Chapitre02 Statique Du Corps Solide(Full Permission)

7/24/2019 Chapitre02 Statique Du Corps Solide(Full Permission)

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(D.S.E.T.I.), U.F.A.S. Novembre 2008 Dr. MAHDAOUI Toufik

1

Mcanique rationnelle Physique 04 Deuxime Cours : Statique du Corps Solide

2.1. Gnralits

La mcani que a pour obj et l t ude des mouvement s et des dpl acement s que peuventpr endr e l es cor ps sous l act i on des f or ces.

On l a di vi se en t r oi s par t i es :La ci nmat i que : Etude des mouvement s des cor ps en f onct i on du temps sanspr occupat i on des causes ( f or ces) .La dynami que : Et ude des mouvement s des cor ps sous l i nf l uence des causes ( f orces) .La st at i que : Et ude de l qui l i br e ou de l t at de r epos des cor ps.

2.2. Dfinitions dun solide indformable

C est l e sol i de t hor i que ou i dal que l on consi dr e en st at i que ou en dynami que.En r al i t , l e sol i de par f ai t ement i ndf or mabl e n exi st e pas.Le sol i de i ndf ormabl e possde une masse const ant e et un vol ume dont l es l i mi t es sonti nvar i abl es quel ques soi ent l es act i ons extri eur es auxquel l es i l est soumi s. Ladi st ance ent r e deux poi nt s quel conques d un sol i de i ndf or mabl e est i nvar i abl e.

2.3.1. Forces extrieures

On appel l e f or ces extr i eur es, t out es act i ons exer ces par l es aut r es cor ps ( mi l i euext r i eur ) sur l e cor ps t udi .On peut cl asser l es f or ces extr i eur es en deux cat gor i es ( f i gur e 2. 2) :

1) f or ces di st ances.2) f or ces de cont act .

2.3.2. Forces extrieures de contact

Tout cont act du mi l i eu ext r i eur sur un syst me mat r i el donne nai ssance des f or cesr par t i es sur t out e sur f ace de cont act .

P

For ces magnt i ques For ces l ect r i ques Pesant eur

Fi g. 2. 2.

+ +

A d

D : Constante

B

Fi g. 2. 1.

D : Const ant e

B

Ad


2/9


2

Forces intrieuresOn appel l e f orce i nt r i eur e t out e act i on exerce par un l ment du syst me

mat r i el consi dr sur un l ment du mme syst me.

Exemple :Les poi ds sont ngl i geabl esNot r e syst me est : [ 2, 3]

For ces i nt r i eur es :3

2F ,2

3F

For ces ext r i eur es :2

1F ,2

1'F ,3

1F

2.4. Principe de glissement des forcesCe pr i nci pe t abl i t que l es condi t i ons d qui l i br e ou de mouvement d un sol i de

soumi s une f orce F r est ent i nchanges si on r empl ace cet t e f or ce par une aut r ef or ce F' de mme grandeur et de mme di r ect i on ( mme l i gne d act i on) mai s ayant un

poi nt d appl i cat i on di f f r ent de F.Les deux f orcesF et F' sont di t es qui val ent es.

2.5. Liaisons mcaniques

2.5.1. Solide libre ou corps libreUn sol i de est di t l i br e s i l peut se mouvoi r en t out e di r ecti on.

12

3

12F

21F

23F

31F

13F

32F

21'F

12'F

Fi g. 2. 4.

z

y

x

F

F F'F'

Fi g. 2. 5.

Sur f ace de cont act

Act i on de cont act de ( 2) sur ( 1)( For ces rpar t i es)

Fi g. 2. 3.

2

1


3/9


3

2.5.2. Corps liUn sol i de est di t l i s i l ne peut se mouvoi r que dans des di r ect i ons dt er mi nes

ou s i l est aj ust r est er i mmobi l e.

Dans l es pr obl mes de st at i que, l es cor ps matr i el s qui s opposent au dpl acementdu sol i de sont appel s liaisons et l es f or ces qu i l s exer cent sur l e sol i de,ractions de l i ai son.

2.5.3. LiaisonsPour r soudr e un pr obl me concer nant l qui l i br e d un cor ps sol i de, i l est

essent i el de consi dr er t out es l es f or ces agi ssant sur l ui ; i l est aussi t r si mport ant d excl ur e du pr obl me t out es l es f orces qui ne l ui sont pas di r ect ementappl i ques.La pr emi r e dmarche dans l a recher che de l a sol ut i on consi st e choi si r

j udi ci eusement l e cor ps ou l l ment du cor ps t r e i sol ( c- - d couper t outel i ai son avec l es aut r es cor ps ou l ment s) .Les f or ces ext r i eur es i nconnues i ncl uent gnr al ement l es r act i ons d appui et l esr act i ons d aut r es cor ps qui s opposent au mouvement du cor ps i sol et l econt r ai gnent rest er i mmobi l e.Les r act i ons d appui peuvent t r e di vi ses en t r oi s gr oupes qui cor r espondent auxpl usi eur s t ypes de suppor t ou l i ai son.

1) Solide en contactDans ce cas l e sol i de r epose sur une surf ace pol i e ( sans f r ot t ement ) en un poi nt

( A) .

2) Appui simple ou ( Rouleau)

- Li gne d act i on connue ( per pendi cul ai r e l a sur f ace sans f r ot t ement )- La gr andeur de R est i nconnue.

Fi g. 2. 6.

F

A

Fi g. 2. 7.

R

Fi g. 2. 8.


4/9


4

3) Articulation cylindrique (ou rotule plane)

- Pas de tr ansl at i on.- Rot at i on aut our de l a r ot ul e.- For ces i nconnues.

3)Articulation sphrique (rotule sphrique)

- Pas de tr ansl at i on.

-

Rot at i on dans t out es l es di r ect i ons.- For ces i nconnues.

5) EncastrementDans ce cas, l a r act i on est qui val ent e un systme f or ce- coupl e. Les t r oi s

i nconnues de ce syst me sont habi t uel l ement l es deux composantes de l a f orces Fx, Fyet l e moment du coupl e ( moment d encast r ement ) .

6) Liaison flexibleC est l e cas d un f i l , cor de ou une cha ne dans ce syst me l a t ensi on appl i que au

poi nt d at t ache du f i l au sol i de, di r i ge l e l ong du f i l et or i ent en dedans du f i l( cet t e t ensi on est i nconnue) .

T1 T2

R

Rx

Ry

Fi g. 2. 9.

R

z

y

x

Rz

Ry Rx

Fi g. 2. 10.

Ry

F RA Rx

eM

Fi g. 2. 11.

Fi g. 2. 12.


5/9


5

Tableau 2.1. : Diffrents types de liaisons (Ractions dappui)

2.6. Equilibre du solide dans le plan2.6.1. Principe fondamental de lquilibre (ou la statique)

Un cor ps r i gi de est en qui l i br e l or sque l es f or ces ext er nes qui agi ssent sur l uif orment un syst me qui val ent zro, c est - - di r e l e syst me des vect eur s f or cesextri eur es appl i ques l ui - mme en qui l i br e ( l a rsul t ant e et l e coupl e sont nul s) .Cet t e condi t i on ncessai r e et suf f i sant e d qui l i br e d un cor ps r i gi de t r adui tanal yt i quement par l es quat i ons :

0=F )ext( ; Somme gomt r i que des f orces ext r i eur es est nul l e.

0=)F(M )ext(O/ ; Moment r sul t ant des f or ces ext ri eur es par r appor t un poi nt

donn ( O) est nul .

Dans un syst me d axe ( r epre or t honor m ( oxy) ) : 0=F )x( , 0=F )y( et

0=)F(M )ext(O/ .

Appuis (liaisons)Ractions et

nombre dinconnus

Appui si mpl e

Roul eau Bascul e Surf ace sans f r ot t ement

n=1

F

Cbl e Bar r e ar t i cul e

n=1

F

Li gne d act i on connue

Manchon ( sans f r ot t ement ) pi vot et gl i ssi r e

n=1

F 90

Li gne d act i on connue

Rot ul e pl ane sur f ace avec f r ot t ement

n=2

Force i nconnue

Encast r ement

n=3

Fx

MeFx

Force et coupl ei nconnus


6/9


6

2.6.2. Moment dune force par rapport un point

C est l a capaci t d une f or ce de f ai r e t our ner un sol i de aut our d un axe.Par df i ni t i on :

FOA=MO/r

, )sin(.F.OA=M/O , pui sque )s i n(.OA= h , donc : h.F=M/ O

2.6.2. Moment dun coupleOn appel l e coupl e l ensembl e de deux f or ces gal es, opposes et de l i gnes d act i on

par al l l es. Un t el ensembl e de f or ces F et 'F , de mme gr andeur F, est schmat i s l a ( f i gur e 2. 2)Si on appel l e d1 et d2, r espect i vement , l es per pendi cul ai r es abai sses de O sur l esl i gnes d act i on de F et F , nous pouvons cr i r e que l a somme M des moment s des deuxf or ces par r appor t au poi nt O vaut :

2211O/ d.F-d.F=)FOB(+)'FOA(=M

)d-d(.F=M 21O/

Or , on not e que )d-d( 21 est l a di st ance ent r e l es l i gnes

d act i on des f orces donnes. D o d.F=MO/

Cet t e somme des moment s est appel e l e moment du coupl e.Ce moment est i ndpendant du choi x du poi nt O.

2.6.3. Thorme de VarignonCe t hor me, t r s i mport ant dans l tude de l a st at i que, est d au mathmat i ci en

f r anai s Var i gnon ( 1654- 1722) . I l st i pul e que l e moment d une f or ce par r apport unaxe quel conque est gal l a somme des moment s de ses composant es par r appor t au mmeaxe.

Pour dmont r er ce thor me, consi dr ons l a f orce F appl i que au poi nt A, et ses

composant es sui vant deux di r ect i ons quel conques 1F et 2F ( f i gur e 2. 15. a) . Le moment

de F par r appor t un axe quel conque passant par O est ( FOA=MO/

r

) donc d.F=MO/ ,o d r epr sent e l a l ongueur de l a per pendi cul ai r e abai sse de O sur l a l i gne d act i on

de F . D aut r e par t , 2211 d.Fetd.F sont l es moment s des composant es 1F et 2F de

l a f or ce F , d1 et d2 r epr sent ant l a l ongueur de l a perpendi cul ai r e abai sse du

poi nt O r espect i vement sur l es l i gnes d act i on de 1F et 2F . Nous nous proposons de

mont r er que : O/2O/1O/ M+M=M

)FOA(+)FOA(=FOA 21 c- - d. : 2211 d.F+d.F=d.F

D une f aon gnr al e et pour n f or ces ( f i gur e 2. 15. b) :

)(+...+)(+)(+)(+)(+)(= n54321/ O FOAFOAFOAFOAFOAFOAFOA=M

4342143421434214342143421

nM

1

4M

4

3M

3

2M

2

1M

1/ O FOAFOAFOAFOAFOA=M +...++++

O OA F

h A

Fi g. 2. 13.

A

'F=F A

F 'F

2d B

d

1d Fi g. 2. 14

O


7/9


7

)+...+++++( n54321/ O FFFFFFOA=M , FOA=M/ O

2.6.4. Cas particulier de lquilibre du solide

2.6.4.1. Solide en quilibre sous laction de deux forcesPrincipe :

Un cas par t i cul i er qui pr sent e un gr and i nt r t est cel ui d un cor ps r i gi de soumi s l act i on de deux f or ces. I l est vi dent que si ce cor ps est en qui l i br e, l es deuxf or ces doi vent t r e gal es, opposes et avoi r l a mme l i gne de di r ect i on.

Nous ddui sons, d apr s l es quat i ons d qui l i br e ( 0=Fx et 0=Fy ) , que l es

f or ces 1F et 2F doi vent avoi r l a mme grandeur et des sens opposs ( f i gur e 2. 16) .

c- - d que : 21 F-=F

D aut r e part , pour que cet t e pi ce soi t en qui l i bre, l a somme des moment s de F1 et

F2 par r appor t n i mpor t e quel poi nt doi t t r e nul l e 0=Mpt/ .

Addi t i onnons d abord l es moment s par r appor t au poi nt ( A) . Le moment de F1 estmani f est ement nul , l e moment de F2 doi t aussi t r e nul et pour cel a, l a l i gne dedi r ect i on de F2 doi t passer par l e poi nt ( A) .

o 1F F

2F

A

3F 4F

nF

o d1 1F

Fd

d2

2F

A

(a ) (b)Fi g. : 2. 15

1F 2F A B

h2h1

Fi g. 2. 16.

1F A B

2F

h2=0 h1

A B

1F h2=0 h1=0 2F

Fi g. 2. 17.


8/9


8

donc :

0=)F(M+)F(M=M 2A/1A/A/ , 0=hdonc0=)F(M 22A/

En addi t i onnant l es moment s par r apport ( B) , nous const atons que l a l i gned act i on de F1 doi t aussi passer par l e poi nt ( B) . I l en r sul t e que F1 et F2 doi ventavoi r l a mme l i gne d act i on ( l a dr oi t e AB) .

0=)F(M+)F(M=M 2B/1B/B/ , 0=hdonc0=)F(M 11B/

Donc i l f aut que l a l i gne d act i on de 2F passe par A ai nsi cel l e de 1F par B.

Pour qu un sol i de soi t en qui l i br e sous l acti on de deux f or ces, i l f aut et i lsuf f i t que l es deux f or ces soi ent gal es et di r ect ement opposes.

2.6.4.2. Solide en quilibre sous laction de trois forcesUn deuxi me cas de gr and i nt r t pr at i que et cel ui d un cor ps r i gi de en qui l i br e

sous l act i on d un syst me de f or ces qui peut t r e rdui t en tr oi s f or ces r sul t ant es

appl i ques r espect i vement aux poi nt A, B et C ( Fi g. 2. 18. a)Nous al l ons dmont r er que si l e cor ps r i gi de est en qui l i br e, ces t r oi s f or cessont ou bi en concour ant es, ou bi en par al l l es.

Les t r oi s f or ces sont donc concour ant es. La seul e except i on est cel l e o l es t r oi sf or ces ne sont pas i nt er sectes ( l eur s l i gne d acti on ser ont al or s par al l l es) .

On peut cr i r e :

0=)F(M+)F(M+)F(M=M 3O/2O/1O/O/ , 0=)F(M 3O/

0

O

3F

C

B

A 2F

1F

Fi g. 2. 18. b

O

3F

C

B

A 2F

1F

Fi g. 2. 18. c

0

3F

C

B

A 2F

1F

Fi g. 2. 18. a

Pui sque l e cor ps et en qui l i br e, l a somme desmoments des f or ces F1 F2 et F3 par r appor t n i mpor t e quel axe doi t t r e nul l e.Consi dr ons l e poi nt O, l e poi nt d i nt er sect i onde F1 et F2, et annul ons l a somme des moment s

par r appor t ce poi nt )0=M(O/

de tout es

l es f or ces par r appor t O. Comme l es moment sde F1 et F2 sont nul s (l eur l i gnes d acti onpassent par O , voi r Fi g. 2. 18. b) , i l s ensui t

que l e moment de F3 par r appor t O est aussinul et sa l i gne d act i on passe par l e poi nt O(F i g. 2. 18. c) .


9/9


9

0=FOC=)F(M

0=FOB=)F(M

0=FOA=)F(M

33O/

22O/

11O/

Conclusion :

On peut di r e que si on a un cor ps sol i de sous t r oi s f or ces. Ce cor ps est enqui l i bre s i :

- Ces t r oi s f or ces sont copl anai r es.- Dans ce pl an, el l es sont soi t concour ant es, soi t par al l l es.

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