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Cours Automatique Niveau : 2

ISET NABEUL - 63 - CHELBI Hassen

Unit denseignement : Automatique 1

ECUE n 1 : Signaux et Systmes Linaires

Chapitre 7

Etude Harmonique des Systmes Asservis Elmentaires

Nombre dheures/chapitre : 2h

Cours intgr

Systme dvaluation : Continu

OBJECTIFS DE LENSEIGNEMENT :

-Matriser les outils de transformation des signaux.

-Savoir manipuler les techniques de reprsentation des systmes.

CONTENU THEORIQUE :

Dans ce chapitre on sintresse tudier les rponses harmoniques dun systme de 1erordre et dun

systme de 1erordre gnralis

En explique lintrt et la mthode de reprsentation de Bode pour un systme de 1 er ordre

gnralis et dun systme de second degr, tout en exploitant ses rsultats dans des applications cibls.


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Chapitre 7

Etude Harmonique des Systmes Asservis Elmentaires

1. Introduction

Ltude harmonique dun systme correspond une reprsentation frquentielle mettant en vidence

le gain et la phase de la fonction F(j) lorsque varie.

Il existe plusieurs reprsentations.

Reprsentation sur le lieu de Bode.

)( jF

= ))((

)(

jFarctg

jF

=

=

)(

)(log20

f

jFFdB

-50

-40

-30

-20

-10

0

Diagramme de Bode

Frquence (rad/s)

Gain(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

Phase(deg)

Frequency (rad/sec)

Fig.7.1: Allures de Bode pour un systme de 1erordre.

Remarque

varie en chelle logarithmique.

Les lieux de Nyquist

Ils repsentent dans le plan complexe la partie imaginaire en fonction de la partie relle et qui volue

en fonction de .

jyxjF +=)(


3/13



-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagramme de Nyquist

Axe rel

Axeimaginaie

w croissant

w =00k

Fig.7.2: Allure de Nyquist pour un systme de 1erordre.

y=f(x) qui volue en fonction de =0 jusqu .

Les lieux de Black : gradus et orients en valeurs croissantes de avec (arg) en abscisse et

FdB en ordonn.

=

=

))(arg(

)(log20

jF

jFFdB

-180 -135 -90 -45 0

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Phase en boucle ouverte ()

Gainenboucleouverte(dB)

w croissant

w =00

20 logk

FdB

Phase ()

Fig.7.3: Allure de Nychols pour un systme de 1erordre.


4/13



2. Systme de 1erordre

p

kpF

+=

1)(

j

kjF

+=

1)(

Bode :

==

+

=

)())(arg( )(1

)(2

arctgjF

kjF

=

+

=

)( )(1

log202

arctg

kFdB

=

+=

)(

))(1log(20log20 2/12

arctg

kFdB

0 /1

FdB klog20 3log20 k )log(20

0 -/4 -/2

Tab.7.1

Frequency (rad/sec)

Phase(deg)

gainen(dB)

-80

-60

-40

-20

0

20

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

01/T

20logk

Fig.7.4: Diagramme de Bode pour un systme de 1erordre.

Nyquist :p

kpF+

=1

)( ( ) ( )22 111)(

+

+=

+= kjk

jkjF


5/13



( )

( )

+

=

+

=

2

2

1

1

kY

kX

XY =

( ) 2222 )1( XkXXXkXY ===

022 =+ kXYX 0)2

()2

( 222 =+k

Yk

X cest un cercle : )2

,(k

AC avec )0,2

(k

A

0 /1

X k k/2 0

Y 0 -k/2 0

Tab. 7.2

Diagramme de nyquist

Axe rel

Axeimaginaire

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

w croissante

k/2

w=1/T-k/2

w=oo w=0

Im

Re

Fig.7.5: Allure de Nyquist pour un systme de 1erordre.

Black :p

kpF

+=

1)(

j

kjF

+=

1)(

==

+

=

)())(arg(

)(1)(

2

arctgjF

kjF

=

+=

)(

))(1log(20log20 2/12

arctg

kFdB FdB=f()


6/13



-180 -135 -90 -45 0

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Phase en boucle ouverte ()


w croissant

w =00

20 logk

FdB

Phase ()

Fig.7.6: Allure de Black pour un systme de 1erordre.

3. Systme de 1erordre gnralis

p

pkpF

+

+=

1

)1()(

j

jkjF

+

+=

1

)1()( )().()( 21 jFjFjF = avec

+=

+=

jjF

jkjF

1)(

)1/()(

2

1

+==

=

))(arg())(arg())(arg(

)(.)()(

21

21

jFjFjF

jFjFjF

=+=

+=+=

)()(

)(log20)(log20

21

2121

arctgarctg

jFjFFFF dBdBdB

0 /1

F2dB 0 3 +

2 0 /4 /2

Tab.7. 3


7/13



3.1. Reprsentations de Bode pour un systme de 1er

ordre gnralis :

1 :

Frquence (rad/sec)

Phase(deg)

Gain(dB)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0

30

60

0

5

10

15

Fig.7.8 : Diagramme de Bode ( syst. De 1erordre gnralis =10).


8/13



3.2 Application :

Tracer les diagrammes de Bode, Nyquist et Black pour les fonctions suivantes :

ppF

1)( = , ppF +=1)( , ppF =1)( et

ppF

=

1

1)( .

Diagramme Bode (F(p)=1/p)

Frequence (rad/sec)

Phase(deg)

Gain(dB)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

-100

-50

0

50

100

Fig.7.9

Diagramme de Bode (F(p)=1+Tp; T=0.01s)

Frequency (rad/sec)

Phase(deg)

Gain(dB)

0

10

20

30

40

50

10-1

100

101

102

103

104

0

45

90

Fig.7.10


9/13



Diagramme de Bode (F(p)=1-Tp; T=0.01s)

Frquence (rad/sec)

Phase(deg)

Gain(dB)

0

10

20

30

40

50

10-1

100

101

102

103

10-90

-45

0

Fig.7.11

Diagramme de Bode (F(p)=1/(1-Tp); T=0.01s)

Frequence (rad/sec)

Phase(deg)

G

ain(dB)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10-1

100

101

102

103

104

0

45

90

Fig.7.12


10/13



4. Systme de second degr

p2pH(p)

2

00

2

2

0

++=

m

k, p1et p2sont deux ples,

1)pp1)(-

pp(-pp1)p

p-p1)(

p-p(p

H(p)

21

21

2

0

2

21

1

2

0

++

=

++

= kk

On pose :1

1

1-p

= et2

2

1-p

=

p)p)(1(1ppH(p)

2121

2

0

++=

k

m>1


11/13



0 =1/

F1dB 20logk 20logk 3 -

F2dB 0 -3 -

FdB 20logk 20logk -6 -

1 0 -/4 -/2

2 0 -/4 -/2

0 -/2 -Tab. 4

* Allures

Diagramme de Bode

Frquence (rad/sec)

Phase(deg)

Gain(dB)

10-4

10-2

100

102

-180

-135

-90

-45

0

-200

-150

-100

-50

0

50

Fig.7.13


12/13



diagramme de Black

Phase en boucle ouverte (deg)


-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB3 dB

1 dB0.5 dB

0.25 dB0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

-100 dB

-120 dB

20logk

FdB

phase ()

Fig.7.14

*** Diagrammes de Bode, Black et Nyquist pour un systme de 2me

pour m variables

-80

-60

-40

-20

0

20

Diagramme de Bode

Gain(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Frquence (rd/s)

Phase(deg)

Fig.7.15


13/13



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 dB

-20 dB-10 dB

-6 dB

-4 dB

-2 dB

20 dB10 dB

6 dB

4 dB

2 dB

Diagramme de Nyquist

Axe rel

Axeimaginaire

m=0.7

m=0.4

m=0.2

k=0= =0

Fig.7.16

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

Diagramme de Black

Phase en BO ()

GainenBO(

dB)

k=1

=

=0

m=0.4

m=0.2

m=0.7

1er ordre

Fig.7.17

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