Chapitre 6
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Chapitre 6
Division euclidienne - décimale
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I. Division euclidienne
Définition : Effectuer une division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0, c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que :
dividende = ( diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur
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Exemples :En utilisant les tables de multiplication, on a 52 = ( 6 x 8 ) + 4 et 4 < 6 Dans la division euclidienne de 52 par 6, le quotient est 8 et le reste est 4.
Attention, on pourrait écrire 52 = ( 6 x 7 ) + 10 mais 10 > 6 donc ce n'est pas la véritable division euclidienne. La division euclidienne est unique.
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On peut également poser l'opération :
Exercice :En posant la division euclidienne de 185 par 7, on trouve 185 = ( 7 x 26 ) + 3 et 3 < 7
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II. Critère de divisibilité
On a 38 = ( 2 x 19 ) + 0 = 2 x 19. Le reste de la division euclidienne de 38 par 2 est zéro.
Vocabulaire :On peut ainsi dire au choix que : • 38 est un multiple de 2• 38 est divisible par 2• 2 est un diviseur de 38
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Exemples :
• 20 est un multiple de 5 car 20 est dans la table de 5.• 12 est divisible par 2 car le reste de la division euclidienne
de 12 par 2 est égal à 0.• 3 est un diviseur de 15 car le reste de la division
euclidienne de 15 par 3 est égal à 0.
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Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible :• par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.• par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.• par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.• par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et
son chiffre des unités est divisible par 4.• par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.• par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
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Exemples :
12 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 2.15 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.250 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.216 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4.93 est divisible par 3 car 9 + 3 = 12 est divisible par 3.288 est divisible par 9 car 2 + 8 + 8 = 18 est divisible par 9.
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III. Division décimale
Définition : Le quotient d’un nombre décimal a par un nombre entier non nul b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous suivante : b x ? = a.
Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte (ou une valeur approchée) de ce quotient. On le note a : b.
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Exemple : Posons la division de 23 par 5.
On a donc 23 : 5 = 4,6
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Remarque :
Lorsque, comme dans l’exemple ci-dessous, la division "ne s’arrête jamais", ou encore lorsque le quotient comporte un grand nombre de décimales, il est nécessaire de donner une valeur approchée du quotient.
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On va donner une valeur approchée du quotient. Il en existe 2 sortes.
La troncature au dixième, au centième, au millième d'un nombre signifie que l'on coupe le nombres avec 1, 2, 3 chiffres après la virgule.
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Remarques :
On parle aussi de troncature par défaut et par excès d'un nombre.
La troncature par défaut est la troncature normale.
La troncature par excès est le nombre décimal directement supérieur à la troncature.
Avec une troncature par défaut au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4Avec une troncature par excès au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,5
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Pour calculer un arrondi d'un nombre au dixième, il faut choisir regarde le chiffre suivant. Si le chiffre suivant est 0, 1, 2, 3 ou 4, on choisi comme arrondi la troncature par défaut. Si le chiffre suivant est 5, 6, 7, 8 ou 9, on choisi comme arrondi la troncature par excès.
Avec un arrondi au dixième, on a 52 : 7 ≈ 7,4Avec un arrondi au centième, on a 52 : 7 ≈ 7,43