Chap 2 POUSSEES ET BUTEES.pdf

Gotechnique 1 - Ouvrages de soutnement I. GUEYE

1

CHAPITRE 4 : EQUILIBRE LIMITE ET OUVRAGES DE SOUTENEMENT

A POUSSEES ET BUTEES

4.1 Gnralits 4.2 Equilibre limite de RANKINE 4.3 Calcul des forces de pousses et de bute par la mthode de

RANKINE 4.4 Calcul des forces de pousses et de butes par la mthode de

COULOMB Mthode graphique de CULMANN (mthode de COULOMB)

4.5 Calcul des forces de pousses et de butes par la mthode de BOUSSINESQ

4.6 Comparaison entre les diffrentes mthodes

B OUVRAGES DE SOUTENEMENT

4.7 Diffrents types douvrages de soutnement 4.8 Dimensionnement des murs poids 4.9 Dimensionnement des murs cantilever 4.10 Rideaux de palplanches 4.11 Excavations blindes


2

A POUSSEES ET BUTEES

4.1 Gnralits

4.1.1. Dfinition

On considre un ouvrage de soutnement, par exemple un mur en bton retenant un massif de sol (fig. 4.1.) et lon examine les types de sollicitations qui sexercent sur ce mur.

Fig. 4.1 : Sollicitations exerces sur un mur de soutnement

En dehors des forces de pesanteur, reprsentes par le poids W du mur, sexercent sur toutes les faces du mur, en contact avec le sol, trois (3) forces dont la connaissance est du ressort de la mcanique des sols.

i) Sur la face amont du mur, gnralement verticale, le sol retenu exerce des efforts ayant tendance soit renverser le mur, soit le dplacer horizontalement la rsultante gnrale de ses efforts est une force dont la composante principale est horizontale. On lappelle force de pousse (ou encore pousse) et on la note Fa lindice prcisant quil sagit dune force active ;

ii) Sur la face aval du mur, dont la partie enterre est souvent faible, le sol exerce : des efforts qui ont tendance retenir. Leur rsultante gnrale est une force dont la composante principale est horizontale et oppose la composante horizontale de

T

N

W

Fp

Fa


3

Fa . On appelle cette rsultant force de bute (ou encore bute) et on la note par Fp , lindice p prcisant quil sagit dune force passive ;

iii) Sur la base du mur, le sol de fondation exerce des efforts dont la rsultante gnrale est une force incline par rapport la verticale. Sa composante verticale, note N , est appele force portante, tandis que la composante horizontale, note T est appele force de rsistance au glissement, car elle soppose au glissement du mur sur la base sous laction de la force de pousse.

Lobjet de ce chapitre est de dterminer les forces de pousse et de bute en fonction de la gomtrie du mur et du massif de sol retenu, des caractristiques mcaniques du sol et du frottement entre le sol et le mur.

4.1.2. Relations fondamentales entre pressions latrales et dplacements

Des expriences simples, sur modles rduits, montrent que les valeurs des forces latrales prcdemment introduites (forces de pousse et de bute) dpendent essentiellement des dplacements horizontaux de soutnement.

On suppose par exemple que lon encastre lgrement la surface horizontale dun massif de sable un cran vertical parfaitement lisse et que lon remblaie progressivement derrire lcran, en appliquant ce dernier des efforts de rsultante gnrale F tels quil ny ait aucun dplacement de lcran (fig. 4.2.a). Ce dernier tant parfaitement lisse, la force F est horizontale (pas de frottement entre lcran et le massif)

Aprs remblaiement horizontal, la valeur de la force F est F0. Si lon effectue une translation horizontale de lcran vers lintrieur du remblai, la force F croit en fonction du dplacement, , jusqu un maximum Fp qui correspond la mobilisation totale de la bute (fig. 4.2. b). La valeur Fp est de 3 4 fois la valeur totale de la force initiale F0.

Inversement, si lon effectue une translation horizontale de lcran vers lextrieur du remblai, la force F diminue jusqu une valeur minimale Fa qui correspond ltat de pousse. La valeur de Fa de lordre de la moiti de celle de F0.

Si on compare les dplacements, on constate quil faut un dplacement p beaucoup plus important pour atteindre ltat complet de bute que pour atteindre celui de pousse a. Les dplacements typiques ncessaires pour atteindre ltat de pousse sont indiqus au tableau 1 pour plusieurs types de sols.


4

Fig. 4.2 : Relation force dplacement pour un cran rigide en translation

Tableau 1 : Dplacements typiques

Types de sol

Translation

Sable : dense

lche

0.001H 0.002 2 H

0.002 H 0.004 H

Argile : raide

Molle

0.01 H 0.02 H

0.02 H 0.05 H

Remarque : H reprsente la hauteur du mur

4.1.3. Terres au repos Coefficient de pression latrale

On se place dans un cas gostatique, c'est--dire celui dun massif de sol semi-infini, homogne et isotrope, surface horizontale.

Les quations de lquilibre montrent que la contrainte totale v sexerant sur un plan horizontal, la profondeur z est verticale et a pour valeur (fig. 4.3) :

Fp

Fa

p a

F

0

0

H

Bute

Pousse

a) Ecran rigide en translation b) Relation force - dplacement


5

v = z

O : est le poids volumique du sol, v est une contrainte principale.

Fig. 4.3 : Coefficient K0 de pression latrale des terres au repos

Par contre, le calcul de la contrainte totale horizontale h sexerant au mme point sur le plan vertical ncessiterait la connaissance de la loi de comportement du sol. Aussi la dtermine t-on exprimentalement en remarquant que dans un sol en place, sous un chargement uniforme, il ny a pas de dplacement horizontal h = 0, on utilise gnralement un appareil triaxial. Les rsultats de ces essais donnent le rapport h/v, appel coefficient de pression latrale au repos et not K0 :

K0 = h / v Remarques :

- Le coefficient K0 est gnralement infrieur 1 - Il ne sapplique quaux contraintes effectives. Donc dans un sol en place, satur, K0

devient :

K0 = h / v

O : h = u + h et v = u + v h = contrainte effective horizontale,

v = contrainte effective verticale, u = la pression interstitielle.

- Sa valeur varie suivant les types de sols. Elle est donne de faon approximative au tableau 2.

z v = = = = . z

Surface du terrain naturel

h = = = = K0 v


6

- Dans le cas des sables et des argiles normalement consolides, il existe une formule empirique, due Jacky, donnant la valeur de Ko en fonction de langle de frottement interne .

K0 = 1 sin

Tableau 2 : Coefficient Ko pour quelques types de sols

Type de sol

Valeur de K0

Sable lche 0.45 0.50 Sable compact 0.40 0.45 Argile normalement consolide 0.50 Argile surconsolide >0.50

- Dans le cas des sols surconsolids, la valeur de K0 peut mme dpasser 1.

4.2 Equilibres limites de RANKINE

4.2.1 Sol pulvrulent (c = 0, 0)

4.2.1.1 Surface horizontal

On vient de voir que, dans le cas o il ny a pas de dplacement latral, les contraintes verticale v et horizontale h (fig. 4.4 a) sont gales respectivement :

v = z et h = K0 z

Cet tat de contrainte est reprsent par le cercle de MOHR de diamtre AB sur la figure 4.4 d (OA = v = z ; OB = h = K0 z).

Examinons de quelle faon il peut y avoir rupture dans la masse de sol.

Si lon permet au sol une expansion latrale (h < 0), la contrainte verticale reste principale, gale z, et la contrainte horizontale diminue. Sur la figure 4.4 d, le point B se dplace jusquau point C pour lequel le cercle de MOHR est tangent aux droites intrinsques. Il y a alors rupture du sol et cette rupture a lieu en tout point du massif. On dit aussi que lquilibre est limite. Les plans de rupture en chaque point enveloppent un rseau de surfaces de glissement planes, dont linclinaison est dtermine partir des points de contact I et G du cercle de MOHR la rupture avec la courbe intrinsque et qui font entre elles langle (90 + ) gal langle ICG dans le diagramme de MOHR. Cette rupture correspond ltat de pousse (fig. 4.4 b). On note ha la contrainte horizontale


7

correspondante. Dans ltat de pousse, on tire facilement du diagramme de MOHR de la fig. 4.4 d :

=

+

==

245tan

sin1sin1 2

v

haa

K

Fig. 4.4 : Etats de contraintes de pousse et de bute pour un sol pulvrulent

A 45 45 45 45 ++++ /2 /2 /2 /2

v = = = = z hp ha

45 + /245 + /245 + /245 + /2

z v = = = = z

h = = = = K0 v

v = = = = z

ha

a) h = 0

ha

c) h > 0, bute (contraction)

b) h < 0, pousse (expansion)

v = = = = z

hp hp

d) Diagramme de MOHR

Plan de rupture

Plan de rupture Bute

Pousse

45 /245 /245 /245 /2

B

C D

J

I

G

H

45 /245 /245 /245 /2


8

Le rapport h / v est appel coefficient de pousse et not Ka. Il est galement possible de provoquer la rupture du sol par compression latrale (h > 0). Dans ce cas, le point B (h = K0 z = K0 v). Sur la fig. 4.4 d le point B se rapproche dabord du point A correspondant un tat de contrainte isotrope (h = v = z).

Puis la contraction latrale augmentant, le point B atteint le point D, il y a alors rupture ou quilibre limite ; le cercle MOHR tant tangent aux droites intrinsques, on note hp la contrainte horizontale correspondante. La rupture a lieu en mme temps en tout point du massif et les plans de glissement font eux un angle de (90 + ) gal langle JDH dans le diagramme de MOHR. Cette rupture correspond ltat de bute et not Kp, a pour expression :

+=

+==

245tan

sin1sin1 2

v

hppK

Remarques :

i. Les deux (2) coefficients Ka et Kp sont inverses lun de lautre

pa KK /1=

ii. Les contraintes ha et hp sont des contraintes principales

iii. Dans le cas de la pousse, la distribution de la contrainte ha le long dune verticale trace dans le massif est triangulaire car (fig. 4.5a) :

ha = Ka z = Ka v

iv. Dans le cas de la bute, la distribution de la contrainte hp le long dune verticale trace dans le massif est aussi triangulaire car (fig. 4.5 b) :

hp = Kp z = Kp v

v. Les lignes de glissement sont des lignes droites.


9

Fig. 4. 5 : Etat de pousse et de bute dans un sol pulvrulent

4.2.1.2 Surface incline

Soit un massif de sol pulvrulent dont la surface fait un angle avec lhorizontale (fig. 4.6a). La rsolution partielle des quations dquilibre de la mcanique des milieux continus montre que, sur le plan parallle la surface et situ la profondeur z, la contrainte f est verticale et gale z cos . On cherche dterminer la contrainte p qui sexerce sur un plan vertical la profondeur z dans ltat de pousse ou ltat de bute. Dans le plan des

cercles de MOHR (fig. 4. 6d) la contrainte verticale f est reprsente par le vecteur OA (OA = z cos ).

En appliquant la mthode du ple pour la dtermination des contraintes, les tats de contraintes de pousse et de bute en un point M la profondeur z sont reprsents par les 2 cercles de MOHR passant par le point A et tangents la courbe intrinsque dquation

tann

= . Les deux ples p1 et p2 sur ces cercles sont des points dintersection autres

que A, sur la droite OA. Il en rsulte que la contrainte 21 petp qui sexercent sur un plan

vertical en M sont reprsentes par les points B1 et B2 sur la droite symtrique de OA par rapport laxe des (P1 B1 et P2 B2 verticales) cela montre que :

a) La contrainte p est toujours parallle la surface du sol, quelque soit ltat des

contraintes ; les contraintes f et p sont conjugues ;

ha = = = = z

Sol : et

a)

Etat de pousse dans un sol pulvrulent

Contrainte

z

hp = = = = pipipipi z

Sol : et

b)

Etat de bute dans un sol pulvrulent

Contrainte

z


10

Fig.4.6 : Coefficients de pousse et de bute pour un massif de sol pulvrulent surface incline

Plan de rupture 1111

2222

B2

Pousse P1

B1

H

G

F

A

z

M

1

a)

surface incline

c) bute, compression (1 contrainte principale majeure)

b) pousse, expansion (1 contrainte principale majeure)

1

d) Diagramme de MOHR

Plan de rupture

Verticale

Bute

E

= = = =

tan

p

f

45454545 /2 /2 /2 /2

P2

45 /245 /245 /245 /2

D

Verticale

OB2 = P2 OB1 = P1

2222

1111


11

b) Les coefficients de pousse et de bute, dfinis par rapport aux contraintes conjugues ont pour expression :

( ) ( ) 211

OBOA

OAOB

KpKa ===

Soit : ( ) ( )

2222

coscoscos

coscoscos1+

==

KpKa

c) Dans le cas de la pousse, on a : cos.z

v=

22

22

1coscoscos

coscoscoscos.

+

== zpha

Dans le cas de la bute, les deux expressions ci-dessus deviennent : cos.z

v=

22

22

2coscoscos

coscoscoscos.

+== zphp

Remarques :

i) - Si = 0 : Pousse : p1 = .z

sin1sin1

+

Bute : p2 = .z

sin1sin1

+

ii) - Si ( ) ( ) 1: === pa KK

iii) Dans le cas de la pousse, les plans de rupture enveloppent un rseau de surface de glissement planes dont linclinaison est dtermine partir des points de contact E et F du cercle de MOHR la rupture avec la courbe intrinsque et qui font entre elles langle (90+ ) gal langle Ep1F dans le diagramme de MOHR. De plus les plans de glissement font des angles 1 et 2 avec la verticale p1 B1 (fig. 4.6d). Les valeurs de ces angles 1 et 2 sont donnes par les expressions suivantes :

( ) ( ) +=2190

21

1

( ) ( ) =2190

21

2

Avec : sin =sin /sin et (1 + 2) = 90 -


12

La contrainte ha nest pas une contrainte principale : La distribution de ha le long dune verticale trace dans le massif est triangulaire car :

ha = .z cos . Ka ( )

De plus la contrainte ha agit sur un plan parallle la pente du massif.

iv) Dans le cas de la bute, les plans de glissement font entre eux un angle de (90 - ) gal langle Hp2G dans le diagramme de MOHR (fig. 4.6d). Dans ce cas les angles 1 et 2 par rapport la verticale p2 B2 sont donns par les expressions suivantes :

( ) ( ) ++=2190

21

1

( ) ( ) +++=2190

21

2

Avec : sin = sin / sin et (1 + 2)= (90 - )

La contrainte hp nest pas une contrainte principale et elle est parallle la pente du massif. La distribution de hp le long de la verticale dans le massif est triangulaire car :

( ) php Kz .cos.= .


13

4.2.2 Sol cohrent (c et 0)

4.2.2.1 Surface horizontale :

Dans le cas dun sol cohrent, la courbe intrinsque est reprsente par la droite de COULOMB. Lquation de cette droite est donne par lexpression suivante :

= tan + c (fig. 4.7)

Sur cette figure, ltat de pressions des terres au repos est reprsent par le cercle de diamtre gal AB. La distance OA = v = .z et la distance OB = K0 v = K0 .z. Les quilibres limites de pousse et de bute peuvent tre atteint de la faon dj dcrite en 4.2.1. La distance OC reprsente la contrainte de pousse, tandis que la distance OD reprsente la contrainte de bute. A partir de lquation de la droite de COULOMB, on peut dterminer les contraintes ha et hp.

a) Dans le cas de la pousse, le diagramme de la figure 4.7 permet de dterminer la relation suivante :

21

sin1sin12

sin1sin1

+

+

=

cvha

21

sin1sin12

sin1sin1

+

+

=

czha

Ou encore : KacKzaha 2. =

La distribution des contraintes horizontales de pousse est indique la fig. 4.8 ci-dessous. On constate que jusqu la distance ht de la surface dfinie par :

+==

24522

tau

c

Kacht

Le massif exerce des contraintes de traction ou de tension


14

Fig. 4.7 : Etats de contraintes de pousse et de bute pour un sol cohrent

Fig. 4. 8 : Etat de pousse pour un sol cohrent

A la surface du sol, cette contrainte de traction est gale Kac2 . De plus, on remarquera

sur le diagramme des contraintes de la fig. 4.8 que la rsultante des efforts sur une longueur 2ht partir de la surface libre est nulle. Il est donc vraisemblable quune excavation ou une tranche puisse tenir sous soutnement sur une hauteur voisine de 2ht. Cette hauteur appele hauteur critique est note Hc et vaut :

Contrainte

z

tension

compression

Hc = 2 ht a

t Kch

2

=

aKc2

c

c

C ha

v = = = = z

D

ha

Plan de rupture

Plan de rupture

Bute

Pousse

45 45 45 45 ++++ /2 /2 /2 /2 A B

J

I

G

H

c cotan

= tan + + + + c

hp

45 /245 /245 /245 /2


15

+==

24544

tau

c

KacH c

Cette formule donne des valeurs considrables, ainsi pour c = cu = 30 kPa ; = 20 KN/m3 et = 0, on a Hc = 6 m.

Cette hauteur libre nest possible qu trs court terme. Trs rapidement largile dans les zones voisines des parois de la tranche se dforme. Do des fissures la partie suprieure fig.4.9 ; le retrait en priode sche, accentue celles-ci, les pluies crant ensuite des forces de percolations dtruisant lquilibre court terme.

Fig. 4. 9 : Instabilit des massifs argileux parement libre

b) Dans le cas de la Bute, le diagramme de la figure 4.8 permet de dterminer la relation suivante :

sin1sin12.

sin1sin1

++

+= c

vhp

pvphp KcK 2. +=

La distribution des contraintes de bute hp est indique la figure 4.10. On constate daprs lquation ci-dessus que le massif de sol exerce toujours des contraintes de compression.

Paroi verticale

Tranche

Fissures


16

Fig. 4.10 : Etat de bute dans un sol cohrent

Dautre part, dans le cas soit de la pousse soit de la bute, pour un massif de sol surface horizontale = 0, les contraintes ha et hp sont des contraintes principales.

4.2.2.2 Surface incline :

On considre un massif cohrent indfini, limit par un plan faisant un angle avec le plan horizontal. On suppose quaucune surcharge nexiste sur le plan limitant le massif et ce dernier nest donc pas sollicit que par son propre poids, d aux terres, dont le poids volumique est . Soit (fig.4.11) lintrieur du massif un point M, la profondeur Z. On suppose que le massif tant indfini et en quilibre, quen chaque point de la verticale comprise entre le point M et la surface libre, la direction conjugue de cette verticale est orient paralllement au plan limitant le massif.

Dans ces conditions, la contrainte au point M sur la facette parallle la surface libre vaut :

cos.zf = .

En procdant de la faon dcrite en 2.12, on peut tracer le diagramme de MOHR de la figure 4.11. Toutefois, cause de la cohsion c, le point o ne sera pas confondu avec le point o, le cercle de MOHR et par consquent lorientation des facettes de glissement et des facettes principales dpendent de la profondeur laquelle se trouve le point considr.

Contrainte

z

compression

pKc2

ppvhp KcK 2. +=


17

Fig.4.11 : Etat de pousse et de bute dans un sol cohrent

Dans ces conditions, il est ncessaire de discuter les diverses solutions que donne le cercle de MOHR lorsque la profondeur du point M varie et lorsque linclinaison , du plan limitant le massif, est plus ou moins grand.

Cette discussion tant fort complexe et en dehors du cadre de ce prsent cours, il devient ncessaire de noter uniquement que, comme dans le cas prcdent o = 0, lon trouve ici aussi une profondeur ht dans laquelle le sol se trouve en traction. Cette profondeur vaut :

+=

245tan2

cht

On pourra donc, thoriquement, creuser des tranches en parois verticales jusquau moins cette profondeur. Lapparition de fissures de traction aura comme effet de rduire la hauteur dexcavation.

B2

B1

A

P1

P2

c

c D

ha

Bute

Pousse

O O

c cotan / / / /

= tan + + + + c

cos.zOAf ==


18

4.3 Calcul des forces de pousse et de bute : Mthode de RANKINE

4.3.1. Principe

La mthode de RANKINE consiste calculer les forces de pousse et de bute agissant contre le mur ou un cran partir des relations dveloppes la section prcdente. Cette mthode implique quen cas de rupture du massif se trouvant derrire lcran, les plans de glissement puissent se dvelopper tel que montr prcdemment. Cette mthode repose donc sur lhypothse fondamentale suivante :

La prsence de discontinuits, provoques par la prsence de murs ou dcrans dans le massif de sol, ne modifie pas la rpartition des contraintes dans le sol, soit au contact entre le sol et lcran soit lintrieur du massif (fig.4.12) :

Fig. 4.12 : Hypothse de la mthode de RANKINE

Ainsi, sur un plan parallle la surface du massif du sol, la contrainte reste verticale et gale .z cos . De plus, la rupture, les contraintes de pousse et de bute, ha et hp, restent

z v = = = = z

z

M

p

f

z v

z

M

f


19

parallles la surface du sol. Linconvnient dune pareille hypothse est dimposer, en tout point du mur, la direction de la contrainte qui sexerce sur le mur, et donc de ne pas tenir compte de la valeur du frottement entre le sol et le mur (c'est--dire la rugosit de lcran). Ainsi, dans le cas dun sol surface horizontale et dun mur paroi verticale, la thorie de RANKINE suppose que le frottement entre le mur et le sol est nul, puisque la contrainte est horizontale.

Cette mthode conduit une rpartition triangulaire des contraintes de pousse et de bute sur lcran et permet dobtenir le point dapplication de la force correspondante. On examine ci-aprs trois exemples dapplication.

4.3.2. Calcul de la force de pousse pour un massif pulvrulent surface horizontale

a) Sol sec (absence de nappe)

Soit un mur parement vertical supportant un massif surface horizontal, constitu dun sol pulvrulent sec (fig. 4.13). Si le sol est en tat de rupture de pousse, la contrainte qui sexerce sur le mur est horizontale, principale et a pour expression :

+

==

sin1sin1

.. zKzaha

Fig. 4.13 : Force de pousse exerce par un massif sec

La rpartition est linaire, et la force de pousse horizontale Fra est applique au tiers (H/3) de la hauteur partir de la base. Elle a pour expression :

Fra

ha Sol : et

z

Mur

H/3

H


20

===HOaa

HOha

HOra KzdzKzdzF

2.

21

....

O : ara

KHF 2.21 =

Exemple 1 : H=10 m, = 30, = 20 kN/m3.

Solution : 333.0sin1sin1

=

+

=

aK

murdelinairemKNKHFara

/333333.0102021

21 22

===

Fra est appliqu 3.33 m de la base du mur.

b) Prsence de la nappe

Soit un mur parement vertical supportant un massif surface horizontale, constitu dun sol pulvrulent dont la partie infrieure est sature (fig. 4.14). Si le sol est en tat dquilibre limite de pousse, la contrainte qui sexerce sur le mur est horizontale, principale, et a pour expression dans la partie sature :

ha = u + Ka v

Fig. 4.14 : Force de pousse exerce sur un mur dans un massif pulvrulent partiellement satur

( )[ ] ( ) ( )2

'

21

2.

2ww

wawawaww

aw

ra

HHHHKHKHHKHH

KHF

++++=

a

b

c

'ha

Sol : , sat, Mur +

H

Hw

eau = u

'ha = Hw Ka

'ha = [Hw + (H Hw) ]Ka h eau = u = eau (H - Hw)

N. P.


21

Exemple 2

=

=

=

===

30/10/20/18310

3

3

3

mkNmkNmkNmHmH

eau

sat

w

Solution : pour 333.030 ==a

K

0/18331833.0.:int

:int2

=

===

=

heau

aha

ha

mkNzKbPooaPo

( )[ ]( ) kPakPaK

KKpcPo

a

aaha

33.41311247054

71020318':int 0

==+=

+==

7/3 m

Fra3

1 m

Fra1

Fra2 Fra

3333

2.96 m

70707070 111111111.31.31.31.3

18181818

a

b

c

41.3341.3341.3341.33

SablemkNmkN

mkN

eau

sat

=

=

=

=

30/10/20

/18

3

3

3

+

10 m

3 m

=

18181818 10 m

3 m 1111

2

7/2 m

N. P.


22

( )

mkNF

mkN

FFFF

ra

rararara

/66.479

/66.47966.32612627271833.111718

2318321

=

=++=

++=++=

Point dapplication : = 0cM

mZ

Z

96.266.47921.141921.1419

21.7620.4410.2163766.3265.312682766.479

==

=

++=

++=

Exemple 3 : Cas de bicouche sable - gravier

Dterminer la force de pousse sur le mur ci-dessous. Trouver le point dapplication de cette force.

Solution :

238.0sin1sin138:

333.0sin1sin130:

=

+

==

=

+

==

a

a

KgravierdeCouche

KsabledeCouche

50.750.750.750.7 z

7 m

3 m

Gravier : = 22 kN/m3

= 38

Sable : = 20 kN/m3

= 30 Fra1

Fra = 257.5 kN

20202020

7/3 m

1 m

Fra3 z = 3.4 m

Fra2

14.314.314.314.3


23

Profondeur :

( )( )

murdelinairemkN

F

kPaKzmzkPaKzmzGravier

kPaKzmzSable

ra

aha

aha

aha

/5.2575.22730

77.503.1421320

21

7.50238.0227203:103.14238.0320.:3:

0.20333.020.:3:

=+=

++=

=+===

====

====

Point dapplication :

( ) ( )

mZ

Z

M base

45.35.257

3.2974.3500.2405.257

3773.147.50

21

2773.1417300

=

+==

=

++ +=

On a toujours besoin du point dapplication de la force.

4.3.3 Calcul de la force de pousse pour un massif pulvrulent surface incline

Soit un cran vertical appliqu sur un massif pulvrulent dont la surface libre est incline sur lhorizontal (fig.4.14). Si lon met le sol en rupture de pousse, la force de pousse exerce est donne par : = H harp dzF 0

La contrainte ha exerce sur le sol est incline langle sur lhorizontale et a pour valeur :

aha Kz .cos =

Fig. 4.14 : Force de pousse sur un massif pulvrulent surface incline.

Sol : ,

H Fra = 1/2 H2 cos Ka

'ha = H cos . Ka H/3


24

Do : KaHFra .cos21 2 =

Exemple 4 :

Dterminer la force de pousse dans le cas du mur ci-dessous

Solution :

mkNKHF

K

ara

a

/3.265940.0441.082021

cos21

441.0750.0883.094.0750.0883.094.0

coscoscos

coscoscos

22

22

22

===

=

+

=

+

=

Point dapplication : mHZ 67.238

3 ===

mKNF

KPaKHmz

ra

ahaha

/3.2652

83.663.66.cos:8

=

=

===

4.3.4 Calcul de la force de pousse pour un massif cohrent surface horizontale

Soit un mur parement vertical supportant un massif cohrent surface horizontale (fig. 4.15) et dangle de frottement et de cohsion c. Si le sol est en tat de rupture, de pousse, la contrainte qui sexerce sur le mur est horizontale, principale et a pour expression :

= 20 = 20 = 20 = 20

Sol : = 20 kN/m3

= 30 8 m

Fra = 1/2 H2 cos Ka

ha = 66.3 kPa

2.67 m


25

=

==

=

HKcKHFsoit

dzKcdzKzdzFod

KcKz

aara

H A HO aahara

aaha

.221

2.:'

2.

2

0 0

Fig. 4.15 : Force de pousse exerce par un massif cohrent

Exemple 5 :

Dterminer la force de pousse sur le mur illustr ci-dessous. Trouver le point dapplication de la rsultante.

ha

68.3 kPa

ht = 1.57 m

Sol : = 20 kN/m3 c = 10 kPa

= 25 H = 10 m

405.0sin1sin1

=

+

=

aK

Fra = 278 kN/m

- 12.7 kPa

Z = 2.57 m

tension

compression

ht

aKc2

Sol : , c et H

aaha KcKz 2. =

Hc = 2 ht


26

Solution :

mKch

kPaKacmz

a

t

ha

57.1405.020

10227.12405.01022:0

=

==

====

kPaKcKzmzaaha 3.687.120.817.12405.010202:10 =====

rmudemkN

HKcKHFaara

/278127405

107.12405.01020221 22

==

==

La force de pousse Fra aurait pu tre calcule en faisant la somme des surfaces de la distribution, soit :

( ) mKNFra /2789.28797.957.10.103.682157.17.12

21

=+=+=

Point dapplication : ( )

mZ

ZM base

57.2

2783

57.1109.28757.13257.11097.90

=

=

+

+=

Remarques i. Vu limpossibilit pour la plupart des sols de rsister aux contraintes de

traction, la partie en extension de la rpartition des contraintes est souvent nglige. Dans ce cas, on aurait Fra = 288 kN/m.

ii. A long terme, la cohsion du sol en arrire du mur tendance disparatre, ce qui entrane la disparition des zones en extension et, dans ce cas,

mkNFsoitKHFrarara

/405405.0102021

:,21 22

===

Exemple 6 :

Dterminer la force de pousse sur le mur illustr ci-dessous. Dterminer la rpartition des contraintes sur le mur et le point dapplication de la rsultante.


27

Solution :

( ) kPaKcKpmzm

Kach

kPaKcmz

aaha

t

aha

3.343.126.4612376,0107183'2':10

81.1'23.12376.0102'2:0

0 ==+===

==

====

kPamz ha 0.83.12376.0183:3 ===

( ) mkNFSolsra

/8.1411.1488.41.1173.34821819.1

2181.13.12

21

: =++=+++=

mkNFEau eau /24577021

: ==

mkNFFtotaleForceeaura

/8.3860.2458.141 =+=+=

Point dapplication de la rsultante : 0= baseM

( )

( )murdubaselademZ

Z

37.2

8.38637707

21

37783.34

21

270.70.819.1

3178.481.1

3219.17111

=

=++

++

++

++

34.3 kPa

8 kPa

70 kPa

ht = 1.81 m

Sol Sol : = 18 kN/m3

' = 10 kN/m3

= 10 kN/m3 c = 10 kPa

= 27

H = 10 m

1.19 m

+

- 12.3 kPa

sol eau

3 m


28

4.4 Calcul des forces de pousse et de bute : Mthode de Coulomb

Mise au point par COULOMB en 1773, cette mthode permet de dterminer les forces de pousse et de bute sexerant derrire un cran ou un mur quelconque sans considration de ltat des contraintes exerant dans le sol derrire le mur.

Elle repose sur deux (2) hypothses :

Le sol se rompt suivant une surface plane passant par le pied de lcran. La force agissant sur lcran une direction connue. En dautres termes, cela

signifie que langle de frottement entre lcran (ou le mur) et le sol est connu.

Ces deux (2) hypothses faites, la force agissant sur le mur est calcule par simples considrations dquilibre statique. Le calcul sera dabord conduit dans le cas des sols pulvrulents, puis tendu au cas des sols cohrents.

4.4.1 Principe

Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvrulent, dangle de frottement . On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant langle avec lhorizontale (fig. 4.16) En chaque point M du plan de rupture sexerce une contrainte faisant langle avec la normale au plan. Donc, la raction R du sol sur ce plan de rupture fait avec la normale ce plan langle . Le principe consiste crire lquilibre statique du coin de sol ABC entran dans la rupture sous laction des forces qui lui sont appliques et qui sont :

- Son poids W - La force Fca ou la force de pousse de COULOMB

- La raction R exerce par le sol sur le plan de rupture

On dtermine ainsi la valeur de la force Fca en fonction de langle que fait le plan de rupture avec lhorizontale.


29

Fig. 4.16 : Principe du calcul de la pousse par la mthode COULOMB

La force de pousse correspondra au maximum de la force F() on crira :

0=d

dF

La formule gnrale est la suivante dans le cas de la pousse :

cacaKHF 2

21 =

Avec : ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

+

++

+= 2

2

2

sinsinsinsin1sinsin

sin

caK

Remarque : Cette thorie ne permet pas de dterminer le point dapplication de la force Fca. On suppose la rpartition des contraintes triangulaire et le point dapplication de la force rsultante est ainsi au tiers (H/3) infrieure de la hauteur.

Dans le cas de la bute, la force Fcp a pour expression : (voir aussi fig. 4.17)

cpcp KHF2

21 =

Plan de rupture

R W

Fca

C

A

B

M

Mur

a) Prisme de rupture

H

Fca R

W

b) Polygone des forces

= = = =

= = = =


30

Avec : ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

++

+++

= 2

2

2

sinsinsinsin1sinsin

sin

cpK

Fig. 4.17 : Etat de bute de COULOMB

Dans le cas de la bute, la force Fcp correspond au maximum de la rsistante du sol. La rpartition est assume aussi triangulaire et au point dapplication de la rsultante se situe au tiers de la hauteur partir de la base.

Exemple 7 : Dterminer la force de pousse par la mthode de coulomb du mur suivant :

Plan de rupture

R

W

Fcp

C

A

B

Mur

a) Prisme de rupture

H

Fca

R

W

b) Polygone des forces

= + = + = + = +

= + = + = + = +


31

4.4.2 Effet dune surcharge uniforme (fig. 4.18 ci-dessous)

Fig. 4.18 : Coin de COULOMB

A

Plan de rupture

C

B

q

H

Fca

R

W

Parallle AB

AB sin ( + ( + ( + ( + ))))

Mur

15151515

B

A

= 20 = 20 = 20 = 20

Mur

H = 8 m

= 85 = 85 = 85 = 85

= = = = 20 kN/m3 = 30 = 20 = 15

B

A

Mur

Z = 2.67 m = 85 = 85 = 85 = 85

Fca = 300.8 kN/m3

Normale AB

Kca = 0.470 Fca = H2 Kca = 20 x 82 x 0.470 Fca = 300.8 kN/m3

ha = [ H Kca ]/sin 85 = [20 x 8 x 0.470]/sin 85 = 75.5 kPa


32

Dans le cas de la fig. 4.18, le coin ABC est toujours soumis trois forces R , ca

F et W , mais

au lieu des poids W des terres, il faut maintenant prendre en considration le poids des

terres (W) et de surcharge ( q . BC). On a ainsi :

BCqWW .' +=

Soit : ( )[ ] BCqABW .2sin21

++=

Que lon peut crire : ( )

( ) equivalentdensitABq

avec

BCABW

=

++=

+=

sin2

.sin.21

1

1

Autrement dit, tout se passe comme si le coin tait charg mais avec un poids volumique fictif 1 . On trouvera par consquent la mme position de la ligne de glissement relle et la mme expression pour la pousse. On aura pousse totale :

( )

( ) equivalentoufictivehauteurappeleestq

Hhauteurla

HHKHFencoreou

KHqKHFSoit

KHF

caca

cacaca

caca

+=

+=

++=

=

sinsin

':

'2121

:

sinsin

..

21

:

21

2

2

2

Pour dterminer la rpartition des contraintes sur le mur et le point dapplication de la rsultante, il suffit de se rappeler que la distribution des contraintes sur lcran rsulte de laddition dune distribution triangulaire et dune distribution uniforme (voir fig. 4.19).


33

Fig. 4.19 : Rpartition des contraintes le long du mur

Exemple 8 : Dterminer la force de pousse sur le mur illustr la figure ci-dessous :

Solution : ( )+

+=sin

sin..

21 2

cacacaKHqKHF

mkN

Fsoit ca

/959487472966.0996.0472.010100472.01020

21

: 2

=+=

+=

= 20

q = 100 kPa

H = 10 m

959 kN/m

487 kN/m (surcharge)

472 kN/m (sols)

ha = = = = 48.5 kPa (surcharge)

ha = = = = 94.0 kPa (sols) H/3

H/2 4.18

= 20 kN/m3 = 30 = 85

= 20 = 20 - Kca = 0.472

A

B

q

H

Fca

q H Kca /sin ( + ( + ( + ( + ) (surcharge)

H2 Kca (sols)

ha = = = = H Kca . sin (surcharge) = [q Kca . sin2 ]/ sin ( + ( + ( + ( + )

ha = = = = (((( H sin ) . Kca H/3

H/2


34

Rpartition des contraintes

( ) kPaKq

eSurch

kPaKHSolsmHz

ca

ha

caha

5.48sin

sin:arg

0.94sin::102

=

+=

====

Point dapplication : 0: = baseMZ

murdubaselademZ

Z

18.4959/4008

4008243515732

104873

10472959

==

=+=+=

4.4.3 - Mthode graphique de CULMAN (Mthode de COULOMB graphiquement)

Lorsque les conditions gomtriques ne permettent pas de dterminer analytiquement la force de pousse ou de bute (ex. surface non rgulire), on utilise une mthode graphique qui est base sur la thorie de COULOMB et qui est due CULMANN. (Chargement rpartie ou ponctuel ne couvrant pas toute la surface du sol).

4.4.3.1 Sols pulvrulents

Cette mthode consiste calculer la force de pousse exerce sur le mur pour diffrentes valeurs dinclinaison du plan de rupture. En reportant ces valeurs sur un graphique, on dtermine, partir de la courbe obtenue, le maximum qui correspond la valeur de la force de pousse Fca.

La figure 4.20 suivante donne les lments de la dmonstration, lcran AB, la surface libre BT, la ligne de glissement hypothtique AC faisant langle avec la verticale, une ligne auxiliaire AD qui fait avec lhorizontale langle , une AS appele ligne de position dfinie par langle = quelle fait avec AD, tant langle que fait Fca avec la verticale.

Par un point C1 choisi, traons la parallle AB, elle coupe AD en d1 ; par d1 traons la parallle AS, elle coupe AC1 en e1. Le triangle Ad1 e1 est semblable au triangle des forces (fig. 4. 20 b) ; ou encore on passe du triangle des forces au triangle Ad1e1 par une rotation (90 + ) tel quindique la figure 4.20c. On a :

321triangleduAire

ca BCLwCommeAd

dew

F1

11

21

1== 11

1

1

21 de

AB

LFd

c

ca=


35

Fig. 4.20 : Construction de CULMANN

e1

e2

di

d1

d2

A

= = = =

Mur

H

B

ei

Ci C1

C2

D

S

H

T

direction parallle AS

ligne de position

droite faisant avec lhorizonle langle

1111

2222

Ri Wi

Fcai

(b) Polygone des forces

+ + + +

horizontale

(d) D

X

Wi

W1

W2

direction faisant avec lhorizonle langle + + + +

direction parallle Fcai

ei

di

e1

e2

d1

d2

(a)

(e) A

B

Ci

La direction de Ri fait langle ( + i) avec lhorizontale

Ri

horizontale

Wi

Fcai

1111

2222

direction parallle AB

Ri

(c) Rotation

90 + 90 + 90 + 90 +

Fca


36

Or quand c varie, le rapport BC1/Ad1 reste constant, donc Fca est directement proportionnelle e1d1, le maximum de Fca sera aussi celui de eidi.

Quand Ci dcrit la surface libre du massif, le point ei dcrit la courbe Aei appele courbe de CULMANN. La valeur maximale eidi atteinte, correspond au point ei pour lequel la tangente la courbe de CULMANN est parallle AD. La tangente la courbe de CULMANN permet donc de trouver une valeur minimale pour eidi, donc de trouver la valeur de Fca.

Dautre part, le rapport BCi/Adi tant constant et ii BCLW 21

= , donc Adi est directement

proportionnel Wi. On pourra adopter pour la fig. 4.20a, une chelle des longueurs dfinissant lchelle des forces sur AD avec WABCi = Adi. Pour chaque position de Ci on aura Adi = Wi. Etant donn que Fcai = diei, on pourra mesurer selon lchelle des forces impose, pour trouver Fcai.

Dune autre manire, on peut conserver les directions daction de W , Fca et R tel que montre la fig. 4. 20d. Ceci quivaut une rotation de (90 + ) de la fig. 4 20a. Soit D la verticale et la ligne daction des Wi, on peut alors choisir sur AD une chelle des forces arbitraire. Wi correspondant au coin dfini par i et Wi = Adi (fig. 4.20d). La ligne daction que R fait langle (i + ) avec lhorizontale (fig. 4.20e) ; la ligne daction de Fca fait langle ( ) avec la verticale. Traons (fig. 4.20 d) ces deux droites respectivement par A et di, elles se coupent en ei, diei reprsente Fcai. Il est intressant de tracer la droite AX incline de par rapport lhorizontale ; partir de cette droite, ou devra simplement prendre chaque coin ABCi considr, la droite faisant avec AX langle i. La courbe de CULMANN tant trouve, la valeur maximale de diei donne Fca qui correspond au point ei pour lequel la tangente la courbe est parallle la droite AD.

Des applications typiques de la mthode graphique de CULMANN sont prsentes aux figures 4.21 : surface du massif irrgulire, 4.22 : charge ponctuelle linaire et 4.23 : charge rpartie en bande.


37

Fig. 4.21 : Mthode de CULMANN

Fig.4.22 : Charge ponctuelle linaire Mthode de CULMANN

A (b)

X

W1

W2

W2 + q

direction de R sur le plan de rupture trouve

e1

di

e2

e4

d2

dq

(a)

A

B

C1

Surface de rupture relle trouve

Ri

4444 2222

3333

1111

2222

1111

3333

C2

C3

C4

4444

eq

W4 d4

Q (kN/m)

e3

W3 d3

e2

Fca

A (b)

X

W1

W2

W3

direction de R sappliquant sur le plan de rupture

e1

di e2

e4

d2

d3

(a)

A

B

C1

Surface relle trouve

Ri

4444

2222

3333

1111

2222

1111

3333

C2

C3 C4 Ci

4444

e3

W4 d4

Fcai


38

Fig. 4.23 : Charge rpartie en bande Mthode de CULMANN

Point dapplication de Fca.

Il convient de noter que la mthode de CULMAN ne donne que lintensit de la pousse, il reste prciser son point dapplication, ce qui revient au mme, la distribution des contraintes sur lcran, on divise le parement AB (fig. 4.24) en un certain nombre de segments gaux (3 en gnral), AB1, B1B2, et B2B et lon admet que la rpartition des contraintes est linaire sur chacun de ces segments. Pour dterminer cette rpartition, on calcule par la mthode de CULMANN la pousse qui sexerce sur les parements BB2 et BB1, soit P1 et P2. On connat dj la pousse qui sexerce sur le mur AB. La rpartition des contraintes a donc pour rsultante P1 sur BB2, P2 P1 sur B2B1 et P - P2 sur B1B. Si lon cherche prciser le point dapplication de P, il suffit de prendre les moments par rapport

la base, B ( )0= BM .

((((

2222

3333

A (b)

X

W1

W2

W3


e1

di

e2

e4 d2

d3

(a)

A

B C1

Surface de rupture relle trouve

Ri

2222

3333

1111

1111

C2 C3

C5

4444

e3

W5 d5

Q1

e5

W4 d4

Q2

C4 L1

L2

Q1 = q L1

Q2 = q L2 q (kPa)

5555 Fca


39

Fig. 4.24 : Rpartition des contraintes et point dapplication de la rsultante

( ) ( )[ ]

[ ]PPPP

HencoreOu

P

PPPHSoit

HPPPH

HPPPHPPH

++=

++

=

+

+

=

+=

21

12

12

12121

429

Z

91

92

94

Z

992

92

32Z.P*

92

322

32P2Z.P*

(b) Diagramme

P1

(a) Mur

A

B

C1

C2

C3

C1

C2

C3

B2

B1

H/3

H/3

H/3

A

B

B2

B1

P1

P2 2P1

P

2(P2 P1)

P2 2P1

H/3

H/3

H/3

2P1

2(P2 2P1)

P

2(P2 P1)

(b) Points dapplication des diffrentes

H/9


40

4.4.3.2. Sols cohrents

Dans le cas des sols cohrents, le problme est plus complexe sur le plan de rupture, les contraintes tangentielles et normales sont, en effet, lies par la relation de COULOMB.

tan+= c

Avec : c = cohsion du sol = angle de frottement interne du sol

Il en rsulte, dans lquilibre du prisme de rupture, une force supplmentaire C parallle au plan de rupture, due la cohsion. De plus, le long de lcran il existe une force

dadhrencea

C . Ces deux (2) forces doivent tre ajoutes W , ca

F et R , ce qui rend le

problme assez complexe. Cette mthode est illustre la fig. 4.25 ci-dessous.

Fig. 4.25 : Sol cohrent

Fcai

(b)

X


(a)

A

B

Ri

Ci

fissures

Wi C

Fcai

Ca C

Ht

cohsionACiC

adhsionABCa=

= .1

B1

H Ca


41

4.5 - Calcul des forces de pousse et de bute : Mthode de BOUSSINESQ

La thorie de RANKINE (ou de COULOMB) est trs simple, mais ses applications pratiques sont parfois limites. Ainsi les lignes de glissement que lon observe sur place ne sont pas habituellement rectilignes. De plus les massifs sont souvent limits par des parois, murs ou crans et lon constate que la rugosit de ces crans joue un rle important, lquilibre de RANKINE (ou de COULOMB) ne permet pas den tenir compte. La fig. 4. 27a donne un exemple dans le cas de la pousse. On constate que les lignes de glissement diffrent peu des lignes droites, cest un rsultat assez gnral surtout lorsque lcran est proche de la verticale. Il nen va plus de mme pour la bute, o les lignes de glissement sont courbes comme le montre la fig. 4. 27b.

Fig. 4.26 : Schmas de ruptures vritables

La thorie de BOUSSINESQ tient compte de la rugosit de lcran et respecte la courbure des lignes de glissement observes exprimentalement au voisinage de lcran. En pratique on utilise des abaques ou des tables (Caquot & Krisel ou Absi) pour trouver les coefficients de pousse et de bute.

Plan de rupture

(a) Pousse (b) Bute

Plan de rupture

H


42

4.6 Comparaison des diffrentes mthodes

4.6.1. Comparaison

a) RANKINE : base sur toute une zone de rupture, elle prsente linconvnient dimposer priori la valeur du frottement entre le sol et le mur

b) COULOMB : la zone de rupture est rduite un plan de rupture et il ny a aucune prise en compte de ltat des contraintes dans le sol. Lhypothse du plan de rupture est relativement bien vrifie pour les sols pulvrulents en tat de pousse, mais ne lest pas ni pour les sols cohrents, ni pour les tats de bute.

c) BOUSSINESQ : cest la plus satisfaisante des trois (3) mthodes compte tenu des hypothses faites.

4.6.2. Choix dune mthode

Dans le calcul des forces de pousse et de bute, le choix dune mthode dpend galement de la gomtrie de louvrage.

a) Mur vertical et surface libre horizontale : la mthode de RANKINE, malgr ses simplifications, est dans ce cas frquemment utilise. Il convient cependant de vrifier si lhypothse de frottement nul nest pas trop loigne de la ralit, auquel cas la mthode de BOUSSINESQ ou la mthode de COULOMB peut tre employe.

b) Mur plan inclin et surface libre incline : la mthode de BOUSSINESQ permet un calcul correct des forces de pousse et de bute. On utilise ainsi la mthode de COULOMB dans le cas des problmes de pousse.

c) Mur quelconque et surface libre quelconque : on applique la mthode de COULOMB avec rsolution graphique CULMANN. Seule utilisable.


43

B OUVRAGES DE SOUTENEMENT

4.7 Diffrents types douvrages de soutnement

Le rle des ouvrages de soutnement est de retenir un massif de terre. Il existe en grande varit, chacun des types ou presque ncessitant une mthode spcifique dtude et de contrle du dimensionnement assurant la stabilit. Tous ces ouvrages ont en commun la force de pousse exerce par le massif de terre retenu. Par contre, cest principalement la manire dont cet effort de pousse est repris qui spare les diffrents types douvrages. Trois modes peuvent tre distingus :

La pousse est reprise par le poids de louvrage de soutnement ; La pousse est reprise par encastrement de louvrage de soutnement ; La pousse est reprise par les ancrages.

Le tableau 3 ci-dessous montre les divers types douvrages de soutnement classs daprs la distinction prcdente.

4.7.1 : Cas o la pousse est reprise par le poids de louvrage

i. Le type douvrage le plus classique et le plus ancien est le mur poids en bton ou en maonnerie. Ce sont des ouvrages rigides qui supportent trs mal les tassements diffrentiels.

ii. Les murs en terre arme sont des ouvrages souples qui supportent assez bien les tassements diffrentiels du sol.

iii. Les ouvrages cellulaires utiliss principalement dans les travaux maritimes forment galement des ouvrages souples.

4.7.2 : Cas o la pousse est reprise par encastrement de louvrage

i. Le mur cantilever en bton arm qui, dot dune base largie encastre la partie suprieure du sol, fonctionne sous leffet du poids du remblai ; un mur cantilever peut dailleurs tre considr comme un ouvrage poids si lon y inclut le poids du remblai compris entre le mur et la verticale (1) passant par lextrmit arrire de la semelle (fig. 4.28), les murs cantilever sont galement des ouvrages rigides.


44

ii. Les murs en parois mouls qui fonctionnent galement par encastrement, en totalit ou en partie.

iii. Les rideaux de palplanches, encastrs dans le sol de fondation : ce sont des ouvrages de soutnement flexibles, o linteraction structure - remblai a une influence prpondrante sur le comportement de louvrage.

Tableau 4.3 : Classification des ouvrages de soutnement daprs le mode de reprise de la pousse

Mode de reprise de la

pousse

Ouvrages de soutnement

Poids de louvrage

Encastrement

Ancrage

Ouvrages cellulaires

Rideau ancr

Rideau de palplanches

Paroi moule ancre

Paroi moule

Mur en terre arm

Mur en bton ancr

Mur cantilever en bton arm

Mur poids en bton ou en maonnerie


45

Fig. 4.27 : Mur cantilever en bton arm

4.7.3 : Cas o la pousse est reprise en totalit ou en partie par les ouvrages

Dans les ouvrages de soutnement en dblai, leffort de pousse est frquemment repris en partie par des ancrages (murs et parois moules ancrs). Il en est de mme pour les rideaux de palplanches, lorsque le sol de fondation est trop rsistant et ne permet pas denfoncer les palplanches une profondeur suffisante.

4.8 Dimensionnement des murs poids en maonnerie ou bton

Dimensionner un mur poids consiste dterminer sa gomtrie et sa structure pour quil soit stable sans laction des forces qui lui sont appliques savoir (fig. 4.28) :

- le poids du mur W

- la force de pousse a

F

- la force de bute pF

- la raction du sol R

. :. :. :. : sat sera utilis pour le calcul de la force la pousse sil ny a pas de protection, si pas de nappe (infiltration par exemple).

B

A

C

Fa

Fa = Force de pousse


46

aF = force de pousse

pF = force de bute

R = raction du sol

W = poids du mur

Fig. 4. 28 : Forces sexerant sur un mur poids

Comme pour tout ouvrage de soutnement, le dimensionnement dun mur comporte les tapes suivantes :

Calcul des efforts de pousse et de bute, Scurit au renversement, Scurit vis--vis dun glissement sur la base du mur, Scurit vis--vis dune rupture du sol de fondation, Scurit vis--vis dun grand glissement englobant le mur, Scurit vis--vis de la stabilit interne du mur.

4.8.1 : Calcul des efforts de pousse et de bute

En premier lieu, il convient de vrifier que les dplacements du mur sont suffisants pour mobiliser la pousse ou la bute. En fait, le dplacement du pied du mur nest gnralement

pas suffisant pour mobiliser ltat de bute laval ; cest pourquoi cette force ( )pF est rarement prise en compte. Lorsquil ny a pas possibilit de dplacement du mur, comme cela est le cas pour un pont cadre ou dalot, la force de pousse doit tre calcule avec le coefficient Ko et non avec Ka.

La force de pousse doit, par ailleurs, tre calcule en fonction des conditions hydrauliques probables les plus dfavorables derrire le mur. Il faut avoir prsent lesprit quun remblai horizontal totalement satur deau pousse environ 2.5 fois plus que le mme remblai sec. Il convient donc dviter toute saturation du remblai et de prvoir un dispositif de drainage.

R

W Fa

Fp


47

Habituellement, pour la plupart des murs poids, les efforts de pousse sont calculs daprs la thorie de COULOMB (CULMANN inclus).

cacaKHF 2

21 =

4.8.2 : Scurit au renversement

La scurit au renversement traduit son quilibre statique par rapport au moment des forces exerces. Le coefficient de scurit peut tre dtermin en considrant lquilibre lorsque le mur se renverse autour de son arte extrieure. Au dessus de la base, le mur est sollicit par deux types de forces (fig. 4.29)

Fig. 4.29 : Scurit au renversement

a) Des forces qui tendent stabiliser le mur, principalement le poids W, b) Des forces qui tendent renverser le mur, principalement la force de pousse. On

dfinit le coefficient de scurit au renversement :

5.1.2

1

.

.

=

=

dFdW

MM

Farenvers

stabR

On utilise parfois la rgle du tiers central, qui consiste sassurer que la raction R (fig. 4.28) sur la base passe dans le tiers central de la semelle de fondation. Cette rgle quivaut ce que, dans une distribution linaire des contraintes verticales sous la semelle, aucune

W Fa

d2

d1


48

zone de cette semelle ne soit pas en traction. Si la rsultante est dans le 1/3 central alors toute la section est en compression.

4.8.3 Scurit vis--vis dun glissement sur la base du mur

Le dplacement du mur par glissement sur le plan de sa fondation est la deuxime ventualit envisager (fig. 4.30)

Fig. 4.30 : Scurit au glissement

Il faut comparer :

La composante T de la rsultante R sur le plan de la fondation La rsistance que terrain est capable dopposer au glissement, savoir :

tan. NBCa

+

Avec : B = largeur du mur la base

N = composante normale de R

aC = adhsion ou adhrence

= angle de frottement entre le sol et la base du mur.

Le coefficient de scurit au glissement est alors gal :

5.1tan. +=TNBC

F aG

N R

B

N


49

4.8.4 Scurit vis--vis dune rupture de sol de fondation

La scurit vis--vis dune rupture du sol de fondation est obtenue par ladoption dun coefficient de scurit gal 3 sur la capacit portante du sol de fondation relative une charge excentre et incline (fig. 4.31).

Fig. 4.31 : Surface de rupture du sol de fondation

4.8.5 : Scurit au grand glissement

Il y a rupture par grand glissement lorsque la partie du massif de sol glisse en englobant le mur, la surface de rupture passant alors larrire du mur (fig. 4.32).

Le coefficient de scurit correspondant est dfini comme le rapport du moment des forces motrices (forces de pesanteur) au moment des forces rsistantes mobilisables le long de la surface de rupture. La valeur du coefficient de scurit doit tre suprieure ou gale 1.5. Cette quation est examine ventuellement en dtail dans le chapitre sur la stabilit des pentes.

R

B

D


50

Fig. 4.32 : Rupture par grand glissement

4.8.6 : Stabilit interne du mur

Il reste sassurer que les contraintes dans la maonnerie restent infrieures aux contraintes admissibles. Cest un problme de rsistance des matriaux. En principe, on ne doit pas faire travailler de la maonnerie ou du bton non arm la traction, il faut donc, dans ce cas, que la rsultante des forces tombe dans le tiers central de chaque section le long du mur.

Surface de rupture


51

4.8.7 : Dimensions usuelles dun mur poids

Il est indiqu la fig. 4.33 les proportions les plus usuelles dun mur de soutnement gravitaire. Ces indications peuvent servir pour dgrossir un avant projet.

Fig. 4.33 : Dimensions usuelles dun mur poids

4.9 Mur de soutnement cantilever en bton arm

4.9.1 Principe

La conception des murs de soutnement cantilever en bton arm diffre sensiblement de celle des murs poids. Les terres sont retenues par un voile vertical dont lquilibre est assur par une semelle qui se prolonge sous le remblai (fig. 4.34). Cette semelle supporte le poids des terres dont le rle stabilisateur est vident. La partie la plus dlicate de louvrage se situe lencastrement du voile dans la semelle, il se dveloppe l des moments flchissant notables.

La mthode habituelle dans le cas des murs de type cantilever consiste calculer la force de pousse sur le parement fictif (AB) en utilisant les hypothses de RANKINE. Ce faisant, lon assume que les plans de glissement inclins 21 et par rapport la verticale AB,

puissent se former sans interfrence de la part du mur.

H 2/3 H

H

t = (H/8 < t < H/6)

H/12 (min = 30 cm)

t/2 t


52

Fig. 4.34 : Mur de soutnement cantilever en bton arm

Les critres de stabilit (renversement, glissement, etc..) sont les mmes que pour les murs poids, sauf que lon permet lexistence des forces de traction dans la voile. Ces forces sont reprises par les armatures dacier.

4.9.2. Dimensions usuelles dun mur cantilever

La figure 4.35 rsume les dimensions les plus courantes des ouvrages de ce genre.

Fig. 4.35 : Dimensions usuelles dun mur cantilever

B = H/2 2/3 H

H

H/12

H/24

B/3

H/12

A

H

Fra = (g AB)2 [RANKINE]

Plan de rupture

AB/3

Plan de rupture

B

2222 1111

Verticale


53

4.10 Rideaux de palplanches

4.10.1 Gnralits

Les rideaux de palplanches sont constitus de palplanches sont constitus de palplanches mtalliques en gnral, embotes les unes dans les autres et battues dans le sol de fondation, pour former un cran vertical, le plus souvent rectiligne, servant de soutnement un massif de sol. Les rideaux de palplanche peuvent constitus des ouvrages provisoires (batardeaux) ou dfinitifs. Leur caractristique essentielle est que le soutnement ainsi form est souple, ce qui ncessite une mthode spcifique de dimensionnement.

Outre les scurits classiques dune rupture par renversement ou grand glissement, la mthode consiste vrifier que les dformations du rideau restent en tout point admissibles, c'est--dire que la contrainte maximale dans la palplanche ne dpasse pas le taux de contrainte admissible pour lacier, soit (fig. 4. 36)

Z = module de rsistance = 2I/h I = moment dinertie h = hauteur (paisseur)

Fig. 4.36 : Caractristiques dune palplanche

admZM

= maxmax

Avec : Mmax = moment maximum Z = Module de rsistance adm = contrainte admissible de lacier

On distingue deux (2) types de rideaux :

Les rideaux ancrs, Les rideaux sans ancrages

X h

X


54

Dans ce dernier cas, la stabilit est assure uniquement par les ractions du sol sur la partie enterre que lon appelle la fiche, cest le cas de la plupart des batardeaux (fig. 4.37)

Fig. 4.37 : Exemple de Batardeau

Les rideaux ancrs au contraire doivent une part de leur stabilit une ou plusieurs lignes de tirants qui sont relis des plaques dancrage enterres dans le sol quelque distance de la paroi. Ces tirants sont attachs sur le rideau dans sa moiti suprieure. Les murs de quai en palplanches sont gnralement des rideaux ancrs (fig. 4.38)

Fig. 4.38 : Exemple de mur de quai ancr

Les rideaux ancrs rsistent donc la pousse des terres la fois grce aux efforts dancrage et grce la bute sur la fiche.

La flexibilit du rideau et limportance de la fiche jouent un rle important dans la dtermination de la bute.

Remblai Eau

Sol

Palplanche

D = Fiche

ancrage

Eau Palplanche

D = Fiche


55

4.10.2 Mthodes de calcul

Deux mthodes classiques sont couramment utilises :

La premire, o le rideau est ancr et simplement but en pieds, La seconde, dans laquelle le rideau nest pas ancr en tte, mais rsiste

uniquement par un bon encastrement dans le sol de fondation.

4.10.2.1 Rideau ancr, simplement bute en pieds

Un rideau ancr, simplement bute en pied correspond une faible valeur de la fiche, ce qui permet une rotation du rideau autour de son point dancrage et un dplacement du pied mobilisant la bute maximale. Le diagramme des efforts exercs sur le rideau, dans le cas dun sable, est reprsent sur la figure 4.39.

Fig. 4.39 Rideau ancr, simplement bute en pied

La bute nest plus entirement mobilise du fait des faibles dplacements cest pourquoi, en gnral on prend Kp/2.

Les inconnues dterminer sont la fiche D et leffort de lancrage T . Lquilibre statique fournit les relations suivantes :

D/3

a A

Sable

(H + D)/3 D

H

Fp

Fa

T


56

( )

( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )]2[:

0)]1[03262332:

21

21

:

32

320)

223

2

2

pa

H

aaapap

pp

aa

paA

FFTdoncFb

KaHHDKaHHDKaHKaHDKKdonc

KDF

KDHFavec

aHDFaHDFMa

=

==+

=

+=

+=

+=

La valeur de D tant connue (quation [1]), lquation [2] fournit la valeur de leffort dancrageT .

N.B : Pour tenir compte dun coefficient de scurit par rapport lquilibre ainsi calcul, on admet gnralement que lon ne mobilise que la moiti de la bute, ce qui, dans lquation dterminant la fiche D, conduit remplacer Kp par Kp/2.

Exemple 9 :

Dterminer la longueur des palplanches en assumant un coefficient de scurit de 1 sur Kp.

Sol : sable = == 30,/18 3 mKN Ancrage : 2.0 m de la surface (fig. 4.4.0)

= 30 Ka = 0.33 et Kp = 3.00 (selon RANKINE)

Fig. 4.40 : Exemple 9

D/3

2 m A

Sable

(H + D)/3 D = 2.2 m

H = 6 m

Fp

Fa

T


57

Solution : Equation [1] page prcdente

mDHmDod

DDD

DDD

2.815.2'

02161447816

031636

31436

31103343

3132

23

23

+=

=+

=

+

4.10.2.2. Rideau non ancr en tte et encastr en pied

La thorie classique considre que le rideau pivote autour dun axe situ lgrement au dessus de son extrmit infrieure. Le dplacement du rideau provoque au dessus de laxe de rotation la formation de deux zones plastiques correspondant lquilibre de RANKINE, pousse gauche et bute droite. (fig. 4.41 a).

Fig. 4.41 : Rideau sans ancrage

Au dessous de laxe de rotation O au contraire, le terrain situ gauche de la palplanche est refoul, il oppose une contre-bute, tandis que le terrain droite est dcomprim. Au moment de la rupture, la distribution des contraintes normales doit donc ressembler celle qui est indique la fig. 4.41b.

Pousse

B

Pousse

z

Bute

(a) Dplacement du rideau

O

C

(b) Pression des terres sur le rideau

A

Bute


58

Pour les besoins du calcul, on remplace la distribution des contraintes de la figure 4.42 b par la distribution plus simple de la figure 4.42 a. Les efforts de contre-bute sont quivalents

une force horizontale Fc applique au niveau du centre de rotation O (fig. 4.42 b). Cest un problme isostatique deux (2) inconnues : la profondeur fo et la force Fc . En crivant

;oM o = on peut trouver ,fo de plus ,OFH = on peut ainsi trouver Fc et par consquent, la profondeur Z. On a donc ainsi dtermin la fiche D = zfo + et la longueur des palplanches. On sabstient souvent de calculer z en utilisant la formule approche :

D = 1.20 f0, ce rsultat est du ct de la scurit.

Fig. 4.42 : Hypothses admises pour le calcul dun rideau non ancr

( )

+++=

20fHKfoHF

aa 2/00 fKfF pp =

poussedeforceFa

= butedeforceFp = ( )[ ] poussebutedeForceKDKfHzbutecontredeforceF

apc =+== 0

En trouvant le moment maximal et en considrant contrainte admissible de lacier, on peut trouver la section requise de la palplanche. La mthode que lon vient dexposer est un calcul la rupture en ce qui concerne le sol ; il est donc indispensable dintroduire un coefficient de scurit. La manire la plus rpandue consiste diviser les coefficients de bute par le coefficient de scurit (2 en gnral) et utiliser ces nouveaux coefficients de bute dans les calculs de la fiche et du moment sans modifier les coefficients de pousse.

Fc

Fa

(a) Distribution simplifie

O

(b) Forces

O

Sable

F

z

H

D f0


59

4.11. Excavations blindes

4.11.1. Gnralits et principe

On se contentera, dans cette section de donner quelques indications sommaires sur le calcul du blindages des fouilles (la paroi formant le blindage peut tre un rideau de palplanche mais elle peut tre aussi constitue de planches ou de madriers) La stabilit du blindage est assure par des tais horizontaux placs diffrents niveaux. (figure 4.43).

Fig. 4.43 : Excavation blinde

Du fait des tais, ce calcul du blindage apparat premire vue, comme le calcul dune poutre continue, reposant sur plusieurs appuis. Il est malheureusement impossible de prvoir le comportement mcanique du rideau. Les tais sont mis en place les uns aprs les autres mesure que lexcavation progresse, aussi la partie suprieure du blindage a-t-elle dj subi des dformations lorsque la partie infrieure est mis en charge, il faudrait en tenir compte dans le calcul du rideau. De plus la dformation lastique de ltai est loin dtre la mme pour tous les tais. Le rideau se comporte alors comme une poutre sur appuis dnivels, mais la dnivellation est inconnue. Il nest donc pas possible de calculer le blindage en assimilant une poutre continue, il y a trop dinconnues dordre exprimental dont le rle est dterminant en raison de la grande hyperstabilit du problme.

Pour des raisons analogues, la rpartition thorique le long de la paroi nest plus facile dterminer.

Il est certain, toutefois, que cette rpartition ne ressemble rien la distribution linaire classique, car la dformation de la paroi nest pas compatible avec lapparition dun quilibre

Fond de fouille

Palplanches

Etais

H


60

correspondant au schma de RANKINE ou de BOUSSINESQ. Les mesures faites in situ lors de la ralisation de grandes fouilles ont montr que cette rpartition avait une allure grossirement parabolique, due vraisemblablement des efforts de vote. On constate aussi quoutre les efforts de vote, lordre de mise en place des blindages et des tais joue un rle important ainsi dailleurs que la temprature et le temps.

Dans ces conditions, on conseillera de sen tenir une mthode empirique qui dcoule principalement des mesures faites par SPILKER, lors de la construction du mtro de Berlin pendant les annes 30 et de celles auxquelles procd PECK en 1940-1942 loccasion de la ralisation du mtro Chicago.

Cette mthode comporte deux (2) tapes. On choisit dabord un diagramme de rpartition des contraintes analogues ceux qui sont dessines sur la figure 4.45 a, b et c. On admet ensuite que la paroi est articule au droit de chacun des tais (sauf ce qui concerne le plus lev) ainsi quau fond de fouille. On est amen ainsi calculer une succession de poutres droites sur appuis simples (fig. 4.45 d). Cest un problme isostatique qui est donc particulirement facile rsoudre.

4.11.2 Instabilits

4.11.2.1. Effets hydrauliques, RENARD

Fig. 4.44 : Calcul empirique du blindage

Le coefficient minorateur m peut varier de 0.4 1.0

(a) Sable

0.65 Ka H

(c) Argiles raides trs fissures

H

(b) Argiles molles raides

4 m cu H 0.2 H 0.4 H

0.75 H

0.25 H

H H

0.25 H

0.25 H

0.5 H


61

Fig. 4.44 (suite) : Calcul empirique du blindage

Dans les sections prcdentes, on a pass sous silence le rle jou par leau. On admet gnralement que leau (mur de quai) est en quilibre hydrostatique de part et dautre du rideau, mme si les niveau sont diffrents. Dans ces cas, pour obtenir la distribution des contraintes totales agissant sur la palplanche, il faut simplement ajouter les contraintes effectives et la pression interstitielle.

Mais en ralit, lorsque le niveau de leau nest pas le mme des deux (2) cts du rideau, des efforts hydrodynamiques sajoutent aux effets hydrostatiques, car il y a un coulement deau le long de la palplanche et sous la palplanche du niveau amont vers le niveau aval (fig. 4.45).

Fig. 4.45 : Ecoulement deau

h

D

N. P.

N. P.

(d) Principe de calcul

0.2 H 0.4 H

H

0.25 H

0.25 H

0.5 H Etais


62

Dans le cas de la figure 4.46, cet coulement augmente les contraintes effectives gauche du rideau donc accrot la pousse, diminue les contraintes effectives droite donc rduit la bute. Cet effet est habituellement nglig si h est faible. Nanmoins si h est important, le gradient hydraulique risque datteindre une valeur voisine de la valeur critique, on peut alors craindre le phnomne de RENARD . Pour viter ce problme, en pratique on utilise une longueur de fiche de lordre de 0.7 1.0 h.

4.11.2.2 Soulvement de fond par manque de capacit portante (Argiles)

Cette condition est illustre la figure 4.46. Si lexcavation est assez profonde, il peut y avoir rupture. On dfinit un cfficient de scurit par :

25.1*

+

=

pHNcF c

Nc*dfinit au chapitre II (Fondations superficielles)

Fig. 4.46 : Manque de capacit portante

4.11.2.3 Soulvement de fond par pression deau

Lorsque lexcavation est faite dans un sol impermable (argile) et que cette argile est sur une couche permable (sable ou gravier), il peut y avoir soulvement de fond (fig. 4.47). Pour viter ce problme, on exige en pratique un coefficient de scurit dau moins 1.25. Ce coefficient est dfini par lexpression suivante :

B X L

Sol : et Cu D

P = surcharge


63

25.1

=

eaueau

ssat

hh

F

Fig. 4.47 : Soulvement de fond de fouille

Argile

hs

Eau Eau

Sable ou gravier

Argile

heau

sat

N. P.

Chap 2 POUSSEES ET BUTEES.pdf

Documents

Transcript of Chap 2 POUSSEES ET BUTEES.pdf