CHAPITRE 7 

Probabilités

Objectifs:

- Exprimer et appliquer des probabilités.

- Etudier une expérience à deux épreuves.

Le calcul de probabilités s'est développé à partir du 16ème siècle. Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux de hasard. Pierre de Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal (1623-1662), mathématiciens célèbres, posèrent les bases des probabilités.

Pierre de FermatBlaise Pascal

I. Vocabulaire1) Expérience aléatoire

Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions :- Elle conduit à des résultats possibles que l’on peut nommer.- On ne peut pas prévoir ces résultats.

Remarque : Le résultat d'une expérience aléatoire

s'appelle aussi une issue.

Exemple :  On lance un dé à 6 faces et on regarde quel nombre on obtient.

Cette expérience est bien une expérience aléatoire car :

- Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.- Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle face on va tomber.

2) Evénement

Un événement dans une expérience aléatoire est constitué de plusieurs issues (ou résultats).

Exemple : On dispose des cinq cartes suivantes. On tire une carte au hasard parmi les

cinq.

Obtenir une reine est un événement.

Obtenir un cœur est un autre événement.

II. Probabilités1) Probabilité et fréquence

Lorsqu’on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre : la probabilité de cet événement.

Le lien fût établi par le mathématiciensuisse Jacques Bernoulli (1654-1705)

Exemple : On dispose d’une pièce de monnaie.

Si on lance un très grand nombre de fois cette pièce,et que l’on compte le nombre de fois qu’elle donne pile et le nombre de fois qu’elle donne face, la fréquence de ces deux résultats

va se stabiliser autour de ½.

Remarque : La probabilité d’un événement est en quelque sorte la chance que cet événement se

produise. Avec l’exemple ci-dessus, on a 1 chance sur 2 d’obtenir face…

2) Calculer une probabilité

Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d'un événement E est égale au quotient:

Nb de résultats favorables à l’événementNb de résultats possibles

P(E) =

Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre

pair ?Quand on lance un dé, il y a 6 résultats possibles.

Le résultat favorable à l'événement «  obtenir un chiffre pair »

est « obtenir un 2, un 4, un 6 » donc il y a 3 résultats favorables.

On a alors P (« obtenir un chiffre pair ») = 3/6 ou encore 1/2

Remarques : - La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1.

- La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à 1.

L'événement contraire de

l'événement A est celui qui

se réalise quand A n'a pas

lieu.

On a alors

P( non A ) = 1 - P(A)

Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.

L'événement « non 2 » est constitué de 5

issues « 1 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 ».

On a P(2) = 1/6 Donc P(non 2) = 5/6

3) Etude d’une expérience à deux épreuves On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

Calculer la probabilité de l’évènement E :

« On obtient au moins une fois PILE. » 

On schématise les différentes issues avec un arbre de probabilités.

P

F

12

12

P

F

12

12

P

F

12

12

(P ; P)

Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.

1 1 12 2 4

(probabilité d’obtenir deux piles)

(P ; F) 1 1 12 2 4

(probabilité d’obtenir pile puis face)

(F ; P) 1 1 12 2 4

(probabilité d’obtenir face puis pile)

On a P(E ) = 1 1 14 4 4

=34

La probabilité que l’évènement E se réalise est de ¾.