Chap08 - Nombres Complexes
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Chapitre08
AnneScolaire
2013 2014
Nombrescomplexes
ClassedeTerminale
S
M.HoareauG.
LyceMarieCurie.
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Chapitre 08 : Nombres complexes
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I.
Forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul1. Introduction
2.
Module et argument dun nombre complexe no n nul
Le plan complexe est muni dun repre
orthonorm direct ; ; . On considre lecercle de centre et de rayon , appel cercletrigonomtrique.
Soit un nombre complexe non nul, qui scritsous forme algbrique . Soit lepoint daffixe .La demi-droite coupe le cercle trigonomtrique au point. On note une mesure delangle orient ; , de sorte que le point a pour coordonnes cartsiennes ;. La distance se calcule ainsi partir des coordonnes du point :Si on pose , alors les coordonnes du point scrivent aussi sous la forme ;. Le nombre complexe peut donc scrire donc sous deux formes : forme algbrique forme trigonomtrique
Passage de la forme algbrique la forme trigonomtrique
Soit un nombre complexe non nul, qui scrit sous forme algbrique , avec ou .Un argument du nombre , not , est une des mesures exprimes en radian, delangle orient ; .Le module du nombre , not ||, est la longueur . Ainsi, || .
Dfinition 1
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3. Forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul
|| Soit un nombre complexe non nul. On a alors lgalit suivante :
Proposition 1
Si dsigne un argument dun nombre complexe non nul, alors tout autre nombre de laforme
o
est aussi un argument de
. On crit alors :
Notation 1
Pour tout nombre complexe non nul, on a les relations suivantes :9 et || ||9
et
|| ||
Proposition 2
Tout nombre complexe non nul scrit sous la forme suivante, dite trigonomtrique : avec || et Dfinition 2
On considre deux nombres complexes et .
quivaut
|| ||et
Proposition 3
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9 On considre le nombre complexe sous forme trigonomtrique , alors scrit sous forme algbrique.
9 On considre
sous forme algbrique, alors
scrit
sous forme trigonomtrique.
Exemples 1
Soit un nombre complexe non nul qui scrit sous forme algbrique :Alors
|| o est dfini par
Proposition 5
Soit un nombre complexe non nul qui scrit sous forme trigonomtrique :Alors
Proposition 4
Si avec 0, alors est la formetrigonomtrique de
, avec
|| et
.
Thorme 1
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4.
Interprtation gomtrique du module et de largumentSi et sont deux points daffixes respectives et , dans un repre orthonorm; ; , alors : | |.
Thorme 2
Soient et sont deux points daffixes respectives et , dans un repre orthonorm; ; .9 appartient au cercle de centre et de rayon si et seulement si | | .9 appartient la mdiatrice du segment si et seulement si| | | |.
Proposition 6
; Si et sont deux points daffixes respectives et , dans un repre orthonorm; ; , tels que , alors :
Thorme 3
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II .Notation exponentielle de la forme trigonomtrique1. Cas dun nombre complexe de module 1
2. Notation exponentielle de la forme trigonomtrique
Le nombre complexe de module 1 dont un argument est est not avec :On lappelle notation exponentielle.
Dfinition 3
9 9
Exemples 2
Tout nombre complexe non nul de module et dargument scrit sous la formesuivante, dite notation exponentielle :
avec || et .
Thorme 4
On considre un nombre complexe , crit avec la notation exponentielle : . Alors
Proposition 7
Si 0 et 0, alors :
si et seulement si
Proposition 8
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3.
Module et argument dun produit
4. Module et argument dun quotient
Quels que soient les nombres complexes
et
, avec
non nul, on a :
9 ||||9
Thorme 6
Pour tout entier naturel , et pour tout nombre complexe non nul, on a :9 Si , alors 9 || ||9
Proposition 9
Quels que soient les nombres complexes et non nuls, on a :9 || ||||9
Thorme 5
Pour tout entier naturel , et pour tout nombre rel , on a la formule de Moivre :Proposition 10 Formule de Moivre
Pour tous nombres rels et , on a les galits suivantes :
Proposition 11
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Activits
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Exercice 8
Exercice 3
Exercice 1
1 Passer de la forme algbrique la forme trigonomtrique
Exercice 2
Exercice 4 (suite)
Exercice 4
2 Utiliser la notation exponentielle
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
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Exercice 12Exercice 8 (suite)
3Exploiter gomtriquement l'affixe d'un vecteur
Exercice 13Exercice 9
Exercice 10 Exercice 11
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Activits
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Exercice 18
Exercice 20
Exercice 18 (suite)
Exercice 16
Exercice 13 (suite)
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 19
Exercice 17
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Exercice 22
Exercice 21
Exercice 26 (suite)
Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25
Exercice 26
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Exercice 27
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Exercice 28
