Cours - Chapitre 6 - Probabilités

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Cours - Chapitre 6 - ProbabilitésTerminale S M.Guéry

Table des matières

1 Probabilités à partir d'un ensemble ni 3

1.1 Notion intuitive des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Dénitions, langage probabiliste et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Probabilités conditionnelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dénombrement et combinatoire 9

2.1 La combinatoire au service du dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Dénombrer pour déterminer une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Combinatoire, triangle de Pascal et binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Variables aléatoires et lois de probabilités discrètes 14

3.1 Variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Lois discrètes usuelles : loi équirépartie et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Loi équirépartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Variables aléatoires et lois continues 18

4.1 Variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Lois continues : loi uniforme et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Trois statisticiens vont à la chasse au canard. Un canard décolle. Le premier tire et passe dix centimètres

au-dessus. Le second tire et passe dix centimètres en-dessous. Le troisième, tout sourire :

"C'est bon les gars, on l'a eu !"

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Introduction

Nous allons dans ce chapitre compléter les connaissances que vous avez déjà, héritage de votre fabuleuseannée de Première. Je suis sur que personne ne me demandera à quoi sert les probabilités, car vous enconnaissez déjà l'utilité. Vous pourrez ainsi, si vous ne le savez pas déjà, calculer vos chances de gagner auloto. D'ailleurs, l'entreprise gérant le loto (je n'ai pas le droit de faire de pub !) engage des mathématicienspour faire des calculs de probabilités et de statistiques. En fonction du nombre de participants, des chancesde remporter le jackpot et du prix des grilles, cette entreprise est ainsi presque sûre de gagner de l'argentà chaque tirage. Le prix des grilles et le montant du gain ne sont pas anodins !Avec ce cours, vous pourrez aussi déterminer vos chances de battre vos amis (qui ne le resteront peut-êtrepas !) lors d'une partie de poker. Mais attention ! Jouez avec modération !

Cette partie des mathématiques a l'avantage de pouvoir être très bien comprise, même si on n'est pasun crack dans cette matière. D'ailleurs,les élèves gagnent souvent quelques bons points lors du baccalau-réat grâce à la partie probabilités. Il faut tout de même être rigoureux, car les réponses aux questions nesuront pas : il faudra présenter méthodiquement votre démarche et justier clairement votre résultat.

Vous trouverez aussi dans ce chapitre une section "combinatoire", présentant par exemple le célèbreTriangle de Pascal, qui permet par exemple de développer très facilement l'expression (a+b)n, pour n ∈ N.Blaise Pascal était un mathématicien français du XV IIme siècle. Il toucha à beaucoup d'autres disciplines,comme la physique et la philosophie. Mais son premier amour fut les mathématiques, la philosophie étantson passe-temps à la n de sa vie. Pascal utilise ce triangle pour résoudre le problème des "partis". Ceproblème consiste à partager les gains de deux joueurs de manière équitable avant la n d'un jeu de hasard,en fonction des chances de chacun de gagner. Pascal voit alors se dévoiler une mathématique du hasard, cequi paraît totalement contradictoire ! Les mathématiques sont exactes et rationnelles, alors que le hasardest le parfait opposé. C'est Christian Huygens, après avoir pris connaissance au milieu du XV IIme siècledes travaux de Pascal, qui dénit le premier la notion d'espérance. L'étude des probabilités était lancée.

Blaise Pascal Triangle de Pascal

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1 Probabilités à partir d'un ensemble ni

1.1 Notion intuitive des probabilités

On va s'échauer en douceur avec une approche évidente des probabilités. Supposons qu'on lance undé à 6 faces bien équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 ? Tout le monde me répondra 1 chancesur 6. En eet, il y a une seule face 3, contre six faces au total.Ainsi, la probabilité d'un événement se calcule généralement par : nombre de cas favorables

nombre total de cas.

Vous vous doutez bien que tout ne sera pas aussi facile ! Attaquons alors le vif du sujet !

1.2 Dénitions, langage probabiliste et premières propriétés

Dénition : On appelle univers, noté Ω, l'ensemble des cas possibles lors d'une expérience.

exemples :

1. Lorsqu'on lance un dé à six faces, Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6.2. Lorsqu'on lance simultanément deux dés distincts, Ω = (1, 1); (1, 2); ...; (1, 6); (2, 1); ...; (6, 5); (6, 6).3. Lorsqu'on tire une carte au hasard parmi 52 cartes, Ω =ensemble des cartes.

Dénition : Soit Ω un univers. Soit A une partie de Ω, c'est-à-dire A ⊆ Ω. On dit que A est un événement.

exemple : On lance un dé à six faces. On appelle A l'événement "Tomber sur 3". Ainsi, A = 3.

Dénition : Soient Ω un univers et A une partie de Ω.On appelle cardinal de A, noté card(A), le nombre d'éléments contenus dans A.

Dans toute la suite de ce chapitre, on notera Ω l'univers et A et B deux événements de Ω.

Dénition : On parle de situation d'équiprobabilité lorsque tous les événements ayant le même nombrede cas favorables ont la même probabilité.

exemples :

1. Lorsqu'on lance un dé bien équilibré, il y a équiprobabilité.

2. Lorsque le dé est pipé ou truqué, on n'a plus équiprobabilité.

Proposition 1 : Lorsque la situation est équiprobable : p(A) = card(A)card(Ω)

.

Corollaire : : On a ainsi les trois résultats suivants :

1. p(Ω) = 1.

2. p(∅) = 0.

3. Pour tout événement A de Ω, 0 ≤ p(A) ≤ 1.

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Proposition 2 : card(A ∪B) = card(A) + card(B)− card(A ∩B).

Démonstration : Lorsqu'on compte le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble A ∪ B, on ajoutele nombre d'éléments de A au nombre d'éléments de B. Le problème est qu'on a compté deux fois leséléments qui sont à la fois dans A et dans B, c'est-à-dire les éléments contenus dans A ∩B.Ainsi, on a bien : card(A ∪B) = card(A) + card(B)− card(A ∩B).

Proposition 3 : p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B).

exemple : On lance un dé à six faces bien équilibré. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.Notons A l'événement "Obtenir 2 ou 3" et B l'événement "Obtenir un chire pair".On a d'un côté : A ∪B ="Obtenir 2 ou 3 ou un chire pair" = "Obtenir 3 ou un chire pair".Ainsi, A ∪B = 2; 3; 4; 6 et donc card(A ∪B) = 4. Par conséquent, p(A ∪B) = 4

6= 2

3.

D'un autre côté, on a clairement que p(A) = 26et p(B) = 3

6.

De plus, A ∩B ="Obtenir 2 ou 3 et un chire pair" = "Obtenir 2" ; c'est-à-dire A ∩B = 2.Donc p(A ∩B) = 1

6.

Par la Proposition 2, on a alors : p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) = 26

+ 36− 1

6= 4

6= 2

3.

Démonstration : Par la Proposition 1, p(A ∪B) = card(A∪B)card(Ω)

, par la Proposition 2 :

p(A ∪B) = card(A)+card(B)−card(A∩B)card(Ω)

= card(A)card(Ω)

+ card(B)card(Ω)

− card(A∩B)card(Ω)

= p(A) + p(B)− p(A ∩B).

Dénition : On dit que A et B sont incompatibles si ces deux événements ne peuvent pas se produire enmême temps, c'est-à-dire A ∩B = ∅.

exemple : On lance un dé à six faces. On note A l'événement "Obtenir 2" et B l'événement "Obtenirun chire impair". A et B sont clairement incompatibles !

Proposition 4 : A et B sont incompatibles ⇐⇒ p(A ∩B) = 0⇐⇒ p(A ∪B) = p(A) + p(B).

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Dénition : On note A l'événement contraire de A.

exemple : On lance un dé à six faces. Notons A l'événement "Obtenir 1 ou 2". Alors A = 3; 4; 5; 6.

Proposition 5 : p(A) = 1− p(A).

exemple : On lance un dé à six faces. On note A l'événement "Obtenir 1".Clairement, p(A) = 1

6. Donc la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 2 vaut 1− 1

6= 5

6.

Démonstration : Par dénition, on a Ω = A ∪ A. De plus, A et A sont incompatibles.Donc p(Ω) = p(A ∪ A) = p(A) + p(A) par la Proposition 4.Or, par le Corollaire de la Proposition 1, p(Ω) = 1.Ainsi, p(A) + p(A) = 1.

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1.3 Probabilités conditionnelles et indépendance

Mis à part le cas où deux événements A et B de notre univers Ω sont incompatibles, on a besoin de laprobabilité de A∩B pour calculer la probabilité de A∪B. Pour la déterminer, on a besoin des probabilitésconditionnelles, dénies ci-dessous.

Dénition : On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, notée pB(A), la probabilité que A seréalise sachant que B est déjà réalisé. On a alors la relation suivante :

p(A ∩B) = p(B)× pB(A) = p(A)× pA(B).

exemples :

1. Calcul de pA(B).On lance un dé à six faces bien équilibré. On note A l'événement "Obtenir 2" et B l'événement"Obtenir un nombre pair". Sachant que B est réalisé, c'est-à-dire sachant que le chire obtenu estpair, quelle est la probabilité que ce soit 2 ?Il y a trois chires pairs : 2,4 et 6. On a donc une chance sur trois d'obtenir 2. Ainsi, pB(A) = 1

3.

2. Utilisation de pA(B) pour calculer p(A ∩B).On tire une carte parmi 52. On note A l'événement "Obtenir un Roi" et B l'événement "Obtenir unPique". Quelle est la probabilité d'obtenir le Roi de Pique ? Il sut de calculer p(A ∩B).On sait que p(B) = 1

4et que, si on tire une carte Pique, on a 1 chance sur 13 de tirer un Roi,

c'est-à-dire pB(A) = 113. Donc :

p(A ∩B) = p(B)× pB(A) = 14× 1

13= 1

52.

Dénition : On dit que A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'inuence pas la réalisationde l'autre. Autrement dit :

A et B sont indépendants si, et seulement si, pB(A) = p(A) (ou pA(B) = p(B)).

exemple : On lance un dé deux fois de suites. On note A l'événement "Obtenir 1 au premier lancé" etB l'événement "Obtenir 2 au second lancé". Quelle est la probabilité d'obtenir 2 au second lancé, sachantqu'on a obtenu 1 au premier ? Autrement dit, que vaut pA(B) ?Le second lancé de dé est totalement indépendant du résultat du premier lancé, donc on a autant de chanced'obtenir 2 au second lancé sachant qu'on a eu 1 au premier que de chance d'obtenir 2 sans avoir lancé ledé au préalable. En d'autres termes, pA(B) = p(B).

Proposition 6 : A et B sont indépendants ⇐⇒ p(A ∩B) = p(A)× p(B).

Démonstration :

A et B indépendants ⇐⇒ pB(A) = p(A)⇐⇒ p(A ∩B) = p(B)× pB(A) = p(B)× p(A).

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Corollaire : Pour n ∈ N∗, on note A1, A2, ..., An une série de n événements indépendants deux à deux.Alors :

p(A1) ∩ ... ∩ An) = p(A1 × ...× p(An).

exemple : On lance 4 fois un dé à six faces non pipé.Quelle est la probabilités d'obtenir 4 fois la face "1" ?Notons Ai l'événement "Obtenir la face "1" au i-ème lancé", avec 1 ≤ i ≤ 4. On cherche alors à calculerp(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4). Les lancés étant indépendants, le Corollaire de la Proposition 6 nous donne :

p(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) = p(A1)× p(A2)× p(A3)× p(A4) = (16)4.

Démonstration : On utilise par récurrence sur n la démonstration de la Proposition 6.Au boulot les enfants !

Jusqu'ici, déterminer la probabilité d'un événement étant relativement facile. Parfois, les propositionsci-dessus ne susent pas. Du coup, on découpe cet événement en plusieurs autres événements. On a alorsbesoin de dénir ce qu'est une partition.

Dénition : Soit n ∈ N∗. On dit que les événements A1, A2, ..., An forment une partition de Ω si :

1. A1, A2, ..., An sont disjoints deux à deux, c'est-à-dire Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i 6= j.

2. A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.

exemple simple : On lance un dé à six faces. On note Ai l'événement "Obtenir la face i".On a clairement que A1, A2, ..., A6 forment une partition de Ω.

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Proposition 7 : Si A1, A2, ..., An est une partition de Ω, alors : p(A1) + ...+ p(An) = 1.

Démonstration : Par récurrence sur n que p(A1) + ...+ p(An) = p(Ω).

1. Initialisation : Si n = 1, Ω = A1 donc p(A1) = p(Ω) = 1.

2. Hérédité : On suppose que la propriété est vraie à un rang n0 quelconque.Soit alors A1, A2, ..., An0 , An0+1 une partition de Ω. Or, An0+1, An0+1 est par dénition une autrepartition de Ω. Donc A1, A2, ..., An0 est une partition de An0+1. Par hypothèse de récurrence :

p(A1) + ...+ p(An0) = p(An0+1) = 1− p(An0+1) par la Proposition 5.

Ainsi : p(A1) + ...+ p(An0) + p(An0+1) = 1 = p(Ω).

3. Conclusion : OK ! ! !

Théorème 1 : (Formule des probabilités totales)Soient n ∈ N∗ et A1, A2, ..., An une partition de Ω. Alors :

p(B) = p(B ∩ A1) + ...+ p(B ∩ An).

Ainsi, lorsque p(Ai) 6= 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n :

p(B) = p(A1)× pA1(B) + ...+ p(An)× pAn(B).

exemple : On dispose d'un dé équilibré et de trois pièces. La première est bien équilibrée, la deuxièmeest truquée de telle sorte qu'on a deux chances sur trois d'obtenir "face", la troisième est aussi truquée demanière à avoir trois chances sur quatre de tomber sur "face". Le jeu est le suivant :On lance le dé. Si on obtient 1 ou 2, on lance la première pièce ; si on obtient 3 ou 4, on lance la deuxièmepièce ; si on obtient 5 ou 6, on lance la troisième pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir "face" ?On note F l'événement "Obtenir face" ; A1 l'événement "Tomber sur 1 ou 2 au lancé de dé" ; A2 l'événement"Tomber sur 3 ou 4 au lancé de dé" ; A3 l'événement "Tomber sur 5 ou 6 au lancé de dé".On a clairement que A1, A2 et A3 forment une partition de notre univers. Donc :

F = (F ∩ A1) ∪ (F ∩ A2) ∪ (F ∩ A3).

Ainsi, par la Formule des probabilités totales :

p(F ) = p(F ∩ A1) + p(F ∩ A2) + p(F ∩ A3) = p(A1)× pA1(F ) + p(A2)× pA2(F ) + p(A3)× pA3(F ).

Or, p(A1) = p(A2) = p(A3) = 13(car le dé est bien équilibré). De plus :

pA1(F ) = 12(la première pièce est bien équilibrée) ; pA2(F ) = 2

3; pA3(F ) = 3

4.

Ainsi, tout calcul fait, on trouve : p(F ) = 57108

.

Démonstration : A1, A2, ..., An étant une partition de Ω, on a : B = (B ∩ A1) ∪ ... ∪ (B ∩ An).Comme les événements Ai sont incompatibles (ou disjoints) deux à deux, les événements (B ∩ Ai) aussi.Ainsi, par le Corollaire de la Proposition 6, p(B) = p(B ∩ A1) + ...+ p(B ∩ An).On utilise ensuite, pour chaque terme, les probabilités conditionnelles :

p(B) = p(A1)× pA1(B) + ...+ p(An)× pAn(B).

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2 Dénombrement et combinatoire

Si vous n'aimez pas compter, je suis désolé, cette partie ne va pas vous plaire. Quoique, avec moi, toutdevient plus simple et plus clair ! Oui mes chevilles vont bien, pourquoi ?Pourquoi une partie combinatoire dans les probabilités me demanderez-vous. Pour calculer la probabilitéd'un événement A dans un univers Ω, le plus simple est d'utiliser la Proposition 1 : p(A) = card(A)

card(Ω).

Encore faut-il être capable de compter les éléments contenus dans A et ceux contenus dans Ω. L'étude dela combinatoire se révèle alors essentielle.

2.1 La combinatoire au service du dénombrement

Dénition : Soit n ∈ N. On appelle factorielle n, noté n!, l'entier :

n! = n× (n− 1)× (n− 2)× ...× 2× 1.

Par convention, 0! = 1.

Dénition : Soient n et k deux entiers naturels tels que k ≤ n. Soit E un ensemble comportant néléments. On appelle combinaison à k éléments de E une partie de E contenant k éléments distincts.On note Ck

n ou(nk

)le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.

Théorème 2 : Soient n et k deux entiers naturels tels que 1 ≤ k ≤ n. Alors :(nk

)= n!

k!(n−k)!= n×(n−1)×...×(n−k+1)

k×(k−1)×...×2×1.

exemple : On considère une classe de 20 élèves. En début d'année, on doit élir deux délégués.Combien de couples de délégués est-il alors possible de faire ?Pour le choix du premier délégué, on a 20 possibilités, et enn 19 pour le second. En revanche, si on choisitpar exemple Kévin en premier, et Sandra en deuxième, le couple est le même que si on avait choisit Sandraen première et Kévin en second ! On a donc 20×19

2couples possibles, c'est-à-dire

(202

)= 20×19

2.

Remarque importante : Lorsqu'on réalise une combinaison, l'ordre des éléments n'est pas impor-

tant. Pour le classement d'une arrivée lors d'une course automobile par exemple, l'ordre compte. Si on a20 coureurs, il y 20× 19× 18 podiums possibles, et non pas

(203

)= 20×19×18

3×2.

Si Antoine arrive premier, ce n'est pas comme s'il arrivait troisième !

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Page 10: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

Proposition 8 : Soient n et k deux entiers. Alors :

1. Si k = 0,(n0

)= 1.

2. Pour tout n ≥ 1,(n1

)= n.

3. Pour tout n ∈ N,(nn

)= 1.

4. Pour 0 ≤ k ≤ n,(nk

)=(

nn−k

).

Démonstration : L'avantage de la démonstration des trois derniers points est qu'on peut raisonner dedeux manières : soit directement par le calcul avec la formule du Théorème 2, soit en comptant le nombrede combinaisons. Pour le premier point, c'est cette dernière méthode que nous allons utiliser.

1. On veut montrer que pour tout entier n,(n0

)= 1. Or, par dénition,

(n0

)est le nombre de parties à

0 éléments que l'on peut réaliser dans un ensemble E à n éléments. La seule partie ne comportantaucun élément dans E est l'ensemble vide : ∅. Ainsi, on a bien

(n0

)= 1.

2. Raisonnons de la même sorte. Combien de parties à 1 élément peut-on réaliser avec n éléments ?La réponse est n, évidemment ! On prend chaque élément de notre ensemble E, et cela nous donnen parties à 1 élément. Donc, pour tout n ≥ 1,

(n1

)= n.

3. Soit n ∈ N. Combien peut-on faire de parties à n éléments à partir des n éléments de E ? On ne peuten faire qu'une : la partie E elle-même !Vous pouvez aussi vous convaincre de ce résultat en faisant le calcul.

4. Pour ce dernier point, c'est légèrement plus délicat. Le résultat souhaité,(nk

)=(

nn−k

), revient à

montrer qu'on peut faire autant de parties à k éléments parmi les n éléments de E que de parties àn− k éléments. Voici le raisonnement.Lorsque vous choisissez k éléments parmi n, il vous reste n − k éléments. Ainsi, lorsque vous faitesune partie à k éléments, le restant vous donne une autre partie, à n− k éléments !Ainsi, il y a bien autant de parties à k éléments que de parties à n− k éléments.

Par le calcul, on a : Pour 0 ≤ k ≤ n,(

nn−k

)= n!

(n−k)!(n−(n−k))!= n!

(n−k)!(n−n+k)!= n!

(n−k)!k!=(nk

).

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2.2 Dénombrer pour déterminer une probabilité

Comme je l'ai dit au début de ce paragraphe, il faut souvent savoir dénombrer pour calculer une pro-babilité. On va voir un exemple concret de l'utilité de la combinatoire en calculant la probabilité de gagnerau loto en ne jouant qu'une seule grille.

On rappelle qu'une grille de loto comporte 49 nombres, de 1 à 49, et de 10 numéros "chance", de 1 à10. On choisit alors cinq numéros parmi les 49, et un numéro "chance". Pour gagner le gros lot, il fautévidemment avoir les cinq bons numéros et le bon numéro "chance".Notons A l'événement "Obtenir les cinq bons numéros" et B l'événement "Obtenir le bon numéro "chance".Ω est l'univers, c'est-à-dire l'ensemble des grilles possibles que l'on peut jouer.Notons G l'événement "Gagner le jackpot". Clairement, G = A ∩B.Comme le tirage des cinq numéros est indépendant du tirage du numéro "chance" (quoique, ne nousarnaquent-ils pas ?), les événement A et B sont indépendants. Ainsi, par la Proposition 6 :

p(G) = p(A ∩B) = p(A)× p(B). (*)

Il reste alors à calculer p(A) et p(B).

1. Calcul de p(A) : On prend cinq nombres parmi les 49 possibles, et l'ordre ne compte pas

(heureusement !). Donc il y a(

495

)= 1906884 choix diérents possibles pour les cinq numéros.

Ainsi, p(A) = 11906884

.

2. Calcul de p(B) : On choisit un numéro parmi les dix proposés. Donc p(B) = 110.

Par conséquent, d'après (*), on a : p(G) = 11906884

× 110

= 119068840

. (Ca ne fait pas beaucoup...).

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2.3 Combinatoire, triangle de Pascal et binôme de Newton

En introduction, j'ai abordé le sujet du triangle de Pascal, très pratique pour développer ce qu'onappelle le binôme de Newton : (a+ b)n, avec n un entier naturel.La démonstration de la formule du binôme de Newton n'est pas au programme de Terminale S, mais ceuxd'entre vous qui choisiront d'aller en classe préparatoire ou en licence de maths auront le plaisir d'en fairela connaissance.La formule de Pascal ci-dessous explique ce qu'est le triangle de Pascal.

Théorème 3 : (Formule de Pascal)

Soient n et k deux entiers tels que 1 ≤ k ≤ n− 1. Alors :(n+1k+1

)=(nk

)+(nk+1

).

exemple : Vérier que(

53

)=(

42

)+(

43

).

Démonstration : Comme pour la Démonstration de la Proposition 8, on peut raisonner soit parun calcul, ici très brutal, soit en raisonnant sur les parties d'un ensemble à n+ 1 éléments.

1. Calcul brutal : D'un côté : (n+1k+1

)= (n+1)!

(k+1)!((n+1)−(k+1))!= (n+1)!

(k+1)!(n−k)!. (1)

De l'autre côté : (nk

)+(nk+1

)= n!

k!(n−k)!+ n!

(k+1)!(n−(k+1))!= n!

k!(n−k)!+ n!

(k+1)!(n−k−1)!.

Il est très utile de remarquer que (k + 1)! = (k + 1)× k! et que (n− k)! = (n− k)× (n− k − 1)!.Donc en réduisant au même dénominateur, qui est (k + 1)!(n− k)!, on a :(

nk

)+(nk+1

)= n!(k+1)

(k+1)!(n−k)!+ n!(n−k)

(k+1)!(n−k)!= n!(k+1+n−k)

(k+1)!(n−k)!= n!(n+1)

(k+1)!(n−k)!= (n+1)!

(k+1)!(n−k)!. (2)

Ainsi, par (1) et (2), on a bien(n+1k+1

)=(nk

)+(nk+1

).

2. Raisonnement sur le nombre de combinaisons :(n+1k+1

)correspond au nombre de parties à k + 1 élé-

ments que l'on peut faire dans un ensemble E à n+ 1 éléments. Voici l'astuce.On choisit un élément spécial de notre ensemble E. Soit on décide de prendre cet élément, soit onne le prend pas (jusque là rien de bien compliqué !). Si on prend cet élément, il ne nous reste plus qu'à choisir k éléments parmi les n éléments restants.Il y a ainsi, en prenant l'élément spécial,

(nk

)manières de réaliser un ensemble à k + 1 éléments

parmi n+ 1 éléments dans E. Si on ne prend pas cet élément spécial, il nous reste alors à choisir k + 1 éléments parmi les nrestants. Il y a ainsi, en ne prenant pas l'élément spécial,

(nk+1

)façons de fabriquer un ensemble à

k + 1 éléments parmi n+ 1 éléments dans E.Au nal, il y a alors

(nk

)+(nk+1

)manières de prendre k + 1 éléments parmi n + 1 éléments dans E.

Ainsi, on a bien(n+1k+1

)=(nk

)+(nk+1

).

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Page 13: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

Cette formule de Pascal permet donc d'expliquer le triangle de Pascal, dont voici une représentation(ce n'est pas la plus jolie, je vous l'accorde. Les lles, vous pouvez mettre pleins de couleurs si vous voulez !).

HHHH

HHnk

0 1 2 3 4 5 6

0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 1

Chaque case correspond au coecient binomial(nk

).

exemple : Pour calculer une case, on ajoute la case d'au-dessus avec la case en haut à gauche.Ainsi, en gras dans le tableau, pour obtenir

(41

)= 4, on ajoute

(31

)= 3 avec

(30

)= 1.

Petite astuce pour réaliser vous-même ce tableau : vous complétez la première colonne par des 1, carpour tout n ∈ N, d'après la Proposition 8.1,

(n0

)= 1. Ensuite, complétez la diagonale par des 1, car, par

la Proposition 8.3, pour tout n ∈ N,(nn

)= 1. Enn, complétez les cases ligne par ligne, de haut en bas,

grâce à la Formule de Pascal.

Théorème 4 : (Formule du binôme de Newton)Pour tous réels a et b, et pour tout entier naturel n ≥ 1 :

(a+ b)n =∑n

k=0

(nk

)an−kbk = an +

(n1

)an−1b+

(n2

)an−2b2 + ...+

(nn−1

)abn−1 + bn.

Remarque : Cette formule est encore valable pour a et b des complexes, notion que l'on étudiera auprochain chapitre.

exemple : Vous pouvez déjà vérier que le développement de l'identité remarquable (a+b)2 est cohérentavec la formule ci-dessus, en prenant n = 2.Développons (a + b)4 grâce à cette Formule du binôme de Newton. Pour les coecients binomiaux,vous n'avez qu'à regarder la ligne n = 4 !

(a+ b)4 = a4 +(

41

)a3b+

(42

)a2b2 +

(41

)ab3 + b4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.

Comme je l'ai déjà dit, la démonstration de ce théorème n'est pas au programme de terminale S. Vouspouvez cependant vous amuser à essayer de prouver ce résultat !Vous vous dîtes que nous avons peut-être tout vu sur les probabilités. Eh bien non, voici la dernière partiede ce chapitre, à mon sens la plus dicile. Nous allons dénir ce qu'est une variable aléatoire, et donnerquelques exemples de lois de probabilités. Comme je l'avais promis, vous trouverez ci-dessous un lien entreprobabilités et intégration.

13

Page 14: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

3 Variables aléatoires et lois de probabilités discrètes

3.1 Variable aléatoire discrète, espérance, variance, écart-type

On note toujours Ω un univers. Soient x1, x2, .., xn des réels, avec n ∈ Nn.

Dénition : On dit que X est une variable aléatoire sur Ω si on associe à chaque élément de Ω une desvaleurs xi (1 ≤ i ≤ n) et si X prend les valeurs x1, x2, .., xn.

exemples :

1. On lance un dé à six faces. On a alors Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6. On note X la variable aléatoire égale auxvaleurs des diérentes faces possibles. Autrement dit, X ∈ 1; 2; 3; 4; 5; 6.

2. On joue à un jeu. On lance une pièce (donc Ω = pile ;face).Si on obtient pile, on gagne 1 euro ; si on tombe sur face, on perd 2 euros.On note X la variable aléatoire égale aux gains possibles. Ainsi, X ∈ 1;−2.

Dénition : Soit X une variable aléatoire sur Ω.La loi de probabilité de X est l'ensemble des valeurs p(X = x1); p(X = x2); ...; p(X = xn).La somme de ces probabilités vaut 1.

exemple : On lance un dé à six faces. Le jeu est le suivant :Si on tombe sur 1 ou 2, on perd 3 euros ; si on tombe sur 3,4 ou 5, on gagne 1 euro ; si on tombe sur 6, ongagne 2 euros.On note X les diérents gains possibles lorsqu'on joue une seule fois. On a alors X ∈ −3; 1; 2.Déterminer la loi de probabilité de X revient à déterminer p(X = −3); p(X = 1) et p(X = 2) :

p(X = −3) = 26

= 13

; p(X = 1) = 36

= 12

; p(X = 2) = 16.

Au cours d'une fête foraine, il n'est pas rare de voir certains forains vous forcer la main pour jouer à unjeu. Souvent, ce jeu ne dépend que du hasard. Il y a à la clé un super écran plat LCD, ou la toute dernièrePS3 qui fait saliver bon nombre de jeunes hommes. Beaucoup d'entre vous sont alors tentés d'essayer.D'autres sont plus sceptiques, et se disent que de toute façon, ces forains sont de grand arnaqueurs, et qu'ilest quasiment impossible de gagner le jackpot (et ils ont souvent raison !). Une question se pose alors :Ce jeu vaut-il le coup ? Peut-on espérer gagner ? Et bien les probabilités peuvent répondre à cette question,à l'aide d'une variable aléatoire et de la notion d'espérance, dont voici la dénition.

Dénition : Soit X une variable aléatoire sur Ω. L'espérance de X, notée E(X), est le réel donné par la

formule suivante : E(X) =∑n

i=1 xip(X = xi) = x1p(X = x1) + x2p(X = x2) + ...+ xnp(X = xn).

Remarque : On peut voir l'espérance comme une moyenne. Lorsqu'on joue à un jeu d'argent, si l'es-pérance est positive et si l'on joue un grand nombre de fois, il est avantageux de jouer. Si l'espérance estnégative, abstenez-vous ! Bien évidemment, les jeux proposés par les forains ont la plupart du temps uneespérance négative (il faut bien qu'ils vivent ces escrocs !).

14

Page 15: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

exemple : Reprenons le jeu du dernier exemple de la page précédente. On veut savoir s'il vaut le coup.On calcule alors l'espérance. Rappelons que X ∈ −3; 1; 2 et que sa loi de probabilité est :p(X = −3) = 1

3; p(X = 1) = 1

2et p(X = 2) = 1

6. On obtient alors :

E(X) = −3× p(X = −3) + 1× p(X = 1) + 2× p(X = 2) = −3× 13

+ 1× 12

+ 2× 16

= −1 + 12

+ 13

= −16.

Il vaut donc mieux ne pas jouer, car vous risquez de perdre 16d'euros !

Les mathématiciens se sont aussi intéressés à l'écart que l'on peut avoir entre l'espérance et les valeurspossibles de X. Ainsi sont nés la variance et l'écart type. Pour faire simple, si vous avez en maths 9 et 11,cela vous fait une moyenne (ou une espérance) de 10. Comme les notes sont très proches de 10, la varianceet l'écart-type sont petits. En revanche, si vous obtenez 1 et 19, votre moyenne est toujours de 10, maisles notes étant très éloignées de la moyenne, la variance et l'écart-type seront plus grands.

Dénition : Soit X une variable aléatoire sur Ω. La variance de X, notée V (X), est le réel donné par :

V (X) =∑n

i=1(xi − E(X))2p(X = xi) = (x1 − E(X))2p(X = x1) + ...+ (xn − E(X))2p(X = xn).

exemple : Calculons la variance, toujours avec l'exemple précédent :

V (X) = (−3− (−16

))2 × 13

+ (1− (−16

))2 × 12

+ (2− (−16

))2 × 16

= ... = (289108

) + (4972

) + (169216

) ≈ 4, 14.

Proposition 9 : La variance d'une variable aléatoire X vaut aussi :

V (X) =∑n

i=1 p(X = xi)x2i − E(X)2.

Démonstration : On développe tout simplement la formule de la dénition de la variance :

V (X) =∑n

i=1(xi − E(X))2p(X = xi) =∑n

i=1(x2i − 2× xi × E(X) + E(X)2)p(X = xi)

=∑n

i=1 x2i p(X = xi)− 2xiE(X)p(X = xi) + E(X)2p(X = xi).

On sépare la somme en trois. On met 2E(X) en facteur dans la seconde somme, et E(X)2 en facteur dansla dernière :

V (X) =∑n

i=1 x2i p(X = xi)− E(X)× 2

∑ni=1 xip(X = xi) + E(X)2

∑ni=1 p(X = xi).

Or, par dénition,∑n

i=1 xip(X = xi) = E(X), et∑n

i=1 p(X = xi) = 1.Ainsi :

V (X) =∑n

i=1 x2i p(X = xi)− 2E(X)2 + E(X)2 × 1 =

∑ni=1 p(X = xi)x

2i − E(X)2.

Dénition : Soit X une variable aléatoire sur Ω. L'écart-type de X, notée σ(X), est le réel donné par :

σ(X) =√V (X).

Remarque : L'avantage de l'écart-type sur la variance est que l'écart-type est de la même unité que X.Ainsi, si X s'exprime en euros, σ(X) aussi.

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Page 16: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

3.2 Lois discrètes usuelles : loi équirépartie et loi binomiale

3.2.1 Loi équirépartie

C'est comme le Port Salut, c'est écrit dessus ! C'est une loi où la répartition est équitable.Pour être plus précis :

Dénition : Soit X une variable aléatoire sur un univers Ω = x1; ...;xn.On dit que X suit une loi équirépartie si pour tout entier naturel i, 1 ≤ i ≤ n : p(X = xi) = 1

n.

Adéquation à la loi équirépartie

On voudrait savoir si, par exemple, un dé est bien équilibré, c'est-à-dire si chaque face à une probabi-lité 1

6de tomber. Au lieu de le laisser suspendu à un l tel un funambule de cirque et voir s'il tombe

d'un côté ou de l'autre, on eectue un grand nombre de lancers (par exemple 300) et on note la fréquenced'apparition fi de chaque face i :

f1 = 0, 19 ; f2 = 0, 17 ; f3 = 0, 15 ; f4 = 0, 16 ; f5 = 0, 16 ; f6 = 0, 17.

On note d2test l'écart avec la valeur théorique, qui est 1

6≈ 0, 17 :

d2test =

∑6i=1(fi − 1

6)2 = (f1 − 1

6)2 + (f2 − 1

6)2 + ...+ (f6 − 1

6)2 ≈ 0, 000933 à 10−6 près.

Comme on réalise ici des statistiques, il y a ce que l'on appelle une uctuation d'échantillonnage. Celasignie que le dé s'écarte plus ou moins fortement des valeurs théoriques. Il faut alors xer une limite qued2test ne doit pas dépasser pour que le dé soit considéré comme bien équilibré.Simulons par exemple 1000 séries de 300 lancers de dés qui sont bien équilibrés, et on calcule les valeursde d2 correspondantes. Ces valeurs sont alors rangées dans l'ordre croissant de manière à pouvoir trouverle neuvième décile D9. Supposons que l'on trouve D9 = 0, 000950 à 10−6 près.On a alors d2

test < D9. Ainsi, on admet qu'au risque de 10%, notre dé testé est bien équilibré (10% des désbien équilibrés de nos simulations, les moins bien équilibrés, sont éliminés à raison, car du coup d2

test restedans la tranche des dés bien équilibrés restants).Si on avait d2

test > D9, on rejetterait l'hypothèse "le dé testé est bien équilibré".

Vous pouvez alors vous amuser chez vous à tester si oui ou non votre dé de Monopoly est bien équilibré.Je vous l'accorde, c'est tout de même moins amusant que de jouer à ce jeu de société !

3.2.2 Loi binomiale

Dénition : On appelle épreuve de Bernoulli 1 une expérience ne comportant que deux issues possibles :une notée S (succès), avec une probabilité p, et l'autre notée S (échec), avec une probabilité q = 1− p.

exemple : On lance un dé à six faces. Si on décide de noter S l'événement "Obtenir 1", notre échecsera "Ne pas obtenir 1". Ainsi, p(S) = 1

6et p(S) = 5

6.

On est donc bien dans la situation d'une épreuve de Bernoulli.

1. Jacques Bernoulli est un mathématicien suisse. Son petit frère Jean et lui ont beaucoup travaillé ensemble. Ils furent

les premiers à comprendre le calcul diérentiel et intégral proposé par Leibniz. Les deux frères tombèrent ensuite dans une

rivalité indescriptible. Comme quoi, il ne fait pas bon de travailler en famille !

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Page 17: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

Proposition 10 : Soit X une variable aléatoire prenant la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.X suit alors une loi de Bernoulli de paramètre p = p(X = 1) et :

E(X) = p et V (X) = pq = p(1− p).

Remarque : Montrez ces deux égalités an de manipuler les notions d'espérance et de variance.

Dénition : Si on répète n fois et de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli deparamètre p, alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès lors de ces nexpériences est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On note cette loi binomiale B(n; p).

exemple : On lance dix fois un dé à six faces. On note S l'événement "Obtenir 1 lors d'un lancé".On note X la variable aléatoire égale au nombre de fois que l'on obtient 1. Comme les lancés de dé sontindépendants les uns des autres, et que chaque lancé suit une épreuve de Bernoulli (cf exemple précédent),X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 1

6. Autrement dit, la loi de X est B(10; 1

6).

Théorème 5 : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors :

1. Pour tout entier naturel k, 1 ≤ k ≤ n : p(X = k) =(nk

)pk(1−p)k.

2. E(X) = np ; 3. V (X) = npq = np(1− p).

exemple : On lance dix fois un dé à six faces. Quelle est la probabilité que le 1 sorte 3 fois ?On note X la variable aléatoire égale au nombre de fois que la face 1 sorte. On a déjà vu que X suit uneloi binomiale de paramètres 10 et 1

6. On cherche alors à calculer p(X = 3).

Par le Théorème 5, p(X = 3) =(

103

)(1

6)3(1− 1

6)10−3 =

(103

)(1

6)3(5

6)7 = ... ≈ 0, 16.

Démonstration : On ne démontre que le premier point. Démontrez en exercice les points 2 et 3.Soit 1 ≤ k ≤ n, avec k un entier. On eectue n expériences identiques, indépendantes, avec deux issuespossibles : S (avec probabilité p) et S (avec probabilité q = 1− p).On veut calculer la probabilité d'avoir k S et donc (n− k) S.On pose A = SS...S︸ ︷︷ ︸

k fois

SS...S︸ ︷︷ ︸n−k fois

. L'événement A est un des éléments de l'événement (X = k). Calculons p(A).

Par indépendance des événements deux à deux, la Proposition 6 nous donne :

p(A) = p(S)× p(S)× ...× p(S)︸ ︷︷ ︸k fois

× p(S)× p(S)× ...× p(S)︸ ︷︷ ︸n−k fois

= pkqn−k.

L'événement B = SS...S︸ ︷︷ ︸n−k fois

SS...S︸ ︷︷ ︸k fois

est aussi un élément de (X = k). Par le même raisonnement que précé-

demment, p(B) = p(A) = pkqn−k. Tous les éléments de (X = k) ont en réalité la même probabilité. Ilreste à savoir combien d'éléments contient (X = k). Il sut alors de calculer le nombre de séries de lettrescomposées de k S et de (n−k) S que l'on peut faire avec ces n lettres. Cela revient à dénombrer le nombrede combinaisons de k éléments parmi n que l'on peut réaliser. Il y en a

(nk

).

Ainsi, on a bien : p(X = k) = pkqn−k + pkqn−k + ...+ pkqn−k︸ ︷︷ ︸(nk)

=(nk

)pkqn−k.

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Page 18: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

4 Variables aléatoires et lois continues

Nous avons étudié jusqu'à présent des probabilités discrètes, c'est-à-dire que les variables aléatoires pre-naient leurs valeurs dans des ensembles ponctuels, comme 1; 2; 3; 4; 5; 6. Dans cette partie, on va étudierles variables aléatoires continues, c'est-à-dire qu'elles prennent des valeurs dans un intervalle. De nouvelleslois particulières font alors leur apparition. Vous verrez en particulier ici l'importance de l'intégration.

On note X une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs d'un intervalle I.Soient a et b deux réels tels que a ≤ b.

4.1 Variable aléatoire continue

Dénition : Supposons que I = [a; b]. Soit f une fonction continue et strictement positive sur I,

telle que∫ baf(t)dt = 1.

On dit que X est une variable aléatoire continue de densité f sur [a; b] si :

∀[c; d] ⊆ I, p(X ∈ [c; d]) =∫ dcf(t)dt.

exemple : Stéphanie prend le bus tous les matins pour aller au lycée. Quand elle arrive à l'arrêt debus, elle attend au maximum 10 minutes an qu'un véhicule n'arrive. On note X la variable aléatoire quiprend pour valeurs le temps d'attente, en minutes. On a alors X ∈ [0; 10]. On suppose aussi que la densitéde X est la fonction f dénie sur R par f(x) = 3

1030(x2 + 1).

Stéphanie veut connaître la probabilité qu'elle attende le bus entre 4 et 7 minutes. Il faut alors calculerp(X ∈ [4; 7]).Vérions tout d'abord que f est bien une densité sur [0; 10]. Il est clair que sur [0; 10], f est continue etstrictement positive (c'est en fait le cas sur R). De plus,∫ 10

0f(t)dt =

∫ 10

03

1030(t2 +1)dt = [ 3

1030(1

3t3 +t)]10

0 = 31030

[13t3 +t]10

0 = 31030

[(103

3+10)−0] = 3

1030(1000

3+ 30

3) = 1.

Ainsi, f est bien une densité sur [0; 10]. Calculons alors p(X ∈ [4; 7]) :

p(X ∈ [4; 7]) =∫ 7

4f(t)dt = 3

1030

∫ 7

4(t2 + 1)dt = 3

1030[13t3 + t]74 = 3

1030[(73

3+ 7)− (43

3+ 4)] = ... ≈ 0, 28

à 10−2 près.

18

Page 19: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

Dénition : Supposons que I = [a; +∞[. Soit f une fonction continue et strictement positive sur I,

telle que limb→+∞

∫ baf(t)dt = 1.

On dit que X est une variable aléatoire continue de densité f sur [a; +∞] si :

∀[c; d] ⊆ I, p(X ∈ [c; d]) =∫ dcf(t)dt et p(X ∈ [c; +∞[) = 1−

∫ caf(t)dt.

exemple : Un scientique s'intéresse à la probabilité qu'une météorite tombe sur Terre. On pose X lavariable aléatoire prenant pour valeur le temps d'attente, en années, avant qu'une météorite ne s'écrasesur notre bonne vieille planète. On suppose que cette année aucune météorite ne tombera chez nous. On aalors X ∈ [1; +∞[. On pose f la fonction dénie sur [1; +∞[ par f(x) = 1

x2. Il est clair que f est continue

et strictement positive sur [1; +∞[. Supposons que cette fonction est la densité de f . Vérions tout de

même que limb→+∞

∫ b1f(t)dt = 1 :

limb→+∞

∫ b1f(t)dt = lim

b→+∞

∫ b1

1t2dt = lim

b→+∞[−1t

]b1 = limb→+∞

[−1b− (1

1)] = 1.

Ainsi, f est bien une densité sur [1; +∞[.Le scientique veut déterminer alors la probabilité qu'une météorite tombe sur Terre dans au moins 10ans. Il va donc calculer p(X ∈ [10; +∞[) :

p(X ∈ [10; +∞[) = 1−∫ 10

1f(t)dt = 1−

∫ 10

11t2dt = 1− [−1

t]101 = 1− (1− 1

10) = 1

10.

Ainsi, selon ce modèle, on a une chance sur 10 pour qu'une météorite tombe sur Terre dans au moins 10ans.

Proposition 11 : Soit X une variable aléatoire continue sur I. Alors :

∀c ∈ I, p(X = c) = 0.

On dit qu'une variable aléatoire "ne charge pas les points".

Corollaire : Soit X une variable aléatoire continue sur I et soit [c; d] ⊆ I. Alors :

p(X ∈ [c; d]) = p(X ∈]c; d]) = p(X ∈ [c; d[) = p(X ∈]c; d[).

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Page 20: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

4.2 Lois continues : loi uniforme et loi exponentielle

4.2.1 Loi uniforme

Dénition : On dit que X suit une loi uniforme sur [0; 1] si X est une variable aléatoire continue dontla densité f est dénie par f(x) = 1 sur [0; 1].

Remarque : Cette loi correspond au choix d'un réel, au hasard, dans [0; 1].

Proposition 12 : Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme sur [0; 1].

Alors, pour tout [c; d] ⊆ [0; 1] : p(X ∈ [c; d]) = d− c.

exemple : Si on choisit un réel au hasard entre 0 et 1, quelle est la probabilité qu'il se trouve dansl'intervalle [1

4; 1

3] ?

D'après la remarque, si on note X la variable aléatoire égale aux réels compris entre 0 et 1, X suit une loiuniforme sur [0; 1]. Donc par la Proposition 12 :

p(X ∈ [14; 1

3]) = 1

3− 1

4= 1

12≈ 0, 08 à 10−2 près.

Loi uniforme

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Page 21: Cours - Chapitre 6 - Probabilités

4.2.2 Loi exponentielle

Dénition : Soit λ > 0. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ si X est une variablealéatoire continue de densité la fonction f dénie sur I = [0; +∞[ par f(x) = λe−λx.On dit que cette loi exponentielle est la loi de durée de vie sans vieillissement. C'est cette loi qu'on utilisepour calculer la durée de vie d'un appareil électroménager par exemple.

exemple : On considère qu'une ampoule a une durée de vie, en heures, notée X, qui suit une loiexponentielle de paramètre λ = λe−λx = 5× 10−5 = 1

20000.

Quelle est la probabilité que l'ampoule dure moins de 4 000 heures ?La densité de X est alors la fonction dénie sur [0; +∞[ par f(x) = 5× 10−5e−5×10−5x.On calcule p(X ∈ [0; 4000]) :

p(X ∈ [0; 4000]) =∫ 4000

0λe−λtdt = [−e−λt]4000

0 = ... ≈ 0, 18 à 10−2 près.

Comme bons adolescents que vous êtes, vous êtes accrocs aux portables. Cela fait 1 an que vous en avezun, et vous désirez savoir la probabilité que votre téléphone dure encore au moins 2 ans. La propositionqui suit vous sera alors utile : elle présente la loi sans mémoire.

Proposition 13 : Soient X une variable aléatoire continue suivant une loi exponentielle de paramètreλ, et s et t dans [0; +∞[. Alors :

p(X≥s)(X ≥ s+ t) = p(X ≥ t).

Remarque : Si on suppose que la durée de vie d'un téléphone portable suit une loi exponentielle deparamètre λ, alors la Proposition 13 arme que la probabilité qu'il fonctionne encore deux ans sachantqu'il a fonctionné pendant un an (p(X≥1)(X ≥ 1 + 2)) est égale à la probabilité qu'il fonctionne pendantdeux ans après sa mise en service (p(X ≥ 2)).Si vous ne prenez pas soin de vos aaires, cette probabilité tend incroyablement vite vers 0 !

21