Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de...

1/8 Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016

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Fiche d’exercices 3 : Continuité, Dérivabilité et Etude de fonctions Continuité

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur [ 3 ; + ∞ [ par : f(x) = E(x) pour x ∈ [3 ; 4[

f(x) = – 14 x + 4 pour x ∈ [ 4 ; + ∞ [

a. Tracer la représentation graphique de cette fonction dans un repère orthonormal du plan.

b. Cette fonction est-elle continue sur [3 ; + ∞ [? Pourquoi ?

Exercice 2

La fonction donnée ci dessous représente une fonction définie sur [0 ;4].

1. a. Donner le tableau de variation de f. b. La fonction f est-elle continue sur [0 ; 4] ?

2. a. Sur l’intervalle [2 ; 4], pour résoudre l’équation ( )2

3xf = , quel théorème peut-

on appliquer et pourquoi ? b. En appliquant ce théorème à l’intervalle [2 ; 4], montrer que l’équation

( )2

3xf = admet une unique solution α.

c. Donner une valeur approchée de α.

Exercice 3

Exercice 4



Dérivabilité Exercice 5

Etudier les variations de chacune des fonctions suivantes après avoir précisé les ensembles de définition et de dérivabilité.

a. ( ) ( ) ( )32 1x1xxf +−=

b. ( )( )3x54

1xf

−=

e. ( ) ( )324 1xxxf +−=

f. ( ) ( )1xx

1xf

23 −=

g. ( )4

4x2

1x3xg

−−=

c. ( ) ( )( )2

3

1x

1xxf

−+=

d. ( ) 1x3x2xf 2 +−=

h. ( ) 1xxxf −=

i. ( )1x

xxf

2

2

+=

j. ( )1x

1xxf

2

2

+−=

Exercice 6

Exercice 7

Etude de fonctions - Problème de synthèse

Exercice 8

Exercice 9



Exercice 10

Exercice 11

Soit f la fonction définie par : ( ) 32 xxxf −=

1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f. 2. Démontrer que f est continue sur Df. 3. Etudier la dérivabilité de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.

Exercice 12

On donne f la fonction définie par : ( )2x

4xxf

2

−−=

1. Déterminer l’ensemble de définition D de f. 2. Ecrire f sans valeur absolue 3. Démontrer que f est continue sur D. 4. Représenter la courbe représentative de f.

Exercice 13 On considère la fonction suivante définie D = ]-2 ; 1 [

( ) ( ) ( )xsinxExf = E désignant la fonction partie entière

Etudier la continuité de f sur D.

Exercice 14

1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa fonction dérivée :

a. f est définie sur ℝ par f(x) = (x3 – 2)2

b. g est définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = 3x + 1

c. h est définie sur [0 ; +∞[ par h(x) = 1

5x + 3

2. Déterminer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :

a. f : x a x2 – 1 sur [2 ; +∞[

b. h : x a

1

x – 2x

3

sur ℝ*

3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition et l’ensemble sur lequel elle est dérivable. Déterminer alors la dérivée de chacune d’elles.

a. f(x) = x² – 1x b. g(x) = (2x + 3) 3x – 5

c. h(x) = x² + 7

x² – x – 6 d. k(x) =

1 (5x² – 3)3

e. m(x) = (2x3 + 3x – 1)4 f. n(x) = x4 + x2 + 1 4. On pose : g(x) = 2x3 + x – 2.

a. Etudier les variations de g.

b. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet dans ℝ une solution unique α. c. Déterminer une valeur approchée de α à 10-2 près. d. Etudier le signe de g(x) selon les valeurs de x.

Exercice 15



Exercice 16

Exercice 17

On considère la fonction h définie par : h(x) = 2x3 – 3x2 – 12x. 1. Dresser le tableau de variation de h.

2. Pour k réel donné, étudier le nombre de solutions dans ℝ de l’équation h(x) = k.

3. Démontrer que l’équation h(x) = 8 a une solution unique α. Donner un encadrement de α à 10-2 près.

Exercice 18



Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22



Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25



Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Soit f la fonction définie sur ℝ par ( ) ( )1x3

1x3xf

2

3

+−= et soit C sa courbe représentative

dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité 1cm. 1. Montrer qu’il existe un unique triplet de réels (a ; b ;c) que l’on déterminera, tel

que pour tout x réel x :

( )1x3

cxbaxxf

2 +++=

2. Déterminer les limites de f en -∞ et en +∞.

3. Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée. 4. Dresser le tableau des variations de f. 5. Donner l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer A, T et la

courbe C.

6. Montrer que l’équation f(x) = 1 a une solution unique dans ℝ. On notera α cette solution. Donner une valeur approchée de α à 10-2 près par excès.



Annales baccalauréat

Exercice 29 (Métropole 21 Juin 2012)

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