CHAPITRE 5: Applications de la dérivée I

Chapitre 5 : Applications de la dérivée I - 1

MAT 1730 X Chapitre 5 : Applications I


CHAPITRE 5: Applications de la dérivée I

5.1 La Règle de l’Hôpital. 5.2 Accroissement et concavité 5.3 Graphe d’une fonction. 5.4 Optimisation (Pure) 5.5 Optimisation (Appliquée)


5.1 La Règle de l’Hôpital But : Utiliser les dérivées pour calculer des limites inappropriées.

Règle de l’Hôpital: Soit Ω = ± ∞ ou Ω = 0. soit x = a un point dans un intervalle I. Soit f(x) et g(x) deux fonctions différentiables sur I sauf possiblement à x = a. Si

€

limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = ±Ω,

alors

€

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f '(x)g'(x)

.

De plus, ces résultats sont valides aussi pour les limites aux infinis (a = ± ∞).


5.1 La Règle de l’Hôpital Remarques : a)  R.H. traite seulement les formes inappropriées (et rien d’autre);

b)  Pour les autres formes inappropriées; Vous devrez d’abord manipuler votre expression pour retrouver une des formes inappropriées ci-haut.

c)  R.H. est valide pour les limites à droite et à gauche.

,∞

∞±

00


5.1 La Règle de l’Hôpital Exemple 1 (bye bye factorisation):

€

limx→2

x 2 − 3x + 23x 2 − x −10

=


Exemple 2 (régurgiter la rationalisation):

=−

−→ 256

4lim 216 xx

x

5.1 La Règle de l’Hôpital


Exemple 3:

€

limx→0

sin(x)x

=



Exemple 4:

=−→ 1)ln(lim

1 xx

x



Exemple 5:

€

limx→∞

1000x + 999ex

=



Exemple 6 (bonne chance aux mordu(e)s du numérique):

€

limx→0

3x −12x −1

=



Exemple 7 (Oups I did it again!):

=−

−→ 1lim 2

0 x

x

x exxe



Exemple 8 (produit inapproprié):

€

limx→0+

x ln(x) =



Exemple 9 (produit inapproprié): limx→∞

xsin 1x#

$%&

'(

#

$%

&

'(=



Exemple 10 (Différence inappropriée): limx→0+

csc(x)− 1x

#

$%

&

'(=



Exemple 11 (Puissance inappropriée): lim

x→0+xx( ) =



Exemple 12 (Puissance inappropriée): limx→∞

cos 1x#

$%&

'(

#

$%

&

'(

x2

=



5.2 Accroissement et Concavité Définition: La fonction f possède un maximum global (ou maximum absolu) au point x = c si f(c) ≥ f(x) pour tous x dans le domaine de f.

Similairement, la fonction f possède un minimum global (ou minimum absolu) au point x = c si f(c) ≤ f(x) pour tous x dans le domaine de f.

Définition: La fonction f possède un maximum local (ou maximum relatif) au point x = c si f(c) ≥ f(x) pour tous x dans un intervalle ouvert autour de c.

Similairement, la fonction f possède un minimum local (ou minimum relatif) au point x = c si f(c) ≤ f(x) pour tous x dans un intervalle ouvert autour de c.


5.2 Exemple 1 (Visuel)

Minimums locaux : Maximums locaux : Minimum global : Maximum global :






5.2 Exercice (Visuel)




5.2 Accroissement et Concavité

Définition: La fonction f est croissante sur un intervalle ouvert I si:

f(a) < f(b) lorsque a < b dans I.

Définition: La fonction f est décroissante sur un intervalle ouvert I si:

f(a) > f(b) lorsque a < b dans I.



f(x) croissante sur : f(x) décroissante sur : f(x) constante sur :


5.2 Exercice 1 (Visuel)

s(t) croissante sur : s(t) décroissante sur : s(t) constante sur :


5.2 Exercices 2 (Visuel)




5.2 Exercices 3 (Visuel)





Rappel: Sur le graphe suivant, identifier où les pentes de droites tangentes sont positives, négatives, nulles ou n’existe pas;


Théorème (accroissement avec la première dérivée):

Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de f(x). 1)  Si f’(c) > 0, alors x = c est un point où la fonction est croissante. 2)  Si f’(c) < 0, alors x = c est un point où la fonction est décroissante.



Définition: Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de

f(x). Le point x = c et un point critique de f(x) si;

f’(c) = 0 ou f’(c) est non-définie. Test de la première dérivée pour la classification des points critiques:



Exemples : Pour les fonctions suivantes f(x); a)  Calculer f’(x), b)  Trouver les points critiques de f(x), c)  Faire un tableau des signe pour f’(x) et d)  Utiliser celui-ci pour classifier les points critiques et trouver les

intervalles d’accroissement.



Exemple 1 :

14)( 2 +−= xxxf5.2 Accroissement et Concavité


Exemple 2 :

13)( 23 +−= xxxf



Exemple 3 :

xxexf −=)(5.2 Accroissement et Concavité



0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

1. Donner les similiratités entre ces deux fonctions? 2. Donner les différences entre ces deux fonctions?



Définitions: Lorsque le graphe d’une fonction est au-dessus des ses tangentes sur un intervalle ouvert I alors la fonction est concave vers le haut. Lorsque le graphe d’une fonction est en-dessous des ses tangentes sur un intervalle ouvert I alors la fonction est concave vers le bas.



f(x) concave vers le haut: f(x) concave vers le bas :



f(x) croissante sur : f(x) décroissante sur : f(x) concave vers le haut : f(x) concave vers le bas :



Exemples: Points d’inflexion de l’exemple 1: Points d’inflexion de l’exemple 2:

Définition: Un point x = p (dans le domaine) est un point d’inflexion de la fonction f s’il la fonction change de concavité à ce point (de concave vers le haut à concave vers le bas ou vice-versa).



Concavité

a)  La fonction f(x) est concave vers le _____ b)  La fonction g(x) est concave vers le ______. c)  Les pentes tangentes de f(x) sont ____________. d)  Les pentes tangentes de g(x) sont ____________.


Idée : Soit f(x) définie sur un intervalle I.

1) Alors f(x) est concave vers le haut lorsque f’(x) est __________

et ceci est équivalent à dire que la dérivée de f’(x), la deuxième dérivée f’’(x), est

__________. 2) Alors f(x) est concave vers le bas lorsque f’(x) est

__________ et ceci est équivalent à dire que la dérivée de f’(x), la deuxième dérivée f’’(x), est

__________.



Définition (concavité avec la deuxième dérivée): Soit f(x) une fonction et x = c un point dans le domaine de f(x).

1)  Si f’’(c) > 0, alors x = c est un point où la fonction est concave

vers le haut. 2)  Si f’’(c) < 0, alors x = c est un point où la fonction est concave

vers le bas.

De plus, tout point où la deuxième dérivée change de signe est un point d’inflexion.



Exemples : Pour les fonctions suivantes f(x); a)  Calculer f’’(x), b)  Construire un tableau des signes pour f’’(x) et c)  Utiliser celui-ci pour trouver les intervalles de concavité et les

points d’inflexion.



Exemple 1 :



Exemple 2 :



Exemple 3 :

xxexf −=)(5.2 Accroissement et Concavité


5.4 Optimisation (Pure) But: Calculer les maximums et minimums globaux d’une fonction. Ce processus est appelée optimiser f(x).

1 – INTERVALLES FERMÉS: Théorème (Théorème des valeurs extrêmes): Soit f (x) une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b], alors f(x) possède toujours des valeurs extrêmes (maximum(s) et minimum(s) globaux) sur [a, b].


5.4 Optimisation (Pure) Exemple 1 Exemple 2




5.4 Optimisation (Pure)

Optimisation sur des intervalles fermés (Méthode) : Pour calculer les maximum(s) et minimum(s) globaux d’une fonction continue f(x) sur un intervalle fermé [a, b]: a) Trouver les points critiques de f (x) dans l’intervalle [a, b]. b) Calculer les ordonnées (coordonnée y)

i) des points frontières (x = a et x = b) et ii) des points critiques.

c) Comparer numériquement pour trouver les max. et min. globaux.


5.4 Optimisation (Pure) Exemple 1: Optimiser f (x) = x5 - 5x +2 sur [0, 10].


5.4 Optimisation (Pure) Exemple 2: Optimiser f (x) sur [0, 4]: 1

)(+

=xx

xf


5.4 Optimisation (Pure) 2 – INTERVALLES NON-FERMÉS: Soit f (x) un fonction continue sur un intervalle non-fermé;

- un point ouvert; ]a, b] ou[a, b[ - deux points ouverts; ]a, b[ - borne(s) infinie(s); [a, ∞[ ou ]a, ∞[ ou ]-∞, a] ou ]-∞, a[ ou ]-∞, ∞[

alors f (x) peut avoir ou non des maximum(s) ou minimum(s) globaux.






5.4 Optimisation (Pure) Optimisation sur des intervalles (Méthode Générale) : Pour calculer les maximum(s) et minimum(s) globaux d’une fonction f (x) continue sur un intervalle: a) Trouver les points critiques de f (x) dans l’intervalle. b) Calculer l’ordonnées (coordonnée y)

i) des points frontières fermés. ii) des points critiques.

c) Calculer les limites aux points frontières ouverts. d) Comparer numériquement pour trouver les max. et min. globaux. Remarque: Si la plus grande valeur est obtenue à une limite d’un point ouvert alors il n’y pas de maximum global, et si la plus petite valeur est obtenue à la limite d’un point ouvert alors il n’y pas de minimum global.


5.4 Optimisation (Pure) Exemple 1: Soit f (x) = xln(0.5x) + 1. Optimiser f (x) sur les intervalles suivants. a) ]0, 1[ b) ]0, 2[ c) ]0, ∞[


5.4 Optimisation (Pure) Exercice 1: Soit f (x) = xe-0.25x. Optimiser f (x) sur les intervalles suivants. a) [1, 5[ b) [1, ∞[ c) [0, ∞[

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