Chapitre II: Notions de base de la RDM

Objet de la RDM:

La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation dessolides (arbres de transmission, bâtiments, diverses pièces mécaniques…) dans lebut de déterminer ou vérifier leurs dimensions afin qu’ils supportent les chargesqu’ils subissent, dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au meilleur coût(optimisation des formes, des dimensions, des matériaux…) .Son domaine d’application étant très large et les situations rencontréesnombreuses et variées, il est nécessaire de mettre en place des hypothèsessimplificatrices dans le but de standardiser les cas d’étude.

La résistance des matériaux n’étudie que des solides de formes simples : les «poutres » par exemple. Bien souvent, il est possible de modéliser des solides parune poutre, à la condition que ceux-ci respectent certaines hypothèses(hypothèses de la RDM)

Notion de poutreOn appelle poutre un solide engendré par la translation d ’une surface plane S dont le centrede gravité décrit une ligne plane (ligne contenue dans un plan)

- La surface plane est en général appelée section droite (S) (son plan (P) est normal à la ligneplane passant par son centre de gravité Gi)- La ligne plane est appelée ligne moyenne et constituée de l ’ensemble des centres de gravitédes sections droites.

G0Gi

Gn

Ligne

moyenne

Section droite

(P)

Exemples de poutres:

Poutre DroitePoutre droite creuse

AnneauPoutre de ligne moyennefermée

Poutre courbe

R

R: rayon de courbure

Exemple de sections droites:

(P) Pour tous les profilés (P) est plan de symétrie(P)

(P)(P) (P)

(P)(P)

Torseur des efforts intérieurs s’exerçant sur une section droite de la poutre:

G

C-C+

Ligne moyenne

d ’une poutre

Coupure

en G

extR

extM

extR

extM

Le calcul des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs se fait en deux étapes:

1- détermination du torseur des efforts extérieurs:Le calcul des actions aux liaisons se fait en posant les équations d’équilibre de la poutre2- calcul des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs:Soit (P) un plan fictif coupant la poutre en deux parties C- et C+ suivant une section droite

G

C-

Partie Gauche

isolée

GR

Gm

x

y

z

(G, x, y, z): trièdre orthonormé direct x: axe tangent en G à la ligne moyenne

(y, z): plan de coupe contenant la section de coupe

GG

G

Gext

ext

Gext

ext

m

R

M

R

M

R

0

0

Gext

ext

Gext

ext

M

R

M

RActions des efforts extérieurs

qui s ’appliquent sur C+

Actions de la partie C+ sur

la partie C-

Equilibre

0

0

GG

G

Gext

ext

m

R

M

R

Equilibre de la poutre

Equilibre du tronçon C-

Gext

ext

Gext

ext

GG

G

M

R

M

R

m

R

L’équilibre du tronçon C- permet de calculer les efforts intérieurs à partir des efforts extérieurs sur les tronçon C- ou C+:

Actions des efforts extérieurs

qui s ’appliquent sur C-

Bilan des efforts sur C- et C+:

Ici on calcule l’effort intérieur de la partie C+ sur C-L’effort intérieur de C-sur C+ est l’opposé du premier

Exemple:

A

B

C

F

A B

RA RCF

Actions de liaison

Charge

y

x

C

Le torseur des efforts intérieurs se calcule de la manière suivante:

Gext

ext

Gext

ext

GG

G

M

R

M

R

m

R

D’où

G

AG

AG

RGAM

RR

zmfymfxmm

zTyTxNR

zytG

zyG

Les projections du torseur des efforts intérieurs sur les axes x, y, et z donnent:N : Effort normal

Ti : Effort tranchant dans la direction i (y ou z)

mt : Moment de torsion autour de la ligne

moyenne

mfi : Moment fléchissant suivant la direction i

(y ou z)

Notion de Contrainte

Avant de définir ce qu’est une contrainte, certaines hypothèses sur le matériau s’imposent

Continuité de la matièreLorsqu’on regarde au microscope la coupe d’une pièce en métal, on voit généralement une structure fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont très petites par rapport aux dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées.On peut alors raisonnablement considérer le matériau comme continu.

Structure granulaire d’un métal

Homogénéité

On admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points. Cela est à

peu près vérifié pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que cette hypothèse n’est qu’une

grossière approximation pour les matériaux tels que le bois ou le béton.

Isotropie

On admet que les matériaux étudiés ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques

dans toutes les directions. Cela est à peu près vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette

hypothèse est loin de la réalité pour le bois et les matériaux composites par exemple.

Ainsi les efforts intérieurs sont indépendants de la position de la particule dans le milieu

Continu considéré

Considérons une poutre droite subissant plusieurs forces ponctuelles

S

fi

S

1/2

0lim

Le point M étant le centre de l’élément de surface S de la section (S).fi est appliquée à S et représente la force interne en M .

Le rapport représente la force interne en M par unité de surface

Le passage à la limite est opéré en vertu de la continuité du milieu

S

f i

Unité de contrainte: Le Pascal noté [Pa]Cette unité étant petite nous adoptons le Méga-pascal noté [MPa]1MPa = 1N/mm2

Les Hypothèses de la RDM:

Dans le cadre de la RDM certaines hypothèses simplificatrices sont posées

1/ Matériaux parfaitement élastiquesLes matériaux considérés sont des matériaux continus, homogènes et isotropesLeur élasticité est considérée parfaite (matériaux parfaitement élastiques)c’est-à-dire qu’il existe une relation de proportionnalité entre la déformation et l’effort qui la provoque (Déformation = . Effort)

2/ hypothèse des petites déformationsLes déformations subies par la structure sont faibles par rapport à ses dimensions

3/ hypothèse de Saint-VenantÀ une distance suffisamment éloignée de la zone d’application des charges l’action mécanique exercée sur la structure s’exprime en terme du torseur des efforts extérieurs appliqué à celui-ci.

Les résultats de la RDM ne s’applique valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d’application des forces concentrées. En effet, nous ne pouvons pas, avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales autour d’un point d’application d’une force.

4/ hypothèse de Navier-BernouilliToute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après l’application des charges.On dit qu’il n’y a pas de gauchissement des sections.

Remarque: Compte tenu des hypothèses 2 et 4, on peut admettre que les forces extérieures conservent une direction constante avant et après déformation

Les sollicitations mécaniques

Définition: une sollicitation mécanique est une action mécanique appliquée à une certaine structure considérée comme système matérielCes sollicitations peuvent être simples ou composées

On dit qu’une sollicitation est simple quand elle engendre un torseur des efforts intérieurs ayant une seule composante de force « ou bien » de moment(N, T, MT ou Mf)

Une sollicitation composée est donc une sollicitation qui engendre un torseur des efforts intérieurs ayant au moins deux composantes de force ou de moment

Les cas de sollicitations simples et composées les plus courants sont donnés dans le tableau suivant:

Les essais mécaniques

On distingue essentiellement deux types d’essais mécaniques

•Les essais destructifs sur éprouvette: la pièce est détruite pendant l’essais

•Les essais non destructifs: la pièce n’est pas détruite

Ce sont des expériences ayant pour but la détermination de certaines caractéristiques mécaniques des matériaux.

Parmi ces essais, l’essai de traction est le plus couramment rencontré

Les trois photos ci-contre représentent respectivement, une éprouvette cylindrique, une éprouvette plate et un détail d’uneéprouvette cylindrique montée dans des morsd’une machine de traction.

L’essai de traction

L’essai de traction permet à lui seul de définir les caractéristiques mécaniques courantes utilisées en RDM. La seule connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en cisaillement, traction, compression et flexion.

d

S0FF

L0

Lc

Tête d’amarrage

L0= k √S0 = Longueur utile de l’éprouvette

LC= L0 + 2d =Longueur calibréeS0 = section de l’éprouvette

La valeur de k dépend du matériauk = 5,65 pour les aciers, fontes à graphite sphéroïdalk = 3 pour les fontes malléables

Détails d’une éprouvette cylindrique:

L’essai est réalisé sur une machine de traction (photo ci-contre) : on applique lentement et progressivement à une éprouvette de forme et dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F.

La machine enregistre un diagramme donnant la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge.Les résultats sont sous forme de courbes de traction

Diagramme de traction d’un matériau ductile ou malléable

Zone élastique OA :

l’éprouvette se comporte élastiquement (comme un ressort) et revient toujours à sa longueur initiale dès que la charge est relâchée. Le point A, auquel correspond la limite élastique Re, marque la fin de cette zone. La proportionnalité entre la contrainte et la déformation se traduit par la

loi de Hooke ( = E ). E = tan caractérise la pente de la droite OA et = E son équation.

Zone de déformation plastique AE :

on distingue encore trois zones BC, CD et DE. Dans la zone BC, parfaitement plastique, la contrainte reste constante et l’allongement se poursuit jusqu’en C. Entre C et D, zone d’écrouissage, le matériau subit un changement de structure qui accroît sa résistance. Le point D, auquel correspond la résistance maximale Rm, marque la fin de cette zone. Enfin, entre D et E, l’éprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec étranglement. La rupture se produit au point E, auquel correspond la résistance à la rupture Rr.

Caractéristiques fondamentales

est appelé aussi allongement unitaire ou dilatation linéique relative

Coefficient de striction 0

0

S

SSz u S0: section de l’éprouvette

Su: section à l’endroit de la rupture

Limite élastique

Résistance à la rupture

Coefficientd’allongement

Allongement relatif

Pour des déformations élastiques, les dimensions de la section droite ne varient pratiquement pas. Il apparait en tout point de cette section des contraintes normales uniformément réparties vérifiant la relation:

0S

N

N étant l’effort normal sur S0

(S) constante, donc analogie entre les courbes « effort-allongement » et « contrainte – déformation »

La courbe ci-contre représente le comportement d’un matériau fragile. Dans ce cas, la courbe se réduit presque à la zone de déformation élastique.

Contraintes dans une section

La loi de proportionnalité entre la contrainte et l’allongement relatif est appelée

Loi de Hooke: = E E: module d ’élasticité longitudinales ou module de YoungUnité : N/mm2 ou MPaCe module est une constante pour le matériau, il définit son élasticité longitudinale

Coefficient de Poisson

L’allongement provoque une contraction du diamètre de l’éprouvette.On appelle coefficient de Poisson le rapport:

e

e'

0L

Le

Avec : et

0

0'D

DDe u

D0: diamètre initialDu : diamètre à l’endroit

de la rupturee’: rétrécissement relatif

transversale

0,25< < 0,3 pour tous les métaux

Remarque: intervient en élasticité

I

J

Pour une charge supérieure à la limite élastique, la suppression progressive de l’effort ou décharge se fait suivant (I J) // à (OA)Le segment OJ est appelé allongement rémanent

Re2

Le second chargement se fait de J à I puis de I à E.On constate:

- La limite élastique a augmenté Re2

- Le palier BC à disparu Ce phénomène est appelé écrouissage il correspond à un durcissement du matériau.

Ecrouissage

Les autres essais mécaniques destructifs ou non sont utilisés pour déterminerd’autres propriétés mécaniques des matériaux:

Essai de compression

Essai de torsion

Essai de dureté

Essai de résilience

Essai de fatigue

Les organes soumis à des efforts variables et répétés se rompent sans que la Contrainte en chaque point du matériau ait dépassé la limite élastique.On dit que la rupture se produit par fatigue.

La limite de fatigue conventionnelle désignée par D, est la valeur de la contrainte maximum qui, appliquée périodiquement et de façon indéfinie n’entraine pas de rupture.

Coefficient de sécurité et résistance pratique

Pour qu’une structure (machine, véhicule, immeuble…) puisse supporter en toute sécurité les charges qui normalement la sollicitent, il suffit qu’elle puisse résister à des charges plus élevées. La capacité à supporter ces charges s’appelle la résistance de la structure. Le coefficient de sécurité s est alors défini par :

Un coefficient de sécurité trop faible augmente exagérément les risques de rupture. Un coefficient de sécurité trop élevé a également des effets néfastes : augmentation du poids, du prix de revient… s varie le plus souvent de 1 à 10.

Pour un grand nombre de structures, la sécurité est obtenue si, sous charge, les déformations du matériau restent élastiques. Ceci est réalisé lorsque les contraintes en n’importe quel point de la structure restent inférieures à la limite élastique Re (ou Re

0.2) du matériau. s est alors défini par :

exercéesmenthabituelleesch

structurelaparsadmissibleesChs

arg

arg

Pour les matériaux fragiles (béton, fontes, bois,….) il est préférable d’utiliser La résistance à la rupture:

p

r

R

Rs Rr: limite à la rupture du matériau

La valeur de s est alors plus grande dans ce cas

Remarque: dans certaines industries (aérospatiale), on parle plutôt de marge de sécurité m, (m = s – 1)

p

e

R

Rs

Re: limite élastique du matériauRp: résistance pratique (contrainte tolérée dans la

structure)