Chapitre 5 : Les annuitésfsjest.uae.ac.ma/fsjest/cours/Chapitre 5 , Les annuités.pdf · 2020. 3....
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I. Définition On appelle annuités une su temps égaux. Le terme annuité est habit période est différente de l’a semestrialité », « trimestrial L’étude des annuités consis une date donnée, d’une sui flux, la périodicité des flux, II. Les annuités co La valeur acquise d’une su c’est à dire début de période 1. La valeur ac On appelle valeur acquise somme des annuités (V ) ex annuité. Chapitre 5 : Les ann uite de flux monétaires perçus ou réglé tuellement réservé à des périodicités annu année, il est préférable de remplacer le te lité » ou « mensualité ». ste à déterminer la valeur actuelle ou la ite de flux. Elle prend en considération la le nombre des flux et le montant de chaqu onstantes de fin de période uite d’annuités constantes dépend de la d e ou fin de période. cquise ( ) e par une suite d’annuités constantes de xprimée immédiatement après le versem 1 nuités és à intervalles de uelles. Lorsque la erme annuité par « valeur acquise, à a date du premier ue flux. date de versement fin de période, la ment de la dernière
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I. Définition
On appelle annuités une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de
temps égaux.
Le terme annuité est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la
période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le terme
semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ».
L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à
une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier
flux, la périodicité des flux, le
II. Les annuités constantes de fin de période
La valeur acquise d’une suite d’annuités constantes dépend de la date de versement
c’est à dire début de période ou fin de période.
1. La valeur acquise
On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la
somme des annuités (V�) exprimée immédiatement après le versement de la dernière
annuité.
Chapitre 5 : Les annuités
une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de
est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la
période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le terme
estrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ».
L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à
une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier
flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.
Les annuités constantes de fin de période
La valeur acquise d’une suite d’annuités constantes dépend de la date de versement
c’est à dire début de période ou fin de période.
La valeur acquise (��)
On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la
) exprimée immédiatement après le versement de la dernière
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Les annuités
une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de
est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la
période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le terme annuité par «
L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à
une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier
nombre des flux et le montant de chaque flux.
La valeur acquise d’une suite d’annuités constantes dépend de la date de versement
On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la
) exprimée immédiatement après le versement de la dernière
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Si nous désignons par:
Vn : la valeur acquise par la suite des annuités
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes (d’annuités)
i : le taux d’intérêt par période de capitalisation
On a alors:
�� = � + �(� + �) + �(� + �)� + ⋯ + �(� + �)��� + �(� + �)���
�� = �[� + (� + �) + (� + �)� + ⋯ + (� + �)��� + (� + �)���]
Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i)
et comprenant n termes. La formule devient donc:
�� = �(1 + �)� − 1
(1 + �) − 1
�� = �(� + �)� − �
�
Exemple 1 :
Calculer la valeur acquise, au moment du dernier versement, par une suite de 4
annuités de 50 000 Dh chacune. Taux: 10% l’an.
Résolution
La valeur acquise :
�� = �(� + �)� − �
�
��� = �� ���(�, �)� − �
�, �= ��� ��� ��
2. La valeur actuelle (Va)
On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la
somme des annuités actualisées (V0) exprimée à la date origine.
Si nous désignons par:
Vo : la valeur actuelle par la suite des annuités
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes (d’annuités)
i : le taux d’intérêt par p
On a alors :
�� = �(� + �)��
�� = �[(� + �)
�� = �(� + �)��[
La valeur actuelle (Va)
On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la
somme des annuités actualisées (V0) exprimée à la date origine.
Si nous désignons par:
: la valeur actuelle par la suite des annuités
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes (d’annuités)
i : le taux d’intérêt par période de capitalisation
� + �(� + �)�� … + �(� + �)���� + �(
)�� + (� + �)�� … + (� + �)���� + (�
[� + (� + �)�� … + (� + �)���� + (� +
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On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la
ériode de capitalisation
(� + �)��
+ �)��]
+ �)����]
On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique
� = (1 + �)�� et comprenant n termes. La formule devient
�� = �(1 + �)�
Exemple Quelle est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6% d’une suite d’annuité
constante de 1 500 dh versées à la fin de chaque année pendant 7 ans
La valeur actuelle de cette suite d’annuité
�� = � ���
B. Les annuités constantes de début de période
1. La valeur acquise (
Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique
suivant:
Si nous désignons par:
Vn : la valeur acquise par la suite des annuités
géométrique de premier terme 1, de raison géométrique
et comprenant n termes. La formule devient :
��1 − (1 + �)��
1 − (1 + �)�� ⇨ �� = �
1 − (1 + �)�
1 + � − 1
�� = �� − (� + �)��
�
est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6% d’une suite d’annuité
500 dh versées à la fin de chaque année pendant 7 ans
Résolution
La valeur actuelle de cette suite d’annuités constantes est donc :
�� = �� − (� + �)��
�
���� − (�, ��)��
�, �� = � ���, �� ���
Les annuités constantes de début de période
La valeur acquise (Vn)
Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique
: la valeur acquise par la suite des annuités
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géométrique de premier terme 1, de raison géométrique
��
1
est la valeur actuelle au taux d’actualisation de 6% d’une suite d’annuité
500 dh versées à la fin de chaque année pendant 7 ans
Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes (d’annuités)
i : le taux d’intérêt par période de capitalisation
On a alors :
�� = �(� + �
�� = � (� + �)[
Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme
comprenant n termes. La formule devient donc
��
2. La valeur actuelle (Va)
�� = � + �(
�� = �
a : l’annuité constante de fin de période
n : le nombre de périodes (d’annuités)
i : le taux d’intérêt par période de capitalisation
�) + �(� + �)� … + �(� + �)��� + �(�
)[� + (� + �) + ⋯ + (� + �)��� + (� +
Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q=(1+i) et
comprenant n termes. La formule devient donc :
� = � (� + �)(� + �)� − �
(� + �) − �
(� + �)�� + �(� + �)�� … + �(� + �)��
� [� + (� + �)�� + ⋯ + (� + �)����]
�� = � (� + �)(� + �)� − �
�
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i : le taux d’intérêt par période de capitalisation
� + �)�
+ �)���]
1, de raison géométrique q=(1+i) et
���
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On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique
q = (1 + i)�� et comprenant n termes. La formule devient :
�� = � � − (� + �)��
� − (� + �)�� ⇨ �� = �
(� + �)[� − (� + �)��]
(� + �)[� − (� + �)��]
D’où
�� = �(� + �)� − (� + �)��
�
