systèmes une partie operative, com-mande et interface homme-machine qui permet d’apporter de nouvelles fonctions au systèmemécanique, en particulier pour la transmission et le traitement des informations.

Un système mécanique peut être complètement actionné s’il possède autant d’actionneursque de degrés de liberté, sur-actionné ou redondant s’il possède plus d’actionneurs que dedegrés de liberté ou encore sous-actionné s’il possède moins d’actionneurs que de degrés deliberté.

1.1.1 Les systèmes mécaniques sous-actionnés

Les systèmes mécaniques sous-actionnés sont définis comme étant des systèmes dontle nombre d’actionneurs est inférieur au nombre de degrés de liberté a pour conséquence laprésence de contraintes dynamiques généralement non linéaires et non intégrables. À causedu sous-actionnement, les entrées de commande ne permettent de contrôler qu’une partie desétats du système, l’autre partie restante définit ce qu’on appelle la dynamique interne dusystème. Un système mécanique sous-actionné dont la dynamique des zéros est stable est dit à

2

Chapitre 1. Contexte , état de l’art et problématique

minimum de phase, et à non minimum de phase dans le cas contraire. Un système à minimumde phase peut donc être complètement stabilisé par une loi de commande qui stabilise lapartie actionnée. Dans le cas général, un système mécanique sous-actionné est à non minimumde phase, il est donc difficile à contrôler. La conception de ces systèmes peut être pluséconomique, plus simple et plus fiable que les systèmes complètement actionnés mais leurscontrols sont généralement plus complexe.

1.1.2 Exemples de systèmes mécaniques sous-actionnés

Il existe plusieurs exemples de systèmes sous-actionnés dans la robotique, comme :

- L’avion à décollage et atterrissage vertical HARRIER-av8b (figure 1.1)

Le véhicule est modélisé de façon simplifiée dans le plan (xoy), durant la phase de décollageet d’atterrissage [HSM95]. On modélise le (Planar VTOL) ainsi les coordonnées choisies sontsimplement la position (x, y) du centre de masse du véhicule et son angle de roulis µ dans leplan (xoy). Les entrées de commande sont la poussée u1 exercée par le réacteur sur le centre demasse dirigée vers le haut du véhicule et le couple u2 généré par le mécanisme de contrôle desforces de réactions (RCS) sur le véhicule dans le plan (xoy). Le PVTOL possède trois degrésde liberté pour seulement deux actionneurs, il est donc un système mécanique sous-actionné.

Figure 1.1 – Avion à décollage et atterrissage vertical HARRIER-av8b

Meriem Zekkri et Lydia Messal 3

1.2. La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés

- Les Quadrirotors (figure 1.2)

Un quadrirotor fait partie dans la robotique mobile ou dans le modéliste des objets volants,il possède quatre actionneurs couplés à des hélices. C’est un système sous-actionnés à six degrésde liberté, qui se pilote généralement avec des consignes en puissance, et en angle (tangage,roulis et lacet). Plusieurs approches ont été utilisé afin d’obtenir un maximum de stabilité,cependant avec seulement quatres actionneurs et l’implementation d’une commande adaptéeaux systèmes sous-actionnés, les déplacements du quadrirotor restent totalement actionnésdans l’espace.

Figure 1.2 – Quadrirotor et schéma de son fonctionnement

1.2 La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés

Deux méthodes existent de commandes des systèmes mécaniques sous-actoinnés : desméthodes basées sur le linéarisé du système et des méthodes basées sur le modèle non linéairesde la dynamique du système. On presente quelques exemples des méthodes de commande :

Figure 1.3 – Schéma de classification des commandes

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1.2.1 La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés linéaire

1. La commande par mode glissant :

La commande par mode glissant a été proposée dans [LCC98] pour générer des trajectoiresde référence pour la linéarisation d’un double pendule inversé, afin d’amener le système de saconfiguration d’équilibre stable basse (q1, q2) = (pi, 0) vers sa configuration d’équilibre instable(q1, q2) = (0, 0) . La technique de commande proposée est robuste vis-à-vis des incertitudesparamétriques.2. La commande optimale LQR :

Dans [Spo95] et [LCC98], des contrôleurs LQR (Linear Quadratic Regulator) pour larégulation autour de la position d’équilibre instable, de l’acrobot, ont été proposés.3. La commande predictive généralisée :

L’idée de base de la commande GPC (Generalized Predictive Control) consiste à calculer,à chaque instant d’échantillonnage, une séquence optimale de commandes futures basée surla prédiction du comportement du système afin de le corriger. Une telle commande a étéproposée dans [CKT10] pour la stablisation du pendule inversé à roue d’inertie autour du sonpoint d’équilibre instable.

1.2.2 La commande des systèmes mécaniques sous-actionnés non li-

néaire

1. La commande par backstepping :

Dans [Rez99] , le pendule inversé classique est globalement stabilisé autour de sa positiond’équilibre instable. Les dynamiques des sous-systèmes constitués des différentes coordonnéesgénéralisées sont découplées par une première transformation, résultant en un système sousforme cascade. La taille de ce système est réduite par la technique de backstepping. Le systèmeréduit résultant est ensuite stabilisé par une loi commande obtenue par recherche du pointfixe des équations de la dynamique du système réduit.2. La commande par passivité :

Dans [OGE00], la commande par passivité a été proposée pour résoudre le problème deswingup et de stabilisation autour de la position d’équilibre avec une seule et même loi decommande continue. La loi de commande obtenue par cette méthode est composée de deuxtermes chargés de réaliser la manoeuvre de swing-up du pendule pour l’un et de le stabiliser(asymptotiquement) autour de sa position d’équilibre instable pour l’autre. Le premier terme,modelant l’énergie potentielle du système, est obtenu par application de la méthode de com-mande basée sur la passivité. Le second, diminuant la vitesse du pendule en modelant son


1.3. Observateurs des systèmes

énergie cinétique, est obtenu par l’ajout des amortissements.

3. La commande sans modèle :

La commande sans modèle a été appliquée avec succès à plusieurs problèmes de commande,aussi bien académiques qu’industriels. Des résultats pour des systèmes particuliers comme labille sur le rail dans [MJ09] pour la poursuite de trajectoires de références, où la dynamiquedu rail n’a pas été prise en compte.

1.3 Observateurs des systèmes

La disponibilité des toutes les variables d’états pour la mesure directe est rarement vérifiéedans la pratique.En effet, l’état d’un système peut correspondre à une grandeur physiqueque l’on ne peut pas toujours mesurer directement ; l’élaboration d’une loi de commandeou la détermination d’une défaillance d’un composant ou d’un système passent souvent parl’accès à la valeur d’un ou plusieurs de ses états. Pour cela, il est nécessaire de concevoir unsystème auxiliaire appelé, observateur, qui se charge de reconstruire les états non mesurables enexploitant les informations disponibles,le modèle dynamique du système, ses sorties mesuréeset éventuellement ses entrées.Contrairement au problème de synthèse d’observateurs d’étatdes systèmes linéaires qui a été entièrement résolu. Le cas des systèmes non linéaires est plusdifficile et beaucoup mois systématique. C’est la raison pour laquelle, de nombreux travauxont abordé ce problème, en se basant sur des classes spécifiques de systèmes non linéaires.

L’observabilité d’un processus est un concept très important dans le domaine d’estimationde l’état. En effet, pour reconstruire les états inaccessibles d’un système, il faut savoir, siles variables d’état sont observables ou non. L’observabilité d’un système est la propriété quipermet de dire si l’état peut être déterminé uniquement à partir de la connaissance des signauxd’entrées et de sorties. Les méthodes que l’on peut trouver dans la littérature [Zem07][HK97]sont rappelés dans cette section.

1.3.1 Observateurs des systèmes linéaires

Soit un système continu décrit par l’équation d’état déterministe suivante :x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t)(1.1)

Où les vecteurs x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm ety(t) ∈ Rp représentent respectivement l’état, com-mande et la sortie du système. Les matrices A, B et C sont des matrices constantes de dimen-sions appropriées. L’observabilité du système linéaire (1.1) est garantie si et seulement si le

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rang n de sa matrice d’observabilité O est égale à la dimension n de ce système.

rang(O) = rang

C

CA

CA2

...

CA(n−1)

= n (1.2)

Dans le cas où le rang de la matrice O est inférieur à n on parle alors, d’observabilité partielle.Initialement les systèmes abordés ont été les systèmes linéaires, pour lesquels les observateursde Kalman et Luenberger [Lue71]ont donné de bons résultats. Le filtre de Kalman [Rid74]estutilisé dans le cas des systèmes stochastiques en minimisant la matrice de covariance de l’erreurd’estimation, et l’observateur de Luenberger a été utilisé pour les systèmes linéaires détermi-nistes, on considère le modèle dynamique du système linéaire défini par :x(t) = Ax(t) +Bu(t) + Lw(t)

y(t) = Cx(t) + v(t)(1.3)

Où les vecteurs x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rmety(t) ∈ Rp, w(t) ∈ Rretv(t) ∈ Rp sont deux bruits blancsgaussiens d’espérance du système sont de dimensions appropriées, et les conditions initialessont définies par x(0) = x0 . La théorie de l’observation de Luenberger repose essentiellementsur des techniques de placement de pôles.Luenberger propose l’observateur suivant pour lesystème (1.3) : ˙x(t) = Ax(t) +Bu(t) +K(y(t)− y(t))

y(t) = Cx(t)(1.4)

La dynamique de l’erreur d’estimation e(t) = x(t)− ˙x(t) a pour expression e(t) = (A−KC)e(t).Dans le cas déterministe,le choix du gain K de l’observateur doit être choisie de manière à ceque l’erreur sur l’état converge exponentiellement vers 0, et telle sorte que les valeurs propresde la matrice A-KC soit le demi plan complexe gauche.

1.3.2 Observateurs des systèmes non linéaires

Pour les systèmes non linéaires, étant donné l’espace de l’état X ⊆ Un et l’ensemble Udes entrées, la notion d’observabilité est basée sur la possibilité de différencier deux conditionsinitiales distinctes. On parlera ainsi de la distinguabilité d’un couple de conditions initiales.On considère le système non linéaire donnée par :x = f(x) + g(x)u

y = h(x)(1.5)


1.3. Observateurs des systèmes

Où les vecteursx(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm sont respectivement le vecteur d’état et de commande.Le système est dit observable si seulement si u distingue x1

0x20 dans X. On peut dire que le

paire (f, h) est observable au sens du rang si :

rang[dh, dLfh, ..., dL

(n−1)f h

]T= n (1.6)

Dans les systèmes non linéaires, l’observation d’état est un peu plus délicate et il n’existepas, à l’heure actuelle, de méthode universelle pour la synthèse d’observateurs. Les approchesenvisageables sont soit une extension des algorithmes linéaires, soit des algorithmes non li-néaires spécifiques. Dans le premier cas, l’extension est basée sur une linéarisation du modèleautour d’un point de fonctionnement.Pour le cas d’algorithmes non linéaires spécifiques, les nombreuses recherches menées sur cesujet[Zak90],[BLWZ87],[MH89] ont donné naissance à de nombreux algorithmes d’observation.Nous présenterons quelques observateurs :

1. Méthodes de transformations non linéaires : Cette technique fait appel à un chan-gement de coordonnées afin de transformer un système non linéaire en un système linéaire.Une fois qu’une telle transformation est faite, l’utilisation d’un observateur de type Luenber-ger suffira pour estimer l’état du système transformé, et donc l’état du système original enutilisant le changement de coordonnées inverse.

2. Observateurs étendus : Dans ce cas, le calcul du gain de l’observateur se fait à par-tir du modèle linéarisé autour d’un point de fonctionnement. C’est par exemple le cas du filtrede Kalman étendu et l’observateur de Luenberger étendu.

3. Observateurs à grand gain : Ce type d’observateurs est utilisé en général pour lessystèmes lipschitziens. Son nom est dû au fait que le gain de lŠobservateur choisi est suffisam-ment grand pour compenser la non-linéarité du système.

4. Observateurs de Luenberger généralisés (OLG) : C’est un nouveau type d’obser-vateurs qui a été proposé récemment pour la classe des systèmes monotones. Cette nouvelleconiception consiste à ajouter à l’observateur de Luenberger un deuxième gain à l’intérieur dela partie non linéaire du système.

5. Observateurs basés sur la théorie de la contraction : Ce type d’observateurs estbasé sur la théorie de la contraction utilisée comme outil d’analyse de la convergence. Cettetechnique mène à de nouvelles conditions de synthèse différentes de celles fournies par les

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techniques précédentes.Dans le chapitre qui suit, nous présentons en détails notre observateur qu’on a utilisé.

1.4 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

1.4.1 Description du système

Le pendule inversé stabilisé par un volant d’inertie est un système mécanique sous-actionné dont la dynamique est fortement non linéaire et instable. En revanche, sa modélisationreste relativement simple, convenable et moins coûteux pour tester différentes approches decommande. Le PIRI est constitué d’une tige reliée à un socle par une liaison pivot non actionnéeet d’un volant inertiel relié à l’autre extrémité de la tige par une liaison pivot actionnée auniveau du centre du volant.

La liaison du pendule au socle n’est pas actionnée, tandis que celle au volant est actionnéepar un moteur à courant continu équipé d’un codeur. Le système est équipé d’un inclinomètrelui permettant de mesurer l’angle entre lŠaxe du pendule et la verticale. L’idée du système estde commander indirectement l’angle du pendule par la commande du volant. En conséquence,le couple généré par le moteur produit une accélération angulaire sur le volant d’inertie quiinduit un couple sur le pendule au niveau de la liaison passive, grâce au couplage dynamiqueexistant entre les deux liaisons.Ce principe mécanique est schématisé par (figure 1.4) :

InclinomètreCorps du pendule

Articulation activeVolant d’inertieArticulation passiveSocle

Figure 1.4 – Vu du pendule inversé stabilisé par roue d’inertie


1.4. Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

Le système dispose de deux points d’équilibres :- Le point d’équilibre stable : convient à l’état dans lequel le pendule est dirigé vers lebas. Dans l’absence d’une force de contrôle, le système reste naturel dans cet état sous l’effetde gravité , et il revient lorsque le pendule est légèrement décalé .- Le point d’équilibre instable : convient à l’état dans lequel le pendule est pointé vers lehaut. Ce point d’équilibre est dit instable car en l’absence d’une force de contrôle, le pendule,sous l’effet d’une quelconque perturbation, est incapable de rester dans cette position.

1.4.2 Schéma de principe

La figure (1.5)illustre le principe mécanique du pendule inversé stabilisé par roue d’inertie :

Figure 1.5 – Schéma principe du pendule

Le volant d’inertie est équivalent à deux masses ponctuelles identiques situées au points d’ac-tions des forces F+etF− dont ces deux forces sont égaux . Pour relever le pendule, le coupleappliqué en O généré par F+ doit être plus grand que la somme des couples générés par lesforces de gravité et F−.Les liaisons rotoïdes évoluent dans le même plan (O,−→y ,−→z ). L’angle entre l’axe du penduleet la verticale est θ1, correspondant à la liaison passive. L’angle entre le volant d’inertie et lependule est θ2. correspondant à la liaison active. G1, G2, G désignent respectivement le centrede gravité du pendule ,du volant d’inertie et du système dans son ensemble.

1.4.3 Modèle dynamique du système

Afin d’élaborer le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, les hy-pothèses suivantes sont considérées :Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont considérés comme étant

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des masses ponctuelles situées à leurs centres de gravité.Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du pendule inversé est réalisée en négligeant lesphénomènes mécaniques liés aux frottements.Hypothèse 3 : La dynamique du moteur actionneur associé au volant d’inertie nŠest pasprise en compte dans la modélisation du système.

- Modèle dynamique du système non linéaire

Le tableau 1 regroupe l’ensemble des notations qui seront utilisées dans la modélisation du pen-dule pendule inversé stabilisé par volant d’inertie. Tandis que le tableau 2 regroupe l’ensembledes paramètres géométriques et dynamiques du système :

Paramètres Description Valeur Unité

m1 Masse du pendule 3.30810 Kgm2 Masse du volant 0.33081 Kgl1 Distance pivot /centre de gravité du pendule 0.06 ml2 Distance pivot /centre de gravité du volant d’inertie 0.044 mi1 Moment d’inertie du pendule 0.0314683 Kg.m2

i2 Moment d’inertie du volant d’inertie 0.0004176 Kg.m2

G Accélération de la pesanteur 9.81 m/s2

Table 1.1 – Paramètres géométriques et dynamiques du système


1.4. Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

Tableau 2 :

Variable Description Unité

θ1 Position angulaire du pendule radθ1 Vitesse angulaire du pendule rad/sθ1 Accélération angulaire du pendule rad/s2

θ2 Position angulaire du volant radθ2 Vitesse angulaire du volant rad/sθ2 Accélération angulaire du volant rad/sτ1 Couple perturbateur Nmτ2 Couple appliqué du volant d’inertie sur le pendule Nm

Table 1.2 – Récapitulatif des variables utilisées dans la modélisation

Le modèle dynamique non linéaire du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est obtenuà l’application du formalisme d’Euler-Lagrange. De cette approche, on obtient les équationsdécrivant l’évolution de la dynamique des coordonnées du système dans le temps, en fonctiondu couple généré par l’actionneur agissant sur e volant d’inertie et nécessite le calcul duLagrangien en fonction des énergies cinétiques (T ) et potentielles (V ) des différents composantsdu système en fonction des coordonnées généralisées.On note L = T − V Lagrangien dusystème. Le Formalisme d’Euler-Lagrange repose sur l’équation de Lagrange s’écrit alors :

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= Qi (1.7)

Où q =

[q1

q2

]=

[θ1

θ2

]le vecteur des coordonnées généralisées, Qq =

[Q1

Q2

]=

[τ1

τ2

]le vecteur

des forces généralisées(couple). L’énergie cinétique totale du système se décompose en énergiedu pendule et du volant d’inertie :

T = Tpendule + Tvolant (1.8)

Tpendule =1

2

(m1l

21 + i1

)θ21 (1.9)

Tvolant =1

2m2l

22θ

22 +

1

2i2(θ1 + θ2)

2(1.10)

L’énergie potentielle totale du système de décompose de manière analogue est :

V = Vpendule+ Vvolant (1.11)

Tvolant = m1l1g cos θ1 (1.12)

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Tvolant = m2l2g cos θ1 (1.13)

Le Lagrangien L est obtenu en utilisant les équations (1.8)et(1.11) :

L = T − V =1

2Iθ2

1 +1

2i2(θ1 + θ2)

2 −mlg cos θ1 (1.14)

avec I = m1l21 +m2l

22 + i1 et ml = m1l1 +m2l2.

Les équations régissant la dynamique du système sont :

θ1 =1

I[τ1 − τ2 +mlg sin θ1] (1.15)

θ2 =1

Ii2[−i2τ1 + (i2 + I)τ2 − i2mlg sin θ1] (1.16)

Le couple τ2 est la résultante du couple induit par le moteur et du couple induit par leséventuelles perturbations tandis que τ1 est un couple purement issu des perturbations. C’estpar le biais du coupleτ2 que la commande agit sur le système.Le couple perturbateur τ1 estsupposé null, la dynamique du pendule peut être écrite :

(I + i2)θ1 + i2θ2 −mlg sin θ1 = 0 (1.17)

i2(θ1 + θ2) = τ2 (1.18)

Le modèle du système sous forme d’une représentation d’état est comme suit :x1 = x2

x2 = mlgI

sin θ1 − 1IU

x3 = −mlgI

sin θ1 − I+i2i2I

U

(1.19)

Avec le vecteur d’etat définit : x =

θ1

θ1

θ2

- Linéarisation et représentation d’état

Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie dispose de deux points d’équilibre Les objectifsde la commande qu’on va aborder par la suite concerne particulièrement la stabilisation dusystème autour de son point d’équilibre instable (le pendule est pointé vers le haut à l’arrêt).La linéarisation de la dynamique du système autour de ce point d’équilibre donne le systèmelinéarisé : x = Ax+BU

y = Cx(1.20)


1.5. Problématique : commande et observation pour la stabilisation

les matrices du modèle d’état sont données par :

A =

0 1 0mlgI

0 0

−mlgI

0 0

; B =

0

−1I

i2+Ii2I

; C =[1 0 0

].

1.5 Problématique : commande et observation pour la sta-

bilisation

La dynamique des systèmes mécaniques sous-actionnés est dans le cas général est nonlinéaire. Ces non linéarités rendent impossible l’utilisation des méthodes de commande linéaire.Un système mécanique sous-actionné peut être vu comme un système mécanique complètementactionné soumis à des contraintes portant sur les vitesses et accélérations des coordonnéesgénéralisées du système. Ces contraintes qui sont dans le cas général non intégrables doiventêtre vérifiées par les trajectoires des coordonnées généralisées du système.

Bien qu’il soit toujours possible de linéariser partiellement la dynamique d’un systèmemécanique sous-actionné, il n’est pas garanti dans le cas général qu’un retour d’état stabilisantla partie linéarisée stabilise aussi la dynamique interne du système. En effet, la dynamiqueinterne d’un système mécanique sous-actionné partiellement linéarisé est, dans le cas généraldes systèmes à non minimum de phase, instable. Le problème de régulation d’un systèmemécanique sous-actionné autour d’une configuration d’équilibre est complexifié par l’instabilitéde la dynamique interne.

La stabilisation du pendule revient à synthétiser une commande initiale en position d’équi-libre instable et de le maintenir autour de cette position , en dépit de présence de perturbationsexternes ou par de variations paramétriques .Par conséquent, les contraintes de stabilité, lacommande doit assurer la meilleure performance tous en respectant les contraintes énergé-tiques. Par ailleurs, il faut aussi assurer une certaine robustesse envers toutes incertitudes quisont présentes naturellement dans le modèle réel du fait de l’utilisation d’un système idéalpour la simulation ou qui peuvent intervenir suite à un changement de paramètre tel que lamasse.

Perçu la méconnaissance des états du systèmes,θ1 vitesse angulaire du pendule et θ2 positionangulaire du volant, sauf l’angle θ1 qui représente la position angulaire du pendule car il est leseul état mesuré. L’objectif est la stabilisation du système autour d’un point d’équilibre c-à-dla convergence de tous les états vers zéro. Dans le chapitre suivant, on propose d’utiliser unobservateur non linéaire pour estimer les états inconnus afin d’obtenir la convergence.

14 2015/2016

Chapitre 2

Solution proposée

2.1 Contrôleur proposé

Afin de présenter une stratégie de contrôle qui permet d’accomplir la stabilisation dusystème autour d’un point d’équilibre, on commence par faire une linéarisation partielle surles équations du système dans le but de réduire les dynamiques. Pour ce faire, appliquons lacommande par retour d’état sous forme :

u = xd −Kx (2.1)

Notre objectif est la stabilisation du système autour de zéro ce qui implique que xd = 0 :

u = −Kx (2.2)

Le schéma-bloc du système en boucle fermée est le suivant :

Figure 2.1 – Schéma de retour d’état

15

2.2. Synthèse d’observateur

L’analyse du système signifie que le système d’équation d’état est complètement comman-dable pour n’importe quel état initial ( le rang(C) = [BAB...A2B] = n = 3) . Par conséquent,il est possible d’appliquer la technique par placement de pôles.Le système est d’ordre 2 ,donc il a besoin d’un troisième pôle qui doit être suffisamment loinpour qu’il n’aie aucun impacte sur le système en se basant sur la technique de pôles dominants.Dans le but de déterminer les deux premiers pôles relatifs à un système standard du deuxièmeordre , on impose au système une dynamique désirée avec la pulsation propre w0 = 2.51rd/s

et facteur d’amortissement ξ = 0.9. En substituant les termes par les valeurs numériques , onobtient :

A =

0 1 0

47.4793 0 0

47.4793 0 0

etB =[0 −22.7 2474.3

]T(2.3)

Après le calcule de la fonction de Transfert du système , on fait une identification avec lafonction de Transfert representant la dynamique désirée du système.

H(p) =K

4w2

0p2 + 2ξ

w0p+ 1

(2.4)

Par identification, on détermine les deux premiers pôles désirés du système qui sontP1 = −2.2619 et P2 = −2.2619 , le choix du troisième pôle est basé sur la technique de pôlesdominants , par conséquent la valeur réelle de ce dernier doit être 5 fois inférieure aux valeursréelles des deux pôles dominants(P3 = −15). À partir de ces pôles, il nous est possible dedéterminer le polynôme caractéristique désiré du système en boucle fermée. Grâce à la formuled’Ackermann, On calcule la matrice de gain de retour (K = [−5.3592− 0.9488− 0.008]).

2.2 Synthèse d’observateur

L’estimation de l’état se fait en recopiant de façon virtuelle la dynamique du systèmeen prenant en compte non seulement la commande u, mais aussi les sorties du système (lesmesures) dans le but de corriger les écarts éventuels. On s’est inspiré de l’observateur à grandgain [Ahm15], la différence avec ce dernier est la forme de la matrice A . Le x désigne l’étatdu système , x représente l’estimation de l’état faite par l’observateur comme le montre la(figure 2.2) :

16 2015/2016

Chapitre 2. Solution proposée

Figure 2.2 – Schéma principe d’observateurs

Le système d’état peut être écrit sous forme :x = Ax+Q(x, u)

y = Cx(2.5)

Où A =

0 1 0

0 0 0

0 0 0

; Q(x, u) =

0

mlgI

sin θ1 − 1IU

−mlgI

sin θ1 − I+i2i2I

U

; C =[1 0 0

];x =

[θ1 θ1 θ2

].

La dynamique de l’état comporte une partie linéaire non commandée et une partie nonlinéaire commandée. Comme dans tous les travaux traitant de la synthèse d’observateur àgrand gains [JGO92],[BH91] l’hypothèse suivante est importante :

‖ Q(u, x1)−Q(u, x2) ‖≤ k ‖ x1 − x2 ‖ (2.6)

Avec Q(u, x) est une fonction lipschitzienne en x. Basé sur les observateurs non linéaires , unobservateur pour le système est construit comme suit :

ˆx = Ax+Q(x, u)− θ∆−1θ K(Cx− Cx)

y = Cx(2.7)

En effet ,on tend à corriger l’évolution de l’état grâce au modèle qui est en fonction de l’erreur

d’estimation.Où ∆θ est la matrice diagonal définit comme suit : ∆θ =

1 0 0

0 1θ

0

0 0 1θ2

et θ est un

gain réel positif définit de façon à réduire l’erreur d’estimation jusqu’à l’annulation. La dyna-mique de l’erreur d’estimation se reduit à partie de l’équation du système et de l’observateur :

ex = θ (A−KC) + ∆θ (Q(x, u)−Q(x, u)) + θKew (2.8)

Le vecteur de gain K est choisit de façon que la matrice (A − KC) soit une matrice deHurwitz.Une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence exponentielle vers0 , soit x = (x− x) tend vers zéro.


2.3. La commande par retour d’état avec observateur au pendule inversé RI

2.3 La commande par retour d’état avec observateur au

pendule inversé RI

Le couplage de contrôleur avec l’observateur est donnée par la figure suivante :

Figure 2.3 – Schéma couplage contrôleur-observateur

La dynamique de système avec observateur en BF s’écrit :

x = Ax+Q(x, u)

ˆx = Ax+Q(x, u)− θ∆−1θ K(Cx− Cx)

u = −Kx(2.9)

Pour le placement de pôles, on doit choisir de sorte que l’observateur soit plus rapide que lesystème, de manière a ce qui’il puisse le poursuivre.

18 2015/2016

Chapitre 3

Implementation et résultats

3.1 Résultats de simulations

Plusieurs scénarios de simulation sont envisagés. Dans le premier scénario, aucune pertur-bation externe n’est introduite dans le modèle sauf des conditions initiales non nulles. Dans lesecond scénario, une perturbation ponctuelle est introduite sous forme d’impulsion d’ampli-tude qui sera introduite sur le pendule au niveau du couple perturbateur .Le troisième scénarioa pour but la mise en évidence des effets des perturbations persistantes, sans prise en comptede celles-ci au niveau du contrôleur. Enfin, le dernier scénario applique la méthode d’estima-tion et de rejet des perturbations persistantes proposée.

La simulation est initialisée avec le pendule au repos, les conditions initiales sont donc choisiesainsi :- Position initiale du pendule : θ1 = 10◦.- Vitesse initiale du pendule : θ1 = 0 rad/s.- Vitesse initiale du volant d’inertie : θ2 = 0 rad/s.Le choix de la valeur de θ1 est motivé par la structure physique du robot. En effet, lorsque lependule est au repos, la butée mécanique contraint l’angle du pendule approximativement àcette valeur. On simule le système du commande par retour d’état avec observateur au penduleinversé RI. Les Figures représentent les résultats de cette simulation.

3.1.1 Scénario 1 : Cas nominal

Dans cette simulation , aucune perturbation externe n’est considérée.Les figures présentent lesrésultats de simulation obtenus.

19

3.1. Résultats de simulations

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.1

0

0.1

0.2

θ 1 et θ

1 es

[rad

]

Temps [sec]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−0.5

0

0.5

dθ1 e

s [R

ad/s

ec]

Temps [sec]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

100

200

dθ2 e

s [R

ad/s

ec]

Temps [sec] 0 1 2 3

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

U [N

.m]

Temps [sec]−0.1 0 0.1 0.2 0.3

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

dθ1[r

ad/s

ec]

θ1[rad]

Figure 3.1 – Résultats de simulation de La commande par retour d’état avec observateurau pendule inversé RI :cas nominal

3.1.2 Scénario 2 : Rejet de perturbation

Cette simulation a pour but de montrer l’effet d’une perturbation ponctuelle sur la stabilitédu système en boucle fermée. Le modèle et la loi de commande utilisée sont les mêmes que pourla simulation précédente. La perturbation est introduite sous forme d’impulsion d’amplitudequi sera introduite sur le pendule au niveau du couple perturbateur, à l’instant t = 4.5s. Lecouple perturbateur a une amplitude égale à 0.4. Cette impulsion est suffisante pour perturberle système.La figure présente les résultats de simulation obtenus :

0 1 2 3 4 5 6 7 8−0.2

0

0.2

θ 1 et θ

1 es

[rad

]

Temps [sec]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−0.5

0

0.5

dθ1 e

s [R

ad/s

ec]

Temps [sec]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

100

200

dθ2 e

s [R

ad/s

ec]

Temps [sec] 0 1 2 3

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

U [N

.m]

Temps [sec]−0.1 0 0.1 0.2 0.3

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

dθ1[r

ad/s

ec]

θ1[rad]

Figure 3.2 – Résultats de simulation de La commande par retour d’état avec observateurau pendule inversé RI :rejet de perturbation

20 2015/2016

Chapitre 3. Implementation et résultats

3.1.3 Scénario 3 : Test robuste

Les modifications sur les paramètres de notre modèle du pendule, en l’occurrence le terme Iqui regroupe tous les paramètres du pendule, on applique une incertitude de 25 et 50 pourcent.

Les Figures représentent les différentes réponses de notre système dans le cas de robustessevis à vis des incertitudes.

0 1 2 3

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

θ 1 [rad

]

Temps [sec]

0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

U [N

.m]

Temps [sec]

Cas NominalΔI 25%ΔI 50%

Cas NominalΔI 25%ΔI 50%

Figure 3.3 – Résultats de simulation de La commande par retour d’état avec observateurau pendule inversé RI :Test robuste

Les interprétations des simulations :

Ces figures montrent une convergence asymptotique des états ainsi que leurs estimés vers laposition d’équilibre. La commande RE permet une convergence rapide, et l’estimateur utiliséassure une bonne estimation des états non mesurés comme le montre la (figure 3.1).

Au bout de 4.5 s, on applique une perturbation, On remarque un léger décalage au niveau destrois états du système et leurs estimés, mais le moteur effectue une forte accélération dans lebut de compenser cette erreur et ramener rapidement le système vers sa position d’équilibre.(figure 3.2)


3.2. Résultats d’expérimentation en temps-réel

Dans le dernier cas du test robuste (figure 3.3), on ajoute des incertitudes, on remarquedans les deux cas que la sortie et la commande converge parfaitement malgré ces incertitudes,hormis quelques faibles oscillations les deux premières secondes due à l’importance de cesincertitudes.

3.2 Résultats d’expérimentation en temps-réel

3.2.1 Representation de la plate-forme expérimentale

La maquette du pendule inversé stabilisé par roue d’inertie(figure 3.4) est constituée de cinqcomposants principaux : un calculateur, un inclinomètre, un groupe moteur/variateur/réducteuret un codeur.[CKT10] La partie mécanique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie estconstituée d’un bâti qui supporte le pendule à travers une liaison passive (pivot). Le corps dupendule supporte un volant d’inertie actionné par un moteur à courant continu. La rotationdu volant d’inertie provoque par les effets dynamiques, qu’elle induit, la rotation du penduleautour de sa liaison passive.- Le calculateur : Appelé aussi PC de commande, le calculateur est le coeur du système de

Figure 3.4 – Vue de la plate-forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volantd’inertie[CKT10]

commande car c’est lui qui s’en charge d’interroger, en temps réel, les capteurs pour lire lesmesures, et calculer la loi de commande à chaque instant dŠéchantillonnage.- Le variateur de vitesse : C’est un organe électronique permettant de fournir une puis-sance électrique maximale de 200W (caractéristiques du moteur), d’asservir le moteur et defonctionner en mode 4 quadrants (essentiel pour recycler l’énergie réactive produite par le

22 2015/2016


moteur en phase de freinage).- L’inclinomètre : C’est un capteur capable de mesurer, en temps réel, la position angu-laire du pendule par rapport à la verticale. Pour respecter l’intégrité de la maquette, il étaitinconcevable d’incorporer un codeur incrémental ou absolu sur l’axe de rotation du pendulepour mesurer sa position angulaire (solution généralement utilisée pour ce type de mesures).Pour cela la solution consistant à utiliser un inclinomètre, fixé sur le corps du pendule, a étéadoptée.- Le Moteur : Le dimensionnement et le choix du moteur actionneur est étroitement lié audimensionnement du volant d’inertie, étant donné qu’il est dédié exclusivement à son entraî-nement. Le choix du moteur utilisé dans le cas du pendule inversé stabilisé par volant d’inerties’est porté sur le moteur Maxon EC-powermax 30. Plus qu’un simple actionneur, c’est unmoteur couplé avec un réducteur et un codeur incrémental. Le réducteur permet de privilégierle couple au détriment de la vitesse de rotation. Le codeur incrémental, quant à lui, permetde mesurer sa position angulaire et par conséquent celle du volant d’inertie.- Le noyau temps-réel : Le temps dŠexécution d’une tâche et sa répétitivité sont deuxcontraintes fortes dans le domaine de la commande temps-réel. Le non respect de l’une d’ellespeut avoir des conséquences graves, aussi bien sur le comportement du système que sur sonenvironnement direct. C’est à ce titre, que le système d’exploitation implémenté sur le calcu-lateur doit être équipé d’un noyau temps-réel. Dans le cas de pendule inversé, le noyau tempsréel utilisé est le RTX (Real-time Extension for Windows) de chez Ardence. RTX est uneaddition pour Windows dédiée aux applications temps-réel pour les systèmes de commande etsystèmes embarqués. Elle apporte vitesse, réactivité et comportement déterministe.

3.2.2 Scénario 1 : Cas nominal

Dans la section précédente, l’approche de commande proposée a été appliquée en temps-réelsur le prototype du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie sur une durée de 30 secondes.Les résultats obtenu dans ce cas sont illustrés sur la figure. Elle représente l’évolution des étatsdu système, ainsi que l’entrée de commande (couple moteur).



0 5 10 15 20 25 30−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

θ 1 et θ

1 es

[rad

]

Temps [sec]

θ

1

θ1 estimée

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

dθ1 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]

0 5 10 15 20 25 30−50

0

50

100

150

200

dθ2 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]0 5 10 15 20 25 30

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U [N

.m]

Temps [sec]

Figure 3.5 – Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avecobservateur au pendule inversé RI :cas nominal

3.2.3 Scénario 2 : Rejet de perturbation ponctuelle

L’objectif de ce second scénario est de tester la robustesse du contrôleur proposé vis à visdes perturbations externes. Pour cela, on se propose de perturber le pendule en appliquantune force ponctuelle en poussant légèrement le pendule pendant le mouvement d’oscillation àl’endroit indiqué dans la figure qui a tendance à le déstabiliser, afin de voir le comportementdu contrôleur et sa capacité de compenser cette perturbation.

24 2015/2016


0 5 10 15 20 25 30−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

θ 1 et θ

1 es

[rad

]

Temps [sec]

θ

1

θ1 estimée

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

dθ1 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]

0 5 10 15 20 25 30−50

0

50

100

150

200

dθ2 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]0 5 10 15 20 25 30

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U [N

.m]

Temps [sec]

Figure 3.6 – Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avecobservateur au pendule inversé RI :rejet de perturbation ponctuelle

3.2.4 Scénario 3 : Rejet de perturbation persistante

Une force constante est appliquée sur le pendule inversé sous forme d’une masse additionnelleaccrochée au corps du pendule figure. Les résultats d’expérimentations obtenus dans ce cassont illustrés sur la figure. l’objectif est que le contrôleur cherche à compenser la valeur de laperturbation et garder le système autour de sa position d’équilibre instable ce qui traduit larotation permanente de la roue d’inertie.



0 5 10 15 20 25 30−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

θ 1 et θ

1 es

[rad

]

Temps [sec]

θ

1

θ1 estimée

0 5 10 15 20 25 30−0.5

0

0.5

dθ1 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]

0 5 10 15 20 25 30−50

0

50

100

150

200

dθ2 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]0 5 10 15 20 25 30

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U [N

.m]

Temps [sec]

Figure 3.7 – Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avecobservateur au pendule inversé RI :rejet de perturbation persistante

3.2.5 Scénario 4 : Rejet de perturbation persistante et ponctuelle

l’objectif de ce dernier scénario est de tester la robustesse du contrôleur RE avec observateurpar rapport au rejet de la combinaison des deux perturbations (ponctuelle et persistantes).Les résultats obtenus sont représentés sur la figure, afin de montrer que malgré la combinaisondes deux types de perturbations, le contrôleur est capable de les compenser et maintenir lesystème autour de son point d’équilibre.

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0 5 10 15 20 25 30−0.2

−0.1

0

0.1

θ 1 et θ

1 es

[rad

]

Temps [sec]0 5 10 15 20 25 30

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

dθ1 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]

0 5 10 15 20 25 30−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

250

dθ2 e

s [r

ad/s

ec]

Temps [sec]0 5 10 15 20 25 30

−1

−0.5

0

0.5

U [N

.m]

Temps [sec]

Figure 3.8 – Résultats d’experimentation de La commande par retour d’état avecobservateur au pendule inversé RI :rejet de perturbation persistante et ponctuelle

-Les interprétations d’expérimentation :

Dans le cas nominal ,on remarque une convergence asymptotique entre l’angle mesuré etson estimé, ainsi qu’une convergence de la commande et des vitesses du pendule et du volantd’inertie vers le point d’équilibre avec une oscillation assez importante autour de ce point dela vitesse du volant, afin d’assurer la stabilisation du pendule.

Dans le cas de perturbation ponctuelle ,les perturbations ont lieu aux instants t = 12s, t= 20s et t = 26s, elles apparaissent sous forme de pics aux instants d’application des couplesperturbateurs, entraînant ainsi un décalage des vitesses estimées du VI et du pendule ainsique sa trajectoire,c’est là qu’intervient le contrôleur qui réagit de sorte à compenser les per-turbations et ramener le système autour du point dŠéquilibre.

Dans le troisième cas de perturbation persistante,le contrôleur applique une tension conti-nue sur le moteur, dans le but de compenser le couple perturbateur et fait tourner le volantd’inertie en permanence afin de stabiliser le pendule.

Dans le dernier cas Le contrôleur doit compenser les deux perturbations persistante etponctuelle d’où l’élévation de la vitesse du VI et les pics aux instants d’application de la per-



turbation ponctuelle dont le but est de remmener le système au point d’équilibre.

On peut conclure, l’approche proposée qui consistait à utiliser un observateur couplé à unecommande par retour d’état a été validée par des simulations numériques et expérimentale. Ona présenté les résultats sous formes de quatre scenarios, dans le but de mettre en évidence larobustesse du système vis-à-vis des perturbations externes ponctuelles et persistantes, et danschaque cas, le contrôleur couplé à l’observateur était capable de faire converger le système versle point d’équilibre.

28 2015/2016

Conclusion et perspectives

Notre travail consiste à étudier le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, un systèmeparticulièrement complexe par son sous-actionnement, car il dispose de deux degrés de libertéet un seul actionneur.

La commande du pendule inverse suscite de l’intérêt à cause de sa dynamique qui serapproche de celle des systèmes plus complexe tels que les avions de chasse, les fusées , ect.Cemécanisme est pratique pour illustrer de nouveaux principes de commande.

Le travail réalisé consiste à élaborer le modèle dynamique du système puis le linéariserautour de son point d’équilibre instable et sachant qu’on n’a pas la connaissance de tous lesétats du système, on a proposé dŠutiliser un observateur qui a pour but d’estimer les étatsnon mesurés, ensuite utiliser une loi de commande qui dépend des estimations pour ramenerle pendule autour de sa position d’équilibre instable et de le maintenir dans cette position endépit des perturbations externes qui l’affectent.

Pour élaborer notre observateur on s’est inspiré de l’observateur à grand gains, hormis unedifférence au niveau de la partie linéaire,le quel on a couplé avec une commande par retourd’état. Avec un choix approprié des paramètres, les résultats obtenus sont très satisfaisant.L’observateur couplé à une commande par retour d’état s’est montré aussi performant qu’unecommande avancée.

29

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ii 2015/2016

Commande d’un système mécanique sous-actionné par retour d...

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