Calcul Différentiel et Intégral 1

Exercices

Premier semestre

MATH-F-101

Les questions qui se trouvent ici sont pour la plupart du même style quevous rencontrerez pendant l’examen. Il y a des exceptions, par contre. Lapremière section “Introduction au calcul” serve pour vous driller dans le cal-cul et interpretation des dérivées et des intégrales, sans la mise en valeurde la rigueur. Ces questions sont alors d’un genre tout à fait différent deceux du reste du cours ainsi que les examens. Dans les autres sections,quelques exercices sont légèrement plus faciles que ceux des examens, afinde vous introduire doucement aux certains sujets. Il y a aussi des ques-tions plus avancées ou concernant de la matière qui ne forme pas partie del’examen. Toutes les questions dans les sections marquées avec ⋆ et, de plus,les questions individuelles avec l’avertisment “Question plus avancée” sont dece genre.

1

Contents

1 Introduction au calcul 31.1 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Calcul des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Équations différentielles 6

3 Préliminaires sur les nombres réels 8

4 Suites 104.1 Questions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

⋆ 4.2 Questions un peu plus avancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 Limites supérieurs et inférieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

⋆ 4.5 Une définition d’exponentielles par suites . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Fonctions continues 155.1 Limites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.3 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5 Fonctions continues à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Fonctions dérivables 206.1 Définition et calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.2 Théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.3 Règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.4 Dérivées directionnelles, partielles et le gradient . . . . . . . . . . . 22

7 Fonctions intégrables 237.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2 Quelques calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.4 Longueur des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.5 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.6 Champs conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

1 Introduction au calcul

1.1 Calcul des dérivées

1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

(a) f(x) = x6 − 3x4 + 19x3 − 8x+ 4

(b) f(x) = (2− x)(1− 5x)

(c) f(x) = 2−x1−5x

(d) f(x) = e−x2+3x

(e) f(x) = log(x2 + 1)

2. Rappelez-vous que la fonction log : {x ∈ R : x > 0} → R est la ré-ciproque de la fonction x 7→ ex.

(a) À partir de la formule eab = (ea)b, justifiez l’équation

xp = ep log(x) (1)

(b) Soit f(x) = xp. Démontrez que la formule f ′(x) = pxp−1, bienconnue quand la puissance p est un entier positif, reste valablepour toute p ∈ R.

(c) Trouvez la dérivée des fonctions suivantes

i. f(x) = (3x+ 2)1/2

ii. f(x) = 3√2x2 + 1

(d) À partir de l’équation (1), justifiez que

ddx

(ax) = ax log(a)

et donc trouvez la pente du tangent au graphe de ax en (0, 1).

3. À partir de la formule cos(x+h) = cos(x) cos(h)−sin(x) sin(h) justifiezl’équation suivante pour la dérivée de cos.

(cos)′(x) = − sin(x)

4. Les fonctions hyperboliques sont définies par les équations :

sinh(x) =ex − e−x

2,

cosh(x) =ex + e−x

2,

tanh(x) =sinh(x)

cosh(x)

3

(a) Démontrez que pour tout x,

cosh2(x)− sinh2(x) = 1. (2)

(b) Démontrez que (sinh)′ = cosh et que (cosh)′ = sinh.

Quelle est la dérivée de tanh?

(c) Faites une esquisse du graphe de sinh pour vous convaincre qu’elledonne une bijection R → R.

Sa réciproque est la fonction notée arcsinh : R → R. Démontrezque

(arcsinh)′(y) =1

√

1 + y2

Conseil : rappelez-vous la formule (2)

5. (a) Expliquez pourquoi la fonction sin : R → R possède une inverse,arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2] (en particulier justifiez le domaineet l’image de arcsin).

(b) Démontrez que

(arcsin)′(y) =1

√

1− y2

Conseil : expliquez que si sin(x) = y et x ∈ [−π/2, π/2] alorscos(x) =

√

1− y2, où nous prenons la racine positive ici.

(c) Justifiez le fait qu’il existe aussi une fonction f : [−1, 1] → [π/2, 3π/2]telle que sin(f(y)) = y.

Démontrez que

f ′(y) = − 1√

1− y2

6. Trouvez les première et deuxième dérivées des fonctions suivantes

(a) f(x) = x−1x−2

(b) f(x) = xx2−4

(c) f(x) = e−x2

Est-ce que vous pouvez faire une esquisse du graphe de ces fonctions ?En particulier, que sont leurs asymptotes (droites verticales et horizon-tales que le graphe approche à l’infini) ?

4

1.2 Calcul des intégrales

1. Trouvez une primitive pour chacune des fonctions suivantes

(a) f(x) = x2

(b) f(x) = 3(x2 + 1)2

(c) f(x) = x(1−√x)2

(d) f(x) = xex

(e) f(x) = sin(x) cos(3x)

(f) f(x) = x2 cos(x)

(g) f(x) = x−1(1 + log(x))−1

(h) f(x) = ex√1 + ex

(i) f(x) = x3

4x4+boù b ∈ R.

2. En faisant la substitution x = tan(u) démontrez que∫

dx1 + x2

= arctan(x) + C

où arctan est la fonction réciproque de tan.

3. En écrivant1

x2 − 1=

1

2(x− 1)− 1

2(x+ 1)

démontrez que∫

dxx2 − 1

=1

2log

∣

∣

∣

∣

x− 1

x+ 1

∣

∣

∣

∣

+ C

4. A partir des deux questions précédentes, trouvez une primitive pour lesfonctions suivantes

(a) f(x) = 1x2+4

(b) f(x) = 19x2−1

(c) f(x) = 45x2−7x−6

5. Calculez les intégrales suivantes

(a)∫ π/2

0

1− sin(x)

x+ cos(x)dx

(b)∫ log 2

0

2(1 + e2x)2e2xdx

5

(c)∫ π/2

0

x sin(x)dx

6. Soit f : R → R la fonction donnée par

f(x) =

{

0 si x < 0,1 si x ≥ 0.

(a) Calculez

F (x) =

∫ x

−1

f(t) dt

(b) Est-ce que F est une primitive de f ? Sinon, pour quoi le théorèmefondamentale de l’analyse ne s’applique pas ?

(c) Est-ce que f possède une primitive ?

7. (a) Démontrez par induction que

m∑

j=1

j2 =m(m+ 1)(2m+ 1)

6

(b) Considérons l’intégrale

I =

∫ 2

0

x2 dx

Expliquez pour quoi la somme

Sn =1

n3

2n∑

i=1

(i− 1)2 (3)

donne une bonne approximation à I pour n grand. (Conseil :coupez l’intervalle [0, 2] en les points xi = i/n pour i = 0, . . . , 2n.)

Trouvez la limite de Sn quand n tend vers l’infini, et donc la valeurde I, à partir de la formule (3).

Vérifiez votre calcul en trouvant la valeur de I via le théorèmefondamentale de l’analyse.

2 Équations différentielles

1. Trouvez la solution aux équations différentielles suivantes :

6

(a) f ′(x) + f(x) = e−x, f(0) = 1.

(b) f ′(x) + f(x) = x, f(0) = 0.

(c) xf ′(x) + 2f(x) = 10x2, f(1) = 3.

(d) f ′(x)− tan(x)f(x) = − sec(x), f(0) = 1.

2. Trouvez la solution aux équations aux différentielles suivantes :

(a) f ′′ − f = 0, f(0) = a, f ′(0) = b.

(b) f ′′ + f = 0, f(0) = a, f ′(0) = b.

(c) f ′′ + 6f ′ + 5f = 0, f(0) = 3, f ′(0) = 7.

(d) f ′′ − 4f ′ + 4f = 0, f(0) = 0, f ′(0) = 1.

3. Dans cette question, vous étudierez l’équation non-homogène

f ′′(x) + af ′(x) + bf(x) = q(x)

où q est une fonction donnée. Nous supposons en plus que l’équationcaractéristique t2 + at + b = 0 à deux racines réelles et distinct λ1, λ2.

(a) Démontrez que si f1 et f2 sont les deux solutions à l’équationnon-homogène alors il existe constants c1, c2 tel que

f1(x)− f2(x) = c1eλ1x + c2e

λ2x

(b) Pour deviner une solution à l’équation non-homogène, mettons

f(x) = g1(x)eλ1x + g2(x)e

λ2x

où g1, g2 sont deux fonctions à trouver. Nous imposons aussi queles deux fonctions g1, g2 satisfont

g′1(x)eλ1x + g′2(x)e

λ2x = 0. (4)

i. Démontrez que

f ′(x) = λ1g1(x)eλ1x + λ2g2(x)e

λ2x

f ′′(x) = λ21g1(x)e

λ1x + λ22g2(x)e

λ2x

+ λ1g′1(x)e

λ1x + λ2g′2(x)e

λ2x

ii. Déduisez-en que f est bien une solution à l’équation non-homogène si

λ1g′1(x)e

λ1x + λ2g′2(x)e

λ2x = q(x) (5)

7

iii. Démontrez que (4) et (5) sont satisfaites si et seulement si

g′1(x) =e−λ1x

λ1 − λ2

q(x),

g′2(x) =e−λ2x

λ2 − λ1q(x).

Déduisez-en qu’une solution existe toujours à condition que qsoit continue.

(c) Trouvez toute solution à l’équation

f ′′(x)− f(x) = ex.

4. L’équation de Duffing est l’équation

u′′ + u+ u3 = 0 (6)

Elle est utilisée pour étudier certains systèmes oscillatoires.

(a) Étant donné une solution u à l’équation (6), démontrez que sonénergie

E =1

2(u′)2 +

1

4(u2 + 1)2

est constante.

(b) Démontrez que pour tout t

−√

2√E − 1 ≤ u(t) ≤

√

2√E − 1

où E est la valeur constante de l’énergie de la solution.

3 Préliminaires sur les nombres réels

1. Soit x, y ∈ R. En considérant (x− y)2, démontrez que x2 + y2 ≥ 2xy.

2. Etant donné x, y, z ∈ R, démontrez que

||x− z| − |y − z|| ≤ |x− y|.

3. Etant donné x, y, z, t ∈ R, démontrez que

|x− z| + |y − t| ≥ ||x− y| − |z − t|| .

8

4. Rappelez-vous qu’un intervalle est un ensemble de la forme ]a, b[, [a, b],]a, b] ou [a, b[ où a, b ∈ R et a < b. On permet aussi le cas a = −∞pour un extrémité à gauche de la forme ] et b = ∞ pour un extrémitéà droit de la forme [.

Soit I ⊆ R un ensemble avec la propriété que si α, β ∈ I avec α ≤ βalors [α, β] ⊆ I.

Démontrez que I est un intervalle (possiblement infini) avec les ex-trémités a = inf I et b = sup I. (Ici, pour un ensemble A qui n’est pasmajoré, nous écrivons supA = ∞. Pareillement pour un ensemble Aqui n’est pas minoré, nous écrivons inf A = −∞.)

Conseil : démontrer d’abord que ]inf I, sup I[ ⊆ I.

5. Trouvez les supremums et infimums des sous-ensembles de R suivant.Quels ensembles contiennent leurs supremums et infinimums?

(a) ]10, 36], [10, 36[, ]10, 36[

(b) { 1k: k ∈ N, k > 0}.

(c){

(−1)kkk+1

: k ∈ N, k > 0}

.

(d) {x : x2 ≤ 2x− 1}.(e) {ex : x ∈ R}.(f) {ex cos(x) : x ∈ R}.(g) {φ(x) : x ∈ [−1, 1]} où φ : [−1, 1] → R est la fonction

φ(x) =

{ √1− x2 si x ≤ 0,x− 2 si x > 0.

(h) {|φ(x)| : x ∈ [−1, 1]} où φ est la même fonction que pour laquestion ci-dessus.

6. Soit A ⊆ B ⊆ R.

(a) Démontrez que sup(A) ≤ sup(B).

(b) Que peut-on dire pour inf(A) et inf(B)?

(c) Si, en plus, nous savons que A 6= B, peut-on conclure que sup(A) <sup(B) ? Si oui donnez une démonstration, sinon donnez uncontre-exemple.

9

7. Soit E ⊆ R. Une fonction f : E → R est dite bornée s’il existe M ∈ R

tel que |f(x)| ≤ M pour tout x ∈ E.

Soient f, g : E → R deux fonctions bornées. Ecrivons A = {f(x) : x ∈E} et B = {g(x) : x ∈ E}.

(a) Démontrez que

sup{f(x) + g(x) : x ∈ E} ≤ sup(A) + sup(B).

(b) Montrez par un exemple que l’égalité n’a pas toujours lieu.

(c) Donnez un exemple où

sup{f(x)g(x) : x ∈ E} > sup(A) sup(B).

(d) Trouvez une condition suffisante sur f et g pour que

sup{f(x)g(x) : x ∈ E} ≤ sup(A) sup(B).

8. Dans cette question vous démontrerez l’algorithme de division, qui ditque pour tout couple d’entiers a, b ∈ N avec b 6= 0, il existe q, r ∈ N

avec 0 ≤ r < b tel que a = bq + r.

Etant donné a, b ∈ N avec b 6= 0, soit

S = {n ∈ N : bn ≤ a}

(a) Démontrez que S est non-vide.

(b) Démontrez que S est majoré.

(c) Ecrivons q = sup(S). Démontrez que q ∈ S.

(d) Ecrivons r = a− bq. Démontrez que 0 ≤ r < b.

(e) Démontrez que q et r sont les seuls entiers positif avec a = bq + ret 0 ≤ r < b.

4 Suites

4.1 Questions de base

1. Démontrez directement de la définition que

(a) n2n−1

→ 12

lorsque n → ∞.

(b) n2

5n+1→ ∞ lorsque n → ∞.

10

(c) n!nn → 0 lorsque n → ∞.

2. Soit (xn), (yn) ⊆ R. Supposons que xn → l et yn → m lorsque n → ∞et de plus que xn ≤ yn pour tout n.

Démontrez que l ≤ m.

Si xn < yn pour tout n, est-ce qu’il est vrai que l < m?

3. Soit (xn), (yn) ⊆ R. Supposons que xn → ∞ lorsque n → ∞ et quexn ≤ yn pour tout n.

Démontrez que yn → ∞.

4. Soit (xn) une suite bornée et (yn) une suite qui tend vers ∞ lorsquen → ∞. Démontrez que la suite (xn/yn) tend vers zéro.

5. Parmi les suites suivantes, déterminez lesquelles sont convergentes etpour celles qui convegent, trouvez leur limite.

(a)(

6n4+3n3−122n4+3n3+n−15

)

.

(b)(

(−2)nn+13n+2

)

.

(c)(

3n2+(−1)nn+32n2−1

)

.

(d)(

3n!+3n

n!+n3

)

.

(e)(

n!(n+1)!+(n−1)!

)

.

(f)(

n!n1004n

)

.

(g)(

n(1+1/n))

.

6. Donnez quand c’est possible un exemple de suite

(a) ayant une limite finie.

(b) ayant une limite infinie.

(c) n’ayant pas de limite.

(d) à valeurs entières convergeant vers√2.

(e) à valeurs rationnelles convergeant vers√2.

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⋆ 4.2 Questions un peu plus avancées

Les questions dans cette section sont plus difficiles que celles que vous trou-verez dans l’examen. Bonnes alors pour l’entraînement !

1. Décidez si la suite (√

n(n + 1)− n) converge. Si oui, trouvez sa limite.

2. (a) Démontrez que pour tout x > 0 et tout n ∈ N, n ≥ 1,

(

1 +x

n

)n

≥ 1 + x

(b) Déduisez-en que limn→∞ c1/n = 1 pour tout c > 0.

3. Soient a1, a2, . . . , ar réels positifs. Ecrivons m = max{a1, . . . , ar}.

(a) Démontrez que pour tout n ∈ N,

mn ≤ an1 + · · ·+ anr ≤ rmn.

(b) Déduisez-en que

limn→∞

(an1 + · · ·+ anr )1/n = m.

4. (a) Démontrez que pour tout x ≥ 0 et tout n ∈ N, n ≥ 2,

(1 + x)n ≥ 1

2n(n− 1)x2.

(b) D’ici, démontrez que pour tout n ≥ 2,

n1/n ≤ 1 +

√

2

n− 1.

(c) Démontrez que n1/n → 1 lorsque n → ∞.

(d) Est-ce que la suite (n1−1/n) converge?

5. Soient (xn) une suite convergente et σ : N → N une injection. Ecrivonsyn = xσ(n).

(a) Démontrez que pour tout N il existe M tel que si n ≥ M alorsσ(n) ≥ N .

(b) Déduisez-en que (yn) converge et que lim yn = lim xn.

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4.3 Suites monotones

1. On considère deux suites croissantes, (xn) et (yn). Démontrez ou in-firmez à l’aide d’un contre-exemple,

(a) la suite (xn + yn) est croissante.

(b) la suite (xnyn) est croissante.

2. Donnez quand c’est possible un exemple de suite

(a) croissante et bornée.

(b) bornée mais non convergente.

(c) bornée, décroissante.

(d) bornée, croissante mais non convergente.

(e) croissante et n’ayant pas de limite, même infinie.

(f) décroissante, divergente, ayant une sous-suite convergente.

3. Soit (xn) une suite croissante et (xnk) une sous-suite. Démontrez que

(a) Si xnk→ ∞ lorsque k → ∞ alors xn → ∞ lorsque n → ∞.

(b) Si xnk→ l lorsque k → ∞ alors xn → l lorsque n → ∞.

4. Une suite (xn) est définie par

x0 = 1, xn+1 =√xn + 1

(a) Démontrez par induction que la suite est croissante.

(b) Démontrez que xn → 12

(

1 +√5)

lorsque n → ∞.

5. Une suite (xn) est définie par

x0 = α, xn+1 =1

4(1 + xn)

(a) Démontrez que si α < 1/3 alors (xn) est croissante et majoréepar 1. Quelle est sa limite?

(b) Démontrez que si α > 1/3 alors (xn) est décroissante et minoréepar 0. Quelle est sa limite?

(c) Qu’est ce qu’il se passe quand α = 1/3?

6. Une suite est définie par récurrence, avec 0 < x0 < 1 et xn+1 =2

1+xn.

(a) Démontrez que (x2n) et (x2n+1) sont monotones, une étant crois-sante, l’autre décroissante.

(b) Déduisez-en que (xn) converge.

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4.4 Limites supérieurs et inférieurs

1. Trouvez les limites inférieurs et supérieurs des suites suivantes.

(a)(

(−1)nnn+1

)

.

(b) (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, . . .).

(c)(

(−1)n + 1n

)

.

2. Soient (xn) et (yn) deux suites bornées.

(a) Démontrez que lim sup(xn + yn) ≤ lim sup(xn) + lim sup(yn).

(b) Donnez un exemple où l’inégalité précédente est stricte.

(c) Démontrez que si l’une des deux suites est convergente, il y aégalité.

3. Soient (xn) et (yn) deux suites bornées.

(a) Donnez un exemple où lim sup(xnyn) > lim sup(xn) lim sup(yn).

(b) Trouvez une condition suffisante pour que

lim sup(xnyn) ≤ lim sup(xn) lim sup(yn).

(c) Donnez un exemple où cette dernière inégalité est stricte.

(d) Démontrez que si xn, yn ≥ 0 pour tout n alors dès que l’une desdeux suites converge, on a l’égalité.

4. Soit (xn) une suite qui converge vers x lorsque n → ∞. Démontrezdirectement des définitions (sans appliquer le théorème de Bolzano–Weierstrass) que lim sup(xn) = x = lim inf(xn).

5. Question plus avancée.

Soit (xn) une suite et σ : N → N une injection. Ecrivons yn = xσ(n).

(a) Démontrez que pour tout N il existe M tel que si n ≥ M alorsσ(n) ≥ N .

(b) Déduisez-en que lim sup(yn) ≤ lim sup(xn) et lim inf(yn) ≥ lim inf(xn).

(c) Déduisez-en de plus que si σ est une bijection alors lim sup(yn) =lim sup(xn) et lim inf(yn) = lim inf(xn).

(d) Donnez un exemple d’une suite (xn) et une injection σ tel quelim sup(yn) < lim sup(xn) et lim inf(yn) > lim inf(xn).

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⋆ 4.5 Une définition d’exponentielles par suites

Le but des questions suivantes est de définir ax quand a > 0 et x ∈ R.Rappelons-nous que l’exponentielle aq pour q = m/n ∈ Q est définie param/n = (am)1/n où b1/n = n

√b est la racine ne de b. (Ici, m ∈ Z et n est un

entier strictement positif.)

1. Soient a > 0 et (qn) une suite convergente de rationnels. Démontrezque la suite (aqn) est de Cauchy et donc est aussi convergente.

2. Soient a > 0 et (pn), (qn) deux suites convergente de rationnels ayantla même limite. Démontrez que les suites (apn) et (aqn) ont la mêmelimite.

3. Soient a > 0, x ∈ R et (qn) une suite de rationnels convergeant vers x.Nous définissons ax comme la limite de (aqn).

Démontrez que les règles suivantes s’appliquent encore avec cette défi-nition étendue:

ax · ay = ax+y

(ax)y = axy

5 Fonctions continues

5.1 Limites de fonctions

1. Démontrez directement de la définition que

limx→2

(6x+ 3) = 15.

2. Soient f, g, h : U → R, avec f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Supposons que

limx→a

f(x) = l = limx→a

h(x)

où a ∈ R est adhérent à U .

Démontrez que limx→a g(x) = l aussi.

3. Soient a ∈ R et f : U → R une fonction defini sur un voisinage pointéde a.

15

Démontrez que f possède une limite en a si et seulement si f possèdeune limite à gauche en a et une limite à droit en a et ces deux limitessont égales. Démontrez de plus que dans ce cas,

limx→a

x 6=a

f(x) = limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x).

4. Déterminez si les limites suivantes existent et dans l’affirmative calculez-les.

(a) limx→0

x3 − 2x+ 1

x2 + 1.

(b) limx→10

(x− 10)⌊x⌋, où ⌊x⌋ est l’entier le plus grand avec ⌊x⌋ ≤ x.

(c) limx→∞

x2 + 3x+ 4

4x2 − 1.

(d) limx→1

x 6=1

x− 1

x3 − 1.

5. Soit f : ]0, 1[ → R et écrivons t = 1/x. Démontrez que si une des limiteslimx→0+ f(x) ou limt→∞ f(1/t) existe alors les deux existent et ont lamême valeur.

5.2 Continuité

1. Soit f : R → R la fonction

f(x) =

{

x si x ∈ Q,0 si x ∈ R \Q.

Démontrez que f n’est pas continue en a ∈ R \ {0} mais qu’elle estcontinue en 0.

2. Soit f : R → R la fonction

f(x) =

{

x si x ∈ Q,x2 si x ∈ R \Q.

Trouvez les points où f est continue.

3. Donnez un exemple d’une fonction qui est continue en√2 mais qui

n’est pas continue en tout autre point.

16

4. Soient a ∈ R, f : U → R une fonction définie sur un voisinage de a etg : V → R une fonction définie sur un voisinage de f(a) qui contientf(U). Supposons que f est continue en a et que g est continue en f(a).

Démontrez directement à partir de la définition (et pas en utilisant lacaractérisation de continuité en termes de suites comme est fait dansle cours) que la fonction composée

g ◦ f : U → R, (g ◦ f)(x) = g(f(x))

est continue.

5.3 Propriétés des fonctions continues

1. Soit f : [0, 1] → [0, 1] continue. En appliquant le théorème de la valeurintermédiaire à la fonction g : [0, 1] → R donnée par g(x) = f(x) − x,démontrez qu’il existe un point fixe c ∈ [0, 1] de f . (C’est-à-dire tel quef(c) = c.)

2. Dans cette question, nous parlons des fonctions sin, cos et ex. Vouspouvez supposer qu’elles sont continues (ce qui sera démontré pendantla deuxième partie du cours).

(a) Démontrez que l’équation 2 sin(x) = x2 − 1 possède une solutionentre 1 et 2.

(b) Démontrez que l’équation 2 tan(x) = 1+ cos(x) possède une solu-tion entre 0 et π/4.

(Rappelez-vous que tan(x) = sin(x)cos(x)

. Où cette fonction est-elledéfinie ? Où est-elle continue ?)

(c) i. Démontrez que l’équation xex = 1 possède une solution entre0 et 1.

ii. Est-ce qu’il y a une solution dans ]0, 1/2[ ou ]1/2, 1[?

iii. Est-ce que vous pouvez calculer une solution à deux chiffressignificatifs ?

3. Soit f : I → R une fonction continue définie sur un intervalle I.

Démontrez que f est une bijection I → f(I) si et seulement si f eststrictement monotone.

4. Soit p(x) = xn + a1xn−1 + · · · + an un polynôme de degré n pair.

Supposons que an < 0. Démontrez que p a au moins deux racinesdans R.

17

5. (a) Donnez un exemple d’une fonction f : ]1, 2[ → R qui est continue,bornée et qui atteint son minimum mais pas son maximum.

(b) Donnez un exemple d’une fonction f : [0,∞[ → R qui est continue,bornée et qui atteint son maximum mais pas son minimum.

(c) Donnez un exemple d’une fonction f : [−1, 1] → R qui est bornéemais qui n’atteint ni son minimum ni son maximum.

(d) Donnez un exemple d’une fonction f : [−1, 1] → R qui n’a ni uneborne supérieure ni une borne inférieure.

(e) Expliquez pourquoi les exemples que vous avez donnés ci-dessusne contredisent pas le théorème des bornes atteintes.

6. Soit f : R → R une fonction qui satisfait l’équation

f(x+ y) = f(x) + f(y)

pour tout x, y ∈ R. Ecrivons f(1) = a.

(a) Démontrez, pour tout rationnel strictement positif q ∈ Q, quef(q) = aq.

(b) Démontrez que f(0) = 0 et que f(−x) = −f(x) pour tout x ∈ R.

(c) Supposons de plus que f est continue. Démontrez que f(x) = axpour tout x ∈ R.

7. Question plus avancée.

Soit f : R → R une fonction qui satisfait l’équation

f(x+ y) = f(x)f(y)

pour tout x, y ∈ R.

(a) Démontrez que f(1) ≥ 0.

(b) Démontrez que si f(1) = 0 alors f(x) = 0 pour tout x.

(c) Démontrez que si f(1) = a > 0, alors f(m) = am pour tout entierpositif m ∈ N.

(d) Démontrez que si f(1) = a > 0, alors f(m/n) = am/n pour toutrationnel m/n ∈ Q.

(e) Démontrez que si f(1) = a > 0 et que de plus f est continue alorsf(x) = ax pour tout x ∈ R.

18

5.4 Continuité uniforme

1. Rappelez-vous que deux suites (xn), (yn) sont dites équivalentes si|xn − yn| → 0 lorsque n → ∞.

(a) Démontrez que si (xn) converge vers x alors (yn) est équivalenteà (xn) si est seulement si (yn) converge aussi vers x.

(b) Donnez un exemple de deux suites distinctes qui ne convergentpas mais qui sont équivalentes.

2. Parmi les fonctions suivantes, décidez lesquelles sont uniformément con-tinues

(a) f : ]−1, 1[ → R, où f(x) = 1x+1

.

(b) f : ]0, 1[ → R, où f(x) = 1x+1

.

(c) f : R → R, où f(x) = sin(x).

(Vous pouvez supposer que sin est continue et qu’elle a toute pro-priété connue de la trigonométrie basique.)

(d) f : [0,∞[ → R un polynôme de degré strictement supérieur à 1.

3. Soient f1 : E1 → R et f2 : E2 → R deux fonctions uniformément con-tinue où E1, E2 ⊆ R et, de plus, avec f1(E1) ⊆ E2.

Démontrez que f2 ◦ f1 : E1 → R est uniformément continue.

5.5 Fonctions continues à valeurs vectorielles

1. Soit f : R → Rn continue. Démontrez que la fonction |f | : R → R

donnée par |f |(x) = |f(x)| est continue.

2. Soient f : R → Rn et h : R → R continues. Démontrez que la fonctionhf : R → Rn donnée par (hf)(x) = h(x)f(x) est continue.

3. Soient f, g : R → R3 continues. Démontrez que la fonciton f × g : R →R3 donnée par (f × g)(x) = f(x) × g(x) est continue où u × v est leproduit vectoriel de u, v ∈ R3.

Nous rappelons que u × v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1) oùu = (u1, u2, u3) et v = (v1, v2, v3).

4. Soient f : [a, b] → Rn continue et q ∈ Rn un point quelconque. Démon-trez qu’il existe p1, p2 ∈ [a, b] tel que pour tout x ∈ [a, b],

|f(p1)− q| ≤ |f(x)− q| ≤ |f(p2)− q|

19

6 Fonctions dérivables

6.1 Définition et calculs

1. Soit n un entier positif. Démontrez directement de la définition que lafonction f : R → R donnée par f(x) = xn et dérivable et que f ′(x) =nxn−1.

2. Soit f : R → R la fonction

f(x) =

{

x2 si x ≥ 0x3 si x < 0.

Démontrez que f ′ est continue mais qu’elle n’est pas dérivable en 0.

3. Soient f, g : I → R dérivables en a ∈ I où I est un intervalle ouvert.Démontrez que f + g est dérivable en a avec (f + g)′(a) = f ′(a)+ g′(a).

4. Soit tan: ]−π/2, π/2[ → R définie par

tan(x) =sin(x)

cos(x)

(a) Etant donné toute propriété de sin et cos déjà connue de l’école (enparticulier qu’elles sont dérivables) démontrez que tan est dériv-able et trouvez sa dérivée.

(b) En supposant que tan: ]−π/2, π/2[ → R est une bijection, démon-trez que sa réciproque arctan est dérivable et trouvez sa dérivée.

5. Soit exp : R → R la fonction exp(x) = ex. Pour cette question vouspouvez supposer toute propriété de l’exponentielle et sa réciproque lelogarithme log : R+ → R déjà connue du secondaire.

Les fonctions sinh, cosh : R → R sont définie par

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2

(a) Démontrez que sinh et cosh sont dérivable et trouver leurs dérivées.

(b) Démontrez que sinh : R → R et cosh: ]0,∞[ → ]1,∞[ sont bijec-tions.

(c) Démontrez de plus que les réciproques arcsinh et arccosh sontdérivables et trouvez leurs dérivées.

(d) Définissons tanh: R → R par tanh(x) = sinh(x)/ cosh(x).

20

i. Démontrez que tanh est dérivable et trouvez sa dérivée.

ii. Démontrez que tanh: R → ]−1, 1[ est bijective. Démontrezque sa reciproque est dérivable et trouvez sa dérivée.

6. Soit f, g : R → R de classe Cn (n-fois continûment dérivable).

Démontrez par induction que leur produit fg est aussi de classe Cn etque

(fg)(n)(x) =

n∑

k=0

(

n

k

)

f (k)(x)g(n−k)(x).

6.2 Théorème de la moyenne

1. Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

Démontrez que si f ′(x) = 0 pour tout x ∈ ]a, b[ alors f est constantesur [a, b].

2. Soit f, g : [a, b] → R continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. Sup-posons de plus que g′(x) 6= 0 pour tout x ∈ ]a, b[.

(a) Démontrez que g(a) 6= g(b).

(b) Démontrez qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que

f ′(c)

g′(c)=

f(b)− f(a)

g(b)− g(a).

(Ce résultat s’appelle le théorème de la valeur moyenne compara-tif.)

Conseil : considérez la fonction h(x) = f(x)−λg(x) où λ = f(b)−f(a)g(b)−g(a)

.

3. Soit P : R → R le polynôme P (x) = x3 + ax+ b où a > 0.

Démontrez qui existe x ∈ R unique tel que P (x) = 0.

Conseil : utiliser le théorème de la valeur intermédiaire pour démontrerl’existence d’une racine et le théorème de Rolle pour démontrer sonunicité.

4. Soit f : R → R deux fois dérivable. Supposons qu’il existe a < b < ctel que

f(a) = f(b) = f(c).

Démontrez qu’il existe ξ ∈ ]a, c[ tel que f ′′(ξ) = 0.

21

5. En utilisant le théorème de la valeur moyenne, démontrez que pourtout x, y,∈ R,

| sin(x)− sin(y)| ≤ |x− y|.

6.3 Règle de l’Hospital

Trouvez les limites suivantes en appliquant la règle de l’Hospital.

1. limx→0

x 6=0

sinh(2x)

log(1 + x).

(Rappelez-vous que sinh(x) = 12(ex − e−x).)

2. limx→1

x 6=1

(

3x2

x3 − 1− 1

x− 1

)

.

3. limx→0

x 6=0

1− cos(x)

x2.

4. limx→0

x 6=0

1− cosh(x)

x2.

(Rappelez-vous que cosh(x) = 12(ex + e−x).)

5. limx→0

x 6=0

(cosh(x))1/x2

.

6.4 Dérivées directionnelles, partielles et le gradient

1. Soit f : Rn → R dérivable dans la direction v en a ∈ Rn. Démontrezque pour tout λ ∈ R, f est dérivable dans la direction λv en a et que

∂λvf(a) = λ∂vf(a)

2. Démontrez directement de la définition que la fonction f : R2 → R

donnée par f(x, y) = x2 + y2 est differentiable en tout point avec

∇f(a, b) = (2a, 2b)

3. Soient f, g : Rn → R deux fonctions différentiable en a ∈ Rn.

(a) Démontrez que pour tout α, β ∈ R, la combinaison linéaire αf+βgest différentiable en a avec ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g.

22

(b) Démontrez que le produit fg est différentiable en a avec

∇(fg) = f∇g + g∇f.

4. Pour les fonctions R2 → R suivantes, démontrez qu’elles sont différen-tiable (en appliquant par exemple le critère suffisant donné au cours),trouvez leurs gradients et faites une esquisse de leurs “lignes de niveau”Xc = {(x, y) : f(x, y) = c} en y indiquant leurs gradients. (Faitesattention à la magnitude de ∇f ainsi que sa direction.)

(a) f(x, y) = x2 + y2.

(b) f(x, y) = x2 − y2.

(c) f(x, y) = e−(x2+y2).

(d) f(x, y) = sin(x) cos(y).

5. Soit f : Rn → R donnée par

f(x1, x2) =

{

x31

x21+x2

2

si (x1, x2) 6= (0, 0)

0 si (x1, x2) = (0, 0)

(a) Démontrez que f est dérivable en toute direction en (0, 0) avec

∂vf(0, 0) =v31

v21 + v22

où v = (v1, v2).

(b) Démontrez que f n’est pas différentiable en (0, 0).

7 Fonctions intégrables

7.1 Définition

1. Soit f : [0, 1] → R la fonction définie par

f(x) =

{

x si x ∈ Q,0 si x ∈ R \Q.

(a) Démontrez que quelque soit la partition P de [0, 1], L(f, P ) = 0.

(b) Pour une partition P = {x0, x1, . . . , xn} quelconque de [0, 1], dé-montrez que

Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = xi.

23

(c) Déduisez-en que

U(f, P ) =

n∑

i=1

Mi(xi − xi−1)

est minoré par1

2

n∑

i=1

(xi + xi−1)(xi − xi−1)

et donc par 1/2.

(d) Concluez que f n’est pas intégrable.

2. Démontrez que f : [0, 1] → R donnée par f(x) = x2 est intégrabledirectement de la définition, en suivant les étapes :

(a) Soit Pn = {0, 1/n, 2/n, . . . , 1} une partition de [0, 1]. Démontrezque

U(f, Pn) =1

n3

n∑

j=1

j2,

L(f, Pn) =1

n3

n∑

j=1

(j − 1)2.

(b) Démontrez par récurrence quen

∑

j=1

j2 =n(n + 1)(2n+ 1)

6.

(c) Déduisez-en que

(n− 1)n(2n− 1)

6n3≤ L(f) ≤ U(f) ≤ n(n + 1)(2n+ 1)

6n3

et donc que f est intégrable avec∫ 1

0x2 dx = 1

3.

3. Le but de cette question est de démontrer que toute fonction monotonef : [a, b] → R est intégrable.

Soit f croissante (le cas décroissante étant pareil). Ecrivons Pn pour lapartition a = x0 < x1 < · · · < xn = b tel que xi − xi−1 = (b− a)/n.

(a) Démontrez que

U(f, Pn)− L(f, Pn) =(b− a) (f(b)− f(a))

n.

(b) Déduisez-en que f est intégrable.

24

7.2 Quelques calculs

1. Soit f : [a, b] → R continûment dérivable. En utilisant l’intégration parparties, démontrez que

∫ b

a

f(x) cos(nx)dx → 0

lorsque n → ∞.

2. En faisant la substitution x = 2 arctan(t), démontrez que∫

1

5 + 3 cos(x)dx =

1

2arctan

(

1

2tan

(

1

2x

))

.

Conseil : démontrez que si x = 2 arctan(t) alors cos(x) = 1−t2

1+t2.

7.3 Intégrales impropres

1. Parmi les intégrales impropres suivantes, déterminez lesquelles conver-gent et pour celles-là trouvez leur valeur.

(a)∫ ∞

0

e−2x dx.

(b)∫ 2

1

1

x− 1dx.

(c)∫ +∞

−∞

1

cosh xdx.

(d)∫ 1

0

log(x) dx.

(e)∫ π/2

0

(sec(x)− tan(x)) dx.

2. (a) Démontrez que∫ ∞

1

1

xpdx

est convergente si et seulement si p > 1.

(b) Démontrez que∫ 1

0

1

xpdx

est convergent si et seulement si p < 1.

25

3. (a) Démontrez par récurrence que pour tout x ≥ 1 et tout n ∈ N,

log(x)n ≤ n! x

(b) Déduisez-en que pour tout n ∈ N, l’intégrale suivante est diver-gente :

∫ ∞

2

1

log(x)ndx.

4. Soient f, g : ]a, b] → R deux fonctions qui sont intégrables sur [a + ǫ, b]pour tout 0 < ǫ < b− a. Supposons de plus que

• 0 ≤ f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ ]a, b].

•∫ b

ag(x) dx converge.

Démontrez que∫ b

af(x) dx converge aussi.

5. Question avancée

Le but de cette question est de démontrez que∫ ∞

0

sin(x)

xdx

est convergente.

(a) Démontrez que

∫ b

1

sin(x)

xdx = −

∫ b

1

cos(x)

x2dx−

[

cos(x)

x

]b

0

(b) Démontrez que

limb→∞

cos(b)

b= 0.

(c) En appliquant le test de comparaison pour les intégrales, démon-trez que la limite suivante existe

limb→∞

∫ b

1

cos(x)

x2dx.

(d) Déduisez-en que∫∞

1sin(x)

xdx converge.

(e) Démontrez que l’integrale sur [0,∞[ converge aussi.

Conseil : démontrez qu’il existe un prolongement continue de sin(x)x

en 0.

26

6. Question plus avancée

Le but de cette question est de démontrez que∫ ∞

0

| sin(x)|x

dx

est divergente.

(a) Soit

In =

∫ (n+1)π

nπ

| sin(x)|x

dx

Démontrez que

In =

∫ π

0

sin(t)

t+ nπdt

(b) Déduisez-en que

In ≥ 2

(n + 1)π.

(c) D’ici, démontrez que

∫ nπ

0

sin(x)

xdx ≥ 2

π

n∑

k=1

1

k.

(d) Concluez que∫∞

0| sin(x)|

xdx diverge.

Conseil: pour déduire que sn =∑n

11k

tend vers l’infini, écrivezpar exemple

1 +1

2+

(

1

3+

1

4

)

+

(

1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)

≥ 1 +1

2+

1

2+

1

2

où chaque groupe de termes en parenthèse a été remplacé par laborne inférieur 1/2. D’ici déduisez que s2n ≥ 1 + n

2et donc que

sn → ∞.

7.4 Longueur des courbes

7.5 Intégrales curvilignes

7.6 Champs conservatifs

27