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Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques

Économétrie des Données de PanelCh 2. Modèles Linéaires Dynamiques

Pr. Philippe Polomé, Université Lumière Lyon 2

M1 APE Analyse des Politiques ÉconomiquesM1 RISE Gouvernance des Risques Environnementaux

2018 – 2019


Introduction

I Le Ch. précédent a présenté des variantes du MRL avecI des EF ou des EA etI des régresseurs strictement exogènes

E [εit |αi , xi1, ..., xiT ] = 0, t = 1, ...,T

I Ce Ch. : Modèles linéaires en relaxant cette hyp.I Régresseurs endogènes E [εit |xijt ] 6= 0 pour au moins un j


Plan

I Tous les estimateurs de ce Ch. sont des applications de laMéthode Généralisée des Moments (GMM)

I Cas général linéaireI Rappel en coupe transversaleI Disponibilité des instruments en panel

I 2 applicationsI Hausman-Taylor

I Essayer de récupérer des régresseurs invariants dans le tempsI Arrellano-Bond

I p.e. variable dépendante retardéeI endogène en panel puisque autocorrélation


Théorie GMM en coupes transversales

Sommaire


GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale

Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique



Le principe d’analogie

I Les estimateurs GMM sont basés sur le principe d’analogieI On suppose une ou pls conditions sur des moments de la

populationI On trouve des valeurs des paramètres t.q. ces conditions se

réalisent dans l’échantillon



Exemples classiques de MM

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversalesExemples classiques de MMGMM




Modèle dynamiqueEstimateurs inconsistants ou inefficientsArellano–Bond




Estimation de la moyenne de la population (espérance)

I Soit y est d’espérance µI Dans la population E [y − µ] = 0 par définition

I Soit un échantillon iid {yi}I Remplacer E [·] pour la population par N−1∑N

i=1 (·) pourl’échantillon définit le moment empirique correspondant :

1N

N∑i=1

(yi − µ) = 0

I Résoudre pour µ définit l’estimateur MMµMM = N−1∑N

i=1 yi = yI L’estimateur MM de l’espérance est la moyenne de l’échantillon




Régression linéaire en coupe transversaleI MRL y = x

′β + u

I x & β sont des vecteurs K × 1I Supposons E [u|x ] = 0

I Par la loi des espérances itérées (law of iterated expectations)I K conditions de moment inconditionnel E [xu] = 0

I Donc, quand l’erreur a zéro moyenne conditionnelle / est“exogène” / orthogonale

E[x(y − x

′β)]

= 0

I Estimateur MM de β = solution de ces mêmes conditions dansl’échantillon

1N

N∑i=1

xi

(yi − x

′i β)

= 0

I Ça donne βMM =(∑

i x′

i xi)−1∑

i x′

i yi




Estimateur Variable Instrumentale (VI) linéaire

I Imaginons qu’il y ait endogénéité : E [u|x ] 6= 0I Si on a des instruments z t.q. E [u|z ] = 0 et

I Que ces instruments sont bonsI fortement corrélés avec les régresseurs

I Que dim (z) = dim (x) : exactement un instrument parrégresseur

I modèle dit “exactement identifié”

I Alors βMM =(∑

i z′i xi

)−1∑i z′i yi est consistant

I alors que βOLS =(∑

i x′

i xi)−1∑

i x′

i yi est inconsistant

I βMM est l’estimateur Variable Instrumentale VII une application du principe MM



GMM

Sommaire








GMM

Conditions de Moments supplémentaires

I Des moments/instruments additionels peuvent améliorerl’efficienceI mais demande une adaptation de MM

I Considérons que dim (z) > dim (x)I plus d’instruments que de régresseurs

I Quels instruments prend-t-on ? Toute sélection est arbitraireI soit z1 et z2 deux sous-ensembles de z t.q.

dim (z1) = dim (z2) = dim (x)

I Alors, βMM1 =(Z

′

1X)−1

Z′

1Y 6=(Z

′

2X)−1

Z′

2Y = βMM2

Définition GMMI Si on écrit les conditions de moment

E[Z(y − X

′β)]

I Donc : plus de conditions que de paramètres à estimer

I L’estimateur GMM choisit β de sorte à ce que le vecteur deconditions de moments dans l’échantillon

1N

∑i

zi

(yi − x

′i β)

soit aussi petit que possible en termes quadratiquesI C’est-à-dire βGMM minimise :

QN (β) =

[1N

∑i

zi

(yi − x

′i β)]′

WN

[1N

∑i

zi

(yi − x

′i β)]

où WN est une matrice de poids dépendant de l’application



GMM

Comment choisir WN ?

I Soit dim (z) = r ; WN est r × r , sdp et ne dépend pas de βI Essentiellement, WN est un choix de pondération des

instrumentsI Pour retrouver k instruments pondérés

I Tout choix de WN définit un estimateur consistantI mais avec différentes variances (quand r > k)

I GMM spécifie le choix optimal de la matrice de poids WN

I selon chaque cas particulier (autocorrélation, hétérocédasticité)I t.q. βGMM a la plus petite variance asymptotiqueI 3 cas en panel



Sommaire





Modèle dynamique



Hypothèses PanelI Soit le modèle linéaire en panel

yit = xitβ + uit (1)

xit peut contenir des régresseurs invariants dans le temps et unintercept

I Pour le modèle de cette section, simplification :I pas d’effet individuel αiI xit comprend seulement des variables de la période courante

I Pas de retardI On peut voir cette simplification comme si les données étaient

transforméesI comme dans le Ch. 1 avec les estimateurs˜

I En gras on empile les T observations pour le i eme agent

yi = Xiβ + ui (2)



EF et EA avec endogénéitéI Temporairement on remet les αi

I le modèle (1) yit = xitβ + uit devientyit = αi + x

′itβ + εit (3)

I Certains régresseurs dans xit sont supposés endogènes, doncE [xit (αi + εit)] 6= 0I On appelle EA si ∃ instruments Zi t.q. E

[Z

′

i (αi + εit)]

= 0I Alors on applique GMM selon les formules présentées + loin

I On appelle EF s’il est seulement possible de trouver desinstruments t.q. E

[Z

′

i εit

]= 0, mais E

[Z

′

iαi

]6= 0

I Dans ce cas, il faut éliminer les EF αi par différentiationcomme dans le Ch. 1

I et seuls les coefficients des régresseurs variables dans le tempssont identifiés

I C’est la même discussion qu’au Ch. 1



Conditions de moment GMM en panelI On revient au modèle sans les αi

I Donc on est soit en EA, soit en EF après élimination des αi

I On suppose une matrice T × r d’instruments ZiI r ≥ K est le nbr d’instruments / conditions de moment t.q.

E[Z′iui]

= 0 (4)

I L’estimateur GMM basé sur ces conditions minimise uneforme quadratique : βPGMM =[(∑

i

X′iZi

)WN

(∑i

Z′iXi

)]−1(∑i

X′iZi

)WN

(∑i

Z′iyi

)I Cet estimateur est consistant pour autant que les conditions

de moment (4) tiennentI 3 cas



Cas 1. Panel GMM juste identifié

I Dans ce cas r = K , donc dim (z) = dim (x)

I alors βPGMM se simplifie en l’estimateur VI quel que soit WN

βVI =

[(∑i

X′

iZi

)]−1(∑i

Z′

iyi

)

I On voit bien que c’est la version panel de βVI =(X

′Z)−1

Z′Y

I S’il y a des régresseurs exogènesI Ils sont leurs propres instruments

I Si r > K : plus d’instruments que de régresseursI Il faut utiliser la formule avec la matrice de poids WN

I Il y a 2 cas (diapos suivantes)



Cas 2. estimateur 2SLS – MC2E

I Hyp. pas d’hétéroscédasticité & pas d’autocorrélation

I β2SLS =

[X

′Z(Z

′Z)−1

Z′X]−1

X′Z(Z

′Z)−1

Z′y

I Un estimateur PGMM suridentifié optimal

I Pourquoi MC en 2 étapes ?I Étape 1. Éq. d’instrumentation

I Chaque régresser endogène xj est régressé sur tous lesinstruments Z et tous les régresseurs exogènes X−j :

xj = Zγj + X−jδj + µj

I Les valeurs prédites xj = Z γj + X−j δj sont des instrumensvalides pour les xj endogènes

I Étape 2. y est régressé sur les valeurs prédites xj



Cas 3. estimateur “2-Step GMM”

I Possible hétéroscédasticité et/ou autocorrélationI Estimateur robuste

I β2SGMM =[X′ZS−1Z′X

]−1X′ZS−1Z′y

I S = 1N

∑i Z

′

i ui u′

iZi est un estimateur robuste de type WhiteI S est consistant pour la matrice r × r S = plim 1

N

∑i Z

′i uiu

′i Zi

I C’est l’estimateur GMM en 2 étapes (2-Step GMM)I Premier pas est un estimateur consistant de β comme β2SLSI Ensuite on utilise les résidus ui = yi − Xi β2SLS pour calculer SI Un estimateur PGMM suridentifié optimal



Panel GMM suridentifiéI Dans beaucoup d’applications Zi est composé de valeurs

retardées des régresseursI endogènes &/ou exogènes

I Imaginons qu’on dispose de r instrumentsI On peut souvent supposer que le premier retard de chaque

régresseur est non-corrélé avec l’erreur couranteI donc xit−1 est disponible comme instrument additionel pour xitI appelé exogénéité faible / instruments prédéterminésI On peut souvent poursuivre ainsi avec 2 retards, 3 retards...I On perd chaque fois une période d’observation, l’efficience

baisse...I mais on augmente le nombre d’instruments, l’efficience

augmenteI Le modèle est alors très facilement suridentifié

I Cela fait que même si on n’a pas d’endogénéité, panel GMMpeut être plus efficient que MC



Inférence Panel-robuste

I βPGMM est asymptotiquement normalI avec une matrice de var-cov asymptotique compliquée

I Un estimateur consistant de cette matrice existeI conditionnellement à un choix de WN

I et on peut supposer l’indépendance entre i

I Un estimateur robuste de type White existeI Il permet de calculer des et robustes à l’Het. et l’Autoc.I Mais ça n’est pas généralement implémenté dans les logiciels

I Sauf pour des cas particuliers (+ loin)

I Alternativement, Bootstrap est faisableI C’est comme dans le Ch. 1



Sommaire





Modèle dynamique




I Tous les modèles du Ch. 1 peuvent être estimés en ajoutantdes VII Les instruments sont spécifiés à la fin de la formule

I Après un signe |I Séparés par des +I Dans la commande plm

I On écrit, si p.e., le modèle est y ~ x1 + x2 + x3I avec x1 & x2 endogène et z1 & z2 des instruments externesI formula=y~x1+x2+x3 | x3+z1+z2I OU bienI formula=y~x1+x2+x3 | .-x1-x2+z1+z2 (attention au point .)




I Chaque instrument est conceptuellement associé à sonrégresseur spécifiqueI Mais en pratique, tous les instruments sont utilisés pour tous

les régresseursI Les variables exogènes du modèle sont leurs propres

instrumentsI La commande accepte plus d’instrument que de régresseurs,

mais n’indique pas comment elle procèdeI Cfr MC2E

I Deux estimateurs sont disponibles avec l’arg. inst.methodI bvk, Balestra & Varadharajan-Krishnakumar (1987), le défautI baltagi, Baltagi (1981)



Application : déforestation amazonienne

RappelI Le fichier de données est en ligne sur le site du coursI Données de 1988 à 2015 - on laisse tomber 1988 ama3

I États de l’Amazone légale (un état n’a pas 1988)I 9 états du bassin brézilien de l’Amazone

I Modèle CKE

yit = αi + β1PIBhit + β2PIBh2it + γxit + εit

I On regarde dans x le PPCDAmI Plano para Prevenção e Controle do Desmatamento na

Amazônia legal



PPCDAmI Le Plan est actif à partir de 2004

I On pourrait imaginer le représenter par une dichotomiqueI On a le budget 2004-2015 complet pour 3 états

I Amapá, Mato Grosso, ParáI Parmi lesquels Mato Grosso et Pará sont les 2 gros

déforesteursI On a donc le principalI PP <- c("Amapá"","Mato Grosso","Pará")I ama4 <- ama3[ama3$Etat %in% PP,]

I Ce plan est en réaction à la déforestationI Donc, c’est un régresseur endogèneI On peut imaginer l’instrumenter par sa valeur passée

I Mais il faut tenir compte de la structure panelI On passe ama4 en pama4I Defor_km2~PIBh2010R+PIBSQR+PPCDAm2010R

|PIBh2010R+PIBSQR+lag(PPCDAm2010R)



Sommaire





Modèle dynamique



Motivation

I Habituellement, en panel, l’endogénéitéI vient de régresseurs corrélés avec les effets individuels αi

I amène à l’inconsistance des estimateurs EAI L’estimateur within est consistant

I mais alors les coefficients des régresseurs invariants dans letemps ne peuvent être estimés

I alors qu’il y a beaucoup d’études dont ce serait précisément lebut



SpécificationI Modèle Hausman & Taylor

yit = x′1itβ1 + x

′2itβ2 + w

′1iγ1 + w

′2iγ2 + αi + εit (5)

où x1it & w1i ne sont pas corrélés avec αi mais x2it & w2i le sontw indique les régresseurs invariants dans le temps

I C’est le modèle panel classiqueI sauf qu’on précise quels régresseurs sont corrélés avec αi et

lesquels sont invariantsI Tous les régresseurs sont non-corrélés avec εit

I La transformation Within zit = zit − zi élimine la corrélationavec αi

yit = x′1itβ1 + x′2itβ2 + εit

I Mais aussi les régresseurs invariants dans le temps



Estimateur Hausman–Taylor consistant

I x2i corrélé avec αiI mais pas avec la transformation within x2it = x2it − x2i

I Puisque la corrélation avec αi ne peut être qu’avec la partiede x2it ∀t invariante au temps

I Donc x2it peut être utilisé comme instrument pour x2itendogène

I On prend pareillement x1it comme instrument pour x1itI plutôt que x1it lui-même comme on ferait d’habitude

I Donc, même x1it exogène est instrumentéI car cela sépare x1it de sa partie invariante au temps x1i

I Celle-ci (x1i ) est utilisée comme instrument pour w2i endogèneI pourrait être un instrument faible

I w1i exogène est utilisé comme instrument pour lui-même



Estimateur Hausman–Taylor

yit = x′1itβ1+ x′2itβ2+ w′1iγ1+ w′2iγ2+ αi + εit↓ ↓ ↓ ↓x1it x2it w′1i x1i

I Identification des coef. des régresseurs invariants dans letemps γI si # régresseurs exogènes variant dans le temps ≥ #

régresseurs endogènes invariants dans le tempsI c’est-à-dire si # de x1 ≥ # de w2I C’est-à-dire si # instruments est au moins égal au # de

régresseurs w2

I Inefficient puisque cet estimateur ignore la structure decorrélation panel de (αi + εit)



Exemple : Baltagi and Khanti-Akom (1990)

I 595 obs. d’individus sur 1976–1982I Du Panel Study of Income Dynamics (PSID)

lwage log-salaire, supposé fonction de : y Insted IT années d’éducation w2 x1wks VT le temps que la personne a tavaillé pour la firme

x2 x2exp VT expérience de travailsi la personne (0/1)

smsa VT ... vit dans une grande agglomération

x1 x1

bluecol VT ... est ouvriersouth VT ... vit dans le sudind VT ... est dans l’industriems VT ... est mariée

x2 x2union VT ... est syndiquéesex IT ... est un homme

w1 w1black IT ... est African-American



EndogénéitéI Les IT sex , black sont exogènes : w1

I Les VT exp, exp2, wks, ms, unionI Peuvent tous être corrélés avec les effets individuels inobservés

I = sont endogènesI Ces variables présentent-elles suffisamment de variation

within-panel pour être leurs propres instruments ?x2it = x2it − x2i

I Il faudrait regarder les variations within / between, mais onmanque d’une commande dans R

I On suppose que les VT bluecol , south, smsa, ind sont toutesexogènes : x1I x1 est utilisé comme instrument pour l’endogène IT ed : w2

I L’instrument pour x1 is x1

I Corrélation suffisante pour identifier le coefficient de ed ?



Régression

I pht(lwage~wks+south+smsa+married+exp+I(exp^2)+bluecol+ind+union+sex+black+ed| sex+black+bluecol+south+smsa+ind, data=Wages,index=595)I Donc endog : exp exp2 wks ms union ed

I Décomposition de la varience en σµ et σε : 0.975 et 0.025,respectivementI indiquant qu’une large fraction de la variance totale de l’erreur

est attribuée à µi

I Les variables IT sex et black ne sont pas signif


Modèle dynamique

Sommaire





Modèle dynamique


Modèle dynamique

Dynamique

I Les régresseurs comprennent un retard de la variabledépendante

yit = γyi ,t−1 + x′itβ + αi + εit , i = 1, . . . ,N, t = 1, . . . ,T (6)

I On suppose |γ| < 1I Dans les applications, cela peut être testé en utilisant des tests

de racines unitaires panelI ¬R racine unitaire, alors yit est une marche aléatoire (random

walk)I L’inférence n’est pas valide

I Pas dans ce cours


Modèle dynamique

Corrélation entre yit & yi ,t−1I On a à présent une corrélation sérielle dans yit

I directement via yi,t−1I en plus d’indirectement via la persistence donnée par αi

I Ces 2 causes amènent à différentes interprétations de lacorrélation dans le temps

I Du modèle précédent (6) avec β = 0I yit = γyi,t−1 + αi + εit , on a

Cor [yit , yi ,t−1] = Cor [γyi ,t−1 + αi + εit , yi ,t−1]= γCor [yi ,t−1, yi ,t−1] + Cor [αi , yi ,t−1]

= γ +1− γ

1 + (1− γ)σ2ε / (1 + γ)σ2

α

I La 2º égalité suppose Cor [εit , yi ,t−1] = 0I La 3º égalité s’obtient dans le cas particulier des EA

I avec εit ∼ iid[0, σ2

ε

]& αit ∼ iid

[0, σ2

α

]


Modèle dynamique

2 raisons possible de corrélation entre yit & yi ,t−1

1. Véritable dépendance à l’état (True state dependence)I Quand la corrélation dans le temps est due au mécanisme

causal que yi,t−1 détermine yitI Cette dépendance est relativement grande si

I l’effet individuel est relativement petit αi ' 0I ou lorsque σ2α est petit par rapport à σ2ε car alors

Cor [yit , yi,t−1] ' γ2. Corrélation spurieuse entre yit & yi ,t−1 , sans mécanisme

causal,I due à de l’hétérogénéité inobservée αi

I donc γ = 0I mais γOLS 6= 0 car Cor [yit , yi,t−1] = σ2α/

(σ2α + σ2ε

)comme

dans le Ch. 1I due à des questions de séries temporelles : yit is I(1)

I Pas dans ce cours


Modèle dynamique

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservéeI Les 2 cas permettent une corrélation arbitrairement proche de

1 (100%)I parce que soit γ → 1 ou σ2

α/σ2ε → 0

I Mais ces 2 explications ont des implications politiquesradicalement différentes

I On prend l’exemple des revenus yitI Explication “Véritable dépendance à l’état”

I Les revenus yit sont toujours au-dessus de la moyenne (ouen-dessous)

I même après avoir contrôlé pour les régresseurs xitI car les revenus futurs sont déterminés par les revenus passés

I Explication hétérogénéité inobservéeI γ est en réalité petit mais des régresseurs important ont été

omis de xit ,I ce qui amène à un αi élevéI qui fait que γLS semble élevé (facteurs confondants)


Modèle dynamique

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I C’est-à-dire, les gens sont-ils pauvres (ou riches) parce queI Ils ont été pauvres (ou riches) ?

I Dans ce cas, il faut traiter la pauvreté en transférant del’argent

I Ou bien ont-ils des caractéristiques individuelles qui font qu’ilssont pauvres ?

I Dans ce cas, la pauvreté pourrait être traitée par exemple enaméliorant l’éducation ou la discrimination, selon lesrégresseurs significatifs


Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou inefficients

Sommaire







Modèle dynamique


Inconsistance des estimateurs du Ch. 1

I Tous les estimateurs du Ch.1 sont inconsistants lorsqu’oninclut un retard de la variable dependante

I p.e. MCO de yit sur yi ,t−1 et xitI Erreur (αi + εit), corrélée avec yi,t−1 par αi

I Estimateur Within : yit − yi sur (yi ,t−1 − yi ) et (xit − xi )avec erreur (εit − εi )I yi,t−1 correlée avec εi,t−1 et donc avec εi

I Inconsistance aussi pour l’estimateur EA du Ch 1I puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de within et between


Modèle dynamique


Modèle différences premièresI Le modèle dyn. (6) en diff. premières, t = 2, . . . ,T :

yit − yi ,t−1 = γ (yi ,t−1 − yi ,t−2) + (xit − xi ,t−1)′β + (εit − εi ,t−1)

I MCO sur ce modèle est inconsistant parce que yi ,t−1 corréléavec εi ,t−1I donc le régresseur (yi,t−1 − yi,t−2) corrélé avec l’erreur

(εit − εi,t−1)

I Donc l’estimateur D1 du modèle dyn, est aussi inconsistantI Par contre, on peut utiliser VI

I avec yi,t−2 comme instrument pour (yi,t−1 − yi,t−2)I yi,t−2 instrument valide puisque non-corrélé avec (εit − εi,t−1)

I Ça pourrait encore dépendre de la corrélation sérielle deserreurs εit

I yi,t−2 est un “bon” instrument puisque corrélé à(yi,t−1 − yi,t−2)


Modèle dynamique


Estimation plus efficiente du modèle en différences premières

I L’estimateur VI précédent est juste identifiéI il demande qu’au moins 3 périodes de données soient

disponibles pour chaque individuI Une estimation plus efficiente est possible

I En utilisant des retards supplémentaires de la variabledépendante comme instruments

I L’estimateur devient alors sur-identifiéI estimation par 2SLS ou 2SGMM


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Sommaire







Modèle dynamique

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I L’estimateur panel GMM qui fait ça est appelé

Arellano–Bond βAB =

[(N∑i=1

X′iZi

)WN

(N∑i=1

Z′i Xi

)]−1( N∑i=1

X′iZi

)WN

(N∑i=1

Z′i yi

)

I avecI Xi est une matrice (T − 2)× (K + 1) avec t eme ligne(

∆yi,t−1,∆x′

it

), T = 3, . . . ,T

I yi est un vecteur (T − 2)× 1 avec t eme ligne ∆yitI On est bien dans le modèle différences premières

I Z est défini à la prochaine diapo


Modèle dynamique

Arellano–Bond


I Zi est une matrice (T − 2)× r d’instruments :

Zi =

z′i3 0 · · · 0

0 z′i4...

.... . . 0

0 · · · 0 z′iT

avec souvent z′it =

[yi ,t−2, yi ,t−3, . . . , yi1,∆x′it

]I Donc on rajoute un instrument à chaque période


Modèle dynamique

Arellano–Bond


I Des retards de xit ou de ∆xit peuvent de plus être utilisécomme instrumentsI et pour T suffisamment grand, on peut limiter le nombre de

retards de yit qui sont utilisés comme instrumentsI p.e. pas plus que yi,t−5

I 2SLS (“une” étape) et 2SGMM (“deux” étapes) correspondentà différentes matrices de poids WNI selon le traitement de l’hétéroscédasticité et de

l’autocorrélationI Voir section précédente


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Exemple : données Arrellano-Bond

I firm = firm index (index, devrait être un facteur)I year = tI emp = employmentI wage = real wageI capital = gross capitalI output = industry outputI sector de 1 à 9 (devrait être un facteur)


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-BondI commande pgmm

I pgmm(log(emp)~lag(log(emp), 1 :2)+lag(log(wage), 0 :1)+log(capital)+lag(log(output), 0 :1) | lag(log(emp), 2 :99),...)

I lagI Dans une commande plm, lag a une signification panelI lag(log(emp), 1 :2) = les deux 1º lags de log(emp) : empi,t−1

et empi,t−2I Instruments

I Dans gmm estimation, il y a des instruments “normaux” et desinstruments “gmm”

I Les instruments gmm sont indiqués en 2º partie de formuleI lag(log(emp), 2 :99) veut dire que l’estimateur peut utiliser

tous retards de l’endogène – mais 3 :99 ?I Par défaut, toutes les variables du modèles qui ne sont pas des

intruments gmm sont des instruments normaux, avec la mêmestructure de retard

I Des instruments normaux peuvent être rajoutés dans une 3ºpartie de la formule (après un nouveau | )


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-Bond

I commande pgmmI effect

I Par défaut "twoways", mais peut être aussi "individual" et“null”

I Si "null", le modèle est estimé en niveaux (permet d’estimerun modèle avec des données en différences 1º, sinon onimposerait des trends)

I Si “individual”, le modèle est estimé en différences 1º pouréliminer les αi

I Si "twoways", le modèle est estimé en différences 1º et onrajoute des trends

I model peut être "onestep" (défaut 2SLS) ou "twosteps"(2SGMM)

I “2SLS” assume pas autocorrélation & homoscé.

I La sortie est assez claire, vous devez pouvoir l’interpréter

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