Chapitre 10 Puissances à exposants entiers2015-ISJ

DEBRE-NIV-SAUMA-VIL-VONCE Ch.10 page 1

Chapitre X : Puissances à exposants entiers

Au terme de ce chapitre, l’élève sera capable de :

!! Transformer une puissance à exposant négatifs en puissance à exposant

positif

!! Effectuer des calculs comportant des puissances à exposants entiers

!! Enoncer les propriétés des puissances à exposant négatif

!! Transformer des nombres sous la forme d’une puissance de 10

!! Transformer des nombres sous la forme d’une notation scientifique


1! Les puissances à exposants positifs

Connecte-toi sur le site de mathinverses et regarde la vidéo présente dans l’onglet puissances à exposants entiers -> propriétés des puissances à exposants positifs

Si tu veux t'exercer sur feuille de papier, n'hésite pas, prends tes instruments de construction et refais les mêmes exercices que ceux présentés dans le film. Ensuite, réalise le quizz L3. 1.1! Exemples

2²= (-2)²= - 2²=

2³= (-2)³= - 2³=

2 1 = 2 0 = (½)²=

Cas particuliers

a 1 = .....

a 0 = .....

1 n = .....

L’expression a n est une ……………………………… dont a est la …………………

et n est …………………………………

1.2! Règle des signes des puissances

!! Toute puissance d’un nombre positif est un nombre ……………………………

!! Toute puissance paire d’un nombre négatif est un nombre ……………………………

!! Toute puissance impaire d’un nombre négatif est un nombre …………………………

En résumé : une puissance est un nombre négatif dans le seul cas où la base est

…………………………… et l’exposant …………………………… .

Remarque :

Attention, les puissances sont prioritaires par rapport aux multiplications ! ! ! (PEMDAS)


1.3! Exercices

1)! 5²=

2)! (- 5)²=

3)! 0,2³=

4)! (- 0,001)³=

5) =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

2

23

6)! 7 1 =

7)! 2 + 3 . 7 + 4²=

8)! (- 3)² - (5 + 2) =

9)! 3² + 4 . (- 2)³ - 21 =

10) ( )

=+−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− 3

272

2421

21

2! Les puissances à exposants négatifs

Connecte-toi sur le site de mathinverses et regarde la vidéo présente dans l’onglet puissances à exposants entiers -> propriétés des puissances à exposants négatifs Si tu veux t'exercer sur feuille de papier, n'hésite pas, refais les mêmes

exercices que ceux présentés dans le film. Ensuite, réalise le quizz L3.

2.1! Exemples

2-3 = l’inverse de 2³ = …………………

a-2 = l’inverse de a² = …………………

a-n = ……………………………………………

= …………………

2.2! Exercices

1)! =−13

2)! =−23

3)! ( ) =− −25

4)! ( ) =−− −23

5) =−2c

6)! ( ) =− −5a

7) =− −6a

7)! =+ −− 23 2.42.5

8)! ( ) =− −153

9)! ( ) =− −383.2

10)! =−254

11)! =−331

12)!( )( )

=−

+−−

−

42

32

35.84.53


3! Propriétés des puissances

3.1! Produit de puissances de même base

Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.

Si a ∈ R et si p et q ∈ Z : a p . a q = a p + q

3.2! Puissance d’une puissance

Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.

Si a ∈ R et si p et q ∈ Z : (a p) q = a p . q

3.3! Puissance d’un produit

Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.

Si a et b ∈ R et si p ∈ Z : (a . b) p = a p . b p

3.4! Puissance d’une fraction

Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme à cette puissance.

Si a ∈ R, b ∈ R0 et si p ∈ Z : p

pp

ba

ba =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

3.5! Fraction de puissances

Lorsqu’une fraction est composée d’un numérateur et d’un dénominateur de même base et d’exposants différents, on conserve la base et on soustrait les exposants (exposant du numérateur diminué de l’exposant du dénominateur).

Si a ∈ R0 et si p et q ∈ Z : qpq

p

aaa −=


4! Exercices

4.1! Applique les propriétés des puissances pour réduire les expressions suivantes.

a³ . a²= (x³)²= (- b 4)³=

(a 4)²= 5x . 2x = 3x³y . 2xy²=

(a . b) 5 = 4a² - (- a 5) = (3a²b) 4 =

(2a)³= (5ac)²= (- a³)²=

a . a²= (-b 5)³= (- 2a²b) 5 =

(-2a³)² . (- 3a²)³= =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

2

ba =3

5

aa

(-2a²b)³ . (5a6b)²= =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

35ca =8

2

xx

6xy² . (3x²y)²= =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −3

54yx =4

4

yy

(x4)² . (- x 5)²= =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

2

34a =4

5

bb

(- x³)² . (- x)³ . (- x) = =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3

3

2

yx =3

6

zz

4.2! Ecris les expressions suivantes avec des exposants positifs.

a –5 = 3 . a . b –5 = =−

−

4

5

ba

a³ . b –7 = - 2a –3b²= =−432ab

a –2 . b –5 = =−3

1b

=−−42

3ba

a . b² . c –3 = =−8

1a

=−

−

2

14

63cba

5! . a². b –3 = =−2

3

ba

=

−−

−

−

32

1

58cba


4.3 Choisis la bonne réponse.

4.4 Réduis les expressions ci-dessous. Ta réponse ne doit plus comporter aucun exposant négatif.

1.! -4a³.(-3a4) =

2.! (-3ab)³ =

3.! (-2a³b)³.(-3a²b)² =

4.! a-3.a5 =

5.! a-8.a-2 =

6.! (2a-3b²)³ =

7.! (a-5)² =

8.!=−2

²aa

9.!=

−

2

3

aa

18.! =−−

34

3

)310(cab

19.! =− −−

14

3

)52(xx

20.! =−

−

2

2

³2³6

baba

21.!=

− −−

−

23

55

)3(5abba

22.!=−

−−−

2

523 )2(abba

23.! =−

53

)²

(ba

24.! =−−

−−

−−3

423

512

)2

(yxzyx


10.!=−

−

2

5

aa

11.!=−

−

1

54.aaa

12.!=

−

6

6

aa

13.!=

−

3

2

aa

14.!a-2.b³ = 15.!a.b-2 =

16.! =−

33

)²5

2(ba

17.!=−

−3

35

)²

(bba

25.! =−− −

−−

−2

321

332

)32(

cbba

26.!=− −

−−

−2

232

43

)3(

xyyx

27.! =−

−−

−3

74

53

)3

(baba

28.! =−−

−−

−−

232

54

)2()²3(

bacba

29.! =− −−− 324 )³31.()

23(

xx

30.! =− −−−− 2134 ³)2).(23( baba

31.! =− −−

−−

32

342

)³3

1.()32(

xx

5! Notation scientifique

Connecte-toi sur le site de mathinverses et regarde la vidéo présente dans l’onglet puissances à exposants entiers -> Notation scientifique Si tu veux t'exercer sur feuille de papier, n'hésite pas, prends tes instruments de construction et refais les mêmes exercices que ceux

présentés dans le film. Ensuite, réalise le quizz L2.

5.1! En observant l’évolution des exposants, écris chaque nombre sous forme d’une puissance de 10.

10 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… …………

5.2! Écris les expressions suivantes de plusieurs manières.

10 –3 = 1 centième =

10 –8 = 1 millionième =

10 –5 = 1 milliardième =


Qui ne connait pas le célèbre cube de monsieur Rubik ? Par contre, ce qui est moins connu, c’est le nombre de configurations que l’on peut obtenir en faisant subir des rotations aux différentes faces.

Ce nombre astronomique est 43 252 003 274 489 856 000.

Cette écriture est illisible et difficile à retenir. Pourquoi ne pas noter une approximation intéressante de ce nombre :

43!52 003 274 489 856 000 = 43 . 10 18


5.3 Classe par ordre croissant.

5.4 Ecris les nombres suivants en notation scientifique.

1)! 567 000 =

2)! 12 300 =

3)! 0,00002 =

4)! 0,0000458 =

5)! 120 000 000 000 =

6)! 5 784 984 000 =

7)! 3,45 =

8)! 34 =

9)! 0,0000000009 =

10)!10 000 000 000 000 000 =

11)!134,983 =

12)!0,69843 =.

5.6 Complète les pointillés.

1)! 0,0009 . 10….. = 9

2)! 0,4.10 ….. = 40

3)! 0,7 . 10 …. = 0,0007

4)! 2,4 . 10 …. = 240 000

5)! 0,567 . 10…. = 5,67

6)! ………..…. . 105 = 17 635

7)! ………..…. . 104 = 28370

8)! ……….….. . 102 = 512

9)! ……..……. . 10-3 = 89,9

10)!…………... . 10-2 = 0,69

11)!65 = 0,065 . …………………

12)!347 = 3,47 . ………………….

13)!2 =0,0002 . ……………...………...

14)!2,1 = 0,0021 . …………………….

15)!6,54 = 0,0654 . ……………………

16)!0,352 =. 3,52 …………………….

17)!0,007001 =. 7,0001 …………….

5.7 Calcule et veille à ce que ta réponse soit en notation scientifique.

1)! 0,00002 . 0,0004 =

2)! 0,0003 . 230000 =

3)! 1500 . 0,004 =

4)! (0,0005)³ =

5)! (0,002)² =

6)! (-5000)² =

7)! 70000. (-0,002) = ……………….….

8)! 0,000012 . 30 = ………………………

9)! 0,005 . 300 . 0,0004 = ……………..

10)!3. 10² . 4 . 10-7 = ……………………


Les scientifiques se sont mis d’accord sur une écriture commune pour écrire les grands et les petits nombres :

Un nombre en notations scientifique s’écrit sous la forme d’un produit du type : a . 10 n dans lequel a est un nombre décimal

tel que 1 ≤ a < 10 et n est un entier.

Exemple : l’écriture scientifique de 2930,6 est 2,9306 . 10³.


6.!Exercices complémentaires

1)! Calcule après avoir rendu les exposants positifs.

=− 2)7( =−35 =− −5)3( =25 =−25 =− 25

=−243 =−

−

2

3

52 =−

−

1

2

25

=−2

3

55 =

−

2

5

22 =3

4

22

2)! Réduis les expressions suivantes en n’utilisant que des exposants positifs.

=−52 .aa =−

−

2

3

45aa =−5)2( a

=−27 .aa =−32 )(a =−− 23 )5( a

=2

7

aa =−− 42 )(d =− −− 41)2( ab

=−

−

3

5

aa =−− 24 )(a =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−3

ba

=−

−

3

3

aa =−2)(ab =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 32

ab

=32 .xx =− 44 .bb =23 3.2 bb =−− 32 .xx =−− 44 .bb =−− )3.(2 23 bb =−25 .aa =− − ).( 44 bb =−− 213 )5( ba =− −25 .aa =xx 3.2 =− −− 32 )5( a

=44 .bb =− )2.(3 xx =−4

53bab

=−− 3254 . baba =− − cbaabc

21

3

32

=− −− 25 )2( a =− −− 123 )4( ba

=− 512

4

23

cbaabc =− −22 )3.()5( aa

=−− 232 )( ba =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

− 22

.ab

ba

=−− 133 )( ba =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

− 2

2

1

3bba


3)! Ecris les expressions suivantes sous forme d’un produit de puissances de nombres premiers.

=125.52 =−1643 =12.16 =−32.32 =32 5.10 =− 32.2 7

=2732 =2

3

315 =

12133.552

4)! Réduis les fractions suivantes en n’utilisant que des exposants positifs dans les réponses finales. Attention, dans un exercice, plusieurs propriétés des puissances sont à appliquer.

=2

−−

)()(54

243

baba =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

−−

− 2

425

532

1 cbcba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

− 3

432

32

2 yxyx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

−−

− 2

321

332

32

cbba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

− 2

334

135

cabcba =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−− 2

4

353

4

5 3.abc

cba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−− 3

52

412

54

23

32.

23

yxz

zyyx =

−−−

−−

−−−−−

325

2374352

)3()2].()3[(

bababa

=−−

−−

−−

232

524

)2()3(

bacba =−

−−−

−−−−

331233

3123231

).()2()2.()3(

yxyxyxxy

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − −−−− 23134 )2.(23 baba =−−−−−−

−−−−−−

3213131

3222123

).()3()3.()5(

yxyxyxyx

5)! Ecris les expressions suivantes en utilisant le produit d’un entier (le plus petit possible) par une puissance de 10. Ecris aussi la réponse en utilisant la notation scientifique.

=032000,0 ( ) =24000,0 =00010.2,3 =3002,0 ( ) =− 4300 =000400.4,2 =0001012 ( ) =− 502,0 =0005.000102

=300.12000,0 =02,0.003,0 =− 2007,0 =451.001000,0 =6000,0.000700 ( ) ( ) =− 23 003,0.2,0 =5000,0.002,0 =150.8000,0 ( ) ( ) =− 34 4,0.001,0

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