Chapitre I : Annuité et Rente I. Généralitésmarketing.thus.ch/Fichiers...

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Cours de Mathématiques Financières, Professeur M. ESSENA Kokouvi ([email protected])Cours de Mathématiques Financières, Professeur M. ESSENA Kokouvi ([email protected])Cours de Mathématiques Financières, Professeur M. ESSENA Kokouvi ([email protected])Cours de Mathématiques Financières, Professeur M. ESSENA Kokouvi ([email protected])

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I. Généralités

On appelle annuité une suite de règlements effectuée à intervalle de

temps égaux. On dit que cette suite de règlements constitue une rente pour

celle ou celui qui en est le bénéficiaire.

Il existe deux sortes de rente :

• Les rentes certaines

• Les rentes aléatoires

La rente est certaine lorsque le nombre de ses termes est fixé à l’avance.

La rente est aléatoire lorsque le versement de ses termes est interrompu par

l’arrivée d’un évènement imprévu ou qui ne peut être prévu à l’avance.

Pour ce cours nous n’utiliserons que les rentes certaines.

Par ailleurs lorsque le nombre des termes ou de versements ou de

règlements est fini on dit que la rente est temporaire. Mais si ce nombre est

infini la rente est dite perpétuelle.

Pour avoir une rente il faut que les versements se fassent à intervalle de

temps égaux. Et en plus ces versements doivent être périodiques. La période

peut être l’année ou tout autre période. Ainsi si la périodicité est différente

de l’année le mot annuité est donc impropre. On doit lui préférer les termes

de semestrialité, trimestrialité, mensualité, etc …

II. Etude des annuités ou des rentes

L’étude des annuités ou des rentes consiste à la détermination de la valeur

actuelle ou de la valeur acquise à une date donnée des versements en

Chapitre I : Annuité et Rente



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tenant compte des intérêts produits ou escomptés par chacun des

versements.

Il existe différentes sortes de rentes :

� La rente immédiate ou à terme échu. Pour cette rente, la date

d’origine précède d’une période la date du 1er

versement.

� La rente dite différée. Dans ce cas la date d’origine précède de plus

d’une période la date du 1er

versement.

� La rente dite anticipée. Ici la date d’origine précède de moins d’une

période la date du 1er

versement.

Rente immédiate

1er

versement

0 a1 a2 a3

Rente différée rente anticipée 2ème

versement

Quatre éléments permettent nécessairement de calculer la valeur acquise ou

actuelle d’une rente :

� La périodicité des versements

� L’intervalle de temps qui sépare l’origine de la rente et le

1er

versement.

� La valeur de chaque terme de la rente ou la loi qui permet

de la calculer.

� Le nombre de termes de la rente.



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A- Rente temporaire

Une rente est dite temporaire lorsque le nombre de ses termes ou de ses

versements ou de ses règlements est fini ou limité.

1) Rente temporaire immédiate

a. Valeur acquise

On appelle valeur acquise Vn d’une rente temporaire la somme des valeurs

acquises par chaque terme à la date de versement du dernier terme.

Soit n versements.

La valeur acquise du terme de rang p est : ap(1 + i)n-p

b. Valeur actuelle

On appelle valeur actuelle Vo d’une suite d’annuité, la somme des valeurs

actuelles de chaque terme.

Soit n versements.

La valeur actuelle du terme de rang p est :

ap

(1 +i)p

D’où :

Ou

Vn = a1(1 + i)n-1

+ a2(1 + i)n-2

+ … + ap(1 + i)n-p

+ … + an

a1 a2 ap an

Vo = + + … + + … +

(1+i) (1+i)2 (1+i)

p (1+i)

n

Vo = a1(� + �)�� + a2 (� + �)��+ … + ap(� + �)�� +an(� + �)�



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En comparant les formules Vn et Vo on peut écrire :

Cette égalité traduit le fait que l’on peut aisément passer de la valeur actuelle

à la valeur acquise en capitalisant la 1ère

pendant n périodes.

Remarque :

•••••••• Mais si la rente est différée de d périodes, la valeur actuelle est :

On peut donc écrire :

•••••••• La rente anticipée d’une fraction e de période a pour valeur actuelle :

2) Cas particulier de rente à terme versé d’avance

On dit que les rentes à terme versé d’avance sont des rentes anticipées d’une

période exactement :

On peut également remarquer que le 1er

terme a1 étant versé à même temps

le capital d’origine V, tout se passe comme si le capital effectivement prêté

était à la rente à terme échu de n – 1 termes.

Vn = Vo (1+i)n

a1 a2 ap an

Vd = + + … + + … +

(1+i)1+d

(1+i)2+d

(1+i)p+d

(1+i)n+d

Vo

Vd =

(1+i)d

Ve = Vo (1+i)e

Vo (1+i)1

V - a1

Vo = V - a1 = a2(1 + i) -1

+ a3(1 + i) -2

+ … + an (1 + i) –n +1



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NB : On dit que l’étude des rentes anticipées ou différées se déduit facilement

des rentes à termes échus.

3) Rente temporaire immédiate à terme constant

Une rente est dite immédiate, lorsque la date d’évaluation précède d’une

période le 1er

des n versements constants égaux à a (a étant la valeur de

chaque versement).

Dans ce cas la date d’évaluation est confondue à la date d’origine.

Déterminons la valeur de la rente à la date to tout en sachant que les

versements sont égaux à a et le taux d’intérêt est i.

0 1 2 3 n

a1

a(1+i)-1

a(1+i)n-1

Ce qui donne :

Vn = a (1 + i)n -1

+ (1 + i)n -2

+ … + 1

On constate que le crochet regroupe des termes en progression géométrique.

Multiplions les deux membres de l’égalité par (1+i) et retranchons terme par

terme.

Vn = a(1 + i)n -1

+ a(1 + i)n -2

+ … + a



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(1+i) Vn = a (1 + i)n

+ (1 + i)n -1

+ … + (1+i)

Vn = a (1 + i)n -1

+ (1 + i)n -2

+ … + 1

(1+i)Vn – Vn = i Vn = a (1 + i)n

- 1

On en déduit que:

Vn a (1 + i)n

- 1

Vo = = Vn(1+i)-n

=

* (1+i)-n

(1+i)n i

a 1 - (1 + i) - n

Vo =

i

B- Rente perpétuelle

Une rente est dite perpétuelle lorsque le nombre de ses termes est infini

(illimité).

Dans ce cas le calcul de la valeur acquise n’a pas de sens. Cependant on peut

toutefois calculer la valeur actuelle d’une rente perpétuelle.

1- Rente perpétuelle immédiate

Pour une rente perpétuelle immédiate, la date d’évaluation est confondue

avec la date d’origine.

a (1 + i)n

- 1

Vn =

i



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Ainsi on obtient la valeur actuelle d’une rente perpétuelle en calculant la

limite de la valeur actuelle d’une rente temporaire sous l’hypothèse que :

•••••••• On ne retiendra que le n 1er

terme de la rente perpétuelle.

•••••••• n croît indéfiniment.

On a :

Vn = a (��)��

Vo = a �� (��)�

� �

Vo = �� − (� + �)��

��→�

�� = ��→�

�� − (� + �)��

D’où la valeur actuelle d’une rente perpétuelle à terme constant est le

rapport de l’annuité sur le taux d’intérêt.

2- Rente perpétuelle anticipée

La valeur actuelle d’une rente perpétuelle anticipée à k fractions de période

est la valeur actuelle de la rente perpétuelle immédiate (à la date d’origine)

capitalisée au taux i sur les k fractions de période.

V’o = ��→�

��*(� + �)�

��→�

Vo = ��

V’o = �� *(� + �)�



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3- Rente perpétuelle différée

Il s’agit d’évaluer une rente perpétuelle dont la date d’évaluation est

antérieure à la date d’origine de k fractions de périodes.

Dans ce cas on actualise au taux i sur les k fractions de périodes la valeur

actuelle de la rente perpétuelle immédiate.

V’’o = ��→�

��*(� + �)��

V’’o = �

� �*(� + �)��

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