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PROJET DE MASTER 2011-2012
CONCEPTION DES TRANSFORMATEURS DE PUISSANCE MOYENNE
FREQUENCE
Professeurs : Philippe Viarouge (LEEPCI), Yves Perriard (LAI)
Etudiant : Sylvain Candolfi
LEEPCI : Laboratoire d'Électrotechnique, Électronique de Puissance et Commande
Industrielle, Université de Laval, Canada
LAI : Laboratoire d’actionneurs intégrés, école polytechnique fédérale de
Lausanne, Suisse
Québec, le 19 janvier 2012
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
1
1. Introduction ............................................................................................................... 4
2. Méthodologie de dimensionnement ........................................................................... 5
a. Topologie de transformateur étudiée ........................................................................................ 5
b. Modèle de dimensionnement analytique .................................................................................. 7
c. Expérimentation simulée .......................................................................................................... 8
d. Optimisation .............................................................................................................................. 8
3. Modèle de dimensionnement analytique .................................................................... 9
a. Modélisation électromagnétique ............................................................................................... 9
i. Découplage magnétostatique électrostatique .........................................................9
ii. Modèle réparti ........................................................................................................9
b. Schéma équivalent du transformateur ..................................................................................... 10
i. Modèle inductif .....................................................................................................11
ii. Modèle capacitif....................................................................................................11
iii. Modèle adopté .......................................................................................................15
c. Puissance de dimensionnement ............................................................................................... 15
i. Tension aux bornes des enroulements ..................................................................15
ii. Courants ................................................................................................................15
iii. Formulation de la puissance de dimensionnement ...............................................16
d. Dimensionnement des éléments du circuit équivalent ............................................................ 17
i. Inductance magnétisante ......................................................................................17
ii. Inductance de fuites ..............................................................................................18
iii. Capacités...............................................................................................................21
iv. Résistances ............................................................................................................27
e. Calcul des pertes et du rendement........................................................................................... 27
i. Pertes Joule ...........................................................................................................27
ii. Pertes Magnétiques ...............................................................................................27
iii. Rendement .............................................................................................................28
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
2
f. Modèle thermique ................................................................................................................... 28
g. Modèle mécanique .................................................................................................................. 31
4. Expérimentation simulée par calcul des champs........................................................ 31
a. Expérimentation simulée en magnétostatique : calcul des inductances .................................. 31
i. Inductance magnétisante ......................................................................................33
ii. Inductances de fuites .............................................................................................34
b. Expérimentation simulée en électrostatique : calcul des capacités ......................................... 34
i. Taille de la maille .................................................................................................34
ii. Représentation des enroulements .........................................................................37
iii. Essais d’identification ...........................................................................................44
iv. Détermination des capacités .................................................................................44
5. Analyse des performances et des limites du modèle analytique ................................ 47
c. Magnétostatique ...................................................................................................................... 47
i. Inductance mutuelle ..............................................................................................47
ii. Inductance de fuite ................................................................................................48
d. Electrostatique......................................................................................................................... 50
i. Précision du modèle analytique ............................................................................50
ii. Influence de la cuve ..............................................................................................58
6. Mise en œuvre de l’environnement .......................................................................... 60
a. Implantation du modèle analytique dans Excel ...................................................................... 60
b. Implantation de l’outil d’optimisation .................................................................................... 61
c. Implantation du calcul des champs ......................................................................................... 63
7. Applications ............................................................................................................. 64
a. Analyse de compromis masse vs. rendement .......................................................................... 64
b. Conception d’un prototype de validation du modèle de dimensionnement
électromagnétique .............................................................................................................................. 66
c. Dimensionnement d’un transformateur pour une alimentation modulaire à résonance .......... 68
i. Cahier des charges du transformateur .................................................................68
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
3
ii. Dimensionnement analytique ................................................................................68
iii. Étude de la sensibilité et de scénarios ..................................................................69
iv. Validation par calcul des champs .........................................................................70
8. Conclusion ................................................................................................................ 71
9. Annexes ................................................................................................................... 72
a. Equations du modèle de dimensionnement analytique ........................................................... 72
b. Caractéristiques du transformateur standard. .......................................................................... 78
c. Nomenclature .......................................................................................................................... 80
d. Bibliographie........................................................................................................................... 83
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
4
1. Introduction
La conversion de puissance électrique à moyenne et haute fréquence est une technologie
établie en basse puissance. Elle fait aujourd’hui l’objet de recherches et développements
dans un domaine de puissance plus élevée pour des applications où les contraintes de
puissance massique ou volumique sont importantes. De telles chaînes de traitement de
l’énergie électrique utilisent des convertisseurs statiques avec un transformateur de
puissance moyenne-fréquence (Figure 1). Un des plus grands défis dans la conception de
tels dispositifs à puissance élevée concerne le dimensionnement optimal du
transformateur en termes de compacité, de rendement, d’isolation, de tenue mécanique et
de coût.
Cette technologie offre de nouvelles perspectives dans de nombreux domaines tels que la
traction ferroviaire ou la production d’énergie éolienne offshore.
Dans le domaine ferroviaire un transformateur plus petit (Figure 2) peut être placé
directement sur le toit du train, éliminant le besoin d’une locomotive de traction, ce qui
augmente l’espace disponible pour les passagers.
Figure 1 : Composition d'un transformateur de moyenne fréquence (a) remplaçant un
transformateur classique fonctionnant à la fréquence du réseau (b).
f1
AC / DC DC / AC AC / DC
DC / AC
f2 >> f1
(a)
(b)
f2 f1
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
5
Figure 2 : Transformateur de traction ferroviaire de 5.2 MVA d'ABB.
Dans le cadre de l’expérience de physique du CERN à Genève, une alimentation
électrique à très haute tension continue est nécessaire pour alimenter un amplificateur de
signaux à haute fréquence appelé klystron. Il pourrait être avantageux de la réaliser avec
un transformateur moyenne fréquence car l’espace disponible pour son installation est
restreint.
2. Méthodologie de dimensionnement
a. Topologie de transformateur étudiée
Le transformateur modélisé est monophasé. Il est constitué de deux enroulements
primaires en parallèle et de deux enroulements secondaires en série (Figure 3). Les
enroulements primaires et secondaires sont placés de chaque côté du circuit magnétique
appelé noyau qui est connecté à la masse (Figure 4). L’enroulement primaire est celui qui
se situe le plus proche du noyau car dans le cas d’un transformateur élévateur de tension
c’est l’enroulement qui a le potentiel électrique le plus bas. Cette configuration est celle
qui est adoptée par l’industrie.
Les dimensions du noyau, des enroulements et l’épaisseur des isolations sont les
paramètres qui décrivent la taille du transformateur. Toutes les enroulements ont la même
hauteur et le transformateur est symétrique. Les épaisseurs d’isolation sont les mêmes à
gauche et à droite, en haut et en bas. La forme du transformateur est fixée mais pas ses
dimensions.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
6
Figure 3: Connexion des enroulements.
(a) 0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20 25
Limite de domaine
Noyau ext.
Noyau int.
Bobine prim 1
Bobine prim 2
Bobine sec 1
Bobine sec 2
Bobine prim 3
Bobine prim 4
Bobine sec 3
Bobine sec 4
bb_
ispc_ isps_ es_ ep_
a_
b_
ec_
ec_
l_
ae_
lmn_
isph_ isss_
Fenêtre
Primaire
Secondaire
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
7
(b)
Figure 4 : Définition des variables géométriques. Les bobines du primaire sont en vert et
celles du secondaire en orange. Vue de face du transformateur (a) et vue de dessus d’un
enroulement (b).
b. Modèle de dimensionnement analytique
Le modèle de dimensionnement analytique prédit à l’aide de relations mathématiques
simples les performances du transformateur (Figure 5). Les entrées sont les dimensions
du transformateur, les caractéristiques des matériaux utilisés, la densité de courant j dans
les bobines ainsi que le champ d’induction magnétique maximal Bmax à l’intérieur du
noyau. Il est ainsi possible de construire virtuellement le transformateur. En sortie on
obtient la puissance du transformateur, ses pertes et son modèle électrique (Modèle
adopté p. 15). Il est divisé en un modèle électromagnétique, un modèle thermique et un
modèle mécanique.
Ce modèle de dimensionnement ne tient pas compte de la saturation dans le fer.
l
ispc
ep es
isps
ec
mltp
mlts
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
8
Figure 5 : Méthodologie de dimensionnement représentée schématiquement.
c. Expérimentation simulée
L’expérimentation permet à partir des mêmes entrés que le modèle analytique de prédire
les performances du transformateur à l’aide de simulation des champs par éléments finis
(Figure 5). On utilise à ce dessein le logiciel FEMM. Les prédictions faites par
expérimentation simulées sont plus précises que celles issues du modèle analytique par
contre leur calcul prend plus de temps et l’influence des entrées sur les performances ne
sont pas directement visibles.
d. Optimisation
L’optimisation permet de dimensionner le transformateur afin de répondre à un cahier des
charges. L’optimisation prend en entrée les performances du transformateur calculées à
l’aide du modèle analytique qui sont validées ou corrigées par l’expérimentation simulée
(Figure 5). L’optimisation cherche à optimiser sous contraintes une valeur dépendante
des entrées: c’est la fonction objective. A partir de l’évaluation de la fonction objective,
différentes entrées du modèle analytique sont essayées afin de correspondre au cahier des
charges. Afin d’éviter de tester toutes les entrées possible, l’optimisation est réalisée avec
la méthode du gradient réduit généralisé1. C’est une méthode itérative qui fonctionne
aussi dans les problèmes d’optimisation non linéaire. Un set de valeurs d’entrée est
choisi. A chaque itération la dérivée partielle est évaluée pour chaque variable d’entrée
par la méthode des différences finies centrées en faisant varier les paramètres un à un
dans les deux directions. L’effet des entrées sur la fonction objective est déduit. Les
paramètres sont ainsi ajustés jusqu’à trouver un extremum. L’extremum trouvé peut être
dépendant du point de départ. Pour diminuer ce risque plusieurs points de départ sont
1 http://www.solver.com/excel2010/solverhelp.htm
Dimensions
Densités B&J
Matériaux
Procédure ONL
Circuit
équivalent
Modèle de dimensionnement analytique
Modèle
électromagnétique
Modèle thermique
Modèle mécanique
2D FEMM
Expérimentation simulée
Fonction
objectif de
performances à
maximiser
&
Fonctions
contraintes
à respecter
Modèle éléments finis
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
9
répartis aléatoirement dans le domaine de définition des entrées sont choisis. Lorsque des
contraintes sont ajoutées, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est utilisée.
3. Modèle de dimensionnement analytique
a. Modélisation électromagnétique
i. Découplage magnétostatique électrostatique
Par hypothèse, les modèles magnétiques et électriques sont découplés. Ceci permet
d’utiliser les équations de la magnétostatique et de l’électrostatique ce qui simplifie les
calculs et simulations. Ceci correspond à considérer que le champ magnétique
n’influence pas le champ électrique et vice-versa. Ceci permet de considérer séparément
les modèles électriques et magnétiques.
ii. Modèle réparti
Dans le modèle adopté la vitesse de propagation de l’onde électromagnétique est
considérée comme infinie. Si la vitesse de propagation est considérée comme finie, le
transformateur doit être considéré comme une ligne de transmission. Le modèle réparti
est constitué d’une infinité d’éléments (Figure 6). Chaque partie infinitésimale de spire
est constituée d’une inductance, d’une capacité avec le sol, d’une capacité avec
l’enroulement secondaire placé en face et d’une tension induite. La tension induite
dépend du courant de chaque élément infinitésimal du primaire et du secondaire. C’est ce
que l’on appelle le modèle de ligne.
La location des capacités est encore simplifiée sur le modèle répartit présenté ici. En
réalité, les capacités se trouvent entre tous les points à des tensions différentes.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
10
Figure 6: Modélisation approximative du transformateur avec des éléments infinitésimaux.
Les capacités inter-spires et entre les enroulements ne sont pas représentés.
b. Schéma équivalent du transformateur
Le schéma équivalent permet de simuler plus facilement le comportement du
transformateur lorsque celui-ci est placé dans un circuit électrique. Tous les éléments qui
le composent sont définis à partir d’essais sur le transformateur.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
11
i. Modèle inductif
Le modèle inductif est composé de deux inductances de fuite Ls1 et Ls2 et d’une
inductance magnétisante Lm (Figure 7). Par hypothèse les inductances de fuite à gauche et
à droite de l’inductance magnétisante sont égales. Le secondaire est rapporté au primaire.
Les valeurs des inductances sont définies en égalisant l’énergie magnétique contenue
dans le transformateur et dans le modèle équivalent lorsque le secondaire est ouvert et
court-circuité et qu’un courant entre au primaire.
Figure 7: modèle inductif du transformateur.
ii. Modèle capacitif
Le transformateur peut être considéré comme un quadripôle élévateur de tension. Trois
capacités peuvent alors être définies. Ce sont les capacités entre le primaire et le sol C12,
le secondaire et le sol Cs2 et entre le primaire et le secondaire C12.
La valeur des capacités du circuit équivalent s’obtient en égalisant l’énergie
électrostatique contenue dans le transformateur avec l’énergie électrostatique contenue
dans le circuit équivalent pour toute tension continue au primaire et secondaire (Figure
8). La capacité entre le primaire et le sol ne varie pas puisqu’elle est soumise à la même
tension sur le transformateur réel et sur les modèles équivalents. Il faut par contre
introduire la capacité équivalente entre le primaire et le secondaire C12eq et la capacité
équivalente entre le secondaire et le sol C2seq. Sur le modèle équivalent le secondaire est
rapporté au primaire. La tension du modèle équivalent dépend du rapport de
transformation u.
Primaire Secondaire
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
12
(a) (b)
Figure 8: Définition des capacités parasites. Schéma du transformateur (a) et schéma
équivalent (b). Dans le modèle équivalent, la tension du secondaire est rapportée au
primaire.
L’Energie emmagasinée dans les capacités du transformateur et du modèle équivalent
sont égales :
Ceci doit être valide pour toutes tensions V1 et V2. Tous les coefficients devant les
tensions doivent être égaux. On obtient un système de trois équations et de deux
inconnues.
Ce système d’équation est indéterminé. La 2ème
et 3ème
équations sont incompatibles.
Si on se réfère aux équations on remarque :
Ceci est juste que si le rapport de transformation est très petit. Cela est justifié si on
s’intéresse au schéma équivalent vu depuis le côté basse tension. Dans le cas contraire il
faut utiliser une autre approximation.
.
La deuxième équation du système peut être négligée. Lorsque V1 et V2 sont des tensions
alternatives, il faut en plus que les tensions aient un faible déphasage entre elles.
Si on résout les équations restantes on obtient pour les capacités équivalentes :
V1 V2 V1 uV2
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
13
Pour valider l’hypothèse, une simulation pour un transformateur «standard » (Annexe
p. 78) est réalisée à l’aide de MatLab-Simulink. Le modèle du transformateur et son
modèle équivalent sont rentrés dans Simulink (Figure 9) et la réponse en fréquence pour
les deux cas est tracée pour un rapport de transformation de 1 et 1 / 10.
(a)
(b)
Figure 9 : Schéma du transformateur (a) et de son modèle équivalent (b) construits sous
Simulink avec une source de tension comme entrée et un bloc de mesure du voltage en
sortie.
La fréquence de résonnance est bien déterminée par le modèle équivalent dans les deux
cas (Graphique 1). Cependant l’amplitude de la résonnance est déterminée plus
précisément lorsque le facteur u est petit. Le modèle équivalent est donc fidèle au modèle
réel pour des rapports de transformations inférieurs à 1.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
14
(a)
(b)
Graphique 1: Comparaison de la réponse en fréquence du transformateur (courbe rouge) et
du schéma équivalent (courbe bleu) pour un rapport de transformation de u = 1 (a) et u = 1
/ 10 (b)
105
106
107
0
2
4
6
8
10
12
frequence [Hz]
tensio
n a
u s
econdaire [
V]
104
105
0
50
100
150
200
250
frequence [Hz]
tensio
n a
u s
econdaire [
V]
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
15
iii. Modèle adopté
Le modèle adopté est composé des modèles inductifs et capacitifs superposés. Les
résistances des enroulements primaires et secondaires ont été rajoutées ainsi que la
résistance équivalente du fer afin de tenir compte des pertes fer (Figure 10).
Figure 10: Modèle équivalent du transformateur adopté.
c. Puissance de dimensionnement
i. Tension aux bornes des enroulements
A vide la tension aux bornes des enroulements est égale à la tension induite qui
dépend du champ magnétique par la loi de Faraday.
Loi de Faraday :
Supposons un flux φ sinusoïdal de valeur crête Bmax uniforme sur une surface ae et de
fréquence f : La valeur efficace de la tension induite vi d’une bobine de n spires est donnée par
l’expression :
√
ii. Courants
Le courant à vide crête I0 est la superposition du courant de magnétisation et du courant
de pertes fer. Le courant des pertes fer est négligé par rapport au courant de
magnétisation.
Le courant de magnétisation est calculé à l’aide de l’inductance magnétisante.
En ne prenant que les normes des phaseurs, on obtient : .
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
16
La tension à vide a déjà été calculée. L’inductance magnétisante est calculée à la page 17.
Le courant efficace à vide i0 est :
√
μ0 est la perméabilité du vide et μr la perméabilité relative du noyau.
La racine de 2 au diviseur provient du fait que l’on calcule la valeur efficace du courant
et que l’on donne la valeur crête du champ magnétique.
Le courant en charge au primaire est déterminé par la surface de cuivre du primaire Scup,
le nombre de spires n et la densité de courant que l’on a choisi.
Le courant d’une bobine du primaire spire est:
.
L’enroulement du primaire est composé de deux enroulements en parallèle, le courant
total est donc le double du courant d’un enroulement.
iii. Formulation de la puissance de dimensionnement
La puissance de dimensionnement S1 est définie comme la somme de la puissance de tous
les enroulements au nominal. La densité de courant des bobines primaires et secondaires
sont égales pour éviter la formation de points chauds. Les surfaces de cuivre au primaire
et secondaire sont donc égales.
∑
√
√
Avec
Les facteurs 2 tiennent compte de la présence de deux bobines au primaire et au
secondaire.
Il est à remarquer que les pertes fer sont négligées dans cette définition.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
17
d. Dimensionnement des éléments du circuit équivalent
i. Inductance magnétisante
Dans ce premier modèle, on peut évaluer l’inductance magnétisante Lm grâce au circuit
magnétique équivalent.
La réluctance magnétique équivalente Rmagn de ce circuit est approximativement :
lmn étant le chemin magnétique du noyau.
Le flux principal φ se trouve par la loi d’ohm sur le circuit magnétique équivalent (Figure
11).
La définition de l’inductance est le flux totalisé à travers la bobine divisé par le courant
parcourant la bobine. Les deux bobines en parallèle sont traversées par le même flux. Le
flux totalisé est le double du flux passant par une bobine.
Figure 11 : Schéma magnétique équivalent du noyau avec les deux bobines du primaire.
Rmagn
𝑛
𝐼
𝑛
𝐼
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
18
ii. Inductance de fuites
L’inductance de fuite totale est calculée en évaluant les champs magnétiques du
transformateur dont le secondaire est court-circuité. Dans ce cas de fonctionnement on
remarque sur le modèle inductif que seulement un courant négligeable passe à travers
l’inductance mutuelle, celle-ci étant plus importante que l’inductance de fuite. L’énergie
emmagasinée dans le champ magnétique créé par le courant est l’énergie contenue dans
les inductances de fuite. C’est cette énergie que l’on va estimer.
Le courant est imposé au primaire. Le secondaire étant court-circuité, un courant y est
induit. Les deux bobines du primaire créent un champ qui tourne dans le même sens (
Figure 12) dans le noyau et les bobines du secondaire un champ qui tourne dans le sens
contraire selon la loi de Lenz.
Figure 12 : Calcul de l’énergie magnétostatique pour l’inductance de fuite. Sens du champ
magnétique et des courants dans les bobines.
Au centre du noyau, le champ des bobines du secondaire de gauche et de droite
s’annulent. Le champ sans cet espace est donc négligeable. Il reste le champ entre les
bobines primaires et secondaires qui se renforce (
Figure 12).
On néglige l’énergie qui est contenue dans le fer car cette énergie varie comme l’inverse
de la perméabilité. La perméabilité est beaucoup plus élevée dans l’air et le cuivre que
dans le fer et, de plus les flux dans le fer s’annulent.
Si on examine le modèle inductif, le courant dans le secondaire est égal au courant au
primaire rapporté au secondaire et l’énergie magnétique Wm est égale à :
Γ
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
19
Par hypothèse on posera que l’inductance de fuite du primaire ramenée au primaire est
égale à l’inductance de fuite du secondaire ramenée au primaire.
Ls1 = Ls2
L’énergie contenue dans l’air est d’abord calculée par la loi d’ampère appliquée sur le
chemin Γ (Figure 13).
Loi d’ampère : ∮ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∯
A l’intérieur du fer le champ magnétique H est négligé car la permittivité du fer est très
faible. La loi d’ampère devient :
Le champ magnétique dans l’air entre les bobines est donc :
et ceci
indépendamment du noyau.
L’énergie contenue dans l’air est :
Le volume d’air entre les deux bobines est estimé à partir de la moyenne de la longueur
moyenne des spires au primaire et secondaire et de l’épaisseur de l’isolation.
(
)
Le champ à l’extérieure de la bobine est négligé car il est annulé par les autres bobines.
L’énergie contenue dans les bobines est aussi calculée par la loi d’ampère. Afin de
connaître le champ à l’intérieur de la bobine, on fait varier le chemin d’intégration Г avec
le paramètre x (Figure 13). A l’extérieur de la bobine le champ est annulé par le courant
circulant dans la bobine adjacente.
Le champ magnétique variant en fonction de la position, l’énergie contenue dans la
bobine se calcule alors avec une intégrale. Ici le cas de la bobine primaire.
∫
∫
Dans le cas de la bobine secondaire, il faut remplacer ep par es et mltp par mlts. Le
secondaire est en court-circuit pour la mesure de l’inductance de fuite.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
20
La densité de courant au secondaire j2c-c dépend de la densité de courant au primaire ainsi
des surfaces de cuivre des enroulements primaire et secondaire Scup et Scus.
Comme il y a deux bobines au primaire et au secondaire, cette énergie doit être multipliée
par 2.
L’énergie totale est ainsi :
(
)
( )
Figure 13 : Vue en coupe de la bobine (vert), chemin d’intégration Γ en trait tillé noir et
lignes de flux supposées en trait-tillé bleu.
x
0 ep
H
Γ
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
21
iii. Capacités
Les capacités parasites sont calculées de manière analogue aux inductances parasites.
L’énergie contenue dans les champs électriques lorsque les enroulements sont à des
tensions données est calculée puis les capacités déduites. Le noyau est toujours connecté
à la masse.
La valeur de trois capacités devant être déterminées, trois cas sont donc nécessaires. Les
trois cas suivants sont analysés :
- Tension nominale au primaire, secondaire relié à la terre.
- Tension nominale au secondaire, primaire relié à la terre
- Tension nominale au primaire et au secondaire.
Chacun de ces trois cas détermine la valeur de plusieurs capacités combinées du circuit
équivalent. La valeur de chacune des capacités est déterminée en résolvant un système de
trois équations.
Lorsqu’un enroulement est à tension nominale, la tension augmente linéairement le long
de cet enroulement (
Figure 14). Les effets de bord sont négligés, le champ électrique est présent seulement
lorsque des surfaces à des potentiels différents sont parallèle et sont une en face de
l’autre. Le champ électrique est uniforme et égal au potentiel divisé par la distance
d’isolation.
Figure 14 : Mesure de l’énergie électrostatique entre un enroulement et le sol.
Enro
ule
men
t
x
0
bb
0 V
E
0
1
0 1
Ten
sio
n d
e l'
en
rou
lem
en
t [V
]
Hauteur [m]
Vmax
x bb
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
22
Le transformateur est divisé en 6 parties (Figure 15) pour le calcul de l’énergie. La
troisième dimension est prise en compte dès le calcul initial.
Energie primaire-noyau (1 bobine) :
Primaire au nominal
∫| |
∫ (
)
(
)
Energie primaire-secondaire, côté gauche
Primaire à la masse, secondaire au nominal
∫| |
∫ (
)
(
)
Energie primaire-secondaire, côté droite
Primaire à la masse, secondaire au nominal
∫| |
∫ (
)
(
)
(
)
(
)
Sachant que (
)
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
23
Energie primaire-secondaire, côté gauche
Primaire au nominal, secondaire au nominal.
∫| |
∫ (
)
(
)
(
)
(
)
Energie primaire-secondaire, côté droit
Primaire au nominal, secondaire au nominal.
∫| |
∫
(
(
))
((
)
(
)
(
)
)|
((
)
(
)
(
)
)
(
)
Sachant que : (
(
))
(
)
(
) (
)
(
)
Et : (
)
(
)
(
)
(
(
)) (
)
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
24
Energie primaire-noyau au sommet des deux bobines (dans isph)
Primaire au nominal
∫| | (
)
Energie secondaire-noyau les deux bobines (dans isph)
Secondaire au nominal. La tension au sommet de la bobine du secondaire gauche ainsi
qu’à la base du secondaire droit est la moitié de la tension nominale et le sommet de la
bobine du secondaire droit est au nominal.
∫| |
[ (
)
(
)
]
Energie primaire-secondaire
Primaire au nominale, secondaire au sol.
∫| |
∫ (
)
(
)
Energie secondaire-secondaire
Secondaire au nominal.
∫| |
∫
((
)
)
(
)
|
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
25
(a)
(b)
Figure 15 : Définition des zones de calcul de l’énergie électrostatique et nomenclature de ces
zones. Les tensions sont exprimées en valeur binaire. 0 Signifie que la tension est nulle, 1
que c’est la tension nominale. Vue de face (a) et de dessus (b).
Wpsg1 (v1=0 ; v2=1)
Wpsg2 (v1=1 ; v2=1)
Wps3 (v1=1 ; v2=0)
Wpc (v1=1)
Wpsd1 (v1=0 ; v2=1)
Wpsd2 (v1=1 ; v2=1)
Wps3 (v1=1 ; v2=0)
Wpch (v1=1)
Wsch (v2=1)
Wss (v1=0 ; v2=1)
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
26
Dans chacun des trois cas l’énergie totale Wei contenue dans le champ électrique est une
combinaison de plusieurs des énergies entre les enroulements précédemment calculées.
We1 : v1=1, v2=0
We2 : v1=0, v2=1
We3 : v1=1, v2=1
0 signifie tension nulle, 1 tension nominale.
Voici la combinaison des énergies pour chaque cas.
{
L’énergie électrostatique dans le modèle capacitif dans les trois cas constitue un système
de trois équations.
{
En soustrayant la première et la deuxième équation à la troisième, nous obtenons la
valeur de la capacité entre le primaire et le secondaire.
[
]
Puis en prenant la première et la deuxième équation, on obtient la valeur des capacités
entre les enroulements et le sol.
Ce sont les capacités réelles, pas celles du circuit équivalent.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
27
iv. Résistances
La résistance du cuivre est reliée à la conductivité γ du cuivre et à la géométrie de
l’enroulement.
La résistivité du primaire Rcup, en tenant compte que nous avons deux enroulements en
parallèle, est :
La section de fil S peut être calculée à partir de la surface de la bobine au primaire. Il est
tenu compte que le volume de cuivre du primaire est celui d’une bobine.
En remplaçant S dans l’expression de Rcup on obtient :
La résistance du secondaire Rcus s’obtient de manière analogue à l’exception que les
résistances des deux enroulements sont en série et non par parallèles.
e. Calcul des pertes et du rendement
i. Pertes Joule
Les pertes joules Pj dépendent de la conductivité σcu, de la densité de courant efficace j et
du volume de cuivre Vcu. La formule est démontrée à partir de la formule de calcul d’une
résistance. Le volume de cuivre l ∙S apparaît.
ii. Pertes Magnétiques
Une formule empirique permet d’évaluer les pertes dues à l’hystérésis et aux courants de
Foucault.
(
)
Les coefficients ku, kcf et x dépendent du matériau utilisé.
Les pertes par hystérésis sont dues aux changements d’orientation des domaines
magnétiques à chaque cycle donc elles sont représentée dans la formule par le terme
dépendant de la fréquence.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
28
Les pertes par courant de Foucault sont Ri2=v
2/R
et par la loi de Faraday la tension v est
proportionnel à f donc une ces pertes sont représentées dans la formule par le terme en f2.
Dans le modèle adopté ces pertes sont modélisées par la résistance fer Rfer placée en
parallèle avec l’inductance magnétisante.
La puissance dissipée dans le fer est connue ainsi que la tension aux bornes de la
résistance qui est la tension induite au primaire. La puissance dissipée dans la résistance
est donc égale à:
La résistance fer équivalente est ainsi :
iii. Rendement
Par définition le rendement est la puissance utile sur la puissance totale. La puissance
utile est la puissance apparente à laquelle on soustrait les pertes joules et fer.
f. Modèle thermique
Le modèle thermique prévoit l’élévation de température dû aux pertes du transformateur
lorsqu’il fonctionne en régime permanent et transitoire. La température ne doit pas
excéder un seuil pour ne pas dégrader l’isolant et limiter la résistivité des enroulements.
L’échauffement est une contrainte. Le modèle thermique développé dans ce projet est
simplifié, il sert à s’assurer que les températures sont bien en-dessous des contraintes.
Le transformateur est considéré comme une source de chaleur homogène de forme
parallélépipède baignée dans de l’huile contenue dans une cuve entourée d’air à 40°C. La
température du transformateur est supposée homogène car le transformateur est constitué
de matériaux conducteurs et les pertes sont réparties dans les enroulements et dans le
noyau.
On considère un régime de fonctionnement permanent, le circuit équivalent est donc
constitué d’une source de courant modélisant les pertes, de résistances thermique
modélisant la conduction thermique des matériaux et d’une source de tension modélisant
la température ambiante.
Dans ce modèle simplifié, nous supposons que l’échange de chaleur se fait entre les
surfaces parallèles et les faces du transformateur et celles de la cuve qui sont à
température homogène. La chaleur passe à travers la cuve. A la surface de la cuve, la
convection de l’air, le rayonnement sont approximés par un seul coefficient de
conduction entre la surface de la cuve et l’environnement extérieur. De même la
convection et la conduction de l’huile est approximée par un seul coefficient de
conductivité thermique.
La surface de conduction Scond entre le transformateur et la cuve est formée des six faces
du transformateur.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
29
Avec :
lonht : longueur hors-tout du transformateur, larht : largeur hors-tout du transformateur
hht : hauteur hors-tout du transformateur
lmhuile Trajet moyen dans l’huile. C’est la distance entre le transformateur et la cuve,
pondérée par la surface de conduction de la face du transformateur sur la surface de
conduction totale.
Résistance thermique de la cuve d’épaisseur ecuve.
Figure 16 : Modèle thermique simplifié. La puissance thermique Pth crée un flux qui passe
dans la résistance thermique de l'huile Rhuile et de la cuve Rcuve. La température extérieure
est Tamb et la capacité thermique de l’huile Cthhuile.
La température au niveau des enroulements du transformateur Ttrans en régime permanent
est approximée en résolvant le circuit thermique équivalent (Figure 16).
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
30
Noyau ext.
Noyau int.
Bobine prim 1
Bobine prim 2
Bobine sec 1
Figure 17 : Parallélépipède approximant le transformateur pour le modèle thermique.
Lorsque le transformateur travaille par impulsions, il devient intéressant de connaître sa
constante de temps thermique. Ainsi on peut tolérer une dissipation d’énergie plus élevée
pour un temps limité. L’échauffement est supposé adiabatique, ce qui nous place du côté
de la sécurité, l’augmentation de la température en fonction du temps va être linéaire.
Dans ce cas l’augmentation de la température est tellement rapide que la quantité de
chaleur transmise à l’environnement est négligeable. On va tenir compte seulement de
l’échauffement de l’huile de la cuve qui représente la plus grande capacité thermique. La
température de l’huile est considérée comme homogène. Ainsi l’énergie W emmagasinée
dans l’huile d’une chaleur spécifique c pour une augmentation de la température de Δθ au
niveau du transformateur est : .
Le gradient de température en fonction de l’intervalle de temps Δt lorsque le
transformateur dégage des pertes Pth est:
.
Dans l’inter-cycle la situation est différente. Il n’y a plus de pertes, la source de courant
du circuit équivalent peut être remplacée par un circuit ouvert. La capacité thermique
équivalente de l’huile Cthhuile est : Cthhuile=c Mhuile.
c : chaleur spécifique, Mhuile : masse d’huile
La constante de temps τ est donc:
(
)
lonht larht
hht
l1
l2
l3
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
31
g. Modèle mécanique
Le modèle mécanique donne les dimensions déduites des dimensions données en entrée
comme les longueurs hors-tout du transformateur. Il donne également la masse du
transformateur.
La longueur hors-tout dépend uniquement des dimensions du noyau, des isolations et des
bobines : lonht = l + 2(ep + es + ispc + isps)
Ce sont des relations très simples mais essentielles pour connaître les caractéristiques de
base du transformateur.
La masse de fer Mfer dépend du volume du noyau Vfer et de la masse volumique du fer
ρfer : Mfer = ρfer Vfer = ρfer (a + ec) (b + ec) - a b
Toutes ces relations sont détaillées en annexe.
4. Expérimentation simulée par calcul des champs
a. Expérimentation simulée en magnétostatique : calcul des inductances
La mesure de l’inductance se fait en mesurant l’énergie magnétique contenue dans tout
l’espace. Le calcul des champs par éléments finis est en réalisé en deux dimensions.
Des mesures supplémentaires sont réalisées pour prendre en compte la troisième
dimension (l’avant et l’arrière du transformateur).
Une mesure de l’énergie est prise à l’intérieur de la demi-bobine du primaire à l’extérieur
de la fenêtre. Nous avons donc une mesure de l’énergie par mètre de longueur de la
bobine, côté extérieur à la fenêtre. Par hypothèse, on étend cette énergie à toutes les
parties de la bobine qui ne sont pas prises en compte dans la simulation 2D soit
principalement sur l’avant et l’arrière du transformateur (Figure 18). Le même processus
est réalisé pour la bobine du secondaire.
Le champ magnétique est semblable dans ces différentes parties de la bobine car la
distance entre le noyau et l’enroulement est constante. Le noyau étant de perméabilité très
élevée, le fait qu’il n’est pas la même longueur sur le plan de la coupe et sur un plan
perpendiculaire à la coupe n’a pas une grande importance.
L’énergie contenue dans l’air de la partie extérieur de la fenêtre est aussi mesuré et cette
énergie est étendue aux parties avant et arrière du transformateur.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
32
(a)
Partie arrière du transformateur
Partie avant du transformateur
(b)
Wmbobp Wmbobs Wmair Wml
Figure 18 : Surfaces prise en compte dans la correction 3D de l’énergie. Vue en coupe des
zones de mesure (a) de la simulation et vue de dessus (b).
Noyau ext.
Noyau int.
Bobine prim 1
Bobine prim 2
Bobine sec 1
Bobine sec 2
Bobine prim 3
Bobine prim 4
Bobine sec 3
Bobine sec 4
Coupe
l
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
33
D’une manière mathématique, voici comment sont calculées les énergies additionnelles.
Wmbobpl, Wmbobsl, Wmairl sont les énergies relevées dans la simulation respectivement pour
la bobine du primaire, du secondaire et l’air. Ce sont les énergies qui sont contenues dans
une longueur l.
Les énergies à rajouter à l’énergie Wml contenue dans le volume de largeur l sont :
L’énergie magnétique totale en tenant compte de la troisième dimension est :
Wm = Wml + Wmbobp + Wmbobs + Wmair
Deux essais sont simulés pour déduire les inductances magnétisantes et de fuite. Un
courant est imposé au primaire et le secondaire est en circuit ouvert ou court-circuité.
i. Inductance magnétisante
Les courants dans les bobines sont imposés pour simuler le secondaire du transformateur
en circuit ouvert ou fermé. Pour mesurer les inductances on cherche à connaître l’énergie
magnétique contenue dans l’espace. La simulation est réalisée en courant continu, les
courants d’induit sont simulés en imposant un courant continu égal au courant d’induit
dans les bobines.
Le courant continu est choisi au primaire afin que la valeur du champ magnétique à
l’intérieur du noyau soit égale au champ maximal imposé en fonctionnement. Dans les
matériaux sans saturation comme dans l’air la valeur de l’inductance est indépendante du
courant mais dans les matériaux ferromagnétiques l’inductance dépend du courant. Le
courant d’essai est donc choisi avec précaution.
Pour avoir une mesure de l’inductance mutuelle, on se reporte au schéma équivalent.
Quand le secondaire est en circuit ouvert, le courant passe par l’inductance de fuite du
primaire et l’inductance mutuelle. L’inductance mutuelle étant plus grande que
l’inductance de fuite, cette dernière est négligée. On impose alors le courant minimal au
primaire et un courant nul au secondaire. Le cas de fonctionnement est simulé et on
mesure l’énergie emmagasinée dans tout l’espace. La valeur de l’inductance est déduite à
l’aide de l’énergie totale et de la relation démontrée dans la section consacrée au calcul
de l’inductance d’une manière analytique.
, Secondaire ouvert.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
34
ii. Inductances de fuites
La mesure de la somme des inductances de fuite du primaire et du secondaire se réalise
en simulant le fonctionnement du transformateur avec le courant nominal au primaire et
le secondaire court-circuité. Pour simuler le secondaire court-circuité on impose dans le
secondaire le courant du primaire rapporté au secondaire dans le sens tel que le flux
produit par le secondaire s’oppose au flux du primaire comme cela a été dans le modèle
analytique de l’inductance de fuite.
, Secondaire court-circuité.
Dans tous ces essais, on considère que l’inductance mutuelle est nettement plus élevée
que les inductances de fuites. Cette hypothèse qui se base sur l’expérience et le calcul
théorique peut être justifiée à posteriori. Prenons l’hypothèse contraire, considérons que
l’inductance mutuelle est plus petite que l’inductance de fuite. Dans l’essai avec le
secondaire ouvert, nous mesurerions principalement l’inductance de fuite et dans l’essai
avec le secondaire court-circuité l’inductance de fuite du secondaire serait négligée face à
l’inductance mutuelle. Nous aurions alors une inductance élevée dans les deux essais.
Avoir des valeurs d’inductances plus élevée à secondaire ouvert qu’à secondaire court-
circuité est donc une preuve que l’inductance de fuite peut être négligée par rapport à
l’inductance mutuelle.
b. Expérimentation simulée en électrostatique : calcul des capacités
i. Taille de la maille
La taille de la maille optimale va être déterminée en premier.
Une maille de taille trop grande donnera une mauvaise précision au calcul. Si la taille est
trop petite le temps de calcul sera exagérément long. Pour déterminer la taille des mailles
optimale, le champ autour d’une spire à un potentiel entourée d’une cuve à la terre est
simulé avec plusieurs tailles de maille puis les résultats sur l’énergie totale analysés
(Graphique 2).
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
35
Graphique 2: Energie totale en fonction de la taille des mailles pour une spire, échelle semi-
logarithmique.
Une taille de maille de 1 cm est adoptée comme compromis entre vitesse de calcul et
précision du résultat.
L’influence de la maille est aussi analysée sur la simulation du transformateur entier.
La taille de la maille est imposée au niveau des enroulements par le nombre de segments
de l’enroulement, chaque segment étant le bord d’une maille (Figure 19). Aux endroits où
est concentré le champ magnétique, la taille de la maille maximale est donc déterminée
par le nombre de segment et ne varie pas lorsque la taille de la maille est supérieure à
2 mm. L’énergie électrique stockée ne dépend pas significativement de la taille des
mailles. Ceci est dû au processus du mailleur de FEMM.
3.48E-11
3.49E-11
3.50E-11
3.51E-11
0.0001 0.001 0.01 0.1
En
erg
ie t
ota
le [
W]
Taille de la maille [m]
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
36
(a)
(b)
(c)
Figure 19 : Différences entre un maillage de 5 mm (a) et 5 cm (b) et détail du maillage entre
les enroulements (c)
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
37
ii. Représentation des enroulements
Nombre de segments pour les spires
Les spires dessinées par FEMM ne sont pas rondes mais constituées d’un nombre de
segments que l’utilisateur peut choisir. On va déterminer l’effet du nombre de segments
modélisant la spire sur l’énergie totale, paramètre nous permettant de déterminer les
capacités parasites.
Nous allons simuler le champ électrique d’une spire de 0.5 m de diamètre à un potentiel
de 1 V placé dans une cuve de 1 m de côté reliée à la terre. Le seul paramètre variable est
le nombre de segments modélisant la spire (Tableau 1).
La taille des mailles est choisie assez petite pour qu’elle n’ait pas d’influence.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
38
Nombre
de
segments
pour les
cercles
Energie totale Image
4 2.945e-11
6 3.269e-11
12 3.521e-11
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
39
36 3.593e-11
Tableau 1 : Influence de la forme d’une spire sur l’énergie totale.
Graphique 3: Energie électrostatique dans le système en fonction du nombre de segments
composant les spires.
2.8E-11
3.0E-11
3.2E-11
3.4E-11
3.6E-11
3.8E-11
0 10 20 30 40 50 60 70
En
erg
ie t
ota
le [
W]
Nombre de segments
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
40
Le nombre de segments qui modélisent la spire a une influence sur le champ électrique à
proximité de la spire seulement. S’il y a peu de segments, le champ électrique se
concentre aux pointes et est plus faible le long des segments. L’énergie totale sera plus
faible. Pour les essais suivants, les spires rondes sont modélisées avec 30 segments
(Graphique 3).
La simulation d’une seule spire est représentative de la modélisation d’un enroulement
car les équations de l’électrostatique étant linéaires, la valeur du champ électrique est
proportionnelle au voltage, invariant à une homothétie du système donc le principe de
superposition peut s’appliquer.
Par contre l’énergie dépend du carré de l’intensité du champ, donc elle n’est pas
proportionnelle au voltage.
Forme des enroulements
On teste trois modélisations pour les enroulements constitués en réalité de spires rondes
pour les transformateurs de faible tension. Les modélisations testées sont les spires
rondes, carrées ou continues (Tableau 2). Les spires rondes ont un diamètre de 10 cm, les
spires carrées un côté de 10 cm et les spires continues une largeur de 10 cm. Des
enroulements à 2 ou 4 spires réparties sur la même hauteur sont modélisés pour tester
l’effet du coefficient de remplissage. La tension de l’enroulement est de 1 V répartie
entre les spires ou varie en un nombre de pas égal au nombre de spires dans le cas des
spires continues. L’enroulement a une hauteur totale de 0.5 m et se trouve à l’intérieure
d’une cuve de 1 m de côté reliée à la terre.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
41
Nombre
de
spires
Modélisation
des
enroulements
Energie
totale
Différence
de valeur par
rapport aux
spires rondes
Image
2 Ronds 1.31e-11
0%
2 Carrés 1.43e-11
9%
2 Continus 2.53e-11
93%
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
42
4 Ronds 1.53e-11
0%
4 Carrés 1.81e-11
18%
4 Continus 1.59e-11
4%
Tableau 2 : Influence de la modélisation des enroulements sur l'énergie totale.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
43
On peut tirer les conclusions suivantes de ces simulations.
Lorsque le nombre de spires est faible, leur modélisation comme spire ronde est
nécessaire afin d’avoir une bonne précision sur l’énergie totale. Une modélisation comme
spire carrée peut également convenir dans une moindre mesure.
Si le nombre de spires est grand la situation change. La modélisation des spires comme
continues devient aussi précise que la modélisation comme spire rondes alors que les
spires carrées donnent un résultat d’une précision inférieure.
La spire rectangulaire à l’avantage sur les spires rondes au niveau du maillage. Si les
spires rondes sont de faible diamètre, leur nombre de segments étant fixes, la taille de la
maille autour de celles-ci sera petite pour coller aux segments, le temps de calcul sera
augmenté.
La spire rectangulaire ne prend pas en compte le champ entre les spires mais la
modélisation de la tension par segments provoque des champs électriques élevés entre les
segments de potentiel différents compensant l’absence de champs entre les spires. Cet
effet devient négligeable à partir de 15 segments environ Quand le coefficient de
remplissage des spires devient élevé, le volume entre les spires diminue par conséquent,
l’énergie totale qui n’est pas prise en compte par modélisation continue diminue étant
donné que le champ électrique n’est pas plus élevé si la tension totale ne change pas. Le
champ électrique étant la tension divisé par la distance quand le nombre de spires
augmente la distance entre les spires diminue ainsi que la tension. Le champ électrique
n’augmente donc pas.
Les spires carrées ne sont pas une bonne modélisation quand l’écart entre les spires
diminue car le champ électrique inter-spire devient plus élevé sur une surface plus grande
à cause de la forme des spires. L’énergie contenue dans la bobine peut être calculée en
admettant que le champ électrique à l’intérieur de celle-ci est uniforme, c’est-à-dire que
la répartition de la tension est uniforme. Les spires sont enroulées de tel façon que chaque
spire est adjacente à la spire suivante. L’énergie contenue dans la bobine est alors :
(
)
Cette énergie est très faible si le coefficient de remplissage est élevé car aucune énergie
n’est stockée dans l’enroulement. Si la tension est élevée, l’énergie stockée est plus
grande mais c’est aussi le cas de l’énergie stockée en dehors de la bobine.
Nombre de segments pour les spires rectangulaires
Lorsque le nombre de spires est très élevé et le coefficient de remplissage proche de 1,
une modélisation de l’enroulement comme un rectangle donne une précision suffisante
(Graphique 4). Si le nombre de segments constituant le rectangle est trop faible, il
apparaît aux jointures des différences de tension très grandes créant un fort champ
électrique. En réalité le champ électrique serait infini en un point, la discrétisation du
problème évite une telle occurrence. La taille des mailles est finie, ainsi il y a toujours
une distance non-nulle entre deux point de potentiel différents adjacents.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
44
Le nombre de segments a une influence sur la mesure de l’énergie totale. Au-delà de 15
segments l’énergie totale est stable.
Graphique 4: Energie en fonction du nombre de segments composant l'enroulement.
iii. Essais d’identification
Le calcul des capacités par éléments finis se fait de manière analogue au calcul
analytique.
Les trois essais suivants sont simulés :
- Tension nominale au primaire, secondaire relié à la terre.
- Tension nominale au secondaire, primaire relié à la terre
- Tension nominale au primaire et au secondaire.
A chaque essai l’énergie total stockée dans le champ électrique est mesurée.
iv. Détermination des capacités
Pour chacun de ces essais l’énergie totale est mesurée, en tenant compte de l’effet 3D. La
mesure est modifiée de façon analogue à ce qui a été fait pour la magnétostatique (Figure
20). Une mesure de l’énergie dans l’air est prise entre le milieu de la bobine primaire le
noyau. Par hypothèse on étend cette énergie aux parties avant et arrière du transformateur
mais seulement sur les parties ou les surfaces à potentiel différents sont en face l’une de
l’autre.
La même démarche est exécutée pour les zones situées entre le milieu de la bobine
primaire et secondaire à gauche et à droite du transformateur car les tensions de la bobine
secondaire gauche et droite diffèrent.
0.0E+00
5.0E-12
1.0E-11
1.5E-11
2.0E-11
0 5 10 15 20 25 30 35
En
erg
ie
Nombre de segments
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
45
Energie supplémentaire primaire-noyau Wepc:
Wepcl : énergie relevée sur la simulation entre le primaire et le noyau à l’extérieur de la
fenêtre.
Energie supplémentaire primaire-secondaire pour le côté gauche Wepsg :
Wepsg : énergie relevée sur la simulation
Energie supplémentaire primaire-secondaire pour le côté droit Wepsd :
Wepsd : énergie relevée sur la simulation
L’énergie totale We est l’énergie Wel contenue dans l’espace de longueur l plus les
énergies additionnelle en avant et arrière du transformateur.
We = Wel +Wepc + Wepsg + Wepsd
Par rapport à une simulation en 3D complète, on remarque que les champs dans les coins
des enroulements ne sont pas pris en compte et que la forme du champ sur un plan est
extrapolée à un volume.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
46
(a)
(b)
Wepsg Wepc Wepsd
Figure 20 : Extension à la troisième dimension des calculs en 2 D. Vue en coupe (a) et de
dessus (b) du transformateur. Plans sur lesquels l’énergie est mesurée (a) et extension de
l’énergie sur ces plans dans la troisième dimension (b).
Plans de mesure
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
47
5. Analyse des performances et des limites du modèle analytique Le modèle analytique est comparé à l’expérimentation simulée afin de connaître sa
précision. A cette fin on considère un transformateur aux dimensions standards. Ce sont
les dimensions d’un transformateur existant (Annexe). Certaines dimensions sont ensuite
variées afin d’observer leur influence sur la précision du modèle.
c. Magnétostatique
i. Inductance mutuelle
Avec les dimensions standards, l’erreur sur l’inductance mutuelle est de 11%. Cette
différence est due au champ magnétique sur les coins du noyau. Si l’épaisseur du noyau
est réduite à 0.005 m, l’erreur diminue à 3%, car le flux magnétique est ainsi mieux
conduit, le champ magnétique maximal dans les coins intérieurs du noyau est réduit
(Figure 21). Le chemin magnétique théorique s’approche du chemin magnétique moyen
réel en particulier dans les coins.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
48
Figure 21 : Effet des coins sur l'inductance mutuelle pour deux épaisseurs de noyaux.
ii. Inductance de fuite
L’incertitude sur l’inductance de fuite pour les dimensions standards est de 32% avec la
3ème
dimension prise en compte. Le champ à l’intérieur des bobines situées à l’extérieur
de la fenêtre est différent de ce qui a été analytiquement supposé. Les lignes de champ ne
sont pas verticales mais s’incurvent. Le champ magnétique n’est alors plus constant sur la
hauteur de la bobine et ne varie pas linéairement le long de l’axe x de la bobine. Pour
vérifier cette hypothèse des comparaisons entre le modèle analytique et par
expérimentation simulée sont réalisées sur un modèle en 2D.
Avec les dimensions standards l’énergie contenue dans les demi-bobines situées à
l’extérieur et à l’intérieur de la fenêtre est de 1.7e-3
Joules analytiquement. Les demi-
bobines situées à l’intérieur de la fenêtre contiennent une énergie plus élevée car le flux
Density Plot: |B|, Tesla
1.615e+003 : >1.700e+003
1.530e+003 : 1.615e+003
1.445e+003 : 1.530e+003
1.360e+003 : 1.445e+003
1.275e+003 : 1.360e+003
1.190e+003 : 1.275e+003
1.105e+003 : 1.190e+003
1.020e+003 : 1.105e+003
9.350e+002 : 1.020e+003
8.500e+002 : 9.350e+002
7.650e+002 : 8.500e+002
6.800e+002 : 7.650e+002
5.950e+002 : 6.800e+002
5.100e+002 : 5.950e+002
4.250e+002 : 5.100e+002
3.400e+002 : 4.250e+002
2.550e+002 : 3.400e+002
1.700e+002 : 2.550e+002
8.500e+001 : 1.700e+002
<0.000e+000 : 8.500e+001Density Plot: |B|, Tesla
1.615e+003 : >1.700e+003
1.530e+003 : 1.615e+003
1.445e+003 : 1.530e+003
1.360e+003 : 1.445e+003
1.275e+003 : 1.360e+003
1.190e+003 : 1.275e+003
1.105e+003 : 1.190e+003
1.020e+003 : 1.105e+003
9.350e+002 : 1.020e+003
8.500e+002 : 9.350e+002
7.650e+002 : 8.500e+002
6.800e+002 : 7.650e+002
5.950e+002 : 6.800e+002
5.100e+002 : 5.950e+002
4.250e+002 : 5.100e+002
3.400e+002 : 4.250e+002
2.550e+002 : 3.400e+002
1.700e+002 : 2.550e+002
8.500e+001 : 1.700e+002
<0.000e+000 : 8.500e+001
Density Plot: |B|, Tesla
1.615e+003 : >1.700e+003
1.530e+003 : 1.615e+003
1.445e+003 : 1.530e+003
1.360e+003 : 1.445e+003
1.275e+003 : 1.360e+003
1.190e+003 : 1.275e+003
1.105e+003 : 1.190e+003
1.020e+003 : 1.105e+003
9.350e+002 : 1.020e+003
8.500e+002 : 9.350e+002
7.650e+002 : 8.500e+002
6.800e+002 : 7.650e+002
5.950e+002 : 6.800e+002
5.100e+002 : 5.950e+002
4.250e+002 : 5.100e+002
3.400e+002 : 4.250e+002
2.550e+002 : 3.400e+002
1.700e+002 : 2.550e+002
8.500e+001 : 1.700e+002
<0.000e+000 : 8.500e+001
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
49
est mieux dirigé en hauteur grâce au noyau (Figure 22), les conditions numériques se
rapprochent des conditions analytiques (Tableau 3).
Dans le modèle par expérimentation simulée les demi-bobines situées à l’extérieur de la
fenêtre la différence d’énergie entre la valeur numérique et analytique est de 101% et
167% respectivement pour les bobines primaires et secondaire. A l’intérieur de ces
bobines, les lignes de champ ne sont pas droites et verticales mais ellipsoïdes. L’erreur
vient principalement de cet endroit. Cette erreur devient encore plus importante si les
enroulements sont éloignés du noyau.
[J] Extérieur de la fenêtre Intérieur de la fenêtre
Bobine primaire 8.44e-4
1.21e-3
Bobine secondaire 6.36e-4
1.21e-3
Tableau 3 : Energie [J] contenues dans les demi-bobines primaires et secondaires, à
l’intérieur et à l’extérieur de la fenêtre obtenue par expérimentation simulée. Selon le
modèle analytique la valeur de l’énergie est de 1.7e-3
J.
Figure 22 : Lignes de flux simulées numériquement sur les bobines à l’extérieure (côté
gauche) et à l’intérieur (côté droit) de la fenêtre.
Density Plot: |B|, Tesla
3.800e-002 : >4.000e-002
3.600e-002 : 3.800e-002
3.400e-002 : 3.600e-002
3.200e-002 : 3.400e-002
3.000e-002 : 3.200e-002
2.800e-002 : 3.000e-002
2.600e-002 : 2.800e-002
2.400e-002 : 2.600e-002
2.200e-002 : 2.400e-002
2.000e-002 : 2.200e-002
1.800e-002 : 2.000e-002
1.600e-002 : 1.800e-002
1.400e-002 : 1.600e-002
1.200e-002 : 1.400e-002
1.000e-002 : 1.200e-002
8.000e-003 : 1.000e-002
6.000e-003 : 8.000e-003
4.000e-003 : 6.000e-003
2.000e-003 : 4.000e-003
<0.000e+000 : 2.000e-003
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
50
L’énergie stockée dans le fer est négligeable. Elle représente 0.09/10'000 de l’énergie
totale pour les dimensions standards et peut donc être négligée dans le modèle analytique
d. Electrostatique
i. Précision du modèle analytique
Pour pouvoir comparer des modèles équivalents, l’extension 3D est mise temporairement
de côté.
L’espace autour du transformateur est divisé en 16 parties et le pourcentage de l’énergie
électrostatique par rapport à l’énergie totale est mesuré (Figure 23).
L’énergie est essentiellement emmagasinée entre les enroulements et le noyau aux
endroits où ces éléments constituent des capacités planes. Le modèle analytique prend
seulement en compte l’énergie à ces emplacements. Néanmoins jusqu’à 6.4% de
l’énergie avec les dimensions standards peut être emmagasinée entre le haut et le bas des
bobines extérieures et le noyau. Ceci peut être la cause de la différence entre les
différents modèles.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
51
v1=0, v2=1
v1=1, v2=0
22.9%
3.4% 0% 0% 3.9% 5.2% 28.2% 0% 0% 27.3%
0.3% 1.8%
3% 0.7%
3.1%
9% 9.2% 9.5% 9.5% 0% 8.8% 8.7% 9.5% 9.5%
0%
0% 3.2% 3.2%
0%
0%
20.1%
0%
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
52
v1=1, v2=1
Figure 23: Répartition de l'énergie électrostatique en 2D (sur la longueur l) pour les
différentes configurations permettant de mesurer les capacités (dimensions standards).
Valeurs en % de l’énergie totale du modèle numérique. Champ scalaire des tensions.
Le modèle analytique et l’expérimentation simulée sont directement comparés dans les
zones définies par le modèle analytique (Tableau 4). Sur le modèle analytique l’énergie
entre les bobinages ou entre un bobinage et le noyau ne dépend pas s’il se trouve à
l’intérieur ou l’extérieur de la fenêtre. Dans le modèle numérique, les conditions aux
limites changent, l’énergie est donc différente à l’intérieur et à l’extérieur de la fenêtre.
Pour comparer les modèles la moyenne de l’énergie entre les surfaces intérieures et
extérieures a été calculée dans l’expérimentation simulée.
1.4% 0.7% 0.8% 1.6% 6.7% 24.9% 0.8% 0.7% 24.4%
3.8%
0.1% 0.6% 2.8%
0.3%
2.2% 28.6%
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
53
Energie Expérimentation
simulée
Modèle
analytique Erreur
Wpsg1 1.63E-11 1.66E-11 -1.9%
Wpsg2 5.48E-12 5.97E-12 -8.3%
Wps3 2.70E-12 2.66E-12 1.7%
Wpc 2.70E-12 2.66E-12 1.7%
Wpsd1 1.22E-10 1.16E-10 4.9%
Wpsd2 8.98E-11 9.56E-11 -6.0%
Wpch 2.64E-12 2.66E-12 -0.8%
Wsch 5.00E-11 4.98E-11 0.4%
Wss 6.78E-12 1.24E-12 444.8%
Wpsg1 1.63E-11 1.66E-11 -1.9%
Energie
totale v1=1,
v2=0
1.57E-11 1.33E-11 18.1%
Energie
totale v1=0,
v2=1
2.19E-10 1.84E-10 19.1%
Energie
totale v1=1,
v2=1
1.82E-10 1.61E-10 13.6%
Tableau 4 : Comparaison énergie stockée dans les différentes parties entre le modèle
analytique et l’expérimentation simulé en 2 dimensions, transformateur aux dimensions
standards.
Lors du calcul de l’énergie électrostatique totale contenue dans le transformateur,
l’énergie contenue dans les différentes zones vont s’ajouter. Le paramètre important n’est
donc pas seulement l’erreur relative mais aussi la valeur de l’énergie. Une grande erreur
relative sur une petite valeur n’aura pas une influence important dans une sommation où
se trouvent de grandes valeurs. Une comparaison est réalisée entre le modèle analytique
et le modèle numérique dans les zones définies pour le modèle analytique. Dans tous les
cas où l’épaisseur d’isolation est de 1 mm, l’erreur est inférieur à 10%. L’erreur n’est pas
constante. Parfois elle’ est négatives, d’autres fois positive.
Entre les bobines secondaires, l’erreur est beaucoup plus élevée mais la différence
d’énergie ne représente que 3% de l’énergie totale. La différence réside dans le fait que
l’épaisseur d’isolation entre ces bobines est nettement plus grande que les autres
épaisseurs d’isolation.
La source de l’erreur a donc deux origines. L’approximation analytique du champ
électrique à l’intérieur des zones définies n’est pas exacte et de l’énergie est
emmagasinée à l’extérieure des zones prises définies pour le modèle analytique. Afin de
mettre en évidence le rôle de ces deux phénomènes, une série de transformateurs sont
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
54
simulés en faisant varier la hauteur et l’épaisseur des bobines. Dans ces expérimentations
toutes les épaisseurs d’isolation sont égales et constantes. On définit l’élongation comme
le rapport entre la hauteur des bobines et l’épaisseur de l’isolation.
En premier on démontre que le paramètre principal qui détermine l’erreur entre les
modèles est l’élongation soit le rapport entre l’épaisseur d’isolation et la hauteur des
bobines. L’erreur en fonction de l’élongation est calculée pour différentes épaisseur
d’isolation. Quel que soit l’élongation, l’erreur varie que de 3 points entre les différentes
épaisseurs d’isolation (Graphique 5). La seule exception est pour l’essai v1=1, v2=0
lorsque l’élongation est petite. Avec une faible épaisseur d’isolation, les bobines du
primaire se retrouvent plus proches du noyau connecté à la masse. Le champ au sommet
de ces bobines est donc plus fort.
v1=1, v2=0
v1=0, v2=1
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
0 20 40 60 80 100 120
Err
eu
r en
tre m
od
èle
s
Elongation (bb / is)
0.001
0.003
0.005
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
0 20 40 60 80 100 120
Err
eu
r en
tre m
od
èle
s
Elongation (bb / is)
0.001
0.003
0.005
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
55
v1=1, v2=1
Graphique 5:Comparaison entre le modèle analytique et l'expérimentation simulée en
fonction de l’élongation pour des épaisseurs d'isolation de 1, 3 et 5 mm.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
0 20 40 60 80 100 120
Err
eu
r en
tre m
od
èle
s
Elongation (bb / is)
0.001
0.003
0.005
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
56
v1=1, v2=0
v1=0, v2=1
v1=1, v2=1
Graphique 6:erreur analytique-numérique en fonction de la hauteur des bobines, largeur
des bobines de 0.5, 0.1 et 1.5 cm, comparaisons en deux dimensions.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
0 20 40 60 80 100 120
Err
eu
r en
tre m
od
èle
s
Elongation (bb / is)
0.005
0.010
0.015
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
0 20 40 60 80 100 120
Err
eu
r en
tre m
od
èle
s
Elongation (bb / is)
0.005
0.010
0.015
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
57
L’erreur entre le model analytique et l’expérimentation simulée en fonction de
l’élongation est mesurée pour différentes épaisseur de bobines du primaire et du
secondaire. L’épaisseur des bobines du primaire sont toujours égales dans ces simulations
aux épaisseurs des bobines du secondaire.
Lorsque l’élongation augmente, l’erreur entre le modèle analytique et numérique diminue
pour les cas v1=1, v2=0 et v1=0, v2=1 (Graphique 6). L’énergie totale emmagasinée entre
les bobines augmente avec la hauteur de celle-ci alors que l’énergie emmagasinée à
l’extérieure des entrefers reste constante. L’erreur entre les modèles lorsque la hauteur de
la bobine tend vers l’infini est l’erreur sur l’énergie entre les entrefers puisque l’énergie
emmagasinée en dehors des entrefers devient négligeable par rapport à l’énergie totale.
Lorsque la hauteur des bobines est petite et plus les bobines sont étroites, plus l’erreur est
grande. Lorsque les bobines sont étroites les surfaces à des tensions différentes sont plus
proches, le champ électrique est plus fort (Tableau 5). Particulièrement la bobine du
secondaire se trouve plus proche du noyau (mis à la terre) lorsque la bobine du primaire
est étroite. La surface supérieure sur une bobine plus large n’a pas un effet aussi
important que le champ électrique plus important sur une bobine étroite car l’énergie
dépend du carré du champ électrique et est seulement proportionnelle au volume.
Lorsque le primaire et le secondaire sont à la tension nominale, l’écart de tension entre
les bobines devient plus faible. Le gradient de tension diminue ainsi que le champ
électrostatique. L’énergie contenue à l’extérieur des entrefers est plus faible que dans les
autres cas.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
58
ep=es=0.005 m ep=es=0.015 m
v1=1
v2=0
v1=0
v2=1
v1=1
v2=1
Tableau 5 : Comparaison du champ de électrique et des équipotentielles pour des
enroulements de 0.005 m ou de 0.015 m de largeur pour les cas v1=1, v2=0 , v1=0, v2=1 et
v1=1, v2=1.
ii. Influence de la cuve
La cuve dans laquelle se trouve le transformateur est mise à la terre. Dans la simulation
numérique, cette cuve représente également les conditions aux limites. Entre cette cuve et
les enroulements de l’énergie électrostatique non prise en compte dans le modèle
analytique est contenue. L’influence de cette cuve sur l’erreur entre le modèle analytique
et l’expérimentation simulée ainsi que sur les capacités parasite est examinée. Une série
de simulations sont exécutées en faisant varier la largeur de la cuve et sa hauteur dans les
mêmes proportions. Seule la capacité entre le secondaire et le sol est affectée par la
présence de la cuve (Graphique 7). L’enroulement du secondaire est celui qui se situe la
plus près de la cuve, des deux côtés du transformateur. L’influence de la cuve diminue
très rapidement. La capacité entre le secondaire et la cuve diminue comme l’inverse de la
Density Plot: |E|, V/m
6.650e+002 : >7.000e+002
6.300e+002 : 6.650e+002
5.950e+002 : 6.300e+002
5.600e+002 : 5.950e+002
5.250e+002 : 5.600e+002
4.900e+002 : 5.250e+002
4.550e+002 : 4.900e+002
4.200e+002 : 4.550e+002
3.850e+002 : 4.200e+002
3.500e+002 : 3.850e+002
3.150e+002 : 3.500e+002
2.800e+002 : 3.150e+002
2.450e+002 : 2.800e+002
2.100e+002 : 2.450e+002
1.750e+002 : 2.100e+002
1.400e+002 : 1.750e+002
1.050e+002 : 1.400e+002
7.000e+001 : 1.050e+002
3.500e+001 : 7.000e+001
<0.000e+000 : 3.500e+001
Density Plot: |E|, V/m
6.650e+002 : >7.000e+002
6.300e+002 : 6.650e+002
5.950e+002 : 6.300e+002
5.600e+002 : 5.950e+002
5.250e+002 : 5.600e+002
4.900e+002 : 5.250e+002
4.550e+002 : 4.900e+002
4.200e+002 : 4.550e+002
3.850e+002 : 4.200e+002
3.500e+002 : 3.850e+002
3.150e+002 : 3.500e+002
2.800e+002 : 3.150e+002
2.450e+002 : 2.800e+002
2.100e+002 : 2.450e+002
1.750e+002 : 2.100e+002
1.400e+002 : 1.750e+002
1.050e+002 : 1.400e+002
7.000e+001 : 1.050e+002
3.500e+001 : 7.000e+001
<0.000e+000 : 3.500e+001
Density Plot: |E|, V/m
1.900e+003 : >2.000e+003
1.800e+003 : 1.900e+003
1.700e+003 : 1.800e+003
1.600e+003 : 1.700e+003
1.500e+003 : 1.600e+003
1.400e+003 : 1.500e+003
1.300e+003 : 1.400e+003
1.200e+003 : 1.300e+003
1.100e+003 : 1.200e+003
1.000e+003 : 1.100e+003
9.000e+002 : 1.000e+003
8.000e+002 : 9.000e+002
7.000e+002 : 8.000e+002
6.000e+002 : 7.000e+002
5.000e+002 : 6.000e+002
4.000e+002 : 5.000e+002
3.000e+002 : 4.000e+002
2.000e+002 : 3.000e+002
1.000e+002 : 2.000e+002
<0.000e+000 : 1.000e+002
Density Plot: |E|, V/m
1.900e+003 : >2.000e+003
1.800e+003 : 1.900e+003
1.700e+003 : 1.800e+003
1.600e+003 : 1.700e+003
1.500e+003 : 1.600e+003
1.400e+003 : 1.500e+003
1.300e+003 : 1.400e+003
1.200e+003 : 1.300e+003
1.100e+003 : 1.200e+003
1.000e+003 : 1.100e+003
9.000e+002 : 1.000e+003
8.000e+002 : 9.000e+002
7.000e+002 : 8.000e+002
6.000e+002 : 7.000e+002
5.000e+002 : 6.000e+002
4.000e+002 : 5.000e+002
3.000e+002 : 4.000e+002
2.000e+002 : 3.000e+002
1.000e+002 : 2.000e+002
<0.000e+000 : 1.000e+002
Density Plot: |E|, V/m
1.900e+003 : >2.000e+003
1.800e+003 : 1.900e+003
1.700e+003 : 1.800e+003
1.600e+003 : 1.700e+003
1.500e+003 : 1.600e+003
1.400e+003 : 1.500e+003
1.300e+003 : 1.400e+003
1.200e+003 : 1.300e+003
1.100e+003 : 1.200e+003
1.000e+003 : 1.100e+003
9.000e+002 : 1.000e+003
8.000e+002 : 9.000e+002
7.000e+002 : 8.000e+002
6.000e+002 : 7.000e+002
5.000e+002 : 6.000e+002
4.000e+002 : 5.000e+002
3.000e+002 : 4.000e+002
2.000e+002 : 3.000e+002
1.000e+002 : 2.000e+002
<0.000e+000 : 1.000e+002
Density Plot: |E|, V/m
1.900e+003 : >2.000e+003
1.800e+003 : 1.900e+003
1.700e+003 : 1.800e+003
1.600e+003 : 1.700e+003
1.500e+003 : 1.600e+003
1.400e+003 : 1.500e+003
1.300e+003 : 1.400e+003
1.200e+003 : 1.300e+003
1.100e+003 : 1.200e+003
1.000e+003 : 1.100e+003
9.000e+002 : 1.000e+003
8.000e+002 : 9.000e+002
7.000e+002 : 8.000e+002
6.000e+002 : 7.000e+002
5.000e+002 : 6.000e+002
4.000e+002 : 5.000e+002
3.000e+002 : 4.000e+002
2.000e+002 : 3.000e+002
1.000e+002 : 2.000e+002
<0.000e+000 : 1.000e+002
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
59
distance. La capacité formée entre la cuve et le secondaire est placée en parallèle à la
capacité existante cette nouvelle capacité vient s’ajouter à la capacité existante.
Graphique 7 : Valeur des capacités parasites en fonction de la largeur de la cuve,
transformateur aux dimensions standards.
1.00E-11
1.50E-11
2.00E-11
2.50E-11
3.00E-11
3.50E-11
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Cap
acit
é [
F]
Largeur de la cuve [m]
C1s
C2s
C12
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
60
6. Mise en œuvre de l’environnement L’environnement se compose d’une interface Excel et du logiciel FEMM.
a. Implantation du modèle analytique dans Excel
L’environnement d’optimisation utilisé est celui d’Excel pour la facilité qu’il offre à
entrer des données de manière structurée.
Les variables sont regroupées en catégories pour faciliter leur repérage. Elles ne sont pas
groupées en fonction du modèle auquel elles appartiennent mais plutôt selon leur
utilisation dans l’interface.
- La catégorie « géométrique » qui concentre les dimensions de base du
transformateur.
- La catégorie « valeurs techniques » qui regroupe des variables propres au
fonctionnement du transformateur, comme la densité de courant sur les
enroulements.
- La catégorie « constantes physiques » qui regroupe les variables propres aux
matériaux utilisés, comme leur densité ou leur perméabilité et les constantes
physiques.
- La catégorie « simulation » qui regroupe les variables d’entrée utilisées
uniquement pour les simulations par éléments finis
- Une catégorie « optimisation » qui regroupe les contraintes de l’optimisation qui
dépendent d’autres variables.
Deux autres catégories regroupent uniquement des valeurs calculées à l’aide
d’approximations et de lois physiques :
- La catégorie « performances » qui regroupe les valeurs calculées avec les modèles
analytique. et mécaniques.
- La catégorie « résultats simulation » qui regroupe les valeurs des inductances et
capacités calculées par calcul des champs et les compare aux résultats du modèle
analytique.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
61
Figure 24: Interface de dimensionnement Excel. Colonnes de gauche à droite : Catégorie de
la variable, description de la variable, symbole, valeur et unité de la variable, équation si la
variable est déduite à partir des autres variable. A droite se situe un schéma du
transformateur permettant de visualiser ses proportions.
Chaque variable est présentée par sa description, son symbole, son unité dans le système
international, et son expression si elle est dépendante d’autres variables (Figure 24). Sa
case apparaît alors en couleur.
Certaines dimensions sont calculées à partir d’autres dimension mais ne peuvent pas être
négatives. C’est pour cela que les dimensions calculées sont choisies tel qu’elles sont le
résultat d’une addition de dimensions forcées à être positives ou nulles mais pas de
soustraction. Ainsi les dimensions de la fenêtre sont calculées à partir des dimensions des
isolations et des bobine et non pas le contraire (une dimension de l’isolation définie à
partir de la largeur de la fenêtre)
b. Implantation de l’outil d’optimisation
L’optimisation est réalisée grâce au solver implémenté dans Excel. Le solver demande de
spécifier l’objectif, si l’objectif est à minimiser ou maximiser, les cellules variables et les
contraintes à travers une fenêtre de dialogue (
Figure 25).
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
62
Figure 25: Fenêtre de dialogue pour le réglage du solver.
Le solver ne prenant pas en compte les équations du problème, nous devons conditionner
le problème pour qu’aucune erreur n’apparaisse lors de la résolution des équations.
L’erreur la plus fréquente est de diviser une valeur pas 0. Pour identifier ce problème
toutes les variables sont initialisées à une valeur quelconque supérieure à 0 puis forcées
les unes après les autres à 0. L’influence du passage à 0 d’une variable sur les valeurs
calculées est observée. Si une division par 0 intervient une variable supplémentaire est
introduite qui reprend le même nom de la variable suivit du mot « var ». Cette variable
sera la variable utilisée dans les calculs et sera liée à son image utilisée dans les calculs
par la relation non-linéaire suivante :
- Si la variable est plus petite que 10-9
son image sera 10-9
.
- Si la variable est plus grande que 10-9
son image est égale à la valeur de la
variable.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
63
c. Implantation du calcul des champs
Le calcul des champs est lancé à partir d’une macro d’Excel qui s’exécute quand la
fonction qui lui est associée est appelée à l’intérieur de la feuille de calcul (Figure 26).
Les caractéristiques du transformateur sont écrites dans le fichier entree.txt puis le
logiciel FEMM est lancé ainsi que le script FEMM écrit avec le langage lua. Le script
FEMM va dessiner le transformateur, lancer la simulation et écrire le résultat dans le
fichier sortie.txt. La macro va ensuite récupérer le résultat et l’écrire dans la feuille de
calcul Excel.
Une valeur d’un paramètre nulle ou très petite peut créer une erreur dans FEMM. Une
distance nulle peut par exemple superposer deux conditions aux limites différentes,
générant une erreur. La même méthode que dans l’outil d’optimisation est appliquée en
insérant une variable image. La valeur minimale de la variable est de 10-5
pour rester au-
dessus de la résolution de FEMM.
Figure 26: Interface entre Excel et FEMM. Les étapes sont numérotées dans l'ordre
chronologique.
Excel Macro
Excel
Entee.txt
FEMM et
instruction .lua Sortie.txt
1. appel
de la fonction
7. écriture
du résultat
2. écriture des
variables
3. lancement de
FEMM
et du script
5. écriture du résultat
6. lecture du résultat
4. lecture des variables par FEMM
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
64
7. Applications
a. Analyse de compromis masse vs. rendement
Même le modèle analytique simple permet de cerner les principaux compromis qui seront
réalisés pour l’optimisation du transformateur.
On fixe une contrainte et on optimise un paramètre. On renouvèle ensuite l’optimisation
en faisant varier la contrainte. On obtient ainsi une courbe d’optimum en fonction de la
contrainte. La sensibilité de certains paramètres sur le design peut aussi être analysée de
cette manière.
Le compromis qui va être illustré est celui d’un poids minimal vis-à-vis du rendement.
Les variables sont constituées des dimensions géométriques du transformateur, de la
densité de courant j et du champ magnétique d’induction Bmax. La densité de courant est
limitée à un maximum pour ne pas atteindre un échauffement trop important et le champ
magnétique est limité pour rester dans la zone linéaire.
La fréquence de fonctionnement de 1 kHz et la puissance du transformateur de 1kW sont
imposés. Le rendement est aussi imposé pour chaque optimisation et on le fait varier
d’une optimisation à l’autre. Pour comprendre le travail de l’optimisation il est utile de
rappeler les formules de la puissance du transformateur et de la valeur des pertes joules et
fer.
√
(
)
Pour limiter la masse du transformateur, il faut réduire ses dimensions tout en gardant sa
puissance à une valeur donnée. Les seuls paramètres qui n’influencent pas directement la
masse dans l’équation de la puissance du transformateur sont la densité de courant, le
champ magnétique et la fréquence qui est fixée. Les deux autres paramètres sont portés à
leur maximum. Le compromis se joue ensuite entre la masse de fer influencée par la
section du noyau et la section de cuivre des enroulements. Un changement dans la surface
de la section du noyau influencera aussi la masse de cuivre puisque dans le périmètre de
la section du noyau donc la longueur moyenne des spires sera aussi affectée. Pour limiter
la longueur moyenne des spires donc leur poids, l’épaisseur d’isolation est fixée au
minimum. Une fois ces dimensions fixées, les pertes en découlent. Si le rendement doit
être augmenté les pertes doivent diminuer. La densité de courant et le champ magnétique
étant au carré dans les formules des pertes, ces paramètres doivent être diminués en
priorité. Pour conserver une puissance du transformateur constante il faudra alors
augmenter les dimensions donc les poids du transformateur. Il est encore possible de
diminuer les pertes en augmentant la masse de fer et diminuant la masse de cuivre pour
garder la puissance fixée.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
65
Le résultat des optimisations (Graphique 8) montre que l’on peut facilement augmenter le
rendement jusqu’à environ 99.6% sans avoir un gros impact sur la masse. Pour obtenir un
rendement supérieur, l’impact sur l’augmentation de la masse sera nettement plus
important. Il semble très compliquer d’avoir un rendement excédent 99.8% en gardant les
paramètres que l’on a fixés comme la fréquence nominale ou la configuration du
transformateur. Pour parvenir à un rendement supérieur, la densité de courant et de
champ magnétique diminuent (Graphique 9).
Graphique 8 : Rendement du transformateur en fonction de la masse optimisée.
Graphique 9: Champ magnétique et densité de courant normalisée en fonction du
rendement.
98.4%
98.6%
98.8%
99.0%
99.2%
99.4%
99.6%
99.8%
100.0%
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40
Re
nd
em
en
t [%
]
Masse du transformateur [Kg]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
98.5% 99.0% 99.5% 100.0%
Pa
ram
ètr
e n
orm
alis
é
Rendement [%]
B / 2
j / 1e7
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
66
b. Conception d’un prototype de validation du modèle de dimensionnement
électromagnétique
Afin de vérifier les prédictions de l’expérimentation simulée des champs, un prototype
est conçu. La valeur de ses inductances et capacités peuvent déterminée à l’aide d’une
identification paramétrique sur sa réponse en fréquence. La fréquence de résonnance doit
être aussi petite que possible afin de pouvoir la mesurer précisément à l’aide des appareils
conventionnels disponibles dans un laboratoire d’électronique de puissance. Le noyau
utilisé pour fabriquer le prototype est un noyau en ferrite qui a des dimensions fixée.
C’est le seul noyau en ferrite disponible au laboratoire. Pour simplifier la construction du
prototype, le transformateur sera constitué seulement de deux bobines concentriques.
Une optimisation avec la fréquence de résonnance comme fonction à minimiser et les
dimensions des bobines ainsi que le rapport de transformation comme variables d’entrés
est exécutée. Des contraintes sont ajoutées. Contrairement à l’optimisation d’un
transformateur les contraintes ne sont pas seulement géométriques mais aussi
constructives. L’expression de la fréquence de résonnance fres à partir du circuit
équivalent est trouvée à l’aide du logiciel de résolu de circuits Solve Elec 2.52.
√
( )
Il apparaît que pour minimiser la fréquence de résonnance il est nécessaire d’obtenir un
rapport de transformation et une distance entre les bobinages aussi petits que possible
afin d’augmenter les capacités équivalentes. Les dimensions du noyau sont imposées par
le stock disponible au laboratoire. Nous ne pouvons donc avoir aucune influence sur
l’inductance mutuelle.
Au vu de l’art que requière le bobinage d’un transformateur des contraintes constructives
s’imposent sur les dimensions des bobines et le rapport de transformation.
- Le rapport de transformation minimum est imposé à 1/50
- L’épaisseur minimale d’isolation de 3 mm, correspondant à l’épaisseur d’une
plaque en plexiglas.
Plus le transformateur est grand, plus les surfaces entre les bobines seront grandes et la
quantité d’énergie magnétostatique emmagasinée à densité de courant constante sera
élevée. Ainsi les capacités et inductances de fuites seront grandes et la fréquence de
résonnance petite. La taille de notre transformateur est limitée par les dimensions du
noyau. Il est donc difficile d’obtenir une fréquence de résonnance basse. L’optimisation
sur la fréquence de résonnance a donc conduit à un transformateur dont les bobines sont
très grandes pour maximiser leur surface et les capacités de couplage.
La tension d’entrée au primaire est imposée par le générateur disponible et le champ
d’induction est choisi en fonction de la caractéristique B-H du noyau (Graphique 10). Il
est choisi dans le coude de saturation pour minimiser le nombre de spires nécessaires en
2 http://www.physicsbox.com/indexsolveelec2fr.html
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
67
évitant les effets non-linéaires dû à la saturation. Il sera de 200 mT. La fréquence
nominale est imposée par les caractéristiques du générateur. Elle est choisie aussi élevée
que possible afin de mettre en évidence les éléments parasites. Le nombre de spire au
primaire est déduit à l’aide de l’équation de la tension induite :
√ Le nombre de spires au secondaire est déterminé par le rapport de transformation choisis.
La surface de cuivre des bobines étant données, il est alors possible de déterminer le
diamètre des fils de cuivre. Le diamètre normalisé le plus proche du diamètre calculé et
choisis et les dimensions du prototype sont ajustées en conséquence. Ces nouvelles
dimensions seront adoptées pour la prédiction des caractéristiques.
Lors de l’optimisation plusieurs problèmes sont apparus.
- Le diamètre du fil du cuivre du primaire est de 8 mm. Il est très difficile de
réaliser une petite bobine avec un diamètre si gros.
- La fréquence de résonnance la plus basse obtenue était de l’ordre de 300 MHz. Il
est très difficile de mesurer une telle fréquence avec les appareils du laboratoire.
D’autres essais d’identification paramétriques pourraient être réalisés comme un
échelon unité mais les éléments parasites son si petits qu’ils sont difficiles à
mesurer précisément.
- Le nombre de spires au primaire devrait être de 9. Avec un rapport de
transformation de 1/50, cela donne 450 spires au secondaire. Au vu de la
fréquence de résonnance déjà élevée, il devient impossible de mettre des
contraintes de construction plus réalistes.
Pour ces raisons, le prototype n’a pas été construit.
Graphique 10: Caractéristique B-H de la ferrite composant le noyau à f=100 kHz et 25°C.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
68
c. Dimensionnement d’un transformateur pour une alimentation modulaire à
résonance
L’interface développée est utilisée afin d’optimiser un transformateur d’impulsion qui
doit être utilisé pour une alimentation à klystron. Ces alimentations seront modulaires.
Elles seront composées de plusieurs transformateurs. Il est important qu’ils ne prennent
pas trop de place.
i. Cahier des charges du transformateur
Le transformateur doit répondre au cahier des charges suivant :
- Fréquence : 20 KHz
- Puissance de dimensionnement : 2.4 MVA
- Tension efficace au primaire : 2600 V
- Tension d’isolation primaire-secondaire : 127 kV
- Rapport de transformation : 0.1 -
- Champ électrique disruptif : 1.5e6 V/m
- Tension de court-circuit max.: 0.07 p.u. (per unit)
Cette dernière condition se traduit immédiatement par une contrainte sur l’inductance de
fuite. La valeur de la tension de court-circuit vc-c en p.u est :
La tension est imposée et le courant est imposé à travers la puissance de
dimensionnement.
Dans cette optimisation on minimise la masse.
ii. Dimensionnement analytique
Une optimisation est réalisée à partir de ce cahier des charges.
La densité de courant est fixée à 5 A / mm2. La densité de courant peut être élevée car
c’est un transformateur d’impulsions. Son échauffement n’est pas critique car le courant
est intermittent.
Les variables d’entrée sont :
- L’épaisseur et la hauteur des bobines primaire et secondaire. Toutes les bobines
ont les mêmes dimensions pour avoir une densité de courant identique.
- Les dimensions du noyau (largeur et profondeur)
- Le champ magnétique d’induction
- Le nombre de spire au primaire
Les épaisseurs d’isolation sont imposée afin qu’elles soient si fine que possible pour
limiter le poids du noyau mais que le champ électrique disruptifs ne soit pas excédé.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
69
Les contraintes sont issues du cahier des charges :
- Une tension de court-circuit inférieure à 0.07 p.u.
- Une puissance de 2.6 MVA
- Une tension au primaire de 2600 V
- Un rendement supérieur à 95 %
- Un champ d’induction inférieur au champ de saturation.
Le rapport de transformation étant connu et le nombre de spire au primaire une variable
d’entrée, le nombre de spires au secondaire sera déduit. La fréquence est imposée mais
n’est pas une contrainte car elle ne dépend d’aucune variable. Le nombre de spires au
primaire dépend du champ d’induction et de la tension au primaire qui est imposée.
La masse sera optimisée dans plusieurs scénarios avec le modèle analytique et
l’optimisation sera validée par calcul des champs.
iii. Étude de la sensibilité et de scénarios
Les divers scénarios consistent à utiliser deux matériaux différents afin de construire le
noyau.
- Une tôle Fe Si de la société Arnold Magnetics. Ce matériau s’appelle le Arnon 5.
- Une ferrite douce de la société Ferroxcube. C’est plus précisément la ferrite 3C85.
Ces matériaux étant constitués principalement de fer, leur masse volumique est
équivalente à celle du fer pur. La différence réside en la formule des pertes qui les
caractérisent ainsi que le champ de saturation (
Tableau 6). La formule des pertes pour la tôle Arnon est spécifique à la fréquence choisie.
Matériau Formule des pertes [W] Champ de saturation [T]
Tôle Arnon 5 1.48
Ferrite 3C85 0.3
Tableau 6 : Caractéristiques des matériaux utilisés pour le noyau.
Matériaux Rendement
[%]
Champ
d’induction
[T]
Masse
totale
[Kg]
Longueur
hors-tout
[m]
Largeur
hors-tout
[m]
Hauteur
hors-
tout [m]
Tôle
Arnon 5 95 % 0.3 270 0.333 0.515 1.140
Ferrite
3C85 99.7 % 0.3 279 0.336 0.519 1.124
Tableau 7: Caractéristiques obtenus au terme de l'optimisation pour le noyau en tôle et en
ferrite
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
70
Les transformateurs optimisés ont sensiblement la même masse et les mêmes dimensions
par contre leur rendement varie. La puissance de dimensionnement imposée dans ce cas
ne dépend que des dimensions, de la densité de courant imposée dans les deux scénarios
et du champ d’induction. Pour minimiser la masse il faut maximiser le champ
d’induction. Dans la ferrite le champ est maximisé jusqu’à la saturation. Avec la tôle le
champ est beaucoup plus faible que le champ de saturation. Il a dû être diminué pour
satisfaire la contrainte de rendement car les pertes sont trop élevées avec le champ
magnétique égal au champ de saturation.
Finalement ces transformateurs ont des dimensions et des poids similaires mais leurs
pertes sont différentes. Si on impose un rendement minimum de 96 %, le poids du
transformateur construit avec la tôle augment alors à 463 Kg. En fonction de la fréquence
et du rendement minimal, l’utilisation de tôle ou de ferrite est plus avantageuse. Avec un
rendement minimum imposé de 95 % à 20 kHz, la tôle atteint sa limite face à la ferrite.
Les transformateurs obtenus sont très grands. Ceci est dû à la minimisation de
l’inductance de fuite. Les bobines étant étroites et les isolations très épaisses, la majorité
de l’énergie magnétostatique est emmagasinée dans l’air et vaut pour rappelle :
Le paramètre le plus efficace dans notre cas pour minimiser cette énergie est la hauteur
des bobines. C’est sur ce paramètre que l’optimisation agit pour satisfaire les contraintes
de tension de court-circuit.
Le calcul des capacités parasites est très utile afin de calculer la fréquence de résonnance.
Le transformateur fonctionnant à 20 kHz la fréquence de résonnance doit être à au moins
10x le fondamental pour éviter les résonnances. Dans les deux cas les capacités,
l’inductance de fuite et l’inductance magnétisante sont similaires car les dimensions sont
similaires. On obtient une fréquence de résonnance d’environ 12 MHz dans les deux cas,
ce qui nous fournit une bonne marge de sécurité.
iv. Validation par calcul des champs
Les dimensions des deux cas analysés étant similaires, la validation par expérimentation
simulée est effectuée une seule fois.
Le transformateur étant très allongé (Figure 27), les erreurs sur les éléments parasites sont
petites (Tableau 8). L’optimisation effectuée sur le modèle analytique est donc valide.
L’erreur sur l’inductance de fuite, donc la tension de court-circuit n’est que de 4 %.
L’erreur sur la capacité entre le primaire et le secondaire est plus grande car l’isolation
entre le primaire et le secondaire est plus épaisse à cause de la contrainte sur la tension
d’isolation.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
71
Elément Erreur entre le modèle analytique et
l’expérimentation simulée. [%]
C1s 6 %
C2s 22 %
C12 28 %
Lsigma -4 %
Lm 6%
Tableau 8: Comparaison entre le modèle analytique et l'expérimentation simulée pour le
transformateur optimisé.
Figure 27: Géométrie du transformateur optimisé.
8. Conclusion
Une interface d’optimisation de transformateur a été conçue. Elle est composée d’un
modèle analytique qui se décompose en modèles électromagnétique, thermique et
mécanique et d’une expérimentation simulée. Le modèle analytique prend en compte les
capacités parasites et permet ainsi de prédire la fréquence de résonnance du
transformateur.
Les limites du modèle analytique ont été testées et démontrées. Sa fiabilité et son utilité
ont été prouvées sur quelques exemples.
Cette interface est maintenant prête à être utilisée afin de tester différents designs mettant
en jeu différentes contraintes et différents matériaux. Une évaluation de la meilleure
alternative pourra alors être exécutée.
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
72
9. Annexes
a. Equations du modèle de dimensionnement analytique
Variable Nom
variable Unité Equation
Entr
ée
s
Epaisseur de tôles du noyau
ept_ m
Largeur du noyau (niveau des enroulements)
ec_ m
Profondeur du noyau
l_ m
Hauteur des bobines
bb_ m
Epaisseur de la bobine du primaire
ep_ m
Epaisseur de la bobine du secondaire
es_ m
Epaisseur isolant en hauteur
isph_ m
Epaisseur isolation primaire
ispc_ m
Epaisseur isolation primaire-secondaire
isps_ m
Epaisseur isolation secondaire-secondaire
isss_ m
Perméabilité du vide
mu0_ Kgm/s2
A2
Perméabilité relative
mur_ -
Permittivité de l'isolant (air)
epsi0_ F/m
Conductivité du cuivre
sigma_ S/m
Coefficient de pertes par
ku_ UNITE
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
73
hysteresis
Coefficient de perte par hysteresis (indice)
x_ -
Cofficient de perte par courant de Foucault
kcf_ UNITE
Masse volumique Fer
roFer_ kg/m3
Masse volumique Cuivre
roCu_ kg/m3
Densité de courant (Valeur crête)
j_ A/m2
Nombre de spire du primaire
n1_ -
Nombre de spire du secondaire
n2_ -
Coefficient de remplissage du cuivre
alpha_ -
Frequence f_ Hz
Champs magnétique max.
bmax_ T
Tension nominale crête au primaire
v1nc_ V
Mo
dè
le é
lect
rom
agn
éti
qu
e
Courant total primaire (RMS)
I1_ A 2*Scup_*j_/n1_
Courant à vide total primaire RMS
i0_ A bmax_*lmn_/(mu0_*mur_*n1_*RACINE(2))
Tension induite au primaire (RMS)
v1_ V (n1_*Ae_*bmax_*2*PI()*f_)/RACINE(2)
Chute de tension, inductance de fuite
vsigma_ V I1_*2*PI()*f_*lsigma_
Rapport de transformation
u_ - n1_/n2_
Tension nominale crête au secondaire
v2nc_ V v1nc_/u_
Réluctance magnétique
rel_ A/Vs (1/(mu0_*mur_))*(lmn_/Ae_)
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
74
Energie magn de fuite dans l'air 3D
wmagair3d_
W mu0_*(j_*Scup_/bb_)^2*(1/2)*(mltp_+mlts_)*bb_*isps_
Energie magn de fuite dans les bobines prim 3D
wmagbobp3d_
W mu0_*mltp_*bb_*alpha_*j_^2*(1/3)*ep_^3
Energie magn de fuite dans les bobines sec 3D
wmagbobs3d_
W mu0_*mlts_*bb_*alpha_*j_^2*(1/3)*es_^3*(Scup_/Scus_)^2
Inductance mutuelle
lm_ H (n1_^2)/rel_
Inductance de fuite totale
lsigma_ H (2*(wmagair3d_+wmagbobp3d_+wmagbobs3d_))/I1_^2
Inductance de fuite totale
lsigmapu_ pu (lsigma_*2*PI()*f_*I1_)/v1_
Energie prim. core (v1=1, v2=0)
wpc_ W epsi0_*(ec_+l_)*(v1nc_^2/ispc_)*(1/3)*bb_
Energie prim. sec. (v1=1, v2=0)
wps3_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(v1nc_^2/isps_)*(1/3)*bb_
Energie prim. sec. (v1=0, v2=1) gauche
wpsg1_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(v2nc_^2/(4*isps_))*(1/3)*bb_
Energie prim. sec. (v1=0, v2=1) droit
wpsd1_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(v2nc_^2/(4*isps_))*(7/3)*bb_
Energie prim. Sec. (v1=1, v2=1) gauche
wpsg2_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*((v2nc_/2)-v1nc_)^2*(bb_/(3*isps_))
Energie prim. Sec. (v1=1, v2=1) droit
wpsd2_ W epsi0_*(ec_+4*ispc_+4*ep_+l_)*(bb_/isps_)*((7/12)*v2nc_^2-(7/12)*v1nc_*v2nc_+(1/3)*v1nc_^2)
Energie prim. core (dans isph)
wpch_ W epsi0_*ep_*l_*(v1nc_^2)/isph_
Energie sec. Core (2 bobines) (dans isph)
wsch_ W 0.5*epsi0_*es_*l_*(3*v2nc_^2)/(2*isph_)
Energie sec. Sec. (v1=0, v2=1)
wss_ W 0.5*epsi0_*l_*bb_*(1/isss_)*v2_^2/4
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
75
Energie: Prim. nominal, sec. Sol (v1=1, v2=0)
enercap1_ W 2*wps3_+wpch_+2*wpc_
Energie: prim. sol sec. Nom. (v1=0, v2=1)
enercap2_ W wpsg1_+wpsd1_+wsch_+wss_
Energie: Prim. nominal, sec. Nom. (v1=1, v2=1)
enercap3_ W wpsg2_+wpsd2_+2*wpc_+wpch_+wsch_+wss_
Capacité primiare-secondaire
_c12a_ F -(enercap3_-enercap2_-enercap1_)/(v1nc_*v2nc_)
Capacité primaire-sol
_c1sa_ F (2*enercap1_)/(v1nc_^2)-_c12a_
Capacité secondaire-sol
_c2sa_ F (2*enercap2_)/(v2nc_^2)-_c12a_
Capacité primaire-secondaire circuit éq.
_c12eq_ F _c12a_/u_
Capacité primaire-sol circuit éq.
_c2seq_ F _c2sa_+_c12a_*((1-u_)/u_^2)
Resistance du cuivre, primaire
rcup_ Ω (n1_^2*mltp_)/(2*sigma_*Scup_)
Resistance du cuivre, secondaire
rcus_ Ω (2*n2_^2*mlts_)/(sigma_*Scus_)
Résistance, pertes fer
rfe_ Ω v1_^2/pfe_
Puissance de dimmensionnement
S1_ VA (2*PI()/RACINE(2))*Ae_*bmax_*f_*j_*2*(Scup_+Scus_)
Pertes fer pfe_ W (ku_*bmax_^x_*f_+kcf_*bmax_^2*f_^2*ept_)*vfe_
Pertes Joule totales en charge
Pjtot_ W (1/sigma_)*(vcup_+vcus_)*j_^2
Pertes totales Ptot_ W Pjtot_+pfe_
rendement eta_ - (S1_-Ptot_)/S1_
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
76
frequence de résonnance
fres_ Hz RACINE((lm_+(lsigma_/2))/(2*lm_*(lsigma_/2)*(_c12eq_+_c2seq_)+2*(lsigma_/2)^2*(_c12eq_+_c2seq_)))
Mo
dè
le m
éca
niq
ue
Largeur de la fenêtre
a_ m 2*(ispc_+isps_+ep_+es_)+isss_
Hauteur de la fenêtre
b_ m bb_+2*isph_
Longeur moyenne d'une spire du primaire
mltp_ m 2*(l_+2*ispc_+ep_+ec_+2*ispc_+ep_)
Longeur moyenne d'une spire du secondaire
mlts_ m 2*(l_+2*ispc_+2*ep_+2*isps_+ec_+2*ispc_+2*ep_+2*isps_)
Section du noyau Ae_ m ec_*l_
Chemin magnétique du noyau
lmn_ m ((a_+ec_)+(b_+ec_))*2
Section Cuivre bobine primaire (1 bobine)
Scup_ m2 ep_*bb_*alpha_
Section Cuivre bobine secondaire (1 bobine)
Scus_ m3 es_*bb_*alpha_
Volume de cuivre, primaire (2 bobines)
vcup_ m3 2*alpha_*(mltp_*ep_*bb_)
Volume de cuivre, secondaire (2 bobines)
vcus_ m3 2*alpha_*(mlts_*es_*bb_)
Volume de cuivre, total
vcu_ m3 vcup_+vcus_
Volume de fer vfe_ m3 ((a_+2*ec_)*(b_+2*ec_)-a_*b_)*l_
Masse totale Cuivre
Mcu_ kg vcu_*roCu_
Masse noyau Mfer_ kg vfe_*roFer_
Masse totale transfo
Mtot_ kg Mcu_+Mfer_
Longeur hors tout lonht_ m l_+2*(ep_+es_+ispc_+isps_)
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
77
Largeur hors tout larht_ m a_+2*(ec_+ep_+es_+ispc_+isps_)
hauteur hors tout hht_ m b_+2*ec_
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
78
b. Caractéristiques du transformateur standard.
Variable Nom variable Valeur Unité
Géo
mét
rie
Epaisseur de tôles du noyau ept_ 0.011 m
Largeur du noyau (niveau des enroulements) ec_ 0.015 m
Profondeur du noyau l_ 0.030 m
Hauteur des bobines bb_ 0.030 m
Epaisseur de la bobine du primaire ep_ 0.010 m
Epaisseur de la bobine du secondaire es_ 0.010 m
Epaisseur isolant en hauteur isph_ 0.001 m
Epaisseur isolation primaire ispc_ 0.001 m
Epaisseur isolation primaire-secondaire isps_ 0.001 m
Epaisseur isolation secondaire-secondaire isss_ 0.020 m
Largeur de la fenêtre a_ 0.064 m
Hauteur de la fenêtre b_ 0.032 m
Longeur moyenne d'une spire du primaire mltp_ 0.138 m
Longeur moyenne d'une spire du secondaire mlts_ 0.186 m
Section du noyau Ae_ 0.000 m
Chemin magnétique du noyau lmn_ 0.252 m
Section Cuivre bobine primaire (1 bobine) Scup_ 2.7E-04 m2
Section Cuivre bobine secondaire (1 bobine) Scus_ 2.7E-04 m3
Volume de cuivre, primaire (2 bobines) vcup_ 7.5E-05 m3
Volume de cuivre, secondaire (2 bobines) vcus_ 1.0E-04 m3
Volume de cuivre, total vcu_ 1.7E-04 m3
Volume de fer vfe_ 1.1E-04 m3
Densité de courant (Valeur crête) j_ 30000 A/m2
Nombre de spire du primaire n1_ 100 -
Nombre de spire du secondaire n2_ 500 -
Coefficient de remplissage du cuivre alpha_ 0.9 -
Frequence f_ 1000 Hz
Champs magnétique max. bmax_ 2 T
Rapport de transformation u_ 0.2 -
cte
ph
ys
Perméabilité du vide mu0_ 1.26E-06 Kgm/s2A
2
Perméabilité relative mur_ 100000 -
Permittivité de l'isolant (air) epsi0_ 8.85E-12 F/m
Conductivité du cuivre sigma_ 6.00E+07 S/m
Coefficient de pertes par hystéresis ku_ 0.0 UNITE
Coefficient de perte par hystéresis (indice) x_ 2.5 -
Cofficient de perte par courant de Foucault kcf_ 11.0 UNITE
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
79
Masse volumique Fer roFer_ 7860 kg/m3
Masse volumique Cuivre roCu_ 8900 kg/m3
Schéma du transformateur aux dimensions standards
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
80
c. Nomenclature
Sur le rapport les indices sont utilisés pour éclaircir la notation. Dans l’interface Excel les
indices sont mis en lettre normale.
µ0 H/m Perméabilité du vide
µr - Perméabilité relative du fer
a m Largeur de la fenêtre
ae m Section du noyau
alpha, α - Coefficient de remplissage du cuivre
b m Hauteur de la fenêtre
bb m Hauteur des bobines
Bmax T Champ magnétique maximal dans le noyau
c J K-1
Kg-1
Chaleur spécifique de l’huile
C12 F Capacité entre le primaire et le secondaire
C12eq F Capacité équivalente entre le primaire et le secondaire
C1s F Capacité entre le primaire et le sol
C2s F Capacité entre le secondaire et le sol
C2seq F Capacité équivalente entre le secondaire et le sol
Cthhuile J / K Capacité thermique de l’huile
E V/m Champ électrostatique
ec m Epaisseur du noyau
ecuve m Epaisseur de la cuve
ep m Épaisseur de l’enroulement primaire
es m Épaisseur de l’enroulement du secondaire
f Hz Fréquence de la tension
fres Hz Fréquence de résonnance du transformateur
H A m2
Champ magnétique maximal dans le noyau
hht m Hauteur hors-tout
I0 A Courant à vide
I1 A Courant nominal du primaire
Ibobp A Courant d’une bobine du primaire
ispc m Epaisseur d’isolation entre l’enroulement primaire et le noyau
isph m Epaisseur d’isolation commune entre les enroulements et le
noyau
isps m Epaisseur d’isolation entre l’enroulement primaire et
secondaire
j A/m2 Densité de courant efficace dans les enroulements
j2c-c A/m2 Densité de courant efficace au secondaire en court-circuit
l m longueur
l1 m Distance entre le transformateur et la cuve 1
l2 m Distance entre le transformateur et la cuve 2
l3 m Distance entre le transformateur et la cuve 3
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
81
larht m Largeur hors-tout
Lm H Inductance mutuelle
lmhuile m Chemin moyen entre le transformateur et la cuve
lmn m Chemin moyen de magnétisation
lonht m Longueur hors-tout
Ls1, Lσ1 H Inductance de fuite du primaire
Ls2, Lσ2 H Inductance de fuite du secondaire ramenée au primaire
Mhuile Kg Masse de l’huile
mltp m Longueur moyenne d’une spore au primaire
mlts m Longueur moyenne d’une spire au secondaire
n1 - Nombre de spires au primaire
n2 - Nombre de spires au secondaire
Pcu W Pertes cuivre
Pfer W Pertes fer
Pth W Puissance dissipée par le transformateur
R Ω Résistance
R1 Ω Résistance de l’enroulement primaire
R2 Ω Résistance de l’enroulement secondaire ramené au primaire
Rcuve K / W Résistance thermique de la cuve
Rfer Ω Résistance équivalente du fer
Rhuile K / W Résistance thermique de l’huile
Rmagn A/Vs Inductance de magnétisation
S m2 Section d’un fil de cuivre
Scond m2 Surface du transformateur
Scup m2 Surface de cuivre d’une bobine primaire
Scus m2 Surface de cuivre d’une bobine secondaire
Tamb K Température ambiante
Ttrans K Température au niveau du transformateur
u - Rapport de transformation
V1 V Tension au primaire
V2 V Tension au secondaire
vc-c V Tension de court-circuit
Vcu m3 Volume des enroulements
Vcup m3 Volume de l’enroulement primaire
Vcus m3 Volume de l’enroulement secondaire
Vfe m3 Volume du noyau
W J Energie
We J Energie électrostatique totale
Wm J Energie magnétique
Wmair J Energie magnétique dans l’air
Wmairl J Energie magnétique dans l’air, modèle numérique 2D
Wmbobp J Energie magnétique dans la bobine primaire
Wmbobs J Energie magnétique dans la bobine secondaire
γ s Conductivité du cuivre
ε0 F/m Permittivité diélectrique
η - Rendement du transformateur
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
82
λcuve Jm-1
K-1
s-1
Conductivité thermique de la cuve
λhuile Jm-1
K-1
s-1
Conductivité thermique de l’huile
ρcu Ω m Résistivité du cuivre
φ T / m2
Flux magnétique
ω rad / s Pulsation
Wmbobpl J Energie magnétique dans la bobine primaire, modèle numérique 2D
Wmbobsl J Energie magnétique dans la bobine secondaire, modèle
numérique 2D
Wpc J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau
Wpsg1 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté
gauche, secondaire au nominal
Wpsd1 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté droit,
secondaire au nominal
Wpsg2 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté
gauche, primaire et secondaire au nominal.
Wpsd2 J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, côté droit,
primaire et secondaire au nominal
Wps3 J Energie électrostatique, entre le primaire et le secondaire, primaire
au nominal
Wss J Energie électrostatique entre les deux bobines secondaires
Wpch J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau, sommets des
bobines
Wsch J Energie électrostatique entre le secondaire et le noyau, sommets et
base des bobines
We1 J Energie électrostatique, primaire au nominal
We2 J Energie électrostatique, secondaire au nominal
We3 J Energie électrostatique, primaire et secondaire au nominal
Wepc J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau
Weps J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire
Wepcl J Energie électrostatique entre le primaire et le noyau, modèle
numérique 2D
Wepsl J Energie électrostatique entre le primaire et le secondaire, modèle
numérique 2D
Conception des transformateurs de puissance moyenne fréquence
83
d. Bibliographie
Chatelain Jean, Traité d’électricité : Machines électriques, Lausanne : PPUR, 1989.
René Boite et Jacques Neirynck, Traité d’électricité : Théorie des réseaux de Kirchhoff,
Lausanne : PPUR, 1996.
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Evaluation Methods for Non-sinusoidally Fed Medium-Frequency Power Transformers”,
in IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRIAL ELECTRONICS, vol. 56, n° 10, 2009.
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diagnostics, Trondheim: doctoral thesis, 2005.
Jan Havsager, Nysted Off-shore Windfarm, présentation power point, date inconnue.
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transformateurs de traction, présentation power point, 2001.
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Considerations for Medium-Frequency Power Transformers in OffshoreWind Farms”, in
European Conference on Power Electronics and Applications, 2009.
Sylvain Candolfi, le 19 janvier 2012, Québec.