Chapitre 2

Espaces metriques

2.1 Distance

On dispose sur R de la distance usuelle

d : R R R+(x, y) 7 d(x, y) = |x y|

On lutilise pour definir la convergence des suites et la continuite des fonctions. Le butici est de generaliser cette notion.

Definition 2.1.1. Une distance sur un ensemble X est une application

d : X X R+ ,

telle que :a) x X , y X , d(x, y) = 0 x = y ;b) x X , y X , d(x, y) = d(y, x) (symetrie) ;c) x X , y X , z X , d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inegalite triangulaire).

Lensemble X muni dune distance d est appele un espace metrique, ses elementssont habituellement appeles des points.

Exemple 2.1.2. Distance usuelle sur R ou C : d(x, y) = |x y|.

Exemple 2.1.3. Etant donne un espace metrique (X, d) : distance produit sur X X,definie par ((x, y), (x, y)) = max(d(x, x), d(y, y)).

Exemple 2.1.4. La distance induite sur un sous-ensemble.

Exemple 2.1.5. La distance triviale (ou discre`te) : x 6= y , d(x, y) = 1.

Proposition 2.1.6 (seconde inegalite triangulaire).

x X , y X , z X , |d(x, y) d(y, z)| d(x, z) .

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Definition 2.1.7. Dans un espace metrique (X, d), on appelle boule ouverte (resp. boulefermee) de centre a X et de rayon r > 0, le sous-ensemble :

B(a, r) = {x X, d(a, x) < r}

(resp. Bf (a, r) = {x X, d(a, x) r}) .

Definition 2.1.8. Un sous-ensemble A dun espace metrique (X, d) est borne si etseulement sil est contenu dans une boule :

a X , r > 0 / A Bf (a, r) .

Une application a` valeur dans un espace metrique est bornee si et seulement si son imageest bornee.

Exercice 2.1.9. Montrer que si A est une partie bornee dun espace metrique (X, d), traitealors :a) pour tout point b dans X, lapplication gb : X R definie par gb(x) = d(b, x) estbornee.b) La restriction de d a` A A est bornee.

Definition 2.1.10. On appelle diame`tre dune partie bornee A dun espace metrique(X, d), le nombre diam(A) = sup(x,y)AA d(x, y).

Exercice 2.1.11. Demontrer que le diame`tre dune boule B(a, r) est majore par 2r. traite

Exemple 2.1.12. Distance uniforme d sur lensemble des applications bornee de I dansun espace metrique X, d) : B(I,X).

Exemple 2.1.13. Distance associee a` une norme sur un espace vectoriel reel ou complexe.

Exercice 2.1.14. Normes :1. Rappeler la definition dune norme.2. Donner des exemples de normes sur Rn et Cn. traite3. Donner des exemples de normes sur lespaces des fonctions continues sur un intervalle : traiteC([a, b],R).

Exemple 2.1.15. Distance associee a` la valuation sur R[X] : d(P,Q) = 2v(PQ). traite

2.2 Limite et continuite

Definition 2.2.1. Soient (X, d) un espace metrique et u = (un)n0 une suite dans X.La suite u converge vers l X si et seulement si :

> 0 , N N , n N , d(un, l) < .

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Exercice 2.2.2. Demontrer lunicite de la limite.

Definition 2.2.3. Soient (X, d) un espace metrique et u = (un)n0 une suite dans X.La suite u est de Cauchy si et seulement si :

> 0 , N N , n,m N , d(un, um) < .

Toute suite convergente est de Cauchy.

Definition 2.2.4. Un espace metrique est complet si et seulement si toute suite deCauchy converge.

Definition 2.2.5. Soit f : X Y une application entre deux espaces metriques (X, d)et (Y, ). Lapplication f est continue en a X si et seulement si :

> 0 , > 0 ,x X , d(x, a) < (f(x), f(a)) < .

Lapplication f est continue si et seulement si elle est continue en tout point a de X.Lapplication f est uniformement continue si et seulement si :

> 0 , > 0 ,x X ,y X , d(x, y) < (f(x), f(y)) < .

Exercice 2.2.6. Soit (X, d) un espaces metrique. traite1. Demontrer que pour tout a X, lapplication ga : X R definie par ga(x) = d(a, x)est continue.2. Demontrer que la distance d : X X R est continue, pour la metrique produit surX X.

Proposition 2.2.7. Soit f : X Y une application entre deux espaces metriques(X, d) et (Y, ). Lapplication f est continue en a X si et seulement si : pour toutesuite u = (un)n0 de X convergent vers a, la suite (f(un))n0 converge vers f(a).

Exemple 2.2.8. Lespace (B(I,X), d) des applications bornees de lensemble I vers traitelespace metrique (X, d), muni de la metrique uniforme d est complet.

Exercice 2.2.9. Demontrer que lespace (C([a, b],R), d) des fonctions continues sur [a, b],muni de la metrique d est complet.

Exercice 2.2.10. Demontrer que lespace (C([1, 1],R), d1) des fonctions continues sur

[a, b], muni de la metrique d1 associee a` la norme ||f ||1 = 1

0|f(t)|dt, nest pas complet.

Definition 2.2.11. Soit f : X Y une application entre deux espaces metriques (X, d)et (Y, ). Lapplication f est lipschitzienne si et seulement si, il existe k > 0 tel que :

x X ,y X , (f(x), f(y)) kd(x, y) .

(Eventuellement on precise : k-lipschitzienne.)

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Proposition 2.2.12. Une application lipschitzienne est uniformement continue.

Proposition 2.2.13. Soit (X, d) un espace metrique, et la distance produit sur XX,alors d : X X R+ est 2-lipschitzienne.

Theore`me 2.2.14. La composee de deux applications continues est continue.

Theore`me 2.2.15. La somme et le produit sont des applications continues de R Rvers R, et de C C dans C.Lapplication inverse : x 7 1

xest continue de R dans R, et de C dans C.

2.3 Produit despaces metriques

Soit (Xk, dk)1kn une famille finie despaces metriques.

Proposition 2.3.1. Sur le produit Y = X1X2 Xn, lapplication qui a` (x, y)associe (x, y) = max1in di(xi, yi), definit une distance, quon appelle distance produit.

Remarque 2.3.2. Les projections pi sur les facteurs Xi sont 1-lipschitziennes.

Pour f : Z 7 Y = X1X2 Xn, on appelle composantes de f les applicationsfi = pi f .

Proposition 2.3.3. Lorsque Z est un espace metrique, et Y est muni de la metriqueproduit : f est continue si et seulement si ses composantes le sont.

Remarque : enonce analogue pour la convergence des suites dans le produit Y .

Proposition 2.3.4. Un produit fini despaces metriques complets est complet.

Exercice 2.3.5. Produit denombrable. Soit (Xk, dk)0k une famille denombrable despacesmetriques. Le produit Y = n0Xn est lensemble des suites (xn)n0 avec xn Xn pourtout n.1. Demontrer que lapplication qui a` (x, y) associe (x, y) = supn0(inf(2

n, di(xn, yn)),definit une distance sur le produit Y = n0Xn. Cette distance est appellee distanceproduit.2. Demontrer quun produit denombrable despaces complets est complet.

2.4 Distances equivalentes

Definition 2.4.1. Deux distances d et sur le meme ensemble X sont equivalentes siet seulement sil existe k1, k2 > 0 tels que :

(x, y) X X , k1d(x, y) (x, y) k2d(x, y) .

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Cette definition exprime que lapplication IdX est lipschitzienne de (X, d) vers(X, ), et de (X, ) vers (X, d). Lequivalence des distances est une relation dequivalence.

Equivalence des normes

Definition 2.4.2. Deux normes N et N sur un meme espace vectoriel reel ou complexeE sont equivalentes si et seulement sil existe k1, k2 > 0 tels que :

x E , k1N(x) N(x) k2N(x) .

Lequivalence des normes equivaut a` lequivalence des distances associees.

Exercice 2.4.3. Montrer que les normes habituelles sur Rn et Cn : traite

||x||1 =

|xi| , ||x||2 =

(i

|xi|2

) 12

sont equivalentes a` la norme||x|| = max

i|xi| .

Il existe des comparaisons de distances plus faibles :

Definition 2.4.4. Deux distances d et sur le meme ensemble X sont uniformementequivalentes si et seulement lapplication identique IdX est uniformement continue de(X, d) vers (X, ), et de (X, ) vers (X, d).Deux distances d et sur le meme ensemble X sont topologiquement equivalentes siet seulement lapplication IdX est continue de (X, d) vers (X, ), et de (X, ) vers (X, d).

Lequivalence topologique des distances sera etudiee plus en detail dans le prochainchapitre.

2.5 Continuite des applications lineaires

Le corps de base, note K est R ou C.

Theore`me 2.5.1. Soient f une application lineaire entre deux K-espaces vectorielsnormes (E, || || et (E , || ||). Les enonces suivants sont equivalents :

a) f est continue ;b) f est continue en zero ;c) f est bornee sur la boule unite fermee : Bf (0E, 1) ;d) f est lipschitzienne.

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Remarque 2.5.2. On demontrera que lorsque E est de dimension finie, alors toute appli-cation lineaire de source E est continue.

Exercice 2.5.3. Trouver un exemple dapplication lineaire non continue.

On note Lc(E,E) lespace des applications lineaires continues de (E, || || vers

(E , || ||).

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