La force de Lorentz(Cours XIV)

Une particule ponctuelle de charge q, animee dune vitesse !v(t) dans un referentiel

inertiel et plongee dans un champ magnetique !B est soumise a` une force

!F = q!v !B . (38)Cette force est appelee la force de Lorentz. Dans (38), le champ magnetique est bien

sur evalue au pointM ou` se trouve la particule a` linstant t considere. Dune manie`re

empirique, la formule (38) peut en fait etre vue comme definissant le champ magne-

tique : on observe que les particules chargees animees dune vitesse non-nulle peuvent

etre soumises a` une force de la forme (38), et on appelle champ magnetique le champ

de vecteurs !B qui intervient dans la formule pour la force.

1. Mouvement dune particule chargee dans un champ magnetique

On conside`re une particule ponctuelle de masse m et de charge q, plongee dans

un champ magnetique !B.

1. (*) Montrer que le module |!v| de la vitesse de la particule est une constante(pour demontrer ce resultat, on ne fera aucune hypothe`se sur la forme du champ

magnetique, qui nest a priori ni uniforme ni constant).

2. Le but de cette question est de demontrer des resultats generaux qui pourront

etre utilises dans la suite. On conside`re un vecteur !a(t) qui satisfait a` lequation

differentielled!a

dt= !(t) !a(t) , (39)

ou` !(t) est un vecteur qui peut a priori dependre du temps.

(a) Montrer que si P et Q sont deux points dun solide anime dun mouvement

quelconque, alors le vecteurPQ satisfait a` une equation du type (39). A`

quoi correspond le vecteur !(t) dans ce cas ?

(b) Montrer que (39) implique que |!a| ne depend pas du temps.(c) On represente le vecteur !a comme !a =

OP , ou` O est un point fixe. Carac-

teriser le lieu des points de lespace ou` le point P peut se deplacer.

(d) On suppose maintenant que !(t) = (t)!uz ou` !uz est un vecteur unitaire

fixe. Montrer que !a !uz est une constante. Si !a = OP comme dans laquestion precedente, caracteriser le lieu des points de lespace ou` le point

P peut se deplacer.

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(e) On introduit un syste`me de coordonnees cartesiennes (O, !ux, !uy, !uz) et on

suppose que = !uz, ou` est une constante. Calculer les composantes

du vecteur !a en fonction de t. Si !a =OP , quel est le mouvement du point

P ?

3. On etudie le mouvement de la particule de charge q et de masse m dans le cas

ou` le champ magnetique !B est uniforme et constant.

(a) Montrer que la vitesse !v(t) de la particule satisfait a` une equation differen-

tielle de la forme (39), pour un vecteur ! que lon calculera. On decompose

la vitesse de la particule en une composante paralle`le et une composante

perpendiculaire au champ magnetique, !v = !v + !v. Decrire levolution de!v et de !v au cours du temps.

(b) En introduisant un syste`me de coordonnees cartesiennes (O, !ux, !uy, !uz) tel

que !B = B!uz, calculer la trajectoire la plus generale possible pour la

particule (on donnera les fonctions x(t), y(t) et z(t)). En deduire que le

mouvement le long de laxe du champ magnetique est uniforme. En de-

duire egalement que la projection de la trajectoire sur un plan orthogonal

au champ magnetique est un cercle de rayon R parcouru a` une vitesse

angulaire constante . On exprimera R et en fonction de m, q, B et |!v|.(c) Dessiner la trajectoire (en indiquant le sens du mouvement) dans le cas

ou` B > 0 pour une particule chargee positivement et pour une particule

chargee negativement.

4. Expliquer comment le resultat de la question precedente permet de deviner

lallure qualitative du mouvement dune particule chargee dans un champ ma-

gnetique non-uniforme, ceci sous certaines hypothe`ses a` discuter.

2. Quelques applications

1. La Terre cree un champ magnetique qui, mathematiquement, a exactement la

meme forme que celui dun champ electrique dipolaire, le dipole magnetique

terrestre etant oriente approximativement du pole Nord vers le pole Sud.

(a) Expliquer qualitativement pourquoi ce champ magnetique prote`ge la sur-

face de la Terre du vent solaire.

(b) Expliquer qualitativement le phenome`ne des aurores boreales et australes.

2. Expliquer le principe de fonctionnement dun spectrome`tre de masse. Quel est

linteret dun tel appareil ?

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BFig. 1 Trajectoire dune particule chargee dans un champ magnetique !B.

3. (*)

(a) On applique un champ magnetique !B uniforme et constant et on conside`re

le mouvement de particules chargees, de charges q et de masse m, dans

un plan orthogonal a` !B. Quel est le temps mis par une particule pour

effectuer un tour complet ? Ce temps depend-il du rayon de la trajectoire

de la particule consideree ?

(b) Expliquer le principe de fonctionnement dun synchrotron.

4. (*) Un cyclotron est un appareil qui permet de confiner des particules chargees

animees dune tre`s grande vitesse dans une region finie de lespace, en appli-

quant un champ magnetique. Cest comme cela que fonctionne en particulier les

accelerateurs de particules utilises pour sonder la structure de la matie`re aux

distances sub-nucleaires. On conside`re des accelerateurs de protons. Laccelera-

teur A a une energie de 50MeV et utilise un champ magnetique de un Tesla,

laccelerateur B a une energie de 500GeV et utilise un champ magnetique de

1.5T (cest le Fermilab a` Chicago) et laccelerateur C (le LHC au CERN) a une

energie de 7TeV et utilise un champ magnetique de 5.5T. Calculer le rayon de

lanneau dans lequel circule les protons pour ces trois accelerateurs. Pour faire

le calcul, on pourra utiliser les formules relativistes donnant le rayon R de la

trajectoire et lenergie E de la particule :

R =m|!v|

|qB|1 |!v|2/c2 , E = mc21 |!v|2/c2 (40)45

Montrer que la limite non-relativiste des formules (40) donne bien les resultats

attendus. (Reponses : RA = 1.02m, RB = 1.1 km et RC = 4.2 km)

5. (*) On observe la trajectoire dune particule chargee dans une chambre a` bulles,

voir Figure 1. La chambre est plongee dans un champ magnetique uniforme et

constant oriente comme indique sur le dessin (il sort de la feuille). La barre noire

dans la chambre a` bulle est une barre de plomb qui ralentit les particules qui la

traverse.

(a) Quel est le sens de la trajectoire de la particule (se deplace-t-elle de bas en

haut ou de haut en bas) ?

(b) La particule semble avoir toutes les caracteristiques dun electron (ceci

peut se deduire par exemple a` partir de la longueur de la trace), mais

peut-il reellement sagir dun electron ? Cette experience est a` la base dune

decouverte fondamentale faite par Carl Anderson en 1932 : laquelle ?

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