Chapitre I: - Calcul Actuariel à Court Terme

L’intérêt simpleL’escompte à intérêts simples

Chapitre I:Calcul Actuariel à Court Terme

Université de ManoubaÉcole Supérieure de l’Économie Numérique

2019-2020

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DéfinitionPrincipes et champs d’applicationValeur acquiseTaux proportionnelsTaux moyen de placement

Sommaire

1 L’intérêt simpleDéfinitionPrincipes et champs d’applicationValeur acquiseTaux proportionnelsTaux moyen de placement

2 L’escompte à intérêts simples

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Définition

L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent.

C’est le prix à payer par l’emprunteur au prêteur, pour rémunérer leservice rendu par la mise à disposition d’une somme d’argent appelécapital pendant une période de temps.

Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l’intérêt :

1 la somme prêtée noté Co.2 la durée du prêt notée n.3 le taux auquel cette somme est prêtée noté t ou i .

Il y a deux types d’intérêt : l’intérêt simple et l’intérêt composé.

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Principes et champs d’application

Principes

L’intérêt simple se calcule toujours sur le même capital principal. Il nes’ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt.

Dans le calcul des intérêts simples, le capital ne varie pas au cours dutemps. Les intérêts payés sont égaux de période en période.

L’intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme(inférieures à un an).

Les intérêts sont versés à la fin de chacune des périodes de prêt.

Le montant des intérêts est proportionnel au capital prêté et à la duréedu prêt.

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Calcul pratique

Considérons un capital Co placé au taux t pendant une périodedéterminée n. Le montant des intérêts I au bout de cette période estdonné par :

I = Co × t × n (1)

Si t représente un taux annuel alors n doit être exprimé en années.

Si t représente un taux semestriel alors n doit être exprimé ensemestres....

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Applications

Exemple 1

Une personne décide de placer 750 DT sur un compte qui rapporte 6 % paran. Quel est le montant des intérêts touchés au bout de deux ans deplacement?

1 Co = 750 DT

2 t= 0,06

3 n=2

4 I=Co ∗ t ∗ nI = 750 ∗ 0, 06 ∗ 2 = 90DT

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Applications

Exemple 2

Supposons que cette même personne décide de récupérer son argent aprèshuit mois de placement. Quel est le montant des intérêts touchés au bout deshuit mois de placement?

5 Dans ce cas n est donné en mois on doit l’exprimer en années : alorsn=8/12 années.

Co = 750DTt = 0, 06

n= années

D’ou I=Co.t .n = 750 ∗ 0, 06 ∗ 8/12= 30DT

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Applications

Exemple 3

Après dix jours de placement, la personne revient sur sa décision. Quel est lemontant des intérêts touchés au bout de dix jours de placement?

Co = 750 DT

t= 0,06

n= années

On a I=Co.t.n

I= 750 * 0,06 *10/360 = 1,25 DT

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Applications

Exemple 4

Une personne place son argent du 15 mai au 20 juillet. Calculer le montantdes intérêts perçus après cette période.

Dans ce cas, il faut calculer le nombre de jours écoulés entre les deuxdates données.

Ici on a : (31 - 15) + 30 + 20 = 66 jours entre les deux dates.

On calcule alors le montant des intérêts pour ces 66 jours, soit :

I= 750 * 0,06 *66/360 = 8,25 DT

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Valeur acquise

La valeur acquise A par un capital Co est la valeur de ce capitalaugmenté des intérêts I qu’il a produit pendant la période deplacement :

A = Co + I (2)

Exemple : Un capital de 750 DT placé à 6 % pendant deux ans donneune valeur acquise de : 750 + 90 = 840 DT.

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Applications

Exemple 1

1. Combien dois-je prêter, au taux de 5 %, pour me faire rembourser 1000DT dans 2 ans?

Dans ce cas, l’inconnu (X) est le montant à prêter aujourd’hui pourqu’au bout de la deuxième année je reçois un remboursement de 1000DT

A=X+I=X(1+2*5%)=1000

d’où X=1000/(1+2*5%)=909 DT

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Applications

Exemple 2

Dans le même cas précédent (j’ai prêter 909 DT), supposons que nousaurons besoin de 1100 DT dans 2 ans au lieu de 1000 DT. Quel serait le taux(annuel) d’intérêt simple qui permet un tel remboursement?

909(1+2*t)=1100

2*t=1100/909 -1

t=1/2[1100/909 -1]=10,5%

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Taux proportionnels

Les taux proportionnels au taux annuel ta sont respectivement :

ta/360 = taux proportionnels quotidien tj

ta/12 = taux proportionnels mensuel tm

ta/4 = taux proportionnels trimestriel tt

ta/2 = taux proportionnels semestriel ts

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Application

Exemple

Soit un taux annuel de 0.06 :

Le taux mensuel proportionnel correspondant est :0.06/12=0.005

Calcul de l’intérêt rapporté par un capital de 5000 DT placé pendant 9mois :

Au taux annuel (0.06)⇒ 5000*9/12*0.06=225 DT

Au taux mensuel (0.005)⇒ 5000*9*0.005=225 DT

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Taux moyen de placement

Définition

On appelle taux moyen de plusieurs placements le taux unique auquel ilaurait fallu placer les mêmes capitaux pendant les mêmes périodes de tempspour obtenir le même intérêt.

Exemple :

On place 900 DT à 4,5% pendant 90 jours et 600 DT à 6,5% pendant 150jours,

L’intérêt I total produit par ces placements est :[900*0.045*(90/360)]+[600*0.065*(150/360)]=26.375 DT

On cherche le taux moyen tm auquel il aurait fallu placer ces capitauxpendant les mêmes durées pour obtenir le même intérêt.

On a donc à résoudre : [900*tm*(90/360)]+[600*tm*(150/360)]=26.375DT

d’où tm = 0,055, soit un taux moyen de 5,5 %.

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L’intérêt total de l’ensemble de placements

I =∑

Coi .ti .ni

360(3)

Taux moyen des placements

tm =∑

Coi .ti .ni∑Coi .ni

(4)

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Applications

Exemple 1

900 DT à 6 % pendant 58 jours,

1 900 DT à 13 % pendant 75 jours,

400 DT à 8 % pendant 25 jours.

Déterminer le taux moyen de placement.(solution=10.97%)

Exemple 2

3800 DT à 4.5 % pendant 51 jours,

6420 DT à 6.2 % pendant 67 jours,

780 DT à 5.5 % pendant 82 jours.

100 à 4.8% pendant 97 jours

Déterminer le taux moyen de placement. (solution=5.64%)

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Explication

L’intérêt I total est la somme de tous les intérêts à différents taux.(I = I1 + I2 + I3 + ....In)

Exemple(1)

1 I1 = (900 ∗ 0.06 ∗ 58/360) = 8.72 I2 = (1900 ∗ 0.13 ∗ 75/360) = 51.463 I3 = (400 ∗ 0.08 ∗ 25/360) = 2.224 I = 8.7 + 51.46 + 2.22 = 62.38

Le taux moyen des placements= ((900*0.06*58)+(1900*0.13*75)+(400*0.08*25))/((900*58)+(1900*75)+(400*25))=10.97%

ou encore

Le taux moyen des placements=(360*I)/((900*58)+(1900*75)+(400*25))

Le taux moyen desplacements=(360*62.38)/((900*58)+(1900*75)+(400*25))=10.97%

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Escompte commercialEscompte rationnelLe Coût du crédit à l’escompteintérêt précompté et taux effectif de placementÉquivalence de deux capitaux

Sommaire

1 L’intérêt simple

2 L’escompte à intérêts simplesEscompte commercialEscompte rationnelLe Coût du crédit à l’escompteintérêt précompté et taux effectif de placementÉquivalence de deux capitaux

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L’escompte à intérêts simples

L’effet de commerce

Lorsqu’un fournisseur vend à un client des marchandises et que lerèglement doit intervenir après la date d’achat, le fournisseur(lecréancier), doit donc attendre la date convenue (échéance), pourencaisser son argent (créance).

Si le fournisseur a besoin d’argent, avant la date d’échéance, il peutdemander à sa banque une avance garantie par la créance qu’ilpossède. Pour cela il doit justifier, par un document écrit, l’existencede cette créance. Cette preuve écrite est appelée effet de commerce :

Le client (le débiteur) rédige un papier dans lequel il promet de payer àson fournisseur le montant M, à la date d’échéance : c’est le billet àordre ;

Le débiteur peut uniquement apposer sa signature sur un papier rédigépar le créancier reconnaissant l’existence de la dette. c’est la lettre dechange ou traite.

En vendant l’effet de commerce à sa banque, le créancier remet soneffet à l’escompte.

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L’escompte simple

Ce type d’escompte est utilisé lorsque la durée qui sépare la date deprésentation de l’effet à l’escompte et la date de l’échéance de l’effet estinférieure à un an. On distingue :

Escompte commercial

Escompte rationnel

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Escompte commercial

Calcul de l’escompte commercial

L’escompte commercial est l’intérêt produit par la valeur nominale de l’effet, àun taux d’intérêt simple, appelé taux d’escompte, pendant la durée quisépare la date de remise à l’escompte et la date d’échéance.

E = VN.n.t (5)

E : Escompte commercial produit par l’effet de commerce ;

VN : valeur nominale de l’effet de commerce ;

n : durée d’escompte ;

t : taux d’escompte.

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Calcul de l’escompte commercial

L’opération d’escompte est une opération à court terme, la durée estexprimée en nombre de jours qui sépare la date de remise à l’escompte del’effet de la date d’échéance, si n est le nombre de jours (il y a 360 jours dansune année commerciale) la formule de calcul de l’escompte commercialdevient :

E = VN.(n/360).t (6)

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Applications

Exemple 1

Calculer l’escompte produit par un effet de commerce d’une valeur nominalede 40 000 DT dont l’échéance est le 30 novembre, s’il est remis à l’escomptele 5 octobre de la même année au taux d’escompte de 12%.

Solution

La durée d’escompte est le nombre de jours qui sépare le 5 octobre du30 novembre soit 56 jours.

L’escompte commercial produit par cet effet de commerce est

E = (40000*0.12*(56/360))=746.67DT

Le créancier doit attendre la date du 30 novembre pour disposer dumontant de 40 000 DT, par contre s’il veut disposer de son argent le 5octobre il doit payer à la banque 746,67 DT et ne recevoir que : 40000,00 - 746,67 = 39 253,33 DT

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Applications

Exemple 2

Calculer la valeur nominale d’un effet de commerce qui, escompté à 9%,pour une durée de 65 jours, coûte un escompte de 345,25 DT. (Solution :VN= 21 246.15 DT)

Exemple 3

: Calculer la durée d’échéance d’un effet de commerce de valeur nominaled’un montant de 5 000 DT, qui escompté à 9%, produit un escompte de75DT.(Solution : n=60j)

Exemple 4

: Calculer le taux d’escompte d’un effet de commerce de valeur nominale 15000 DT, qui escompté pendant une durée de 60 jours, produit un escomptede 250 DT. (Solution t = 10%)

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Valeur escomptée

La banque remet au client la différence entre la valeur nominale de l’effet etl’escompte, cette différence est appelée valeur actuelle de l’effet ou valeurescomptée (notée VE)

VE = VN − E = VN(1 − ((t ∗ n)/360)) (7)

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Applications

Exemple 1

Calculer la valeur actuelle d’un effet de commerce de valeur nominale 15 000DT, d’échéance le 15 juin s’il est remis à l’escompte le 13 avril de la mêmeannée au taux d’escompte de 9%.

(Solution : VE= 14763.75DT)

Le créancier doit attendre la date du 15 juin pour disposer des 15 000DT, par contre s’il veut disposer de son argent le 13 avril, il ne recevrade la banque que 14 763,75 DT.

Exemple 2

Calculer la valeur nominale d’un effet de commerce dont la durée d’escompteest 35 jours, le taux d’escompte 8% et la valeur à la date de la remise àl’escompte est de 25 000 DH. (Solution : VN= 25195,97 DT)

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Applications

Exemple 3

Calculer l’échéance d’un effet de commerce dont la valeur nominale est 12500 DT, la valeur actuelle est 12 000 DT si le taux d’escompte est de 7,5%.(Solution : n=192j)

Exemple 4

Calculer le taux d’escompte d’un effet de commerce de valeur nominale 26000 DT, de valeur actuelle 25 650 DT et de durée d’escompte 45 jours.(Solution t = 10.77%)

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Escompte rationnel

Définition

L’escompte commercial est proportionnel à la valeur nominale de l’effet.

C’est le seul utilisé en pratique.

On peut cependant imaginer un escompte calculé sur la valeur actuellede l’effet appelé valeur actuelle rationnelle.

Une telle valeur sera définie par la relation suivante :

Valeur nominale = Valeur actuelle rationnelle + l’escompte sur cettevaleur

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Escompte rationnel

Calcul de l’escompte rationnel

VAR = valeur actuelle rationnelle

n = nombre de jours séparant la date de la présentation de l’effetl’escompte et la date d’échéance de l’effet.

t = taux annuel exprimé en pourcentage.

Valeur nominale = Valeur actuelle rationnelle + l’escompte sur cettevaleur

VN = VAR + E’

L’escompte rationnel (E’) est inférieur à l’escompte commercial (E).

VAR = (360 ∗ VN)/(360 + (n ∗ t)) (8)

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Applications

Exemple 1

Calculer l’escompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle d’un effetde commerce de valeur nominale 23 250 DT, de taux d’escompte 6%,entre le 2 avril, jour de remise à l’escompte et le 17 mai, date del’échéance de l’effet.

Comparer les résultats avec l’escompte commercial et la valeur actuellecommerciale.

Solution

n= 45 jours ; E’ = VAR*(t*n/360)=VAR*0.0075

E’ = VN-VAR; VAR=VN/1.0075=23076.92

E’=173.076

E=VN*(t*n/360)=23250*0.0075=174.375

L’escompte rationnel (E’) est inférieur à l’escompte commercial(E).

La banque prélève 174,375 DT pour cette opération d’escompte alorsqu’elle devrait, en principe, ne retenir que 173,076 DT.

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Applications

Exemple 2

Le 15/4 une entreprise remet à l’escompte un effet de valeur nominale1800 DT, échéant le 25/5 de la même année. Le taux d’escomptepratiqué par la banque étant de 8% l’an.

Calculer le montant de l’escompte rationnel et la valeur actuellerationnelle.

Solution :VAR=1784.14DT, E’= 15.86 DT

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Applications

Exemple 3

Calculer l’escompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle d’un effetde commerce de valeur Nominale égale à 50 000 DT et d’échéance le31 décembre, remis à l’escompte le 20 juillet de la même année au tauxde 12%.

Comparer les résultats à l’escompte commercial et à la valeur actuellecommerciale.

Solution

La durée de l’escompte est le nombre de jours qui sépare le 20 juillet du31 décembre soit 164 jours.

E= 2 733,33 DT

VA = VN E

VA = 50 000 2 733,33 = 47 266,67 DT

VAR = (VN*360)/(360+(n*t))= 47 408,34 DT

E’= VN-VAR= 2 591,66 DT

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Exemple 3

On remarque bien que :

la valeur actuelle rationnelle est supérieure à la valeur actuellecommerciale, en effet, le 20 juillet, jour de remise à l’escompte, labanque considère que l’effet de commerce vaut 47 266,67 DT alorsqu’en réalité il vaut 47408,34 DT.

L’escompte rationnel est inférieur à l’escompte commercial. La banqueprélève 2733,33 DT pour cette opération d’escompte alors qu’elledevrait, en principe, ne retenir que 2 591,66 DT.

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Le Coût du crédit à l’escompte

AGIOS

Chaque fois qu’un effet est remis à l’escompte, la banque ne retient pasjuste l’intérêt (l’escompte), mais elle opère d’autres retenues dont letotal s’appelle l’agio.

L’AGIO se compose de :

L’Escompte

Les commissions

La TVA

La banque remet au client la différence entre la valeur nominale del’effet et les AGIOS TTC,

Cette différence est appelée Valeur Nette Commerciale de l’effet decommerce.

Valeur Nette Commerciale = VN - AGIOS TTC

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Les commissions

On distingue différentes sortes de commissions :

La commission d’endossement : dépendantes du temps et de la valeurnominale de l’effet

Ce=VN*k*n

k : Le taux de cette commission

n : La durée séparant la date de négociation de la date d’échéance

La commission d’acceptation : la banque exige une commission encontrepartie du service d’engagement de signature réalisé pour lecompte de son client.

La commission de domiciliation : la banque prélève une commission sil’effet n’est pas domicilié.

La commission de bordereau : les effets sont accompagnés d’unimprimé bancaire appelés bordereau d’escompte.

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Application

Exemple 1

Calculer la valeur nette commerciale de l’effet de commerce de valeurnominale de 40 000 DT, d’échéance le 30 novembre et de date de remise àl’escompte le 5 octobre de la même année aux conditions suivantes :

Taux d’escompte : 12 %;

Commission de courrier : 10 DT ;

Jours de valeur - jours d’opération = 1 ;

Taux de TVA : 10%.

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Solution

La durée réelle de l’escompte est le nombre de jours qui sépare le 5octobre du 30 novembre soit 56 jours.

Pour le calcul de l’escompte on considère les 56 jours plus un jour debanque soit 57 jours.

E = 760DT

AGIOS HT = 760 + 10 = 770 DT

TVA = 770 x 0,10 = 77 DT

AGIOS TTC = 770 + 77 = 847 DT

Valeur Nette = 40 000 847= 39 153 DT

Le créancier doit attendre la date du 30 novembre pour disposer dumontant de 40 000 DT

Par contre s’il veut disposer de son argent le 5 octobre il recevraréellement la somme de 39 153 DT.

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Un bordereau d’escompte

Dans le cas où l’entreprise remet à l’escompte plusieurs effets d’échéancesdifférentes, la banque élabore un bordereau d’escompte dans lequel elletraite tous les effets.

Exemple 2

Quelle est la valeur nette commerciale de 4 effets qu’une entreprise remet àl’escompte le 10 mars, avec les informations suivantes :

15 000,00 DH à échéance le 15 mai de la même année ;

16 000,00 DH à échéance le 20 juin de la même année ;

10 000,00 DH à échéance le 12 juillet de la même année ;

22 000,00 DH à échéance le 24 septembre de la même année.

Taux d’escompte 14 %; Taux de TVA = 10 %.

Commission de service = 10 DT par effet ;

Compter 1 jour de banque supplémentaire ;39 / 49 Chapitre I:



Solution

Le bordereau d’escompte se présente comme suit :Valeur nominale Durée d’escompte Escompte15 000,00 DT 67 jours 390,83 DT16 000,00 DT 103 jours 640,89 DT10 000,00 DT 125 jours 486,11 DT22 000,00 DT 199 jours 1702,55 DT63 000,00 DT Total Escompte 3220,38 DT

Total commissions (4 effets) 40,00 DTAGIOS HT 3260,38 DTTVA (10%) 326,04 DTAGIOS TTC 3586,42 DTValeur Nette Commerciale 59 413,58 DT

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intérêt précompté et taux effectif de placement

Il existe deux manières de paiement des intérêts :

Versement unique lors du remboursement final de prêt on dit quel’intérêt est postcompté.

Paiement des intérêts le jour de la conclusion du contrat de prêt (lesintérêts sont précomptés).

On calcul le taux effectif du placement à chaque fois que les intérêtssont précomptés

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Le taux effectif du placement

Si on se place du coté de la banque, celle ci a effectué un placementd’un montant effectif correspondant à la valeur Nette de l’effet.

L’intérêt produit par ce placement correspond uniquement à l’escomptecommercial E.

les commissions sont destinées à couvrir des charges et la TVA estreversée à l’état.

Le taux correspondant est un taux de placement T , c’est le rendementréel réalisé par la banque au cours de cette opération.

T = t/(1-(t*n))

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Exemple

Une personne place a intérêt précompté 10000 DT pour 1 an, taux = 10%.Quel taux effectif de placement réalise-t-elle?

T= 0.1/(1-(0.1*1))=11.11%

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Équivalence de deux capitaux

Définition

La notion d’équivalence intervient lorsqu’on désire remplacer un capitalplacé ou prêté par un autre capital de façon qu’il n’y ait aucun avantagepour le préteur ou l’emprunteur.

Deux capitaux sont équivalents à une date donnée si à cette date ils ontla même valeur actuelle. La date en question est appelée dated’équivalence.

Ce cas trouve son application dans le problème de renouvellementd’effets ou le remplacement de capital par un autre.

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Définition

On considère 2 capitaux ayant les caractéristiques suivantes :

C 1 : placé aujourd’hui pour n jours : au taux d’intérêt simple t1 ;

C 2 : placé aujourd’hui pour n jours : au taux d’intérêt simple t2 .

Les 2 capitaux C 1 et C 2 sont équivalents, c’est-à-dire que l’un peutremplacé l’autre, si leur valeur acquise sont égales, à leur datecommune d’équivalence.

Par définition, on a donc :

C 1 + nC1*t1 = C2 + nC2*t2

C2= (360+n1∗t1)∗C1360+n2∗t2

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Exemple 1

Quelle est la valeur d’un capital qui est placé, aujourd’hui le 5 mai pour uneéchéance au 25 juin de la même année, au taux d’intérêt simple de 7% estéquivalent au capital de 25 000DT placé, aujourd’hui 5 mai pour uneéchéance jusqu’au 25 juin de la même année au taux d’intérêt simple de4%?

Solution :

C2+C2*51/360*0.07=25000+25000*(51/360)*0.04

C2= (360+51∗0.04)∗25000360+51∗0.07

C1=24894.79

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Exemple 2

Exemple 22 : Quelle est le taux d’intérêt simple d’un capital de 21 500 DTplacé, aujourd’hui le 15 avril est équivalent, à la date d’échéance le 7 juin, aucapital de 21 650 DT placé, au taux d’intérêt simple de 4,25%, aujourd’hui le15 avril pour une échéance le 7 juin de la même année?

Solution : t2=90.02%

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Exemple 3

Quelle est la valeur d’un capital qui est placé, le 15 mai pour une échéanceau 25 juin de la même année, au taux d’intérêt simple de 7% est équivalentau capital de 7 000DT placé, le 28 avril pour une échéance le 25 juin de lamême année, au taux d’intérêt simple de 8,5%?

Solution : C2= 7039.74 DT

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Exemple 4

Quelle est la date de placement simple d’un capital de 36 650 DT qui estplacé au taux d’intérêt simple de 9%, a pour une échéance le 25 novembreest équivalent au capital de 37 000 DT placé, le 7 Octobre a pour uneéchéance le 25 novembre de la même année au taux d’intérêt simple de8%?

Solution : soit 83 jours avant le 25 novembre, c’est-à-dire le 3septembre de la même année.

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