CHAPITRE 3 3 - cheneliere.info · 3.8 Aperçu de l’intégrale 1 APERÇU DE L’INTÉGRALE 1...

13.8 Aperçu de l’intégrale

APERÇU DE L’INTÉGRALE1 Estimation de l’aire d’une région curviligne 2 Erreur d’approximation 3 Aire exacte d’unerégion curviligne 4 Intégrale définie 5 Intégrale définie négative 6 Propriétés de l’intégraledéfinie 7 Théorème fondamental du calcul 8 Recherche de primitives et intégrale indéfinie 9 Intégration par changement de variable 10 Calcul d’aires planes par intégration

Deux problèmes fondamentaux sont au cœur du calcul différentiel et intégral.D’abord, le problème des tangentes, étudié précédemment, qui consiste à décrire lesdroites tangentes à une courbe ; cette question est à la base du calcul différentiel.Ensuite, le problème de la quadrature, abordé maintenant, qui consiste à déterminerl’aire enfermée par une courbe ; cette question est à la base du calcul intégral.

Newton et Leibniz ainsi que les frères Bernoulli ont chacun le mérite d’avoirété les premiers à reconnaître clairement la connexion étroite entre ces deuxproblèmes.

1 Estimation de l’aire d’une région curviligneDès l’Antiquité, les géomètres s’intéressèrent au calcul de l’aire des figuresplanes. Ils savaient comment calculer l’aire de n’importe quelle surface polygo-nale plane en la découpant par triangulation et en faisant la somme des aires dechacun des triangles ainsi obtenus. En pratique, ils utilisaient la formule de Héronpour trouver l’aire de chaque triangle calculée à partir de la mesure de ses troiscôtés (figure 3.8.1).

Mais comment déterminer l’aire de surfaces délimitées par des courbes ?

Exemple 1 Estimer l’aire de la région sous une hyperboleTrouvez une approximation de l’aire A de la région comprise entre l’axe des xet l’hyperbole f(x) � 1/x, entre les bornes x � 2 et x � 4.

SolutionL’idée consiste à estimer l’aire A en remplaçant l’hyperbole par une courbe enescalier qui lui soit voisine : l’aire de chaque rectangle obtenu est facile àcalculer, et la somme Sn des aires de ces n rectangles sera à peu près égaleà A ; plus la base des rectangles sera petite, plus leur nombre augmentera etplus la somme Sn sera proche de l’aire A de la région sous la courbe.

Subdivisons cette région d’aire A en n bandes de largeur égale �x etformons sur chaque bande un rectangle fermé au-dessous de la courbe et unrectangle fermé au-dessus de la courbe. Il est clair que l’aire A est compriseentre la somme Sn

�des aires des rectangles inscrits et la somme Sn� des aires

des rectangles circonscrits (figure 3.8.2).À la figure 3.8.2, nous constatons qu’il y a quatre rectangles circonscrits

dont les coins supérieurs droits sont au-dessus de la courbe, et quatre rectan-gles inscrits dont les coins supérieurs gauches sont au-dessous de la courbe.

Calculons ces aires. L’aire de chacun des rectangles est le produit de sa basepar sa hauteur. Ici, les quatre rectangles sont de base �x � (4 � 2)/4 � 0,5.Les hauteurs sont données par l’équation de la courbe.

L’aire totale des quatre rectangles inscrits est

S4

�� a1 � a2 � a3 � a4

� (0,5)(1/2,5)�(0,5)(1/3)�(0,5)(1/3,5)�(0,5)(1/4)

� (0,5)(1/2,5 � 1/3 � 1/3,5 � 1/4)

� (0,5)(1,2690476) � 0,6345238.

3.8

FIGURE 3.8.1 La formule de Héron : soit s � (a � b � c)/2 le demi-périmètre d’untriangle. L’aire A du triangle est donnéepar A � ��s (s � a)�(s � b)�(s � c)�.

a

b

c

A

x

y

a1 a2 a3 a4

A1

A2

A3A4

1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

2 2,5 3 3,5 4

f (x) � x1

FIGURE 3.8.2 L’estimation de l’aire A sousl’hyperbole f(x) � 1/x à l’aide de quatrerectangles d’aires a1, a2, a3 et a4 et dequatre rectangles circonscrits d’aires A1, A2, A3 et A4.

monotone

Preuve Supposons d’abord que f est toujours décroissante sur [a, b]. Les rectan-gles intervenant dans le calcul de S

�n��

et S�n� sont tous de même base �x � (b � a)�n.Soit f (a) et f (b) les hauteurs respectives des rectangles d’aires A1 et an. Donc,

(S�n� � S�

n��) � (A1 � an) S�n� � S

�n�� A1 � an théorème 3.8.1

� [ f(a)�x � f(b)�x]

� [ f(a) � f(b)]�x

� [ f(a) � f(b)] • (�b �

na

�)� 0 (�b �

na

�) � 0

Dans le cas où f est toujours croissante sur [a, b], il suffit de remplacer A1 � an parAn � a1 et de développer un argument similaire.

On peut élargir le théorème 3.8.2 au cas plus général où f est continue sansêtre monotone, mais la preuve devient plus difficile et nous ne la présenterons pasdans cet ouvrage. En définitive, puisque (S�n� � S

�n��) � 0, nous pouvons écrire S�n� � S

�n��

(ces deux limites existent toujours si f est continue) et cela permet de définirl’aire de la région curviligne délimitée par le graphe d’une fonction non négativeet l’axe des x entre a et b.

3 Aire exacte d’une région curviligne

limn�

limn�

limn�

limn�

limn�

limn�

limn�

limn�

limn�

4 Chapitre 3 : Applications des dérivées

La méthode d’approximation utilisée pour le calcul d’une aire est analogue dansson principe à celle qui est utilisée pour le calcul d’une pente de courbe, c’est-à-dire une dérivée : la dérivée est la limite d’un quotient de différences alors quel’aire est la limite d’une somme de produits.

Archimède a réussi à calculer des aires de régions curvilignes avec exacti-tude grâce à sa méthode géométrique d’exhaustion, dont s’inspire la démarche del’exemple 1. L’un de ses résultats les plus fameux est le calcul de l’aire d’un seg-ment parabolique, que nous présentons maintenant en notation moderne.

Exemple 3 Calculer l’aire exacte de la région sous une paraboleTrouvez l’aire exacte A de la région sous la parabole f(x) � x2 entre les bornes x � 0 et x � b, où b > 0.

SolutionSubdivisons l’intervalle [0, b] en n parties égales de longueur �x � b/n (voirla figure 3.8.4).

ARCHIMÈDESi éclatante est la renomméed’Archimède (Syracuse, Sicile,287-212 av. J.-C.), tant pour sesinventions que pour ses dé-couvertes mathématiques, que cepersonnage bien réel semble tout àfait mythique. Il s’illustre d’abordquand, pour trouver la valeur de π,

il conçoit un polygone de 96 côtés en doublant le nom-bre de côtés d’un hexagone quatre fois de suite ; aprèsavoir comparé le périmètre de ce polygone inscrit dansun cercle à celui du polygone circonscrit autour dumême cercle, Archimède trouve l’excellente relation223/71 < π < 22/7. Au moyen de procédés imagina-tifs et précis du même genre, il obtient des résultatstels que 265/153 < �3� < 1351/780 ; malheureuse-ment, nous n’en possédons pas les démonstrations.L’idée de l’infiniment petit était mal vue chez lesGrecs ; cela explique pourquoi Archimède employaitdes approximations géométriques (par exemple, unpolygone presque circulaire de 96 côtés) là où un ma-thématicien moderne utiliserait le concept de limite.Néanmoins, on le compte parmi les lointains précur-seurs du calcul différentiel et du calcul intégral. Le principe d’Archimède, dit-on, servit à vérifier si lanouvelle couronne du roi de Syracuse était faite d’orpur ou d’alliage ; en comparant la flottabilité de l’or àcelle d’autres métaux, Archimède aurait découvertque l’orfèvre avait triché ! L’anecdote est amusante,mais Archimède aurait plutôt appliqué son principe àla construction de navires siciliens. Prototype du sa-vant qui sert la patrie en temps de guerre, connaissanttrès bien les courbes paraboliques, il aurait utilisé desmiroirs paraboliques pour concentrer les rayons dusoleil sur les navires romains assiégeant Syracuseafin de les incendier ! En fait, il s’agissait probable-ment de miroirs plats manipulés par une foule nom-breuse sur la grève... La marine grecque répéta l’ex-périence en 1973 : 70 marins firent flamber un petitbateau à l’aide de miroirs. Un soldat romain tua Archimède le jour de la prise deSyracuse. Il avait 75 ans.

3.8.3 Définition Aire exacte ASoit f (x) une fonction continue non négative sur un intervalle entre deuxbornes a et b. Soit S

�n�une somme d’aires de rectangles inscrits dans la

courbe de f entre a et b, et soit S�n� une somme d’aires de rectanglescirconscrits à la courbe f entre a et b. Alors, l’aire A de la région entre a et b délimitée par le graphe de f et l’axe des x est définie par

S�n� � S�n��

� A.limn�

limn�


Les n extrémités gauches des sous-intervalles sont

x0 � 0, x1 � �x, x2 � 2�x, …, xn�1 � (n � 1)�x.

Les n extrémités droites sont

x1 � �x, x2 � 2�x, x3 � 3�x, …, xn � n�x.

Puisque f(x) � x2 est croissante sur [0, b], les n hauteurs f(x0), ..., f(xn�1)élevées à l’extrémité gauche de chaque sous-intervalle déterminent n rectan-gles inscrits à la courbe, et les n hauteurs f(x1), … f(xn) élevées à l’extrémitédroite de chaque sous-intervalle déterminent n rectangles circonscrits.

L’aire totale des rectangles inscrits donne une approximation par défaut de A.

Sn

�� f (x0) • �x � f (x1) • �x � f (x2) • �x � … � f (xn�1) • �x

� f (0) • �x � f (�x) • �x � f (2�x) • �x � … � f ((n�1)�x) • �x

� 0 � �x • (�x)2 • �x � (2�x)2 • �x � … � ((n�1)�x)2 • �x

� (12 � 22 � … � (n�1)2) • (�x)3

L’aire totale des rectangles circonscrits donne une approximation par excès de A.

S�n� � f (x1) • �x � f (x2) • �x � f (x3) • �x � … � f (xn) • �x

� f (�x) • �x � f (2�x) • �x � f (3�x) • �x � … � f (n�x) • �x

� (�x)2 • �x � (2�x)2 • �x � (3�x)2 • �x � … � (n�x)2 • �x

� (12 � 22 � 32 � … � n2) • (�x)3

La table 3.8.2 ci-contre pour b � 6 montre comment Sn

�et S�n� varient en fonc-

tion de n.Contrairement au cas de l’hyperbole, cette fois il est possible de calculer la

limite de S�n� à l’aide de la formule donnant la source des carrés d’entiers consécutifs :

12 � 22 � 32 � … � n2 � .

S�n� � [(�x)3 (12 � 22 � 32 � … � n2)]

� �(�x)3 � Cette transformation permetle passage à la limite.

� �( )3

�� ( )( )( )( )�� ( )(1)(1 � )(2 � )�� • (1) • (2) 1/n � 0

�

De même, par un raisonnement analogue,

Sn

�� .

Comme prévu, Sn

�et S�n� ont la même limite de sorte que l’aire A de la région

sous la parabole est égale à b3/3.

Voir les exercices 7 et 8.

b3

�3

limn�

b3

�3

limn�

b3

�6

1�n

1�n

b3

�6

limn�

2n � 1�

nn � 1�

nn�n

b3

�6

limn�

n(n � 1)(2n � 1)��

6b�n

limn�

n(n � 1)(2n � 1)��

6limn�

limn�

limn�

n(n � 1)(2n � 1)��

6

x

y

y � x2

b � xn

x1

x0 � 0

x2 x3 …

FIGURE 3.8.4 Le calcul de l’aire sous laparabole f(x) � x2.

Table 3.8.2

n x Sn

�Sn�

6 1 55 9112 0,5 63,25 81,2524 0,25 67,5625 76,562548 0,125 69,765625 74,76562576 0,0625 70,87890625 73,87890625

Cette notation fut créée par Leibniz pour suggérer la façon dont l’intégrale estdéterminée. � est un « s » majuscule allongé, première lettre du mot latin summa.�b

a exprime l’idée qu’il faut faire une somme sur un intervalle de borne inférieurea et de borne supérieure b. L’expression f (x)dx appelée « intégrande » évoque lesproduits entre les hauteurs f (x) et les petites bases dx pour chaque rectanglefaisant partie de la somme.La notation

�b

af (x)dx

se lit « l’intégrale entre a et b de f de x dx » ou parfois « l’intégrale entre a et b def de x par rapport à x ».

Les différents éléments de la notation sont nommés ci-dessous.

Lorsque la valeur de l’intégrale a été trouvée, on dit que l’intégrale a été évaluée.Dans un cours plus avancé, on peut démontrer que la limite commune A des Sn

�et

Sn� quand n� ne dépend aucunement de la façon dont les rectangles sont choisis ;leurs bases peuvent être de longueurs inégales à condition que toutes ces longueurstendent vers 0 lorsque n�.

De plus, les rectangles n’ont pas besoin d’être forcément au-dessus ou au-dessous de la courbe ; leurs hauteurs peuvent être élevées à partir de n’importequel point dans chacun des sous-intervalles.

Voir les exercices 9 à 16.

4 Intégrale définiePuisque limn� Sn� et limn� Sn

�donnent l’aire A exacte de la surface sous une

courbe continue, nous disons que A est l’aire intégrale sous la courbe définie entreles deux bornes.


3.8.4 Définition Intégrale définieSoit f(x) une fonction positive continue. L’aire A sous f(x) délimitée par unintervalle [a, b] est égale à la limite commune de Sn

�et Sn� quand n� telle

que définie précédemment et elle se nomme l’intégrale définie de f (x) dea à b.

À l’aide d’un nouveau symbole, �, cette intégrale définie de a à b s’écrit

�b

af(x)dx.

JACQUES BERNOULLIIssu d’une famille de commerçantsprotestants réfugiés en Suisse,Jacques Bernoulli (né et mort àBâle, 1654-1705) compte de nom-breux mathématiciens éminentsdans sa parenté. Cependant, il estle premier scientifique Bernoulli,comme le témoigne sa devise :

Invito patre sidera verso, « J’étudie les astres contre legré de mon père ».Professeur de mécanique puis de mathématiques àl’université de Bâle, il connaît les œuvres de Descartes,Wallis et Barrow. Avec son jeune frère Jean, il étudiesoigneusement les écrits mathématiques de Leibniz,qui lui semblent obscurs ; il s’efforcera donc de lesdéfendre et de les expliquer plus clairement. En 1690, un écrit de Jacques Bernoulli contient le mot« intégrale » entendu pour la première fois dans sonsens moderne. Cependant, l’expression serait de Jean(avec qui les relations iront se détériorant au fil des ans). On doit à Jacques des textes sur le lien entre l’algèbreet la logique et sur la croissance exponentielle. Il estl’un des fondateurs de la science des probabilités.

�b

af (x)dx

Intégrale de f de a à b

Borne supérieure Intégrande

Symbole de l’intégrale

Borne supérieure

Variable d’intégration (x)

144424443


5 Intégrale définie négativeDans notre définition géométrique de l’intégrale de f (x) en tant qu’aire, lafonction f (x) ne devait pas être négative sur l’intervalle [a, b] ; cependant, il estclair que cette hypothèse n’est pas nécessaire pour la définition analytique del’intégrale en tant que limite d’une somme Sn de produits. Nous faisons la sommede petites quantités de la forme f (xk)�x et passons à la limite ; ce procédé resteparfaitement valide même si certaines des valeurs f (xk) sont négatives. L’inter-prétation géométrique de ce fait est la suivante : pour les parties de courbe situéesau-dessous de l’axe des x, f (xk)�x prend des valeurs négatives de sorte que lesaires sous l’axe des x sont comptés négativement, tandis que les aires au-dessusde l’axe sont comptées positivement. On dit que l’intégrale de f (x) est la sommealgébrique des aires comprises entre la courbe et l’axe des x.

Exemple 4 Trouver l’intégrale de la fonction sin x sur [0, 2π]Évaluez �2p

0sin x dx. (figure 3.8.5.)

SolutionLa symétrie de la courbe révèle que l’aire de la région de 0 à p au-dessus del’axe des x est égale à l’aire de la région de p à 2p au-dessous de l’axe des x.D’après la discussion qui précède, il est clair que la portion d’intégrale néga-tive annule la portion d’intégrale positive. Donc

�2p

0sin x dx � 0.

6 Propriétés de l’intégrale définieCertaines règles simples pour calculer l’intégrale définie découlent directement desa définition ou de son interprétation en tant qu’aire sous une courbe.

Par exemple, d’après la définition de l’intégrale, il est évident que

Dans certains problèmes, il arrive que l’on doive calculer une intégrale �ba f(x)dx où

b � a. Dans ce cas, (b � a)/n � �x devient négatif et alors, comme les ordonnéesf(x) ne changent pas, le signe des f(x) x est changé ; par conséquent, il en est ainsipour l’intégrale elle-même. En d’autres mots, la valeur de l’intégrale de a à b estl’inverse additif de la valeur de l’intégrale de b à a.

3.8.5 Définition

�a

af(x)dx � 0

3.8.6 DéfinitionSi b < a, alors

�b

af(x)dx � ��

a

bf(x)dx

FIGURE 3.8.5 L’intégrale de la fonctionsinus de 0 à 2p égale 0.

y

x

��1

1

p/2 3p/2 2pp

f (x) � sin x�

Une autre propriété est évidente, aussi bien d’après sa définition analytique que d’aprèsson interprétation géométrique (voir la figure 3.8.6) : si f(x) est intégrable sur [a, c] et sib appartient à cet intervalle, alors b peut être choisi comme point de division danstoutes les sommes Sn utilisées dans le calcul d’une limite donnant l’intégrale. End’autres mots, chaque somme peut être séparée en deux sommes, l’une pour [a, b] etl’autre pour [b, c]. Puisque la limite d’une somme égale la somme des limites, on enconclut que l’intégrale sur [a, c] est la somme des intégrales sur [a, b] et sur [b, c].


3.8.7 Théorème Additivité de l’intégrale définie

�b

af(x)dx � �

c

bf(x)dx � �

c

af(x)dx

FIGURE 3.8.6 L’additivité de l’intégraledéfinie. L’intégrale de f(x) sur [a, c] peutêtre séparée.

� c

b f(x) dx � � c

a f(x) dx � � b

a f(x) dx

� b

a f(x) dx � � c

b f(x) dx � � c

a f(x) dx

0x

y

y � f(x)

a cb

f(x) dx⌠⌡

b

a

f(x) dx⌠⌡

c

b En remplaçant c par a dans la formule précédente, on retrouve la formule 3.8.6.

�b

af(x)dx � �

a

bf(x)dx � �

a

af(x)dx

� 0 Propriété 3.8.5.

d’où �b

af (x)dx � ��

a

bf (x)dx

Exemple 5 Calculer l’aire d’une région située sous un segment parabolique

Évaluez �6

3x2 dx.

SolutionD’après la propriété 3.8.7, nous pouvons écrire

�3

0x2 dx � �

6

3x2 dx � �

6

0x2 dx.

Donc, �6

3x2 dx � �

6

0x2 dx � �

3

0x2 dx.

Or, �b

0x2 dx � . D’après l’exemple 3.

Finalement l’intégrale recherchée est

�6

3x2 dx � � � 63.

À partir des propriétés des limites d’une somme et d’un multiple de fonctions, onpeut prouver les deux propriétés suivantes de l’intégrale définie.

33

�3

63

�3

b3

�3

3.8.8 Théorème L’intégrale de la somme de deux fonctions estégale à la somme des intégrales de ces fonctions.

�b

a[ f(x) � g(x)]dx � �

b

af(x)dx � �

b

ag(x)dx

3.8.9 Théorème L’intégrale du produit d’une fonction f(x) parune constante est égale au produit de laconstante par l’intégrale de f(x).

�b

acf (x)dx � c�

b

af(x)dx


Il est parfois commode d’utiliser le fait que la valeur d’une intégrale ne dépendaucunement du nom de la variable choisie comme variable d’intégration.

En effet, la valeur de l’intégrale définie d’une fonction sur un intervalledonné ne dépend que de la fonction elle-même et aucunement de la lettrereprésentant la variable d’intégration. Par exemple, on peut très bien décider dereprésenter cette variable, dite variable muette, par les lettres t ou u plutôt que parla lettre x ; ainsi, les trois expressions suivantes sont rigoureusement équivalentes :

�b

af(x)dx �

b

af(t)dt �

b

af(u)du.

Exemple 6 Évaluer une intégrale d’après les propriétésÉvaluez �4

0(3x2 � 5x � 7)dx.

Solution

�4

0(3x2 + 5x + 7)dx � �

4

03x2dx � �

4

05xdx � �

4

07dx Propriété 3.8.8.

� 3�4

0x2dx � 5�

4

0xdx � �

4

07dx Propriété 3.8.9.

Or,

�4

07dx � 4 7 � 28 Aire d’un rectangle.

�4

0xdx � � 8 Aire d’un triangle.

et

�4

0x2dx � . Aire sous une parabole (exemple 3).

Donc

�4

0(3x2 + 5x + 7)dx � 3( ) � 5(8) � 28

� 132.


7 Théorème fondamental du calculÀ l’exemple 3, nous avons calculé l’intégrale �4

0x2dx en utilisant la formule de la

somme de carrés d’entiers consécutifs :

12 � 22 � 32 � … � n2 � .

Afin de calculer �b

0x3dx par la même méthode, il faudrait utiliser la formule de la

somme de cubes d’entiers consécutifs :

13 � 23 � 33 � … � n3 � [ ]2

.

Le calcul plus général de �b

0x qdx avec notre méthode des sommes de produits

serait possible en utilisant la formule de Bernoulli pour la somme

1q � 2q � 3q � … � nq.

n(n � 1)�

2

n(n � 1)(2n � 1)��

6

43

�3

43

�3

4 4�

2

En fait, il semble que l’évaluation exacte de l’intégrale de chaque fonctionexige que l’on trouve une formule permettant de simplifier une somme deproduits spécifique dont on cherche la limite. Il n’y a pas de technique généralepour effectuer cette réduction : chaque cas demande une approche particulière.

Y aurait-il une autre approche que la limite d’une somme pour évaluer desintégrales définies ?

Comme cette question difficile a une grande importance autant pratique quetechnique, elle a préoccupé les mathématiciens depuis l’Antiquité. Certainsarrivaient à intégrer plusieurs fonctions particulières par divers moyens ingé-nieux, mais les progrès pour trouver une méthode générale se faisaient attendre.

Leibniz et Newton développèrent chacun de leur côté une méthode généraleefficace pour calculer les intégrales d’un très grand nombre de fonctions variées.Ils mirent en évidence la connexion étroite entre le problème de l’intégrale et leproblème de la dérivée malgré la différence apparente entre les deux procédéslimites utilisés. Tous deux établirent ainsi le théorème fondamental du calculénonçant que l’intégration et la dérivation sont, en fait, des processus inversesl’un de l’autre, un peu comme le sont les opérations d’addition et de soustraction.

Leur astuce ? Introduire du mouvement dans le calcul de l’aire sous unecourbe en envisageant non plus une aire fixe mais une aire variable.

Pour comprendre à l’aide d’un exemple, reprenons le problème non résolu de l’aire exacte sous l’hyperbole f (x) � 1/x entre x � 2 et x � 4 (exemple 1) ;cette aire A est symbolisée par :

�4

2dx.

Imaginons d’abord que le segment joignant les points (2, 0) et (2, f(2)) est unélastique couvert de peinture bleue ; à chaque extrémité de l’élastique se trouveun anneau enfilé autour de la courbe à un bout et autour de l’axe à l’autre bout.

Si nous déplaçons les deux anneaux respectivement jusqu’aux points (4, 0)et (4, f(4)), la peinture de l’élastique laissera sur la surface une trace colorée enbleu sur la surface de la figure 3.8.7. L’aire A de cette surface colorée en bleu estprécisément celle que nous recherchons.

Nous pouvons faire varier cette aire en déplaçant l’élastique parallèlement àlui-même. L’aire de la région colorée c’est-à-dire l’intégrale devient ainsi unefonction A(x) de sa borne supérieure variable.

Nous nous proposons maintenant de résoudre le problème suivant : Quelleest la dérivée de cette aire variable A(x) ? Si, après l’avoir enduit de peinturerouge, nous déplaçons encore l’élastique sur une petite distance �x, la peinturelaissera une trace additionnelle colorée en rouge (figure 3.8.8).

Appelons �A l’aire de cette bande. La variation �A divisée par la variation �xest exactement le quotient des variations requis pour calculer la dérivée de l’airevariable A(x). La dérivée recherchée est donc :

.

Pour évaluer la limite de ce quotient, observons la figure 3.8.8 : la bande d’aire�A est comprise entre, d’une part, un rectangle inscrit de base �x et de hauteurf (4 � �x) et, d’autre part, un rectangle circonscrit de base �x et de hauteur f (4).

De sorte que

�x • f (4 � �x) ≤ �A ≤ �x • f (4).

En divisant par �x, nous obtenons

f (4 � �x) ≤ ≤ f (4).

Lorsque �x tend vers zéro, f (4 � �x) tend vers f (4), f étant continue sur son do-maine, c’est-à-dire

�A��x

�A��x

lim�x�0

1�x


FIGURE 3.8.7 L’aire sous l’hyperboleentre x � 2 et x � 4.

x

y

f (x) � x1

(2, 0) x (4, 0)

(2, f (2))

A

(4, f (4))

x

(4 � �x, 0)

(4 � �x, f (4 � �x))

(4 � �x, f (4))

�x

�AA

(4, 0)

FIGURE 3.8.8 Un grossissement de lafigure 3.8.7.


f(4 � �x) � f(4).

Donc, par le théorème du sandwich,

f(4 � �x) ≤ ≤ f(4),

f(4) ≤ ≤ f(4),

d’où

� f(4)

qui peut s’écrire

�x � 4

� f(4).

En appliquant le même raisonnement au cas d’une borne supérieure x quel-conque au lieu de x � 4, nous obtenons le résultat remarquable suivant :

� f(x).

En d’autres mots, le taux d’accroissement de l’aire A par rapport à x est égal à lahauteur de la courbe f (x) évaluée à la borne supérieure x d’intégration. C’est làl’essence du théorème fondamental.

Voilà, enfin, une indication précieuse pour obtenir l’aire A de la région entref(x) et l’axe des x en fonction de la borne supérieure x : il faut trouver une fonctionF(x) dont la dérivée soit f(x) ; une telle fonction F(x) est appelée primitive de f(x) .

dA�dx

dA�dx

�A��x

lim�x�0

�A��x

lim�x�0

lim�x�0

�A��x

lim�x�0

lim�x�0

lim�x�0

Exemple 7 Calculer la valeur exacte d’une intégraleTrouvez la valeur exacte de �4

2dx.

SolutionPour évaluer �4

2dx, demandons-nous quelle est la fonction dont la dérivée

est 1/x.

Nous connaissons une fonction qui satisfait à cette condition : ln x. En effet,

(ln x) � .

Mais la fonction ln x n’est pas la seule à admettre 1/x comme dérivée. Rappelonsle deuxième corollaire du théorème de la moyenne 3.7.4 (voir à la section 3.7) etrésumons :

Si f �(x) � g�(x) pour tout x dans ]a, b[, alors il existe une constante C telle que

f(x) � g(x) � C.

pour tout x dans [a, b].

En d’autres mots, les fonctions ayant la même dérivée ne diffèrent entre ellesque par une valeur constante. Donc, toutes les fonctions de la forme ln x � Cadmettent 1/x comme dérivée. Le problème ainsi posé semble avoir une in-finité de solutions de la forme

A(x) � ln x � C.

1�x

d�dx

1�x

1�x

3.8.10 Définition PrimitiveUne fonction F(x) telle que F�(x) � f(x) est une primitive de f(x).

Cette indétermination n’a rien de surprenant si nous pensons que, dans leraisonnement du théorème fondamental, nous n’avons pas tenu compte de laposition fixe de la borne inférieure. Nous rappelant que celle-ci vaut 2, ildevient aisé de déterminer C. En effet, puisque x représente la borne supé-rieure de l’intégrale, si x � 2, alors A � 0 ; autrement dit,

A(2) � �2

2dx � 0 Définition 3.8.5.

En remplaçant x et A respectivement par leurs valeurs 2 et 0 dans la formule

A(x) � ln x � C,nous trouvons

A(2) � ln (2) � C,

0 � ln 2 � Cd’où

C � �ln 2.

En résumé, l’aire délimitée par l’axe des x et l’hyperbole d’équation f (x) � 1/x entre une borne inférieure fixe x � 2 et une borne supérieure varia-ble x est une fonction de x s’écrivant

A(x) � �x

2dx � ln x � ln 2.

Nous voulions calculer l’aire exacte sous l’hyperbole entre les bornes x � 2 et x � 4. Il est maintenant facile de l’obtenir en posant x � 4 dans la formuleprécédente :

�4

2dx � ln 4 � ln 2

� ln (4/2)

� ln 2

� 0,693147181.

La démarche que nous venons de faire se généralise de la façon suivante.Soit une fonction continue y � f(x). Considérons l’intégrale de f(x) entre une

borne inférieure fixe a et une borne supérieure variable x. Pour éviter la confusionentre la borne supérieure d’intégration x et la variable x apparaissant dans f(x), nousécrivons cette intégrale sous la forme

A(x) � �x

af(t)dt

pour indiquer que nous voulons étudier l’intégrale comme fonction A(x) de sa bornesupérieure. Dans le cas où f(t) est positive, A(x) représente l’aire sous la courbey � f(t) entre t � a et t � x. Une intégrale dont la borne supérieure est variable estappelée intégrale indéfinie (figure 3.8.9). Cette nouvelle façon d’interpréter une in-tégrale définie nous permet d’énoncer la première partie du théorème fondamentalde la façon suivante.

Soit f continue sur [a, x]. La dérivée de l’intégrale indéfinie �x

af (t)dt est

égale à f (t) évaluée en x.

1�x

1�x

1�x


FIGURE 3.8.9 L’intégrale vue commefonction de sa borne supérieure.

0t

y

a

A(x)

x

y � f (t)

C’est pour éviter la confusion entrela borne supérieure d’intégration et

la variable apparaissant dans l’intégrandeque nous les représentons par deux lettresdifférentes, respectivement x et t. Notonsque la nouvelle fonction A ne dépend pasde t ; elle ne dépend que de la variable xqui agit comme borne supérieure del’intégrale.

( )( ) ou ( )b b

a aF x F x

( ) ( ).( ) ( )bb

a aF b F af x dx F x = −=∫

3

03

bx⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

343 3

11

( 1)4xx dx x

−−

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

22

22

sin (- / 2) 1 ( 1) 2.cos sinx dx xπ

π

ππ

π−−

= = − − ==∫

b

a

( )1

1

200

1 4 arc tan 4(arc tan1 arc tan 0) 4 .1 4

dx xx

π π= = − = =+∫

Exemple 13 Intégrer une somme de fonctions puissancesTrouvez une primitive de f(x) � 3x2 � 2x � 4/��x � 1.

SolutionRécrivons f(x) sous une forme plus facile à « dériver à rebours ».

f(x) � 3x2 � 2x � 4x�1/2 �1.

F(x) � 3 � 2 � 4 � x

� x3 � x2 � 8��x � x

F(x) est une primitive particulière de f(x) ; or, toutes les primitives de F(x) sontde la forme G(x) � F(x) � C. Donc, la solution la plus générale est :

G(x) � x3 � x2 � 8��x � x � C.

VérificationG�(x) � 3x2 � 2x � 8 � 1 � 0

� 3x2 � 2x � � 1 � f(x)

Chercher une primitive de f (x) équivaut à chercher l’intégrale indéfinie

�x

af (t)dt. Puisque les bornes d’intégration sont indéterminées, on note coura-

ment l’intégrale indéfinie sans celles-ci, pour simplifier : � f (x)dx. L’intégraleindéfinie de f(x) peut donc s’écrire de deux façons :

� f(x)dx � �x

af (t)dt où a est une constante arbitraire.

Par le deuxième corollaire du théorème de la moyenne (3.7.4), nous savons que siF(x) est une primitive de f (x), alors toute fonction ne différant de F(x) que par uneconstante est aussi une primitive de f (x). En notation intégrale, nous indiquonscette propriété de la façon suivante :

� f(x)dx � �x

af (t)dt � C � F(x) � C.

Puisque la borne inférieure a est indéterminée, nous n’avons évidemment aucunmoyen de déterminer la constante C dans l’équation précédente. En consé-quence, si F(x) est une primitive de f (x), alors l’intégrale indéfinie de f (x) estplutôt, en fait, une famille de primitives.

4��x

1�2��x

x1/2

�1/2

x2

�2

x3

�3

Toute formule de dérivation contient la solution d’un problème d’intégration indé-finie en l’interprétant à l’envers en tant que formule d’intégrale.

On peut obtenir une table d’intégrales indéfinies directement à partir d’unetable correspondante de dérivées (voir la table 3.8.3).


3.8.14 Définition Intégrale indéfinieSoit F une primitive de f. L’ensemble de toutes les primitives de f estl’intégrale indéfinie de f par rapport à la variable x. L’intégrale indéfinies’écrit ainsi :

� f(x)dx � F(x) � C.

La constante arbitraire C est appelée constante d’intégration.

Ne confondez pas l’intégrale définieavec l’intégrale indéfinie : une inté-

grale définie �b

af(x)dx est un nombre,

alors qu’une intégrale indéfinie est unefamille de fonctions.

n ≠ -1

1 ln dx x Cx

= +∫

( )π/4

π/4

2-π/4-π/4

1cos sin sin cos tancos

x x dx x x xx

⎛ ⎞− + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Exemple 17 Ajuster l’intégrande avec une constante multiplicative

Calculez � (3x � 4)7 dx.

SolutionNous savons que � x7 dx � � C, mais attention,

� (3x � 4)7 dx � � C. (On peut le vérifier en dérivant.)

Posons u � 3x � 4. Alors, du/dx � 3.Il manque le facteur du/dx � 3 à l’intégrande, mais nous pouvons faire un

ajustement en multipliant et en divisant l’intégrande par 3.

� (3x � 4)7 dx � � (3x � 4)7 � 3dx

� � u7 � dx � 3

� � u7du

� � C

� � C u � 3x � 4

On commence à comprendre maintenant le mécanisme de la méthode : il s’agit deremplacer une intégrale relativement compliquée par une intégrale plus simple. Dansl’exemple 17, il fallait remplacer une expression contenant x par une variableauxiliaire u, puis substituer à x et à dx de nouvelles valeurs en fonction de u. Ildevenait alors possible d’évaluer l’intégrale en considérant u comme variableindépendante : c’est ainsi que nous avons fait un changement de variable. Enfin, dansle résultat obtenu, nous avons remplacé, inversement, u par sa valeur en fonction de x.

À l’exemple 18, au moment d’effectuer la substitution, nous travailleronsavec la différentielle plutôt qu’avec la dérivée, car c’est équivalent et plus facileà manipuler : il faudra alors tenir compte de la relation entre les différentielles dxet du de l’ancienne et de la nouvelle variable.

Exemple 18 L’intégrande s’ajuste toute seule

Calculez � �4x � 1� dx.

SolutionPosons u � 4x � 1. Alors, du/dx � 4. Il est également possible d’écrire cette rela-tion sous les formes différentielles du � 4dx, ou encore (1/4) du � dx. En utili-sant cette dernière forme, l’ajustement dû au facteur 4 se fera automatiquement.

� �4x � 1� dx � � u1/2 � (1/4) du (1/4) du � dx

� � u1/2du

� � � C

� u3/2 � C

� (4x � 1)3/2 � C u � 4x � 11�6

1�6

u3/2

�3/2

1�4

1�4

(3x � 4)8

�24

u8

�24

1�3

du�dx

du�dx

1�3

1�3

(3x � 4)8

�8

x8

�8



La méthode d’intégration par changement de variable

Étape 1 Trouvez une fonction u � g(x) faisant partie de l’intégrande dans lebut d’écrire l’intégrale sous la forme � f(g(x)) � g�(x)dx (à un fac-teur constant près).

Étape 2 Calculez g�(x) � du/dx.

Étape 3 Faites les substitutions u � g(x) et du � g�(x)dx pour amener l’inté-grale sous la forme � f(u)du. (x ne doit plus figurer dans la nouvelleintégrale).

Étape 4 Intégrez par rapport à la nouvelle variable u.

Étape 5 Remplacez u par g(x) dans le résultat pour exprimer ce dernier enfonction de la variable initiale.

Exemple 19 Intégrer une fonction puissance

Calculez � 2x�1 � x2� dx.

SolutionPosons u � 1 � x2. Alors, du/dx � 2x, ainsi du � 2xdx.

Nous obtenons :

� 2x�1 � x2� dx � � �1 � x2� 2xdx

� � u1/2du

� � C

� u3/2 � C

� (1 � x2)3/2 � C. u � 1 � x2

Les exemples précédents 17 à 19 sont des cas particuliers de la méthode généraledu changement de variable.

2�3

2�3

u1/2�1

��(1/2) � 1

Exemple 20 Appliquer la méthode du changement de variable

Calculez � cos (7x � 5) dx.

Solution

� cos (7x � 5) dx � � cos u � du

� � cos u du Forme familière.

� sin u � C Intégrer par rapport à u.

� sin (7x � 5) � C Remplacer u par 7x � 5.1�7

1�7

1�7

Soit u � 7x � 5 ; du/dx � 7et ainsi, (1/7) du � dx.

1�7

Exemple 21

Calculez � dx, où 2x4 � 7 > 0 (i.e. x > �7/2�).

SolutionPosons u � 2x4 � 7. Alors du/dx � 8x3, ainsi du/8 � x3 dx.

Nous obtenons

� dx � 5�� du

� ln u � C

� ln (2x4 � 7) � C.

Exemple 22

Calculez � sin x cos x dx.

SolutionPosons u � sin x. Alors du/dx � cos x, ainsi du � cos x dx.

Nous obtenons,

� sin x cos x dx � � u du

� � C

� � C

Exemple 23

Calculez � dx.

Solution� dx � � dx.

Posons u � x2 � 1. Alors du/dx � x, ainsi du/2 � xdx.

Nous obtenons

� dx � � dx

� �� u�3/3 du

� � C

� �u�1/2 � C

� � C.�1

��x2 � 1�

u�1/2

�(�1/2)

1�2

1�2

du�2

1��u3

x��(x2 � 1)3�

x��(x2 � 1)��x2 � 1�

x��(x2 � 1)3�

x��(x2 � 1)��x2 � 1�

x��(x2 � 1)��x2 � 1�

sin2x�

2

u2

�2

5�8

5�8

1�u

5�8

du�8

1�u

5x3

�2x4 � 7

5x3

�2x4 � 7



Exemple 24 Expliciter x dans un changement de variable

Évaluez � x2 �x � 1� dx.

SolutionSoit u � x � 1, du � dx. Ici, le changement de variable présente une difficulténouvelle : d’une part, x2 n’est pas la dérivée de u ; d’autre part, souvenons-nous que x ne doit plus apparaître dans l’intégrande après le changement devariable. Il faut donc exprimer x2 en fonction de u. Explicitons x dans l’équa-tion reliant x et u :

x � u � 1,

donc,

x2 � (u � 1)2.

Nous obtenons

� x2 ��x � 1� dx � � (u � 1)2 ��u du Soit u � x � 1 ; du � dx ; x � u � 1.

� � (u2 � 2u � 1) ��u du Développer le binôme.

� � (u2 ��u � 2u ��u � ��u) du Distributivité.

� � (u5/2 � 2u3/2 � u1/2) du Formes familières.

� � � � C Intégrer par rapport à u.

� � � � C, u � x � 1


Nous pouvons également évaluer des intégrales définies avec la méthode duchangement de variable.

Exemple 25

Évaluez �8

3x2 ��x � 1� dx.

SolutionD’après l’exemple 24,

�8

3x2 ��x � 1� dx � � � � �

8

3

� 448,457143 � 16,304762 � 432,152381.

Solution alternativeNous pouvons procéder directement en faisant aussi le changement de variablesur les bornes d’intégration. Puisque u � x � 1, les bornes x � 3 et x � 8deviennent u � 3 � 1 � 4 et u � 8 � 1 � 9.

Nous obtenons alors

�8

3x2 ��x � 1� dx � �

9

4(u � 1)2 ��u du

� � � � �9

4

� 448,457143 � 16,304762 � 432,152381.


u3/2

�3/2

u5/2

�5/2

2u7/2

�7

(x � 1)3/2

��3/2

(x � 1)5/2

��5/2

2(x � 1)7/2

��7

2(x � 1)3/2

��3

4(x � 1)5/2

��5

2(x � 1)7/2

��7

u3/2

�3 / 2

2u5/2

�5 / 2

u7/2

�7 / 2

Parmi toutes les techniques d’intégration, le changement de variable est certaine-ment la plus employée. Nous n’en verrons pas d’autres dans la présente sectionqui n’est seulement qu’une introduction à l’intégrale.

Le succès de la méthode d’intégration par changement de variable dépend duchoix d’une substitution appropriée permettant de transformer une intégrale« difficile » en une intégrale « facile ». Il faut trouver une substitution u � g(x)telle que g(x) soit une partie de l’intégrande et telle que g�(x) soit également unepartie multiplicative de l’intégrande (à un facteur constant près).

Cette méthode laisse encore une large part au tâtonnement ; en dehors dequelques cas particuliers, il n’y a pas de règle générale indiquant quel changementde variable il faut effectuer : souvent, l’intuition pourra seule servir de guide.Quant au débutant, qu’il ne se décourage pas : il lui faudra essayer parfoisplusieurs changements de variable avant d’arriver au but.

10 Calcul d’aires planes par intégrationNous savons déjà comment utiliser l’intégrale définie pour évaluer l’aire d’unerégion comprise entre l’axe des x et une courbe y � f (x) dans le cas simple oùf (x) reste toujours au-dessus de l’axe des x sur l’intervalle d’intégration [a, b].Cependant, nous devons faire preuve de prudence en distinguant aire nette et airetotale. Tel qu’illustré à l’exemple 4, le calcul d’une intégrale donne automatique-ment une aire nette dite algébrique, car l’aire des régions situées sous l’axe des xest comptée négativement, alors que l’aire des régions situées au-dessus de l’axedes x est comptée positivement. Afin de calculer l’aire totale dite géométriquedélimitée par une fonction f (x) qui change de signe sur un intervalle [a, b], noussubdivisons cet intervalle en morceaux sur lesquels f (x) garde un signe constant ;cela permet de décomposer l’intégrale en une somme de plusieurs intégrales.L’aire totale de la région comprise entre la courbe et l’axe des x est alors donnéepar la somme des valeurs absolues de chacune de ces intégrales.

Exemple 26 Calculer l’aire totale de la région délimitée par uncycle de la fonction sinus

Calculez l’aire totale A de la région délimitée par y � sin x et l’axe des x entrex � 0 et x � 2π (figure 3.8.11).

Solutiony � sin x est positive de 0 à p, et négative de p à 2p. Nous devons donc séparerl’intervalle [0, 2p] en deux sous-intervalles : [0, p] et [p, 2p]. L’aire recherchée est

A � ��p

0sin x dx� � ��

2p

p sin x dx�

� ��cos x�p

0 � � ��cos x�2p

p �� (�cos p) � (�cos 0)� � �(�cos 2p) � (�cos p)�

� �1 � (�1)� � �(�1) � 1�

� �2� � ��2�

� 4.


FIGURE 3.8.11 L’aire de la région délimitéepar un cycle sinusoïdal complet et l’axedes x.

y

�1

1f (x) � sin x

�

�x

π�2 π 3π�2 2π

1 0 44 4 43 2 3 3

3 1 0

543

4

2 4 2 4 2 42 2 2

2 42

x x xx x x x x x

x x x

−

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3

1

22 3x xx

−

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠


j377

EXERCICES 3.8

Approximations à l’aide de sommesde produitsAux exercices 1 à 4, représentez graphiquement chacune des fonc-tions suivantes sur l’intervalle indiqué. Faites une partition de l’inter-valle en le divisant en quatre sous-intervalles d’égales longueurs �x.Sur le graphique, tracez les rectangles associés à la somme�x • f(c1) � �x • f(c2) � �x • f(c3) � �x • f(c4) dans les trois cassuivants :

a) Les ck sont les bornes de gauche des sous-intervalles.

b) Les ck sont les bornes de droite des sous-intervalles.

c) Les ck sont les milieux des sous-intervalles.

(Note : Faites un graphique séparé pour chacun des cas.)

1. f(x) � x 2 � 1, [0, 2]

2. f(x) � �x 2, [0, 1]

3. f(x) � sin x , [�� ]

4. f(x) � sin x � 1, [�� ]

5. Longueur d’une route. En compagnie d’un ami, vous vous en-gagez en voiture sur une route de terre sinueuse. Votre compteurde vitesse fonctionne, mais l’odomètre (compteur de distance) esten panne. Pour connaître la longueur de la route, vous notez lavitesse de l’auto à intervalles réguliers de 10 secondes. Vos don-nées apparaissent à la table suivante. Estimez la longueur de laroute en prenant les ordonnées

a) aux bornes de gauche des intervalles ;

b) aux bornes de droite des intervalles.

Temps Vitesse (convertie en m s ; (s) 10 m s � 36 km h)

0 010 1420 530 1140 950 1460 1170 580 890 11

100 14110 9120 11

6. Volume d’une sphère solide. Pour estimer le volume V d’unesphère solide de rayon 5, faites une partition de son diamètre encinq sous-intervalles de longueur 2. Découpez la sphère avec desplans perpendiculaires au diamètre passant par les bornes degauche de chacun des sous-intervalles ; puis additionnez les volu-mes des disques cylindriques de hauteur 2 dont les bases circu-laires correspondent aux sections sphériques découpées par lesplans. (Le premier cylindre à gauche sera de rayon nul.)

a) Trouvez la somme S5 des volumes cylindriques.

/ /

/

,

,

b) Exprimez l’erreur d’approximation V � S5 comme pour-centage de V arrondi à l’entier près.

7. Aire d’un cercle. Soit un polygone régulier à n côtés inscrit dansun cercle de rayon 1.

a) Calculez l’aire du polygone pour les valeurs suivantes de n.

i) 4 (carré) ii) 8 (octogone) iii) 16

b) Comparez les aires des trois polygones ci-dessus avec l’aireexacte du cercle.

8. (Suite de l’exercice précédent)

a) Soit un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle derayon 1. Calculez l’aire d’un seul des n triangles égaux cons-truit en joignant le centre du cercle à chacun des sommets dupolygone.

b) Déterminez la limite de l’aire du polygone inscrit quandn�.

c) Refaites la même démarche pour un cercle de rayon quel-conque r.

Exprimer des limites de sommes comme des intégralesAux exercices 9 à 12, exprimez les limites de sommes comme des in-tégrales définies.

9. limn� [(x21 � x2

2 � … � x2n) • �x] où les xk sont les bornes de

droite des sous-intervalles d’une partition de [0, 2].

10. limn� [(2x31 � 2x3

2 � … � 2x3n) • �x] où les xk sont les bornes de

droite des sous-intervalles d’une partition de [�1, 0].

11. limn� [((x21 � 3x1) � (x2

2 � 3x2) � … � (x2n � 3xn)) • �x] où les

xk sont les bornes de droite des sous-intervalles d’une partition de[�7, 5].

12. limn� [(1/(1 � x1) � 1/(1 � x2) � … � 1/(1 � xn)) • �x] où lesxk sont les bornes de droite des sous-intervalles d’une partition de[2, 3].

Évaluer des intégrales définies en calculant l’aireAux exercices 13 à 16, tracez les graphes des intégrandes correspon-dant aux intégrales définies suivantes et évaluez ensuite l’intégrale envous servant de l’aire sous la courbe.

13. 14.

15. x dx 16. (2 � x ) dx

Utiliser des valeurs connues et appliquer lespropriétés des intégrales définies pourcalculer d’autres intégrales17. Soit f et g deux fonctions continues telles que

f(x) dx � �4, f(x) dx � 6, g(x) dx � 8.� 5

1� 5

1� 2

1

� 1

�1� 1

�2

� 3

�3 �9 � x2 dx� 4

�2 x

2 � 3� dx

Appliquez les propriétés des intégrales définies pour évaluer lesintégrales suivantes.

a) g(x) dx b) g(x) dx

c) 3 f(x) dx d) f(x) dx

e) [ f(x) � g(x)] dx f) [4 f(x) � g(x)] dx

18. Soit f et h deux fonctions continues telles que

f(x) dx � �1, f(x) dx � 5, h(x) dx � 4.

Appliquez les propriétés des intégrales définies pour évaluer lesintégrales suivantes.

a) �2 f(x) dx b) [ f(x) � h(x)] dx

c) [2 f(x) � 3h(x)] dx d) f(x) dx

e) f(x) dx f) [h(x) � f(x)] dx

19. Soit f(x) dx � 5. Évaluez les intégrales suivantes.

a) f(u) du b) f(z) dz

c) f(t) dt d) [�f(x)] dx

20. Soit g(t) dt � . Évaluez les intégrales suivantes.

a) g(t) dt b) g(u) du

c) [�g(x)] dx d) dr

Évaluer des intégrales à l’aide du théorèmefondamental (2e partie)Aux exercices 21 à 30, évaluez les intégrales définies suivantes.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Dériver des intégrales définies à l’aide duthéorème fondamentalAux exercices 31 à 34, trouvez les dérivées

a) en évaluant l’intégrale d’abord et en dérivant le résultat ensuite ;

b) en dérivant l’intégrale directement.

� 9

4 1 � �u

�u du��2

1 u

2

2 � 1

u5� du

� 1

�1 (r � 1)2 dr�p / 2

�p / 2 (8y2 � sin y) dy

�p / 3

0 2 sec2 x dx�p

0 (1 � cos x) dx

��1

�2 2x2

dx� 1

0 (x2 � �x) dx

� 4

0 3x � x

3

4 � dx� 0

�2 (2x � 5) dx

� 0

�3 g(r)

�2� 0

�3

� 0

�3��3

0

�2�0�3

� 2

1� 1

2

� 2

1 �3� 2

1

�21

� 7

9� 7

1

� 1

9� 9

7

� 9

7� 9

1

� 9

7� 9

7� 9

1

� 5

1� 5

1

� 5

2� 2

1

� 1

5� 2

2

31. 32.

33. 34.

Aire d’une région sous une courbeAux exercices 35 à 38, trouvez l’aire de la surface comprise entre lescourbes suivantes, l’axe des x et les bornes indiquées.

35.

36.

37.

38.

39. Formule d’Archimède pour l’aire sous une une parabole. Archi-mède (voir biographie p. 4) a prouvé que l’aire de la surface sousune arche parabolique valait les deux tiers de la base multipliéepar la hauteur de l’arche.

a) Utilisez une intégrale pour trouver l’aire sous l’archeparabolique

.

b) Trouvez la hauteur h de l’arche.

c) Montrez que l’aire vaut les deux tiers de la base b multipliéepar la hauteur h.

d) Esquissez l’arche parabolique d’équationoù et où h et b sont des nombres positifs.Utilisez ensuite le calcul intégral pour évaluer l’aire de larégion contenue entre la courbe et l’axe des x.

40. Apprendre en écrivant. Soit f une fonction ayant une dérivée posi-tive pour tout x et soit f(1) � 0. Quels sont les énoncés vrais con-cernant la fonction ci-dessous ? Justifiez vos réponses.

a) g est une fonction de x partout dérivable.

b) g est une fonction de x partout continue.

c) Le graphe de g possède une tangente horizontale en x � 1.

d) g possède un maximum relatif en x � 1.

e) g possède un minimum relatif en x � 1.

f) Le graphe de g possède un point d’inflexion en x � 1.

g) Le graphe de dg/dx coupe l’axe des x en x � 1.

Trouver les primitivesTrouvez une primitive pour chacune des fonctions suivantes ; dans lamesure du possible, faites-le mentalement. Vérifiez ensuite l’exacti-tude de vos réponses par dérivation.

41. a) b) c)

42. a) �� sin �x b) 3 sin x c) sin �x � 3 sin 3x

43. a) sec2 x b) c) �sec2

44. a) sec x tan x b) 4 sec 3x tan 3x c) sec px2

tan px2

3x2

23

sec2 x3

�13

x�4 / 313

x�2 / 323

x�1 / 3

g(x) � � x

0 f (t) dt

�b / 2 � x � b / 2y � h � (4h / b 2)x2,

y � 6 � x � x2, �3 � x � 2

y � x1 / 3 � x , �1 � x � 8

y � x3 � 4x , �2 � x � 2

y � x3 � 3x2 � 2x , 0 � x � 2

y � �x2 � 2x , �3 � x � 2

ddu

� tan u

0 sec2 y dyd

dt � t 4

0 �u du

ddx

� sin x

1 3t 2 dtd

dx ��x

0 cos t dt



Aires entre deux courbesAux exercices 117 à 120, vous devez évaluer l’aire de la région com-prise entre deux courbes lorsqu’il n’est pas possible de déterminer lespoints d’intersection des courbes par des méthodes algébriques élé-mentaires. Utilisez un logiciel de calcul symbolique pour effectuer lestâches suivantes.

a) Tracer les courbes dans la même fenêtre pour juger de leurforme et pour trouver le nombre de points d’intersection.

b) Utiliser l’évaluateur numérique d’équation pour trouver lescoordonnées de tous les points d’intersection.

c) Intégrer f(x) � g(x) sur les intervalles bornés par chaquepaire de points d’intersection consécutifs.

d) Additionner toutes les intégrales trouvées en c).

117.

118.

119. f(x) � x � sin (2x) , g(x) � x 3

120. f(x) � x 2 cos x , g(x) � x 3 � x

f (x) � x4

2 � 3x3 � 10, g(x) � 8 � 12x

f (x) � x3

3 � x

2

2 � 2x � 1

3 , g(x) � x � 1

101. 102.

Aux exercices 103 à 106, tracez le graphe des fonctions suivantes surl’intervalle donné. Puis,

a) intégrez la fonction sur l’intervalle ;

b) évaluez l’aire de la région comprise entre le graphe et l’axedes x.

103. y � x 2 � 6x � 8, [0, 3]

104. y � �x 2 � 5x � 4, [0, 2]

105. y � 2x � x 2 , [0, 3]

106. y � x 2 � 4x , [0, 5]

Aux exercices 107 à 110, évaluez l’aire des régions comprises entreles paires de courbes ou de droites données.

107. y � x 2 � 2 et y � 2

108. y � �x 2 � 2x et y � x

109. y � x 2 et y � �x 2 � 4x

110. y � 7 � 2x 2 et y � x 2 � 4

Calcul d’intégrales par des sommesde produitsSi votre logiciel de calcul symbolique permet de tracer les rectanglesassociés aux sommes de produits, vérifiez la convergence vers lavaleur des intégrales définies données aux exercices 111 à 116, enprenant n � 4, 10, 20 et 50 sous-intervalles d’égales longueurs danschacun des cas.

111. 112.

113. cos x dx � 0 114. sec2 x dx � 1

115. x dx � 1 116. � ln 2� 2

1 1x dx� 1

�1

�p / 4

0�p

�p

� 1

0 (x2 � 1) dx � 4

3� 1

0 (1 � x) dx � 1

2

EXPLORATIONS À L’ORDINATEUR

x

y

0

5

1–3

(1, –3)

y � �x2 � 2x

–4

(–3, –3)

(–3, 5)

y � x2 � 4

x

y

1–1

y � 4 � x2

2

4

y � �x � 2

(–2, 4)

(3, –5)–5

3–2 2

CHAPITRE 3 3 - cheneliere.info · 3.8 Aperçu de l’intégrale 1 APERÇU DE L’INTÉGRALE 1...

Documents

Transcript of CHAPITRE 3 3 - cheneliere.info · 3.8 Aperçu de l’intégrale 1 APERÇU DE L’INTÉGRALE 1...