Chapitre 9: Dynamique d'un solide indéformable
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Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
Introduction
1
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à la dynamique d’un solide indéformable (pas un
fluide donc).
Ceci nous permettra d’étudier la rotation d’un solide autour d’un axe fixe puis la condition de
roulement d’un solide sur une surface sans glisser (par exemple, une roue de voiture)
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable
I Eléments cinétiques d’un solide.
II Solide en rotation autour d’un axe fixe.
III Dynamique d’un solide.
IV Axe instantané de rotation, roulement sans glissement.
V Forces de frottements solides
VI Résumé
2
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableI ELEMENTS CINETIQUES D’UN SOLIDE
1) Solide (indéformable)‐ centre de masse
Un solide (S) est indéformable si la distance entre deux points quelconques qui le
compose est indépendante du temps quelque soit le mouvement de ces points.
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∫∫∫∫∫∫ ==V
dmV
ρ(V)dVM
(S)
dV
est la masse du solide , avec la masse volumiqueρ(V)
∫∫∫
∫∫∫=
V
V
dm
dm OMOGCentre de masse G : O est un point quelconque
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableI ELEMENTS CINETIQUES D’UN SOLIDE2) Eléments cinétiques d’un solide
Tout comme pour le système à N particules, on peut définir les éléments cinétiques du
solide par :
‐) sa quantité de mouvement :
‐) son moment cinétique par rapport à O :
‐) son énergie cinétique :
Théorèmes de Koenig :
‐) premier théorème :
‐) deuxième théorème :
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v Mdm v p Grrr
== ∫∫∫V
∫∫∫ ∧=V
dm v OALOrr
∫∫∫=V
dm v21E 2
c
*G Lv MOGL GO
rrr+∧=
*2Gc E vM
21E c+=
∫∫∫∫∫∫ ==V
dmV
ρ(V)dVM
Les * indiquent que les quantités sont calculées dans le référentiel du centre de masse
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
1) Définitions‐Notations
Un solide est animé d’un mouvement de translation si à chaque instant, tous le spoints
ont le même vecteur vitesse. Cette translation est rectiligne si le vecteur vitesse garde
toujours la même direction.
Dans la suite, on ne parlera plus que de rotations ! On considère un axe (Δ) fixe par
rapport à un référentiel R et un solide animé d’un mouvement de rotation autour de
cet axe (Δ).
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(S)
ωr
Soit ω la vitesse angulairede rotation du solideautour de (Δ). Soit ,un vecteur unitaire selon(Δ). On définit le vecteurrotation par
ur
u ωω rr=
O
On choisit un point O, fixe sur (Δ).
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
2) Moment d’inertie
Quel est le moment cinétique du solide par rapport à O : ainsi que
le moment cinétique par rapport à l’axe (Δ) : ?
Pour tout point A du solide, le vecteur est de norme constante donc, la vitesse de
A est . De plus, . On a donc
6
∫∫∫ ∧=V
dm v OALOrr
( )∫∫∫ ∧==ΔV
dm v OA.uu.LL Orrrr
(S)
ωr
O
A
OA
OA u ω OA ωv ∧=∧=rrr ( ) ( )v.OAuv OA.u rrrr
∧=∧
( ) ΔV
2
Δ I ωdm OA u ωL =∧= ∫∫∫r
r( ) ∫∫∫∫∫∫ =∧=V
2
V
2
Δ dmr dmOA u I r
est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (Δ).
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
2) Moment d’inertie
Quelques exemples de valeur de moment d’inertie :
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2Δ MR
52I =
(Δ)
Sphère pleine homogène de rayon R
(Δ)
2Δ MR
21I =
Cylindre plein homogène de rayon R
(Δ)
2Δ M
121I l=
Tige mince homogène de longueur l
(Δ)
2Δ MRI =
Anneau filiforme de rayon R
Rem : tous les axes passent par le centre de masse des différents « objets »
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
3) Théorème d’Huygens
Que vaut le moment d’inertie si (Δ) ne passe pas par le centre de masse ?
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2GΔ maII +=
(ΔG) (Δ)
a
ArG
O
r
G
222Δ MR
23MR
21I =+= MR
(Δ)
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −+==VV
2
V
2G
V
2Δ dm GA.a2dmadmrdmrI
r
Conséquence : le moment d’inertie estle plus faible lorsque (Δ) passe par G.
O’
( ) 0GO .acar GA .aGOr .ar.a GG ==+=rrrrrr
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
4) Energie cinétique
Le solide est en rotation autour de (Δ) à la vitesse angulaire ω. Tout point A à la
distance r de l’axe a donc la vitesse v=rω. L’énergie cinétique du solide est
et vaut donc :
9
2Δc ω I
21E =
∫∫∫=V
dm v21E 2
c
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE5) Rotation autour d’un axe de direction fixe
Ici, on suppose que la direction est fixe mais que l’axe peut se déplacer (exemple :
voiture et axe des roues).Les théorèmes de Koenig permettent de déterminer le
moment cinétique dans le référentiel R galiléen en fonction des grandeurs dans R*. Le
mouvement dans R peut‐être décomposé en un mouvement de rotation autour de
(ΔG) et un mouvement de translation de G.
Si on se place dans le référentiel du centre de masse, R*, il n’y a qu’un mouvement de
rotation :
On en déduit alors que :
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ωGG Δ
* IL =Δ2
Δ*
GI
21E ω=c
( ) u . v MOGωIL GΔΔ G
rr∧+=
2G
2Δ vM
21ωI
21E
G+=c
(ΔG) (Δ)
a
ArG
O
r
G
O’
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
5) Utilisation des théorèmes de Koenig
Remarque : si le solide était en translation, quels seraient les résultats ? Mêmes
formules avec ω=0 et l’introduction de n’a plus de sens.
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0L*G=Δ 0E* =c
GO v MOGL rr∧= 2
G vM21E =c
ur
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
1) Efforts mécaniques
D’un point de vue de la dynamique, on peut définir :
‐) la résultante des forces :
‐) le moment (résultant) en un point O :
On peut vérifier que si O’≠O :
On parle alors de torseur des efforts (ou des actions mécaniques). Il faut préciser que
ces forces et moments peuvent avoir des origines intérieures ou extérieures au
système.
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∫∫∫∑ ==Vi
i (A)Fd Fou FFrrrr
( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∑∑ ∧==∧==VV
Oi
iii
i (A)FdOA (A)FdM Mou FOAFMMrrrrrrrr
OOO
FOO'MM O'
rrr∧+=O
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
1) Efforts mécaniques
Un couple est un ensemble de forces dont la résultante est nulle. Dans ce cas, le
moment ne dépend pas de la position : et on confond le couple avec son
moment.
Un glisseur est un ensemble de forces dont le moment en un point O est nul. Dans ce
cas, pour tout point A :
On peut alors définir le moment du glisseur par rapport à un axe (Δ) ( vecteur
unitaire selon l’axe) par :
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O' MMrr
=O
Fr
0Fr
0F-r
F FAOMrrr
⊥∧=A
( ) u. FAOu.MM rrrr∧==Δ A
ur
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
2) Théorème du centre de masse
Ce théorème s’énonce de la même manière que pour un système avec un nombre fini
de particules : dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre d’inertie d’un
système est celui d’un point qui aurait pour masse, la masse totale du système auquel
serait appliqué la résultante des forces extérieures au système.
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extGG F
dtPd
dtvdM
dtvd r
rrr
===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫∫
V
dm
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
2) Théorème du moment cinétique
Ce théorème s’énonce de la même manière que pour un système avec un nombre fini
de particules. La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en un point O fixe
dans un référentiel galiléen est égale au moment des forces extérieures appliquées au
système :
On peut aussi appliquer ce théorème du moment cinétique au cas d’un axe (Δ) : la
dérivée par rapport au temps du moment cinétique par rapport à un axe (Δ) fixe dans
un référentiel galiléen est égale au moment, par rapport à l’axe (Δ), des forces
extérieures appliquées au système (O est un point fixe de l’axe (Δ)) :
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extO,O M
dtLd rr
=
u . MMdt
dLextO,extΔ,
Δ rr==
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
3) Solide en rotation autour d’un axe fixe ‐ Pendule pesant
On considère un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) passant par un point fixe O
dans un référentiel galiléen. Le vecteur rotation instantanée est . Le théorème
du moment cinétique appliqué à une rotation autour de (Δ) permet d’écrire :
On peut aussi utiliser le théorème du centre de masse qui indique que :
Un exemple d’application est le pendule pesant qui généralise le problème bien connu
du pendule oscillant au bout d’un fil rigide.
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extΔ,2
2
ΔΔ MdtθdI
dtdωI ==
u ω ω rr=
extG Fa Mrr
=
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
3) Solide en rotation autour d’un axe fixe ‐ Pendule pesant
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sinθMgMθIdtdωI extΔ,ΔΔ l&& −===
g Mr
(S)
ωr O (Δ)
G
θ
x
yLe pendule pesant oscille autour de l’axe (Δ) selon Oz.
Le vecteur rotation instantanée est :
La seule force agissant sur le solide est le poids :
Le moment du poids (seule force extérieur) par rapport à
O est donc :
Le moment du poids par rapport à (Δ) est donc( ) :
zu ω ω rr=
yu g -M P rr=
( ) zu sinMg -POGPM rl
rrrθ=∧=O
( ) θsinMg -u.PMM z lrrr
==Δ O
OG=l
Le théorème du moment cinétique s’écrit :
Et donc, l’équation différentielle du mouvement s’écrit :
Dans la limite des petits angles, on retrouve un mouvement oscillant de pulsation
On retrouve la formule du pendule simple lorsque la masse est uniquement en G:
0 sinθI
MgθΔ
=+l&&
ΔIMgl
=ω
2Δ MI l=
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
4) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe ‐ Roue
18g Mr
(ΔG)G
θ
ωr
x
y
La roue de voiture de rayon R tourne autour de son axe
qui garde une direction fixe (Δ) passant à chaque instant
par le centre de masse de la roue. Le vecteur rotation
instantanée est : et
Les forces agissant sur la roue sont le poids, la réaction
normale du support ainsi que les frottements :
Le Théorème du moment cinétique s’écrit :
Le théorème du centre de masse permet d’écrire :
( ) 0PGGPMrrrr
=∧=G
RTθMR21θI 2
ΔG== &&&&
zu ω ω rr=
ext,ΔΔ GGM
dtdωI =
Théorème du moment cinétique :
Théorème du centre de masse :
extG Fa mrr
=
Tr N
r
( ) 0NIGNMrrrr
=∧=G
I
( ) zu RTTIGTM rrrr=∧=G
2Δ MR
21I
G=
θ Rcar x x M21θ R M
21T −=−== &&&&
⎩⎨⎧
+−=+=
Nα cos Mg0αsin MgTxM &&
La suite … en TD!
On considère un solide suspendu au bout d’un fil vertical
qui peut être animé d’un mouvement de rotation autour
de cet axe : où C est appelée constante de
torsion du fil. Le théorème du moment cinétique permet
d’obtenir facilement l’équation du mouvement :
Ici, il n’y a pas besoin d’approximations des petits angles
pour obtenir la solution de cette équation différentielle.
On en déduit que le mouvement est oscillatoire de
période :
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
5) Pendule de torsion
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0θ CθIΔ =+&&
(S)
(Δ)
G
θ
x
z
θ CMΔ −=
CI2πT Δ=
ω
Les résultats précédents permettent de faire une analogie entre translation d’un
objet de masse m selon l’axe Ox et rotation d’un solide de moment d’inertie par
rapport à un axe fixe (Δ).
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE
6) Analogie entre translation et rotation unidimensionnelles
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ΔI
Paramètre Translation Rotation
Position x θ
Vitesse
Inertie Masse d’inertie : m Moment d’inertie :
Grandeur cinétique
Quantité de mouvement : Moment cinétique :
Energie cinétique
Loi du mouvement
xv &= θω &=
ΔI
x mp &= θ IL ΔΔ&=
2x m21E &=c
2θ I21E &
Δ=c
extx,Fx m =&&extΔ,Δ Mθ I =&&
Jusqu’à présent, l’axe de rotation était fixe ou de direction fixe. Nous allons
maintenant définir l’axe instantané de rotation. On considère donc un référentiel
absolu R muni d ‘un repère OXYZ avec les vecteurs de base . On considère
alors un solide (S) et le référentiel S muni d’un repère O’xyz lié au solide avec les
vecteurs de base .Ces vecteurs de base étant unitaires, on peut définir un
vecteur tel que :
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
1) Axe instantané de rotation
21
( )K,J,Irrr
( )k,j,irrr
iωr
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∧=
∧=
∧=
kωdtkd
jωdt
jd
iωdt
id
i
i
i
rrr
rrr
rrr
Le vecteur s’appelle vecteur vitesse instantanée de
rotation du solide (S) par rapport au référentiel R.
Remarque : ce vecteur dépend du temps à priori.
iωr
Soient 2 points A et B d’un solide (S) indéformable. Dans le repère S=O’xyz associé au
solide, les coordonnées des deux points sont constants et donc le vecteur . En
écrivant , on en déduit l’expression de la vitesse de B dans R en
fonction de celle de A dans R :
C’est la loi de distribution des vitesses dans le solide.
Exemple: pour un solide en rotation autour d’un axe fixe. Soit O un point de cet axe
qui est aussi un point du solide, et donc pour tout point M du solide:
Dans le cas général, le lieu des points M où la vitesse dans R est colinéaire à est dit
axe instantané de rotation du solide (Δi) par rapport au référentiel R.
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
2) Distribution des vitesses dans un solide
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ABABOAOB +=
ABω(A)v(B)v i ∧+=rrr
0(O)vrr
= OMω(M)v i ∧=rr
iωr
Soient 2 points A et B d’un solide (S) indéformable :
L’axe instantané de rotation du solide (Δi) par rapport au référentiel R est le lieu des
points M où la vitesse dans R est colinéaire à . Cette droite est parallèle à . Soit I,
un point de cet axe instantané de rotation. Pour tout point M de (Δi),
On appelle vitesse de glissement, , la vitesse des points de (Δi). Pour tout point M
du solide, on a donc :
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
2) Distribution des vitesses dans un solide
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ABω(A)v(B)v ∧+=rrr
gvr(I)v(M)v rr
=iω
riω
r
IMωvIMω(I)v(M)v igi ∧+=∧+=rrrrr
Glissement (translation) selon (Δi) Roulement (rotation) autour de (Δi)à la vitesse angulaire ωi.
Attention : l’axe (Δi) et le vecteur rotation dépendent du temps.iωr
Nous venons de voir que la vitesse d’un point d’un solide est la combinaison d’un
mouvement de glissement selon (Δi) et d’un mouvement de roulement autour de cet
axe.
On considère ici un solide (S) en contact avec une surface (Σ) fixe dans le référentiel R.
On dit que le solide (S) roule sur (Σ) sans glisser si la vitesse du point de contact I,
considéré comme point du solide est nulle dans le référentiel R.
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
3) Roulement sans glissement
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0))(S)/((Ivrr
=Σ∈
Exemple : Roue de voiture sur une route… La surface de la route est le plan Oxy et on
note r le rayon de la roue. On note C le centre de la roue et I le point de contact de la
roue avec le sol (attention : I est un point du solide ‐la roue‐ et non pas le point de
coordonnées (x=rθ,0,0)) dans le référentiel R=Oxyz. La vitesse du centre de la roue
dans R est : (en supposant aucun mouvement selon Oy qui est parallèle à
l’axe de rotation de la roue). En utilisant la loi de composition des vitesses dans un
solide,
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT
3) Roulement sans glissement
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Cω
ωr
x
z
I
i rω(C)vrr
=
( )0irωi rω(I)v
kr jω(C)vCIω(C)v(I)vrrrr
rrrrrr
=−=
−∧+=∧+=
En conséquence, si C n’a aucun mouvement selon Oy, laroue roule sans glisser. L’axe Iy est l’axe instantané derotation du solide et .ωω i
rr=
Pour terminer ce chapitre, nous allons nous intéresser au problème du contact entre
deux solides et les forces de frottements solides. Ceci permet de comprendre des
phénomènes comme l’aqua‐planning ou la perte d’adhérence à grande vitesse …
Nous allons considérer un solide en contact avec un autre solide. Même si le contact
est à priori ponctuel, il existe une petite zone de déformation autour de ce point de
telle sorte que dans la réalité, le contact s’effectue au niveau d’une surface de taille
finie. On peut aussi schématiser le contact en remplaçant la surface du solide ‘porteur’
par son plan tangent au point de contact. Dans ce cas, on peut schématiser le contact
par le dessin ci‐dessous :
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableV FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES
26
On considère donc un solide de masse m posé sur un sol horizontal et on souhaite
faire glisser ce corps en lui exerçant une force horizontale . L’expérience montre que
si la force est d’intensité trop faible, la masse ne se déplacera pas et que cela dépend
de la nature du sol (et de l’objet à déplacer). On peut décomposer la réaction du
support en sa composante normale et sa composante tangentielle à l’interface.
Le système reste à l’équilibre tant que la somme des forces est nulle :
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableV FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES
27
Fr
Fr
gmr
Nr
Tr
Rr
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
0gmN
0FTrrr
rrr
C’est la composante tangentielle qui s’oppose au mouvement…
L’expérience montre que les lois empiriques d’Amontons‐Coulomb suivantes sont
valables :
1) Il n’y a pas de glissement si où f est le coefficient de frottement statique.
2) Si il y a glissement, , f’ est le coefficient de frottement de glissement. On
a f’≤f. Dans ce cas, est un vecteur dirigé dans la direction opposé au vecteur
vitesse et est souvent appelé force de frottement solide par distinction avec les
forces de frottements fluides dans l’air ou un liquide
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableV FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES
28
Fr
gmr
Nr
Tr
Rr
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
0gmN
0FTrrr
rrrEquilibre pour :
NfTrr
≤
N ' fTrr
=
Tr
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableVI RESUME
29
Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe (Δ) :
Théorème d’Huyghens :
Moment cinétique d’un solide par rapport à (Δ) :
Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe :
Théorème du centre de masse :
Théorème du moment cinétique :
Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe,
( ) ∫∫∫∫∫∫ =∧=V
2
V
2
Δ dmr dmOA u I r
2Δ maII
G+= Δ
2Δc ω I
21E =
ω I L Δ=Δ
extG F
dtPd
dtvdM
rrr
==
extO,O M
dtLd rr
= u . MMdt
dLextO,extΔ,
Δ rr==
extΔ,2
2
ΔΔ MdtθdI
dtdωI ==
Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableVI RESUME
30
Dans le cas général, on définit le vecteur vitesse instantanée de rotation du solide (S)
par rapport au référentiel R : .
La loi de distribution des vitesses dans un solide :
La vitesse d’un point M du solide s’écrit :
Avec , la vitesse de glissement et I un point de l’axe instantané de rotation (Δi).
La condition de roulement sans glissement d’un solide (S) sur une surface (Σ) est :
En présence de frottements solides, les lois empiriques d’Amontons‐Coulomb
indiquent qu’il n’y a pas de glissement tant que : et que lorsqu’il y a
glissement, avec f’≤f.
iωr
ABω(A)v(B)v i ∧+=rrr
IMωv(M)v ig ∧+=rrr
gvr
0))(S)/((Ivrr
=Σ∈
NfTrr
≤
N ' fTrr
=