Chapitre 5:Propriétés des

systèmes optiques

5.1 Foyers

Le faisceau lumineux issu d’un point objet situé à l’infini est un faisceau parallèle. Si ce point objet est sur l’axe optique du système optique, ce faisceau est parallèle à l’axe optique.

Foyer objet (F): Point de l’axe optique conjugué d’une image réelle située à l’infini sur l’axe optique

Foyer Image (F’): Point de l’axe optique conjugué d’un objet réel situé à l’infini sur l’axe optique

Foyers

Image à l’

Objet à l’

5.2 Plans focaux

Plan Focal Image (’) : Plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer image F’ : c’est l’ensemble des points conjugués des points objets situés à

l’infini.

Tout faisceau parallèle mais non parallèle à l’axe optique converge en un point du plan focal image hors de l’axe optique (différent du foyer image).

5.2 Plans focaux

Plan Focal Objet ( : Plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer objet F : c’est l’ensemble des

points conjugués des points images situés à l’infini.

Tout faisceau passant en un point du plan focal objet donnera après traversée du système optique un faisceau parallèle mais non parallèle à l’axe optique.

5.3 Grandissement

On considère un système optique (SO) donnant l’image A’B’ d’un objet AB. Les points A et A’ appartiennent à l’axe optique et on admet que les conditions de Gauss sont vérifiées (petits objets, petits angles).

Grandissement linéaire : On appelle grandissement linéaire le rapport algébrique de la taille de l’image sur la taille

de l’objet.

ABBA ''

On appelle aussi le grandissement transversal

Grandissement angulaireOn appelle grandissement angulaire le rapport

algébrique de l’angle du rayon émergent sur l’angle du rayon incident.

uuG '

On appelle aussi G le rapport de convergence.

Grandissement

On utilisera les conventions de signe suivantes :

Grandissement

5.4 Aplanétisme

Le stigmatisme rigoureux assure qu’un objet ponctuel donne une image ponctuelle à travers le système optique. Cependant, les objets sont usuellement étendus.

AplanétismeUn système optique est aplanétique si un objet plan, perpendiculaire à l’axe optique donne une image plane perpendiculaire à l’axe optique.

On admet les conditions de Gauss vérifiées (petits objets, petits angles).

On démontre alors la relation d’Abbe :

Une condition d’aplanétisme selon l’axe optique peut aussi être définie.

C’est la relation de Herschel :

0'sin'''sin BAnABn

0 2'sin'''

2sin 22 BAnABn

Aplanétisme

Démonstration de la relation d’Abbe:

Les chemins optiques sont :

L(AA’) = n AI + L(II’) + n’ I’A’L(BB’) = n BJ + L(JJ’) + n’ J’B’

mais d’après les conditions de Gauss, on a aussi

L(AA’) = L(BB’) + dL

En admettant aussi le stigmatisme approché, tout rayon issu du point objet B parvient au point image B’, en particulier le rayon issu de B et incident sur le dioptre en I, émergent en I’ et arrivant en B’. Dans ce cas, le chemin optique L(BB’) s’écrit :

L(BB’) = n BI + L(II’) + n’ I’B’

Et donc pour la différence de chemin dL  = L(AA’) – L(BB’):

dL = n AI + L(II’) + n’ I’A’ - n BI - L(II’) - n’ I’B’

= n (AI – BI) + n’ (I’A’ – I’B’)

Au 1er ordre (approximation de Gauss) nous avons :

AI – BI ~ AH = AB cos(/2 - ) = AB sin

De même on obtient

I’A’ – I’B’ ~ H’A’= A’B’ cos(/2 - ') = - A’B’ sin '

Démonstration de la relation d’Abbe:

H

H’

Finalement, on obtient pour la différence de chemin optique :

dL = n AB sin - n’ A’B’ sin ’

Pour tout point B du plan objet, le point B’ sera dans le plan image si cette différence de chemin optique est constante. On écrit donc :

dL = Constante

Cette constante peut donc être calculée en un point particulier, par exemple pour = ’ = 0. Il vient alors :

dL = n AB sin - n’ A’B’ sin ' = 0

Cette relation est connue sous le nom de relation d’Abbe.

Démonstration de la relation d’Abbe:

5.5 Invariant de Lagrange-Helmholtz

Avec les deux relations de grandissement :

On peut écrire la relation d’Abbe appliquée aux distances AB etA’B’ et aux angles u et u’ en utilisant l’approximation de Gauss:

il vient finalement la relation simple:

ABBA ''

uuG '

'nnG

0'''''sin'''sin uBAnuABnuBAnuABn

H

H’

A A’B

B’H

H’

''')'()'( HAnAHnBBAAL

)'cos1(''')cos1( BAnnAB

)0('cos'''cos cteBAnnABL

2'sin'''

2sin 22 BAnnAB

n’n

Démonstration de la relation de Herschel :

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