COURS OBL Les Nombres Complexes

7/24/2019 COURS OBL Les Nombres Complexes

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CLes nombres complexes

Stphane PASQUET, 22 mars 2015

SommaireEnsemble des nombres complexes, forme algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Somme et diffrence de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Conjugu dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Quotient de deux nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Proprits sur les conjugus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4quation du second degr coefficients rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Affixe dun point (reprsentation graphique dun nombre complexe) . . . . . . . . . . . 6Module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Forme trigonomtrique dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Passer de la forme algbrique la forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Proprits sur les modules et les arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ingalit triangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Forme exponentielle dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Formule de Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Formules dEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Complment 1 : Calculer la somme1 + cos x+ + cos(nx)1 + cos x+ + cos(nx)1 + cos x+ + cos(nx) . . . . . . . . . . . . . . . 13Complment 2 : Interprtation gomtrique de

zC zAzB zAzC zAzB zAzC zAzB zA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Complment 3 : Calcul decos

12cos

12cos

12 etsin

12sin

12sin

12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Prrequis

Raisonnement par rcurrence et suites gomtriques (pour le Complment 1)

Fonction exponentielle

1


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Lensemble des nombres complexes est un ensemble, not C, de dimension 2 (contrairement R qui est de dimension 1) dont une base est lensemble{1; }, cest--dire que :

z C, (a ; b) R R|z= a+ b.

oest un nombre imaginaire tel que 2 =

1.

a est appele la partie rellede zet b, sa partie imaginaire.Lcriture a+ b ou a+b est appele la forme algbrique du nombre complexe z.Si a= 0, on dira que zest un imaginaire pur.Si b= 0, on dira que zest un rel pur.

Dfinitions Ensemble des nombres complexes, forme algbrique

Tout nombre rel est aussi complexe.

Remarque

Si z= a + b, alors on notera Re(z) =a et Im(z) =b.

Notations

1 z1 = 3 + 2 est un nombre complexe de partie relle Re(z) = 3 et de partie imaginaireIm(z) = 2.

2 z2=5 6est un nombre complexe de partie relle Re(z) =5et de partie imaginaireIm(z) =

6.

3 z3 = 4 est un nombre complexe de partie relle Re(z) = 0 et de partie imaginaireIm(z) = 4.

4 z4 =5 est un nombre complexe de partie relle Re(z) =5 et de partie imaginaireIm(z) = 0.

Exemples

Soient z= a+ bet z =a + b deux nombres complexes.Alors,

z+z = (a+a) + (b+b) z z = (a a) + (b b)

z= z a = a et b= b

PropritsSomme et diffrence de deux nombres complexes

1 (3 + 2) + (5 4) = (3 + 5) + (2 4)= 8 2.

2 (3 + 2) (5 4) = (3 5) + (2 + 4)=2 + 6.

Exemples

2


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Soient z= a+ bet z =a + b deux nombres complexes.Alors,

zz =aa bb + (ab +ba).

PropritProduit de deux nombres complexes

En appliquant la double distributivit, on a :

zz = (a+ b)(a + b)

=aa + ab + ba + 2bb

= (aa bb) + (ab +ba)

Dmonstration

Soit z=a+ bun nombre complexe.

On appelle conjugude zle nombre :z= a b.

Dfinition Conjugu dun nombre complexe

1 Le conjugu dez1 =3 + 5 est z1=3 5.2 Le conjugu dez2 = 2 3 est z2= 2 + 3.

Exemples

Soit zun nombre complexe. Alors,zz= Re(z)2 +Im(z)2.

Proprit

Posons z= a+ b. Alors,zz= (a+ b)(a b)

=a2 ab+ ab 2b=a2 +b2 car2 =

1

Donc,zz= a2 +b2.

Dmonstration

Soient z= a+ bet z =a + b deux nombres complexes, z = 0.Alors, pour dterminer la forme algbrique de

z

z, on multiplie le numrateur et le dnominateur

par z.

Mthode Quotient de deux nombres complexes

3


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3 25 3=

(3 2)(5 + 3)(5 3)(5 + 3)

=15 + 9 10 62

52 (3)2

=

15

1

6

(

1)

25 9 (1)=

21 25 + 9

=21

34 1

34.

Exemple

On est assur davoir la forme algbrique laide de cette mthode car zz R daprs laproprit prcdente.

Remarque

Soient zet z deux nombres complexes.

1 z= z

2 z Rz= z3 Re(z) =

z+z

2

4 Im(z) =z z

25 z+z =z+z

6 zz =z z

7 z

z=

z

z

8 n N, zn =zn

PropritsProprits sur les conjugus

Posons z= a+ bet z =a + b.

1 z= a bdonc z=a+ b= z.2 z z= a b (a+ b) =2b. Donc z z= 0b = 0. Ainsi, z R.3 z+z= 2a donc Re(z) =a =

z+z

2 .

4 z z= 2b donc Im(z) =b = z z2

.

5 z+z = (a+a) + (b+b) =a +a (b+b) =a b+a b =z+z.6 zz = (aa bb) + (ab+ba) = (aa bb) (ab+ba).

z z = (a b)(a b) =aa ab ba + 2bb = (aa bb) (ab +ba).Donc zz =z z.

7 z

z=

zz

zz=

zz

|z|2 donc z

z=

1

|z|2 zz =

1

|z|2zz et

z

z=

zz

zz=

zz

|z|2 = z

z.

8 On dmontre cette proprit par rcurrence laide de la proprit 1.

Dmonstration

4


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1 z Rz= z. 2 Re(z) = 0z=z.

Proprits

Les dmonstrations sont videntes.

Soit P(z) = az2 +bz+c un polynme de degr 2, avec a, b et c trois rels. On pose alors =b2 4acson discriminant.Si 0, les solutions (relles) de lquation P(z) = 0 sont donnes par les formules vues enclasse de 1re.Si < 0, alors les solutions (complexes) de lquation P(z) = 0 sont :

z1=b

||

2a et z2 =

b ||

2a .

Proprit

quation du second degr coefficients rels

P(z1) =a

b

||

2a

2+b

b ||

2a +c

= b2 + 2b

|| ||

4a +

b2 b||

2a +c

= b2 + 2b

|| || 2b2 2b

|| + 4ac

4a

=b2 + 4ac ||

4a

= ||4a

= +

4a car < 0 donc||=

= 0De la mme faon, on montre que P(z2) = 0, ce qui prouve que z1 et z2 sont deux solutions delquationP(z) = 0.Il ne peut y avoir dautres solutions car cela supposerait que P(z) se factorise sous la formea(zz1)(zz2)(z), o serait une troisime solution. Or, en dveloppant cette formefactorise, on arrive un polynme de degr 3, ce qui contredit notre hypothse.

Ainsi, il nexiste que deux solutions lquation P(z) = 0 qui sont z1 et z2.

Dmonstration

Les deux racines complexes dune quation de degr 2 sont deux nombres complexes conjugus.

Remarque

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Soit lquation :z2 +z+ 1 = 0.

Le discriminant est : = 12 4 1 1 =3< 0.

Les deux solutions sont donc :

z1 =1 3

2 et z2=

1 + 32

.

Dans le monde des complexes, on notera j=12

+

3

2 .

On vient alors de voir que j2 +j+ 1 = 0, do la relation :

j2 = 1 +j.

On pourrait aussi montrer que 1

j

=j2.

Exemple

En lectronique, on utilise la lettre j la place de la lettre .

On notera par exemple en lectronique : R+jL et R jC

.

Soit z = a+ b un nombre complexe. zest appel laffixe du point M ou du vecteur #w de

coordonnes (a ; b) dans un plan muni dun repre orthonorm (O ;#

u ,#

v ) (que lon nommeraplan dArgand-Cauchy).On notera alors M(z) et #w(z).

Dfinition Affixe dun point (reprsentation graphique dun nombre complexe)

Dans le plan dArgand-Cauchy, soit M(z).On dfinit le modulede zcomme tant la longueur du segment OM, et on le note|z|.On dfinit un argument de z comme tant une mesure de langle que fait

#

OM avec #u . On lenotearg(z).

|z|= OM ; arg(z) = #u, #OM mod 2.On note souvent r=|z| et = arg(z).

Dfinitions Module et argument

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#u

#v

O

M(z)

r=|z|

= arg(z)r=|z|= 2

= arg(z) =5

3 mod 2

Exemple

Soit z=a+ bun nombre complexe.Alors,

a= r cos b= r sin

Proprit

En considrant le point H, projet orthogonal de M sur laxe des abscisses, on applique lesformules de trigonomtrie vues en 3e dans le triangle rectangle OMH, quitte utiliser les formulesde trigonomtrie de 1re dans le cas o > .

Dmonstration

Soitz= a + bun nombre complexe. Alors, daprs la proprit prcdente, on peut aussi crirezsous la forme :

z= r(cos + sin ),

o r et reprsentent respectivement le module et un argument de z.Cette criture est appele la forme trigonomtriquede z.

Dfinition Forme trigonomtrique dun nombre complexe

Soit z=a+ bun nombre complexe. Alors,

|z|=

a2 +b2.

Proprit

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Si H est le projet orthogonal de M(z) sur laxe des abscisses, alors daprs le thorme dePythagore appliqu dans le triangle rectangle OHM,

OM2 =a2 +b2,

do la proprit (car OM 0).

Dmonstration

Soit z= 2

3 + 2.

1 On calcule le module.

|z|=

2

32

+ 22

=

12 + 4

= 16|z|= 4.

2 On factorise zzz par son module.

z= 4

3

2 +

1

2

.

3 On dtermine alors un argument.

cos = 32

sin =1

2

= 6

mod 2.

4 On en dduit la forme algbrique dezzz.

z= 4

cos

6+ sin

6

.

Mthode Passer de la forme algbrique la forme exponentielle

Soit zun nombre complexe. Alors,zz=|z|2.

Proprit

8


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Posons z= a+ b.Dune part, on a :

zz= a2 +b2 (vu prcdemment).

Dautre part, on a :

|z|2 = a2 +b22=a2 +b2.

Do le rsultat annonc.

Dmonstration

Soient zet z deux nombres complexes. Alors,

1 |zz|=|z| |z| et arg(zz) = arg(z) + arg(z)2 |zn|=|z|n et arg(zn) =n arg(z).3

zz

=|z||z| et arg z

z

= arg(z) arg(z)

4 |z|=|z| et arg(z) = arg(z).

PropritsProprits sur les modules et les arguments

On pose z=r(cos + sin ) et z =r (cos + sin ).

1 zz =rr(cos + sin )(cos + sin )

=rr[cos cos sin sin + (cos sin + sin cos )]=rr[cos(+) + sin(+)]

=R(cos + sin ) avec R= rr et = +

Ainsi,|zz|= rr =|z| |z| et arg(zz) = + = arg(z) + arg(z).2 Cette proprit se dmontre par rcurrence laide de la proprit prcdente.

3 z

z=

r(cos + sin )(cos sin )r(cos + sin )(cos sin )

= r

r cos cos

+ sin sin + (sin cos cos sin )1

= rr

[cos( ) + sin( )] .

Ainsi, z

z

= rr

=|z||z| etarg

zz

= = arg(z) arg(z).

4 z= r(cos sin ) =r[cos() + sin()].Ainsi,arg(z) = arg(z) et|z|= r =|z|.

Dmonstration

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Pour tous nombres complexes zet z,

|z+z| |z| + |z|.

PropritIngalit triangulaire

On pose z=a+ bet z =a + b. Alors,

|z+z|2 = (a+a)2 + (b+b)2 (1)=a2 +b2 + (a)2 + (b2) + 2(aa +bb) (2)

=|z|2 + |z|2 + 2Re(zz) (3)

Posons zz =x + y. On a :

Re

zz

Re

zz

=

x2. (4)

De plus,x2 x2 +y2.

Donc, par croissance de la fonction racine carre,

x2

x2 +y2 =|zz|. (5)

De (4) et (5), on dduit :Re(zz) |zz|.

Ainsi, lgalit (3) devient :

|z+z

|2

|z

|2 +

|z

|2 + 2

|zz

|,

soit :|z+z|2 (|z| + |z|)2 .

On en dduit alors (par la positivit des modules) :

|z+z| |z| + |z|.

Dmonstration

La fonction f : cos + sin vrifie la mme relation fonctionnelle que la fonction expo-nentielle :

( ; ) R R, f(+) =f()f() , f(0) = 1.

Proprit

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Dune part, on a :

f(+) = cos(+) + sin(+)

= cos cos sin sin +i(sin cos + sin cos ).

Dautre part, on a :

f()f() = (cos + sin )(cos + sin )

= cos cos + cos sin + sin cos sin sin =f(+).

De plus,f(0) = cos 0 + sin 0 = 1 + 0 = 1.

Dmonstration

Soit z=r(cos + sin ).La forme exponentiellede zest :

z= re.

Cette relation est aussi appele la formule dEuler.

Dfinition Forme exponentielle dun nombre complexe

R, (cos + sin )n = cos(n) + sin(n)

ThormeFormule de Moivre

La dmonstration de ce thorme a dj t voque prcdemment car nous avons vu quearg(zn) = n arg(z) et que|zn|=|z|n.

R, cos = e + e

2 et sin =

e e2

ThormeFormules dEuler

Dune part, nous avons :

e + e

2 =

cos + sin + cos() + sin()2

=2cos

2 car cos() = cos et sin() = sin

= cos .

Dmonstration

...

11


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Dautre part, nous avons :

e e2

=cos + sin cos() sin()

2

=2sin

2= sin .

Les formules dEuler sont trs utiles pour mmoriser (ou dcouvrir) les formules daddition/delinarisation en trigonomtrie, comme le montre lexemple suivant :

cos2 =

e + e

2

2

=e2 + 2

=1 ee +e2

4

=1

2e

2 + e2

2 +

1

2

=1

2cos(2) +

1

2.

Exemple

Soient z= re et z

=r

e

deux nombres complexes.

1 z= e

2 z

z=

r

re(

)

3 zz =rre(+)

4 zn =rnen

Proprits

Toutes ces proprits sont celles dj vues prcdemment, mais crites de faons diffrentes.

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Complment 1: Calculer la somme1 + cos x+ + cos(nx)1 + cos x+ + cos(nx)1 + cos x+ + cos(nx)On note :

Cn(x) =n

k=0

cos(kx) = 1 + cos x+ cos(2x) + + cos(nx).

Une faon de dterminer une expression simple de cette somme est de considrer la somme :

n(x) =n

k=0

ekx.

En effet, Cn(x) = Re(n(x)) et n(x) est une progression gomtrique, cest--dire la somme despremiers termes dune suite (complexe) gomtrique (de premier terme 1 et de raison eix).Ainsi, on a :

n(x) =1 e(n+1)x

1 ex

= 1 e(n+1)x

1 ex

(1 ex) (1 ex)=

1 ex e(n+1)x + enx1 ex ex + 1

=1 ex e(n+1)x + enx

2 2 ex+ex2

=1 ex e(n+1)x + enx

2 2cos x=

1 cos(x) cos(n+ 1)x+ cos(nx) + ( sin(x) sin(n+ 1)x+ sin(nx))2 2cos x

On en dduit alors :Cn(x) =

1 cos(x) cos(n+ 1)x+ cos(nx)2 2cos x .

On peut mme crire :

nk=0

sin(kx) =sin(x) sin(n+ 1)x+ sin(nx)

2 2cos x .

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Complment 2: Interprtation gomtrique dezC zAzB zAzC zAzB zAzC zAzB zA

Dans le plan dArgand-Cauchy, soient A(zA), B(zB) et C(zC) trois points quelconques.

zC zAzB zA =

|zC zA||zB zA|

=AC

BC

.

arg(zC zA) =#u ,

#

AC

et arg(zB zA) =#u ,

#

AB

.

Donc, arg

zC zAzB zA

= arg(zC zA) arg(zB zA)

=#u ,

#

AC#u ,

#

AB

=#

AB ,#

AC

.

On peut se servir de ces rsultats pour discuter de la nature dun triangle par exemple.Soient A(2), B(1 + 5) et C(

3 + 3). Quelle est la nature du triangle ABC ?

zC zAzB zA

=|zC zA||zB zA| =| 3 + ||1 + 3| = 1.Donc AB= AC.

De plus, zC zAzB zA =

(3 + )(1 3)(1 + 3)(1 3) =

2

5.

Donc,arg

zC zAzB zA

=

2 mod 2=

#

AB ,#

AC

.

On en dduit alors que le triangle ABC est rectangle isocle en A.

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Complment 3: Calcul decos

12cos

12cos

12etsin

12sin

12sin

12Les nombres complexes permettent de calculer nimporte quelle ligne trigonomtrique de nimporte

quel angle de la forme

qtant que lon connat les lignes trigonomtriques des angles

n et

m tels

que

n

m=

q.

Voyons un exemple :

Posons :

z=

3

2 1

2

2

2 +

2

2

.

Alors, on peut aussi crire :

z= e

6 e

4 = e

12 .

En dveloppant zavec la premire criture, on a :

z= 64

+ 24

+ 6

4 2

4

Comme|z|= 1, on en dduit alors :

cos

12=Re(z) =

6 +

2

4 et sin

12=

6 2

4 .

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