M3 - STATIQUE DU SOLIDE

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°1 :

Calcul du moment : force x bras de levier

Calcul du moment : produit vectoriel

•Expression littéral : MO(F) = ± F x d

•Application numérique : MO(F) = - (100 N x 0,13 m) = -13 N.m

•Expression littéral : MO(F) = OA ^ F•Application numérique :

MO(F) = OA ^ F

0,13

0 ^

0

0

-100 =

0

0

0

-13 N.m

y

X

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°2 :

Représenter les actions de contact A 2/1 (Fig 1) et B 1/2 (Fig 2)

Echelle : 1mm 5NA 2/1 = 100 NB 1/2 = 160 N

Fig. 2

X

y

Fig. 1

10°Plan

tangent

Action normale au contact

A 2/1

Plan tangent

B 1/2

AB

10°

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°2 :

Modéliser sous forme de torseur les actions de l’exercice 2

Echelle : 1mm 5NA 2/1 = 100 N

Fig. 1

x

y

A

A 2/1

{TA,2/1}=0YA

0

000

A XYZ

X

Y

{TA,2/1}=xA

yA

0

000

A xyz

xA = A cos 100° = -17,4NyA = A sin 100° = 98,5N

avec

Avec YA = A

* Dans le repère local (A,XYZ) associé au contact

* Dans le repère général (O,xyz) (le plus courant)

X+

100°

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°2 :

Modéliser sous forme de torseur les actions de l’exercice 2

Echelle : 1mm 5NB 1/2 = 160 N

Fig. 2x

y

BB 1/2

{TB,1/2}=xB

00

000

B xyz

xB = B cos 180° = - B = - 160Navec

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°3 :

Compléter la relation Torseur – Mobilités – Liaison

X0Z

LMN

{TA,1/2}=

Ponctuelle de normale X

TX0TZ

0RY0

0TY0

000

0TYTZ

RXRYRZ

{TA,1/2}=0Y0

L0N

{TA,1/2}=X00

000

Appui plan de normale Y

Glissière d’axe Y

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°4 :

Ecrire le torseur de l’action mécanique en A de 1 sur 2

A

1

2Liaison Pivot d’axe A z

000

00Rz

ddl

A xyz

XA

YA

ZA

LA

MA

0Torseur {TA,1/2}=

A xyz

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniques

Exercice n°5 :

Modéliser les actions mécaniques du poids P et du vérin 4

 

Données : Diamètre piston 4 : 30 mm

Pression utilisée : 50 bars

70°

0-500daN0

P 000

ML(P)

000

{TL, P } = L xyz

0-5000

000

MG(G4/5)

000

{TG, 4/5 } =

G xyz

121daN332daN0

G 4/5

XG = G cos70°YG = G sin70°0

G 4/5

Avec G = p . S = p . R2

= 50bars . (1,5cm)2

= 353 daN

STATIQUE DU SOLIDE I – les actions mécaniquesExercice n°6 :

Modéliser les actions mécaniques en B de 2/1 , en O de 4/1 et en C de 3/1.

 

Données : Raideur : k = 30 daN/mm longueur libre lo = 10 mm ; EC = 20 mm

000

* {TB, 2/1 }=

B xyz

XBYB0 B 2/1

XB = B cos 150°YB = B sin 150°

avec

LOMO0

* {TO, 4/1 }=

O xyz

XOYOZO

Ddl : Rzavec

000

* {TC, 3/1 }=

C xyz

XC00

XC = C cos 180° = - C = -k .L = -30 .(20-10)= -300daNavec

C 3/1

X+

150°

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS

Exercice n°7 :

Determiner graphiquement les actions en A, C et D puis vous vérifierez analytiquement vos résultats (P=2000daN)

1350

800

30°

A

D

C

1

3

2

160

P (20000N)

y

x

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 

21

3

P

P(Cz)

P(Az)

P (Dz)

(20000N)

1°/ Etablir le graphe des actions mécaniques :

1350

800

30°

A

D

C

1

3

2

160

P (20000N)

y

x

C3/2

A1/2

D1/3C2/3

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 

2°/ Ordonnancer les isolements :

Méthode :

-On isole les systèmes à deux forces

-On isole les systèmes à trois forces en partant de l’effort connu

-On n’isole jamais le bâti

21

3

P

P(Cz)

P(Az)

P (Dz)

(20000N)

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 

3°/ Étude de l’équilibre du tirant 3:

-On isole le tirant 3 :

-On exprime le Principe Fondamental de la statique à deux forces :

   Le tirant 3 soumis à 2 forces est en équilibre ssi :=> Les 2 forces ont la même direction (ou support)

=> Elles sont de sens opposés (traction ou compression)=> Elles sont de norme égale

-On en conclut que la direction des forces est la droite CD

-On fait le bilan des actions extérieures à 3 :

??D 1/3

??C 2/3

normeDirection + sensForces

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 

-On isole la potence 2 :

-On exprime le Principe Fondamental de la statique à trois forces :

   La potence 2 soumis à 3 forces est en équilibre ssi :=> Elles sont // ou concourantes en un point (I). (car ΣMoment en I = 0)  => La somme des forces est égale à zéro. (le dynamique est fermé) On constate dans le tableau que les forces sont concourantes

-On fait le bilan des actions extérieures à 2 :

?DCC 3/2

??A 1/2

20000 NP

normeDirection + sensForces

4°/ Étude de l’équilibre de la potence 2:

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS

Direction de P

C 3/2 (22200N)

A 1/2 (2

1200N)

P

-On donne les résultats :

1350 800

30°

A

D

C

1

3

2

160

P (20000N)

y

x

Direction de C 3/2

Direction de A

1/2

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS 

Vérification analytique de l’équilibre de 2 :

-On isole 2 :

-Bilan des actions extérieures à 2 :

On constate dans le bilan 3 inconnues : C3/2, XA et YAOn peut résoudre

*{TG, P } = 000G xyz

0-200000

{T(2)/(2)}A = {0} -On exprime le PFS :

*{TA, 1/2 } = 000A xyz

XAYA0

avec ddl: Rz =>NA=0

et plan sym(xy) =>ZA,LA,MA=0

*{TC, 3/2 } = 000C xyz

XcYc0

avecXC = C3/2 cos150°YC = C3/2 sin 150°

Direction connue

Sens et norme inconnus

STATIQUE DU SOLIDE II – le PFS

-Changement de centre de réduction des torseurs en A :

001214.C3/2A xyz

XcYc0

*{TC, 3/2 } = avecXC = C3/2 cos150°YC = C3/2 sin 150°

*{TA, 1/2 } = 000A xyz

XAYA0

*{TG, P } = 00-27.106A xyz

0-200000

-Équations d’équilibre :(1) : XA + C3/2 cos 150° = 0

(2) : YA + C3/2 sin 150° - 20000 =

0 (3) : 1214 . C3/2 – 27.106 = 0

avec MA = MG + AG ^ P 0

0 + 0

0 -20000 = 0

1350 0 ^ 0

0 0 -27 .106

avec MA = MC + AC ^ C3/2

0 0 + 0

C3/2 cos150°C3/2 sin150° = 0

2150 160 ^ 0

0 0 1214 . C3/2

- Résultats : (3) : C 3/2 = 22249 N (1) : XA = 19268 N (2) : YA = 8875 N A1/2=21214N

(Utiliser Pythagore)