Chapitre 11 Probabilités sur un univers ﬁni

Cours de mathématiques

ECE 1ère année

Chapitre 11

Probabilités sur un univers fini

Le but de ce chapitre est de mettre en place un cadre théorique pour le calcul des pro-

babilités, dans le cas où l’univers est fini. Les notions vues en classe de terminale sont

approfondies, et l’approche via les arbres pondérés est remplacée par des raisonnements

sur les événements, qui nécessitent la maîtrise des formules littérales, des opérations sur

les ensembles et plus de rigueur et de rédaction en général.

Adrien Fontaine

Année scolaire 2017–2018

Cours de mathématiques ECE1

1. Le cadre probabiliste

Le but est ici de reprendre le vocabulaire des probabilités, vue en classe de terminale, etd’établir le lien avec une vision ensembliste.

1.1. Un peu de vocabulaire

Définition 1 : Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une éxpérience dont l’issue (ou résultat) ne peut être prévu.La répétition d’une telle expérience ne donne, a priori, pas le même résultat.

Exemple :

1. Jeter un dé à 6 faces et noter le résultat ;

2. Lancer une pièce de monnaie et noter le résultat ;

3. Lancer une copie du haut d’un escalier à 20 marches et obtenir la note de la copie.

Définition 2 : Univers

L’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Il est souventnoté Ω. Une issue est un élément ω ∈ Ω

Exemple :

1. Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 = J1; 6K ;

2. Ω = pile ; face ;

3. Ω = 0; 1; 2; 3; . . . ; 18; 19; 20 = J0; 20K.

Définition 3 : Événement

Un évènement est un résultat possible d’une expérience aléatoire. Dans le cas ou l’univers Ωest fini, on peut associer de manière unique un évènement A à une partie (ou sous-ensemble)de Ω, que l’on note également A :

A = ω ∈ Ω |ω réalise A .

Autrement dit, si ω ∈ Ω est un résultat de l’expérience, alors ω réalise A, si et seulement si,ω ∈ A.

Exemple :

1. "Obtenir un numéro impair". La partie (ou sous-ensemble) associée est A = 1; 3; 5 ;

2. "Obtenir face". La partie (ou sous-ensemble) associée est A = face ;

3. "Avoir la moyenne". La partie (ou sous-ensemble) associée estA = 10; 11; . . . ; 19; 20 = J10; 20K ;

Remarque : L’ensemble des parties de Ω est noté P(Ω). Il vérifie les propriétés suivantes(que nous reverrons plus tard) :

• Ω ∈ P(Ω) ;• ∀A ∈ P(Ω) , A ∈ P(Ω) ;• ∀A,B ∈ P(Ω) , A ∪ B ∈ P(Ω) .

2


1.2. Lien entre terminologie probabiliste et ensembliste

On effectue une expérience aléatoire. On note Ω l’univers. On considère A et B deuxévènements liés à l’expérience aléatoire.Définition 4 : Évènement élémentaire, certain, impossible

Un événement est dit• élémentaire lorsque la partie associée est réduite à un élément (on parle de singleton) ;• certain s’il est toujours réalisé (c’est alors Ω) ;• impossible s’il n’est jamais réalisé (c’est alors ∅).

Exemple :

1. "Obtenir 5" est un évènement élémentaire, associé au singleton 5.

2. "Obtenir pile ou face" est un évènement certain, associé à la partie Ω.

3. "Avoir une note négative" est un évènement impossible, associé à la partie ∅.

Définition 5 : Évènement contraire

Soit ω ∈ Ω. On dit que ω réalise l’évènement contraire de A, si et seulement si, ω ne réalisepas A. On note A l’évènement contraire de A. La partie A associée est la partie constitué detous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. Autrement dit, A = Ω \A.

Exemple :

1. Soit A l’évènement "obtenir face". La partie associée est A = face. L’évènementcontraire est A : "obtenir pile". La partie associée est A = pile.

2. Soit A l’évènement "obtenir un nombre pair". La partie associée est A = 2; 4; 6.L’évènement contraire est A : "obtenir un nombre impair". La partie associée estA = 1; 3; 5.

3. Soit A l’évènement "avoir une note supérieure ou égale à 12". La partie associéeest A = J12; 20K. L’évènement contraire est A : "avoir une note inférieure ou égaleà 11". La partie associée est A = J0; 11K.

Définition 6 :

On dit que l’évènement A implique l’évènement B si la réalisation de l’évènement A impliquecelle de l’évènement B. En terme ensembliste, cela signifie :

A implique B ⇐⇒ A ⊂ B .

Exemple : Considérons l’expérience aléatoire suivante : on lance un dé à 6 faces deux foisde suite. Soit A l’évènement "faire un 6 au premier lancé" et B l’évenement "faire aumoins un 6". Les parties associées sont :

A = (6; 1) ; (6; 2) ; (6; 3) ; (6; 4) ; (6; 5) ; (6; 6) ,

B = (6; 1) ; (6; 2) ; (6; 3) ; (6; 4) ; (6; 5) ; (6; 6) ; (1; 6) ; (2; 6) ; (3; 6) ; (4; 6) ; (5; 6) .

L’évènement A implique l’évènement B, et les parties associées vérifient bien A ⊂ B.

Définition 7 :

On dit que l’évènement A ou B est réalisé, si et seulement si, au moins l’un des deux évène-ments A ou B est réalisé. La partie associée est A ∪B.

3


Exemple : On reprend l’expérience précédente. Soit A l’évènement "faire un 3 au premierlancé" et B l’évènement "faire un 5 au deuxième lancé". Les parties associées sont :

A = (3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 4) ; (3; 5) ; (3; 6) ,

B = (1; 5) ; (2; 5) ; (3; 5) ; (4; 5) ; (5; 5) ; (6; 5) .

L’évènement A ou B est "faire un 3 au premier lancé ou un 5 au deuxième lancé" et lapartie associée est :

A ∪ B = (3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 4) ; (3; 5) ; (3; 6) ; (1; 5) ; (2; 5) ; (4; 5) ; (5; 5) ; (6; 5) .

Définition 8 :

On dit que l’évènement A et B est réalisé, si et seulement si, les deux évènements A et B sontréalisés. La partie associée est A ∩B.

Exemple : Reprenons l’exemple précédent. L’évènement A et B est "faire un 3 au premierlancé et un 5 au deuxième lancé" et la partie associée est :

A ∩ B = (3; 5)

Définition 9 :

On dit que deux évènements A et B sont incompatibles si l’évènement A et B est impossible.Autrement dit, les évènements A et B sont incompatibles si les parties A et B associées vérifientA ∩B = ∅.

Exemple : On reprend l’expérience des exemples précédents. Soit A l’évènement "faireun 3 au premier lancé" et B l’évènement "faire un 5 au premier lancé".On vérifie alors facilement que les deux parties A et B associées vérifient A ∩B = ∅. Lesévènements A et B sont donc incompatibles.

On récapitule toutes ces notions dans le tableau suivant :

Terminologie probabiliste Terminologie ensembliste Notationévènement certain Ensemble entier Ωévènement impossible Ensemble vide ∅évènement élémentaire Singleton ωévènement A Ensemble A A ⊂ Ω

évènement contraire de A Complémentaire de A A = Ω \ AA ou B A union B A ∪B

A et B A inter B A ∩B

A et B incompatibles A et B disjoints A ∩B = ∅ω réalise A ω appartient à A ω ∈ A

4


2. Dénombrement

2.1. Cardinaux

Définition 10 : Cardinal

Soit E un ensemble non vide. On dit que E est fini s’il est composé d’un nombre fini d’élémentse1, . . . , en. On dit alors que n est le cardinal de E et on note

Card(E) = n ou |E| = n .

Remarque : Faire du dénombrement, c’est déterminer le cardinal d’un ensemble, sans avoirà établir la liste des éléments le composant.

Théorème 1 : Formule du crible de Poincaré

• Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble fini E. Alors,

card(A ∪B) = card(A) + card(B)− card(A ∩B) .

• Soient A, B et C trois sous-ensembles d’un ensemble fini E. Alors,

card(A∪B ∪ C) = card(A) + card(B) + card(C)

− card(A ∩B)− card(A ∩ C)− card(B ∩ C) + card(A ∩B ∩C) .

Remarque : La formule se généralise par récurrence au cas d’une union de n sous-ensemblesA1, . . . , An d’un ensemble E. On donne ci-dessous le cas ou les ensembles Ak sont deux àdeux disjoints.

Proposition 1 :

Soient A1, . . . , An des sous-ensembles d’un ensemble fini E, deux à deux disjoints. On a :

card(n⋃

k=1

Ak) =n∑

k=1

card(Ak) .

Proposition 2 :

Soient E et F deux ensembles finis. Alors,

card(E × F ) = card(E) × card(F ) .

En particulier, si E est un ensemble fini et n ∈ N, alors :

card(En) = card(E)n .

5


2.2. Uplets

Définition 11 : p-uplet

Soit E un ensemble fini et p ∈ N. On appelle p-uplet de E, tout élément de Ep. Autrementdit, c’est un élément de la forme (x1, . . . , xp) avec xi ∈ E pour tout i ∈ J1; pK.

Remarque : Il faut bien faire la distinction avec un ensemble à n éléments pour lequell’ordre n’importe pas. Ainsi, (1; 3; 2) et (1; 2; 3) sont deux 3-uplets distincts, tandis que1; 3; 2 et 1; 2; 3 représentent le même ensemble.

Proposition 3 :

Le nombre de p-uplets d’un ensemble à n éléments est np.

Définition 12 : Permutation

Soit E un ensemble fini à n éléments. On appelle permutation de E tout n-uplets d’élémentsdistincts de E.

Exemple : L’ensemble des permutations de E = J1; 3K est :

(1; 2; 3) ; (1; 3; 2) ; (2; 1; 3) ; (2; 3; 1) ; (3; 1; 2) ; (3; 2; 1) .

Proposition 4 :

Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n!.

Théorème 2 :

Soit E un ensemble à n éléments, et p ∈ J1;nK. Le nombre de p-uplets d’éléments distincts deE est :

n× (n− 1)× · · · × (n− (p − 1)) =n!

(n− p)!.

Définition 13 : Coefficient binomial

Soit E un ensemble à n éléments et p ∈ J0;nK. Le nombre de sous-ensembles de E de cardinalp est un nombre entier naturel (qui ne dépend évidemment que du cardinal de E), noté

(

np

)

,et qui se lit "p parmi n".

Exemple : Soit E = 1; 2; 3. Les sous-ensembles à 2 éléments de E sont :

1; 2 , 1; 3 , 2; 3 .

Ainsi,(

32

)

= 3.

Remarque : Il est facile de voir que pour tout entier naturel n, on a :(

n

0

)

= 1 ,

(

n

1

)

= n ,

(

n

n

)

= 1 .

6


Théorème 3 :

Pour tout entier n > 1 et pour tout p ∈ J0;nK, on a :(

n

p

)

=n!

p!(n− p)!=

n(n− 1) . . . (n− (p+ 1))

p!.

Théorème 4 :

• Pour tout n ∈ N et pour tout p ∈ J0;nK, on a (relation de symétrie des coefficients) :(

n

n− p

)

=

(

n

p

)

.

• Pour tout n ∈ N∗ et pour tout p ∈ J0;n − 1K, on a (formule du triangle de Pascal) :

(

n− 1

p− 1

)

+

(

n− 1

p

)

=

(

n

p

)

.

Remarque : La formule du triangle de Pascal permet de déterminer les coefficients bino-miaux de proche en proche.

np

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

3. Probabilités

Dans toute la suite, Ω désigne un ensemble fini et P(Ω), l’ensemble des parties de Ω.Définition 14 :

On appelle probabilité sur Ω, (ou loi de probabilité), tout application P : P(Ω) 7→ [0; 1]vérifiant :

1. P(Ω) = 1 ,

2. Pour tous évènements incompatibles A et B, P(A ∪B) = P(A) + P(B) .

Le triplet (Ω,P(Ω),P) est alors appelé espace probabilisé, et pour tout A ∈ P(Ω), P(A)s’appelle la probabilité de l’évènement A.

7


Exemple : Soit Ω = J1; 6K. On définit P sur P(Ω) par :

∀k ∈ Ω , P(k) =1

6.

L’application P ainsi définie, est bien une probabilité. Elle modélise la situation classiqued’un dé équilibré.

Remarque : L’application P est définie sur P(Ω) et non sur Ω. Ainsi, si ω ∈ Ω, alors P(ω)n’a pas de sens : il faut écrire P(ω) !

3.1. Propriétés de base

Proposition 5 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé, et A,B deux évènements. Alors,

1. P(A) = 1− P(A) .

2. P(∅) = 0 .

3. Si A ⊂ B, alors P(A) 6 P(B) .

4. P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩B) .

5. P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B) .

Preuve.

1. On a Ω = A ∪A avec A ∩A = ∅. Donc, 1 = P(Ω) = P(A) + P(A). D’où le résultat.

2. Il suffit d’appliquer le point précédent à A = Ω.

3. Si A ⊂ B, alors B = A∪(B \A) et A∩(B \A) = ∅ donc P(B) = P(A)+P(B \A) > P(A) .

4. A = (A ∩B) ∪ (A ∩B) et (A ∩B) ∩ (A ∩B) = ∅. D’ou, P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩B) .

5. On a A∪B = A∪ (B ∩A). De plus, A∩ (B ∩A) = ∅, d’où P(A∪B) = P(A)+P(B ∩A).On en déduit grâce au point précédent, la propriété énoncée.

Proposition 6 : Formule du crible de Poincaré

1. Si A1, . . . , Ak est une famille d’évènements deux à deux incompatibles, alors :

P(

k⋃

j=1

Aj) =

k∑

j=1

P(Aj) .

2. Si A,B et C sont trois évènements quelconques, alors :

P(A∪B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

− P(A ∩B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C) + P(A ∩B ∩ C) .

Preuve.

1. Cette formule se démontre par récurrence sur k en utilisant le deuxième axiome de ladéfinition de Probabilité.

2. Cette formule se démontre en écrivant A ∪B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) et en utilisant le 5. dela proposition précédente.

8


3.2. Probabilités élémentaires

Théorème 5 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini, et A ∈ P(Ω) un évènement. Si A = ω1; . . . ;ωn,alors on a :

P(A) =n∑

i=1

P(ωi) .

Exercice résolu 1 :

Un dé est truqué pour que le 6 apparaisse deux fois plus souvent que les autres facesqui, elles, ont toutes la même probabilité de tomber. Calculer P(4; 5; 6).

Solution : Les nombres 1, 2, 3, 4, et 5 ayant la même probabilité de tomber, il existeλ ∈ [0; 1] tel que

∀k ∈ J1; 5K , P(k) = λ .

De plus, le 6 apparait deux fois plus souvent que les autres faces, donc P(6) = 2λ.Par ailleurs, on a :

1 =

6∑

k=1

P(k) = 5λ+ 2λ = 7λ .

D’ou, λ = 17. On en déduit :

P(4; 5; 6) = P(4) + P(5) + P(6) = λ+ λ+ 2λ = 4λ =4

7.

3.3. Le cas de l’équiprobabilité

Définition 15 : Équiprobabilité

Deux évènements A et B sont dis équiprobables si ils ont la même probabilité, c’est-à-diresi P(A) = P(B). On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les évènements élémentaires sontéquiprobables.

Remarque : Les situations d’équiprobabilité sont très nombreuses. Citons par exemple lelancer d’une pièce ou d’un dé équilibré, le tirage au hasard d’une boule dans une urne (ondit souvent "indiscernable au toucher" pour supposer l’équiprobabilité), d’une carte dansun jeu, d’une personne dans un échantillon, etc. Il faut cependant bien faire attention àne pas voir del’équiprobabilité dans toutes les situations !

Remarque culturelle : Loto et équiprobabilité

Le tirage du Loto est un exemple classique d’équiprobabilité : tous les nombres ont absolument la même chance d’être tirés.Par exemple, le tirage 1; 2; 3; 4; 5; 6 a la même probabilité de sortir que les autres, alors que peu de gens auraient l’idéede jouer ces 6 numéros. De quoi alimenter la célèbre maxime "le loto est un impôt sur les gens qui ne connaissent pas lesprobabilités" ?

9


Théorème 6 :

On suppose que l’espace probabilisé (Ω,P(Ω),P) est en situtation d’équiprobabilité. Alors :

1. Pour tout ω ∈ Ω, P(ω) = 1n

où n = card(Ω).

2. Pour tout A ∈ P(Ω), on a :

P(A) =card(A)

card(Ω)=

nombre de cas favorablesnombre de cas total

.

Remarque : Dans le cas d’un espace probabilisé fini en situation d’équiprobabilité, le calculdes probabilités se ramène donc à un calcul de dénombrement. On peut alors utiliser lesméthodes vues dans le paragraphe précédent.

4. Probabilités conditionnelles

4.1. Définitions et propriétés.

Définition 16 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini, et soit A ∈ P(Ω) un évènement tel que P(A) 6= 0.On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, noté PA(B), défini par :

PA(B) =P(A ∩B)

P(A).

Remarque : On rencontre également régulièrement la notation P(A|B) plutôt que PB(A).

Proposition 7 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini, et soit A ∈ P(Ω) un évènement tel que P(A) 6= 0.L’application

PA : P(Ω) → [0; 1]

B 7→ PA(B) = P(A∩B)P(A)

,

est une probabilité sur (Ω,P(Ω).

Remarque : En particulier, toutes les propriétés de la partie 3.1 s’appliquent à B 7→PA(B).

Proposition 8 :

Si A et B sont deux évènements de probabilité non nulles, alors :

P(A ∩B) = PA(B)P(A) = PB(A)P(B) .

10


4.2. Formule des probabilités composées

On peut généraliser la formule précédente.Proposition 9 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et A1, . . . , An ∈ P(Ω) des évènements tels queP(A1 ∩ · · · ∩An−1) 6= 0. On a :

P(A1 ∩ · · · ∩An) = P(A1)PA1(A2)PA1∩A2

(A3) . . .PA1∩···∩An−1(An) .

Preuve. Tout d’abord, remarquons que pour tout j ∈ J1;n−1K, on a A1∩. . . Aj ⊂ A1∩. . . An−1.Par conséquent,

0 < P(A1 ∩ . . . An−1) 6 P(A1 ∩ . . . Aj) .

Ainsi, toutes les probabilités conditionnelles de la formule ci-dessus ont bien un sens. La formulese démontre alors par récurrence sur n.

Remarque :

1. Dans le cas n = 2, on retrouve la formule

P(A ∩ B) = PA(B)P(B) .

2. Dans le cas n = 3, cela donne :

P(A ∩ B ∩ C) = P(A)PA(B)PA∩B(C) .


Considérons une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules blanches. On tire successi-vement 3 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir un tirage constitué de3 boules blanches ?

Solution : Notons Ai l’évènement "la i-ème boule tirée est blanche". Clairement, ona :

P(A1) =4

10=

2

5.

P(A2) est moins évident car on ne connaît pas la composition précise de l’urne lors dudeuxième tirage. Cependant, le calcul de PA1

(A2) est facile :

PA1(A2) =

3

9=

1

3.

De même,

PA1∩A2(A3) =

2

8=

1

4.

Par la formule des probabilités composées, on obtient :

P(A1 ∩ A2 ∩ A3) =2

5×

1

3×

1

4=

1

30.

11


4.3. Formule des probabilités totales

Définition 17 : Système complet d’évènements

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et A1, . . . , An ∈ P(Ω) des évènements. On dit queA1, . . . , An est un système complet d’évènements si les deux conditions suivantes sontvérifiées :

• ∀1 6 i < j 6 n,Ai ∩Aj = ∅ ;• Ω =

⋃ni=1Aj .

Exemple :

• Si A ∈ P(Ω), alors A ; A est un système complet d’évènements.• Si Ω = ω1, . . . , ωn, alors ω1 ; . . . ; ωn est un système complet d’évène-

ments.

Théorème 7 : Formule des probabilités totales

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et A1, . . . , An un système complets d’évènements.Alors, pour tout évènement B ∈ P(Ω), on a :

P(B) =

n∑

k=1

P(B ∩Ak) .

Si de plus, pour tout k ∈ J1;nK, P(Ak) 6= 0, alors :

P(B) =

n∑

k=1

P(B ∩Ak) =

n∑

k=1

PAk(B)P(Ak) .


Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tira sans remise et successi-vement 3 boules de cette urne. Quelle est la probabilité que la troisième boule du tiragesoit noire ?

Solution : Notons Ai l’évènement "la boule obtenue lors du i-ème tirage est noire".On introduit un système complet d’évènements en considérant les évènements :

B1 := A1 ∩A2 B2 := A1 ∩ A2 , B3 := A1 ∩A2 , B4 := A1 ∩ A2 .

Par la formule des probabilités totales : P(A3) =

4∑

k=1

PBk(A3)P(Bk) . On calcule facile-

ment :

PB1(A3) = 0 PB2

(A3) = PB3(A3) =

1

8avec P(B2) = P(B3) =

8

10×

2

9,

et

PB4(A3) =

2

8avec P(B4) =

8

10×

7

9.

Au final,

P(A3) =2

5×

1

9+

1

5×

7

9=

9

45=

1

5.

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Théorème 8 : Formule de Bayes

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini. Soient A1, . . . , An un système complet d’évène-ments et soit B ∈ P(Ω) un évènement. On suppose que ∀k ∈ J1;nK, P(Ak) 6= 0 et queP(B) 6= 0. Alors, pour tout i ∈ J1;nK :

PB(Ai) =PAi

(B)P(Ai)

P(B)=

PAi(B)P(Ai)

∑nk=1 PAk

(B)P(Ak).

Exemple : On utilise souvent la formule de Bayes dans le cas particulier suivant : soientA et B deux évènements. On suppose que 0 < P(A) < 1 et que P(B) 6= 0. Le systèmeA ; A forme un système complet d’évènements et :

PB(A) =PA(B)P(A)

P(B)=

PA(B)P(A)

PA(B)P(A) + PA(B)P(A).


Dans une population, une personne sur 10 000 souffre d’une pathologie. Un laboratoirepharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez 99 % desmalades mais aussi faussement positif chez 0,1 % des personnes non atteintes. Un indi-vidu passe ce test et obtient un résultat positif.Quelle est sa probabilité d’être malade ? Qu’en conclure ?

Solution : Notons Ω la population, M le sous-ensemble constitué des malades et T

celui constitué des individus rendant le test positif. On a :

P(M) = 10−4 , PM(T ) = 0, 99 , PM(T ) = 10−3 .

Par la formule des probabilités totales :

P(T ) = PM(T )P(M) + PM(T )P(M) ,

puis par la formule de Bayes :

PT (M) =P(M ∩ T )

P(T )=

PM(T )P(M)

P(T ),

ce qui numériquement donne 9 %.La personne n’a en fait qu’environ une chance sur 10 d’être malade alors que le test estpositif! Cela s’explique par le fait que la population de malade est de 1/10000 et celledes personnes saines faussement positives est de l’ordre de 1/1000.

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4.4. Lien avec les arbres pondérés

Il est parfois pratique de représenter une si-tuation de probabilités par un arbre pondéréet de savoir utiliser cet arbre pour faire descalculs de probabilités.Considérons l’exemple ci-contre dont l’uni-vers associé comporte six issues :

Ω = A1 ∩B;A1 ∩B;A2 ∩B;

A2 ∩ B;A3 ∩ B;A3 ∩ B .

Le but de ce paragraphe est d’illustrer lespropriétés vues précédemment via un certainnombre de "règles" de calcul sur les arbrespondérés.

A1

P(A1)

BPA1(B)

BPA1

(B)

A2

P(A2)BPA2

(B)

BPA2

(B)

A3

P(A3) BPA3(B)

BPA3

(B)

Règle 1 : La somme des probabilités des branches issues d’un même noeud est

égale à 1.

Cette règle illustre notamment le fait que la probabilité conditionnelle est bien une pro-babilité. Dans l’exemple ci-dessus, on a par exemple :

P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1 ,

PA1(B) + PA1

(B) = 1 etc .

Règle 2 : La probabilité de l’évènement représenté par un chemin est égal au

produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

Cette règle illustre la formule des probabilités composées. Dans l’exemple ci-dessus, on apar exemple :

P(A1 ∩B) = P(A1)PA1(B) ,

P(A2 ∩B) = P(A2)PA2(B) etc .

Règle 3 : La probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités

des chemins qui mènent à cet évènement.

Cette règle illustre la formule des probabilités totales. Dans l’exemple ci-dessus, on a parexemple :

P(B) = PA1(B)P(A1) + PA2

(B)P(A2) + PA3(B)P(A3) .

14



Un enseignant a beaucoup de mal à se réveiller le matin. Aussi, pour parer à touteéventualité, il programme son réveil à 3 horaires h1, h2 et h3. Il se réveille à l’horaireh1 avec une probabilité 1

3et à l’horaire h2 avec une probabilité 1

4. Lorsqu’il se réveille à

l’horaire h1, la probabilité qu’il arrive à l’heure en classe est de 95100

. Lorsqu’il se réveilleà l’horaire h2, la probabilité qu’il arrive en retard en classe est de 10

100. Enfin, lorsqu’il

se réveille à l’horaire h3, la probabilité qu’il arrive en retard en classe est de 30100

. Quelleest la probabilité que l’enseignant soit en retard ?

Solution :

Représentons la situation par un arbre pon-déré. Notons R l’évènement "l’enseignantest en retard en classe" et Hi l’évènement"l’enseignant se réveille à l’horaire hi pouri ∈ 1; 2; 3". H1;H2;H3 forme un systèmecomplet d’évènement. D’après la formule desprobabilités totales (correspondant à la règle3), on a :

P(R) =3∑

i=1

P(Hi)PHi(R)

=1

3×

5

100+

1

4×

10

100+

5

12×

30

100

=1

6.

L’enseignant arrive donc en retard avec uneprobabilité 1

6.

h1

13

R5

100

R95100

h2

14

R10100

R90100

h3

512 R

30100

R70100

Remarque : On peut toujours faire un arbre pondéré mais contrairement aux exigences dubac, il ne suffit plus pour la justification des calculs. Les règles énoncés ci-dessus ne sontfinalement qu’une bonne représentation visuelle des propriétés énoncées précédemment.

5. Indépendance

5.1. Indépendance de deux évènements

Définition 18 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et soient A,B ∈ P(Ω) deux évènements. On ditque A et B sont indépendants si P(A ∩B) = P(A)P(B).

Remarque : Il est facile de voir que deux évènements A et B sont indépendants si PB(A) =P(A) ou de manière équivalente si PA(B) = P(B). Autrement dit, deux évènements A etB sont indépendants si la donnée de l’information "A est réalisé" (resp. "B est réalisé")n’influe pas sur la réalisation de B (resp. A). On retrouve donc une notion intuitived’indépendance.

Remarque culturelle : Les probabilités et les préjugés des joueurs

À la roulette, la boule s’arrête au hasard sur un numéro rouge ou un numéro noir. Dans des ouvrages sur la roulette, on

15


lit que la plus longue "série" (c’est-à-dire suite de résultats de même couleur) que l’on ait observée a été de 24 rouges oude 24 noirs. Beaucoup de joueurs, s’ils observent un jour une série de 24 rouges n’hésitent pas à conclure que le noir doitforcément sortir au coup suivant "puisqu’il n’y a jamais eu de série de 25..." Mais comme l’écrivait le mathématicien JosephBertrand (1822-1900), "la roulette n’a ni conscience, ni mémoire..."Alors, au Loto, les numéros les moins souvent obtenus lors des tirages précédents ont-ils plus de chances de sortir au tiragesuivant ? Le hasard réserve bien des surprises : par exemple, le numéro 22 n’est sorti comme numéro complémentaire qu’après344 tirages, c’est-à-dire plus de 6 ans après le premier tirage du Loto (le 19 mai 1976)...Le "bon sens" devrait suffire à persuader les joueurs que les coups successifs de la roulette, comme les tirages successifs duLoto sont indépendants les uns des autres...

5.2. Indépendance d’une famille d’évènements

Définition 19 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et soient A1, . . . , An des évènements.• On dit que A1, . . . , An sont deux à deux indépendants si :

∀1 6 i < j 6 n , P(Ai ∩Aj) = P(Ai)P(Aj) .

• On dit que A1, . . . , An sont mutuellement indépendants si :

∀I ⊂ J1;nK , P

(

⋂

i∈I

Ai

)

=∏

i∈I

P(Ai) .

Remarque : Par définition, des évènements mutuellement indépendants sont deux à deuxindépendants. La réciproque est fausse en général.En effet, ...

Exemple : Avec 4 évènements A1, A2, A3 et A4 : on dit que les évènements A1, A2, A3 etA4 sont mutuellement indépendants lorsque l’on a les 11 égalités :

• P(A1∩A2) = P(A1)P(A2) , P(A1∩A3) = P(A1)P(A3) , P(A1∩A4) = P(A1)P(A4) , P(A2∩A3) = P(A2)P(A3) , P(A2 ∩A4) = P(A2)P(A4) , P(A3 ∩ A4) = P(A3)P(A4) ;

• P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3) , P(A1∩A2∩A4) = P(A1)P(A2)P(A4) , P(A1∩A3 ∩A4) = P(A1)P(A3)P(A4) , P(A2 ∩ A3 ∩A4) = P(A2)P(A3)P(A4) ;

• P(A1 ∩A2 ∩A3 ∩ A4) = P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) ;

Théorème 9 :

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et A1, . . . , An ∈ P(Ω) des évènements mutuellementindépendants. Soient B1, . . . , Bn ∈ P(Ω) des évènements tels que ∀iJ1;nK, Bi ∈ Ai ; Ai.Alors, les évènements B1, . . . , Bn sont également mutuellement indépendants.

Exemple : Si A, B C sont mutuellement indépendants alors A, B, C aussi, ou encore A,B, C aussi, etc.

16


6. Exercices

Évènements et langage ensembliste

11.1 Soient A,B,C trois évènements d’un espace probabilisable (Ω,P(Ω). Exprimer enterme ensembliste les évènements suivants :

1. A et B sont réalisés.

2. Seulement A est réalisé.

3. Aucun des évènements A,B ou C n’est réalisé.

4. Un seul des évènements A,B ou C est réalisé.

5. Au moins deux des trois évènements A,B ou C sont réalisés.

6. Pas plus de deux des trois évènements A,B ou C sont réalisés.

11.2 Soient A,B,C trois évènements d’un espace probabilisable (Ω,P(Ω).

1. Vérifier que (A ∪ B) ∩ C entraîne A ∪ (B ∩ C).

2. À quelle condition sur A et C les deux évènements précédents sont-ils égaux ?

11.3 On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. On considère les ensembles suivants :• A = les deux cartes tirées sont rouges .• B = les deux cartes tirées sont un valet et un dix .• C = les deux cartes tirées sont des personnages .

1. Que représente les ensembles suivants ?

a. A

b. A ∩B ∩ C

c.(

A ∩ C)

∩(

B ∩ C)

d. (A ∩B) ∩ C

2. Écrire à l’aide des ensembles A,B,C les ensembles :• F = les deux cartes tirées sont des figures et ne sont pas toutes les deux rouges ,• G = on obtient au plus une figure

11.4 Dans une boîte, il y a 4 jetons disponibles numérotés de 1 à 4. On tire simultanémentau hasard deux jetons.

1. Donner tous les tirages possibles.Pour la suite, on note A = les deux jetons sont pairs .

2. Quels sont les tirages constituant les ensembles suivants : A, "A ou A", A ∩ A.

3. On considère l’ensemble C = la somme des chiffres numérotés sur les deux jetons est paire.Quels sont les tirages constituant les ensembles suivants :

C A ∪ C , ”A et C” , ”A ou C” , A ∩ C .

Construction d’une probabilité

11.5 Lors du lancé d’un dé truqué, la probabilité d’obtenir la face k est proportionnelleà k. Déterminer explicitement la probabilité d’obtenir la face k.

17


11.6 Déterminer une probabilité sur Ω = 1, . . . , n telle que la probabilité de l’évène-ment 1, 2, . . . , k soit proportionnelle à k2.

11.7 Soit Ω = a, b, c, d. Peut-on définir une probabilité P sur l’espace probabilisable(Ω,P(Ω) telle que :

P(a, b, c) =1

2, P(a, b, d) =

2

3, P(b, c) =

10

21.

11.8 Soient A et B deux évènements d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω)) tel que P(A) = 1(on dit que A est presque sûr).

1. Montrer que P(A ∪ B) = 1.

2. En déduire que P(A ∩B) = P(B).

11.9 Soient A et B deux évènements d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω),P). Montrer que :

max0;P(A) + P(B)− 1 6 P(A ∩B) 6 minP(A),P(B) .

Probabilité par dénombrement

11.10 Dans un jeu de tarot, il y a 21 atouts numérotés de 1 à 21. On prend cinq atoutsau hasard. Calculer la probabilité qu’une main contienne :

1. Le 1 ou le 21.

2. Au moins un multiple de 5.

3. Exactement un multiple de 5 et un multiple de 3.

11.11 Une urne contient des boules numérotées de 1 à 10. On tire, sans remise, troisboules dans cette urne.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros en ordre croissant ?

2. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre strictementcroissant.

3. Même question pour un tirage avec remise et des numéros en ordre croissant ausens large.

11.12 Quelle est la probabilité qu’une application de 1; . . . ; 5 dans 1; . . . ; 5 soitsurjective ? Même question pour une application de 1; . . . ; 5 dans 1; . . . ; 4 ?

11.13

1. On considère les deux ensembles :

E = 1; 2; 3; 4 et F = a; b; c; d .

Quel est le nombre total de bijections de E sur F ?

2. Quatre hommes et leurs épouses décident de danser en se soumettant aux règlessuivantes : les partenaires sont tirés au sort et sont de sexe différent ; tout le mondedanse. Calculer la probabilité :

18


a. pour que chacun des hommes danse avec son épouse ;

b. pour que deux hommes seulement dansent avec leurs épouses ;

c. pour qu’un homme seulement danse avec son épouse ;

d. pour qu’au moins un homme danse avec son épouse.

11.14 Au loto, on doit cocher 5 cases dans une grille numérotée de 1 à 49.

1. Quel est le nombre de grilles différentes que l’on peut former ?

2. On a une grille gagnante si celle-ci contient au moins deux numéros parmi les cinqtirés.

a. Calculer la probabilité qu’une grille soit perdante.

b. Calculer la probabilité qu’une grille présente exactement deux bons numéros.

c. Calculer la probabilité qu’une grille présente au moins quatre bons numéros.

11.15 On veut ranger 10 livres distincts deux à deux sur une étagère horizontale. Quelleest la probabilité pour que trois livres donnés et nommés A, B et C soient rangés côte àcôte ?

11.16 On lance un dé à quatre faces (numérotées de 1 à 4) n fois de suite. On note pnla probabilité que les quatre chiffres (1, 2, 3, 4) apparaissent au moins une fois lors des n

lancers.Pour tout nombre entier i ∈ 1; . . . ; 4, on note Ai l’évènement "le numéro i n’apparaîtpas durant les n tirages".

1. Calculer P(A1 ∪ A2 ∪A2 ∪A4).

2. En déduire que pn = 1− 4(

14

)n+ 6

(

24

)n− 4

(

34

)n.

3. Calculer limn→+∞

pn. Interpréter ce résultat.

Probabilités conditionnelles

11.17 Soient A,B,C trois eévènements d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω),P) avec P(B ∩C) > 0. Vérifier que

PB∩C(A)PC(B) = PC(A ∩B) .

11.18 Soient A et B deux évènements d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω),P) avec P(A) >0. Comparer les probabilités conditionnelles

PA∪B(A ∩ B) et PA(A ∩ B) .

11.19 Une urne contient 20 boules dont 8 boules noires, 7 boules rouges et 5 boulesblanches. On pioche sans remise 4 boules.

1. Calculer les probabilités des évènements suivants :

a. A "obtenir exactement deux boules blanches "

b. B "obtenir au moins une boule blanche "

c. C "obtenir autant de boules blanches que de boules rouges"

19


d. D "obtenir aucune boule noire "

2. Calculer les probabilités conditionnelles suivantesPA(B), PB(A), PA(C), PC(A), PA(D), PD(A),PB(C), PC(B), PB(D), PD(B), PD(C), PC(D)

3. Refaire l’exercice en supposant que l’on pioche avec remise.

11.20 Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire sans remise etsuccessivement 3 boules de cette urne.

1. Quelle est la probabilité qu’au moins une boule noire figure à l’intérieur du tirage ?

2. Sachant qu’une boule noire figure dans le tirage. Quelle est la probabilité que lapremière boule tirée soit noire ?

11.21 Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire ?

11.22 Une succession d’individus A1, . . . , An se transmet une information binaire dutype « oui » ou « non ».Chaque individu Ak transmet l’information qu’il a reçu avec la probabilité p à l’individuAk+1 ou la transforme en son inverse avec la probabilité 1−p. Chaque individu se comporteindépendamment des autres.Calculer la probabilité pn pour que l’information reçue par An soit identique à celle émisepar A1.On suppose 0 < p < 1. Quelle est la limite de pn quand n tend vers l’infini ?

11.23 Dans un magasin de CD, 5 % des boîtes sont en mauvais état, 60 % des boîtesabîmées contiennent un CD défectueux, et 98 % des boîtes en bon état contiennent unCD en bon état. Un client achète un CD. On note A l’évènement "la boîte achetée estabîmée" et D l’évènement "le CD acheté est défectueux".

1. Calculer P(A), P(A), PA(D), PA(D), PA(D) et PA(D).

2. Calculer P(D).

3. Le client constate que son CD est défectueux. Quelle est la probabilité qu’il aitacheté une boîte abimée ?

11.24 Soit a ∈]0; 12[. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester

stable, ou baisser. Le premier jour, le titre est stable. Si un jour n, le titre monte, le journ+1, il montera avec la probabilité 1−2a, restera stable avec la probabilité a et baisseraavec la probabilité a.Si un jour n, le titre est stable, le jour n + 1, il montera avec la probabilité a, resterastable avec la probabilité 1− 2a et baissera avec la probabilité a.Si un jour n, le titre baisse, le jour n + 1 il montera avec la probabilité a, restera stableavec la probabilité a et baissera avec la probabilité 1− 2a.On note Mn (resp. Sn, resp. Bn) l’évènement "le titre monte (resp. reste stable, resp.baisse) le jour n".On pose pn = P(Mn), qn = P(Sn) et rn = P(Bn).

1. Expliciter pn+1 et qn+1, en fonction de pn, qn et rn.

20


2. Que vaut pn + qn + rn ? En déduire l’expression de rn en fonction de pn et qn.

3. Montrer que les suites p et q sont arithmético-géométrique.

4. En déduire pn, qn puis rn en fonction de n.

11.25 Première partie :

Soient M =

2 1 11 2 11 1 2

et I3 la matrice identié d’ordre 3.

1. On pose J = M − I3. Calculer J2 en fonction de J .

2. Montrer par récurrence qu’il existe une suite (un)n∈N de réels telle que :

∀n ∈ N , Mn = I3 + unJ .

Exprimer un+1 en fonction de un.

3. Pour tout n ∈ N, on pose vn = un + 13. Montrer que la suite vn est géométrique.

En déduire l’expression de un en fonction de n.

4. Déterminer l’expression de Mn en fonction de n.

Deuxième partie :

Les poules pondent des œufs que l’on classe suivant trois calibres A,B, C.• Si une poule pond un œuf de calibre A, l’œuf qu’elle pondra ensuite sera de calibre

A, B, ou C avec des probabilités respectives 12, 1

4et 1

4.

• Si une poule pond un œuf de calibre B, l’œuf qu’elle pondra ensuite sera de calibreA, B, ou C avec des probabilités respectives 1

4, 1

2et 1

4.

• Si une poule pond un œuf de calibre C, l’œuf qu’elle pondra ensuite sera de calibreA, B, ou C avec des probabilités respectives 1

4, 1

4et 1

2.

• Pour n ∈ N∗, on désigne par an, bn et cn les probabilités respectives pour que le

n-ième œuf pondu par une poule soit de calibre A, B ou C.

On pose Xn =

anbncn

.

1. a. Calculer an+1, bn+1 et cn+1 en fonction de an, bn et cn. En déduire une matriceU telle que Xn+1 = UXn pour tout entier n.

b. Exprimer U en fonction de M . En déduire Un en fonction de n.

2. On suppose que le premier œuf pondu par une poule est de calibre C. Déduire desquestions précédentes an, bn et cn en fonction de n, ainsi que leurs limites quandn tend vers +∞.

Indépendance

11.26 On lance un dé à six faces parfaitement équilibré. Justifier l’indépendance desévènements A " on obtient le tirage 2, 4 ou 6" et B " on obtient le tirage 3 ou 6 " .

11.27 On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. On note Ai l’évènement "obtenirpile au i-ème lancer" pour i ∈ 1, 2, 3. Montrer que les évènements A1, A2 et A3 sontmutuellement indépendants.

11.28 Montrer qu’un évènement A est indépendant de tout autre évènement si, et seule-ment si, P(A) = 0 ou 1.

21

7. Table des matières

1 Le cadre probabiliste 2

1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lien entre terminologie probabiliste et ensembliste . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Dénombrement 5

2.1 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Uplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Probabilités 7

3.1 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Le cas de l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Probabilités conditionnelles 10

4.1 Définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Lien avec les arbres pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Indépendance 15

5.1 Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Indépendance d’une famille d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Exercices 17

6.1 Évènements et langage ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Construction d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 Probabilité par dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.4 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chapitre 11 Probabilités sur un univers ﬁni

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