1 

Chapitre 6 : Logarithme  

Introduction 

 

Pour  représenter  graphiquement  des  nombres  qui  varient  sur  plusieurs  ordres  de grandeur (par exemple de 1 à 1000), on ne peut pas utiliser  l’échelle habituelle où  les graduations sont proportionnelles à des nombres. En effet, avec 1 mm sur papier pour représenter la valeur 1, 1 cm représente la valeur 10, 10 cm la valeur 100, et il faudrait une feuille de 1 m pour arriver jusqu’à la valeur 1000. 

Pour représenter le « domaine des petites dimensions » qui va de 

€

10−10 à 

€

10−3 , il faudrait, avec 1 mm sur le papier correspondant à une taille de 

€

10−10m , une feuille de 

€

10 km  ! 

On adopte alors une échelle telle qu’en passant d’une graduation à la suivante, la valeur représentée est multipliée par un même facteur (ici 

€

=10). 

Cette  échelle  est  dite  logarithmique  car  les  distances  portées  sur  l’axe  sont proportionnelles aux logarithmes des nombres représentés. 

 

I. Logarithme décimal 

1. Définition 

Les mathématiciens savent définir 

€

bx  même si l’exposant 

€

x  n’est pas un rationnel. Nous admettons  ceci :  tout  nombre  réel 

€

a > 0  donné  peut  s’écrire  sous  la  forme  d’une puissance de 

€

b (

€

b > 0  et 

€

b ≠1). En particulier : tout réel 

€

a > 0 peut s’écrire sous la forme 

€

10x . 

Le  réel 

€

x   est appelé  logarithme de base 10 de 

€

a ,  ou encore  logarithme décimal de 

€

a , noté 

€

log10 a  ou encore 

€

loga . 

 

Exple : 

€

log1= 0 car 

€

100 =1 

€

log10 =1 car 

€

101 =10 

€

log0,1= −1 car 

€

10−1 = 0,1 

€

log2 ≈ 0,30103log3 ≈ 0,47712log5 ≈ 0,69897

cf . machine  

 

  2 

Le « log de 

€

a  est l’exposant de la puissance de 10 qui donne 

€

a  ». 

Le log est utilisé en chimie pour définir le 

€

pH  d’un milieu (

€

pH = −log H +[ ]). 

Exemple : 

• milieu acide 

€

2 < pH < 7  

• milieu neutre 

€

pH = 7 

• milieu basique 

€

7 < pH <12  

Remarque : le log d’un nombre négatif ou nul n’existe pas car 

€

10x  est toujours 

€

> 0. 

 

2. Propriétés 

Elles découlent de la définition 

€

a =10x ⇔ x = loga . 

a. logarithmes particuliers 

€

log1= 0    

€

log10 =1 

€

10loga = a    

€

log 10x( ) = x  

 

b.

€

log  d’un produit 

Problème : connaissant 

€

loga1 et 

€

loga2 , en déduire 

€

log a1a2( ). 

Solution 

On a : 

€

a1 =10x1 ⇔ x1 = loga1 

€

a2 =10x2 ⇔ x2 = loga2  

€

a1a2 =10x1 +x2 ⇔ x1 + x2 = log a1a2( )  

et donc : 

€

log a1a2( ) = loga1 + loga2  

Le 

€

log  d’un produit est égal à la somme des 

€

log . 

 

c.

€

log  de l’inverse 

Problème : connaissant 

€

loga , en déduire 

€

log 1a. 

  3 

Solution 

On a 

€

log a × 1a

= loga + log 1

a mais 

€

log1= 0 d’où 

€

loga + log 1a

= 0  et donc : 

€

log 1a

= −loga  

Le 

€

log  de l’inverse est égal à l’opposé du 

€

log . 

 

d.

€

log  d’un quotient 

Problème : connaissant 

€

loga1 et 

€

loga2 , en déduire 

€

log a1a2. 

Solution : on a 

€

log a1a2

= log a1 ×1a2

= loga1 + log 1

a2 et donc : 

€

log a1a2

= loga1 − loga2 . 

Le log d’un quotient est égal à la différence des log. 

 

Exemple : 

€

log5 = log102

= log10 − log2 =1− log2 . 

Connaissant 

€

log2 ≈ 0,30103, on en déduit 

€

log5 ≈ 0,69897 . 

 

e.

€

log  d’une puissance 

Problème : connaissant 

€

loga , en déduire 

€

logap . 

Solution 

€

x = loga⇔ a =10x  

€

log ap( ) = log 10x( )p[ ] = log 10px( )  

L’exposant  de  la  puissance de  10 qui  donne 

€

10px  est 

€

px   et  donc 

€

log ap( ) = px = ploga , soit : 

€

log ap( ) = ploga  

 

 

  4 

exemple :  

€

log 1a

= log a−1( ) = −1× loga = −loga  

€

log a( ) = log a12

=12loga  

€

log 1a

= log a

−12

= −

12loga 

€

log an( ) = log a1n

=

1nloga  

€

log a3( ) = log a32

=

32loga  

 

3. Echelle logarithmique 

On représente sur un axe gradué le nombre a par le point M d’abscisse 

€

x = loga . 

D’après les propriétés des log : 

•

€

a =1 est représenté par le point 

€

x = 0  

•

€

a =10 est représenté par le point 

€

x =1 

 

Les nombres 

€

1< a <10  sont représentés par les points 

€

0 < x <1. 

Les nombres 

€

10 < a <100  sont représentés par les points 

€

1< x < 2. 

Les nombres 

€

10n < a <10n+1 sont représentés par les points 

€

n < x < n +1. 

Les nombres 

€

10−n < a <10−n+1 sont représentés par les points 

€

−n < x < −n +1. 

 

Sur une échelle logarithmique, si 

€

a =10 a1⇒

€

x2 = x1 +1. 

Remarque :  on  choisit  la  largeur  des  graduations  de  façon  à  pouvoir  placer  toutes  les valeurs qu’on veut. La largeur des graduations est donc arbitraire. 

Exercice : quel est l’ordre de grandeur de 

€

a , sachant que : 

€

loga = 6,30103   

€

[R : quelques 106] 

€

loga = 99,60206    

€

[R : quelques 1099] 

€

loga =100,60206    

€

[R : quelques 10100] 

  5 

€

loga = −5,69897   

€

[R : quelques 10−6] 

€

loga = −98,39794    

€

[R : quelques 1099] 

€

loga = −99,39794    

€

[R : quelques 10−100]  ? 

N.B. :  les  calculatrices  scientifiques  permettent  d’obtenir  directement  une approximation décimale du log d’un nombre décimal. 

 

Exercice : connaissant 

€

loga , trouver 

€

a  : 

€

loga = 2,47712   

€

[R : a ≈ 300] 

€

loga = 3,2041    

€

[R : a ≈1600] 

 

II. Logarithme népérien 

1. Définition 

€

a  étant un réel 

€

> 0 peut s’écrire sous la forme d’une puissance de 

€

e , le nombre d’Euler. 

Le nombre d’Euler est donné par : 

€

e =10!

+11!

+12!

+ ...= 1k!≈ 2,71828

k= 0

∞

∑  où : 

€

0!=11!=12!=1× 2k!=1× 2 × 3× ...× k

 

 

Autrement dit : il existe un réel unique 

€

x  tel que 

€

ex = a . 

€

x  est appelé logarithme de base 

€

e  de 

€

a , ou encore logarithme népérien de 

€

a , noté 

€

loge a ou encore 

€

lna . 

On dit couramment : « le 

€

lna  de 

€

a  est l’exposant de la puissance de 

€

e  qui donne 

€

a  » 

Le  logarithme  népérien  est  utilisé  car  la  dérivée  de  la  fonction 

€

y = ln x   est particulièrement simple (hors programme). 

2. propriétés 

Elles découlent de 

€

a = ex ⇔ x = lna. 

 

a. 

€

lna = 0  

€

lne =1  

€

e ln a = a

€

= ex  

€

ln ex( ) = x

€

= lna 

  6 

b. 

€

lna1a2 = lna1 + lna2  

c. 

€

ln 1a

= −lna  

d. 

€

ln a1a2

= lna1 − lna2  

e. 

€

ln ap( ) = plna  

 

3. relation entre 

€

lna  et 

€

loga 

En rappelant que 

€

a = ex ⇔ x = lna, on trouve : 

€

loga = log ex( ) = x loge

⇒ x =

logaloge

 

d’où finalement : 

€

lna =logaloge

 

Numériquement : 

€

loge ≈ 0,43429  

€

1loge

≈ 2,3026⇒

€

lna ≈ 2,30loga  

N.B. :  les  calculatrices  scientifiques  permettent  d’obtenir  directement  une approximation décimale du 

€

ln  d’un nombre décimal. 

 

III. Logarithme de base 

€

b b > 0 et b ≠1( )  

Le but de ce paragraphe est de pouvoir résoudre une équation du type 

€

bx = a en utilisant une calculatrice scientifique. 

1. Définition 

€

a = bx ⇔ x = logb a 

 

2. propriétés 

a.  

€

logb 0 =1   

€

logb b =1    etc… 

 

  7 

b. 

c. 

d. 

e. 

 

3. formules du changement de base 

Problème : comment calculer 

€

logb a  avec une machine qui ne sait calculer que 

€

loga  et 

€

lna ? 

Solution : 

€

a = bx ⇔ x = logb a 

€

loga = log bx( ) = x logb⇒ x =logalogb

 

d’où finalement : 

€

logb a =logalogb

 

 

Remarque : on montre de même que 

€

logb a =lnalnb

. 

Les  calculatrices  scientifiques  permettent  d’obtenir  indirectement  une  approximation décimale du 

€

logb  d’un nombre décimal, en utilisant la touche 

€

log  ou la touche 

€

ln . 

Dans  la  pratique,  on  retiendra  le  raisonnement  suivant :  pour  extraire 

€

x   de  l’égalité 

€

bx = a on prend le logarithme des deux membres (le 

€

log  ou le 

€

ln). 

Exemple : voir l’exercice 2 et l’exercice 8. 

Comme précédemment avec 

€

log  et 

€

ln