Cours de Robotique Avancée - lirmm.frchemori/Temp/Cours/Cours_4_Rob.pdf · A. Chemori (Cours de...
23
2011 / 2012 A. Chemori LIRMM - UMR 5506 161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France [email protected] Université de CARTHAGE – Tunis Ecole Supérieur de Technologie et d’Informatique de Tunis Master 2 : Automatique, Robotique et Traitement de l’Information Cours de Robotique Avancée Cours 4 Commande par mode glissant
Transcript of Cours de Robotique Avancée - lirmm.frchemori/Temp/Cours/Cours_4_Rob.pdf · A. Chemori (Cours de...
2011 / 2012
A. Chemori
LIRMM - UMR 5506
161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, France
Université de CARTHAGE – Tunis
Ecole Supérieur de Technologie et d’Informatique de Tunis
Master 2 : Automatique, Robotique et Traitement de l’Information
Cours de Robotique Avancée
Cours 4
Commande par mode glissant
Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 2
Plan du cours
1. Introduction
2. Exemple introductif
3. Idée de base
4. Dynamique du système à commander
5. Dynamique de glissement
6. Dynamique de convergence vers la surface de glissement
7. La loi de commande
o La commande équivalente
o La commande discontinue
o Loi de commande globale
8. Retour sur l’exemple (application de la commande discontinue)
9. Phénomène de réticence (chattering)
10. Retour sur l’exemple (application de la commande globale)
11. Quelle solution pour le problème de réticence ?
A. Chemori (Cours de Robotique avancée)
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 3
Commande par mode glissant Introduction
La commande par mode glissant est relativement simple à implémenter
(par rapport à d’autres approches de commande)
Elle fait partie des commandes dites à structure variable
Elle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéaires
Robuste par rapport aux perturbations externes
Robuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etc
Différentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite de
modèle, observateurs, etc
La commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue
(dans sa forme la plus facile : commande bang-bang)
Introduction
Début des années 60 besoin de robustesse en aéronautique
Découverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Les
ingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commande
insensibles aux variations dans la système à commander
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 4
Commande par mode glissant Exemple introductif
Exemple Introductif
On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :
La dynamique de ce système s’écrit :
: La masse
: la position de la masse
: Coefficient de raideur du ressort
: Coefficient d’amortissement
: Force appliquée sur la masse
On souhaite faire converger vers avec la commande
Pour cela on considère la loi de commande suivante :
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 5
Commande par mode glissant Exemple introductif
On remplace cette loi de commande dans la dynamique système, on obtient :
Si l’on considère :
La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :
Si on considère les états (position) et (vitesse)
Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :
C’est un système autonome dont le comportement dépend de la condition
initiale sur les états et des paramètres .
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 6
Commande par mode glissant Exemple introductif
Simulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :
0 10 20 30 40 50 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
siti
on
et vite
sse
Position
Vitesse
Pour ce choix de paramètres
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 7
Commande par mode glissant Exemple introductif
Si on trace le plan de phase du système en boucle-fermée on obtient :
La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS la
convergence est lente !
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x1
x2
Condition initiale
Point d’équilibre
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 8
Commande par mode glissant Idée de base
Idée de base
L’idée de base de la commande consiste en deux étapes :
o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de
glissement)
o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré
1
2
1
2
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 9
Commande par mode glissant Système à commander
On considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamique
s’écrit :
Avec deux fonctions non linéaires, avec
L’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du point
d’équilibre :
Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur ce
modèle non linéaire
Néanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamique
s’écrit :
Dynamique du système à commander
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 10
Commande par mode glissant Dynamique de glissement
La dynamique de est stable pour
Soit la variété :
La dynamique de est stable si
La variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface de
glissement’
Sur la surface de glissement définie par est stable, donc
converge vers 0, le déplacement est gouverné par
La vitesse de convergence dépend de la valeur de
Mais sur cette surface donc converge aussi vers 0
L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de et
Si au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra
amener le système sur cette surface
Donc :
Dynamique de glissement
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 11
Commande par mode glissant Dynamique de convergence
Dynamique de convergence vers la surface de glissement
Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :
Stabilité asymptotique si : est définie positive
est définie négative
On a :
Étant donné que :
donc est définie positive
Calculons maintenant sa première dérivée :
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 12
Commande par mode glissant Loi de commande
La lois de commande
est définie négative si :
est :
La commande équivalente :
Soit :
La commande équivalente est définie par :
est définie négative si :
Pour quel choix de ceci est vérifié ?
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 13
Commande par mode glissant Loi de commande
Cela est vérifié pour le choix suivant de :
La commande globale :
La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à une
commande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.
Commande équivalente (continue)
Commande discontinue
La commande discontinue :
La commande discontinue et le deuxième terme de l’expression ci-dessus:
Pour ce choix on a :
est définie négative car :
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 14
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
Retour sur l’exemple
On souhaite faire converger vers avec la commande
On rappelle la dynamique du système :
Qui peut s’écrire sous la forme :
avec :
La loi de commande par mode glissant s’écrira :
Avec :
et
Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande :
donc :
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 15
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x1
x2
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
Si on considère la commande discontinue uniquement :
Évolution dans le plan de phase du système en B.F
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 16
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
Po
sitio
n e
t vite
sse
Position
Vitesse
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
Évolution des états du système en B.F
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 17
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Co
mm
an
de
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
Évolution de l’entrée de commande
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 18
Commande par mode glissant Phénomène de réticence
2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Co
mm
an
de
Phénomène de réticence (chattering)
Si on fait un zoom sur la commande autour de on obtient :
Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande qui
commute avec une fréquence infinie
Dans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation + la
constante de temps des actionneurs La discontinuité dans le commande produit un
comportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface de
glissement, appelé phénomène de réticence (Chattering en anglais)
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 19
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
Retour sur l’exemple
On considère maintenant la commande dans sa globalité :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x2
Évolution dans le plan de phase du système en B.F
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 20
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
sitio
n e
t vite
sse
Position
Vitesse
Évolution des états du système en B.F
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 21
Commande par mode glissant Retour sur l’exemple
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
10
temps (sec)
Co
mm
an
de
Évolution de l’entrée de commande
Même avec la commande
globale il y a toujours le
phénomène de réticence
C’est un des problèmes de
la commande par mode
glissant
Peut endommager les
actionneurs !
Quelle solution envisager ?
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 22
Commande par mode glissant Solution du problème de réticence
Quelle solution pour le problème de réticence ?
Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées :
Solution 1 : remplacer la fonction Sign(s)
-1
+1
-1
+1
-1
+1
Sigmoïde
Solution 2 : La commande par mode glissant d’ordre supérieur
A. Chemori (Cours de Robotique avancée) Université de Carthage – ESTI – 2011/2012 23
Commande par mode glissant Solution du problème de réticence
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Po
sitio
n e
t vite
sse
Position
Vitesse
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
temps (sec)
Co
mm
an
de
Exemple précédent : Application de la solution utilisation de la fonction de saturation
Évolution dans le plan de phase
Évolution des états du système
Évolution de l’entrée de commande
Pas de chattering !
