Chap IV v Vi Vii.new

7/26/2019 Chap IV v Vi Vii.new

1/44

Pour beaucoup d'applications, une rsolution complte des quations de bilan locales

n'est pas ralisable. On utilise alors une approche macroscopique qui est beaucoup plus simple

mais qui, en contrepartie, ne fournit d'informations sur la valeur des diffrentes grandeurs

qu'aux entres / sorties du systme, et pas l'intrieur.

Pour tablir les bilans macroscopiques, il est possible de partir des bilans locaux et de

les intgrer. !'est la voie la plus rigoureuse. "ous prfrons ici les crire directement en nousappuyant sur le thorme de transport#cf. annexe $%, parce que cette dmarche nous para&t plus

intuitive.

On choisit un volume de contrle ( tel que le suivant )

Exemple :

( est un racteur nuclaire

*eest la conduite d+entre d+eau*s est la conduite de sortie d+eau

rchauffe

$l comporte )

- frontire physique tanche au fluide #%

- ou plusieurs surfaces par o l+coulement entre #*e%

- ou plusieurs surfaces par o l+coulement sort #*s%

ans les applications, on utilisera souvent la proprit suivante )

La pression est une grandeur essentiellement continue, aussi bien dans le sens de

l+coulement #ex ) entre la fin d+une canalisation et le 0et libre qui lui fait suite% qu+ travers les

interfaces liquidega1 ou liquideliquide, #ex ) au passage entre l+intrieur d+un 0et et l+air libre%.

2a seule exception notable concerne certaines transitions soniques #ondes de choc%.

1) - Bilan matire global :

!onsidrons le volume matriel (m#t% qui co3ncide avec le volume de contrle (

l+instant t. Pour (m#t%, la conservation de la matire s+crit #s+il n+y a pas de terme source% )

dm(m#t%4 5

67

Obstacleinterne

P8

(

Paroi ouligne de courant

*e

(olume de contrle

*s


2/44

9ntre t et t :dt, le volume matriel se dplace #traverse les entres et sorties%. 2e

thorme de transport permet de passer l+criture quivalente pour ( )

0)(=sourceVdans

dAnv=v

entrant;lux8ermeon*ccumulati

+/ + iAdtdm

on apprciable que dans la direction de l+coulement.

?ur le schma de la page prcdente, les sections *e et *s sont choisies planes et

perpendiculaires l+orientation de l+coulement. Les normales ( )s

n,e

n sont orientes vers

lintrieur du volume de contrle (convention du thermodynamicien ou du banquier).

ans ce cas, le bilan matire s+crit simplement )

dm

dt

v

Accumulation

= v A - v Ae e e s s s

= Dbit entrant - Dbit sortant

2) - Bilan de quantit de mouvement

a% 8horme d+9uler

@eprenons le m=me volume de contrle fixe ( et considrons le volume

matriel (m#t% avec lequel il co3ncide l+instant t. ?ur ce volume matriel, nous pouvons

rcrire l+quation fondamentale de la dynamique #cf. $$$.A.a.-% )

F=dVvVm(t)

dtd

; dsigne la rsultante des forces qui s+exercent sur le fluide contenu dans (m#t%,

forces de volume et forces subies aux frontires #parois, pression...%.

6B


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9n utilisant le thorme de transport pour le passage un volume fixe, cette quation

peut s+crire )

( )

entrantmouvementdequantitdebit?ourceon*ccumulati

d*n.vv;4d(vdt

d

i*:(

+=

/// +

#-%

Cnralement, dans le cas d+une approche macroscopique, on ne conna&t pas le champ

de vitesse et on se contente d+une approche du rgime stationnaire )

( ) dAn.vv-= AF

#A%

!ette quation traduit le premier thorme global dEuler :

ans un coulement permanent, la rsultante des forces qui s+appliquent au fluide

contenu dans le volume de contrle ( est gale et oppose au dbit de quantit de mouvement

entrant travers la frontire du volume de contrle. !e thorme s+applique, pour un problme

stationnaire, tout volume de contrle !ixe, m=me si l+on n+a pas unidimensionnalit en

entre et en sortie.

"emarques :

-% 2a force ; en rgime permanent est indpendante du sens de l+coulement.

A% ans les applications de l+quation #A%, on utilise souvent la proprit suivante )

lorsque la vitesse est unidirectionnelle et possde une symtrie cylindrique #

zz e(r)vv= %, ou unidirectionnelle et uniforme sur la section # xx evv= %, alors les

variations transversales de la pression ne rsultent que de l+hydrostatique. !ette

proprit s+tablit immdiatement partir du bilan de quantit de mouvement local

#pp. *-5 et *--%

b% composition de ; )

2es forces qui s+exercent sur ( sont les m=mes que celles qui s+exercent sur (m#t% )

F 4 m g , ; : t ' d*v @

*i

;@ ) @sultante des forces de raction subies par les parois #% du volume de contrle

#gnralement les parois de l+appareil, mais aussi les surfaces l+atmosphre s+il existe des

surfaces libres%.

!+est souvent lagrandeur qui nous intresse.6D


4/44

t ' ) contrainte totale #visqueuse : pression% subie par le fluide ) nPt4't + .

c% !as d+un coulement unidimensionnel en entre et en sortie ) v=.v n sur *e et

*s. 2'quation #A% peut alors s'crire )

[ ]( ) F=nv+nvm-ou

F=nvA+nAv

ssee

s!ssee!e

se

#6%

Cnralement, on peut ngliger les contraintes visqueuses sur les sections d+entre et

de sorties #voir encadr cidessous%, et ; s+crit )

ssseee" nA#nA#F-$m=F ++#E%

On peut regrouper #6% et #E% pour obtenir )

( ) ( )iqueFydrodynam$mpulsioniqueFydrodynam$mpulsion

gm:n*P:vn*P:v4; sssAsseee

Aee@

++ #G%

H*ttention ) !ette expression n+est pratique que pour des coulements dans des

volumes I ferms J, c+estdire pour lesquels il n+y a pas de surface libre. ans le cas contraire

#ex. ) 0et libre%, il est prfrable d+utiliser le thorme d+9uler.

9valuation des contraintes visqueuses sur les sections d+entre et de sortie.

9coulement unidimensionnel v n+a qu+une seule composante #v x%.

vxuniforme sur la section #vx4 vx#x%% seul xx5 #si 4 cste%

()

v A = cste

A cstev x cste 0 t 0

x

x xx

*utrement dit, si on choisit bien les sections *i # un endroit o v est uniforme et peu prs

constante dans le sens de l+coulement%, alors les contraintes visqueuses y sont faibles.

d% *pproximation d+un coulement turbulent par un coulement de fluide parfait K

utilisation du 8horme de


5/44

2e thorme de


6/44

//

iA+

!

V

!

dAn.v!

u+e-dV

!

u+e

dt

d

+ AV %+dAn.vdVv.e-= PW p'

ep4 nergie potentielle # g 1%

O) puissance fournie par les forces autres que pression et pesanteur.

9n utilisant )

( ) ( ) e = . e v - e . v

l+quation de continuit

le fait que l+nergie potentielle dans le volume fixe ne varie pas au cours du temps

le thorme de Creen OstogradsQy

"ous pouvons transformer l+quation prcdente )

( ) %+dAn.v#+edVedt

d-=

iA+

V

/ +'W

#A%

9n runissant les #-% et #A%, nous obtenons )

&+%+dAn.v!

v+e+=dV

!

v+e+e

dt

d

iA

!

V

!

+

p #6%

*ttention ) au Ame

membre, c+est h 4 e :

P

, enthalpie massique du fluide quiintervient.

ans le cas d+un systme unidimensionnel en entre et en sortie, l+expression

prcdente devient )

d

dt V e + e +

vdV = m + e +

v

! - m + e +

v

! + % + &

!

e e ee!

s s ss!

!

#E%

*ccumulation dnergietotale 4 bit net denthalpietotale #entrante sortante% : Puissance fournie

au systme par les forces autres que pression et pesanteur : Puissance thermique re>ue par le systme

9n rgime permanent ) &+%=+!

v+.m

!

#G%

$) %utres bilans nergtiques macroscopiques

On rappelle les bilans locaux )

EA


7/44

( ) ( ) v+.v.-.v#+#v.-vv!

.-F.v=v

!

!!

t

#-%

( ) uv.-.&-v-.v-dF=*

**

ku

t

#A%

( ) ( )

e

4 , .-

A v : e : u v , . Pv , . .v , .A p

t

#6%

On considre un systme macroscopique du m=me type qu+au paragraphe

prcdent. On intgre #-5% sur l'ensemble du systme macroscopique, pour obtenir )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )edcba

dVv+dV.v.-dV.v+dV#v.-dVvv!

.-dVF.v=

vv vv

!

v v

c Pdtd

On rappelle que ) ; 4 ep

Par consquent )

( ) ( )[ ]a 4 , v. e d( 4 , .e v , e .v d(pv

p pA

v

?upposons invariable )

( ) ( ) dVv.e-=aet0=.vaorsv

On transforme l+intgrale en intgrale de surface )

( ) ( )a es

) v dn

?Q

+ +

o vnest la vitesse normale entrante K mais vn4 5 sur ?pdonc

#a% 4 epe ve eps vs

( ) s/

se/

e v!

-v!

=b

( )c 4 P v ? , P v ?e e e s s s

#d% 4 5 #incompressibilit%

( ) ( ) ( )

++ +

pSsS sS

nnve

e e

en$i$eabsuosedv.=d.=

#f% sera conserv tel que et not 9 v.

On rsume les rsultats obtenus )

E6


8/44

d

dt9 4 , e v :

-

A v : P v ? , O , 9c p v

/

#E%

est un terme caractrisant le travail fourni par unit de temps l+extrieur

#parois mobiles par exemple% K 9v sera explicit ultrieurement.

On retrouve par des raisonnements voisins )

d

dt*

*

4 , e d : u v ? : 9 qpQ

Q v

+ #G%

d

dt

*

*

4 , e v : e v ?pQ

Q p

#R%

d

dt 4 , u v : e v :

-

A v : P v ? , O : qp

/

#7%

2a quantit q traduit l+ensemble des changes de chaleur de type conductif

# ||?% ou travers les parois entre le systme et l+extrieur. Par ailleurs, on regroupe

souvent dans #A5% ) u et P sous la forme ) #u : P(% o ( est le volume massique, on fait

appara&tre ainsi h 4 u : P( enthalpie massique.

2e bilan nergtique total s+nonce alors )

1+%-v!

+ve+v-=

/

dt

dE

#B%

&) Bilan de masse macroscopique

On rappelle les bilans locaux )

t

: . v 4 5 #-%

*t

4 S O , . vQr

r

Q r Q Q #A%

On obtient les bilans globaux par simple intgration sur le volume )

Par la masse totale )

( )dm

dt : ? v 4 5 #6%

EE


9/44

Pour la masse du constituant Q )

( )dm

dt

** *: ? v , @ , S 4 5Q Q #E%

@Qest la quantit de produit Q produite par les ractions par unit de temps.SQest la quantit de Q entrant par les parois du systme/unit de temps.

EG


10/44

') (rocessus adiabatiques rels (rocessus isentropiques

Pour complter la description du problme, on est gnralement amen faireune hypothse sur le chemin thermodynamique suivi lors de l'coulement, c'est dire surl'importance des phnomnes dissipatifs. 2'hypothse la plus simple consiste considrer latransformation comme rversible et donc isentropique.

2es processus rels de compression ou de dtente ne sont pas parfaitement

isentropiques. Tne partie de l'nergie cintique est dissipe en chaleur. ans la pratique, on asouvent recours la notion de rendement isentropique #voir figure cidessous%.

*tente :4isent.

re

+ompression :4re

isent

.

@emarque ) pour un ga1 parfait P 4 cnste dans un diagramme #h,s%, on a

ds 4 !p.d8/8 4 !p.dh/h, d+o h 4 h5es/!p

ans un problme rel, on conna&t gnralement P- et PA, et donc hs. 2e constructeur #du

compresseur, du dtendeur% fournit , par quoi l'on passe de hs hrel.

ER

sh

P-

PA

hrel

hs

hrel

4 vA/A

s

h

P-

PAh

relhs

hrel

4 vA/A


11/44

E7


12/44

EB


13/44

, - ./0*E +3("E0B.E - *45%306/E *E 7%8

"ous nous intressons ici des coulements soumis des changements

brusques de vitesse, soit dans l'espace # cause d'un changement de section, ex) tuyre%, soit

dans le temps #caractre instationnaire de l'coulement, ex) coup de blier lors de la fermeture

brutale d'une vanne%. es phnomnes originaux se manifestent alors, dus aux liens entreinertie et compressiblit du fluide. !es phnomnes sont eux m=mes lis l'existence d'une

vitesse particulire, celle laquelle le son se dplace.

!omme dans le chapitre prcdent, notre approchereste macroscopique. 8out ce

qui y a t dit reste applicable, et en particulier le bilan matire global #L $(.-%, le bilan de

quantit de mouvement #eq. $(.A.A% et le bilan d'enthalpie totale #eq. $(.6.G%

"ous allons crire ces bilans #entre deux sections droites% pour un coulementpermanent dans une conduite de section variable9

"ous nous limiterons au cas le plus simple )

unidimensionnel #: axe rectiligne : influence de la gravit ngligeable%

+ 4 5 #pas d+apport de travail hors des forces de pression%

pas de raction chimique

0=q #pas d+change de chaleur avec la paroi%

4 5 #pas de contraintes visqueuses%

Tn tel coulement est donc isentropique #les seules sources d+entropie sont les apports

de chaleur et la diffusion de quantit de mouvement lie la viscosit%.

ds 4 5

*:d*

n

d

*

ndp

d*

ED


14/44

1) - .es bilans


15/44

9quations d+tat )( )( )

= #, 2

= #, 2

2es grandeurs d+tat #v, h...% d+un fluide homogne dpendent de deux variables

#variance 4 A%. ?i l+on impose que l+coulement est isentropique #ds 4 5%, on impose une relation

entre les variations de ces deux variables. 2es grandeurs d+tat deviennent donc fonction des

conditions initiales et d+une seule variable )

h 4 h #hi, P% #E%

4 #i, P% #G%

e #-% et #6%, on extrait l+expression du flux massique C )

( )G = v = ! - i #R%

2+volution du systme est donc dtermine K autrement dit, il suffit de donner la valeurd+une variable #la valeur de *, ou de P...% pour =tre capable de dterminer toutes les autres.

ans le cas d+un ga par!ait, on obtient )

=

3

3

ii

3

i#

#24!

#i

#56

G-


16/44

2) - ,itesse critique ; clrit du son ; nombre de Mach

Pour introduire l+existence d+une vitesse critique, intressons nous la gomtrie

suivante )

2es quations #E% , #G% et #R% montrent que C ne dpend que de P. 2a fonction C #P%

prsente un maximum en P 4 Pc. ?i l+on continue diminuer la pression en aval en dessous de

P 4 Pc, le flux massique C rel reste constant #la branche en pointill calcule n+a pas de

signification physique%. On dit que l+coulement est bloqu soniquement.

Tne perturbation de la pression en aval ne se propage plus vers l+amont, car la vitesse

de l+coulement est gale et oppose la clrit de propagation de la perturbation. !ette

vitesse est la clrit du son. ans ces conditions, l+coulement ne dpend que des conditions

en amont, et plus des conditions en aval.

2e flux sonique vrifie )

dG

dP

s

= 0d

+dv

v

= 0

d

=d#

v

6 =#

!

c!

!

Observation exprimentale

9q. R

Pc Po P

C

P5

P-

GA


17/44

2a clrit du son vaut donc )

c =#

=

s

sP

!ette expression montre que la clrit du son est d+autant plus faible que le fluide estplus compressible.

"ous pouvons rcrire le bilan de quantit de mouvement en introduisant la clrit du

son )

P

s

d + v dv = 0

cd

+ vdv

v = 0! !

finissons le nombre de Mach, rapport de la vitesse locale de l+coulement la

clrit locale du son )

M 4v

c

2e bilan de quantit de mouvement s+crit finalement )

d :

dv

v 4 5

A

M

M UU - d UU dvv

M4 5,A MA4 5,5E

!e n+est qu+aux vitesses non ngligeables devant la clrit du son que l+coulement

peut devenir sensible la compressibilit du fluide #que les variations relatives de v ou de

induites par la dynamique de l+coulement ne sont plus ngligeables%.

Pour un ga1, on pourra considrer 4 cste, quelles que soient les variations de sectiontant que MUU -. Par contre, il peut arriver que les variations statiquesde avec 8 et P doivent

=tre prises en compte m=me dans ce cas #ex ) mto%. 2es variations peuvent aussi venir de

sources extrieuresde travail ou de chaleur #compresseurV%

$nversement, la compressibilit d+un liquide, bien qu+extr=mement faible devra =tre prise

en compte pour un coulement rapide #M"non ngligeable devant l+unit%.

* retenir) 2a valeur de M compare - est le critrepour savoir si un coulement

permanent dans une conduite de section variable doit =tre considr comme compressible ou

pas.

G6


18/44

?i l'approximation d'coulement incompressible est acceptable, la fa>on de la traduire est

d'crire ) 0v =

#) - Evolution de la vitesse et de la pression

es quations prcdentes, il rsulte )

dv

v 4 ,

-

- ,

d*

*AM

dP

P 4

-

- ,

v

Pd*

*A

A

M

A

dA

-

=!

!

M

M

d

!es expressions montrent que le sens de variation de v et de P lorsque * varie change

selon que MU - ou MW - )

v vP P

v vP P

2orsque l+coulement est supersonique, la masse volumique dcro&t plus vite que la

vitesse ne cro&td

4 ,dv

v

A

M

. 2a conservation du dbit massique ne peut =tre assure que

s+il y a augmentation de la section.

2e tableau prcdent montre que, partant de MU -, on ne peut acclrer un coulement

que si la section diminue #* %. 2orsqu+on atteint M4 -, la section doit prsenter un col #d* 4

5%, sinon , v et P subiraient des discontinuits infinies. 2+coulement ne peut ensuite =tre

acclr au del de M4 - que si la section augmente #* %.

2a squence prcdente montre que raliser un coulement supersonique ncessite de

le faire passer travers un convergentdivergent #tuyre de 2aval% )

* *

MU -

MW -

MU - MW -

v

*

P

*

v

P

GE


19/44

GG


20/44

$) - +as des ga< par!aits

Pour un ga1 parfait, on a )#

4 r 8 K h 4 cp8 K

cp4 /# -% r #relation de @obert Sayer% o) 4 cp/cv

r 4 @S

) constante massique des ga1 parfaits

Pour une volution isentropique )P

4 cste K

ans ces conditions, les expressions encadres prcdemment deviennent )

c

s

A 4P

4 P 4 r 8

+as gnral 7a< par!ait

c =#

=

s

sP

c = r 2

A

dA

-=

!

!

M

M

d

dv

v

4 ,-

- ,

d*

*A

MdP

P 4

-

- ,

v

Pd*

*A

A

M

A

dA

-

=

!

!

M

MP

dP

A

dA

-

!

-+

-=d

!

!

M

M

M

M

( )

A

dA

-

-=

!

!

M

MT

dT

( )

( ) AdA

-!

-

=c

dc

!

!

M

M

GR


21/44

On peut aussi relier les conditions locales de l+coulement aux conditions darrt

#indice i K pour lesquelles Mi4 5 K% par le nombre de Mach )

( )

T

T h T

i =

=

+ v = +

v

! c= +

v

7 - r 2

i! !

'

7 !

!

!

2

2

i4 - :

, -

A

AM

P

P

T

T

i i =-

#volution isentropique%

i iT

T =

-

#idem%

m

r r

= A v = A#

r 2 c = A

#

r 2

#

# r 2

= A #2

#

#

2

2 = A #

2

2

2

i

i

ii i

ii

i

i7! -

-

M M

M M

( )m 4 * P8

- :, -

Ai

i

A

: -

A , -M M

r

terminons maintenant la section du col sonique en crivant que le dbit massique seconserve entre la section courante #*, M% et la section sonique #*H, MH 4 -%.

Si4 5 SH 4 - S Pi PH P hi hH h 8i 8H 8

H

*i4 *H * m m m

G7


22/44

( )

( )

m 4 * P8

- :, -

A

4 * H P8

- :, -

A

ii

A

: -

A , -

ii

: -

A , -

M M

r

r

d+o ) ( )-!

+

!

!

-+

!=

8A

A

+ M

M

&) - Exemple dcoulement instationnaire: le coup de blier

!onsidrons une canalisation fonctionnant en rgime permanentet comportant en un

point une vanne (. 2a fermeture ou l+ouverture de cette vanne va provoquer en un point

quelconque de la canalisation une variation de la pression et de la vitesse en fonction du

temps, c+estdire qu+un rgime instationnaire se substitue au rgime permanent initial.

2es surpressions ou dpressions peuvent atteindre des grandeurs asse1 considrables

si la manoeuvre de la vanne est suffisamment rapide et il peut rsulter de ces chocs des

accidents de rupture de la canalisation. !es phnomnes sont connus sous le nom de coup de

blier.

X

*

S

2 X (

x

W

U

W

GB


23/44

a% *nalyse pour un liquide incompressible et une conduite indformable )

On se placera de plus dans l'approximation unidimensionnelle #coulement parfait%

9quations de continuit pour un fluide incompressible )

cste=v(x)csteA(x)

cste=(x)

=


24/44

"ous considrerons que l+coulement rel est la superposition de l+coulement que l+on

aurait observ pour le fluide incompressible dans la conduite rigide du paragraphe prcdent

( )v, et d+une perturbation #v+, +%, petite devant la valeur de base. "ous crirons )

v = v + v' v' :: v

= + ' ' ::

= A + A' A' :: A

# = # + #'

A

"ous nous placerons dans un repre tel que ) v = 0

) Bilan quantit de mouvement :

Pour notre problme unidimensionnel, nous pouvons crire la pro0ection sur l+axe de la

conduite de l+quation locale d+9uler )

v

t + v

v

x = -

#

x + $. n

!ette quation est aussi vrifie par l+coulement , u )

v

t + v

v

x = -

#

x + $.n

+o, par soustraction membre membre et en liminant les infiniment petits du

second ordre )

v = -

#'

x

'

t

9coulement instationnaire

2iquide compressible

!onduite dformable #lastique%

*pproximation unidimensionnelle

9coulement parfait

*

x

x : dx

R5


25/44

) Bilan matire

Pour faire appara&tre explicitement les variations de section, nous crirons ce bilan

intgr sur la section entire )

( ) ( )

A

t +

A v

x = 0

9crivons de nouveau l+quation qui rgit les petites perturbations )

A'

t + A

'

t + A

v'

x = 0

ans ce problme, + et *+ ne sont fonction que de la pression #cf. encadr% )

v = -

A

A'

# +

'

#

#'

t

'

x

t

#'

e-=

'v

+

x

On pose )

+

e

=c

x

v'c-=

' !

t

P

) "solution du s=stme :

(

( )t

/P

c

-

x

v

t

v

x

/P

H

A

H

=

=

rivations croises )

( ) ( )A

H

A

H

A

x

P

t

P

t

v

!!

!

!

!!

!

c=

x

vc=

R-


26/44

9xpressions de

t

et*

t

ueisentroi1iitcomressib=#

=avec

t

#=

t

#

#=

t

s

s

+

+

A

t 4

d*

d

d

dd

dP

P

t

* 4 A/E d*

d 4 /A

d4 9d 9 ) module d+lasticit #Young%

) contrainte sur la paroi

( )

( )( )

v x, t

# 7 x, tmeme 1uation (cordes vibrantes, d'A-embert)

m=me loi de dplacement pour matire et pression

?olution obtenue en posant )

1 4 t , x / c

Z 4 t : 1 / c

perturbation en pression

perturbation en vitesseondes de clrit

c K c 4 c #, 9%

) compressibilit isentropique du fluide

9 ) module d+Young #li l+lasticit de la paroi%

c - G55 m/s dans l+eau #rservoir infini ou conduite rigide%

e

P

4P

Ae

d

dP 4

Ae

4A

9

Ae

P

t 4

*

e9

P

t

A

t

RA


27/44

c - 555 m/s dans une conduite en acier

R6


28/44

,0 > E?/*E *E 6/E.6/E +% ?4(06/E

!e chapitre n'introduit pas de notion essentielle nouvelle par rapport aux chapitres

prcdents, mais illustre les principaux points abords, notamment propos des diffrents

bilans. Par ailleurs, un certain nombre de simplifications ou d'aspects nouveaux non encore

abords sont prsents.

2es cas particuliers sont regroups selont les thmes d0 traits.

1) Ecriture de bilans locaux de quelques s=stmes simples

#

application des relations de bilan local et des lois linraires de transfert%.

a)Ecoulement d@un !ilm ruisselant

On considre un film liquide trs mince s'coulant sur un support solide sous l'action de

la pesanteur K l'paisseur de ce film est asse1 mince pour que toute variation de pression soit

nglige. 2e fluide est suppos neZtonien. 2orsque l'tat stationnaire est atteint, dterminer le

profil de vitesse dans la couche.

olution :

2'incompressiblit se traduit par ) .0v. =

2es vitesses ayant une seule composante v1non nulle, la condition prsente implique

que v1est indpendant de 1 #mais non de x%.

ilm liquide

%limentation

g

.(ro!il devitesse

< x

RE


29/44

9crivons le bilan de quantit de mouvement exprim localement K pour cela, on utilise la

relation gnrale )

vv..#F)v(t

=

que l'on considre relativement sa troisime composante et qui s'crit ici )

xsin$0 xz

=

soit )

cstex)(sin$xz +=

2a constante est calcule partir de la condition l'interface ga1liquide ) 0)0x(xz = =

soit .0cste=

2a condition de fluide "eZtonien s'crit )

x

vzxz

=

ce qui implique )

cste!

xsin$v!

z +=

On fait intervenir maintenant la condition de non glissement en x 4 pour obtenir

finalement )

=

!!

z

x

!

sin$v

RG


30/44

b) Bilan thermique dans un racteur

?oit un racteur tubulaire aux parois isoles garni de particules de catalyseur sur

lesquelles se produit une raction *


31/44

ne contient que le flux de chaleur conductif )

( )

)voumi1ue;(;x

)(

)massi1ue4(42

)(

z

x

x

)(

z

2

2

)()x,2(

z)(

z

A

##

A

A

A

=

+

=

+

=

=

On exprime maintenant le bilan massique de * )

v

(

zt

40

+=

=

'o )

!AA

A

4z4)x!

(n0)

dz

xd

!

x

(

dz

d+==

9xprimons les conditions aux limites )

0AA

xx0z ==

1 4 ) l'interface, on a )

'*4

)>()(xx'*4( zAAAzA ===

On obtient ainsi )

=

7z

0A

7z

zA

A x!

'*4

>

!

x

!

9n utilisant l'expression de #"*%1, on obtient )

RB


33/44

=

0A

A

A

x!

'*4

>

!

nD4!

>

qui permet de calculer "*.

d) Bilan en coordonnes non restangulaires

2es quations de bilan tablies dans un chapitre prcdent, notamment avec le

formalisme tensoriel, sont telles quelles adaptes aux coordonnes rectangulaires.

!ertains problmes se pr=tent mieux des systmes de coordonnes cylindriques ou

sphriques par exemple K auquel cas, si les fondements physiques des bilans sont les m=mes,

leur forme peut changer.

Tn exemple simple est donn ciaprs, il concerne la recherche du profil de temprature

stationnaire dans un fil conducteur cylindrique chauff par effet \oule #puissance volumique ) P%

et de temprature superficielle ) 85.

2e bilan thermique est calcul pour une couronne cylindrique [ ]rr,r + )

r

cste

!

#r.r)r&(

dr

d

)rr(&9)rr(!)r(&9r!)9rr!(#0

+==

+++=

!omme, r 4 5, n'est pas infini )

!

r#&=

Par ailleurs, la loi de ;ourier implique )

rdd2*& =

cste*@

r#2

!

+=

022"r ==

=

!!

0"

r

*@

"#22

On trouvera dans l'annexe $$$ ou dans la littrature scientifique spcialise l'expression

des bilans dans les diffrents systmes de coordonnes.

RD


34/44

2) Exemples de bilans macroscopiques

# application des bilans de quantit de mouvement #ou d'nergie mcanique%,d'nergie totale et de matire crits sur des systmes macroscopiques%.

a)scillations d@un manomtre

8rouver, par des considrations de bilan, l'quation de mouvement du fluide.

olution :

On considre le systme form par le liquide. $l est assimil un cylindre de rayon @ et

de longueur 2.

On fait l'hypothse d'un profil de vitesse parabolique dans chaque section )

=

!

"

rv!)t,r(v

o v est fonction du temps seulement #incompressibilit%.

.


35/44

v)##(< !=

dldrrr

!dVx

dVE

"

v v #i#

ii#

=

== !.vv)v(!

0 0,

v

o l est la coordonne curviligne prise sur la normale aux diffrentes sections en leur

centre.

( )!

!

!c

!

!

v

"

v9Bv)##(

td

d

"

v9B

+=+

=

mais )

td

vdv

!v!

!

0

!

0

!

0 0

dldr"

rr

dldrrtd

d

td

Ed

"

"

c

=

=

td

dh

hSgdldrrgtd

d

td

Ed

td

hd

td

hdS

td

vdS

td

Ed

"

p

c

==

=

=

!!

/

@v

/

@

0 0

!

!

9n reportant dans le bilan, on obtient )

( )9

##

@

/)

9@

$/(!

td

d

"

C

td

d !!!

!

=+

+

?elon les valeurs des coefficients, donc des caractristiques, on obtient un retour l'quilibre oscillatoire ou non.

b) "e!roidissement d@un ga< par!ait

h

air 8-sous P-

air 8Asous PA

7-


36/44

e l'air doit =tre refroidi pendant son passage dans le tube cidessus, dans les

conditions indiques K on dsire un dbit massique ;.

uelle puissance thermique fautil vacuer M

olution :

On se place l'tat stationnaire.

2e bilan macroscopique d'nergie totale s'crit )

1


37/44

,00 - E+/.E3E5? E5 +5*/0?E +4.05*"06/E

Tn problme pratique frquemment rencontr est le dimensionnement d+une conduite )

quel diamtre donner la conduite pour qu+une chute de pression donne assure un dbit

donn M On rencontre aussi souvent le problme inverse ) si, dans une conduite de diamtre

connu, on veut imposer un dbit donn, quelle sera la chute de pression M

"ous allons voir que l+on peut obtenir une solution ce problme directement partir

des quations locales lorsque l+coulement est laminaire, c+estdire lorsque les forces

visqueuses l+emportent sur les forces inertielles. 2a vitesse v n+a alors qu+une seule

composante non nulle ) celle qui est parallle l+axe de la conduite. 2es lignes de courant sont

alors toutes parallles cet axe.

2orsque le dbit augmente, l+coulement devient turbulent) des fluctuations alatoiresde vitesse se superposent au mouvement moyen du fluide. $l n+existe plus de solution

analytique aux quations locales. On a alors recours des corrlations crites en fonction de

nombres adimensionnels #cf. chap. $%.

1) Ecoulement de (oiseuille dans un tube c=lindrique Acoulement laminaire) :

a) Profil de vitesse )

!onsidrons l+coulement permanent et laminaire d+un fluide incompressible. *

cause de la symtrie axiale, nous utiliserons les coordonnes cylindriques.

2+coulement est laminaire et parallle 51)

( )

v

v = 0 (couement aminaire tancit des arois)

v = 0 (araEe 0z)

v = v r, , zz

r

z

2e bilan matire s+crit )

( ) 0=vdiv+t

r

@

#r%v

1

5 v#o%

76


38/44

soit, en coordonnes cylindriques )

( ) ( ) ( )0

vvv%

z

r&

r

r

r&

t

zr

+

9coulement 9coulement 4 cste

Permanent parallle 51

5 : 5 : 5 : v 4 51

1

$l en rsulte quev1ne dpend pas de 1 ) v14 v1#r, %

2a symtrie axiale impose que toutes les orientations soient quivalentes )

( )v rz = vz

@eprenons maintenant le bilan de quantit de mouvement #9q. de "avier?toQes%,

tou0ours en coordonnes cylindriques, et examinons les composantes radiales et tangentielles.

On obtient #en ngligeant les forces de volume% )

5

5

4 ,P

r

4 ,-

r

P

P ne dpend ni de r, ni de )

( )P = # z

2e m=me bilan, dans sa composante axiale, donne )

0 4 ,P

1 :

-

r

r r

v

r

1

P ne dpend que de 1, alors que v1ne dpend que de r. 2+quation prcdente ne peut

=tre identiquement vrifie que si les deux termes sont constants, ce qui donne )

( ) ( )vz r =

@

d#

dzr + 4 9n r + 4! !

Pour que la vitesse sur l+axe ne soit pas infinie #ce qui ne serait pas physiquement

raliste%, il est ncessaire que !-4 5.

Tne loi exprimentale indique que les particules en contact avec la paroi ont une vitesse

nulle #condition dadhrence% ) v1#@% 4 5

d+o ( ) ( )vz r 4 , -E

dP

d1 @ , rA A

r

vmax

5

r

v

@v

7E


39/44

2e profil de vitesse est donc parabolique.

2a vitesse maximale est atteinte sur l+axe )

( )vz 0 = -

@d#

dz "!

b)(itesse moyenne #ou vitesse de dbit% et gradient de pression )

2e dbit massique dans la conduite vaut )

( )

@

"

0

!!

!

0

"

0

z

Ddz

d#

)!B-=

drrr-"dz

d#

@

!-=

drrvd=m

!e dbit est le m=me que si l+on avait une vitesse uniforme v sur une section droite

telle que )

@

Dv=

!m

et donc gale )( )

v = -

/!

d#

dzD =

v 0

!

! z

!ette vitesse moyenne, ou vitesse de dbit, est la grandeur que l'on conna&t le plus

facilement par l'exprience. Cnralement, on rcrit l'expression prcdente pour en extraire

le gradient de pression, connaissant la vitesse de dbit )

!

v

"e

C@

D

!

v

Dv

C@

D

dz

d# !! =

=

2) +oe!!icient de perte de charge linique nombres dEuler et de "e=nolds :

@eprenons la m=me conduite que prcdemment, mais abandonnons l+hypothse

d+coulement laminaire. $l n+est plus possible de trouver une solution analytique aux quations

qui gouvernent l+coulement. 2+approche classique dans ce cas consiste utiliser l+analyse

dimensionnelle.

0 variables ) P, v, , 2, , ,

1 on trouve dans ce cas la srie complte ) @e, 9u, 2/, /. il existe donc une loi du

type ) f #@e, 9u, 2/, /% 4 5

@appel ) le nombre d+9uler compare la chute de pression due aux frottements et

l+nergie cintique du fluide )!

vu=

!P

2a chute de pression est proportionnelle la longueur de la conduite. !ela impose )

P 4 #@e, /% . 2/ . vA/A #-%

, coefficient de perte de charge linique, est fonction de)

7G


40/44

/ ) rugosit relative de la paroi

@e 4 v / ], nombre de @eynolds, qui mesure le rapport des forces d+inertie

aux forces visqueuses.

Pour un coulement laminaire,le paragraphe prcdent #L ($$-% a dmontr que la relation

#-% prcdente devient la loi de Poiseuille )

#@e, /% 4 RE / @e

Pour des coulements turbulents #@e G555%, on utilise des corrlations issues del+exprience. 2a corrlationde +olebrooCest l+une des plus utilises )

e"

!,G+

/,H

7Do$!-=

2e coefficient linique de perte de charge selon la corrlation de !olebrooQ

Re

7R


41/44

Pour des coulements turbulents #"eG555% en conduites hydrauliques lisses # D7

^ 5%, on peut utiliser les formules suivantes )

G-7@ 0e"sie"/C,0 = #formule de


42/44

#) (erte de charge singulire lors dun largissement brusque Aapplication du

thorme dEuler )

uand le thorme de


43/44

8horme d+9uler en pro0ection

sur l+axe hori1ontal )

( )

!!!

!!!!

!

A#-A#=

v-v%-=Av+Av-= Fx

) dbit massique # v *%

@emarque ) sur la section -, le fluide subit P1*0, mais aussi la contrainte exerce par la

paroi sur l+aire *2 *0. 2e long de cette paroi, la pression est uniforme et gale P1 #fluide

immobile%. *u total, le fluide subit donc P1*2sur cette paroi.

( )( ) ( ) ( )!!!

!!!

7AA-7A!87!v=

v-v%7A-=#-

A

P

( ) ( ) ( )

( )( )!!!

!

!

!!

!!!

!

7AA-!7v=

A

A-

A

A!-

v

v-!7v=!7v+#-7!v+

P

2e membre de gauche serait nul si le thorme de on gnrale, il y a perte de charge

singulire chaque fois qu+il y a singularit gomtrique.

( )

car$edeerte=z!v+

massi1uener$ied'ndissiatio=z$7!v+7

voumi1uener$ied'ndissiatio=z$7!v+

!

!

!

+

+

+

ggP

P

P

!oefficient de perte de charge singulire )

( )7!v

z$7!v+

!

!

+=

P

ici ) ( ) 4 - , * / *- AA

7D


44/44

"EE"E5+E B0B.07"%(D06/E

2. . 2*"*T, 9. S. 2$;?!F$8 K luid 3echanics, Pergamon Press, -DB7.

I 2a J rfrence en mcanique des fluides K condens et ardu, il existe une dition en

fran>ais #GE5p., 75 euros%.

@.

Chap IV v Vi Vii.new

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