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Cours de mathématiques

ECE 1ère année

Chapitre 12

Dérivabilité

La notion de dérivée a vu le jour au 17ème siècle à travers les travaux de Leibniz etNewton. Alors que Leibniz utilisait la notation dy

dx, Lagrange "évacue" les infiniment petits

et introduit la notation f ′. Il faudra attendre le 19ème siècle, et les travaux de Weierstrasspour que la notion de dérivée soit formalisée.

Adrien Fontaine

Année scolaire 2017–2018

Cours de mathématiques ECE1

1. Dérivé en un point

1.1. Nombre dérivé

Définition 1 : Nombre dérivé

Soit f une fonction définie sur intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. La fonction f est dite

dérivable en x0 si le taux d’accroissementf(x)− f(x0)

x− x0admet une limite finie quand x tend

vers x0. Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en x0 et est notée f ′(x0) :

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Exemple :

1. La fonction f définie sur R par f(x) = x2 est dérivable en 1 et f ′(1) = 2.

2. Plus généralement, la fonction f est dérivable en tout x0 ∈ R et f ′(x0) = 2x0.

3. La fonction f définie sur R∗ par f(x) =

1

xest dérivable en tout x0 ∈ R

∗, et

f ′(x0) =−1

x20

.

Remarque : En posant h = x− x0, et sous réserve d’existence, on a également :

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Remarque : En pratique, on utilise la définition seulement pour montrer la dérivabilitéaux "points à problèmes". En dehors de ces points, on justifie la dérivabilité à l’aide despropriétés du paragraphe 2.

1.2. Interprétation géométrique

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et soit x0 ∈ I. Notons M0 le point decoordonnées (x0, f(x0), et M le point de coordonnées (x, f(x)) pour x ∈ I. Le tauxd’accroissement f(x)−f(x0)

x−x0correspond au coefficient directeur de la droite (MM0). Ainsi :

• Si f est dérivable en x0, alors ce coefficient directeur tend vers f ′(x0) lorsque xtend vers x0. Par ailleurs, la droite (M0M) tend vers une position limite qui est latangente à la courbe représentative de f au point x0. Le nombre dérivé f ′(x0) estalors le coefficient directeur de la tangente à la courbe f au point M0.

2


0000000000

f

M0

M1

M2

M3

• Si la limite du taux d’accroissement est infinie, alors la courbe représentative de fpossède en x0 une tangente verticale d’équation x = x0.

0000000

f

M0

On résume cela dans la proposition suivante :Proposition 1 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I.• Si f est dérivable en x0, alors f ′(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la

courbe représentative Cf de f au point d’abscisse x0. L’équation de cette tangente est :

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) .

• Si limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= ±∞, alors f n’est pas dérivable en x0 et la courbe Cf admet

une tangente verticale au point d’abscisse x0.

Exemple :• Puisque la fonction f définie sur R par f(x) = x2 est dérivable en x0 = 1 de dérivéef ′(1) = 2, la courbe représentative de f admet au point M0 de coordonnées (1; 1)

3


une tangente, d’équation

y = 2(x− 1) + 1 = 2x− 1 .

• Au contraire, la fonction définie sur R par f(x) =√

|x| n’est pas dérivable en 0 etla courbe représentative de f admet une tangente verticale au point (0; 0).

1.3. Développement limité à l’ordre 1

Définition 2 : Développement limité à l’ordre 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. On dit que f admet undéveloppement limité à l’ordre 1 en x0, s’il existe deux réels a et b et une fonction ε telle que :

∀x ∈ I , f(x) = a+ b(x− x0) + (x− x0)ε(x) ,

aveclimx→x0

ε(x) = 0 .

Théorème 1 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. On suppose que f estdérivable en x0. Alors, f admet un développement limité en x0. Plus précisément, il existe unefonction ε telle que :

∀x ∈ I , f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + (x− x0)ε(x) ,

aveclimx→x0

ε(x) = 0 .

Remarque : La réciproque est également vraie : si f admet un développement limité enx0 de la forme :

∀x ∈ I , f(x) = a+ b(x− x0) + (x− x0)ε(x) ,

alors f est dérivable en x0 et f ′(x0) = b.

Exemple : Soit f(x) =√x et x0 = 1. f est dérivable en 1 et f ′(1) =

1

2. Donc, f admet

un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 1 :

f(x) = 1 +1

2(x− 1) + (x− 1)ε(x) .

4


−1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

0

f(x) =√x

y = 1 + 1

2(x− 1)

A

Autrement dit, y = 1+1

2(x−1) est la meilleure approximation affine de f au voisinage

de 1.

Remarque : Ce résultat permet également d’obtenir des approximations numériques. Parexemple :

√

1, 02 = f(1, 02) ≃ 1 +1

2(1, 02− 1) = 1, 01 .

Avec une calculatrice, on obtient√1, 02 = 1, 0995.

Exemple : Écrire le développement limité à l’ordre 1 de :• f(x) = ex en x = 0 ;• f(x) = ln(x) en x = 1 ;

• f(x) =1

1− xen x = 0 ;

Corollaire 1 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. Si f est dérivable en x0,alors f est continue en x0.

Remarque : Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point.Par exemple, la fonction définie sur R par f(x) = |x| est continue en 0, et pourtant ellen’est pas dérivable en 0. En effet,

|x| − 0

x− 0= sign(x) = ±1 6→

x→00 .

5


1.4. Nombre dérivé à droite et à gauche

Définition 3 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. La fonction f est dite

dérivable à droite en x0 si le taux d’accroissementf(x)− f(x0)

x− x0admet une limite finie

quand x tend vers x+0 . Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé à droite de f

en x0, et est notée f ′d(x0) :

f ′d(x0) = lim

x→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0.

De même, f est dite dérivable à gauche en x0 si le taux d’accroissementf(x)− f(x0)

x− x0admet

une limite finie quand x tend vers x−0 . Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé

à gauche de f en x0, et est notée f ′g(x0) :

f ′g(x0) = lim

x→x−

0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Proposition 2 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. Alors, la fonction f estdérivable en x0, si et seulement si, f est dérivable à droite et à gauche en x0 ET f ′

d(x0) =f ′g(x0). Dans ce cas, on a f ′(x0) = f ′

d(x0) = f ′g(x0).

Exemple :• La fonction f définie sur R+ par f(x) =

√x est continue à droite en 0 mais n’est

pas dérivable à droite en 0.• La fonction f définie sur R par f(x) = |x| admet une dérivée à gauche et à droite

en 0, mais n’est pas dérivable en 0.

Proposition 3 :

Soit f une fonction définie sur intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. Alors :• Si f est dérivable à droite en x0 (resp. à gauche en x0), alors f admet une demi-tangente

en x0 de coefficient directeur f ′d(x0) (resp. f ′

g(x0)).

• Si limx→x+

0

f(x)− f(x0)

x− x0= ±∞ (resp. lim

x→x−

0

f(x)− f(x0)

x− x0= ±∞), alors f n’est pas déri-

vable à droite (resp. à gauche) en x0, et la courbe Cf admet une tangente verticale aupoint d’abscisse x0.

Exemple : La fonction f définie sur R par f(x) = |x2 − 4| admet deux demi-tangentes en2 et −2.

6


−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

0

Exercice résolu 1 :

Soit f la fonction définie sur R par :

f : R → R

x 7→{

0 si x 6 0

x2 si x > 0

.

1. Montrer que f est continue en 0.

2. Étudier la dérivabilité de f en 0.

Solution :

1. On a limx→0+

x2 = 0 . Donc, f est continue en 0.

2. On a :

limx→0+

x2 − 0

x− 0= lim

x→0+x = 0 .

Donc, f est dérivable à droite en 0 et f ′d(0) = 0. De même, il est clair que f est

dérivable à gauche en 0, avec f ′g(0) = 0. Donc, f est dérivable en 0.

7


2. Dérivabilité sur un intervalle

2.1. Fonction dérivée

Définition 4 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. On dit que f est dérivable sur I, si f

est dérivable en tout point x ∈ I. La fonctionf ′ : I → R

x 7→ f ′(x)est appelée la fonction

dérivée de la fonction f .

Exemple :• La fonction carrée est dérivable sur R.• La fonction inverse est dérivable sur R

∗.• La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[.

Remarque : On étend cette définition sur un intervalle fermé borné en disant que f estdérivable sur I = [a; b] lorsque :

• f est dérivable sur ]a; b[ ;• f est dérivable à droite en a ;• f est dérivable à gauche en b ;

De même, on peut étendre cette définition pour un intervalle semi-ouvert I =]a; b] ouI = [a; b[.

Définition 5 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit x0 ∈ I. On dit que f est de classe C1 surI et on note f ∈ C1(I;R), si f est dérivable sur I et si sa dérivée f ′ est continue sur I.

Exemple :• Les fonctions de l’exemple précédent sont de classe C1 sur leur ensemble de défini-

tion.• La fonction f définie sur R par

f : R → R

x 7→{

0 si x = 0

x2 sin(

1x

)

sinon,

est de classe C1 sur R∗, est dérivable en 0, mais n’est pas de classe C1 sur R.

8


2.2. Dérivée des fonctions usuelles

Théorème 2 :

On dispose des dérivées usuelles suivantes :

Df f(x) Dérivable sur f ′(x)

R xn , n ∈ N R nxn−1

R∗ xp , n ∈ Z \N R

∗ pxp−1

R∗+ xα , α ∈ R R

∗+ αxα−1

R+√x R

∗+

12√x

R ex R ex

R∗+ ln(x) R

∗+

1x

Exemple : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1.f : R

∗ → R

x 7→ 1x4

. 2.f : R

∗ → R

x 7→ 3√x

. 3.f : R

∗ → R

x 7→ 1√x

.

2.3. Opérations sur les dérivées

Théorème 3 :

Soient u et v deux fonctions définies sur intervalle I, x0 ∈ I et λ ∈ R. On suppose que u et v

sont dérivables en x0 ∈ I (resp. dérivables sur I). Alors :• u+ v est dérivable en x0 (resp. sur I) et (u+ v)′ = u′ + v′.• λu est dérivable en x0 (resp. sur I) et (λu)′ = λu′.• uv est dérivable en x0 (resp. sur I) et (uv)′ = u′v + uv′.• Si de plus, v ne s’annule pas en x0 (resp. sur I), alors :

⋄ 1v

est dérivable en x0 (resp. sur I) et(

1v

)′= −v′

v2.

⋄ uv

est dérivable en x0 (resp. sur I) et(

uv

)

= u′v−uv′

v2.


Soit f la fonction définie par f(x) =x− 2

x2 − 10x+ 21.

1. Donner le domaine de définition Df de la fonction f .

2. Montrer que f est dérivable sur Df .

3. Calculer f ′(x) pour tout x ∈ Df .

Solution :

1. La fonction f est définie pour tout x ∈ R tel que x2 − 10x+ 21 6= 0. On cherchedonc les x pour lesquels x2−10x+21 = 0. Après calcul du discriminant, on obtientdeux racines distinctes qui sont 3 et 7. Ainsi, f est définie sur Df = R \ {3; 7}.

2. Posons u(x) = x−2 et v(x) = x2−10x+21. u et v sont dérivables sur R commesomme de fonctions dérivables sur R. De plus, v ne s’annule pas sur Df . Ainsi,d’après le théorème ci-dessus, f est dérivable sur Df .

9


Suite de la solution :

3. On a u′(x) = 1 et v′(x) = 2x− 10, pour tout x ∈ Df . Donc,

∀x ∈ Df , f ′(x) =1(x2 − 10x+ 21)− (x− 2)(2x− 10)

(x2 − 10x+ 21)2

=x2 − 10x+ 21− 2x2 + 10x+ 4x− 20

(x2 − 10x+ 21)2

=−x2 + 4x+ 1

(x2 − 10x+ 21)2.

Corollaire 2 :

En particulier, on déduit du théorème précédent que :• Toute fonction polynôme est dérivable sur R.• Toute fraction rationnelle (quotient de polynômes) est dérivable sur son ensemble de

définition.

2.4. Dérivation d’une fonction composée

Théorème 4 :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et v une fonction dérivable sur un intervalleJ tel que u(I) ⊂ J (pour pouvoir composer les fonctions). Alors, la fonction composée v ◦ uest dérivable sur I et pour tout x ∈ I, (v ◦ u)′(x) = u′(x)× v′(u(x)) .

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par

∀x ∈ R , f(x) = ln(

x2 + 1)

.

Soient u et v les fonctions définies respectivement sur R et R∗+ par u(x) = x2 + 1 et

v(x) = ln(x). La fonction u est dérivable sur R (en tant que polynôme) et à valeurs dans[1; +∞[⊂ R

∗+. Comme la fonction v est dérivable sur R

∗+, par composition, f = v ◦ u est

dérivable sur R et on a

∀x ∈ R , f ′(x) = u′(x)× u′(v(x)) = 2x× 1

x2 + 1=

2x

x2 + 1.

Corollaire 3 : Composées particulières

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :• Pour tout entier n > 0, la fonction un est dérivable sur I et sa dérivée est (un)′ =

nu′un−1 .• eu est dérivable sur I et sa dérivée est u′eu .• Si u est strictement positive sur I, alors

√u est dérivable sur I et sa dérivée est

(√u)′ = u′

2√u.

• Si u est strictement positive sur I, alors pour tout α ∈ R, uα est dérivable sur I et sadérivée est (uα)′ = αu′uα−1 .

• Si u est strictement positive sur I, alors ln(u) est dérivable sur I et sa dérivée est(ln(u))′ = u′

u.

10


Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (2x − 1)3. Alors, f = u3 avec ula fonction définie sur R par u(x) = 2x − 1. Comme u est dérivable sur R (en tant quepolynôme), d’après le corollaire ci-dessous, f est dérivable sur R et

∀x ∈ R , f ′(x) = 3× 2× (2x− 1)3−1 = 6(2x− 1)2 .

Méthode 1 : Pour montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle I

• S’il n’y a pas de "point à problème", on justifie la dérivabilité en utilisant les opérationssur les fonctions dérivables.

• S’il y a un "point à problème" :⋄ on justifie la dérivabilité en dehors du point à problème à l’aide des opérations

usuelles.⋄ on justifie la dérivabilité au point à problème avec la définition, en calculant la

limite du taux d’accroissement.


Soit f la fonction définie sur [0; +∞ par

f(x) =

{

x2 ln(x) si x > 0

0 si x = 0.

Montrer que f est dérivable sur [0; +∞[ et calculer sa dérivée.

Solution : f est dérivable sur ]0; +∞ comme produit de fonctions dérivables sur]0; +∞[. On calcule sa dérivée en utilisant la formule de dérivation d’un produit :

∀x > 0 , f ′(x) = 2x ln(x) + x2 × 1

x= x(2 ln(x) + 1) .

Pour étudier la dérivabilité en 0, on calcule le taux d’accroissement. Soit x > 0. On a :

f(x)− f(0)

x− 0=

x2 ln(x)

x= x ln(x) −→

x→00

Ainsi, f est dérivable en 0 avec f ′(0) = 0. Bref, f est dérivable sur [0; +∞[ avec

∀x ∈ [0; +∞[ , f ′(x) =

{

x(2 ln(x) + 1) si x > 0

0 si x = 0.

11


2.5. Dérivée d’une fonction réciproque

Théorème 5 :

Soit f : I → J une fonction bijective et soit f−1 = J → I sa bijection réciproque.• Soit x0 ∈ I et y0 = f(x0). On suppose que f est dérivable en x0.

⋄ Si f ′(x0) 6= 0, alors f−1 est dérivable en y0 et on a

(

f−1)′(y0) =

1

f ′ (f−1 (y0)).

⋄ Si f ′(x0) = 0, alors f−1 n’est pas dérivable en y0 = et sa courbe représentativepossède une tangente verticale en y0.

• Si f est dérivable sur I et si pour tout x ∈ I, f ′(x) 6= 0 alors f−1 est dérivable surJ = f(I).

Méthode 2 : Pour montrer qu’une fonction réciproque est dérivable

• Pour montrer que f−1 est dérivable sur tout un intervalle J = f(I), on montre quef est dérivable sur I et que f ′ ne s’annule pas sur I et on conclut avec le théorèmeprécédent.

• Pour montrer que f−1 est dérivable en un point y0 et calculer le nombre dérivé(f−1)′(y0) :⋄ On cherche x0 = f−1(y0) (c’est-à-dire que l’on résout l’équation f(x) = y0 d’in-

connue x).⋄ On montre que f est dérivable en x0 puis on applique le théorème précédent :

∗ Si f ′(x0) 6= 0 alors f−1 est dérivable en y0 et (f−1)′(y0) =1

f ′(x0).

∗ Si f ′(x0) = 0, alors f−1 n’est pas dérivable en y0.


Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f(x) = ln(x) + 2x.

1. Justifier que f est une bijection de ]0; +∞[ dans R.

2. Sur quel intervalle f−1 est-elle dérivable ?

3. Calculer (f−1)′(2).

Solution :

1. La fonction f est strictement croissante et continue sur ]0; +∞[ comme sommede fonctions strictement croissantes et continues sur [0; +∞[. Par ailleurs,limx→0+

f(x) = −∞ et limx→+∞ f(x) = +∞. Donc, f réalise bien une bijection

de ]0; +∞ dans R.

2. La fonction f est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme de fonctions dérivablessur [0; +∞[. De plus,

∀x > 0 , f ′(x) =1

x+ 2 > 0 .

Donc, f−1 est dérivable sur ]0; +∞[.

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3. Commençons par résoudre l’équation f(x) = 2. Il y a une solution évidente quiest x = 1. C’est bien la seule solution car f est une bijection. Ainsi,

(

f−1)′(2) =

1

f ′(1)=

1

3.

2.6. Dérivées successives

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 − 3x2 + 5x+ 1.La fonction f est dérivable et ∀x ∈ R f ′(x) = 3x2 − 6x+ 5.La fonction f ′ est dérivable et ∀x ∈ R f ′′(x) = 6x− 6.La fonction f ′′ est dérivable et ∀x ∈ R f ′′′(x) = f (3)(x) = 6

Définition 6 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.• On dit que f est deux fois dérivable si f et f ′ sont dérivables. Dans ce cas, on note

f ′ ou f (2) la dérivée de f ′.• Plus généralement, on dit que f est n fois dérivables (n > 1) si, pour tout entier

1 6 p 6 n− 1, f (p) est dérivable. On note alors f (n) =(

f (n−1))′

.

Remarque : Attention ! La notation f (p) n’a rien à voir avec la notion de puissance !

Exemple : Soit f la fonction définie sur R \ {1} par1

x− 1. Alors, pour tout x ∈ R \ {1} :

f ′(x) =1

(x− 1)2, f ′′(x) =

2

(x− 1)3, f (3)(x) =

6

(x− 1)4.

On peut alors montrer par récurrence que :

∀n ∈ N , ∀x ∈ R \ {1} , f (n)(x) =n!

(1− x)n+1.

Définition 7 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est de classe Cn sur I si f est n

fois dérivable, et si f (n) est continue sur I.

Remarque : Si f est de classe Cp sur I, alors f est de classe Ck pour tout k ∈ J1; pK.

Définition 8 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est de classe C∞ sur I lorsque f

est de classe Cn sur I pour tout n ∈ N∗.

Exemple :• Les fonctions polynômes sont de classes C∞ sur R.• La fonction exp est de classe C∞ sur R et pour tout n ∈ N, exp(n) = exp.

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• Les fonctions ln et x 7→ √x sont de classe C∞ sur R

∗+.

Proposition 4 :

Soit n ∈ N∗, et f et g deux fonctions définies sur un intervalle I. Alors :

• Si f et g sont de classes Cn sur I, alors f + g, fg et λf (avec λ ∈ R) sont de classe Cn

sur I.

• Si f et g sont de classe Cn sur I et si g ne s’annule pas sur I, alorsf

gest de classe Cn

sur I.• Si f est de classe Cn sur I et si g est de classe Cn sur J ⊇ f(I) (pour pouvoir composer),

alors g ◦ f est de classe Cn sur I.

3. Applications de la dérivation

3.1. Dérivée nulle sur un intervalle

Théorème 6 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors,

f est constante sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I , f ′(x) = 0 .

Remarque : Attention ! Le résultat est faux si I n’est pas un intervalle. Ainsi, la fonctiondéfinie sur R

∗ par f(x) = −1 si x < 0 et f(x) = 1 si x > 0, vérifie f ′(x) = 0 pour toutx ∈ R

∗, mais f n’est pas constante.

Corollaire 4 :

Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit a ∈ I. On supposeque f(a) = g(a). Alors,

f = g sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I , f ′(x) = g′(x) .


Soit f une fonction dérivable sur R telle f(0) = 1 et f ′(x) = f(x) pour tout x ∈ R. Onconsidère la fonction g définie sur R par g(x) = f(x)

ex.

1. Justifier que g est dérivable sur R puis montrer que pour tout x ∈ R, g′(x) = 0 .

2. Calculer g(0). Que peut-on en déduire pour g ? Que peut-on en déduire pour f ?

Solution :

1. La fonction x 7→ ex ne s’annule pas sur R et est dérivable sur R. Comme f estégalement dérivable sur R, on en déduit que g est dérivable sur R comme quotientde fonctions dérivables sur R. De plus, pour tout x ∈ R,

g′(x) =f ′(x)ex − f(x)ex

(ex)2=

f(x)ex − f(x)ex

e2x= 0 .

14



2. On a g(0) =f(0)

e0= 1. D’après le théorème ci-dessus, on a

∀x ∈ R , g(x) = 1 .

Et donc,∀x ∈ R , f(x) = ex .

On vient donc de montrer que f est l’unique fonction dérivable sur R vérifiantf ′(x) = f(x) et f(0) = 1.

3.2. Monotonie et signe de la dérivée

Théorème 7 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors :• f est croissante (resp. décroissante) sur I, si et seulement si, f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) 6 0)

pour tout x ∈ I

• f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I, si et seulement si,f ′ est strictement positive (resp. strictement négative) sur I sauf éventuellement en

un nombre fini de points où f ′ s’annule.

Exemple : On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x3. Alors, f est dérivablesur R et pour tout x ∈ R, f ′(x) = 3x2. Ainsi, f ′(0) = 0 et pour tout x ∈ R

∗, f ′(x) > 0. Onpeut donc appliquer le deuxième point du théorème précédent. Ainsi, f est strictementcroissante sur R.

Méthode 3 : Étudier les variations d’une fonction (quand ce n’est pas une fonction classique)

• on justifie que la fonction est bien dérivable ;• on calcule la dérivée de la fonction ;• on détermine le signe de la dérivée avant de conclure ;


Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x3 − 15x2 + 36x+ 7. Étudier les variationsde la fonction f .

Solution : La fonction f est dérivable sur R en tant que polynôme. De plus, pour toutx ∈ R, f ′(x) = 6x2 − 30x + 36. Il nous maintenant étudier le signe de ce polynômede degré 2. Son discriminant vaut donc ∆ = (−30)2 − 4 × 6 × 36 = 36 . L’équation6x2 − 30x+ 36 = 0 admet donc deux racines qui sont :

x1 =30−

√36

2× 6= 2 et x2 =

30 +√36

2× 6= 3 .

15



Par ailleurs, le coefficient dominant est strictement positif. On en déduit le tableau designe de f ′ et le tableau de variation de f :

3.3. Extrema locaux

On rappelle qu’un extremum est un maximum ou un minimum.Théorème 8 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I. Si f est dérivable en x0 etsi f présente un extremum local en x0, alors f ′(x0) = 0.

Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse. En effet, la fonction f définie sur Rpar f(x) = x3 vérifie f ′(0) = 0 mais 0 n’est pas un extremum local. On dispose cependantdu théorème suivant :

Théorème 9 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Si f ′ s’annule en x0 en

changeant de signe alors f admet un extremum local en x0.

Exemple : Reprenons l’exemple de la fonction définie sur R par f(x) = 2x3−15x2+36x+7.On a déjà établie le tableau de signe de f ′ et le tableau de variation de f :

x

f ′(x)

f(x)

−∞ 2 3 +∞

+ 0 − 0 +

Ainsi, f ′ s’annule aux point 2 et 3 tout en changeant de signe. Donc, 2 et 3 sont desextrema locaux de f . D’après le tableau de variation, on peut même affirmer que 2 est unmaximum local et que 3 est un minimum local.

16


−1 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

1

2

3

0

f

BC

3.4. Inégalité des accroissements finis

Théorème 10 : Première version

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. On suppose qu’il existe deuxconstantes m et M telles que :

∀x ∈ I , m 6 f ′(x) 6 M .

Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a 6 b, on a :

m(b− a) 6 f(b)− f(a) 6 M(b− a) .

Remarque : Attention, la condition a 6 b est importante dans cet énoncé.

Exemple : En appliquant l’inégalité des accroissements finis à la fonction exp, on peutmontrer que

∀x ∈ [0; 1] , 0 6 ex − 1 6 xe .

Théorème 11 : Deuxième version

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. On suppose qu’il existe une constanterélle k telle que

∀x ∈ I , |f ′(x)| 6 k .

Alors :∀(x1, x2) ∈ I2 , |f(x1)− f(x2)| 6 k|x1 − x2| .

Remarque : Dans cette deuxième version du théorème, les réels x1 et x2 sont rangés dansun ordre quelconque.

17



On considère la suite (un)n∈N définie par :

u0 = 1 et ∀n ∈ N , un+1 = un +1

4(2− un)

2 .

On considère par ailleurs la fonction f définie sur R par f(x) = x+ 14(2− x2).

1. Étudier les variations de f et montrer que f([1; 2]) ⊂ [1; 2].

2. Montrer que pour tout n ∈ N, un ∈ [1; 2].

3. Montrer que si la suite (un)n∈N converge vers ℓ, alors ℓ =√2.

4. Montrer que pour tout t ∈ [1; 2] : |f ′(t)| 6 1

2.

5. Montrer que :

∀n ∈ N , |un+1 −√2| 6 1

2|un −

√2| .

En déduire que :

∀n ∈ N , |un −√2| 6

(

1

2

)n

.

6. En déduire la convergence de la suite (un)n∈N.

Solution :

1. La fonction f est dérivable sur R (comme polynôme) et pour tout x ∈ R, f ′(x) =1− x

2. Ainsi, f ′(x) > 0 pour x 6 2 et f ′(x) 6 0 pour x > 2. Donc, f est croissante

sur ]−∞; 2[ et décroissante sur [2; +∞[.

Par ailleurs, f(1) =5

4et f(2) =

3

2. f étant croissante sur [1; 2], on en déduit

f([1; 2]) = [5

4;3

2] ⊂ [1; 2].

2. Pour tout n ∈ N, on a un+1 = f(un). Notons Pn la propriété "un ∈ [1; 2]".Initialisation : (n = 0)u0 = 1 ∈ [1; 2] donc P0 est vraie.Hérédité : Soit n un entier quelconque dans N. Supposons Pn vraie et montronsque Pn+1 est vraie. D’après ce qui précède, on sait que f([1; 2]) ⊂ [1; 2]. Or, parhypothèse de récurrence, un ∈ [1; 2]. Donc, un+1 = f(un) ∈ f([1; 2]) ⊂ [1; 2].Donc, Pn+1 est vraie.Conclusion : D’après le principe de récurrence, la proposition Pn est vraie pourtout n ∈ N, à savoir :

∀n ∈ N , un ∈ [1; 2] .

3. Supposons que (un)n∈N converge vers ℓ ∈ R. Alors, (un+1)n∈N converge égale-ment vers ℓ. De plus, la fonction f est continue (car dérivable), donc (f(un))n∈Nconverge vers f(ℓ). Par unicité de la limite de la suite (un)n∈N, on en déduit queℓ = f(ℓ). Ainsi,

ℓ = ℓ+1

4(2− ℓ2) soit ℓ2 = 2 soit ℓ = ±

√2 .

Or, un ∈ [1; 2] pour tout n ∈ N donc ℓ ∈ [1; 2] et donc ℓ =√2.

18



4. On a vu que pour tout t ∈ R, f ′(t) = 1− t

2. Et donc

∀t ∈ [1; 2] , |f ′(t)| = 1− t

26 1− 1

2=

1

2.

5. Soit n ∈ N. On applique la deuxième version de l’inégalité des accroissementsfinis à f sur l’intervalle [1; 2] avec a = un et b =

√2. Cela donne, grâce à la

question précédente :

= |un+1 −√2| = |f(un)− f(

√2)| 6 1

2|un −

√2| .

Notons Pn la propriété : |un −√2| 6

(

1

2

)n

.

Initialisation : (n = 0)|u0 −

√2| = |1−

√2| 6 1

2. Donc, P0 est vraie.

Hérédité : Soit n un entier quelconque dans N. Supposons Pn vraie et montronsque Pn+1 est vraie. D’après ce qui précède,

|un+1 −√2| 6 1

2|un −

√2|

61

2×

(

1

2

)n

par hypothèse de récurrence

6

(

1

2

)n+1

Donc, Pn+1 est vraie.Conclusion : D’après le principe de récurrence, la proposition Pn est vraie pourtout n ∈ N, à savoir :

∀n ∈ N , |un −√2| 6

(

1

2

)n

.

6. Comme 0 <1

2< 1, on a

(

1

2

)n

−→n→+∞

0. Par le théorème des gendarmes, on en

déduit |un −√2| −→

n→+∞0, d’où un −→

n→+∞=

√2.

19


4. Convexité

4.1. Définition

Définition 9 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Alors :• f est dite convexe sur I lorsque

∀t ∈ [0; 1] , f((1− t)x1 + tx2) 6 (1− t)f(x1) + tf(x2) .

• f est dite concave sur I lorsque

∀t ∈ [0; 1] , f((1− t)x1 + tx2) > (1− t)f(x1) + tf(x2) .

000000000

A1

(x1, f(x1))

A2

(x2, f(x2))

N

H

tx1 + (1 − t)x2

Mf(tx1 + (1− t)x2)

tf(x1) + (1 − t)f(x2)

Interprétation géométrique : Pour tous x1 et x2 de I, en notant A1 le point de coor-données (x1, f(x1) et A2 le point de coordonnées (x2, f(x2)), alors le segment [A1;A2] estsitué au dessus de la courbe représentative de f (voir dessin ci-dessus).Inversement, f est dite concave si le segment [A1;A2] est situé en dessous de la courbereprésentative de f .

Exemple : La fonction définie sur R par f(x) = x2 est convexe sur R.

Remarque : f est concave sur I, si et seulement si, −f est convexe sur I.

20


4.2. Caractérisation des fonctions convexes de classe C1

Théorème 12 :

Soit f une fonction de classe C1 sur un intervalle I. Alors :• f est convexe sur I, si et seulement si, f ′ est croissante sur I.• f est concave sur I, si et seulement si, f ′ est décroissante sur I.

Proposition 5 :

Soit f une fonction de classe C2 sur un intervalle I. Alors :• f est convexe sur I, si et seulement si, pour tout x ∈ I, f ′′(x) > 0.• f est concave sur I, si et seulement si, pour tout x ∈ I, f ′′(x) 6 0.

Exemple : Soit f la fonction définie sur R∗+ par f(x) = x2 − ln(x). La fonction f est deux

fois dérivable sur R∗+ et on a :

∀x ∈ R∗+ , f ′′(x) = 2 +

1

x2.

La dérivée seconde étant positive sur R∗+, la fonction f est convexe sur R

∗+.

De même, on vérifie facilement que :• La fonction exponentielle est convexe sur R.• La fonction logarithme népérien est concave sur R

∗+.

• La fonction cube est concave sur R− et convexe sur convexe sur R+.

4.3. Inégalité de convexité

Théorème 13 :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :• f est convexe, si et seulement si, Cf est au dessus de ses tangentes en tout point.• f est concave, si et seulement si, Cf est en dessous de ses tangentes en tout point.


1. Montrer que∀x ∈ R , ex > x+ 1 .

2. Montrer que∀x ∈ R

∗+ , ln(x) 6 x− 1 .

Solution :

1. Posons f la fonction définie sur R par f(x) = ex. La fonction f est deux foisdérivable sur R et pour tout x ∈ R, f ′′(x) = ex > 0. Donc, f est convexe surR. Ainsi, la courbe de la fonction f est toujours au dessus de ses tangentes.En particulier, elle est au dessus de la tangente en 0. Celle-ci a pour équationy = f(0) + f ′(0)(x− 0) = x+ 1. Ainsi,

∀x ∈ R , ex > x+ 1 .

21



2. Posons g la fonction définie sur ]−1;+∞[ par g(x) = ln(x+1). La fonction g est

deux fois dérivable sur R et pour tout x ∈ R∗+, g′′(x) =

−1

(x+ 1)26 0. Donc, g

est concave sur R. Ainsi, la courbe de g est toujours en dessous de ses tangentes.En particulier, elle est en dessous de sa tangente en 0. Celle-ci a pour équationy = f(0) + f ′(0)(x− 0) = x. Ainsi,

∀x ∈ R∗+ , ln(x+ 1) 6 x .

4.4. Point d’inflexion

Définition 10 :

Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative. Un point d’inflexion de la courbe Cf estun point où la courbe Cf traverse sa tangente en ce point. C’est aussi le point où la convexitéchange de sens.

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3. La tangente au point d’abscisse0 coupe la courbe donc 0 est un point d’inflexion.

00000000

f

Tangente y = 0

Théorème 14 :

Soit f une fonction de classe C2 sur un intervalle ouvert I, et soit x0 ∈ I. Le point M0(x0, f(x0))est un point d’inflexion de la courbe Cf , si et seulement si, f ′′ s’annule en changeant de signeen x0.

Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x4 − 6x2. On peut montrer que fadmet deux points d’inflexion qui sont 1 et −1.

22


5. Exercices

Dérivabilité

12.1 Sur quelles parties de R, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?

1. f : x 7→{

x sin(1/x) si x 6= 0

0 sinon2. g : x 7→

{

x2 sin(1/x) si x 6= 0

0 sinon

12.2 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 1+x+ x2

2si x > 0 et f(x) = ex si x < 0.

Montrer que f est de classe C2 sur R, mais n’est pas 3 fois dérivable.

12.3 Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie sur R par :

f(x) = x2 − |x| .

12.4 Donner l’ensemble de définition Df de la fonction f définie par :

f(x) = x√x2 − x3 .

Étudier la dérivabilité de f sur Df .

12.5 Soit f la fonction définie par :

f(x) =

√1 + x− 1

x.

Étudier la continuité (ainsi que les éventuels prolongements) et la dérivabilité de f .

Calculs de dérivées

12.6 Calculer les dérivées des fonctions suivantes (sans donne de justification concernantl’existence de cette dérivée) :

1. a(x) = ln(1 + x2)

2. b(x) =e2x

x2 − 1

3. c(x) = exp

(

x+1

x

)

4. d(x) =√x2 + x+ 1

5. e(x) =2− x

1 + x

6. f(x) =x2 + 2x+ 2

3− x

12.7 Soit f la fonction définie sur R \ {−1} par :

f(x) =1

1 + x.

Montrer que pour tout n ∈ N∗, et pour tout x ∈ R \ {−1} :

f (n)(x) =(−1)nn!

(1 + x)n+1.

23


12.8 Soit f la fonction définie sur R+ par :

f(x) =√x .

Montrer que pour tout n ∈ N∗, et pour tout x ∈ R

∗+ :

f (n)(x) =(−1)n+1

2n× (2n− 2)!

2n−1 × (n− 1)!× 1

xn− 1

2

.

12.9 Soit f la fonction définie sur R∗+ par :

f(x) = exp

(−1

x2

)

.

Montrer que pour tout n ∈ N∗, il existe Pn et Qn deux polynômes à coefficients réels tels

que :

∀x ∈ R∗+ , f (n)(x) =

Pn(x)

Qn(x)exp

(−1

x2

)

.

Étude de fonctions

12.10 Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) =ex − 1

ex + 1.

1. Justifier que la fonction f est de classe C1 sur R et expliciter f ′.

2. Dresser le tableau de variations de f .

12.11 Étudier les fonctions suivantes :

1. a(x) = x3 − 3x2 + x+ 1

2. b(x) =x

x2 + 3x+ 2

3. c(x) =x4 + 2x− 3

x3 − 1

4. d(x) = (x2 + 3x− 4)1

2

12.12 Trouver tous les extrema locaux du polynôme défini par :

f(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 8x+ 1 .

12.13 Trouver tous les extrema locaux de polynôme défini par :

f(x) = x3 − 3x+ 1 .

Existe-t-il un extremum global pour f ?

12.14 Soit f la fonction définie sur R∗+ par :

f(x) = x ln(x) .

24


1. Étudier les variations de f .

2. En déduire que f réalise une bijection de[1

e; +∞

[

sur un intervalle à préciser.

3. Sur quel intervalle f−1 est-elle dérivable ?

4. Calculer (f−1)′(0). Calculer f(e) et f(e2) et en déduire f(−1)′(e) et (f−1)′(2e2).

12.15 Soit f la fonction définie sur ]− 1;+∞[ par

f(x) =

{

x−ln(1+x)x

si x 6= 0

0 si x = 0.

1. Montrer que la fonction f est continue sur ]− 1;+∞[.

2. Montrer que la fonction f est de classe C1 sur ]− 1; 0[ et sur ]0; +∞[, et explicitersa dérivée.

3. Montrer que f est de classe C1 sur ]− 1;+∞[ (on pourra admettre que

limx→0

ln(1 + x)− x

x2=

−1

2)

4. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0.

5. Étudier la fonction g définie par g(x) = (1 + x) ln(1 + x) − x sur ] − 1;+∞[, etétudier ensuite l’existence de tangente horizontale pour f .

6. Dresser le tableau de variations de f sur ]− 1;+∞[.

7. Déterminer la nature des branches asymptotiques de f en −1 et en +∞, puis tracerla courbe de f .

Théorème des accroissements finis

12.16 Montrer que pour tout x ∈ R+, on a :∣

∣

∣

√2 + x− 2

∣

∣

∣6

1

2√2|x− 2| .

12.17 Montrer que

∀n ∈ N∗ ,

1

n+ 16 ln(n+ 1)− ln(n) 6

1

n.

12.18

1. Soit k ∈ N \ {0; 1}. En appliquant l’inégalité des accroissements finis sur [k − 1; k]

à la fonction f définie par f(x) =−1

x, montrer que

1

k26 f(k)− f(k − 1) 6

1

(k − 1)2.

2. En déduire que, pour tout entier n > 2

n∑

k=2

1

k26 f(n)− f(1) .

25


3. Soit (Sn) la suite définie pour tout entier n > 1 par Sn =

n∑

k=1

1

k2. Montrer que (Sn)

est croissante et majorée.

4. En déduire que la suite (Sn) converge.

Convexité

12.19 Étudier la convexité des fonctions définies par :

1. f(x) = 6x5 − 15x4 + 10x3 + 1

2. g(x) =x2

x+ 1

3. h(x) = ln

(

x− 1

x+ 1

)

12.20 Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction f définie par

f(x) = ln (1 + ex) ,

puis montrer que f est convexe sur Df .

12.21 Soit f la fonction définie sur R∗+ par f(x) = −x2+3x− ln(x). Étudier la convexité

de f et déterminer les points d’inflexion.Déterminer les tangentes horizontales de la courbe représentative de f .

12.22 Montrer que∀x ∈ [0; 1] , x 6 ex − 1 6 xe .

Problèmes

12.23 On considère la fonction f définie sur ]− 1;+∞[ par f(x) =3

2ln(x+ 1).

1. Étudier les variations de f sur ]− 1;+∞[.

2. Montrer que l’équation f(x) = x admet une unique solution α dans [1; 2]. Onrappelle que 7 < e2 < 8.

3. On pose u0 = 3 et pour tout entier n > 0 : un+1 = f(un). Montrer que pour toutentier n > 0, un > α.

4. Montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[, 0 6 f ′(x) 6 34.

5. À l’aide du théorème des accroissements finis, montrer que pour tout entier natureln, on a :

0 6 un+1 − α 63

4(un − α) .

6. Montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ N :

0 6 un − α 6

(

3

4

)n

(u0 − α) .

7. En déduire la convergence de la suite (un)n∈N.

26


12.24 Soit CT la fonction définie pour tout réel x élément de l’intervalle ]0; 10] parCT (x) = x3 − 12x2 + 50x+ 63 .La fonction CT modélise sur l’intervalle ]0; 10] le coût total de production exprimé enmilliers d’euros, où x désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués chaque jour. Elleest représentée ci-contre et est notée (Γ).

PARTIE A : Étude du coût total

1. Par lecture graphique :

a. Sur quel intervalle, la fonction CT

semble-t-elle convexe ? concave ?

b. La courbe a-t-elle un point d’in-flexion ?

2. On note C ′T la dérivée de la fonction CT .

a. Calculer C ′T (x).

b. Étudier les variations de C ′T .

c. Démontrer les résultats du 1.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50

100

150

200

250

300

350

0

PARTIE B : Étude du coût moyen

On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ]0; 10] par CM(x) = CT (x)x

. La fonctionCM mesure le coût moyen de production, exprimé en euros, par article fabriqué.

1. Soit A le point d’abscisse a de la courbe (Γ).

a. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyenCM(a).

b. Conjecturer à l’aide du graphique les variations de la fonction CM .

2. Le coût marginal, coût d’une unité supplémentaire produite, est assimilé à la déri-vée du coût total.Graphiquement, comparer le coût marginal et le coût moyen minimal.

3. On désigne par C ′M la dérivée de la fonction CM .

a. Calculer CM ′(x).

b. Montrer que l’équation C ′M(x) = 0 admet une unique solution α. Déterminer

une approximation de α.

c. Étudier les variations de la fonction CM .

d. En déduire le prix de vente minimal d’un article pour que l’entreprise ne travaillepas à perte.

4. Justifier que lorsque le coût moyen est minimal, alors le coût moyen est égal aucoût marginal.

PARTIE C : Rendements marginaux et d’échelles

On dit que les rendements marginaux sont décroissants lorsque le coût marginal est crois-sant.On dit que les rendements d’échelles sont décroissants lorsque le coût moyen est croissant.Déterminer les valeurs à partir desquelles ces rendements deviennent décroissants.

27

6. Table des matières

1 Dérivé en un point 2

1.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Développement limité à l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Nombre dérivé à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dérivabilité sur un intervalle 8

2.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Dérivée des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Dérivation d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Dérivée d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Applications de la dérivation 14

3.1 Dérivée nulle sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Monotonie et signe de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Convexité 20

4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Caractérisation des fonctions convexes de classe C1 . . . . . . . . . . . . . 214.3 Inégalité de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Point d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Exercices 23

5.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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