Chapitre 11Droites remarquables

dans un triangle

Énigme du chapitre : Soit (d) une droite du plan et A unpoint n’appartenant pas à la droite (d).

(d)A

Où faut-il placer les points B et C sur la droite (d) pour quele triangle ABC soit équilatéral ? Détailler la construction.

I/ Médiatrices d’un triangle

Propriétés

I Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupenten un même point : on dit qu’elles sont concourrantes.

I Ce point commun est le centre d’un cercle passant par lestrois sommets du triangle. On dit que ce cercel est lecercle circonscrit au triangle.

A

B

CI

J

K

O

A

B

C

I

J

K

O

Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC .

Faire les exercices nos 1 � 2 � 3 4 F

5 F

II/ Hauteurs d’un triangle

DéfinitionUne hauteur d’un triangle est une droite qui passe par unsommet et est perpendiculaire au côté opposé.

Exemple

I (AP) est la hauteur issuede A ou relative à [BC ].

I P est le pied delahauteur.

I Le terme hauteurdésignera aussi bien ladroite (AP), le segment[AP] ou la longueur AP .

A

B

CP

Propriétés

I Les trois hauteurs d’un triangle sont concourrantes en unpoint H.

I On dit que ce point commun H est l’orthocentre dutriangle.

A

B

C

H

Le point H est l’orthocentre du triangle ABC

Faire les exercices nos 6 � 7 8 9 F

10 F

III/ Médianes d’un triangle

DéfinitionUne médiane d’un triangle est un droite qui passe par unsommet et le milieu du côté opposé.

A

B

C

K

Médiane issue du point A.

Propriétés

1. Les trois médianes d’un triangle sont concourrantes en unpont G .

2. On dit que ce point commun G est le centre de gravitédu triangle.

A

B

C

I

J

K

G

Le point G est le centre de gravité du triangle ABC .

RemarquesOn a les égalités de longueurs suivantes :

I AG = 23AK

I BG = 23BJ

I CG = 23CI

Faire les exercices nos 11 � 12 1314 F 15 F

Problèmes :

Faire les exercices nos 16 F 17 F

18 F 19 F 20 F

IV/ Une activité TICE pour les droites remarquables