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Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES


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TS, lycée les eaux claires

September 30, 2019



Dans ce chapitre

1) Fonctions de référence

2) Opérations sur les dérivées

3) Dérivée des fonctions de la forme un avec n entier

4) Dérivée des fonctions de la forme√

u

5) Dérivée des fonctions d’expression x 7→ u(ax + b)

6) Fonctions composées : rappels

7) Tangente à une courbe


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES1) Fonctions de référence

Plan du cours





u



7) Tangente à une courbeTS, lycée les eaux claires


1.1) les fonctions affines

Les fonctions affines sont les fonctions définies sur R et dontl’expression est de la forme f (x) = ax + b où a et b sont deuxnombres réels.

Ces fonctions sont dérivables sur R et f ′(x) = a



1.2) la fonction carré

• La fonction carré est définie sur R par l’expression f (x) = x2

Cette fonction est dérivable sur R et f ′(x) = 2 x

• Plus généralement, pour tout entier n strictement positif, lafonction définie sur R par l’expression f (x) = xn est dérivablesur R et f ′(x) = n xn−1



1.3) la fonction inverse

• La fonction inverse est définie sur R∗ par l’expression :f (x) = 1

xCette fonction est dérivable sur R∗ et f ′(x) = − 1

x2

• Rappel :• la fonction inverse est décroisante sur l’intervalle ]−∞; 0[• la fonction inverse est décroisante sur l’intervalle ]0; +∞[• mais la fonction inverse n’est pas décroissante sur R∗



1.4) la fonction racine carré

• La fonction racine carré est définie sur R+ = [0; +∞[par l’expression : f (x) =

√x

Cette fonction est dérivable sur R+∗ = ]0; +∞[et f ′(x) = 1

2√

x

• Attention :• f (0) existe avec f (0) = 0• mais f ′(0) n’existe pas !


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES2) Opérations sur les dérivées

Plan du cours





u





2.1) Somme et différence

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors lesfonctions f = u + v et g = u − v sont dérivables sur ce mêmeintervalle I.

Pour tout x de l’intervalle I, f ′(x) = u′(x) + v ′(x) etg ′(x) = u′(x)− v ′(x)



2.2) Multiplication par une constante

Si k est un nombre réel et u est une fonction dérivable sur unintervalle I alors la fonction f = k × u est dérivable sur ce mêmeintervalle I.

Pour tout x de l’intervalle I, f ′(x) = k × u′(x)



2.3) Produit

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors lafonctions f = u × v est dérivable sur ce même intervalle I.

Pour tout x de l’intervalle I,

f ′(x) = u′(x)× v(x) + u(x)× v ′(x)

On écrit aussi : f ′(x) = (u′ × v + u × v ′)(x)



2.3) Produit(suite)

En particulier, si u = v , la propriété précédente devient :

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonctiong = u2 est dérivable sur ce même intervalle I.


f ′(x) = 2× u′(x)× u(x)



2.4) Quotient

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et si deplus v ne s’annule pas sur cet intervalle alors la fonction f = u

v estdérivable sur ce même intervalle I.


f ′(x) = u′(x)× v(x)− u(x)× v ′(x)v2(x)



2.5) Inverse

En particulier, si u est la fonction constante égale à 1, la propriétéprécédente devient :Si v est une fonction dérivable sur un intervalle I et si de plus v nes’annule pas sur cet intervalle alors la fonction f = 1

v est dérivablesur ce même intervalle I.


f ′(x) = − v ′(x)v2(x)


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES3) Dérivée des fonctions de la forme un avec n entier

Plan du cours





u





Notations

u est une fonction et n un nombre entier

• on note f = un la fonction dont l’expression est :

f (x) = [u(x)]n

• on note g = 1un la fonction dont l’expression est :

g(x) = 1[u(x)]n



3.1) f = un avec n entier strictement positif

Théorème• (1) u est une fonction dérivable sur un intervalle I

• (2) n est un nombre entier strictement positif

AlorsLa fonction f = un est dérivable sur l’intervalle I


f ′(x) = n × u′(x)× [u(x)]n−1



Exemple

Pour tout x réel, f (x) = (x2 + 1)4



Démonstration

• Démonstration par récurrence (page 78)

• Pour l’initialisation :Ce théorème est déja vérifié pour n = 1 et n = 2.

• Pour l’hérédité:Il suffit d’écrire que un+1 = un × upuis d’appliquer la règle de dérivation d’un produit.



3.2) g = 1un avec n entier strictement positif


• (2) u ne s’annule pas sur I

• (3) n est un nombre entier strictement positif

AlorsLa fonction g = 1

un est dérivable sur l’intervalle I


g ′(x) = −n × u′(x)[u(x)]n+1



Exemple

Pour tout x réel,g(x) = 1

(x2 + 2)3



Démonstration

On utilise la règle de dérivation de l’inverse...



3.3) Exposant négatif

RappelSi n est un nombre entier et a un nombre réel non nul, alors :

a−n = 1an

Exemple :2−3 = 1

23 = 18



3.3) Exposant négatif (suite)

• g(x) = 1u(x)n s’écrit g(x) = u(x)−n

• g ′(x) = −n × u′(x)[u(x)]n+1

s’écrit g ′(x) = −n × u′(x)× [u(x)]−n−1

Les deux formules de ce paragraphe sont donc identiques :

La fonction (u)exposant

a pour fonction derivée exposant × u′ × (u)exposant−1



ThéorèmePour tout nombre entier n positif ou négatif (mais non nul) :

La fonction f = un

a pour fonction dérivée f ′ = n × u′ × un−1



Exemple

Pour tout x réel,g(x) = 1

(x2 + 2)3


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES4) Dérivée des fonctions de la forme

√u

Plan du cours





u





√u

Ensemble de définition

Soit u une fonction.On veut étudier la fonction f dont l’expression est f (x) =

√u(x)

On commence par déterminer l’ensemble de définition Df .

Pour pouvoir calculer f (x), il faut vérifier les deux conditionssuivantes :

• u(x) existe• u(x) ≥ 0



√u

Exemple

• Déterminer Df avec f (x) =√

x2 − 4x + 3

• Déterminer Dg avec g(x) =√

x − 2x + 1



√u

Dérivée


• (2) u(x) > 0 (strictement positif) pour tout x del’intervalle I

AlorsLa fonction f =

√u est dérivable sur l’intervalle I


f ′(x) = u′(x)2√

u(x)



√u

Exemples

Reprendre les fonctions f et g d’expression :f (x) =

√x2 − 4x + 3 et g(x) =

√x−2x+1

Déterminer l’ensemble sur lequel chaque fonction est dérivable.

Puis calculer f ′(x) et g ′(x)


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES5) Dérivée des fonctions d’expression x 7→ u(ax + b)

Plan du cours





u




Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES5) Dérivée des fonctions d’expression x 7→ u(ax + b)

Dérivée

Théorème• (1) u est une fonction dérivable sur un intervalle J

• (2) On se place sur un intervalle I tel que :pour tout x de l’intervalle I, ax + b appartient à J

AlorsLa fonction f d’expression f (x) = u(ax + b) est dérivablesur l’intervalle IPour tout x de l’intervalle I,

f ′(x) = a × u′(ax + b)


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES6) Fonctions composées : rappels

Plan du cours





u





Notations

Soient g et h deux fonctions.

On note f = g ◦ h la fonction composée de g et de h.

Par définition (sous réserve d’existence), g ◦ h(x) = g [h(x)]

Attention : en général g ◦ h 6= h ◦ g



Fonctions étudiées dans ce chapitre

• Fonction de la forme f = un

f peut s’écrire comme une composée de fonctions : f = v ◦ uavec v(x) = xn

• Fonction de la forme f =√

uf peut s’écrire comme une composée de fonctions : f = v ◦ uavec v(x) =

√x

• Fonction f dont l’expression est de la forme f : x 7→ u(ax + b)f peut s’écrire comme une composée de fonctions : f = u ◦ wavec w(x) = ax + b



Dérivée d’une fonction composée

ThéorèmeSoit h une fonction définie et dérivable sur un intervalle E et àvaleurs dans un intervalle F .Soit g une fonction définie et dérivable sur F .

Alors la fonction f = g ◦ h est dérivable sur E .

Pour tout nombre x de l’intervalle E ,

f ′(x) = (g ◦ h)′(x) = h′(x)× (g ′ ◦ h)(x)

Ce théorème n’est pas au programme mais permet de faire le lienentre les nouvelles formules étudiées dans ce chapitre


Chapitre 4 : FONCTIONS DERIVABLES7) Tangente à une courbe

Plan du cours





u





Rappel

Théorèmef est une fonction définie et dérivable sur un intervalle E .

a est un nombre réel de E .

On note Ta la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a.

Alors Ta a pour équation :

y = f ′(a)(x − a) + f (a)



Exemple 1

f (x) =√

x2 + 3

1. Donner l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilitéde la fonction f . Calculer f ′(x)

2. Donner l’équation de Ta, tangente à Cf au point d’abscisse a.3. On considère la droite ∆ d’équation y = 0, 5x

Trouver les valeurs de a telles que Ta est parallèle à ∆4. On considère le point K de coordonnées (0 ; 1)

Trouver les valeurs de a telles que K appartienne à Ta

5. Trouver les valeurs de a telles que Ta soit horizontale6. Tracer les tangentes des questions précedentes puis la courbe

Cf



Exemple 2

f (x) = 1√x + 1

Etudier les variations de la fonction f .

Donner l’équation des tangentes T0 et T1.

Tracer ces tangentes dans un repère du plan puis tracer Cf à mainlevée.


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