Ch 17 Methode Des Deplacements

CNAM Chaire de Travaux Publics et Btiment 38

Rsistance des Matriaux 4 Anne : 2007/2008

17. Mthode des dplacements1

17.1. Principe de la mthode

17.1.1. Etude du comportement dun barreau Soit un barreau de longueur L et de section S soumis une charge extrieure F.

Sachant que L

udxdu

x0== et

SF

x = , la relation contrainte dformation peut sexprimer sous la forme : uku

LESF

LuE

SFE xx ==== o L

ESk = correspond la rigidit du barreau et la pente de droite F u dans le domaine lastique. On notera par ailleurs que la valeur de F dans la relation ukF = correspond dans ce cas leffort normal interne dans le barreau. Le dplacement u tant indpendant de x (constant tout le long du barreau), le potentiel interne (ou nergie de dformation cf. chapitre sur la mthode des forces) devient alors :

{ {2

2

0

22

21

2221

21 uk

LuLSEdxdS

EdxdSEdVW

L

L

SS

x

vx

vxx =

====

do lexpression du potentiel interne en fonction de leffort normal F : }

uFuukWF

===

21

21

.

De plus et sachant que le travail de la force P est gal uF , le potentiel total2 sera donc gal : uFukTWE == 2

21

Considrant le problme comme stationnaire (indpendant du temps) ce qui signifie quaprs obtention de lquilibre, le dplacement u nvolue plus, la variation du potentiel total par rapport u

doit donc tre nulle do : FukFukdudE === 0 .

Ltude de lquilibre du barreau revient rsoudre lquation Fuk = , F correspondant dans ce cas leffort externe appliqu au barreau. 1 La mthode des dplacements est quivalente celle des lments finis dveloppe pour les poutres droites. 2 Appel galement nergie potentielle.

u

F

L

F

x

k

u

W

Source: www.almohandiss.com




17.1.2. Etude du cas gnral Considrant maintenant une structure quelconque de rigidit K (matrice carre), lapplication dun vecteur de charges extrieures F entrane un champ de dplacement U (un vecteur U) et des efforts internes regroups dans un vecteur P. Le potentiel interne et le travail des forces extrieures scrivent donc respectivement :

FUT

UKUPUW

T

TT

===

21

21

Do lexpression du potentiel total : FUUKUTWE TT ==21

et de sa drive par rapport

U : FUKFUKdUdE === 0

Ltude de lquilibre de la structure consistera donc rsoudre un systme dquations FUK = ce qui constitue la base de toute rsolution de problme en dplacement (cf. mthode des rotations par exemple).

17.2. Calcul de la rigidit dun lment de poutre plane Soit un lment de poutre plane de longueur l, dinertie constante I et dont le matriau a un module dlasticit longitudinal E.

Cet lment 2 nuds destin au calcul des rseaux de poutres chargs dans leur plan fait appel la thorie des poutres qui permet de ramener le problme tridimensionnel un problme unidimensionnel en condensant ses caractristiques au niveau de sa fibre moyenne. Chacun de ses

nuds possde 3 degrs de libert u v dvdxi i

i, et qui permettent de reconstituer les champs (les

fonctions) de dplacements axial u(x) et transversal v(x). Ses caractristiques sont : S : section axiale I : inertie ( )zI= L : longueur E : module dlasticit longitudinal

X

Y

x y

i

j

vi

vj v(x)

u(x)

dxdv j

j =

dxdvi

i =

E,I,S

uj

ui

l





Les inconnues tant les dplacements en i et en j, la premire opration consistera exprimer ces

champs de dplacement en fonction des valeurs u v dvdxi i

i, et et dxdv

vu jjj et , .

17.2.1. Etude du dplacement axial associ la traction - compression

Considrant la dformation axiale de la poutre, la fonction de dplacement u(x) dpend donc uniquement des dplacements des ui et uj . De plus, la dformation tant constante sur la hauteur de la section, la fonction de dplacement u(x) est de fait forcment linaire1. On a donc :

xaaxudxaduadxdu

x 1011 )( +====

Comme ( )( )

=+==

==

luu

aulau

au

uluuu

ijij

i

j

i

11

00, on obtient pour la fonction de dplacement :

jiij

i ulxu

lxx

luu

uxu .).1()( +=

+=

17.2.2. Etude du dplacement transversal associ la flexion

Cette fonction de dplacement qui caractrise la flexion de la poutre, doit donc tre au minimum

cubique du fait de la loi moment - courbure 2 )()(22

xMdx

xvdEI = . Il a donc pour expression :

{ }

=+++=3

2

1

0

3233

2210 1)(

bbbb

xxxxbxbxbbxv

A partir de v(x) et des conditions aux limites, le vecteur des dplacements nodaux s'crit :

( )

( )

[ ] [ ]

=

=

=

++=+++=

==

====

j

j

i

i

j

j

i

i

j

j

i

i

j

j

i

i

v

v

R

bbbb

bbbb

R

bbbb

lllllv

v

lblbblblblbbv

bbv

ldxdv

vlvdxdv

vv

1

3

2

1

0

3

2

1

0

3

2

1

0

2

32

2321

33

2210

1

0

32101

00100001

32

)(

0

)0(

1 Equation dune droite. 2 Cf. chapitre 12.2.2. Nous avons vu au chapitre 12 que le moment flchissant tait linaire avec des charges ponctuelles et parabolique pour les charges uniformment rparties. Lquation du moment est donc au minimum une droite. De ce fait, la ligne lastique )(xv est aprs une double intgration forcment cubique.





d'o { }[ ] { }

=

=

j

j

i

i

j

j

i

i

v

v

llllllll

xxxv

v

Rxxxxv

2323

2232132

/1/2/1/2/1/3/2/3

00100001

11)(

+++=

j

j

i

i

v

v

lx

lx

lx

lx

lx

lxx

lx

lxxv

2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2 232231)(

17.2.3. Dformation associe aux fonctions de dplacement u(x) et v(x)

Le champ de dplacement final { }

=

)()(xvxu

U de l'lment i-j s'crivant sous forme matricielle :

[ ]{ }e

j

j

j

i

i

i

qN

vu

vu

lx

lx

lx

lx

lx

lxx

lx

lx

lx

lx

xvxu =

+++

=

2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2 23022310

00001

)()(

Et sachant que la dformation dfinie par la thorie des poutres a pour expression 2

2

dxvdy

dxdu

x = 1 (dformation axiale + dformation de flexion), le champ de dformation s'crit alors :

[ ]{ }e

j

j

j

i

i

i

x qB

vu

vu

ylx

ly

lx

lly

lx

ly

lx

ll=

+

=

232232 621261641261

avec { }eq : vecteur des dplacements nodaux de llment de poutre plane e.

17.2.4. Matrice de rigidit de llment de poutre plane

Reprenant lexpression du potentiel interne dVW xv

x = 21 , la matrice de rigidit [ ]ek de llment de poutre plane e peut tre dduite en identifiant son expression celle fonction des

dplacements

= UKUW T21

.

1 dxdu

correspond la dformation associe la traction compression alors que 2

2

dxvdy est lie celle de

flexion. En effet, nous avons vu au chapitre 9.2.2 que y

x = et en 12.2.2 que 221

dxvd= . On rappelle

galement que y varie entre les ordonnes des fibres extrmes de la section qui peut tre quelconque.





On a donc : [ ]{ }( ) [ ]{ } { } [ ] [ ][ ]

{ }ek

v

TTeee

v

Teex

vxe qdVBBEqdVqBqBEdVW

e 444 8444 76

=== 212121

do

[ ] [ ] [ ] 621261641261

62

126

1

64

126

1

0 232232

2

32

2

32

+

+

== LSe

T

ve dxdSyl

xl

ylx

lly

lx

ly

lx

ll

ylx

l

ylx

l

l

ylx

l

ylx

l

l

EdVBBEke

e

1

[ ]

===

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lES

lES

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lES

lES

kIdSySdSc eSS ee

4626

612612

2646

612612

,

22

2323

22

2323

2

00

00

0000

00

00

0000

et omme

2

1 La matrice [ ]ek est le rsultat du produit dun vecteur colonne (6,1) par un vecteur ligne (1,6). Il est donc normal que cette matrice comprenne 6 x 6 = 36 termes. Par ailleurs, lintgrale de volume est dcompose en

une intgrale sur la longueur l de la poutre et sa section Se. On a =e eV

l

oS

.De plus et quand le produit

matriciel (cf. 2.7.2.2) fait apparatre des termes en dSyeS 2 ou dSyeS , il sagit bien sr respectivement de

linertie I de la section de la poutre et de son moment statique qui dans ce dernier cas est forcment nul puisque son calcul seffectue par rapport la fibre moyenne (do les zros de cette matrice). 2 Chacune des lignes et colonnes de la matrice [ ]ek (prises dans lordre croissant) pouvant tre associes aux degrs de libert du vecteur dplacements jjjiii vuvu ,,,,, , les deux sous matrices 3x3 repres en rouge correspondent respectivement aux rigidits des nuds i et j alors que celles en bleu sont assimilables aux facteurs de transmission tablis lors de ltude de la mthode des rotations (cf. chapitre 16.2.1). En dautres termes, les deux sous matrices 3x3 repres en bleu caractrisent le fait quun effort appliqu en i engendre non seulement des dplacements en i mais galement en j.

Couplage du nud i sur lui mme

Couplage du nud j sur lui mme

Couplage du nud i vers j

Couplage du nud j vers i





17.3. Calcul du vecteur charges associ un lment de poutre plane

Considrant une poutre plane charge uniformment, le travail des forces extrieures exprim sur llment e nous permet dcrire que :

[ ]{ }( ) ( )( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) dxxqNfdxxqNqdxxqxq

qNfUTl

Te

lTT

ey

xl

Tee

Te

=

=

== 00

000

1

Do pour une charge uniformment rpartie q2: { }

+

=

+

++

=

=

=

=

12

2

012

2

0

230

2

231

0

0

0

2

2

0

3

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2

ql

ql

ql

ql

dxq

lx

lx

lx

lx

lx

lxx

lx

lx

MF

FMF

F

fl

jz

jy

jx

iz

iy

ix

e

Dune manire gnrale, le vecteur charges dun lment de poutre plane soumis un systme de charges transversales est gal linverse3 des ractions et moments dencastrement de la poutre bi encastre quivalente.

1 { }ef est un vecteur 6 lignes. Ceci tant et du fait que ( ) 0=xqx , ixF et jxF sont nuls. 2 On notera que q est pris ngativement dans le sens des y ngatifs. Cest contraire aux conventions utilises jusqu maintenant. Ceci sexplique par le fait que la mthode des dplacements est destine tre informatise do la ncessit de suivre les conventions lies aux axes. 3 Ceci est normal puisque les efforts gnrs correspondent des actions.

X

Y

x y

i

j

vi

vj v(x)

u(x)

dxdv j

j =

dxdvi

i =

E,I,S

uj

ui

l q(x) = -q





17.4. Assemblage et changement de repre

17.4.1. Etude dun systme de ressorts

17.4.2. Changement de repre

Cependant, les lments nayant pas forcment le mme rfrentiel (le mme repre local), la sommation des nergies de dformation et des travaux des forces extrieures ne peut tre directement algbrique. Il est donc ncessaire denvisager leur expression dans un repre unique appel repre global. Pour ce faire, un changement de base doit tre effectu entre le repre local de chacun des lments et ce repre global not gnralement XY. ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

cossin

sincoscossin

sincos

iii

iii

VUvVUu

YXyYXx

+=+=+=

+=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

cossinsincos

cossinsincos

iii

iii

vuVvuU

yxYyxX

+==+=

=

Llment de poutre plane possdant 3 degrs de libert par nud et 2 nuds, la matrice de changement de base peut scrire sous la forme : ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

{ } [ ]{ }eee

j

j

j

i

i

i

j

j

j

i

i

i

QRq

VU

VU

vu

vu

=

=

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

avec { }eQ : vecteur dplacements en repre global. Remarques :

Le 1 vient du fait que les axes z et Z sont colinaires (plan), Le signe de est donn par la rotation de X vers x (repre global vers repre local).

k3 k1 k2

Considrant un systme de 3 ressorts de rigidits respectives k1, k2 et k3, le potentiel interne est gal :

( ) 32123212 21

21 WWWukkkukW eqT ++=++==

Le potentiel interne de lensemble est donc gal la somme de celui de chacun des ressorts. Il en va de mme pour les lments poutres planes c'est--dire que lnergie de dformation totale de la structure est gale la somme des nergies de chacun des lments pris un un (idem pour le travail des forces extrieures). On a donc pour m lments:

==

==m

ii

m

ii TTWW

11;

P

u

X

Y

x

y

Ui

ui Vi vi

i





17.4.3. Rigidit et vecteur charges en repre global

La rigidit lmentaire tant obtenue par la relation { } [ ] [ ][ ]

{ }ek

v

TTee qdVBBEqW

e 444 8444 76

= 21 et sachant

que { } [ ]{ }eee QRq = , on obtient pour la matrice de rigidit en repre global [ ]eK :

{ } [ ]{ } [ ]{ }( ) [ ][ ]{ } { } [ ] [ ][ ][ ]

{ }{ } [ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ]eeTeeeeTee

e

K

eeT

eT

eeeeT

eeeeT

ee

RkRKQKQW

QRkRQQRkQRqkqWe

==

===

21

21

21

21 4484476

De la mme faon, on trouve pour le vecteur charges en repre global { }eF :

{ } { } [ ]{ }( ) { } { } [ ] { }{ }

{ } [ ] { }eTeeF

eT

eT

eeT

eeeT

ee fRFfRQfQRfqTe

====48476

17.4.4. Assemblage des matrices de rigidit et vecteurs charges

17.4.4.1. Assemblage de la matrice K

x termes de rigidit de la poutre 1 allant de i vers j. y termes de rigidit de la poutre 2 allant de j vers k.

xxxxxxxxx

Ui

xxxxxxxxx

Vi Bi

[ ] =K

xxxxxxxxx

Uj

yxyxyxyxyxyxyxyxyx

+++++++++

Vj Bj

yyyyyyyyy

Uk Vk Bk

yyyyyyyyy

yyyyyyyyy

Ui

Vi

Bi

Uj

Vj

Bj

Uk

Vk

Bk





Considrant une structure n nuds, le vecteur global des dplacements{ }TQ (dimension 1 x n) sera de la forme : { }nnnkkkjjjiii VUVUVUVUVU 111 Lassemblage de la matrice [ ]K (dimension n x n) consistera donc positionner chacune des matrices de rigidit lmentaires [ ]eK en fonction des degrs de libert de dpart et darrive. Si par exemple, on considre un lment m allant de i vers j, le terme (1,1) de sa matrice [ ]mK se positionnera dans [ ]K suivant la ligne et la colonne correspondant Ui. Si la connectivit de llment m fait que i et j ne sont pas des nombres qui se suivent ( )1+ ij , le positionnement de la matrice [ ]mK reviendra diviser celle-ci en 4 sous matrices 3x3 et les placer suivant les bons degrs de libert. Si un nud est commun plusieurs lments, la connexion sera ralise grce laddition des sous matrices 3x3 correspondant aux degrs de libert concerns.

17.4.4.2. Assemblage du vecteur de charges F Comme pour le vecteur global des dplacements, le vecteur global des charges { }F (dimension n) est obtenu en positionnant chacune des charges lmentaires suivant les degrs de libert des nuds de dpart et darrive de llment concern. On a donc : { } =TF { }ZnYnXnZkYkXkZjYjXjZiYiXiZYX MFFMFFMFFMFFMFF 111

On peut ajouter par ailleurs des charges dites nodales exprimes en repre global (FX, FY ou MZ) qui sappliquent directement sur les nuds et dans la direction concerne.

17.5. Rsolution Le chapitre prcdent nous a permis dtablir que la rigidit globale de la structure pouvait tre reprsente par la matrice [ ]K , que les charges extrieures et dplacements inconnus taient regroups respectivement dans des vecteurs { }F et { }Q . Le problme en dplacements rsoudre se rsume donc au systme dquations [ ] { } { }FQK = . Cependant, cette matrice [ ]K reste singulire du fait de labsence de conditions dappui. Les conditions de blocages de la structure tant reprsentes par le vecteur { }BQ 1, la relation de rigidit peut donc s'crire :

[ ]{ } { } [ ] [ ][ ] [ ]{ }{ }

{ }{ }

{ }{ } connus tsdplacemen :

inconnus tsdplacemen : avec

B

F

ext

B

F

BBBF

FBFF

QQ

RF

QQ

KKKK

FQK

=

=

1 Ce vecteur peut dans certains cas correspondre des dplacements imposs (des dnivellations dappuis par exemple). Cependant et dans le cas gnral, les dplacements associs ce vecteur sont nuls (appuis infiniment rigides). Quand les dplacements sur appuis sont pris gaux zro, l'introduction des conditions aux limites revient barrer dans la matrice [ ]K , la ligne et la colonne du degr de libert considr.





Les dplacements { }FQ peuvent donc tre dtermins en rsolvant le systme linaire : [ ]{ } { } [ ]{ } { }FBFBextFFF QQKFQK = et les ractions dappui par :{ } [ ]{ } [ ]{ }BBBFBF QKQKR +=

17.6. Calcul des efforts internes en repre local Une fois les dplacements en repre global connus, il suffit de calculer pour chacun des lments, les dplacements associs en repre local et de les injecter dans la relation de rigidit lmentaire pour obtenir les efforts aux nuds correspondants. On a donc :

[ ]{ } { } { }e

j

j

j

i

i

i

eee

j

j

j

i

i

i

f

vu

vu

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lES

lES

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lES

lES

fqk

MTNMTN

==

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

1

avec { } [ ]{ }eee QRq = .

1 { }ef correspond au vecteur des charges nodales associes aux charges (extrieures) appliques sur la poutre.





17.7. Organigramme gnral de rsolution

Structure n nuds et m lments de poutre plane

Construction de la matrice de rigidit [ ]ek (repre local)

e = 1

Construction du vecteur de charges [ ]ef (repre local)

Calcul de la matrice de passage [ ]eR liant repres global et local

e = 1

Calcul de la matrice de rigidit exprime en repre global [ ] [ ] [ ][ ]eeTee RkRK =

Calcul du vecteur charges exprim en repre global { } [ ] { }eTee fRF =

Assemblage de [ ]K (n x n)

Assemblage de { }F (n x 1) en prenant en compte les ventuelles charges nodales

Rsolution du systme [ ] { } { }FQK = aprs introduction des conditions dappui

e = 1

Calcul des efforts internes par la relation [ ]{ } { }ee fq ek

m

lm

ents

m

l

men

ts

FIN

m

lm

ents





17.8. Exemples

17.8.1. Calcul dune poutre console

Les repres local et global tant colinaires ( [ ] [ ]IR =1 ), la matrice [ ]K se rduit la matrice de rigidit lmentaire [ ]1K . Le systme linaire s'crit donc :

[ ]

+

+

=

=

000

0

0000

12

2

012

2

0

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

1

22

2323

22

2323

1

MRH

P

qL

qL

qL

qL

vu

vu

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

K

Comme u1 = u2 = 01, on obtient :

=

=

=

EIPL

EIqL

EIPL

EIqLv

qL

PqLvLLL

LEI

26

38

12

246

61223

2

34

2

22

223

Ce qui permet dobtenir :

Pour les ractions :

+=+=

++

=

PLqLM

PqLR

MqL

RqLvLLL

LEI

212

226612

2

1

1

1

2

1

2

223

1 Envisageant une charge P trs importante, le nud 2 en se dplaant, devrait peu peu se rapprocher du nud 1. Cependant, ceci narrivera pas dans une hypothse de petits dplacements ce qui est notre cas. On

vrifie bien dailleurs 00ES 22 == uuL (4me ligne de la matrice de rigidit).

Y

-P q(x)= -q

1 2 L

x X

y





Pour les efforts :

++

=

=

0

02

0

12

2

012

2

0

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

2

2

2

2

2

2

1

1

1

22

2323

22

2323

2

2

2

1

1

1

P

PLqLPqL

qL

qL

qL

qL

vu

vu

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

MTNMTN

17.8.2. Calcul dun shed symtrique

Elment Nud i Nud j Longueur L (m)

Section S (m2)

Inertie I (m4)

1 (poutre) 1 2 14.142 1 10-3 1 10-5 2 (poutre) 2 3 14.142 1 10-3 1 10-5

Application numrique : E = 2.1 1011 N/m2 = 0.3 P = 100000 N H = 10 m L = 14.142 m

X

Y

P

1

H H

2

3

H

c LISE ,,,

d LISE ,,,

L





Les conditions de symtrie permettent dtablir que :

U2=0, 2 = 0.

Matrice de rigidit de llment 1 en repre local

A partir de la matrice de rigidit dun lment poutre plane, on obtient pour llment 1 :

[ ] [ ]

==

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

kkz

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

21

Matrices de passage de llment 1 (= +45)

[ ]

=

=

100000

022

22000

022

22000

000100

000022

22

000022

22

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

1

R

Matrices de rigidit en repre global de llment 1

[ ] [ ] [ ][ ]

++

++

++

++

==

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LLEI

LLEI

LEI

LLEI

LLEI

RkRK T

4232322323

232ES6

2ES623

2ES6

2ES6

232ES6

2ES623

2ES6

2ES6

2232342323

232ES6

2ES623

2ES6

2ES6

232ES6

2ES623

2ES6

2ES6

2222

233233

233233

2222

233233

233233

1111

B1

B1

V2

V2





Vecteur charge en repre global

{ }

=

02

00

1

1

P

VH

F

Rsolution du systme [ ]{ } { }FQK =

Les seuls DDL libres tant 1 et V2 et sachant que 2 et U2 sont nuls, on obtient le systme suivant :

( )( )

=+=

=+=

=

+

mSLIE

PLV

radSLIE

PL

PV

LLEI

LEI

LEI

LEI

00673.03

000505.0322

3

2

0

2ES623

234

2

3

2

2

2

1

2

1

22

2

Effel2002 - Structure - 11.1 Ech=1/97

DEPLACEMENTSD:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\exam2003-session11 06/05/04 16 h 21

- Date 18/11/01 - Fichier exam2003-session11 -

1

2

3

X

Y

Z X

Y

Z

0.00

-6.73

0.00

Noeud DX DY RZ (mm) (mm) (Rad) 1 0.000000 0.000000 -0.000505 2 0.000000 -6.733340 0.000000 3 0.000000 0.000000 0.000505

On prend en compte uniquement la moiti de la charge ponctuelle en raison de la symtrie.





Ractions

NVLL

EILEIV

NVLL

EILEIH

500004.500205.222ES623

2.499857.499625.222ES623

23121

23121

+=

+=

=+=

+=

Efforts dans llment 1 :

{ } [ ]{ } { }}

=

==

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

22

2323

22

2323

0

1111

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

MTNMTN

vu

vu

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LES

LES

fqkfz

i

[ ]( )( )( )

=+=

=+=

=+=

=

=

mSLIE

PLv

mSLIE

PLu

radSLIE

PL

VU

VU

VU

VU

R

vu

vu

004761.032

2

004761.032

2

000505.0322

3

100000

022

22000

022

22000

000100

000022

22

000022

22

2

3

2

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

do :

=

98.14961.10

70700061.10

70700

2

2

2

1

1

1

MTNMTN

Effel2002 - Structure - 11.1 Ech=1/78EFFORT NORMAL

D:\GRAITEC\PROJECTS\CNAM\exam2003-session11 06/05/04 17 h 09- Date 18/11/01 - Fichier exam2003-session11 -

X

Y

Z X

Y

Z

-70700.07

-70700.07-70700.07

-70700.07

N1

N2



Ch 17 Methode Des Deplacements

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