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Calcul d’interaction fluide-structure parune méthode des volumes finis

E. Guilmineau, G. Accary & B. Juhel

Equipe Modélisation Numérique,CNRS UMR 6598, Laboratoire de Mécanique des Fluides,

Ecole Centrale de Nantes, Nantes, FRANCE

GDR INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE11 JUIN 2004, PARIS


INTRODUCTION [2/25]

�

�LES OBJECTIFS DE CETTE ÉTUDE

• L’analyse numérique des milieux continus a longtemps été diviséeentre la méthode des éléments finis (mécanique des solides) et laméthode des volumes finis (mécanique des fluides).

• Historiquement, la méthode des éléments finis est couramment utiliséepour des problèmes d’interaction fluide-structure.

• Depuis quelques années, la méthode des volumes finis se développe.

• Objectif :Développer une méthode des volumes finis non-structuréspour la déformation d’un solide et coupler cette méthode avec le codeNavier-Stokes ISIS.

• Illustration :Interaction d’une plaque verticale, encastrée en sonextrémité inférieure, placée dans un écoulement [Glück et al. (Journalof Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2001)]


[3/25]

��

� Plan de l’exposé

✘ Présentation du solveur Navier-Stokes : ISIS

➠ Caractéristiques du code

➠ Stratégies de remaillage

✘ Interaction Fluide-Structure

➠ Modèle de structure

➠ Validation

➠ Calcul d’interaction fluide-structure

✘ Conclusions


Présentation du solveurNavier-Stokes : ISIS


PRÉSENTATION DU SOLVEURNAVIER-STOKES : ISIS [5/25]

�

�CARACTÉRISTIQUES DU CODE1/4

Modélisation numérique des écoulements incompressibles turbulents

• Géométries complexes (maillages non-structurés)• Raffinement/agglomérationautomatique de maillage avec estimation

d’erreur a-posteriori ou indicateurs explicites• Modélisations statistiques de la turbulence (DES en évaluation)• Modélisation de la surface libre ou de la cavitation (capture

d’interfaces)

Algorithmes de déformation de maillages

• Déformation automatiquepour un maillage quelconque



�


Optimisation/contrôle intégré dans ISIS

• Algorithmes d’optimisation/contrôleDerivative-free ou génétiques• Algorithmes d’identification de modèlesréseaux de neurones

artificiels

Couplage avec le Principe Fondamental de la Dynamique

• Calcul du déplacement d’un ou plusieurscorps solides ou déformablesau sein d’un fluide

Locomotion anguilliforme



�


• Ecoulements incompressibles multi-phases• Equations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds• Raffinement/agglomération de maillages• Discrétisation volumes-finis totalement implicite

➠ Volumes finis de formes arbitraires➠ Précision du second ordre en espace et en temps➠ SIMPLE-like algorithm : Equation de pression➠ GMRES/CGSTAB + ILU(k) Solveurs➠ Version parallèlisée (MPI)

• Modélisation de la turbulence➠ 1 Eq : Spalart-Allmaras➠ 2 Eqs :K − ε, K − ω Wilcox/Menter, EASM, ASM➠ x Eqs :Rij − ω

➠ LES :D.E.S.



�


Equation de la masse :∂∂t

RV ρdV +

RS ρ(

−→U −

−→U d) · −→n dS = 0

Equations de quantité de mouvement :∂∂t

RV ρUidV +

RS ρUi(

−→U −

−→U d) · −→n dS =R

S(τijIj − pIi) · −→n dS +RV ρgidV

Equation de la concentration:∂∂t

RV cidV +

RS ci(

−→U −

−→U d) · −→n dS = 0

Propriétés globales du fluide :ρ =

Pi ciρi; µ =

Pi ciµi; 1 =

Pi ci

Loi de conservation géométrique :∂∂t

RV dV −

RS

−→U d · −→n dS = 0



�

�STRATÉGIES DE REMAILLAGE [1/3]

2 méthodes utilisables de manière hybride pour chaque d.d.l.

✘ Remaillage parpondération analytique

✘ Remaillage partechnique des ressorts



�


Remaillage par pondération analytique

• Pondération d’un mvt rigidifiant par uncoefficient := 1 sur les frontières du corps= 0 sur les autres frontières du domaine

• Calcul du coefficient attaché à chaquenoeud :résolution d’un Laplacien sur la configura-tion de référence

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Visualisation du coefficientpondérateur



�


Remaillage par technique de ressorts

• maillage <=> pseudo-structure

• Equilibre =>(Ktrac + Ktors)q = 0avecq = qimpose aux frontieres

Ktrac etKtors : matrices de raideur

q : vecteur déplacement des noeuds

• traitement des déformations quelconques

Oscillation d’un carré

k ik k jk

k ij

Ciijk

j

Ck

C ijk

ijk

k

i j

2D

k

j

i

3D


Interaction Fluide-Structure


INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE [13/25]

�

�MODÈLE DE STRUCTURE[1/2]

Modèle mathématique

✘ Hypothèse d’isotropie et d’homogénéité du matériau

✘ Comportement élastique du matériau (loi de Hook)

ρ∂2ui

∂t2=

∂σij

∂xj+ fi

σij = Hεkkδij + 2Gεij εij =1

2

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

!

✘ ρ : masse volumique de la structure,

✘ ui : composantes du vecteurdéplacement,

✘ t : temps,

✘ σij : composantes du tenseur descontraintes,

✘ fi : composantes des forces agissantsur le corps,

✘ εij : composantes du tenseur dedéformation,

✘ H etG : Coefficients de LaméH = Eν

(1+ν)(1−2ν), G = E

2(1+ν).



�

�MODÈLE DE STRUCTURE[2/2]

Modèle mathématique

✘ Approximation bidimensionnelle du problème de structure,

✘ Méthode des volumes finis,

ρ∂2

∂t2

ZV

ui dV −I

Sσij nj dS =

ZV

fi dV

✘ V : Volume de controle délimité par la surfaceS,

✘ ~n(nx, ny) vecteur normal à l’élémentde surfacedS.

=⇒ MU + KU = F

✘ U : vecteur des déplacement,

✘ M : matrice de masse,

✘ K : matrice de rigidité,

✘ F : vecteur des forces.

=⇒ Limitation à des problèmes stationnaires (U = 0)



�

�VALIDATION [1/3]

Plaque mince perçée soumise à une tension

xxtxxt

θrb

C

A

E D

B

a b

Domaine de calculy

x

✘ Plaque en acier :E = 2× 1011 Pa,ν = 0.3,

✘ Hypothèse de l’état plan de contraintes pour une tensiontxx = 108 Pa.



�

�VALIDATION [2/3]


X

Y

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.5

0.8

1.0

1.3

1.5

1.8

2.0σ

σ σ

(u,v)xy

yy xx



�

�VALIDATION [3/3]


Influence du raffinement de maillage



�

�CALCUL D ’ INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE[1/7]

Plaque flexible placée verticalement dans un écoulement

��

∝U

L=1m

3me=0.1m

✘ Module d’élasticité de la plaqueE = 0.5× 106Pa,

✘ Coefficient de Poissonν = 0.3,

✘ Masse volumique du fluideρf = 1kg/m3,

✘ Viscosité du fluideµf = 0.2Pa.s,

✘ Vitesse de l’écoulement à l’entréeU∞ = 10m/s,

✘ Effet du poids négligeable.



�


Ecoulement et déformation du maillage

-5 0 5 100

1

2

3



�


Déformation et contraintes dans la plaque

Tresca840.0807.6775.2742.8710.4678.0645.6613.2580.8548.4516.0483.6451.2418.8386.4354.0321.6289.2256.8224.4192.0159.6127.2

94.862.430.0

Déformation (× 10) Contraintes de Tresca



�


Influence du module d’élasticité

Déformation de la plaque (× 10)

E = 0.25× 106Pa E = 0.5× 106Pa E = 106Pa



�


Influence du module d’élasticité

Distribution des contraintes dans la plaque

Tresca835.0802.8770.6738.4706.2674.0641.8609.6577.4545.2513.0480.8448.6416.4384.2352.0319.8287.6255.4223.2191.0158.8126.6

94.462.230.0

Tresca840.0807.6775.2742.8710.4678.0645.6613.2580.8548.4516.0483.6451.2418.8386.4354.0321.6289.2256.8224.4192.0159.6127.2

94.862.430.0

Tresca830.0798.0766.0734.0702.0670.0638.0606.0574.0542.0510.0478.0446.0414.0382.0350.0318.0286.0254.0222.0190.0158.0126.0

94.062.030.0

E = 0.25× 106Pa E = 0.5× 106Pa E = 106Pa



�


Influence du nombre de Reynolds

Déformation de la plaque (× 10)

Re = 50 Re = 60 Re = 75



�


Influence du nombre de Reynolds

Distribution des contraintes dans la plaque

Tresca840.0807.6775.2742.8710.4678.0645.6613.2580.8548.4516.0483.6451.2418.8386.4354.0321.6289.2256.8224.4192.0159.6127.2

94.862.430.0

Tresca1200.01153.61107.21060.81014.4

968.0921.6875.2828.8782.4736.0689.6643.2596.8550.4504.0457.6411.2364.8318.4272.0225.6179.2132.8

86.440.0

Tresca2000.01921.61843.21764.81686.41608.01529.61451.21372.81294.41216.01137.61059.2

980.8902.4824.0745.6667.2588.8510.4432.0353.6275.2196.8118.4

40.0

Re = 50 Re = 60 Re = 75


CONCLUSION [25/25]

�

�Conclusions

✘ Développement d’une méthode des volumes finis pour la structure,

✘ Premier calcul d’interaction fluide-structure.

��

� Perspectives

✘ Envisager un régime instationnaire de l’interaction fluide-structure,

✘ Développer la méthode pour des configurations tridimensionnelles,

✘ Utiliser d’autres lois de comportement de la structure (modèle non-linéaire, ...).

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