Chapitre 8 Analyse Et Synthese Des Systemes Asservis Lineaires Par Methode Temporelle

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    Cours Automatique Niveau : 2

    ISET NABEUL - 76 - CHELBI Hassen

    Unit denseignement : Automatique 1

    ECUE n 1 : Signaux et Systmes Linaires

    Chapitre 8

    Analyse et Synthse des Systmes Asservis Linaires par la Mthode Temporelle

    Nombre dheures/chapitre : 3h

    Cours intgr

    Systme dvaluation : Continu

    OBJECTIFS DE LENSEIGNEMENT :

    -Savoir manipuler les techniques de reprsentation des systmes.

    CONTENU THEORIQUE :

    Dans ce chapitre on sintresse la raction temporelle de tout systme automatis tout en tudie les

    trois critres dun systme asservis qui sont, la stabilit, la rapidit et la prcision.

    Pour le critre de stabilit on dfinie leur conditions ainsi que la mthode modale pour tudi tous

    systme qui est le critre de Routh.

    En second lieu, on dfinie la condition de rapidit tout en dtaillant sa condition dapplication pour un

    systme de 2meordre tout avec le critre algbrique damortissement : Critre de Naslin

    Enfin en dfinie la prcision dun systme asservi tout en tudie la mthode de sa dtermination pour

    un systme retour unitaire ou bien pour des systmes plusieurs entres ou bien retour non unitaire.

    -Connatre les notions des signaux.

    -Connatre les notions des systmes et plus particulirement les systmes asservis.

    -Matriser les outils de transformation des signaux.

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    Chapitre 8

    Analyse et Synthse des Systmes Asservis Linaires

    par la Mthode Temporelle

    1. Gnralits

    1.1.Rappel

    E(p) S(p)

    1

    H1(p)

    G(p)R(p)

    Fig.8.1

    E (p) : entre principale

    Z (p) : perturbation

    S (p) : sortie

    1.2. But de lentre temporelle

    Ltude temporelle consiste tudier les trois caractristiques fondamentales dun systme asservi

    linaire

    Rapidit Stabilit

    Prcision

    Un systme est dit performant sil est rapide, stable et prcis

    2. Stabilit

    Un systme linaire asservi est stable si abandonn lui-mme partir de conditions initiales quelconque

    il revient son tat dquilibre.

    Z (p)

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    2.1. Condition de stabilit :

    Un systme asservi linaire est caractris par :

    )(

    )(

    .....

    .....)(

    01

    1

    1

    01

    1

    1

    pD

    pX

    apapapa

    bpbpbpbpH

    n

    n

    n

    n

    m

    m

    m

    m=

    ++++

    ++++=

    -Equation caractristique :

    D (p) =0

    anpn+ an-1p

    n-1++ a1p1+ a0= 0

    Un systme est stable si les parties relles des ples (solution de D (p) = 0) sont ngatifs.

    Remarque :

    Cette condition ncessaire et suffisante ncessite un calcul des racines ce qui rend cette condition

    inacceptable lorsque lordre du systme est important >2

    Il suffit de dterminer le signe de la partie relle des ples en utilisant le critre de Routh.

    Critre de Routh : parties relles < 0.

    2.2. Critre de Routh :

    D (p) = anpn+ an-1p

    n-1 + an-2pn-2+..+ a1p

    1+ a0

    Table de Routh

    pn an an-2 an-4 a0

    pn-1

    an-1 an-3 an-5 a1

    pn-2

    b1 b2 b1 bn

    .. . .

    P0 q1 q q3 qn

    Tab.8.1

    n+1 lignes

    1

    3211

    =

    n

    nnnn

    a

    aaaab ;

    1

    5412

    =

    n

    nnnn

    a

    aaaab ;

    1

    7613

    =

    n

    nnnn

    a

    aaaab

    1

    21311

    b

    baabc nn = ;

    1

    21512

    b

    baabc nn = ;

    1

    41713

    b

    baabc nn =

    ..

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    La condition ncessaire de stabilit sexprime par le tableau de Routh comme suit :

    Tous les ai existent et de mme signe (>0).

    Tous les coefficients de la 1recolonne sont strictement positifs.

    Remarques

    le nombre de changement de signe dans la 1recolonne du tableau de Routh est gal au nombre

    des racines (des ples) de D (p) partie relle positive.

    Si le systme est dordre n, on a (n+1) cfficients sur la 1recolonne du tableau de Routh.

    Si lun des lments de la 1re colonne est gale zro, le systme est asymptotiquement

    marginalement stable.

    Application 1

    1-3343

    1)(

    2341++++

    =pppp

    pH

    2-cbpapp

    ppH

    +++

    +=

    23

    2

    2

    1)(

    3-papp

    pH++

    =23

    1)(

    Question : Etudier la stabilit des systmes par le critre de Routh en fonction de a, b et c.

    Correction

    1. 03343)( 234 =++++= pppppD

    p4 1 4 3

    p3 3 3 0

    p2 3 3

    p1 0 0

    p0 3 0

    Tab.8.2

    Polynme auxiliaire

    033 2 =+p 012 =+p 12 =p jp =1 ou jp =2

    le systme est marginalement stable (juste oscillant).

    2. cbpapp

    p

    pH +++

    +

    = 23

    2

    2

    1

    )(

    cbpapppD +++= 23)(

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    p3 1 b

    p2 a c

    p1a

    cab 0

    p

    0

    cTab.8.3

    Le systme soit stable si tous les lments de la 1recolonne >0a>0, c>0, ab-c>0

    3)bapp

    pH++

    =23

    1)(

    bapppD ++= 2)(

    p2 1 b

    p1 a 0

    p0 b 0

    Tab.8.4

    le systme soit stable ssi a>0 et b>0.

    Application 2

    E(p) S(p)

    Fig. 8.2

    1-

    Calculer)(

    )()(

    pE

    pSpH = .

    2-

    Etudier la stabilit en fonction de K.

    Correction

    1-

    Kpp

    pKpH

    215,84

    )5,01(2)(

    2+++

    +=

    2-

    KpppD 215,84)(2

    +++=

    Kp81

    2

    +

    p8,01

    2

    +

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    Tab.8.5

    Pour que le systme soit stable il faut que 1+2K >0 K>-1/2.

    Application3

    E (p) S(p)

    Fig. 8.3

    1-

    Gpppp

    pG

    ppG

    pp

    G

    pH

    1033

    )1(10

    )1(101

    )1(

    10

    )(234

    3

    2

    ++++

    +=

    ++

    +=

    Tableau de Routh :

    Tab.8.6

    Application 4

    KpPpp

    ppH

    ++++

    +=

    245

    2

    34

    1)(

    Etudier la stabilit en fonction de K.

    p2 4 1+2K

    p1 8,5 0

    p0 1+2K 0

    p4 1 3

    p3 3 1

    p23

    8 10G

    p1

    3

    8

    103

    8G

    p0 10G

    G2)1(

    10

    pp +

    p+1

    1

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    Correction

    a3=0, le systme est instable pour tout valeur de K.

    3.Rapidit dun systme asservi

    3.1. Dfinition :

    ts : le temps de stabilisation cherch 5% (ou 2%) de s() pour les systmes oscillants amortis.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150,

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,

    1,1

    1,2

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9.95

    1

    1,1

    1,2Temps de stabilisation ts

    ts

    Fig. 8.4

    tr : le temps de rponse 95% de s() pour les systmes apriodiques.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150,

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,

    1,1

    1,2

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,

    1,1

    1,2Temps de monte tm=t2-t1

    t2t1

    tm=t2-t1

    Fig. 8.5

    tm : le temps mis pour passer de 10% de s() 90% de s() Cest le temps de monte.

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    tp : Cest le temps mis pour atteindre le 1erdpassement Cest le temps de pic.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    0,

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1,

    1,1

    1,2

    tpic

    Fig. 8.6

    La rapidit sexprime par le temps de stabilisation qui correspond au temps ncessaire pour que lerreur

    r une consigne constante devient 5% de la consigne

    %5)(

    c

    c

    y

    tyy

    3.2. Rappel sur le systme de 2me ordre

    2

    0

    2

    12

    2

    01

    2

    2

    2

    00

    2

    2

    0

    2)(

    )(

    a

    ap

    a

    ap

    a

    b

    apapa

    b

    pmp

    K

    pE

    pS

    ++

    =++

    =++

    =

    2

    00

    a

    a= ,

    2

    2

    2

    12

    0

    2

    2

    10 42

    aam

    aam == ,

    2

    02

    2

    2

    1

    2

    0

    2

    2

    2

    124

    a

    aa

    a

    a

    am ==

    ,

    02

    2

    124aa

    am = ,

    2

    0

    1 mtp

    =

    0

    3

    mts = ( 5%).

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    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.50

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Tpic

    Tm

    Fig. 8.7

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1ts en fonction de "m"

    Fig. 8.8

    On constate que le temps de pic et le temps de monte diminue.

    Le temps tsdiminue si m croit de 0 0.7 puis augmente avec m.

    Le temps de rponse le plus court est obtenu pour m=0.7. En particulier m=0.7 est considr comme la

    valeur optimale pour des nombreux systmes.

    La rapidit dun systme de second ordre est troitement lie m.

    Pour un systme asservi dordre quelconque, on va tudier de mme lamortissement.

    m

    ts

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    3.2.1. Critre algbrique damortissement : Critre de Naslin

    01

    1

    1 .....)(

    apapapa

    bpH

    n

    n

    n

    n ++++=

    Par analogie avec les systmes de second ordre, on dfinit les rapports caractristiques :

    20

    2

    11

    aa

    a= ;

    42

    2

    33

    aa

    a= ;

    32

    2

    11

    =

    nn

    nn

    aa

    a

    11

    2

    +

    =

    ii

    ii

    aa

    a

    Le critre algbrique damortissement :

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    Fig. 8.9

    Le critre algbrique damortissement impose aux valeurs i dtre une valeur bien dtermine.

    1 ,6 1,75 2 2,4

    D% 40% 20% 6% 1%

    m 0.3 0.45 0.7 0.9

    Tab.8.7

    Pour un systme dordre 2 on a :

    =

    =

    2

    0

    1

    1

    100%2

    mt

    eD

    p

    m

    =

    =

    2

    1

    2,2

    28,4%

    a

    a

    t

    D

    p

    Systmes dordre levs.

    1

    2

    3

    1< 2< 3

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    4.1. Systme retour unitaire

    Fig. 8.11

    )()()](1[

    )()()(

    pEppT

    pSpEp

    =+

    =

    )(1

    )()(

    pT

    pEp

    +=

    Ainsi, on dfinit deux rgimes de fonctionnement :

    Rgime statique : erreur statique.

    Rgime transitoire : erreur dynamique.

    Un systme est prcis si lerreur statique est nulle.

    )()(1

    )(

    )()()(

    =+

    ==

    pTpEpim

    ppimtim

    t

    tt

    Remarques

    - 0)( =si le systme est totalement prcis.

    - lerreur statique dpend de lentre et dpend aussi du systme.

    Classe dun systme asservi

    01

    1

    1

    01

    1

    1

    .....

    .....)(

    apapapa

    bpbpbpbpT

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    ++++

    ++++=

    ...)1(

    ...)1()(

    +

    +=

    p

    KpT est appel classe du systme (nombre dintgration).

    Si 0p p

    KpT =)(

    p

    K

    pE

    ppT

    pE

    p pp+

    =+= 1

    )(

    lim)(1

    )(

    lim)( 00

    T(p)

    E(p) (p) S(p)

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    Application

    1=

    p

    EpE

    0)( =

    0lim)( 0 =+

    = Kp

    E

    p 0)( =

    Entre0 1 2 3

    Impulsion )()( 0 tEte = 0 0 0 0

    Echelon de position )()( 0 tuEte =

    K

    E

    +1

    0 0 0 0

    Echelon de vitesse )()( 0 ttuEte = K

    E0 0 0

    Echelon dacclration )(2

    )( 20 tutE

    te = K

    E0 0

    Tab.8.8

    Remarques

    La prcision augmente si augmente.

    Lerreur statique pour une entre impulsionelle est nulle pour tout valeur de.

    Pour une classe donne, la prcision se dtriore si le signal dentre plus dur.

    On appelle erreur statique de position dans le cas o lentre est un chelon de vitesse.

    4.2. Calcul de )( pour diffrents systmes

    4.2.1. Systme 2 entres

    S(p)E(p)

    z(p)

    1

    T2(p)T1(p)

    Fig. 8.12

    )()()( pSpEp =

    Or )]()()()[()( 12 pzppTpTpS =

    )()()()()()()( 212 pzpTppTpTpEp +=

    )()(1)()(

    )()(1)()(

    21

    2

    21 pTpTpzpT

    pTpTpEp

    ++

    +=

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    4.2.2. Systme retour non unitaire :

    Fig. 8.13

    )()(1

    )()(

    )()]()(1)[(

    )()()()()()()(

    21

    12

    12

    pTpT

    pEp

    pEpTpTp

    ppTpTpEppEp

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    S (p)E (p)

    (p)

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    )(2 pT

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