CHAPITRE 8: Applications de la dérivée I

Chapitre 8: Applications de la dérivée I- 1


CHAPITRE 8: Applications de la dérivée I

8.1 Étude de fonctions: Jusqu’à maintenant. 8.2 Droites tangentes revisitées. 8.3 La première dérivée et l’accroissement. 8.4 La deuxième dérivée et la concavité. 8.5 La règle de l’Hôpital.


8.1 Études de fonctions Soit f(x) un fonction. Donner les outils mathématiques utilisés pour déterminer les descriptifs suivant d’une fonction; 1) Domaine : 2) Racines : 3) Signe d’une fonction : 4) Asymptotes horizontales: 5) Asymptotes verticales : 6) Discontinuités (ex. trou):


8.1 Études de fonctions Par contre certains descriptifs d’une fonction ne peuvent pas être calculés directement de la formule de f(x); P1) Intervalles de croissance et de décroissance. P1*) Minimums et maximums locaux. P2) Intervalles de concavité. P2*) Le points d’inflexions d’une fonction. P3) Minimums et maximums globaux (Optimisation Chap. 9) Remarque : Nous allons utiliser les dérivées pour trouver algébriquement les réponses à ces questions.


8.1 Études de fonctions La plupart de la théorie jusqu’à maintenant semble être centrée sur le calcul de ces dérivées. Le tout peut-être fait à partir la définition formelle (Chapitre 6) ou plus directement à l’aide de formules et règles (Chapitre 7). Les dérivées font parties des outils pour analyser une fonction. Dans ce chapitre, elles nous permettront de calculer les équations de droites tangentes (encore), les intervalles d’accroissement, les minimums et maximums locaux, les intervalles de concavité, les points d’inflexions et même nous permettre de calculer directement des limites avancées!


8.2 Droites tangentes revisitées Rappel: La droite tangente d’un point sur un cercle.


8.2 Droites tangentes revisitées Définition (intuitive): Soit f(x) une fonction. Soit x = a un point dans le domaine de f(x). La droite tangente de f(x) à x = a est donnée par;


8.2 Droites tangentes revisitées Définition (intuitive ‘zoom’): Soit f(x) une fonction. Soit x = a un point dans le domaine de f(x). La droite tangente de f(x) à x = a est donnée par;


8.2 Droites tangentes revisitées Remarque : Obtenez-vous toujours une droite lorsque vous ‘zoomer’?

NON !!!


8.2 Droites tangentes revisitées Exemples: Droites tangentes vers l’enfer (donc à moins infini + 13).


8.2 Droites tangentes revisitées Exercice 1: Trouver les intervalles où les droites tangentes existent (intervalle où la fonction est différentiable).


8.2 Droites tangentes revisitées Exercice 2: Trouver les intervalles où les droites tangentes existent (intervalle où la fonction est différentiable).


8.2 Droites tangentes revisitées Définition (avec la dérivée): Soit f(x) une fonction. Soit x = a un point dans le domaine de f(x). La droite tangente de f(x) à x = a est donné par l’équation y = mx + b avec les propriétés suivantes;

1) Elle passe par le point (a, f(a)) et 2) m = f’(a) (pente égale à la dérivée de f(x) à x = a).


8.2 Droites tangentes revisitées Exemple : Soit f(x) = x2 – 8x + 9. Trouver l’équation de la droite tangente de f(x) à x = 3. Solution :


8.2 Droites tangentes revisitées Exercice: Soit f(x) = x1/2. Trouver l’équation de la droite tangente de f(x) à x = 4. Dessiner cette droite tangente sur le graphe de f(x). Solution :


8.2 Droites tangentes revisitées


8.3 La Première Dérivée Exercice: Sur le graphe suivant, identifier où les pentes de droites tangentes sont positives, négatives, nulles ou n’existe pas;


8.3 La Première Dérivée

Définition (accroissement avec la première dérivée): Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de f(x).

1) Si f’(c) > 0, alors x = c est un point où la fonction est croissante. 2) Si f’(c) < 0, alors x = c est un point où la fonction est décroissante.


8.3 La Première Dérivée Définition:

Soit f(x) une fonction et x = c un poitn dans le domaine de f(x). Let point x = c et un point critique de f(x) si;

f’(c) = 0 ou f’(c) est non-définie. Test de la première dérivée pour la classification des points critiques:


8.3 La Première Dérivée Exemples : Pour les fonctions suivantes f(x); 1- Calculer f’(x), 2- Trouver les points critiques de f(x), 3- Faire un tableau des signe pour f’(x) et 4- Utiliser celui-ci pour classifier les points critiques et trouver les intervalles d’accroissement.


8.3 La Première Dérivée Exemple 1 :

14)( 2 +−= xxxf



13)( 23 +−= xxxf



xxexf −=)(


8.4 La Deuxième Dérivée Concavité

a)  La fonction f(x) est concave vers le _____ b)  La fonction g(x) est concave vers le ______. c)  Les pentes tangentes de f(x) sont ____________. d)  Les pentes tangentes de g(x) sont ____________.


8.4 La Deuxième Dérivée Idée : Soit f(x) définie sur un intervalle I.

1) Alors f(x) est concave vers le haut lorsque f’(x) est

__________ et ceci est équivalent à dire que la dérivée de f’(x), la deuxième dérivée f’’(x), est

__________. 2) Alors f(x) est concave vers le bas lorsque f’(x) est

__________ et ceci est équivalent à dire que la dérivée de f’(x), la deuxième dérivée f’’(x), est

__________.


8.4 La Deuxième Dérivée

Définition (concavité avec la deuxième dérivée): Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de f(x).

1)  Si f’’(c) > 0, alors x = c est un point où la fonction est concave

vers le haut. 2)  Si f’’(c) < 0, alors x = c est un point où la fonction est concave

vers le bas. De plus, tout point où la deuxième dérivée change de signe est

un point d’inflexion.


8.4 La Deuxième Dérivée Exemples : Pour les fonctions suivantes f(x); 1- Caluler f’’(x), 2- Construire un tableau des signes pour f’’(x) et 3- Utiliser celui-ci pour trouver les intervalles de concavité et les points d’inflexion.


8.4 La Deuxième Dérivée Exemple 1 :

14)( 2 +−= xxxf



13)( 23 +−= xxxf



xxexf −=)(


8.5 La Règle de l�Hôpital But : Utiliser les dérivées pour calculer des limites inappropriées.

Règle de l’Hôpital: Soit Ω = ± ∞ ou Ω = 0. soit x = a un point dans un intervalle I. Soit f(x) et g(x) deux fonctions différentiables sur I sauf possiblement à x = a. Si

€

limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = ±Ω,

alors

€

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f '(x)g'(x)

.

De plus, ces résultats sont valides aussi pour les limites aux infinis (a = ± ∞).


8.5 La Règle de l�Hôpital Remarques : a)  R.H. traite seulement les formes inappropriées (et rien d’autre);

b)  Pour les autres formes inappropriées; Vous devrez d’abord manipuler votre expression pour retrouver une des formes inappropriées ci-haut.

c)  R.H. est valide pour les limites à droite et à gauche.

,∞

∞±

00


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 1 (bye bye factorisation):

€

limx→2

x 2 − 3x + 23x 2 − x −10

=


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 2 (régurgiter la rationalisation):

=−

−→ 256

4lim 216 xx

x


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 3:

=−→ 1)ln(lim

1 xx

x


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 4:

€

limx→∞

1000x + 999ex

=


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 5 (Oups I did it again!):

=−

−→ 1lim 2

0 x

x

x exxe


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 6 (une inapropriée qui est inapropriée):

€

limx→0+

x ln(x) =


8.5 La Règle de l�Hôpital Exemple 7 (bonne chance aux mordu(e)s du numérique):

€

limx→0

3x −12x −1

=

CHAPITRE 8: Applications de la dérivée I

Documents

Transcript of CHAPITRE 8: Applications de la dérivée I