Chapitre 5-0
6
7/23/2019 Chapitre 5-0 http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 1/6 Clrcrpitre CINQ Chcrtrrps cle sccrlcrires et de rrectertHs RAPPELS. 5.1. GRADIENT. 5.1.1. Gradient d'une fonction scalaire quelconque. 5.1.2. Gradients de r, I et Log r. r 5.1.3. Gradient d'un champ à symétrie sphérique. 5.1.4. Dérivée dans une direction et dérivée normale. 5.1.5. Normale à une surface. 5.1.6. Gradient en coordonnées cylindriques et sphé- riques. 5.2. DIVtrRGENCE. 5.2.1. Divergence de quelques champs de vecteurs. 5.2.2. Divergence et configuration du champ. 5.2.3. Champ à flux conservatif. 5.2.4. Équation de conservation de la chaleur. 5.2.5.Divergenced'un champ à symétriecylindrique. 5.2.6. Divergenced'un champ à symétrie sphérique. 5.2.7 Divergence en coordonnées cylindriques. 5.2.8. Divergence en coordonnées sphériques. tt7
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7/23/2019 Chapitre 5-0
http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 1/6
Clrcrpitre
CINQ
Chcrtrrps
cle
sccrlcrires
et
de
rrectertHs
RAPPELS.
5.1.
GRADIENT.
5.1.1.
Gradient
d'une
fonction
scalaire
quelconque.
5.1.2.
Gradients
de
r,
I
et
Log
r.
r
5.1.3.
Gradient
d'un
champ
à
symétrie
sphérique.
5.1.4.
Dérivée
dans
une
direction
et
dérivée
normale.
5.1.5.
Normale
à
une surface.
5.1.6.
Gradient
en
coordonnées
cylindriques
et sphé-
riques.
5.2.
DIVtrRGENCE.
5.2.1.
Divergence
de
quelques
champs
de
vecteurs.
5.2.2.
Divergence
et
configuration
du
champ.
5.2.3.
Champ
à
flux conservati f .
5.2.4.
Équation
de
conservation
de
la chaleur.
5.2.5. Divergenced'un champ à symétriecyl indrique.
5.2.6.
Divergence
d'un
champ à symétrie
sphérique.
5.2.7
Divergence
en coordonnées
cylindriques.
5.2.8.
Divergence
en coordonnées
sphériques.
t t7
7/23/2019 Chapitre 5-0
http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 2/6
5.3.
ROTATIONNEL.
5.3.1.
Calcul de rotat ionnels.
5.3.2.
Champ dérivant
d'un
potentiel
scalaire.
5.3.3.
Rotat ionnel
d'un champ
de
vitesses.
5.3.4. Rotationnel
et configuration
du
champ.
5.3.5. Rotationnel
en
coordonnées
cylindriques.
5.3.6.
Rotationnel
en
coordonnées
sphériques.
5.4.
LAPLACIEN.
5.4.1.
Laplacien
de Log r.
5.4.2. Expression du Laplacien en coordonnées cylin-
driques.
5.4.3.
Expression
du Laplacien
en coordonnées
sphé-
riques.
5.5.
PROPRIETÉS
DE
QUELQUES
CHAMPS.
5.5.1.
Potentiel
scalaire
et
potentiel
vecteur.
5 5.2.
Champ de
gravitation.
5.5.3.
Champ
électrique
dans
un domaine
chargé.
5.5.4. Champ
de vitesses
dans
un
fluide
incompres-
sible.
5.5.5. Champ de
vitesses
dans
un
fluide
compressible.
5.6. OPÉRATEURS
DU 2E
ORDRE.
1 1 8
7/23/2019 Chapitre 5-0
http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 3/6
Rcrppels
décrit
une
courbe
FLUX.
Le
flux élémentaire
d@ du
vecteur
À
à travers
l'élément
de
surface
ds est
défini
Par
d6-
Â. rcs.
CIRCULATION.
Soit
un
vecteur
 dont
ie
point
d'application
P
(C).
Si
P
se
déplace
de
dl sur
(C), la quantité
d c : ^ n
définit
la
circulation
élémentaire
du vecteur
Â.
La circulation
est
donnée
par
ln
-->
-à
c
-
|
A.dt .
./
(c)
GRADIENT.
Considérons
un champ
scalaire
dont
la
valeur
en
M(x,
,
z)
est
U(x,
y,
z); en un
point
voisin,
le
champ
a
la valeur
U
+
dlJ
telle
que
dU
-
ôU
dx
*N
a,
aN
4r .
ô x
ô y
-
d z
On
pose
------>
-->
dU
-
grad
U.d l
,
relation
qui
définit
I'opérateur
gradient
ô U
dz
On écrit encore
1 1 9
7/23/2019 Chapitre 5-0
http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 4/6
en
utilisant I'opérateur
nabla
(ou
del)
La
dérivée
dans a
direction
notée
4V
et l 'on
a
dr
Physiquement,
* - >
r - r u .
Ln
VECTEUR
GRADIENT
DIVERGENCE.
Étant
donné
un
d u
- : : -
;
-
u . g r a d U .
dLJ
,
-
représente
le
taux
de
variation
dans la
direction
ar
/ ô \
î * i o : t #
I
ô
\ r /
i,
de
vecteur
unitaire
ù
:
î
,
est
=
ô > ,
ô
v r - T . -
ôx
ô-y
est
égale
à la
variation
du
champ
:
, " l i ------>
->
/, l l
f ."
er-,a
J
ii
-
I
(trJ
,.'
A
-'
,l
I l
s 'ensuit .
que.sa
c, i rculat ion
e
long
d'un
aucun point singulier est nulle.
-
est
normal
aux
surfaces
de
niveau,
-
est
orienté
dans
le
sens
des
valeurs
croissantes
du
champ
et
indique
la
direction
de
variation
la
plus
rapide
du
champ,
est indépendant du
repère
choisi.
La
circulation
du
gradient
d'un
point
A
à
un
point
B
:
Ur,
-
U' t '
contour
fermé
ne
présentant
B
A
on appelle
champ
de
vecteurs
/X
(x,
y,
z)
t
- { Y ( x , y , z ) l -
\z
(x, y,
z)
/
nce du vecteur Â
A
diverge
x7+Y7
+zTç ,
le scalaire
d i v À _ 7 . À _ o X + _ ô _ y + ô Z
ôx
ôy
dz
s-raà
120
7/23/2019 Chapitre 5-0
http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 5/6
Si
I'on
considère
un
petit
élément de volume dv
limité
par
une
surface
S,
le
flux total sortant
de cette
surface
est égal
à
_>
div
A
dv;
la
divergence
peut
être
considérée
comme
le flux sortant par unité de volume.
Le théorème de Green-Ostrogradsky
étend cette
propriété
à un
volume
fini;
I' intégrale
de
la
divergence
étendue
à tout
le
volume est égale au
flux total sortant
de
ce
volume
:
laplacien
nul
est
dite fonction harmonique.'
sa
surface d'une sphère est égale à sa
valeur
au
On notera que la divergence d'un champ uniforme est nulle.
Un champ à divergence nulle
est dit solénoi'dal.
Son
flux
à travers
une
surface
fermée
quelconque
est
nul
(il
V
a conservation
du
flux).
LAPLACIEN.
Le
gradient
d'un scalaire U étant
le
vecteur
Â
-
sffi
ur
P;
+
ry7
+
e-iJi,,
ôx c)v dz
on
peut
calculer sa divergence :
div
À
_
ôr[J
_p
gllJ
+
ôru
_
au.
ôx2 dy' ô22
On
définit ainsi
un
nouvel opérateur,
le
laplacien,
^ - 3 3
- v 2 -
o ' + È + 1
A - v ' v - -
- ô x z
t
W t
d r ,
Une
valeur
centre
fonction
U à
moyenne sur
la
de la
sphère.
ROTATIONNEL.
Etant donné
le
champ de vecteurs
Â
(r,
,
z),
on appelle
rotationnel
->
de A le vecteur
I2r
(# -y )
(g
-# )1
- (# -# ) i
o t A
-
7/23/2019 Chapitre 5-0
http://slidepdf.com/reader/full/chapitre-5-0 6/6
;,-A
En
util isant
I'opérateur
nabla, i l s 'écr it
simplement
r o t A -
-_>
V
->
A A :
Le rotationnel est
indépendant
du
choix des coordonnées.
La condition
nécessaire et suffi-
sante
pour qu'un
champ
À
dérive
d'un
potentiel
scalaire U
(c'est-à-dire
ue
À
-
ffo
ul
est que son rotationnel soit nul (le
champ est dit irrotationnel et
il ne
peut
y
avoir
de
lignes de champ
fermées).
I-orsque
iôt Â
+
0,
il
peut
exister
des
lignes
de champ
fermées.
Le
théorème
de Stoke.r
exprime
que
la
circulation
d'un
vecteur le long
d'un
contour
fermé C, est
égale,
au
flux
de
son
rotationnel:
A . d l :
l 7
i
i l
l ô
ô ô l
lô"
ùy
o'l
l x Y z l
f
-
- -
I
rot A.
dS
. / S
'
-t
C
122
