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L2S3 – MASS – Microéconomie 1 – r.foudi - Examen de première session Décembre 2018 -CORRIGE BAREME- sur 9

UNIVERSITE DE LILLE 1

Licence MIASHS Parcours MASS – L2S3

Mathématiques Appliquées et Sciences Sociales

Examen de MICROECONOMIE 1

CORRIGE BAREME SESSION 1 – 2018/19

Durée : 3 h

Cours de M. Rachid FOUDI

N.B. : Toutes les calculettes sont autorisées (téléphones portables et documents interdits).

Dictionnaire papier autorisé

Dans votre copie, vous devez joindre le présent dossier (même en l’absence de toute réponse).

Veillez à ne pas dégrafer les feuillets

Il vous est demandé de TRAITER DANS CE DOCUMENT

Les 6 exercices ci-dessous

Exercice 1 : Fonction d’utilité, courbe d’indifférence, TMS 3 points Exercice 2 : Optimisation, effets, et courbe d’effet 9 points

Exercice 3 : Elasticités de la demande 3 points Exercice 4 : Fonction de production, Isoquant et TMST 4 points

Exercice 5 : Homogénéité 1 point Exercice 6 : Sentier d’expansion 2 points

Une durée approximative est suggérée pour chaque partie. Le corrigé et le barème seront communiqués ultérieurement sur le site

TOTAL = 22 POINTS (note sur 20)

Cet énoncé constitue en même temps la feuille de réponse. Vous devez l’insérer

dans la copie cachetée, qui portera votre nom et les autres informations

demandées.

INDIQUER DANS CE CADRE Votre N° d’identification étudiant(*)

(*) consulté uniquement en cas de nécessité


Exercice 1 : Fonction d’utilité, courbe d’indifférence, TMS (3 points) Soit la fonction d’utilité U=U(x1,x2) = x1

1/2 x2

1/4 x1 et x2 ≥ 0

1) On pose a = b = 1. Ecrire l’équation générale des courbes d’indifférence, et représenter (ci-dessous) la courbe d’indifférence de niveau U*=4. U=U(x,y) = U=U(x1,x2) = x1 x2

Si U* = 4 alors x1 x2

= U*=4 et donc x2 = U*/x1 = 4/x1½ xy + 5y y/(0,5x+5) (coordonnées de 4 points)

x1 1 2 4 8

x2 4 2 1 0,5

2) On pose a+b = 1. Calculer les utilités marginales des deux biens U=U(x1,x2) = x1

a x2

b et a+b=1 Umx1 = U’x1 = 𝜕𝑈/𝜕𝑥1 =x2

b (ax1) a-1 comme b = 1-a alors 𝜕𝑈/𝜕𝑥1 =x2

1-a (ax1) a-1

et Umx2 = U’x2 = 𝜕𝑈/𝜕𝑥2 = (bx2)b-1 x1a comme b = 1-a alors 𝜕𝑈/𝜕𝑥2 =(1-a)x2

-a x1a

= U’y = 𝜕𝑈/𝜕𝑦 = ½ x+5

3) 4) = U’y = 𝜕3) Donner une définition littéraire, puis mathématique du TMS x2/x1

Le TMSx2/x1 est le taux auquel le consommateur est disposé à substituer une quantité du bien x1 à une quantité du bien x2, tout en maintenant sa satisfaction constante, ou tout en conservant le même niveau de satisfaction.

4) Calculer le TMS x2/x1 TMSx2/x1 = (𝜕𝑈/𝜕𝑥1)/ (𝜕𝑈/𝜕𝑥2) = [x2

1-a (ax1) a-1]/[ (1-a)x2

-a x1a] soit en simplifiant

TMSx2/x1 = (a/1-a)(x2/x1) Ou TMSx2/x1 = - (dx2/dx1) = U*/x1

2

5) En écrivant la différentielle totale de la fonction, montrer que le TMS est décroissant. Soit la différentielle de U = dU dU = [(𝜕𝑈/𝜕𝑥1)]𝑑𝑥1 + [(𝜕𝑈/𝜕𝑥2)] 𝑑𝑥2 cette variation de l’utilité est nulle le long d’une courbe d’indifférence dU = [(𝜕𝑈/𝜕𝑥1)]𝑑𝑥1 + [(𝜕𝑈/𝜕𝑥2)] 𝑑𝑥2 = 0 - (dx2/dx1) = (𝜕𝑈/𝜕𝑥1)/ (𝜕𝑈/𝜕𝑥2) = TMSx2/x1 Le TMS (rapport positif des utilités marginales) est l’opposé de la valeur absolue de la pente (négative) de la tangente en chaque point de la courbe d’indifférence. La dérivée de cette courbe dx2/dx1 = -U*/x1

2 < 0 donc le TMS est décroissant.

6) Que traduit cette variation du TMS (recenser les enseignements. Le cas échéant vous pouvez recourir à une illustration géométrique)

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- Elle traduit la convexité des préférences - Elle traduit également le phénomène de la rareté : plus il substitue du bien x1 au bien x2, plus

« le prix » de x2 s’accroît (ou les quantités cédées se raréfient). Une représentation est par exemple si les biens sont X et Y :

Exercice 2 : Optimisation, effets, et courbe d’effet (9 points)

Soit la fonction d’utilité U=U(x,y) = ½ xy + 5y x et y ≥ 0 Le consommateur dispose d’un revenu R = 100 ; les prix des biens sont respectivement px = 4 et py = 2 les biens X et Y, sont achetés en quantités x et y

(arrondir les décimales au dixième) Question 1) Déterminer la quantité optimale de biens x et y, ainsi que le niveau d’utilité maximale. Vous dénommerez cet optimum E1.

L’optimum peut être déterminé par la méthode du remplacement (Le Lagrangien est aussi possible)

1- Le programme du consommateur : Max U = U(x,y) = ½ xy + 5y Sc 100 – 4x – 2y = 0 2- La contrainte peut s’écrire

y = -x (4/2) + 100/2 = - 2x + 50 3- Par remplacement, la nouvelle fonction U est

Soit U(x ;y) = ½ xy + 5y = 1/2 {x(-2x+50)} +5(-2x+50)

= ½ (-2x² + 50x) – 10x+50 = -x² + 25x -10x +50 = -x² + 15x + 50 4- La nouvelle fonction admet un optimum si elle satisfait aux deux conditions du premier

et du second ordre (4a) et (4b) (4a) U’x = 0 Soit U’x = - 2x + 15 = 0 x = 7,5 = x* premier point candidat à l’optimum Donc y = - 2x* + 50 = -(2×7,5) + 50 = 35 = y* qui est le second point. Le niveau de satisfaction maximale serait U* = ½( 7,5 × 35) + (5×35)

= 131.25 + 175 = 306.5 (4b) U’’x < 0 soit -2 <0

Donc E1 (x* ; y* ; U*) = E1 (7,5 ; 35 ; 306.5)

Question 2) Représenter graphiquement (de manière intuitive) l’optimum E1 en présentant vos calculs additionnels ci-dessous, le cas échéant.

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Pour la représentation graphique, la contrainte de budget vérifie les deux points suivants : R/Px = 100/4 = 25 et R/py = 100/2 = 50 (report de l’optimum E1)

Question 3) Le prix du bien X passe de px = 4 à px = 2, le prix du bien Y étant inchangé (py=2). Il est demandé de calculer l’optimum, sachant qu’un Impôt (G) maintient le consommateur au même niveau d’utilité qu’avant la baisse du prix de X. Connaissant à priori l’utilité maximale U* = 306.5, il est possible de calculer l’optimum E2 par la méthode :

A l’optimum, le TMSy/x = px/py Calcul du TMSy/x partant de l’équation de la courbe d’indifférence connue, soit Si U = 1/2xy + 5y alors l’équation générale des courbes d’indifférence est : y = U*/(0,5x+5) Le TMSy/x est l’opposé de la dérivée de la courbe d’indifférence, soit TMSy/x = [U*/(0,5x+5)2] Comme U* = 306.5 alors

TMSy/x = 306,5/(0,5x+5)² A l’optimum : 306,5/(0,5x+5)² = 2/2 = 1

Soit 306,5 = (0,5x+5)² (306,5)1/2 = 17,5 = 0,5x + 5 0,5x = 17,5 - 5 = 12,5 D’où x = x* = 12,5/0,5 = 25, le premier point candidat à l’optimum Et donc, suivant l’équation de la courbe d’indifférence y = U*/(0,5x+5) = 306,5/(0,5×25) + 5

y = y* = 17,5

L’optimum E2 s’écrit immédiatement : E2 (x* ; y* ; U*) = E2 (25 ; 17,5 ; 306,5) Question 4) Reporter l’optimum E2 dans le graph en présentant vos calculs additionnels ci-dessous, le cas échéant. Le revenu consécutif à l’impôt est obtenue par la dépense totale à l’optimum E2, soit :

DT = (25×2) + (17,5×2) = 85 = R après impôt

Le montant de l’impôt : G = revenu avant impôt – revenu après impôt = 100 – 85 = 15 = G La droit de budget verifie alors les points : R/px =85/2 = R/py = 85/2 = 42,5

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Question 4) Représenter graphiquement (de manière intuitive) l’optimum E2 en présentant vos calculs additionnels ci-dessous, le cas échéant. Question 5) L’impôt (G) étant supprimé, quel est alors le nouvel optimum E3. Il vous est demandé de calculer cet optimum puis de le reporter dans le graphique. Par la méthode du remplacement :

1- Le programme du consommateur : Max U = U(x,y) = ½ xy + 5y Sc 100 – 2x – 2y = 0 2- La contrainte peut s’écrire

y = -x (2/2) + 100/2 = - x + 50 3- Par remplacement, la nouvelle fonction U est

Soit U(x ;y) = ½ xy + 5y = 1/2 {x(-x+50)} +5(-x+50)

=- ½ x² + (50/2)x – 5x+250 = -(1/2)x² + 25x -5x +250 = -(1/2) x² + 20x + 250 4- La nouvelle fonction admet un optimum si elle satisfait aux deux conditions du premier

et du second ordre (4a) et (4b)

(4a) U’x = 0 Soit U’x = - x + 20 = 0 x = 20 = x* premier point candidat à l’optimum

Donc y = - 20 + 50 = 30 = y* Le niveau de satisfaction maximale serait U* = ½( 20 × 30) + (5×30)

= 450 (4b) U’’x < 0 soit -1 <0

Donc E3 (x* ; y* ; U*) = E3 (20 ; 30 ; 450) La nouvelle droite de budget vérifie les points : R/px = R/py = 100/2 = 50 (voir graphique).

Question 6) Interpréter le changement de l’optimum de E1 à E3. Que peut on dire du bien X ?

Selon l’égalité de Slutsky – Hicks, le passage de E1 à E3 s’écrit :

EP = ES +ou- ER Il s’agit d’un effet prix global, résultat d’un effet de substitution et d’un effet revenu.

On vérifie cette égalité a) Géométriquement par le « triangle des effets » - voir graphique ci-dessus. b) Arithmétiquement, soit

Voir graph

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Le bien X voit ses quantités demandées augmenter du fait de la baisse du prix, mais l’amélioration du pouvoir d’achat du consommateur conduit celui-ci à réduire les quantités de ce bien. L’effet de substitution l’emporte sur l’effet de revenul s’agit donc d’un bien dont la consommation augmente lorsque le prix baisse. Le bien X est un donc un bien normal.

Question 7) Déterminer l’équation des courbes d’Engel Les deux courbes d’Engel ont pour équation respective : x*=f(R) et y*=f(R) Elles sont issues de l’équation de la courbe de Revenu Consommation qu’il faut déterminer préalablement. Soit TMSy/x = U’x/U’y = 0,5y/0,5x + 5 On sait qu’à l’optimum TMSy/x = px/py. Comme px=py=2 (les droites budgétaires de la courbe de revenu consommation sont de même pente = 2 Alors : A l’optimum

0,5y/0,5x + 5 = 2/2 = 1 d’où 0,5y = 0,5x + 5 et donc y* = x* + 10 (x et y étant des quantités optimales)

Or, R = x*px + y*py = 2x* + 2y* en remplaçant y* = x* + 10 R = 2x* + 2(x* + 10) = 2x* + 2x* + 20 = 4x* + 20 D’où : x* = ¼ R – 20 et donc y* = x*+10 = ¼ R – 20 +10 = ¼ R -10 x* = ¼ R – 20 et y* = ¼ R -10 sont les courbes d’Engel demandées.

Exercice 3 : Elasticités de la demande (3 points) Soit la fonction de demande, reliant la quantité demandée du bien X (soit qx), à son prix (px), au prix d’un autre bien (py) et au revenu du consommateur (R), par la relation : qx = 69 px-1 py0,5 R0,5

Répondre aux questions ci-dessous : 1) Calculer l’élasticité prix directe de la demande après avoir écrit sa définition mathématique.

εqx/px = (əqx/qx)/(əpx/px) = (əqx/əpx) × px/qx = -69 px-2 py0,5 R0,5 × (px/69 px-1 py0,5 R0,5) = -1 (après simplification)

2) A quoi correspond ce type d’élasticité ? De quelle nature est le bien X ? L’élasticité prix étant ici une constante, elle est appelée « isoélasticité » et correspond au cas d’une courbe dite « isoélastique » ou à élasticité constante. L’élasticité étant négative, le bien X est un bien normal : lorsque le prix augmente de 1%, la demande diminue de 1%.

3) Calculer l’élasticité prix croisée de la demande après avoir écrit sa définition mathématique.

Puis commentez le résultat obtenu.

εqx/py = (əqx/qx)/(əpy/py) = (əqx/əpy) × py/qx = 69×0,5 py-0,5 R0,5 × (py/69 px-1 py0,5 R0,5) = 0,5 (après simplification)

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L’élasticité prix croisée est positive. Donc les biens X et Y sont des biens substituables. La quantité demandée du bien X varie dans le même sens que le prix de Y.

4) Calculer l’élasticité revenu de la demande après avoir écrit sa définition mathématique. Puis commentez le résultat obtenu.

εqx/py = (əqx/qx)/(əR/R) = (əqx/əR) × R/qx = 69×0,5 px-1 py0,5 R-0,5 × (R/69 px-1 py0,5 R0,5) = 0,5 (après simplification)

5) Sur la base des résultats précédents (questions 1 et 4), calcluler l’impact sur la demande (qx)

des variations ci-dessous (en donnant votre formule):

51) On suppose une hausse du prix de X, soit px, de 20%

L’impact s’écrit : (əqx/qx) = εqx/px × (əpx/px) = -1 × 0,2 = -0,2 = -20% 52) On suppose une baisse du revenu de 10%

L’impact s’écrit : (əqx/qx) = εqx/R × (əR/R) = 0,5 × 0,1 = -0,05 = - 5% Exercice 4 : Fonction de production, Isoquant et TMST (4 points) Soit la fonction de production à deux facteurs y = y (y1 ; y2) = (y1 – α)1/2 y21/4 avec y=la quantité produite, y1 et y2 les quantités de facteurs utilisés (>0), et α une constante >0. Question 1) Ecrire la fonction de production de courte période si le facteur y2 est fixe et égal à y0. y = y (y1 ; y2) = (y1 – α)1/2 y21/4 devient y = y (y1 ; y0) = (y1 – α)1/2

Question 2) Déterminer la productivité totale du facteur y1 PTy1 = y = y (y1 ; y0) = (y1 – α)1/2

Question 3) Déterminer la productivité moyenne du facteur y1 PMy1 = (PTy1/y1) = {(y1 – α)1/2}/y1 Question 4 ) Définir littéralement, puis calculer la productivité marginale du facteur y1

La productivité marginale de y1 est le supplément de production résultant de l’emploi d’une unité additionnelle de ce facteur . y = y (y1 ; y2) = (y1 – α)1/2 y21/4

Pmy1 = δ((y1 – α)1/2)/δy1 = ½ (y1 – α)-1/2

Question 5) En utilisant le résultat dela question précédente (N°4) quand diriez vous que le principe de non gaspillage est respecté ? réponse littéraire, algébrique ou géométrique.

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Le principe de non gaspillage est respecté si la PmL est positive : cette condition signifie que le supplément de production est croissant à mesure de l’adjonction d’unité additionnelles de travail. Ce qui peut s’écrire : Δy1 tel que Δy/y croissant. L’extrait du graphique des productivtés illustratif est :

Question 6) Connaissant la fonction de production initiale déterminer l’équation général des isoquants, après avoir défini le concept d’ « isoquant ». On appelle isoquant, le lieu des combinaisons productives (y1 ; y2) qui procurent le même niveau de production (y). Si y = y (y1 ; y2) = (y1 – α)1/2 y21/4 alors y21/4 = y*/(y1 – α)1/2 y2 = y*4/ (y1 – α)2 Question 7) Vérifier les deux propriétés mathématiques de l’isoquant

L’isoquant est décroissant : δy2/ δy1 = - y*4/ (y1 – α)3 < 0 sa dérivée première est négative

L’isoquant est convexe : : δ2y2/ δy12 = y*4/ (y1 – α)4 = (y*/ (y1 – α)4 > 0 sa dérivvée seconde est positive Question 8) Existe-t-il un lien entre le TMSTy2/y1 et l’isoquant Oui.

a) A l’optimum, le TMSTy2/y1 est égal à la valeur absolue de la pente de la tangente à l’isoquant soit ici :

TMSTy2/y1 = y*4/ (y1 – α)3

b) La décroissance du TMSTy2/y1 traduit la convexité de l’isoquant.

Exercice 5 : Homogénéité (1point) Soit la fonction de production : Q(x1 ;x2) = x12/3 x22/5 où x1 et x2 sont les quantités des deux facteurs de production( >0). Il est demandé de déterminer les rendements d’échelle de cette fonction et d’interpréter le résultat obtenu. La fonction de production est homogène si Q(kx1 ;kx2) = ʎk x12/3 x22/5 Soit Q(kx1 ;kx2) = ʎ x12/3 ʎ x22/5 = ʎ2/3

ʎ2/5 x12/3 ʎ x22/5 = ʎ2/3+2/5

x12/3 x22/5 = ʎ16/15 x12/3 x22/5 = ʎk x12/3 x22/5 avec k =16/15 > 1 le degrès d’homogénéité de la fonction est supérieur à 1. Les rendements d’échelle sont donc croissants. Une croissance donnée des deux facteurs x1 et x2 engendre une croissance plus que proportionnelle de la production.

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Exercice 6 : Sentier d’expansion (2 points) a) La fonction de production est : Q = K2 + L où K et L sont les quantités des deux facteurs de

production (> 0). On note w et r, les prix respectifs des facteurs L et K. Il est demandé de : définir et déterminer l’équation du sentier d’expansion, puis de donner sa représentation graphique intuitive. Le sentier d’expansion est le lieu des combinaisons productives optimales des deux facteurs permettant de produire au coût minimum, quand varient les quantités produites, les prix des deux facteurs étant donnés (donc constants). Mathématiquement la fonction représentative est obtenue par l’égalité : TMSTK/L = w/r Soit le TMSTK/L PmL/PmK = w/r PmL = δQ/ δL = 1 et δQ/ δK = 2K Donc à l’optimum : 1/2K = w/r 2K=r/w K* = r/2w qui est l’équation du sentier d’expansion La représentation graphique est :

b) Même travail demandé (sans définitions) pour la fonction Q = aK3 + bL2 (a et b cstes >0)

le résultat est : 2bL/3aK2 = w/r donc K* = [(2br/3aw) L*]1/2 qui est l’équation du sentier d’expansion

La représentation graphique est :

FIN DU DOCUMENT

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NB : Les graphes simplifiés ci-dessus ne comportent pas volontairement les droites d’isocoût tangentes, à l’optimum, aux isoquantes Q*

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