Table des matières - pagesperso-orange.frvivre.les.maths.pagesperso-orange.fr/.../Calcul... ·...

Cours PCSI Calcul intégral.

Table des matièresIntroduction..........................................................................................................................................2I- Intégrale des fonctions en escalier....................................................................................................3

1- Les subdivisions..........................................................................................................................32- Les fonctions en escaliers............................................................................................................43- L'intégrale des fonctions en escalier............................................................................................54- Propriétés.....................................................................................................................................6

a- Linéarité..................................................................................................................................6b- Relation de Chasles.................................................................................................................6 ....................................................................................................................................................7 ....................................................................................................................................................7c- Inégalités.................................................................................................................................7d- Invariance de l'intégrale par translation..................................................................................7

II- Intégrale des fonctions continues par morceaux..............................................................................81- Les fonctions continues par morceaux........................................................................................82- Approximation des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier.................93- L'intégrale des fonctions continues par morceaux.......................................................................94- Propriétés...................................................................................................................................10

a- Linéarité................................................................................................................................10b- Relation de Chasles...............................................................................................................12c- Inégalités...............................................................................................................................12d- Invariance de l'intégrale par translation................................................................................13

5- Intégrale des fonctions continues..............................................................................................136- Notations....................................................................................................................................15

III- Somme de Riemann.....................................................................................................................161- Définition...................................................................................................................................162- Fonctions Lipschitziennes.........................................................................................................173- Théorème de convergence pour une fonction continue.............................................................18

IV- Intégrale et dérivation...................................................................................................................191- Primitives et intégrale d'une fonction continue.........................................................................192- Calcul des primitives.................................................................................................................22

a- Primitives usuelles (voir tableau)..........................................................................................22b- Intégration par parties...........................................................................................................22c- Changement de variables......................................................................................................22

1/24


Introduction

– Calcul d'aires et de volumes (rectangle, triangle rectangle, triangle , polygone, …..).Aire du cercle, approximation. Archimède.

– Longueur d'un arc paramétré.

– Intégrale de Cauchy (1789-1857) début du 19 ième siècle, milieu du 19ième siècle intégrale de Bernhard Riemann (1826-1866), mathématicien connu notamment pour sa célèbre conjecture sur les zéros de la fonction zéta, considérée comme le résultat le plus important à prouver. L'institut Clay propose 1 million de dollars pour sa démonstration.

– 1854 : possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique.

– La forme la plus achevée de l'intégrale est dû au mathématicien français Henri Lebesgue (1875-1941) (première moitié du 20 ième siècle), mais sa théorie est moins intuitive au premier abord.

– Théorème fondamental du calcul différentiel : intégrale réciproque de la dérivée.

– Lien avec l'algèbre : forme linéaire , produit scalaire.

– Intégrale chapitre important : intégrale impropre, calcul de la valeur de séries, interprétation géométrique (séries de Fourier), espérance d'une variable aléatoire,...., recherche de primitives, résolution d'équations différentielles.

2/24


I- Intégrale des fonctions en escalier.

1- Les subdivisions.

Définition

Soit [a ,b] un intervalle de ℝ avec (a ,b)∈ℝ2 et a<b . On appelle subdivision de [a ,b] toute famille finie (x i )0≤i≤n de points de [a ,b] vérifiant les conditions :

1- x0=a et xn=b .2- ∀ i∈ℕn , x i 1<x i (la famille est strictement croissante)

Remarques

– La subdivision comprend n+1 points. Elle détermine n intervalles compacts qui contiennent tous une infinité de points.

– Se donner une subdivision de [a ,b] c'est se donner une famille finie de points distincts de [a ,b] contenant les points a et b.À une subdivision, on peut associer l'ensemble de ces points.

– Le pas de la subdivision est : max1≤i≤n(x i xi 1)

– La famille (x i )0≤i≤n avec x i=a+ib a

n est une subdivision de pas constant

b an

.

On définit une relation d'ordre sur les subdivisions.

Définition

Une subdivision s est plus fine qu'une subdivision s' si tout élément de s' appartient à s.

s a plus d'éléments que s'. C'est une relation d'ordre partiel.

Propriété

Soient deux subdivisions s et s' de [a,b], alors il existe une subdivision s'' plus fine que s et s'.

Démonstration : on prend la subdivision définie à partir de la réunion des points de s et s'.

3/24


2- Les fonctions en escaliers.

Définition

Une fonction φ de [a,b] dans ℝ est en escalier s'il existe une subdivision de [a,b] (xi )0≤i≤n

telle que φ soit constante sur les intervalles ]x i 1, x i [ (1≤ i≤n)

Remarques :

– une subdivision qui vérifie la définition est dite adaptée à φ . Toute subdivision plus fine qu'une subdivision adaptée est adaptée.

– Les valeurs prises aux bornes des intervalles n'ont pas d'importance. Ce qui compte c'est d'être constant sur l'intervalle ouvert.

– Une fonction constante sur tout l'intervalle [a,b] est une fonction en escalier.Ce sont les seules fonctions en escalier continue.

– Une fonction en escalier admet un nombre fini de point de discontinuité.

– La fonction partie entière est en escalier sur n'importe quel intervalle fermé borné.

Propriété

E([a,b]) est un sous-espace vectoriel de F([a, b] ,ℝ) .

Démonstration :

La fonction constante égale à 0 est en escalier.On prend une subdivision s adaptée à φ et Ψ , et on montre que ∀(α ,β)∈ℝ2 , la fonction αφ+βΨ est une fonction en escalier qui à s comme subdivision adaptée.

Propriétés

les fonctions en escalier prennent un nombre fini de valeurs. En particulier, elles sont bornées. Elles sont donc un sous-espace vectoriel des fonctions bornées de F([a, b] ,ℝ) .

Démonstration : ∣φ(x)∣≤Max(∣φ(x i )∣0≤i≤n ,∣ci∣1≤i≤n)

Attention : toute fonction qui prend un nombre fini de valeurs sur l'intervalle [a,b] n'est pas

4/24


forcément en escalier. Contre-exemple : la fonction caractéristique des rationnels. Elle vaut 1 pour le rationnels et 0 pour les irrationnels.

3- L'intégrale des fonctions en escalier.

Définition

Soient φ une fonction en escalier et σ une subdivision adaptée à φ . Soit ci la valeur deφ sur

]x i 1, xi [ (1≤ i≤n) , alors ∑i=1

n

ci (xi x i 1) ne dépend pas de la subdivision adaptée à φ .

C'est l'intégrale de φ sur [a,b] , notée ∫[a , b]φ

Démonstration

On montre que l'intégrale ne change pas quand on ajoute un point à la subdivision.

On ajoute un point x' à la subdivision. On suppose que c∈]x i0, xi i0+1[ , on obtient

I (φ ,σ ')=∑i=1

i0

ci (x i x i 1)+ci0(x ' x i0

)+ci0(x i0+1 x ')+ ∑

i=i0+2

n

ci (x i xi 1)

I (φ ,σ ')=∑i=1

i0

ci (x i x i 1)+ci0(x i0+1 x i0

)+ ∑i=i0+2

n

ci (x i xi 1)=∑i=1

n

ci (xi x i 1)

On en déduit que l'intégrale ne change pas quand on choisit une subdivision plus fine, puisque cela consiste à ajouter un nombre fini de points à σ .

On utilise ce résultat pour traiter le cas de deux subdivisions σ et σ ' adaptées, en prenant une subdivision σ ' ' adaptée plus fine que σ et σ ' . Et dans ce cas, I (φ ,σ ' ')=I (φ ,σ) et I (φ ,σ ' ')=I (φ ,σ ') , d'où le résultat.

Remarque importante :

L'intégrale ne dépend que des valeurs prises sur les segments ouverts ]x i 1, xi [ (1≤ i≤n) . Si on change les valeurs prises aux points x i la valeur de l'intégrale ne change pas.

Remarques :

– Une fonction nulle sauf en un nombre fini de points est en escalier et son intégrale est nulle.

– Une fonction qui prend la valeur k sauf en un nombre fini de points est en escalier est son intégrale sur [a,b] vaut k (b a) .

– si on change un un nombre fini de valeurs φ , la fonction reste en escalier et son intégrale ne

5/24


change pas. Il suffit de changer la valeur d'un point et de montrer que la valeur de l'intégrale ne change pas.

Interprétation : aire.

Somme d'aire de rectangle.

4- Propriétés.

a- Linéarité.

Propriété

L'application :

est une forme linéaire de E([a,b]) . ∀(φ ,Ψ)∈E([a, b])2 et ∀(α ,β)∈ℝ2 , on a :

∫a

b

(αφ(t )+βψ(t)dt)=α∫a

b

φ(t )dt+β∫a

b

ψ(t )dt

Démonstration :

On prend une subdivision adaptée à φ et ψ .

∫[a , b]

αφ+βΨ=∑i=1

n

(αci+βdi)(x i xi 1)=α∑i=1

n

ci (x i x i 1)+β∑i=1

n

di (x i xi 1)=α ∫[a , b]

φ+β ∫[a, b]

Ψ

b- Relation de Chasles.

Propriété : ∀c∈[a, b] , ∫a

b

φ( t)dt=∫a

c

φ( t)dt+∫c

b

φ( t)dt

Démonstration :

On précise que la restriction de φ à [a,c] et [c,b] est en escalier.

On distingue le cas où c∈σ et c∉σ . Si c=x i0.

Si c∈σ :

∑i=1

n

ci (xi x i 1)=∑i=1

i0

ci (x i x i 1)+∑i=i0

n

ci (x i xi 1)

Si c∉σ :Sinon c∈]x i0

, xi0+1[ et on utilise la relation ci0(c x i0

)+ci0(x i0+1 c)=ci0

(x i0+1 x i0)

6/24

[ , ]

( )b

a

E a b

t dtϕ ϕ

→

∫

¡

a


Même démonstration que quand on rajoute un point à une subdivision.

c- Inégalités.

Propriété : Si φ est positive sur [a,b] , alors : 0≤∫[a, b]

φ( t)dt .

Démonstration : retour à la définition. Interprétation en terme d'aires.

Corollaire : Si φ≤ψ sur [a,b] , alors ∫a

b

φ( t )dt≤∫a

b

ψ( t )dt

Démonstration : On utilise la propriété précédente et la linéarité de l'intégrale.

On a : Ψ φ≥0⇒ ∫[a, b]

Ψ φ≥0⇒ ∫[a,b]

Ψ ∫[a,b]

φ⇒ ∫[a, b]

Ψ≥ ∫[a, b]

φ

Corollaire : ∣∫a

b

φ( t )dt∣≤∫a

b

∣φ( t)∣dt

Démonstration :

On a : ∣φ∣≤φ≤∣φ∣⇒ ∫[a, b]

∣φ∣≤ ∫[a, b]

φ≤ ∫[a, b]

∣φ∣⇒∣∫[a, b]

φ∣≤∫[a, b]

∣φ∣ .

On utilise que si M≤x≤M alors ∣x∣≤M .En effet M≤x≤M⇒ M≤ x≤M⇒∣x∣≤M car ∣x∣=max(x , x ) .

Remarque : généralisation de l'inégalité triangulaire.

d- Invariance de l'intégrale par translation

Propriété : Soient f une fonction continue par morceaux et α un réel. La fonction f α définie sur [a+α ,b+α] par f α(x)=f (x α) est continue par morceaux et :

∫[a, b]

f= ∫[a+α , b+α]

f α

7/24


II- Intégrale des fonctions continues par morceaux.

1- Les fonctions continues par morceaux.

Définition

Une fonction f est continue par morceaux s'il existe une subdivision σ (x i )0≤i≤n de [a,b] telle que f soit continue sur ]x i 1, x i [ et prolongeable en une fonction continue sur [x i 1, x i ] . Une telle subdivision est dite adaptée à f.

Remarque : Prolongeable par continuité en une fonction continue sur [x i 1, x i ] , signifie que f a une limite à droite à à gauche en tout point x i de ]a ,b[ , une limite à droite en a et une limite à gauche en b.

Exemples : – les fonctions en escalier.– Les fonctions continues.– Contre-exemple : la fonction inverse.

Propriété :

Les fonctions continues par morceaux forment un sous espace vectoriel de F([a, b] ,ℝ)

Démonstration : on prend une subdivision adaptée aux deux fonctions. Une combinaison linéaire de deux fonctions prolongeables par continuité est une fonction prolongeable par continuité.Les fonctions qui admettent une limite en un point forment un sous-espace vectoriel.

Propriété : Une fonction continue par morceaux sur un intervalle, est bornée.

Démonstration :

Théorème : une fonction continue sur un intervalle fermée et bornée est bornée et atteint ses bornes.Donc f est bornée sur l'intervalle fermé et à fortiori sur l'intervalle ouvert ]x i 1,xi [ pour 1≤ i≤n . Et elle prend un nombre fini de valeurs sur les points d'une subdivision adaptée, donc f est bornée.Elle n'atteint pas forcément ses bornes.

8/24


2- Approximation des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier.

Théorème (admis) Soit f une fonction continue par morceaux sur [a ,b] . ∀ǫ>0 il existe deux fonctions en escalier φ et ψ telles que : φ≤ f≤ψ et 0≤ψ φ≤ǫ .

Interprétation graphique.

3- L'intégrale des fonctions continues par morceaux.

Théorème

Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b] . On considère :

A={∫[a ,b]

φ , φ≤f , φ∈E[a ,b]} et B={∫[a , b]

Ψ , f ≤Ψ , Ψ∈E [a ,b]}A admet une borne supérieure et B une borne inférieure et on a : sup(A)=inf(B).

Démonstration :

A et B sont non ∅ . En effet f est continue par morceaux, donc f est bornée.m≤f≤M . Et la fonction constante égale à m est en escalier et m (b a)∈A et de même on considère la fonction constante égale à M etM (b a)∈B .A est une partie non ∅ de ℝ et majorée par M (b a) et de même B est une partie non ∅ de ℝ et minorée par m (b a) . A admet une borne supérieure et B une borne inférieure.Tout élément de A est inférieur à n'importe quel élément B.

Si φ≤f et f≤Ψ alors φ≤Ψ⇒ ∫[a, b]

φ≤ ∫[a, b]

Ψ .

∀(a,b)∈A×B alorsa≤b

Propriété : Soient A et B deux parties de ℝ non ∅ telles que :- ∀(a,b)∈A×B,alorsa≤b- ∀ǫ>0,∃(a,b)∈A×B telsque:0≤b a≤ǫalors A admet une borne supérieure et B une borne inférieure et c=sup(A )= inf (B) .Et c est l'unique réel vérifiant ∀(a,b)∈A×B,alorsa≤c≤b .A et B sont deux parties adjacentes.

Démonstration : Soit b un élément de B, alors b est un majorant de A. A est une partie de ℝ non vide et majorée donc A admet une borne supérieure qui est le plus petit des majorants de A donc :sup(A)<=b. On en déduit que sup(A) est un minorant de B et comme la borne inférieure est le plus grand des majorants alors sup(A)<=inf(B).

Soit ǫ>0 , ∃(a,b)∈A×B telsque:0≤b a≤ǫ⇒ b≤a+ǫ⇒ inf (B)≤sup(A )+ǫ⇒0≤inf (B) sup(A)≤ǫ

9/24


L'inégalité est vraie quelque soit ǫ>0 , donc sup(A)=inf(B).On peut aussi construire deux suites adjacentes et utiliser le théorème de convergence.

On applique cette propriété.

Soit ǫ>0 , on considère ǫ '= ǫb a

D'après le théorème admis : il existe deux fonctions en escaliers qui vérifient :φ≤ f≤ψ et ψ φ≤ǫ ' .

On en déduit que : 0≤∫a

b

ψ φ≤ǫ '(b a)⇒0≤∫a

b

ψ φ≤ǫ⇒∫a

b

ψ ∫a

b

φ≤ǫ

Définition de l'intégrale :

L'intégrale d'une fonction continue par morceaux f est :

∫[a , b]

f=sup({∫[a, b]

φ , φ≤f , φ∈E[a , b]})=inf ({∫[a , b]

Ψ , f≤Ψ , Ψ∈E[a ,b]})

Interprétation : aire algébrique sous la courbe

Remarque : pour une fonction en escalier est aussi une fonction continue par morceaux, les deux définitions de l'intégrale coïncident.

Propriété : Soient φ et ψ deux fonctions en escalier telles que : φ≤ f≤ψ alors :

∫a

b

φ≤∫[a, b]

f≤∫[a ,b]

ψ

Démonstration : on revient à la définition de l'intégrale qui est une borne supérieure et une borne inférieure.

Remarque : ∫[a ,b]f est l'unique réel qui vérifie :

∀(φ ,Ψ)∈E ([a, b])×E+([a ,b]) ,∫[a , b]φ≤∫[a , b]

f≤∫[a , b]Ψ

4- Propriétés.

Dans tout le chapitre, on part de la propriété qui est vérifiée pour les fonctions en escalier et on utilise le fait que les fonctions continues par morceaux peuvent être approchée aussi près qu'on veut avec des fonctions en escalier.

a- Linéarité.

Propriété : Soient f et g deux fonctions continues pas morceaux sur [a,b] et λ∈ℝ alors :

∫a

b

λ f=λ∫a

b

f et ∫a

b

f+g=∫a

b

f+∫a

b

g .

10/24


Remarque : l'intégrale est une forme linéaire sur l'espace des fonctions continues par morceaux.

Démonstration :

Soit ǫ>0 on montre que ∣∫a

b

λ f λ∫a

b

f ∣≤ǫ .

Soit ǫ '= ǫλ(b a) , il existe φ et ψ deux fonctions en escalier telles que :

φ≤ f≤ψ et 0≤ψ φ≤ǫ ' .

On supposeλ≥0 et on déduit que : λ φ≤λ f≤λψ⇒∫a

b

λ φ≤∫a

b

λ f≤∫a

b

λ ψ⇔λ∫a

b

φ≤∫a

b

λ f≤λ∫a

b

ψ

De même : ∫a

b

φ≤∫a

b

f≤∫a

b

ψ⇒λ∫a

b

φ≤λ∫a

b

f≤λ∫a

b

ψ .

Donc les deux nombres réels ∫a

b

λ f et λ∫a

b

f , appartiennent à l'intervalle[λ∫a

b

φ ,λ∫a

b

ψ] donc :

∣∫a

b

λ f λ∫a

b

f ∣≤λ∫a

b

ψ λ∫a

b

φ⇒∣∫a

b

λ f λ∫a

b

f ∣≤∣λ∣∣∫a

b

ψ φ∣⇒∣∫a

b

λ f λ∫a

b

f∣≤∣λ∣∣∫a

b

ψ φ∣Et donc ∣∫

a

b

∣λ∣f λ∫a

b

f∣≤λ(b a)ǫ '⇒∣∫a

b

∣λ∣f λ∫a

b

f ∣≤ǫ . D'où le résultat.

On procède de même pour démontrer la propriété de conservation de l'addition.

φ1≤f ≤Ψ1 Et φ2≤g≤Ψ2 avec Ψ1 φ1≤ǫ ' et Ψ2 φ2≤ǫ '

On obtient : ∫φ1≤∫ f≤Ψ1 et ∫φ2≤∫g≤∫Ψ2 . On obtient :

∫φ1+∫φ2≤∫ f+∫g≤∫Ψ1+∫Ψ2

On a aussi : φ1+φ2≤f+g≤Ψ1+Ψ2⇒∫φ1+φ2≤∫ f+g≤∫Ψ1+Ψ2

On en déduit que : ∣∫ f+g ∫ f ∫g∣≤∫Ψ1 φ1+∫Ψ2 φ2≤2ǫ '(b a)

D'où le résultat en prenant : ǫ '= ǫ2(b a)

Propriété

L'intégrale d'une fonction continue par morceaux ne change pas si on change sa valeurs en un nombre fini de points.

11/24


Démonstration : on a ∫ f g=0 car f g est une fonction nulle sauf en un nombre fini de points. C'est une fonction en escalier d'intégrale nulle.g=g-f+f est la somme de deux fonctions continues par morceaux donc g est une fonction continue par morceaux et son intégrale est bien définie.

b- Relation de Chasles.

∫a

b

f=∫a

c

f +∫c

b

f

Démonstration : on utilise la relation de Chasles pour les fonctions en escalier et on procède par encadrement.

Conséquence de la relation de Chasles :

∫a

b

f=∑i=1

n

∫xi 1

xi

f .Somme d'intégrales de fonctions continues.

c- Inégalités.

Croissance

Propriété : Soit f une fonction continue par morceaux positive, alors ∫ f≥0 .

Démonstration : 0≤f et la fonction constante égale à 0 est une fonction en escalier. On obtient l'inégalité en utilisant la définition de l'intégrale comme une borne supérieure.

Propriété : Soient f et g deux fonctions continues par morceaux, alors si f≤g alors ∫ f≤∫g

Démonstration : corollaire de la propriété précédente et on utilise la linéarité de l'intégrale.

Propriété : Soit f une fonction continue par morceaux, alors ∣∫ f ∣≤∫∣f∣ .

Propriété précédente avec –∣f∣≤f≤∣f∣

Inégalité de la moyenne

∣∫ fg∣≤sup∣f ∣∫∣g∣

12/24


Corollaire : ∫ f≤sup∣f∣(b a)

Inégalité de la moyenne avec g=1.

Définition : Valeur moyenne d'une fonction ∫ f

b a.

Comprise entre m et M, minimum et maximum de f sur [a,b]

Remarque : cette valeur correspond à la valeur d'une fonction constante qui aurait la même intégrale sur [a,b]. On retrouve les notions usuelles de moyenne dans le cas d'une fonction en escalier avec une subdivision adaptée de pas régulier.

d- Invariance de l'intégrale par translation

Propriété : Soient f une fonction continue par morceaux et α un réel. La fonction f α définie sur [a+α ,b+α] par f α(x)=f (x α) est continue par morceaux et :

∫[a, b]

f= ∫[a+α , b+α]

f α

Démonstration : on prouve le résultat d'abord pour les fonctions en escalier, puis pour les fonctions continues par morceaux en revenant à la définition de l'intégrale.

Application : si f est périodique alors :

∀a∈ℝ , ∫[a, a+T ]

f= ∫[0,T ]

f

5- Intégrale des fonctions continues.

Propriété

Une fonction continue sur [a,b] à valeurs positives sur un segment est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

Démonstration : Si la fonction n'est pas nulle en x0 , alors il existe un intervalle ouvert ou la fonction sera au dessus d'un ǫ>0 . Et on montre que l'intégrale est strictement positive.

Produit scalaire forme bilinéaire symétrique, définie positive.

(∫ fg)2≤∫ f 2∫g2

13/24


Démonstration :

P(λ)=∫(f+λg)2

on distingue le cas ou ∫g2=0 et on a une fonction affine qui est de signe constant si le terme en λ est nul sinon on a une polynôme du seconde degré qui est toujours positif si le discriminant est négatif.

∫ fg est un produit scalaire, forme bilinéaire symétrique définie positive.

Cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Les fonctions sont proportionnelles.

Propriété

Si f ∈C0([a ,b] ,ℝ) , alors il existe c∈[a,b] tel que f (c) soit égale à la valeur moyenne de f sur [a,b] .

f (c)=∫[a ,b]

f

b a

Démonstration : Soit m et M les valeurs minimum et maximum de f sur l'intervalle [a,b] .

On a : m≤f≤M⇒(b a)m≤∫[a, b]f ≤(b a)M⇒m≤

∫[a, b]f

(b a)≤M .

f est continue sur l'intervalle fermé borné [a,b], d'après le théorème des valeurs intermédiaires :

∃c∈[a ,b] tel quef(c)=∫[a , b]

f

(b a)

De même on peut considérer l'exercice :

Soient f et g deux fonctions définies sur [a,b], telles que f soit continue et g continue par morceaux positive.

a- Montrer qu'il existe c dans [a,b] tel que :

∫a

b

f (x)g(x)dx=f (c)∫a

b

g(x )dx

b- Si on suppose de plus que g continue strictement positive, montrer qu'il existe c dans ]a ,b[ qui vérifie l'égalité précédente.

14/24


6- Notations.

Si a<b , on note ∫[a , b]f=∫

a

b

f ( t)dt .

Remarques : la variable t est muette. Il faut bien faire attention dans les exercices pour savoir quelle est la variable par rapport à laquelle on fait l'intégration.

Définition : Une fonction f est continue par morceaux sur un intervalle I (pas forcément fermé et borné), si elle est continue par morceaux sur tout intervalle [a,b] où a et b appartiennent à l'intervalle I.

Par définition si a>b , alors ∫a

b

f ( t)dt= ∫b

a

f (t)dt et si a=b alors l'intégrale est nulle.

La relation de Chasles reste vraie dans tous les cas.

Exemple : la fonction partie entière est continue par morceaux sur ℝ

15/24


III- Somme de Riemann.

1- Définition.

Définition : soient σ=(x i)0≤i≤n une subdivision de [a,b] , et u=(αi )1≤i≤n une famille de points de [a,b] tels que :∀1≤i≤n , αi∈[x i 1 ,x i ] . Si f est une fonction continue sur [a,b] , on appelle somme de Riemann de f associée à la subdivision σ et à u le réel :

S(f ,σ , u)=∑i=1

n

(xi x i 1) f (α i)

Interprétation géométrique :

C'est l'intégrale de a à b d'une fonction qui vaut f (α i) sur l'intervalle[x i 1,x i ] .

Cas particuliers courants.

Pour la famille u on choisit {a,x1, ....., xn 1} .

Rn (f )=( b an )∑i=0

n 1

f (a+ i(b a)

n )On peut choisir aussi pour la famille u {x1,x2, .....b} et on définit :

Sn( f )=( b an )∑i=1

n

f (a+ i(b a)

n )Méthode des rectangles : on choisit

Rn( f )+Sn( f )

2.

Problématique : on voudrait que lorsque le pas diminue, les sommes de Riemann convergent vers

∫a

b

f (t )dt

16/24


2- Fonctions Lipschitziennes.

Théorème :

Soit f une application k-lipschitzienne sur [a,b] . Si σ est une subdivision de [a,b] de pas (module) δ(σ) si u=(αi )1≤i≤n est une famille de points telle que : ∀1≤i≤n,α i∈[x i 1,x i ] , alors :

∣∫a

b

f ( t)dt S(f ,σ , u)∣≤k (b a)δ(σ)

Démonstration :

∫a

b

f ( t)dt S(f ,σ ,s)=∫a

b

f ( t)dt ∑i=1

n

(xi x i 1) f (α i)=∑i=1

n

∫xi 1

xi

f ( t )dt ∑i=1

n

∫x i 1

xi

f (α i )

∫a

b

f ( t)dt S(f ,σ ,s)=∑i=1

n

∫xi 1

xi

(f ( t ) f (α i ))dt⇒∣∫a

b

f ( t )dt S(f ,σ ,s)∣≤∑i=1

n

∫xi 1

xi

∣f ( t) f (α i)∣dt

Et ∣f ( t ) f (α i)∣≤k∣t αi∣≤k∣xi x i 1∣⇒∣f ( t) f (α i)∣≤k δ(σ) et on obtient :

∣∫a

b

f ( t)dt S(f ,σ , s)∣≤∑i=1

n

(xi x i 1) kδ(σ)=(xn x0)kδ (σ)=(b a)k δ(σ)

∣∫a

b

f ( t)dt S(f ,σ , u)∣≤k (b a)δ(σ)

Interprétation : Lorsque le pas δ(σ) tend vers 0, alors les sommes de Riemann convergent vers l'intégrale.

Remarque : cela s'applique en particulier si f est de classe C1 sur [a,b].La dérivée est continue sur un intervalle fermé et borné, donc la fonction est lipschitzienne.

17/24


3- Théorème de convergence pour une fonction continue.

Théorème (admis)

Soit f une fonction continue sur [a,b]∀ǫ>0 , il existe η>0 tel que pour toute subdivision σ=(x i)0≤i≤n et pour toute famille u=(αi )1≤i≤n telle que :∀1≤i≤n,α i∈[x i 1,x i ] on ait :

δ(σ)≤η⇒∣∫a

b

f ( t)dt S( f ,σ , u)∣≤ǫ

En particulier :

limn→∞

Rn(f )=∫a

b

f ( t)dt et limn→∞ (b a

n )∑i=0

n 1

f (a+i(b a)

n )=∫a

b

f ( t )dt

limn→∞

Sn(f )=∫a

b

f (t)dt et limn→∞ (b a

n )∑i=1

n

f (a+i(b a)

n )=∫a

b

f ( t )dt

Remarque : construction historique de l'intégrale de Riemann.

Exemples :

Sn= ∑k=n+1

2n1k=∑

i=1

n1

n+i=

1n∑i=1

n1

1+in

. On pose f (x)=1

1+x et on considère la subdivision régulière

σ=( in)0≤i≤n

de l'intervalle [0,1] et la famille de points u=( in)1≤i≤n

. Sn=Sn( f ,σ ,u)

limn→∞

Sn=∫0

11

1+xdx= ln(2)

On peut montrer que les suites xn=1n∑i=1

n

cos(k πn ) et yn=1n∑i=1

n

sin( k πn ) convergent

respectivement vers 0 et 2π .

18/24


IV- Intégrale et dérivation.

1- Primitives et intégrale d'une fonction continue.

Définition : Soit f une fonction continue de I dans ℝ , on appelle primitive de f sur un intervalle I toute fonction F de I dans ℝ , dérivable sur I telle que . F'=f .

Remarque : une fonction continue par morceaux admet une primitive sur un intervalle I, si seulement si elle est continue. En effet une fonction continue par morceaux admet en tout point une limite à droite et à gauche. Si f est la dérivée de F, une fonction est dérivable en un point si et seulement si elle est dérivable à droite à gauche et que les 2 dérivées sont égales. Dans ce cas f est continue.

Théorème : Soit F une primitive d'une fonction continue f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions F+λ avec λ∈ℝ .

Démonstration : Soit G une primitive de f sur I, alors F-G est dérivable sur I de dérivée nulle et donc F G=0 et F=G.

Remarque : deux primitives de la même fonction différent d'une constante. Elle sont égales si et seulement si elles sont égales en un point.

Théorème fondamental

Soient f une fonction continue de I sur ℝ et a un point de I.

La fonction Fa définie par Fa(x)=∫a

x

f ( t)dt est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a.

Démonstration : Retour à la définition de la dérivée. Une fonction est dérivable sur I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I.Montrons que Fa est dérivable en tout point x0 de I et que F'a(x0)=f (x0)

On a : Fa(x0+h) Fa(x0)

h f (x0)=

∫x0

x0+h

(f (t) f (x0))dt

h

∣Fa(x0+h) Fa(x0)

h f (x0)∣≤

∫x0

x 0+h

∣f (t ) f (x0)∣dt

∣h∣

Et on utilise la continuité en x0 . ∃η>0 tel que :

19/24


∣t x0∣≤η⇒∣f ( t) f (x0)∣≤ǫ . Soit h tel que ∣h∣≤η , dans ce cas :

∣Fa(x0+h) Fa(x0)

h f (x0)∣≤

∫x0

x 0+h

∣ǫ∣dt

∣h∣⇒∣Fa(x0+h) Fa(x0)

h f (x0)∣≤ǫ

On a démontré que pour ǫ>0 , existe η>0 tel que : ∣h∣<η⇒∣Fa(x0+h) Fa(x0)

h f (x0)∣≤ǫ

Donc : limh→0

Fa(x0+h) Fa(x0)

h=f (x0)

Donc Fa est dérivable en x0 et : F'a(x0)=f (x0) .

Fa est une primitive que f sur I. Et c'est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a.

Remarque : toute fonction continue admet une primitive sur un intervalle I.

Remarque : cas particulier du théorème de Stokes.

Green-Riemann ∫∂U

Pdx+Qdy=∬(∂Q∂ x ∂P∂ y )dxdy .

Ostrogradsky :∫S

A⃗⋅d⃗S=∭V

div A⃗

Théorème d'Ampère : ∫∂ S

V⃗⋅d⃗l=∬S

rot V⃗⋅d⃗S

Théorème

Soit f une fonction continue de I dans ℝ et (a,b)∈I 2 . Soit F une primitive de f sur I, on a :

∫a

b

f (x)dx=F(b) F(a)

Démonstration : On a F(x)=k+∫a

x

f ( t )dt et F(a)=k et F(b)=k+∫a

b

f ( t )dt=F(a)+∫a

b

f ( t )dt

D'où le résultat.

Corollaire 1 : théorème fondamental du calcul différentiel. (lien entre intégrale et dérivée)

Soit f ∈C1( I ) , alors ∀(a,x)∈I 2 , on a : f (x) f (a)=∫a

x

f ' ( t)dt

20/24


Corollaire 2

Soient f une fonction continue sur I, ainsi que α et β deux fonctions dérivables sur un intervalle J à valeurs dans I. La fonction φ définie sur I par :

φ(x)=∫α(x )

β(x)

f ( t)dt est dérivable sur J et :

φ '(x)=β '(x) f (β(x)) α ' (x) f (α(x ))

Démonstration :

La fonction f est continue sur I donc elle admet une primitive F sur I. et :

φ(x)=F(β(x )) F(α(x )) et φ est la composée de deux fonctions dérivables et donc f est dérivable et :

φ '(x)=β '(x) f (β(x)) α ' (x) f (α(x ))

En particulier : φ( x)=∫x

b

f (t )dt=F (b) F ( x) et φ ' (x)= f ( x) .

u(x)=∫x

2x

f (t)=F (2x) F (x) et u' ( x)=2f (2x) f (x) .

21/24


2- Calcul des primitives.

a- Primitives usuelles (voir tableau)

b- Intégration par parties.

Théorème

Soient u et v deux fonctions de classe C1 sur le segment [a,b] , on a :

∫a

b

u '( t )v ( t)dt=[u( t) v( t)]ab ∫

a

b

u '( t )v( t )dt

Démonstration : on intègreu'v+uv '=(uv)' sur [a,b]

Applications :

– Primitive de ln, primitive de arctan, arcsin, argth,...

– Intégrales de Wallis. I n=n 1

nI n 2

– Calcul de l'intégrale du produit d'un polynôme par la fonction exponentielle, d'une fonction trigonométriques, hyperboliques.

c- Changement de variables.

Théorème

Soit f une fonction continue sur [a,b] et φ une fonction de classe C1 sur [a,b] à valeurs dans I.

∫φ(α)

φ(b)

f ( t)dt=∫α

β

f (φ(x))φ '(x)dx

Démonstration : dérivée d'une fonction composées.

On pose : t=φ(x) et donc dt=φ '(x)dx et on n'oublie pas de changer les bornes.

Méthode : On a 3 opérations à effectuer :

1- Modifier les bornes.2- Remplacer la variable.3- Changer le « dt ».

Exemples : ∫0

1

√1 t2dt .

On pose t=cos(x) et donc dt= sin(x)dx

∫0

1

√1 t2dt=∫π2

0

√1 cos2(x ) sin(x)dx=∫0

π2

sin2(x)dx

22/24


cos(2x)=1 2sin2(x)=1 cos(2x)

2

Et on trouve π4 . La surface d'un quart de cercle.

– Intégrales de Wallis ∫0

π2

sinn( t )dt=∫0

π2

cosn (t )dt . Changement de variable t=π2 x .

– Reste de la formule de Taylor avec reste Intégrale .

Rappel :

Théorème : Soit f une fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I, on a :

f (b)=∑k=0

n (b a)k

k !f k (a)+∫

a

b(b t )n

n !f n+1( t)dt

L'idée est d'arrivé à des bornes fixes pour le reste. On cherche une fonction affine qui transforme a et b en 0 et 1. Soit f (x)=α x+β On veut f (0)=a et f (1)=b soit f (x)=(b a)x+a .

On effectue le changement de variable t=(b a)x+a et x=t ab a

⇒dt=(b a)dx

∫a

b(b t )n

n!f n+1( t )dt=∫

0

1(b ((b a)x+a))n

n !f n+1((b a)x+a)(b a)dx

∫a

b(b t )n

n!f n+1( t )dt=

(b a)n+1

n !∫0

1

(1 x)n f n+1(a+(b a)x)dx

Changement de variables affine :

fonctions périodiques

∫0

T

f ( t)dt= ∫nT

nT+T

f ( t)dt On fait le changement de variable. x= t+nT

Paires.

∫ a

a

f (t)dt=2∫0

a

f (t)dt On décompose l'intégrale avec la relation de Chasles et on fait le

changement de variable x= t

23/24


Impaire.

∫ a

a

f (t)dt=0

Application : coefficients de Fourier.

an=1

2π∫0

2π

f (t )cos(nt)dt Et bn=1

2π∫0

2π

f ( t )sin(nt )dt

24/24

Table des matières - pagesperso-orange.frvivre.les.maths.pagesperso-orange.fr/.../Calcul... ·...

Documents

Transcript of Table des matières - pagesperso-orange.frvivre.les.maths.pagesperso-orange.fr/.../Calcul... ·...