Chapitre 1 : Le consommateur

pierre granier

Décembre 2009Ces notes de cours sont destinées à vous aider dans vos

révisions.Elles ne peuvent remplacer le cours. Les graphiques n�ont pas

été reproduits, la rédaction est très approximative, laponctuation pour ainsi dire inexistante. La dernière soussection sur le surplus du consommateur est absente. De trèsnombreuses fautes et coquilles subsistent ce dont vous voudrezbien me pardonner. En dépit de ces lacunes, j�espère que ces

notes vous seront utiles.

Le consommateur, qui peut être un individu ou un ménage, est un per-sonnage central dans l�analyse microéconomique, et très souvent les manuelsde microéconomie débutent par la théorie du consommateur. La questiondu comportement du consommateur peut de fait être présentée de manièresimple et intuitive. Il s�agit de déterminer quels achats ou plus générale-ment quels échanges va désirer réaliser un consommateur étant donnéesses préférences, ses possibilités budgétaires et événtuellement d�autres con-traintes comme celle de ne pouvoir échanger un bien dont on ne dispose pas.Ce problème fait donc apparaître deux éléments essentiels: les préférences

d�une part, la contrainte budgétaire et donc le prix des biens d�autre part.L�analyse du comportement du consommateur permet en particulier de

préciser quel est l�impact d�une modi�cation du prix d�un bien sur la demandedu consommateur pour chaque bien suivant ses préférences.

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1 Les préférences du consommateur

La base de la théorie du consommateur se situe dans l�expression de sespréférences sous la forme d�une simple classi�cation. L�application du principede rationalité revient à admettre que le consommateur est capable d�envisagertoutes les alternatives qui s�o¤rent à lui, de les comparer 2 à 2, de faire étatd�une préférence faible pour l�une d�entre elles et de choisir, parmi l�ensembledes alternatives accessibles compte tenu des di¤érentes contraintes, celle qu�ilpréfère au total.Les alternatives en question peuvent être de natures très diverses. Il

est commode et usuel de considérer qu�il s�agit de paniers de consommationcomprenant une certaine quantité de di¤érents biens.Une alternative A (le panier de consommation A) est donc formellement

décrit par un vecteur A(xa1; xa2; :::::; x

an)

où xai est la quantité de bien i que comprend le panier aLe consommateur est supposé capable de classer tous les paniers de con-

sommation 2 à 2 à partir d�une relation binaire exprimant une préférencefaible et notée < Si A < B cela signi�e qu�entre le panier A et le panierB, leconsommateur est indi¤érent ou préfère le panier ALes préférences du consommateur sont supposées véri�er certaines hy-

pothèses fondamentales quali�ées parfois d�axiomes de la théorie du consom-mateur

1.1 L�axiomatique des préférences

Le premier axiome soutient que la relation de préférence est complète. Autrementdit, le consommateur est toujours capable de classer 2 alternatives à l�aidede cette relation. Les alternatives en question pouvant être très di¤érentescela n�est pas aussi évident que cela en a l�air. On admettra néammoins quec�est e¤ectivement le cas. Formellement cela revient à admettre:8A;B soit A < B soit B < A soit A < B et B < A qui se lit A � B

c�est à dire que le panier de consommation A est indi¤érent au panier deconsommation B pour le consommateur.Le second axiome indique que la relation de préférence est ré�exive ce qui

signi�e que le consomateur préfère faiblement un panier de consommationà un autre panier strictement identique. Plus simplement cet axiome stip-ule que le consommateur est indi¤érent entre 2 paniers de consommationsidentiques ce que l�on peut admettre aisément. Formellement A < A

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Le dernier axiome impose la transitivité des préférences. Il s�agit cer-tainement de l�axiome le plus fragile des trois. Cet axiome stipule donc quesi un consommateur préfère faiblement une alternative à une autre et qu�ilpréfère également faiblement cette autre alternative à une troisième, alors ilpréfère faiblement la première à la dernière.Cette hypothèse est loin d�être incontournable du point de vue de la

logique pure. Elle est toutefois indispensable pour que le consommateur soitapte à opérer des choix rationnels dès lors qu�il est confronté à plus de 2alternatives car aucune ne serait alors préférée faiblement aux autres.

1.2 Les courbes d�indi¤érence.

Dans le cas simple où les paniers de consommation ne comprennent quedeux biens, il est possible de représenter graphiquement les préférences duconsommateur par des courbes appelées courbes d�indi¤érence.Soit le panier A(xa1; x

a2) qui correspond donc au point de coordonnées

xa1; xa2 dans le repère x1; x2:Une courbe d�indi¤érence est l�ensemble des paniers

J(xj1; xj2) qui sont indi¤érents au panier A et donc tel que A � J:

Une courbe d�indi¤érence représente donc l�ensemble des paniers de con-sommation qui sont jugés équivalents par le consommateur.Les axiomes précédents ne nous disent pas grand chose sur ces courbes

d�indi¤érence. Le seul enseignement qu�ils apportent est que par tout pointdu plan de coordonnées x1; x2 passe une seule courbe d�indi¤érence. Pour lemontrer, supposons que ce ne soit pas le cas et que le panier A se situe sur2 courbes d�indi¤érence qui se coupent donc au point.(xa1; x

a2) Soit B et C

deux paniers de consommation situés sur les courbes d�indi¤érence passantpar le point de coordonnées.xa1; x

a2 (Pas la même).

Le panier A étant à l�intersection des deux courbes d�indi¤érence on a :A < B et C < A ainsi que B < A et A < C La transitivité de la realtion depréférence faible implique C < B et B < C soit: B � C:En d�autres termes, B et C sont sur la même courbe d�indi¤érence et il

ne passe donc qu�une seule courbe d�indi¤érence par le point (xa1; xa2):

Cette propriété importante des courbes d�indi¤érence est la seule quise déduit directement des 3 axiomes précédents Pour obtenir d�autres pro-priétés, il est nécessaire de faire des hypothèses additionnelles concernant lespréférences.

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1.2.1 Monotonicité et convexité des préférences : les preférencesnormales

Il semble raisonnable de supposer que si un panier de consommation com-prend, par rapport à un autre, une quantité plus importante d�au moins unbien et pas moins d�un autre bien, ce panier est strictement préféré à l�autre.Autrement dit, tout les biens sont désirables et un consommateur préfère tou-jours consommer davantage.d�un même bien à consommation non inférieuredes autres biens Cette hypothèse usuelle est connue sous le nom d�hypothèsede monotonicité des préférences ou encore hypothèse de non saturation desbesoins. Formellement cette hypothèse s�écrit: Soit A(xa1; x

a2) et B(x

b1; x

b2)

deux paniers de consommation. Si xa1 > xb1 et xa2 � xb2 ou si x

a1 � xb1 et

xa2 > xb2 alors A � B qui se lit : le panier A est strictement préféré au panier

B.Cette hypothèse a d�importantes conséquences sur la forme des courbes

d�indi¤érence et sur les relations liant deux paniers de consomation situés surdes courbes d�indi¤érence distinctes. Cette hypothèse implique tout d�abordque si A � B et si xa1 > xb1 alors xb2 > xa2 Autrement dit, si deux paniers sontsitués sur une même courbe d�indi¤érence et qu�un panier comporte davan-tage d�un bien alors la quantité de l�autre bien est plus importante dans lesecond panier. Il en résulte que les courbes d�indi¤érence sont décroissantes.Cette hypothèse implique également qu�un panier de consommation situésur une courbe d�indi¤érence plus élevée qu�un autre panier est strictementpréféré à ce dernier.L�hypothèse de non saturation des besoins assure donc que l�ensemble

des paniers de consommation faiblement préférés à un panier donné com-prend tous les paniers situés sur la même courbe d�indi¤érence et ceux situésau dessus de cette courbe. De ce point de vue une courbe d�indi¤érencereprésente la frontière de l�ensemble des paniers faiblement préférés à unpanier donné.

La théorie du consommateur fait souvent appel à une autre hypothèse plusrestrictive qui joue toutefois comme nous le verrons plus loin un rôle fonda-mental : l�hypothèse de convexité des préférences. Très schématiquement,cette hypothèse traduit le fait que les consommateurs apprécient la diversitéet qu�ils préfèrent les paniers de consommation mélangeant plusieurs biensaux paniers de consommation très extrèmes comprenant une quantité trèsimportante d�un bien et une quantité faible des autres biens.

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Deux formes de convexité doivent être distinguées : la convexité et lastricte convexité.Des préférences sont dites convexes si 8A;B véri�ant A < B et 8� 2 [0; 1]

�A+ (1� �)B < BAutrement dit des préférences sont convexes si toute combinaison convexe

de deux paniers de consommation est faiblement préférée au moins désirabledes deux paniers.(Rappel: une combinaison convexe est une combinaison linéaire à coe¢ -

cient positif ou nul dont la somme des coe¢ cients est égale à 1)Il est facile de voir que l�hypothèse de convexité des préférences implique

que l�ensemble des paniers faiblement préférés à un panier donné est unensemble convexe.(Rappel : un ensemble est un ensemble convexe si toute combinaison

convexe de deux éléments de l�ensemble appartient à l�ensemble)Soit J(B) l�ensemble des paniers faiblement préférés à B. Soit A et C

deux paniers appartenant à cet ensemble et véri�ant donc : A < B et C < BLa convexité des préférences implique �A + (1 � �)C < A ou C et donc

�A+ (1� �)C < B:Toute combinaison convexe de deux éléments de l�ensemble J(B) appar-

tient donc à cet ensemble.

Des préférences sont dites strictement convexes si : 8A 6= B véri�antA < B et 8� 2 ]0; 1[�A+ (1� �)B � BAutrement dit, des préférences sont strictement convexes si toute combi-

naison convexe à coe¢ cients non nul de deux paniers distincts est strictementpréférée au moins désirable des deux paniers.Il est facile de voir que l�hypothèse de stricte convexité des préférences

implique que toute combinaison convexe de deux éléments de l�ensemble despaniers faiblement préféré à un panier donné appartient à l�ensemble despaniers qui lui sont strictement préférés.SoitJ(B) cet ensemble et soit A etC deux éléments de J(B) avec A 6= C. La stricte convexité des préférencesimplique �A+ (1� �)C � A ou CComme A < B et C < B il en résulte �A + (1 � �)C � B Soit encore

�A+ (1� �)C 2 J(B)

Les hypothèses de convexité et de stricte convéxité des préférences ontd�importantes conséquences sur la forme des courbes d�indi¤érence. Consid-

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érons deux paniers A et C situés sur la même courbe d�indi¤érence que B.Graphiquement toutes les combinaisons convexes de A et C sont situées surle segment de droite [A;C]:La convexité des préférences implique qu�aucunpoint de ce segment ne se trouve sous la courbe d�indi¤érence. Cette dernièrepeut donc être une droite. La stricte convexité des préférences implique quetout le segment de droite se situe au dessus de la courbe d�indi¤érence passantpar A et C. Les courbes d�indi¤érence sont alors nécessairement convexespar rapport à l�origine.Lorsque les préférences sont convexes mais non strictement convexes, les

courbes d�indi¤érences comportent une partie droite.Lorsque les préférences véri�ent l�hypothèse de monotonicité et de stricte

convexité elles sont quali�ées de préférences normales. Des préférences nor-males peuvent donc être représentées par des courbes d�indi¤érence décrois-santes et convexes.

2 L�utilité

La notion d�utilité est très fréquemment utilisée en économie bien qu�il nes�agisse pour l�essentiel que d�une manière pratique de représenter les préférences.Son principal intérêt est de permettre l�usage d�outils mathématiques simples.Deux signi�cations très distinctes peuvent être attribuées à l�utilité. Selon

une première conception "minimaliste", l�utilité ne sert qu�à représenter l�ordredans lequel le consommateur classe les di¤érentes alternatives en fonction deses préférences. L�utilité asociée à l�ensemble des alternatives ne doit doncpermettre que de dé�nir leur classement dans l�ordre des préférences. Leniveau d�utilité n�a en soit aucune signi�cation. On parle alors et pour cetteraison d�utilité ordinale.Selon la seconde conception, l�utilité doit permettre de dire si une alter-

native est préférée à une autre et combien de fois elle est préférée. Le niveaud�utilité a donc une signi�cation précise et on parle alors d�utilité cardinale.Cette conception assez discutable de l�utilité n�est pas utile tant que l�on

s�intéresse au comportement d�un consommateur évoluant dans un universcertain et nous nous en tiendrons donc à une conceprion ordinale de l�utilité.

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2.1 La fonction d�utilité

La fonction d�utilité associe à chaque panier de biens une valeur réelle desorte que si un panier est préféré à un autre, l�utilité associée au premier estsupérieure à celle associée au second.Suivant la conception ordinale de l�utilité, seul importe que le rapport

des utilités soit supérieur ou inférieur à 1. Il en résulte qu�une in�nité defonctions d�utilité peuvent représenter les mêmes préférences.Soit U(x1; x2) la fonction d�utilité. A(xa1; x

a2) � B(xb1; xb2) , U(xa1; x

a2) �

U(xb1; xb2):

Comme toute transformation monotone croissante de la fonction d�utilitémodi�e les niveaux d�utilité sans modi�er le signe de la di¤érence de cesniveaux, toute modi�cation monotone croissante d�une fonction d�utilité représenteexactement les mêmes préférences.Par exemple, la fonction d�utilité V � HU(x1; x2) + c avec H > 0

représente les mêmes préférences que la fonction U(x1; x2):

Graphiquement, la fonction d�utilité permet d�attribuer une valeur à unecourbe d�indi¤érence. Par dé�nition, une courbe d�indi¤érence va représenterl�ensemble des couples (x1; x2) auxquels est associé le même niveau d�utilité.Il en résulte que les courbes d�indi¤érence sont dé�nies par l�équation U(x1; x2) =k où k est une constante.

2.1.1 Les préférences et les propriétés de la fonction d�utilité

Dans la mesure ou la fonction d�utilité ne constitue qu�une représentation despréférences, les hypothèses faites concernant les préférences vont se traduirepar des propriétés devant être véri�ées par la fonction d�utilité. Nous com-mençons par étudier quelques fonctions d�utilités particulières et présentonsensuite les propriétés d�une fonction d�utilité représentative de préférencesnormales.

Considérons la fonction d�utilité U(x1; x2) = x1 + x2. Il est clair que lespréférences représentées par cette fonction d�utilité véri�ent l�hypothèse denon saturation des besoins. En e¤et, considérons deux paniers de consom-mation (xa1; x

a2) et (x

b1; x

b2)

xa1 > xb1 et x

a2 � xb2 ou xa1 � xb1 et xa2 > xb2 ) xa1 + x

a2 > x

b1 + x

b2

, U(xa1; xa2) � U(xb1; xb2), A � B

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Par ailleurs, L�utilité associée à une combinaison convexe de ces deuxpaniers est : �xa1+(1� �)xb1+ �xa2+(1� �)xb2 = �(xa1+xa2)+ (1� �)(xb1+xb2):Si les deux paniers considérés sont indi¤érents (xa1 + x

a2) = (x

b1+ x

b2) d�où

il résulte :�(xa1 + xa2) + (1� �)(xb1 + xb2) = (xa1 + xa2) = (xb1 + xb2)

Une combinaison convexe de 2 paniers n�est donc pas strictement préféréeau moins désirable d�entre eux ce qui signi�e que les préférences représentéespar cette fonction d�utilité ne sont pas strictement convexes. Elles sont parcontre simplement convexes.

La forme des courbes d�indi¤érence se déduit immédiatement de l�équationqui les dé�nie : U(x1; x2) = k , x1 + x2 = k, x2 = k � x1 Les courbes d�indi¤érence sont donc des droites de coe¢ -

cient directeur -1 Les courbes d�indi¤érence sont décroissantes car l�hypothèsede monotonicité des préférences est satisfaite, mais elle ne sont pas convexescar l�hypothèse de stricte convexité des préférences n�est pas satisfaite.

Cette propriété des courbes d�indi¤érence est bien entendu véri�ée pourdes fonctions d�utilité plus générales de la forme U(x1; x2) = ax1 + bx2 aveca; b > 0: L�équation d�une courbe d�indi¤érence devient U(x1; x2) = ax1 +bx2 = k Soit : x2 = k

b� ax1

b

Les courbes d�indi¤érence sont donc des droites de coe¢ cient directeurégal à �a

b

Lorsque les courbes d�indi¤érence représentatives des préférences sont desdroites, les biens sont dits substituts parfaits. Il est important de noter quecela ne relève pas d�une caractéristique des biens mais des préférences. Deuxbiens peuvent être substituts parfaits pour un consommateur mais pas pourun autre.Pour bien comprendre le sens de cette notion de parfaite subtituabil-

ité, il est utile de s�attarder sur la signi�cation économique du coe¢ cientdirecteur (en valeur absolue) des "droites" d�indi¤érence. Ce coe¢ cient di-recteur représente le taux d�échange entre les deux biens qui laisse le consom-mateur indi¤érent. En d�autres termes, il représente la quantité maximalede bien 2 que le consommateur est prêt à échanger contre une unité de bien1. Ce taux d�échange est appelé taux marginal de subsitution.Lorsque des biens sont des substituts parfaits, le taux marginal de substi-

tution est donc constant. Il ne dépend pas des quantités consommées. Que leconsommateur dispose d�une grande quantité de bien 2 et d�une petite quan-tité de bien 1 ou inversement d�une grande quantité de bien 1 et d�une petite

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de bien 2, il sera toujours prêt à échanger au maximum la même quantité debien 2 contre une unité de bien 1.

Considérons maintenant la fonction d�utilité suivante: U(x1; x2) =Min fx1; x2g :Ilen résulte :8x1 � x2; U(x1; x2) = x28x2 � x1; U(x1; x2) = x1Les péférences représentées par cette fonction d�utilité ne véri�ent donc

pas l�hypothèse de monotonicité des préférences.En e¤et, 8x01 > x1; x1 �x2 ) U(x01; x2) = U(x1; x2) = x2 d�où il résulte par dé�nition de la fonctiond�utilité (x01; x2) � (x1; x2)

L�équation des courbes d�indi¤érence représentatives des préférences de-vient :Min fx1; x2g = k Les courbes d�indi¤érence sont donc constituées dedeux demi droites parallèles aux axes des abscisses et des ordonnées qui ontun point d�origine commun sur la première bisectrice.De manière plus générale, si la fonction d�utilité représentative des préférences

est de la forme U(x1; x2) =Min fax1; bx2gavec a; b > 0;les coubes d�indi¤érencesont constituées de deux demi droites parallèles aux axes qui ont pour orig-ine un point de la droite partant de l�origine et de coe¢ cient directeur a

b

On dit alors que les biens sont des compléments parfaits. Là encore ce n�estpas une caractéristique des biens mais une caractéristique des préférences duconsommateur. Des biens sont des compléments parfaits si le consommateursouhaite les consommer ensemble dans une certaine proportion et s�ils neprocurent aucune satisfaction autrement. Par exemple, si Simon n�aime lesucre que pour boire avec son café, le café et le sucre seront des complémentsparfaits pour Simon. Si Louise boit son café sans sucre mais qu�elle sucreses fraises, le café et le sucre ne seront pas des compléments parfaits pourLouise.Il va de soi que si les consommateurs ont les mêmes préférences, on pourra

alors considérer que les biens sont, ou non, par nature compléménts parfaits.(Si tous les consommateurs boivent leur café sucré et ne tirent aucune sat-isfaction de toute autre utilisation du sucre et du café, le café et le sucrepeuvent être considérés par nature compléments parfaits).On observe que dans le cas de biens compléments parfaits, le taux d�échange

qui laisse le consommateur indi¤érent n�est pas précisement dé�ni.ou plusexactement qu�une multitude de taux d�échange laisse le consommateur in-di¤érent En d�autres termes lorsque des biens sont des compléments parfaits,

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le taux marginal de subsitution n�est pas "précisemment "dé�ni.Considérons le cas le plus simple U(x1; x2) =Min fx1; x2gAdmettons que x2 = x1 + c avec c > 0 on a alors Min fx1; x2g = x1 =

Min fx1; x2 � cgIl en résulte que le consommateur sera indi¤érent s�il échange n�importe

quelle quantité inférieure ou égale à c+ 1 de bien 2 contre une unité de bien1 Il existe donc une multitude de taux d�échange qui laisse le consommateurindi¤érent. Dit autrement, la quantité maximale de bien 2 que le consomma-teur est disposé à échanger contre une unité de bien 1 est égale à la di¤érencex2�(x1+1) si cette di¤érence est positive, tout taux d�échange inférieur laissele consommateur indi¤érent.

Considérons maintenant la fonction d�utilité suivante :U(x1; x2) = x�1x�2

Les courbes d�indi¤érence sont donc d�équation :x�1x�2 = k

On déduit de cette équation x2 en fonction de x1 et de k. Soit : x2 =

x2(x1; k) = k1� x

���

1

Il en résulte que la pente de la tangente en un point de la courbe d�indi¤érencecorrespondant à un niveau d�utilité k est simplement égale à la dérivée (par-

tielle) de la fonction x2(x1; k) par rapport à x1, soit:@x2(x1;k)@x1

= ���k1� x

�(��+1)

1 <0Les courbes d�indi¤érence (qui ne se coupent pas) sont donc partout

décroissantes. Les préférences représentées par cette fonction d�utilité véri-�ent donc l�hypothèse de monotonicité des préférences.Pour savoir si les courbes d�indi¤érence sont convexes, il su¢ t de redériver

la fonction x2(x1; k) toujours par rapport à x1@2x2(x1;k)

@x21= �

�(��+ 1)k

1� x

�(��+2)

1 > 0

Cette dérivée étant positive en tout point, les courbes d�indi¤érence sontdonc convexes. On en déduit que les préférences représentées par cette fonc-tion d�utilité sont strictement convexes. L�hypothèse de monotonicité etcelle de stricte convexité étant satisfaites, cette fonction d�utilité est doncreprésentative de préférences normales. Il existe de nombreuses fonctionsd�utilité (qui ne sont pas de simples transformations monotones croissantes)représentatives de préférences normales. Celle ci est une forme particulièreconnue sous le nom de fonction Cobb-Douglas qui présente d�autres propriétésimportantes sur lesquelles nous aurons l�occasion de revenir.

L�hypothèse de préférences normales est une hypothèse usuelle qui a

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d�importantes conséquences sur les choix du consommateur. Il est donc im-portant d�examiner quelles propriétés doit satisfaire une fonction d�utilitéreprésentative de préférences normales.Comme des préférences normales véri�ent l�hypothèse de monotonicité,

l�utilité doit augmenter si la quantité d�un bien augmente, celle de l�autredemeurant inchangée. En d�autres termes la fonction d�utilité doit être crois-sante par rapport à chacun de ses arguments ce qui signi�e que ses dérivéespartielles premières doivent être positives. Soit :U 0xi(x1; x2) > 08i = (1; 2)Ces dérivées partielles ont un sens économique. Elles correspondent à

l�utilité marginale du bien considéré qui correspond au supplément d�utilitéprocuré par la consommation d�une unité supplémentaire de ce bien. Lavaleur de l�utilité marginale n�a par contre aucun sens économique car elledépend de la mesure arbitraire de l�utilité. Il faut en e¤et se souvenir quetoute transformation monotone croissante d�une fonction d�utilité, qui mod-i�era donc les utilités marginales, est représentative des mêmes préférences.Si la valeur de l�utilité marginale n�a pas de sens économique, ce n�est pas

le cas du rapport des utilités marginales. Ce rapport correspond en e¤et aucoe¢ cient directeur de la tangente en un point d�une courbe d�indi¤érence etdonc au taux marginal de substitution en ce point. Rappelons nous en e¤etque l�équation d�une courbe d�indi¤érence est U(x1; x2) = k En di¤érenciant

on obtient: U 0x1(x1; x2)dx1 + U0x2(x1; x2)dx2 = 0 ) dx2

dx1= �U 0x1 (x1;x2)

U 0x2 (x1;x2)Le

rapport des utilités marginales est donc égal au taux d�échange qui laisse leconsommateur indi¤érent c�est à dire au taux marginal de substitution. Sil�utilité marginale du bien 1 est trois fois supérieure à celle du bien 2 alorsle consommateur est indi¤érent s�il échange trois unités de bien 2 contreune unité de bien 1. Son niveau d�utilité est en e¤et inchangé. Comme lerapport des utilités marginales dépend, sauf cas particulier, des quantités dechaque bien, le taux marginal de substitution varie à priori en fonction desquantités de chaque bien. Dans le cas particulier d�une fonction d�utilitéU(x1; x2) = ax1+ bx2 on a :

U 0x1 (x1;x2)

U 0x2 (x1;x2)= a

b. On retrouve bien le taux marginal

de subsitution que l�on a calculé et qui ne dépend pas des quantités de chaquebien. Les préférences représentées par cette fonction d�utilité ne sont toutefoispas strictement convexes et donc ne sont pas normales.Pour être représentative de préférences normales donc strictement con-

vexes, la fonction d�utilité doit véri�er certaines propriétés de concavité. Plusprécisement la fonction d�utilité doit être au moins strictement quasi concave.L�encadré suivant précise ce point. (Ce point sera abordé dans le cours de

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mathématique de manière plus approfondie et peut donc être laissé de côté).

Dé�nition 1 : Soit U() une fonction dé�nie sur un sous ensemble S deRn à valeur dans R: Soit A = (xa1; xa2; :::::::xan) et B = (xb1; x

b2; :::::::x

bn) deux

éléments de l�ensemble S avecA 6= B: La fonction U() est strictement concavesi 8� 2 ]0; 1[U(�A+ (1� �)B) > �U(A) + (1� �)U(B)

Dé�nition 2 : Soit U() une fonction dé�nie sur un sous ensemble S deRn à valeur dans R: Soit A = (xa1; xa2; :::::::xan) et B = (xb1; x

b2; :::::::x

bn) deux

éléments de l�ensemble S avec A 6= B: La fonction U() est strictement quasiconcave si 8� 2 ]0; 1[U(�A+ (1� �)B) > Min fU(A);U(B)g

Dans le cas de deux biens (n = 2);ces dé�nitions impliquent:U(�xa1 + (1� �)xb1; �xa2 + (1� �)xb2) > �U(xa1; xa2) + (1� �)U(xb1; xb2) pour

la stricte concavitéU(�xa1 + (1� �)xb1; �xa2 + (1� �)xb2) > Min

�U(xa1; x

a2);U(x

b1; x

b2)pour la

stricte quasi concavité.

Si U() est une fonction d�utilité, La stricte concavité stipule donc quel�utilité associée à une combinaison convexe des paniers de consommation estsupérieure à une combinaison convexe des utilités de chaque panier de con-sommation, et la stricte quasi concavité stipule simplement que l�utilité asso-ciée à une combinaison convexe des paniers de consommation est supérieureau minimum des utilités de chaque panier.

Il est facile de voir que la stricte convexité des préférences implique lastricte quasi concavité de la fonction d�utilité et inversement.Si U() est une fonction d�utilité, Min fU(A);U(B)g = U(B) , A � B

La stricte quasi concavité de la fonction d�utilité implique alors U(�A +(1 � �)B) > U(B) , �A + (1 � �)B � B Une combinaison convexe despaniers de consommation est donc strictement préférée au moins désirabledes deux paniers ce qui correspond à la dé�nition de la stricte convexité despréférences. Des préférences représentées par une fonction d�utilité stricte-ment quasi concave sont donc strictement convexes et inversement.

Il est également facile de voir que toute fonction strictement concave estégalement stictement quasi concave. En e¤et, 8� 2 ]0; 1[ �U(A) + (1 �

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�)U(B) > Min fU(A);U(B)g :Il en résulte :U(�A + (1 � �)B) > �U(A) +(1� �)U(B)) U(�A + (1� �)B) > Min fU(A);U(B)g Si une fonction eststrictement concave, elle est aussi strictement quasi concave. L�inverse n�estbien entendu pas vrai.

3 Les choix du consommateur

Les propriétés des préférences du consommateur étant à présent dé�nies, il estpossible d�étudier comment le consommateur opére ses choix. Conformémentau principe de rationalité, le consommateur choisit l�alternative (le panier deconsommation) qu�il préfère parmi celles (ceux) qui lui sont accessibles.Il est clair que si les préférences véri�ent l�hypothèse de monotonicité, le

panier préféré par le consommateur est celui constitué par une in�nité dechaque bien. Ce panier n�est clairement pas accessible au consommateur. Ilconvient donc avant tout de déterminer quel est l�ensemble des paniers deconsommation possible pour le consommateur. Cet ensemble est déterminépar la contrainte budgétaire et d�autres contraintes comme celle de non néga-tivité des consommations ou d�un niveau minimal de consommation de l�undes biens.

3.1 La contrainte budgétaire

Admettons pour commencer que le consommateur dispose d�un revenu R Leconsommateur peut acquerir tous les paniers de consommation dont le coûttotal est inférieur ou égal à ce revenu. En notant respectivement P1et P2 lesprix des biens 1 et 2, la contrainte budgétaire s�écrit donc: P1x1 + P2x2 � RL�ensemble budgéraire est l�ensemble des couples (x1; x2) qui satisfont

cette inégalité. Graphiquement, cet ensemble budgétaire se situe sur et sousla droite de budget dé�nie par l�équation P1x1 + P2x2 = R Cette droitereprésente donc la frontière de l�ensemble budgétaire.

Le coe¢ cient directeur de la droite de budget est -P1P2et est donc égal, en

valeur absolue, au prix relatif du bien 1, c�est à dire au prix du bien 1 enunité de bien 2. Ce prix relatif correspond au taux auquel le consommateurpeut échanger du bien 2 contre du bien 1.Une augmentation du revenu se traduit graphiquement par un déplace-

ment parallèle vers le haut et la droite de la droite de budget.

13

Une augmentation du prix du bien 1 se traduit par un pivotement de ladroite vers le bas à partir du point x1 = 0; x2 = R

p2, et une augmentation du

prix du bien 2 par un pivotement vers le bas de cette droite mais à partircette fois du point x2 = 0; x1 = R

p1

Supposer que le consommateur dispose initialement d�un revenu qu�il doita¤ecter à l�achat de di¤érents biens n�est absolument pas nécessaire. On peuttout aussi bien supposer que le consommateur dispose initialement d�une cer-taine quantité d�un bien ou des deux biens que l�on appelle dotation initiale.La valeur de cette dotation initiale correspond alors à un revenu potentiel,celui dont disposerait le consommateur s�il vendait l�intégralité de sa dota-tion.Soit (d1; d2) cette dotation initiale, la contrainte budgétaire devient: P1x1+

P2x2 � P1d1 + P2d2 , P1(x1 � d1) � P2(d2 � x2)Cette inégalité indique simplement que la valeur des achats de bien 1 doit

être inférieure ou égale à la valeur des ventes de bien 2.

3.2 Le choix optimal : analyse graphique

Maintenant que nous connaissons à la fois la contrainte budgétaire et lespréférences nous pouvons étudier le choix du consommateur. La rationalitédu consommateur implique que ce dernier va choisir parmi les paniers appar-tenant à son ensemble budgétaire celui qui se situe sur la courbe d�indi¤érencela plus élevée.

3.2.1 Le choix avec des préférences normales

Si les préférences sont normales, les courbes d�indi¤érence sont décroissanteset convexes. Si les courbes d�indi¤érences ne coupent pas les axes, il estclair que le panier de consommation appartenant à l�ensemble budgétaire etsitué sur la courbe d�indi¤érence la plus élevée est le panier situé au point detangence entre la droite de budget et une courbe d�indi¤érence. Cela signi�eque le panier de consommation optimal se situe sur la droite de budget etque le taux marginal de substitution est égal au rapport des prix.Le fait que le consommateur dépense l�intégralité de son revenu s�explique

facilement.par la monotonicité des préférences. Comme le consommateur

14

préfère toujours consommer davantage, il n�a jamais intérêt à ne pas consacrerla totalité de son revenu à l�achat de biens de consommation.L�égalité du taux marginal de substitution et du rapport des prix s�explique

également aisément. Le TMS représente le taux d�échange qui laisse le con-sommateur indi¤érent. C�est donc aussi la quantité maximale de bien 2 quele consommateur est prêt à échanger contre une unité de bien 1. Le rap-port des prix est le taux auquel le consommateur peut echanger du bien 2contre du bien 1.Si le TMS est supérieur au rapport des prix cela impliquedonc que le consommateur est disposé à échanger plus de bien 2 contre uneunité de bien 1 que ce qu�il doit e¤ectivement échanger. Il a donc intérêtà procéder à l�échange. Inversement si le TMS est inférieur au rapport desprix, le consommateur est disposer à échanger plus de bien 1 contre une unitéde bien 2 que ce qu�il doit échanger. Il a là encore intérêt à échanger du bien1 contre du bien 2. Le consommateur n�a donc aucun intérêt à procéder àun échange et donc à modi�er son panier de consommation que si le TMSest égal au rapport des prix. Si cette condition n�est pas satisfaite, le panierde consommation ne peut correspondre au choix optimal du consommateurcar on vient de voir qu�il aurait alors intérêt à procéder à un échange.

Le raisonnement précédent fait abstraction des contraintes de non néga-tivité des consommations. Implicitement nous avons supposé que l�égalité duTMS et du rapport des prix était réalisée pour des consommations positivesde chaque bien. En raison de la stricte convexité des préférences, cela supposeque les inégalités suivantes sont satisfaites :

U 0x1(0;RP2)

U 0x2(0;RP2)>

P1P2

U 0x1(RP1; 0)

U 0x2(RP1; 0)

<P1P2

Si ces conditions sont satisfaites, le choix optimal dé�nit par l�égalitédu TMS et du rapport des prix correspond à des niveaux de consommationstrictement positifs pour chaque bien. Les contraintes de non négativité desconsommations ne sont donc pas e¤ectives (serrées), et l�on quali�e ce choixoptimal de "solution intérieure".Inversement si l�une de ces inégalités n�est pas satisfaite, l�égalité du TMS

et du rapport des prix est réalisée pour un niveau de consommation négatif

15

de l�un des biens. La contrainte de non négativité des consommations devientdonc e¤ective et le choix optimal consiste alors pour l�individu à consacrerl�intégralité de son revenu à la consommation d�un seul bien. Ce choix cor-respond pour cette raison à une "solution contrainte"

L�intuition économique est particulièrement simple : siU 0x1 (0;

RP2)

U 0x2 (0;RP2)< P1

P2cela

signi�e que lorsque le consommateur ne consomme que du bien 2, la quantitéde bien 1 qu�il est prêt à échanger pour une unité de bien 2 est supérieure àla quantité qu�il doit e¤ectivement échanger étant donné le rapport des prix.Le consommateur souhaiterait donc échanger du bien 1 contre du bien 2 maisil n�a pas de bien 1 à échanger.

Inversement, siU 0x1 (

RP1;0)

U 0x2 (RP1;0)> P1

P2; le consommateur qui ne consomme que du

bien 1 serait disposé à échanger contre une unité de bien 1 davantage de bien2 que ce qu�impose le rapport d�échange. Il souhaiterait donc échanger dubien 2 contre du bien 1 mais ne peut le faire.

Pour s�assurer que les contraintes de non négativité des consommationsne sont jamais e¤ectives, des hypothèses supplémentaires doivent être faitessur les préférences et donc sur les propriétés de la fonction d�utilité. Unehypothèse assez usuelle bien que souvent implicite est que l�utilité marginaled�un bien tend vers l�in�ni lorsque la quantité consommée de ce bien tendvers 0Formellement cela implique : U 0x2(

RP1; 0) 7! 1 et U 0x1(0;

RP2) 7! 1

Il en résulte :U 0x1 (0;

RP2)

U 0x2 (0;RP2)> P1

P2et

U 0x1 (RP1;0)

U 0x2 (RP1;0)< P1

P2ce qui assure que les con-

traintes de non négativités ne peuvent être serrées.Graphiquement, les hypothèses précédentes impliquent que les courbes

d�indi¤érence ne coupent pas les axes.D�autres contraintes que les contraintes de non négativité des consom-

mations peuvent restreindre les possiblités de choix des consommateurs. Ilest par exemple possible qu�un niveau minimal de consommation d�un biensoit requis. Dans ce cas, les hypothèses précédentes n�assurent pas que lechoix optimal corresponde à une solution intérieure caractérisée par l�égalitédu TMS et du rapport des prix.Supposons que le consommateur soit contraint de consommer au mini-

mum un niveau x1 de bien 1. Cette contrainte sera e¤ective si le TMS aupoint (x1; R�P1x1P2

) est inférieur au rapport des prix. Dans ce cas le consom-mateur souhaite échanger du bien 1 contre du bien 2 mais il est contraint

16

par son niveau de consommation minimal de bien 1

3.2.2 Le choix optimal avec des préférences non normales

Nous allons envisager 3 cas : Celui des biens subsituts parfaits, celui desbiens compléments parfaits, celui des préférences strictement concaves.Si les biens sont des substituts parfaits, les courbes d�indi¤érence sont des

droites dont le coe¢ cient directeur est égal au taux marginal de subsitutionqui est constant. Si ce coe¢ cient directeur est supérieur à celui de la droitede budget (si le TMS est supérieur au rapport des prix), alors l�élement del�ensemble budgétaire situé sur la plus haute "droite" d�indi¤érence corre-spond à une consommation nulle de bien 2. Autrement dit la contrainte denon négativité est e¤ective. L�intuition est simple : si le TMS est supérieurau rapport des prix alors le consommateur est disposé à échanger plus debien 2 contre une unité de bien 1 que ce qui lui est imposé par le marché.Il souhaite donc toujours procéder à cet échange et vient donc buter sur lacontrainte de non négativité. Si le TMS est inférieur au rapport des prix lechoix optimal du consommateur correspond à une demande de bien 1 nulle.

Si les biens sont des compléments parfaits, le choix optimal est obtenu aupoint d�intersection des deux demi-droites formant une courbe d�indi¤érenceet de la droite de budget. Ce point correspond bien à celui de l�ensemblebudgetaire situé sur la courbe d�indi¤érence la plus élevée.Si les préférences sont strictement concaves et représentées par des courbes

d�indi¤érence concaves, il est clair que le point de tangence entre une courbed�indi¤érence et la droite de budget ne correspond pas à l�élément de l�ensemblebudgétaire situé sur la courbe d�indi¤érence la plus élevée. Le choix optimalcorrespond de nouveau à l�une des deux solutions de coin.

3.3 Le choix optimal : Etude Analytique

Lorsque l�on représente les préférences par une fonction d�utilité, le problèmedu consommateur revient à choisir parmi l�ensemble des paniers de consom-mation possible celui associé au plus haut niveau d�utilité. Formellement ceproblème consiste donc simplement à maximiser la fonction d�utilité sous lesdi¤érentes contraintes qui s�imposent au consommateur. En première analyse,on peut considérer que ces contraintes se résument à la contrainte de budgetet aux contraintes de non négativité des consommations.

17

Le choix optimal est donc solution du problème d�optimisation suivant:

Maxx1;x2

U(x1; x2)

Sc : P1x1 + P2x2 � Rx1 � 0;x2 � 0

Le Lagrangien s�écrit:

L(x1; x2; R; P1; P2; �; �1;�2) = U(x1; x2) + � [R� P1x1 � P2x2] + �1x1 + �2x2

Les conditions de premier ordre ont pour expression :

@L()

@x1= U 0x1(x

�1; x

�2)� ��P1 + ��1 = 0

@L()

@x2= U 0x2(x

�1; x

�2)� ��P2 + ��2 = 0

�� [R� P1x�1 � P2x�2] = 0;��1x�1 = 0;�

�2x�2 = 0

Les multiplicateurs étant positifs ou nuls, et les productivités marginalesétant positives en raison de la monotonicité des préférences, les deux pre-mières équations ne peuvent être satisfaites pour �� = 0 Il en résulte [R� P1x�1 � P2x�2] =0Cela signi�e que la contrainte de budget sera toujours e¤ective. L�intuition

est évidente : comme le consommateur préfère toujours consommer davan-tage, il dépense toujours l�intégralité de son revenu. Ceci est un résultat etnon une hypothèse ou une contrainte.Une solution intérieure qui ne sature pas les contraintes de non négativité

des consommations véri�e ��1 = ��2 = 0

Il se déduit alors des deux premières conditions :

U 0x1(x�1; x

�2)

U 0x2(x�1; x

�2)=P1P2

(1)

alors que la contrainte budgétaire, toujours e¤ective, impose :

R = P1x�1 + P2x

�2 (2)

Le choix optimal correspondant à une solution intérieure est donné parce système de deux équations à deux inconnues. La première indique que le

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taux marginal de substitution est égal au rapport des prix et la seconde quel�intégralité du revenu est dépensé.On retrouve bien les résultats mis en évidence graphiquement : la seconde

équation indique que le choix optimal se situe sur la droite de budget et lapremière que le coe¢ cient directeur de la tangente à la courbe d�indi¤érencepassant en ce point est égal au coe¢ cient directeur de la droite de budget.La conterpartie graphique de ces deux équations est donc bien que le choixoptimal se situe au point de tangence entre la droite de budget et une courbed�indi¤érence.Ces deux équations ne dé�nissent le choix optimal que pour une solution

intérieure. Il n�est pas du tout évident que ces deux équations admettent unesolution satisfaisant les contraintes de non négativité.Pour s�en convaincre, admettons que les biens soient des substituts par-

faits. On sait que dans ce cas, le rapport des productivités marginales estconstant soit :

U 0x1 (x�1;x

�2)

U 0x2 (x�1;x

�2)= v Il est clair que si v 6= P1

P2l�équation (1) n�admet

aucune solution Pour déterminer le choix optimal dans ce cas, il est utile deposer U 0x1(x

�1; x

�2) = vU

0x2(x�1; x

�2):

Les deux premières conditions deviennent :

vU 0x2(x�1; x

�2) = ��P1 � ��1

U 0x2(x�1; x

�2) = ��P2 � ��2

Soit encore :

v =��P1 � ��1��P2 � ��2

Comme v 6= P1P2on ne peut avoir ��1 = �

�2 = 0 et comme R = P1x

�1 + P2x

�2

on ne peut avoir x�1 = x�2 = 0 , ��1; ��2 > 0 la solution véri�e donc soit

��1 > 0 et ��2 = 0 soit �

�2 > 0 et �

�1 = 0

Si v > P1P2on a ��P1���1

��P2���2> P1

P2, P2(�

�P1� ��1) > P1(��P2� ��2), P1��2 >

P2��1 ) ��2 > 0;�

�1 = 0

Le choix optimal correspond donc à une quantité nulle de bien 2 et unequantité de bien 1 égale à R

P1On obtient bien entendu une solution totalement

symétrique si v < P1P2

Le cas des biens substituts parfaits est un cas particulier dans lequel iln�existe jamais de solution intérieure sauf si le TMS est égal au rapportdes prix auquel cas il en existe une in�nité. De manière plus générale, ilest possible que le choix optimal corresponde à une solution contrainte pour

19

certains niveaux de revenu et à une soultion intérieure pour d�autres niveaux.Admettons que les préférences soient représentées par la fonction d�utilitésuivante :U(x1; x2) = (x1 + a)�x

�2 avec �; � < 1

Les conditions de premier ordre deviennent :

�(x�1 + a)��1x��2 = ��P1 � ��1

�(x�1 + a)�x���12 = ��P2 � ��2

�� [R� P1x�1 � P2x�2] = 0;��1x�1 = 0;�

�2x�2 = 0

De nouveau la contrainte de budget est toujours e¤ective et une solutionintérieure véri�e :

�

�

x�2x�1 + a

=P1P2, P2x

�2 =

�

�P1(x

�1 + a)

R = P1x�1 + P2x

�2

En remplacant P2x�2 par sa valeur dans la seconde équation il vient :

P1x�1

�

�+ �= R� �

�P1a

Il en résulte : x�1 > 0, R > ��P1a Si cette solution n�est pas satisfaite, la

solution du système d�équation précédent viole la contrainte de non négativitédes consommations de sorte que cette contrainte devient e¤ective. Le choixoptimal est alors: x�1 = 0 x

�2 =

RP2

Au total, l�égalité du taux marginal de substitution et du rapport desprix ne caractérise le choix optimal du consommateur que lorsque ce choixcorrespond à une solution intérieure.Même si il existe une solution aux système d�équation (1) et (2) véri�ant

les contraintes de non négativité, il n�est pas acquis que cette solution cor-responde au choix optimal du consommateur. Il faut en e¤et s�assurer quecette solution corresponde à un maximum et non à un minimum de l�utilité.Pour cela il faut étudier la condition de second ordre. Nous allons sur cepoint nous contenter de ce qui a été vu graphiquement. Pour qu�une solutiondé�nie par le point de tangence entre une courbe d�indi¤érence et la droitede budget corresponde au choix optimal, il faut que les courbes d�indi¤érencesoient convexes et donc que la fonction d�utilité soit strictement quasi con-cave. Une condition su¢ sante pour qu�une solution satisfaisant les conditionsde premier ordre corresponde bien à un maximum est donc que la fonctiond�utilité soit strictement quasi concave.

20

4 Les fonctions de demande

Dans la section précédente, nous avons étudié le choix optimal du consom-mateur. Ce choix optimal correspond à une quantité désirée pour chacundes biens disponibles en fonction des contraintes qui s�imposent à l�individu.Ces quantités forment les demandes du consommateur. Comme le panierde consommation optimal dépend des prix et du revenu du consommateur,les demandes du consommateur en dépendent également. Les relations fonc-tionnelles qui lient la quantité désirée d�un bien au revenu et aux prix desdi¤érents biens sont appelées les fonctions de demande du consommateur.Cette section a pour objet l�étude des principales propriétés de ces fonctionsde demande qui s�écrivent : x�1 = x1(R;P1; P2) ; x

�2 = x2(R;P1; P2)

4.1 L�impact des variations du revenu sur les deman-des du consommateur

4.1.1 Analyse graphique

Si nous nous limitons à deux biens, il est facile de représenter graphiquementl�in�uence d�une variation du revenu sur les demandes de chaque bien.Nous avons vu antérieurement qu�une augmentation du revenu se tradui-

sait graphiquement par un déplacement parralèlle de la droite de budget.Nous pouvons donc représenter sur un même graphique plusieurs droites debudget parralèlle correspondant à di¤érents niveaux de revenu ainsi qu�un en-semble de courbes d�indi¤érence. Si les points de tangence entre les courbesd�indi¤érences et les droites de budget se déplacent vers le haut et la droitedu plan, cela signi�e que lorsque le revenu augmente la demande de chacundes deux biens augmente. Cette propriété peut sembler assez naturelle, maiselle n�a rien de générale. Il est aisé de représenter graphiquement des situ-ations où ce n�est pas le cas. Lorsque la demande d�un bien augmente avecle revenu, ce bien est dit "normal". Lorsque la demande diminue quand lerevenu augmente, le bien considéré est dit "inférieur". Encore une fois, cecin�est pas à proprement parlé une caractéristique du bien mais une caractéris-tique des préférences du consommateur. Il reste que si les consommateurs ontdes préférences similaires cela correspond à une caractéristique du bien. Il estimportant de noter qu�un bien ne peut être inférieur qu�au delà d�un certainniveau de revenu. En e¤et, pour un revenu nul la demande de chaque bienest nulle et la contrainte de non négativité des consommations impose donc

21

qu�un bien inférieur àa nécessairement été normal pour de plus faibles niveaude revenu. Il est également utile de noter que les deux biens ne peuvent êtreinférieurs. La raison est évidente : comme le consommateur a toujours intérêtà dépenser l�intégralité de son revenu, si ce dernier augmente, la demanded�au moins un bien doit également augmenter.Les courbes d�Engel représentent graphiquement la relation qui existe

entre la demande d�un bien et le revenu. Si le bien considéré est un biennormal la courbe d�engel est croissante. Si le bien est un bien inférieur, passéun certain niveau de revenu, la courbe d�Engel est d�abord croissante puisdécroissante. Lorsque les contraintes de non négativité des consommationsne sont jamais e¤ectives, les courbes partent de l�origine. Si ces contraintespeuvent être e¤ectives, il est possible que l�une des courbes "démarre" àdroite de l�origine. Cela signi�e qu�en decà d�un niveau de revenu strictementpositif, le consommateur souhaiterai consommer un quantité négative de cebien mais ne peut le faire. Autrement dit, le choix optimal correspond à unesolution de coin que nous avons étudié plus haut.

Un cas particulier doit être évoqué car souvent considéré en économie: celui des préférences homothétiques. Des préférences sont dites homothé-tiques si les courbes d�indi¤érences sont homothétiques par rapport à l�origine.Cela signi�e que sur toutes droites partant de l�origine, le coe¢ cient di-recteur des tangentes aux courbes d�indi¤érences au point d�intersection avecla droite sont tous identiques. Comme le long d�une droite partant de l�originele rapport des quantités consommés est le même, cela signi�e que le taux mar-ginal de subsitution ne dépend que du rapport des quantités consommés etpas de leur niveaux lorsque les préférences sont homothétiques. Economique-ment, le taux marginal de subsitution étant égal au rapport des prix pour unesolution intérieure, il en résulte que pour un rapport des prix donné, le rap-port des quantités consommés sera toujours le même et ne va en particulierpas dépendre du niveau de revenu.Il en résulte que si le revenu augmente, les quantités demandées de chacun

des deux biens augmentent dans la même proportion.Plusieurs corrolaires en découlent : Si les préférences sont homothétiques,

les biens sont tous des des biens normaux. Si les préférences sont homoth-étiques, les courbes d�Engel sont des droites partant de l�origine ce qui im-plique également que l�élasticité de la demande de chaque bien par rapportau revenu est égale à 1. Autrement dit la demande de chaque bien croît dansla même proportion que le revenu.

22

L�homothétie des préférences a donc des implications importantes. Commeles préférences sont le plus souvent représentées par une fonction d�utilitéil n�est pas inutile de s�interroger sur les propriétés des fonctions d�utilitéreprésentatives de préférences homothétiques. Il est en fait facile de montrerqu�une fonction d�utilité homogène est repésentative de préférence homothé-tiques.Par dé�nition, la fonction U(x1; x2) est homogène de degré � si :U(kx1; kx2) =

k�U(x1; x2):Posons k = 1x1il en résulte :

U(kx1; kx2) = U(1;x2x1) = x��1 U(x1; x2), U(x1; x2) = x

�1U(1;

x2x1)

On en déduit : U0x1(x1; x2) = �x

��11 U(1; x2

x1)�x�1U

0x2(1; x2

x1)x2x21= x��11 [�U(1; x2

x1)�

U0x2(1; x2

x1)x2x1] et U

0x2(x1; x2) = x

�1U

0x2(1; x2

x1) 1x1= x��11 U

0x2(1; x2

x1)

Le taux marginal de substitution a donc pour expression :U0x1(x1;x2)

U 0x2 (x1;x2)=

�U(1;x2x1)�U 0x2 (1;

x2x1)x2x1

U 0x2 (1;x2x1)

. Il ne dépend que du rapport des quantités consommées.

4.1.2 Etude analytique

Les préférences du consommateur sont supposées représentées par une fonc-tion d�utilité strictement croissante et concave par rapport à chaque argumentet au moins strictement quasi concave. On suppose également pour simpli�erque les utilités marginales tendent vers l�in�ni lorsque les quantités consom-mées tendent vers 0 ce qui implique que les contraintes de non négativité nepeuvent être e¤ectives. Sous ces hypothèses, le choix optimal correspond à lasolution intérieure dé�nie par les deux équations habituelles :

U 0x1 (x�1;x

�2)

U 0x2 (x�1;x

�2)= P1

P2

, U 0x1(x�1; x

�2) =

P1P2U 0x2(x

�1; x

�2) et R = P1x

�1 + P2x

�2

En di¤érenciant ces deux équations les prix étant supposés constants onobtient ;U 0

0x1x1

(x�1; x�2)dx

�1+U

00x1x2

(x�1; x�2)dx

�2 =

P1P2

�U 0

0x1x2

(x�1; x�2)dx

�1 + U

00x2x2

(x�1; x�2)dx

�2

�et dx�1 =

dRP1� P2

P1dx�2

En subsituant dx�1 dans la première équation et en remplaçantP1P2par sa

valeur tirée de la condition de premier ordre, il vient �nalement :dx�2

h�U 0x2 (x

�1;x

�2)

U 0x1 (x�1;x

�2)U 0

0x1x1

(x�1; x�2) + 2U

00x1x2

(x�1; x�2)�

U 0x1 (x�1;x

�2)

U 0x2 (x�1;x

�2)U 0

0x2x2

(x�1; x�2)i= dR

P1

hU 0x1 (x

�1;x

�2)

U 0x2 (x�1;x

�2)U 0

0x1x2

(x�1; x�2)� U 0

0x1x1

(x�1; x�2)i

La quasi concavité de la fonction d�utilité implique que le terme entrecrochet du membre de gauche est positif. Il en résulte que dx�2

dRest du signe

du membre de droite. La fonction d�utilité étant concave par rapport à

23

chaque argument U 00x1x1

(x�1; x�2) est négatif. Il en résulte qu�une condition

su¢ sante mais non nécessaire pour que le bien 2 soit un bien normal estU 0

0x1x2

(x�1; x�2) > 0

Autrement dit, si la dérivée seconde croisée de la fonction d�utilité estpositive, les biens sont des biens normaux.

4.2 L�in�uence des variations de prix

De manière générale, la variation du prix d�un bien a des répercussions in-certaines sur les demandes du consommateur. Cette incertitude provient dela présence de deux e¤ets : un e¤et de substitution et un e¤et revenu. Sup-posons que le prix du bien 1 augmente. Le taux auquel le consommateur peutéchanger du bien 2 contre du bien 1 a diminué. La consommation de bien2 devient donc relativement plus intéressante pour le consommateur et cedernier subsitue donc du bien 2 au bien 1 dans son panier de consommation.C�est l�e¤et de substitution.Dans le même temps, dès lors que le consommateur consomme une quan-

tité strictement positive de bien 1, son pouvoir d�achat diminue. Autrementdit son panier de consommation initial n�appartient plus à son ensemblebudgétaire. Cet e¤et est strictement similaire à celui d�une baisse du revenudu consommateur d�où son nom d�e¤et revenu.L�e¤et de substitution peut jouer dans le même sens que l�e¤et revenu

ou en sens contraire. Dans le premier cas, l�in�uence de la variation du prixest dénuée d�ambiguité et s�exprime sous la forme de lois appelées lois de lademande. Dans le second cas, tout dépend de quel e¤et l�emporte sur l�autre.Admettons que le bien 1 soit un bien normal et que son prix augmente.

Dans ce cas, la demande de ce bien diminue sans aucune ambiguité car l�e¤etde substitution et l�e¤et revenu joue dans le même sens. Il en découle unepremière loi de la demande que l�on peut exprimer de la manière suivante :La demande d�un bien normal est une fonction décroissante de son prix.Si le bien 2 est également un bien normal, les deux e¤ets joue en sens

contraire concernant la demande pour ce bien. En e¤et, comme son prixrelatif diminue, le consommateur a intérêt à subsitituer du bien 2 au bien1. L�e¤et de substitution joue donc dans le sens d�une augmentation de lademande de bien 2. Toutefois, comme le bien 2 est un bien normal l�e¤etrevenu joue à la baisse. Si l�e¤et revenu l�emporte, la demande de bien2 diminue au même titre que la demande de bien1. Les deux biens sontalors dits compléments bruts. Si au contraire c�est l�e¤et de subsitution qui

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l�emporte, la demande de bien 2 augmente tandis que la demande de bien1 diminue et les deux biens sont dits substitus bruts. Comme en raison dela contrainte budgétaire les demandes des deux biens ne peuvent être desfonctions croissantes du prix d�un bien, deux biens sont compléments brutssi les demandes de chacun des deux biens sont des fonctions décroissantesdu prix d�un bien et ils sont subsituts bruts si la demande d�un bien est unefonction croissante de ce prix, la demande de l�autre étant nécessairementdécroissante dans une économie à deux biens.Les termes de complémentarité ou de subsituabilité brute renvoient claire-

ment aux préférences du consommateur. De fait, si les biens sont plutôtcomplémentaires pour le consommateur, cela signi�e que ce dernier souhaiteles consommer ensemble. Dans ce cas, lorque le prix d�un bien augmente, leconsommateur préfère réduire sa demande pour chacun des deux biens. SiAlexandre aime manger du fromage en buvant du vin mais qu�il n�aime pasle fromage seul ni le vin seul, il n�a clairement pas intérêt à augmenter saconsommation de vin si le prix du fromage augmente car il devrait diminuerfortement sa consommation de fromage. Si à l�inverse Alexandre aime à lafois le vin et le fromage mais pas nécessairement ensemble, ce qui signi�eque ces biens sont plutôt subsituts pour lui, il peut avoir intérêt a augmentersa consommation de vin si le prix du fromage augmente car il peut aug-menter sensiblement sa consommation de vin en réduisant sa consommationde fromage.

Si le bien 2 est un bien inférieur, l�e¤et de subtsitution et l�e¤et revenujoue dans le même sens de sorte que sa demande augmente sans ambiguitélorsque le prix du bien 1 augmente. On en déduit donc une seconde loi de lademande qui s�exprime comme suit : La demande d�un bien inférieur est unefonction croissante du prix de l�autre bien.

Si le bien dont le prix augmente est un bien inférieur, l�e¤et de subsitutionet l�e¤et revenu jouent en sens opposé. La demande d�un bien inférieur peutdonc être une fonction croissante de son prix si l�e¤et revenu l�emporte surl�e¤et de substitution. Un bien qui présente cette propriété est appellé unbien Gi¤en. Un bien Gi¤en étant un bien inférieur, sa fonction de demandeest donc croissante avec le prix de tous les biens. Dans une économie à deuxbiens, ces biens sont donc obligatoirement subsituts bruts si l�un des deuxbiens est un bien Gi¤en.

25

4.2.1 Analyse graphique

Graphiquement, l�évolution du prix d�un bien se traduit par un pivotementde la droite de budget. Si par exemple le prix du bien 1 augmente, la doitepivote vers le bas à parir de son point sur l�axe des ordonnées. Il est clair dansce cas que le panier de consommation optimal initial ne fait plus partie del�ensemble budgétaire du consommateur. L�objet de l�analyse graphique con-siste en particulier à isoler l�e¤et revenu et l�e¤et de substitution. La méthodepour opérer cette décomposition consiste à considérer des variations compen-satrices de revenu. Deux formes alternatives de variation compensatrices derevenu sont usuellement retenues. Dans le premier cas, cette variation com-pensatrice est supposée permettre l�acquisition du panier de consommationinitial. On parle alors de compensation au sens de Slutsky. Dans le secondcas cette variation est supposée permettre au consommateur l�obtention dumême niveau de satisfaction qu�antérieurement. On parle alors de compen-sation au sens de Hicks.

Graphiquement, la compensation au sens de Slutsky consiste à tracerune droite parrallèle à la nouvelle droite de budget passant par le panier deconsommation initial. Notons A la panier de consommation intial, B le panierde consommation correspondant au point de tangence en tre cette parallèleet une courbe d�indi¤érence et C le panier de consommation correspondantu point de tangence entre une courbe d�indi¤érence et la nouvelle droite debudget. Le passage du point A au point B correspond à l�e¤et de substitutiondu à la modi�cation du prix relatif du bien 1 (du rapport des prix). Lescourbes d�indi¤érence étant convexes et ne se coupant pas, il est clair que lepoint B se situe au dessus et à gauche du point A. Cela signi�e que l�e¤etde subsitution a bien pour conséquence une augmentation de la demande debien 2 et une baisse de la demande de bien 1.Le passage du point B au point C, qui graphiquement résulte d�un dé-

placement parrallèle de la droite de budget, correspond à l�e¤et revenu. Siles deux biens sont des biens normaux, le point C se situe en dessous et àgauche du point B. On retrouve donc les résultats décrits au dessus : Commeles deux déplacements se font vers la gauche, la demande de bien 1 diminuesans ambiguité. L�e¤et de substitution et l�e¤et revenu vont dans le mêmesens. La demande d�un bien normal est une fonction décroissante de sonprix. Comme un déplacement s�opère vers le haut et l�autre vers le bas, laquantité optimale de bien 2 peut aussi bien augmenter que diminuer. Si le

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déplacement vers le bas du point B au point C l�emporte sur le déplacementvers le haut du point A au point B, c�est à dire si l�e¤et revenu l�emporte surl�e¤et de subsitution, les biens 1 et 2 sont des compléments bruts. Ils sontsubstituts bruts dans le cas contraire.Si le bien 2 est un bien inférieur, le point C se situe au dessus et à gauche

du point B. Les deux déplacements s�opèrent donc vers le haut et on retrouvela seconde loi de la demande selon laquelle la demande d�un bien inférieurest une fonction croissante du prix de l�autre bien.En�n, si c�est le bien 1 qui est un bien inférieur, le point C se situe en

dessous et à droite du point B. Le passage du point A au point B et celui dupoint B au point C correspondent donc à des déplacements de sens opposés desorte qu�aucune loi de la demande ne s�applique. L�évolution de la demandede bien 1 comme celle du bien 2 sont ambigues. Si le second déplacement versla droite l�emporte sur le premier déplacement vers la gauche, le déplacementvers le bas l�emporte également sur le déplacement vers le haut. Cela signi�eque le bien 1 est un bien Gi¤en et dans ce cas la demande de bien 2 est unefonction clairement décroissante du prix du bien 1.

La compensation au sens de Hicks s�obtient graphiquement en traçantune parallèle à la nouvelle droite de budget qui soit tangente à la courbed�indi¤érence passant par le panier de consommation initial. Ce point detangence est l�équivalent du point B à la seule di¤érence près que cette foisil est sur la même courbe d�indi¤érence que le point A alors qu�il était surune courbe d�indi¤érence plus élevée dans le cas de la compensation au sensde Slutsky. Pour le reste, l�analyse graphique n�est pas modi�ée.

4.2.2 Etude analytique

Les préférences du consommateur sont supposées représentées par une fonc-tion d�utilité strictement croissante et concave par rapport à chaque argu-ment et au moins strictement quasi concave. On suppose toujours poursimpli�er que les utilités marginales tendent vers l�in�ni lorsque les quan-tités consommées tendent vers 0. Sous ces hypothèses, le choix optimal cor-respond à la solution intérieure dé�nie par les deux équations habituelles:U 0x1(x

�1; x

�2) =

P1P2U 0x2(x

�1; x

�2) et R = P1x

�1 + P2x

�2

En di¤érenciant ces deux équations le prix du bien 2 et le revenu étantsupposés constants on obtient ;

27

U 00x1x1

(x�1; x�2)dx

�1+U

00x1x2

(x�1; x�2)dx

�2 =

P1P2

�U 0

0x1x2

(x�1; x�2)dx

�1 + U

00x2x2

(x�1; x�2)dx

�2

�+

1P2U 0x2(x

�1; x

�2)dP1 et dx

�1 = �P2

P1dx�2 �

x�1P1dP1

En subsituant dx�1 dans la première équation et en remplaçantP1P2par sa

valeur tirée de la condition de premier ordre, il vient �nalement :dx�2

h�U 0x2 (x

�1;x

�2)

U 0x1 (x�1;x

�2)U 0

0x1x1

(x�1; x�2) + 2U

00x1x2

(x�1; x�2)�

U 0x1 (x�1;x

�2)

U 0x2 (x�1;x

�2)U 0

0x2x2

(x�1; x�2)i= dP1

P2

hU 0x2(x

�1; x

�2)� x�1 P2P1 [

U 0x1 (x�1;x

�2)

U 0x2 (x�1;x

�2)U 0

0x1x2

(x�1; x�2)� U 0

0x1x1

(x�1; x�2)]i

La quasi concavité de la fonction d�utilité implique que le terme entrecrochet du membre de gauche est positif. Il en résulte que dx�2

dP1est du signe

du membre de droite. On observe que le second terme du membre de droiteest négatif si le bien 2 est un bien normal et positif si c�est un bien inférieur.Comme le premier terme est positif, on retrouve la seconde loi de la demandeselon laquelle la demande d�un bien inféreiur est une fonction croissante duprix de l�autre bien.

5 Prolongements

Cette section est consacrée à l�étude de certains prolongements concernantla théorie du consommateur. Nous allons dans un premier temps étudier lafonction d�utilité indirecte et la fonction de dépense. De cette étude nousen déduirons les équations de Slutsky qui o¤rent une décomposition simplede l�e¤et de substitution et de l�e¤et revenu. Nous nous intéressons ensuiteaux choix intertemporels du consommateur avant d�examiner la notion desurplus du consommateur.

5.1 Fonction d�utilité indirecte fonction de dépense etéquations de Slutsky

5.1.1 La fonction d�utilité indirecte

De la maximisation de la fonction d�utilité sous la contrainte de budget, nousavons dérivé le panier de consommation optimal sous la forme de fonctionsde demande x�1 = x1(R;P1; P2) ; x�2 = x2(R;P1; P2) qui lient la quantitédésirée de chaque bien au revenu et aux prix des di¤érents biens.Le niveau d�utilité correspondant à ce panier de consommation optimal

s�écrit : U(x�1; x�2) = U(x1(R;P1; P2); x2(R;P1; P2)) et est donc une fonction

du revenu et des prix que l�on écrit V (R;P1; P2):Comme le panier de con-sommation optimal est celui qui maximise l�utilité étant donnés le revenuet les prix des di¤érents biens, on en déduit que la fonction V (R;P1; P2)

28

est une fonction qui associe à chaque vecteur des paramètres le maximumde l�utilité que le consommateur peut obtenir étant données ses préférences.Cette fonction est appellée fonction d�utilité indirecte.Cette terminologie exprime simplement le fait que directement l�utilité

dépend des consommations des di¤érents biens mais qu�indirectement elledépend des paramètres car ces consommations dépendent des paramètres.La fonction d�utilité étant la fonction objectif du consommateur ( celle

qu�il maximise ), la fonction d�utilité indirecte donne donc la valeur del�objectif à l�optimum en fonction des paramètres. Pour cette raison on ditque la fonction d�utilité indirecte est une fonction valeur.

La fonction d�utilité indirecte joue un rôle important dans l�analyse mi-croéconomique. Tout d�abord, c�est �nalement à travers elle que s�étudiel�in�uence d�une variation du prix d�un bien ou d�une variation du revenusur le niveau de satisfaction du consommateur. Elle est également indispens-able pour l�étude de certains choix du consommateur préalables à ses choixde consommation. Par exemple, on peut considérer que le revenu du consom-mateur dépend de ses choix éducatifs. Pour étudier ses choix éducatifs nousdevons savoir comment le revenu in�uence le maximum de l�utilité qu�il peutobtenir et nous devons donc utiliser la fonction d�utilité indirecte.Les dérivées de la fonction d�utilité indirecte peuvent se calculer à partir

des fonctions de demande. Par exemple, la dérivée par rapport au prix dubien 1 s�écrit :@V (R;P1;P2)

@P1=

@U(x�1;x�2)

@x�1

@x1(R;P1;P2)@P1

+@U(x�1;x

�2)

@x�2

@x2(R;P1;P2)@P1

Les dérivées des fonctions de demande étant assez lourdes, ce calcul peuts�avérer rapidement fastidieux en particulier si le nombre de biens consommésest supérieur à 2.Il existe toutefois un théoreme extrèmement utile qui s�applique à toutes

les fonctions valeur et qui permet d�exprimer très simplement les dérivéesdes fonctions valeur à partir du Lagrangien. Ce théoreme connu sous le nomde théoreme de l�enveloppe stipule que la dérivée d�une fonction valeur parrapport à un paramètre est égale à la dérivée de lagrangien par rapport à ceparamètre, cette dérivée étant exprimée au point optimal.Autrement dit, L(x1; x2; R; P1; P2; �) étant le Lagrangien,

@V (R;P1;P2)@P1

=@L(x�1;x

�2;R;P1;P2;�

�)@P1

En appliquant ce théoreme on obtient ;@V (R;P1;P2)@P1

= ���x�1;@V (R;P1;P2)

@P2=

���x�2;@V (R;P1;P2)

@R= ��

Il en résulte donc :@V (R;P1;P2)@P1

= �x�1@V (R;P1;P2)

@R; @V (R;P1;P2)

@P2= �x�2

@V (R;P1;P2)@R

:

29

Ces équations sont connues sous le nom d�identités de Roy.

5.1.2 La fonction de dépense

Considérons à présent le programme d�optimisation suivant :

Minx1;x2

P1x1 + P2x2

Sc : U(x1; x2) � U

Ce programme correspond donc à la minimisation de la dépense per-mettant l�obtention d�un niveau d�utilité au moins égal à U . La fonctionU(x1; x2) est supposée représentative de préférences normales et dans unsouci de simpli�cation nous supposons que les utilités marginales tendentvers l�in�ni quand les quantités consommées tendent vers 0 ce qui assure queles contraintes de non négativité des consommations ne sont jamais e¤ectives.C�est pourquoi elles n�apparaîssent pas dans le programme.Comme il s�agit d�un problème de minimisation, le Lagrangien s�écrit :

L(x1; x2; U; P1; P2; �) = P1x1 + P2x2 � ��U(x1; x2)� U

�Les conditions de premier ordre associées ont pour expression :

@L(ex1; ex2; U; P1; P2; e�)@x1

= P1 � e�U 0x1(ex1; ex2) = 0@L(ex1; ex2; U; P1; P2; e�)

@x2= P2 � e�U 0x2(ex1; ex2) = 0e� �U(ex1; ex2)� U� = 0

Il est facile de voir que les deux premières équations n�admettent aucunesolution pour e� = 0 Ce résultat signi�e simplement que la dépense permet-tant l�obtention d�un niveau d�utilité au moins égal à U n�est minimisé quesi les consommations permettent l�obtention d�un niveau d�utilité juste égalà U: Si ce n�était pas le cas le niveau d�utilité U pourrait être obtenu avec unplus faible niveau de consommation d�au moins un bien et donc une dépenseplus faible.La solution du problème d�optimisation est donc donnée par le système

de deux équations suivant :

P1P2

=U 0x1(ex1; ex2)U 0x2(ex1; ex2)

U(ex1; ex2) = U

30

Il en résulte : ex1 = xc1(P1; P2; U) et ex2 = xc2(P1; P2; U). Les fonctionsxc1(P1; P2; U) et x

c2(P1; P2; U) sont appelées fonctions de demande compen-

sées ou encore fonctions de demande Hicksiennes. Les fonctions de demandeétudiées antérieurement qui résultaient de la maximisation de l�utilité sousla contrainte de budget sont appelées fonctions de demande Marshaliennes.Graphiquement, ces fonctions de demande Hicksiennes correspondent aux

demandes compensées que nous avons étudiées lorsque nous avaons consid-érées les variations compensatrices de revenu qui permettent l�obtention dumême niveau d�utilité (compensation au sens de Hicks).La fonction valeur qui détermine le minimum de la dépense en fonction

des paramètres s�écrit : Z(P1; P2; U) � P1xc1(P1; P2; U) + P2xc2(P1; P2; U):Du théorème de l�enveloppe il vient :@Z(P1;P2;U)

@Pj= xcj(P1; P2; U)

5.1.3 Les équations de Slutsky

A partir des fonctions d�utilité indirecte et de dépense, il est facile d�obtenirdes relations très utilies qui lient les demandes Hicksiennes et les demandesMarshaliennes.xi(P1; P2; R) � xci(P1; P2; V (P1; P2; R))Cette première relation signi�e simplement que les fonctions de demande

Marshaliennes minimisent la dépense permettant l�obtention d�un niveaud�utilité au moins égal à celui atteint. Cette relation est très intuitive. Sice n�était pas le cas, un même niveau d�utilité pourrait être obtenu avecune dépense plus faible et donc un niveau d�utilité supérieur pourrait êtreobtenu avec le même niveau de revenu ce qui signi�erait que l�utilité n�estpas maximisée.xci(P1; P2; U) � xi(P1; P2; Z(P1; P2; U))Cette seconde relation indique que les fonctions de demande Hicksiennes

maximisent l�utilité obtenue lorsque le revenu est juste égal au minimum dela dépense nécessaire à l�obtention de ce niveau d�utilité. De nouveau, sitel n�était pas le cas un niveau d�utilité supérieur serait atteignable avec lemême revenu et donc la dépense pour le niveau d�utilité donné ne serait pasminimisée.En dérivant la première identité on obtient :@xi(P1;P2;R)

@Pj=

@xci (P1;P2;V (P1;P2;R))

@Pj+@xci (P1;P2;V (P1;P2;R))

@U

@V (P1;P2;R)@Pj

et @xi(P1;P2;R)@R

=@xci (P1;P2;V (P1;P2;R))

@U

@V (P1;P2;R)@R

31

Il en résulte :

@xi(P1; P2; R)

@Pj=@xci(P1; P2; V (P1; P2; R))

@Pj+

@xi(P1;P2;R)@R

@V (P1;P2;R)@R

@V (P1; P2; R)

@Pj

Des identités de Roy il vient :De la seconde équation il vient :

@V (P1;P2;R)@Pj

@V (P1;P2;R)@R

= �xi(P1; P2; R)

d�où on tire :

@xi(P1; P2; R)

@Pj=@xci(P1; P2; V (P1; P2; R))

@Pj� xi(P1; P2; R)

@xi(P1; P2; R)

@R

Cette équation est connue sous le nom d�équation de Slutsky. S�il y adeux biens et donc deux prix, il y a 4 équations de slutsky.Ces équations permettent de décomposer l�e¤et de substitution et l�e¤et

revenu. Le premier terme du membre de droite correspond à l�e¤et de substi-tution puisqu�il représente l�in�uence de la variation du prix sur la demandecompensée. Le second terme du membre de droite représente l�e¤et revenu.

5.2 Les choix intertemporels du consommateur

Nous avons considéré jusqu�ici que le consommateur devait choisir des niveauxde consommation de biens distincts. En fait ces biens peuvent présenter descaractéristiques physiques identiques mais être consommés à des dates dif-férentes. En d�autres termes, le problème du consommateur peut consisterà choisir une allocation optimale de ses revenus présents et futurs entre con-sommation présente et consommation future d�un bien présentant les mêmescaractéristiques physiques. En ce sens nous pouvons parler des choix in-tertemporels du consommateur.

5.2.1 La contrainte budgétaire intertemporelle

Revenu à une seule période Considérons dans un premier temps unindividu dont le cycle de vie comprend deux périodes. Pour simpli�er, ad-mettons que cet individu ne reçoit un revenu que durant la première période.

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(on peut par exemple considérer que la première période est un période devie active et la seconde période une période de retraite et qu�il n�existe aucunsystème de retraite par répartition ou équivalent).Le problème du consommateur consiste à déterminer l�allocation optimale

de son revenu entre consommation de première et seconde période de vie.Pour pouvoir consommer en seconde période, le consommateur doit épargner

une partie de son revenu de première période. Il peut placer cette épargnesur les marché �nancier au taux d�intérêt r. En notant P le prix du biensupposé identique en première et seconde période, x1 et x2 respectivement lesconsommations de première et seconde période, et R le revenu de premièrepériode, la consommation de seconde période doit respecter la contrainte :

Px2 � (R� Px1) (1 + r)

R�Px1 est le montant de l�épargne. Comme la consommation de secondepériode ne peut être négative, cette épargne est nécéssairement non négative.Cela traduit simplement le fait que l�individu ne peut être emprunteur s�ilne perçoit pas dans le futur un revenu lui permettant de rembourser sonemprunt.La frontière de l�ensemble budgétaire est: Px2 = (R� Px1) (1 + r) :C0est

donc une droite de coe¢ cient directeur� (1 + r)Ce coe¢ cient (en valeur absolue) mesure le prix de la consommation

présente en terme de consommation future. (à combien d�unité de consom-mation en seconde période doit renoncer le consommateur pour consommerune unité de plus en première période).Si le taux d�intérêt est nul, ce prix relatif est de 1. Cela signi�e que le

taux d�échange intertemporel imposé est de 1 pour le consommateur.Si le taux d�intérêt est positif, le prix relatif de la consommation présente

est supérieur à 1 car en raison des intérets percus sur les sommes épargnéesla consommation d�une unité de moins dans le présent est compensée par laconsommation de plus d�une unité dans le futur.

Revenu à chaque période Nous allons maintenant étudier la contraintebudgétaire d�un consommateur qui perçoit un revenu à chaque période etqui peut donc être aussi bien prêteur qu�emprunteur en première période.Notons R1 et R2 le revenu de première et seconde période. La contraintebudgétaire intertemporelle s�écrit:

Px2 � (R1 � Px1) (1 + r) +R2

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Cette écriture est valable que le consommateur épargne ou emprunte enpremière période. R � Px1 est simplement positif dans le premier cas etnégatif dans le second.Cette contrainte peut encore s�écrire :

P

1 + rx2 � R1 � Px1 +

R21 + r

Cette contrainte budgétaire est exprimée en valeur présente. R21+r

représentela valeur présente (la valeur actualisée) du revenu futur, c�est à dire le revenuprésent qui, placé sur les marchés �nanciers, permettrait d�obtenir un revenuR2 dans le futur.

P1+r

représente la valeur présente du prix futur. C�est en e¤et ce que coûteà la date courante au consommateur l�achat d�une unité dans le futur.Cette opération qui consiste à rendre comparables des prix et des revenus

de périodes distinctes en les valorisant à la date courante est appelée opéra-tion d�actualisation. De manière générale, la valeur actualisée d�un montantfutur est le montant qui lui est aujourd�hui équivalent.L�analyse précédente peut sans di¢ culté être généralisée à t périodes.

Notons Rt le revenu de la date t.Par dé�nition, la valeur actualisée de ce revenu est le montant qui, placé

aujourd�hui sur les marchés �nanciers, permet d�obtenir Rt à la date t SoitRat ce revenu actualisé. Par dé�nition on a R

at (1 + r)

t = Rt soit encore Rat =Rt (1 + r)

�t Le terme 11+r

correspond au facteur d�actualisation. Ce facteurinférieur à 1 représente ce que vaut aujourd�hui un euro reçu demain. Dans lasituation très simpli�ée étudiée ici, ce facteur d�actualisation ne dépend quedu taux d�intérêt. Plus généralement, ce facteur dépend également d�autresparamètres comme la probabilité de décès.

5.2.2 Le choix intertemporel du consommateur.

Les préférences intertemporelles du consommateur sont supposées représen-tées par une fonction d�utilité U(x1; x2) strictement croissante et concave parrapport à chaque argument et strictement quasi concave. A�n de garantirl�existence d�une solution intérieure (et donc de négliger les contraintes denon négativité) nous supposons également que les utilités marginales ten-dent vers l�in�ni lorsque les consommations correspondantes tendent vers 0.

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Le programme du consommateur s�écrit:

Maxx1;x2

U(x1; x2)

SC :P

1 + rx2 � R1 � Px1 +

R21 + r

Le Lagrangien a pour expression:L(x1; x2; r; P;R1; R2; �) = U(x1; x2) + �

�R21+r

+R1 � Px1 � P1+rx2�

Les conditions de premier ordre s�écrivent:

U 0x1(x�1; x

�2)� ��P = 0

U 0x2(x�1; x

�2)� ��

P

1 + r= 0

���R21 + r

+R1 � Px�1 �P

1 + rx�2

�= 0

Il est clair que les deux premières équations n�admettent pas de solution en�� = 0 ce qui signi�e simplement que la contrainte budgétaire intertemporelleest toujours e¤ective.Le choix optimal est donc solution du système de deux équations suivant

:

U 0x1(x�1; x

�2)

U 0x2(x�1; x

�2)

= 1 + r

R21 + r

+R1 = Px�1 +P

1 + rx�2

La première équation s�interprête facilement. Le membre de gauche estle taux marginal de substitution intertemporel et celui de droite le prix re-latif de la consommation présente. On retrouve donc l�égalité habituelle quicaractérise les solutions intérieures et selon laquelle le taux marginal de sub-stitution est égal au rapport des prix (au prix relatif).De ce système on déduit :x�1 = x1(r; P;R1; R2) et x

�2 = x2(r; P;R1; R2)

En l�absence de revenu de seconde période, les lois de la demande s�appliquent: L�augmentation du revenu a une in�uence incertaine sur les consommations(rappelons nous que le même bien consommé à des dates distinctes est équiv-alent à deux biens distincts qui peuvent donc être normaux ou inférieurs)Une hausse du taux d�intérêt s�interprête comme une hausse du prix de

la consommation présente. Si il s�agit d�un bien normal la consommation

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présente diminue alors sans ambiguité. Si la consommation future est unbien inférieur elle augmente sans ambiguité. Dans les autres cas, e¤et desubstitution et e¤et revenu jouent en sens contraire.Comme cela s�observe facilement à partir de la seconde équation, l�existence

d�un revenu futur complique un peu les choses car la hausse du taux d�intérêtréduit la valeur présente du revenu futur.

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