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Distributions de Distributions de probabilité discrètesprobabilité discrètes

MQT-21919: Probabilités et statistique

Exemple 1:

On choisit au hasard deux chiffres différents et on considère la variable aléatoire X correspondant au plus petit des deux chiffres.

a) Trouver la fonction de probabilité de X

b) Trouver fonction de répartition de X

c) Trouver P(3 X 6)

Réponse

b) On suppose que l’ordre n’est pas important donc le nombre de cas possibles est .Sous la même hypothèse, non ordonnés, nous déterminons le nombre de cas favorables. Par exemple pour xi=0, les cas favorables sont (01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09). Donc:

102 45C

9( 0)

45if x

a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

0 1 2 3 4 5 6 7 8

945

8 45

7 45

6 45

545

445

345

245

1 45

945

1745

2445

3045

3545

3945

4245

4445

4545

)()( ii xPxf X

( ) ( )i iF x P x X

ix

RéponseDéterminons P(3 X 6) ?

Propriété 5:P(3 X 6) = P(2 < X 6) = F(6) – F(2) = 18/45

Directement:P(3 X 6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

= (6/45) + (5/45) + (4/45) + (3/45) = 18/45

Exemple 2Un cavalier désire analyser ses chances de succès lors d'un prochain concours hippique sur un terrain qui lui est nouveau. Il décide de recueillir des renseignements auprès des 20 cavaliers qui connaissent bien le terrain en question. Le gagnant du concours est le cavalier qui accumule le moins de points de pénalité. Le nombre de points de pénalité se répartit comme suit : n points pour le n-ième obstacle qui tombe (1 pour le 1er obstacle, 2 pour le 2ième obstacle, etc.). Ainsi, pour un cavalier qui fait tomber 3 obstacles, il accumule 6 points de pénalité. Il demande donc à chacun des 20 cavaliers son estimation de la difficulté du parcours en terme du nombre de points de pénalité. Il obtient le résultat suivant :

Nb de pts acc. 0 1 3 6 10 15 21Nb de cavalierayant attribué unnb de pts de pén. 2 2 6 4 1 3 2

Exemple (suite)

Notre cavalier estime que l'ensemble de ces renseignements est représentatif de sa performance lors du prochain concours hippique. On définit la variable aléatoire X comme étant le nombre de points accumulés.

•a) Déterminer la masse de probabilité de X, sa fonction de répartition.•b) Quelle est la probabilité que notre cavalier se qualifie, c'est-à-dire qu'il accumule 18 points de pénalité ou moins ?•c) Calculer la valeur espérée du nombre de points de pénalité pour notre cavalier.•d) Calculer la déviation moyenne (écart type) du nombre de points accumulés autour de la valeur espérée.•e) Quelle est la valeur modale du nombre de points accumulés ?

Solution exemple 2a) Déterminer la masse de probabilité de X, sa fonction de répartition.

X 0 1 3 6 10 15 21

P(X=x) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,05

0,15

0,1

P(Xx) 0,1 0,2 0,5 0,7 0,75

0,9 1

b) Quelle est la probabilité que notre cavalier se qualifie, c'est-à-dire qu'il accumule 18 points de pénalité ou moins ? Réponse = 0,90

c) Calculer la valeur espérée du nombre de points de pénalité pour notre cavalier. Réponse = E(X) = 7,05

d) Calculer la déviation moyenne (écart type) du nombre de points accumulés autour de la valeur espérée. Réponse = Écart type = 6,57

e) Quelle est la valeur modale du nombre de points accumulés ? Réponse = 3