CALCUL INTÉGRAL · CALCUL INTÉGRAL Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition...

CALCUL INTÉGRAL

Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition

SOLUTIONNAIRE DE L’ENSEIGNANT

Chapitre 4 : Séries infinies

Adaptation Vincent Godbout

Hughes Boulanger

Exercices 4.1 page 643

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 4.1 - Suites et limites de suites

1. 163-

441 ,

92-

331 ,

41-

221 ,0

111

24232221 =−

==−

==−

==−

= aaaa

2. 241

!41 ,

61

!31 ,

21

!21 ,1

!11

4321 ======== aaaa

3. ( ) ( ) ( ) ( )71-

181- ,

51

161- ,

31-

141- ,1

121- 5

4

4

3

3

2

2

1 =−

==−

==−

==−

= aaaa

4. 21

22 ,

21

22 ,

21

22 ,

21

22

5

4

44

3

33

2

221 ======== aaaa

5. ( ) ... ,2,1pour ,1- 1 == + na n

n 6. ( ) ,1- 21na n

n+= pour ... ,2 ,1=n

7. ... ,2,1pour ,12 =−= nnan 8. ,4−= nan pour n = 1, 2, ... 9. ... ,2,1pour ,34 =−= nnan 10. an = 4n − 2, pour ... ,2 ,1=n

11. ( ) ... ,2,1pour ,21-1 1

=+

=+

nan

n

644 Chapitre 4 Séries infinies


12. ( )

,2

211-

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=

n

n

na pour ... ,2 ,1=n

13. ,1631

21 ,

815

21 ,

47

21 ,

23

21 ,1 445334223121 =+==+==+==+== aaaaaaaaa

5121023

21

,256511

21 ,

128255

21 ,

64127

21 ,

3263

21

9910

889778667556

=+=

=+==+==+==+=

aa

aaaaaaaa

14. ,!4

1241

4 ,

61

3 ,

21

2 ,1 3

42

31

21 ========aaaaaaa

5 64

5 6 7

7 8 98 9 10

1 1 1, , , 5 5! 6 6! 7 7!

1 1 1, , 8 8! 9 9! 10 10!

a aaa a a

a a aa a a

= = = = = =

= = = = = =

15. ( ) ( ) ( ) ( ) ,81

21- ,

41-

21- ,

21-

21- ,1

21- ,2 4

5

53

4

42

3

31

2

21 =⋅

==⋅

==⋅

==⋅

==aaaaaaaaa

( ) ( ) ( ) ( )

( )2561

21-

,128

12

1- ,641-

21- ,

321-

21- ,

161

21-

910

10

89

97

8

86

7

75

6

6

=⋅

=

=⋅

==⋅

==⋅

==⋅

=

aa

aaaaaaaa

16. ,21-

43 ,

32-

32 ,1-

21 ,2- 3

42

31

21 =====⋅

==aaaaaaa

.51-

109 ,

92-

98 ,

41-

87

,72-

76 ,

31-

65 ,

52-

54

910

89

78

67

56

45

======

======

aaaaaa

aaaaaa



17. ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 34523412321 =+==+==+=== aaaaaaaaaaa

55 ,34

,21 ,13 ,8

8910789

678567456

=+==+=

=+==+==+=

aaaaaa

aaaaaaaaa

C'est la suite bien connue des nombres de Fibonacci.

18. ,21 ,

21- ,1- ,2

2

34

1

2321 ======

aaa

aaaaa

.21 ,

21- ,-1

,2 ,2- ,1-

8

910

7

89

6

78

5

67

4

56

3

45

======

======

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

19. a) Pour ( ) ( ) ,2 ,2 xxfaxxf =′−= de sorte que

( )( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

+=

+−=

−−=

′−=+

nn

n

n

n

n

n

nn

n

nn

n

nnn

xax

xax

xax

xaxx

xaxx

xfxfxx

21

21

2

22

222

222

1

b) ,732142857,15697

473

47

21 ,

47

232

21 ,2

131

21 ,1 3210 ≈=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +== xxxx

7320508,1

776 855 408977 158 708

864 10817 813

864 10817 18

21

,73205081,1864 10817 18

56973

5697

21

5

4

≈=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

≈=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

x

x

Nous constatons que 54 et xx sont identiques. La suite des xn semble donc

converger vers 1,73205081, qui est une approximation de .3

Ce résultat est tout à fait logique puisque nous obtenons un des zéros de ( ) ,32 −= xxf

soit ,3 l'autre zéro étant .3-



20. ,5,112+1

21 , 1 10 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡== xx

,416666667,11217

5,125,1

21

2 ≈=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=x

,215686414,1408577

12172+

1217

21

3 ≈=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=x

,135624142,1832 470857 665

4085772

408577

21 4 ≈=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=x

.135624142,1832 470857 665

2832 470857 665

21

5 ≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=x

La suite des nx semble converger vers 414213562,1 qui est une approximation de ,2 un

des zéros de ( ) .22 −= xxf 21. a) Il s'agit de la fonction ( ) .22 −= xxf

Nous avons ,408577

12171

21217 ,

1217

231

223 ,

23

11

21 ,1 3210 =+==+==+== xxxx

.414213562,1832 470857 665

4085771

2408577

4 ≈=+=x

La suite de nombres converge vers ,2 qui est un des deux zéros de la fonction

( ) .22 −= xxf

b) Il s'agit de la fonction ( ) .1tan −= xxf

,7881802928,0

sec1tan ,8372778683,0

1sec11tan1

,1 avons Nous

121

1221

0

≈−

−=≈−

−=

=

xxxxx

x

,7853981635,0sec

1tan ,785405918,0sec

1tan

323

342

22

23 ≈−

−=≈−

−=x

xxxx

xxx

.7853981634,0sec

1tan 4

24

45 ≈−

−=x

xxx

La suite de nombres converge vers ,7853981634,04 ≈π qui est le zéro de la fonction

( ) .1tan −= xxf



c) Pour que ( )( )n

nnn xf

xfxx′

−=+1 prenne la forme ,11 −=+ nn xx il faut que ( ) ( )nn xfxf =′ quel

que soit .nx Or la seule fonction dont la dérivée est égale à elle-même est ( ) .xexf =

Il s'agit donc de cette fonction.

Nous avons -2,1-1 -1,10 ,011 ,1 3210 =−==−==−== xxxx etc. La suite de

nombres diverge. De toute façon, la fonction ( ) xexf = n'admet pas de zéro. 22. a) ,302306540,11cos1 , 1 21 ≈+== xx

,791601570,1cos 223 ≈+= xxx

.796327570,1cos 334 ≈+= xxx

Ce résultat correspond à l'approximation de 2π à 9 décimales de précision.

b) Après quelques étapes, la somme de l'arc de cercle 1−nx et du segment 1cos −nx

se rapproche très rapidement du quart de cercle. 23. ( ) ( ) 2021,0lim21,02lim =+=+=+

→∞→∞

n

n

n

n

(Voir la Table 4.1.1, numéro 4). La suite converge vers 2.

24. ( ) ( ) 11-1lim1-lim =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

+→∞→∞ nn

n n

n

n

n

La suite converge vers 1.

25. -122-

21

21

lim2121lim ==

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+−

∞→∞→

n

nnn

nn

La suite converge vers -1.



26. -515-

81

51

lim8

51lim4

34

4

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+

−∞→∞→

n

nnn

nnn

La suite converge vers -5.

27. ( )( )2 1 12 1lim lim lim 11 1n n n

n nn n nn n→∞ →∞ →∞

− −− += = − = +∞

− −

La suite diverge.

28. ( )( )2

3 3 1lim lim lim 03 2 25 6n n n

n nn n nn n→∞ →∞ →∞

+ += = =

+ + ++ +

La suite converge vers 0. 29. ( ) 2111-1 =+→+= n

na lorsque n est pair et ( ) 0111-1 =−→+= nna lorsque n est impair.

Il s'ensuit que nna

∞→lim n'existe pas et que la suite diverge.

30. ( ) 111111- =⋅→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

na n

n lorsque n est pair et

( ) 1-11-111- =⋅→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

na n

n lorsque n est impair.

Il s'ensuit que nna

∞→lim n'existe pas et que la suite diverge.

31. 1 1 1 1 11 12 2 2n

nan n n n+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1 1 1 1lim lim 1 12 2 2 2nn n

an n→∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

La suite converge vers .21



32. ( ) 012

1-lim1

=−

+

∞→ n

n

n


33. ,211

2lim1

2lim =+

=+ ∞→∞→

nn

nnn

d'où .21

2→

+nn

En prenant ( ) 2et == Lxxf dans le contexte du théorème 4.1.7, nous obtenons

.21

2→

+nn

La suite converge vers 2 .

34. 2

12

lim ππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→ nn

En prenant ( ) 2=et sin πLxxf = dans le contexte du théorème 4.1.7, nous obtenons

.12

sin12

sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ππn


35. Puisque .1sin1- ,1sin1-nn

nn

n ≤≤≤≤

Comme ,01et 01-→→

nn la suite 0sin

→n

n en vertu du théorème du sandwich.

36. Puisque .21

2sin01sin0 1sin1-

22 et , nn

nnn ≤≤≤≤≤≤ Et puisque ,021lim =

∞→ nn la suite 0

2sin 2

→nn en

vertu du théorème du sandwich pour les suites (Voir le théorème 4.1.2).



37. La fonction ( ) xxxf

2= est définie pour tout x et coïncide avec la suite n

n2

pour x

entier positif. Il s'ensuit que 02ln2

1lim2

lim2

lim =⋅

==→∞→∞→∞ xnxnnn

xn (application de

la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).


38. La fonction ( ) ( )x

xxf 1ln += est définie pour tout 0>x et coïncide avec la suite ( )

nn 1ln + pour n

entier positif.

( ) ( )1

ln 1 ln 1 1Il s'ensuit que lim lim lim 12

22 2 0lim lim lim 0

11 1 1 11

n n n

x x x

n x xn x

x

xx xx

x xxx

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ + += =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = =

+ +⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

(application de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).


39. ∞=∞

==→∞

→∞

→∞ 1lim

lnlimlnlim 11 n

n

nnn n

n

nn

(Voir la Table 4.1.1, numéro 2).

La suite diverge.

Note : Nous pouvons démontrer, en utilisant un raisonnement par l'absurde analogue

à celui qui est utilisé à l'exemple 8, page 257, que le quotient d'une série divergente

par une série convergente est une série divergente.



40. ( )lim ln ln 1 lim ln1n n

nn nn→∞ →∞

⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠

Or, , lorsque 11

∞→→+

nn

n de sorte que 01ln1

ln =→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+nn (Voir le théorème 4.1.3).


41. 771lim en

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→ (Voir la Table 4.1.1, numéro 5).

La suite converge vers .7e

42. 1-)1-(1lim11lim enn

n

n

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→∞→ (Voir la Table 4.1.1 numéro 5).

La suite converge vers .1-e 43. ( ) 111lim10lim10lim10lim 111 =⋅=⋅==

→∞→∞→∞→∞

n

n

n

n

n

nn

nnnn (Voir la Table 4.1.1, numéros 3 et 2).

La suite converge vers 1. 44. ( ) ( )1 22 2 1lim lim lim

nn n

n n nn n n

→∞ →∞ →∞= =

Or, 1lim 1n

nn

→∞= (Voir la Table 4.1.1, numéro 2), de sorte que ( ) ( )221 1 2lim lim 1 1n n

n nn n

→∞ →∞= = =

selon le théorème 4.1.7.


45. .111

lim

3lim3lim 1

11

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→∞

→∞

→∞ n

n

n

nn

n nn (Voir la Table 4.1.1 numéros 3 et 2).




46. Posons .4+= nm Alors ( ) ( )1 4 1lim 4 lim 1n m

n mn m+

→∞ →∞+ = = (Voir la Table 4.1.1, numéro 2).


47. ( ) ( )1 1 1 1lim 4 lim 4 lim 4 lim 4 lim 4 1 4n nn n n n n n

n n n n nn n n n

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(Voir Table 4.1.1, numéro 2). La suite converge vers 4.

48. ( )2 1 /2 1 2 1 2 1 1lim 3 lim 3 lim 3 lim 3 3 9 lim 3 9 1 9n nn n n n n

n n n n n

++ +

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞= = = ⋅ = = ⋅ = (Voir la Table 4.1.1,

numéro 3).


49. Pour tout n, ( ) .1...

1...321!0nnnnnn

nnnn

n ≤⋅⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅=≤

Comme 0!lim ,01limet 00lim ===∞→∞→∞→ nnnn n

nn

d'après le théorème du sandwich.


50. ( ) 0!

4-lim =∞→ n

n

n (Voir la Table 4.1.1, numéro 3).


51. ( )

∞=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

→∞→∞

!10

1lim10

!lim66

n

nnnnn

(Voir la Table 4.1.1, numéro 6).

La suite diverge.

52. ∞=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅ →∞→∞

!61lim

32!lim

n

nnnnnn

(puisque 0!

6lim =∞→ n

n

n selon la table 4.1.1, numéro 6).

La suite diverge.



53. Soit ( )

.1 ln1 n

n na ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Alors .limlimlimet -1ln

ln1ln1lnln1ln 1-1-ln eeea

nn

nna

n

a

nnnnn ====

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

∞→∞→∞→

La suite converge vers .-1e

54. en

n

n=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11lim (Voir la table 4.1.1, numéro 5). Nous avons donc, selon le théorème 4.1.3,

.1ln11limln11lnlim ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→∞→e

nn

n

n

n

n


55. Soit .1313 n

n nna ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=

Alors ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⋅=1313lnln

nnnan .

11313ln

lim1313lnlimlnlimet

nnn

nnna

nnnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⋅=→∞→∞→∞

Puisque 133lim

1313lim ==

−+

→∞→∞ nn nn (règle de L'Hospital, forme ∞∞ ),

,01ln1313limln

1313lnlim ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

→∞→∞ nn

nn

nn de sorte que la règle de L'Hospital s'applique de

nouveau (forme 00 ) à la limite du quotient :

( ) ( )

( ) .32

96

196lim-

193939lim

1-13

313

3

lim1

13ln13lnlim1

1313ln

limlnlim

2

22

2

2

==−

=⋅−

−−−=

−−

+=−−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=

→∞→∞

→∞→∞→∞→∞

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

a

nn

nnnnn

Il s'ensuit que .limlim 32lnlimln eeea nnnaa

nnn=== ∞→

∞→∞→ La suite converge vers .32e



56. ( )

1-1

111lim

1lim

111lim

1lim e

ennnn

n

n

n

nn

n

n

n==

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→

∞→

∞→∞→ (Voir la table 4.1.1, numéro 5).

La suite converge vers .1-e

57. ( )( ) ( )

n

nn

nnnn

n nx

nx

nx

nxa

1

11

11

121

121212⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅=

+=

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

( )nnx

nnx

nxa

n

n12lnln

121ln1ln

121lnln

1 +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅=

et ( ) ( )nnx

nxxa

nnnnn

12lnlimlnlim12lnlnlimlnlim +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

−=∞→∞→∞→∞→

xxn

xnx

n

nnnn

ln0lnlim12

2limlnlim1

122

limlnlim

=−=+

−=+−=

∞→

∞→∞→∞→∞→

Finalement, .limlim lnlnlimln xeeea xaa

nnn

nnn ==== ∞→

∞→∞→

La suite converge vers x, où .0>x

58. La fonction ( )x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2

11 est définie pour tout 1≥x et coïncide avec la suite n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 2

11 pour n

entier positif.

Or, x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→ 211lim est de la forme indéterminée .1∞

Si nous posons ,11 2

x

xy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= alors

2

2

1ln 11ln ln 1

1xy x

xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

et

22 322

2 2 3

2 2

1 21ln 121 1lim ln lim lim lim -

1 1 1

-2 -2 0lim lim 011 -1

x x x x

x x

xx xxy xx x x x

x xx x

→∞ →∞ →∞ →∞

→∞ →∞

⎛ ⎞ ⋅−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = = ⋅ ⋅− −

= = = =−

(règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).



(application de la règle de L'Hospital, cas 00 ).

Il s'ensuit que 1lim 0 ==∞→

eyx

(Voir le théorème 4.1.3).


59. 0!

36lim!2

63lim - ==⋅

⋅∞→∞→ nn

n

nn

nn



60. La fonction ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

xxxxf 1sin

12

2

est définie pour tout 1≥x et coïncide avec la suite ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− nnn 1sin

12

2

pour n entier positif.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

22

2 2 2 3

cos 1 -1sin 1 sin 1 -cos 11 -1 1 lim sin lim lim lim lim .2 1 2 1 2 22 1 -2 2 -2 2-Or,

x x x x x

x xx x xxxx x xx x x x x

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⋅⎛ ⎞ = = = = = =⎜ ⎟ −− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(application de la règle de L'Hospital, cas 0 0 ).

La suite converge vers 21 .

61. .2

tan lim π=

→∞narc

n

La suite converge vers .2π

62. .02

0tan lim1limtan 1lim =⋅=⋅=⋅→∞→∞→∞

πnarcn

narcn nnn


63. 0002

131lim

2

131lim =+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→∞→

nn

nn

n

n (Voir la Table 4.1.1 numéro 4).




64. La fonction ( ) x xxxf += 2 est définie pour tout 1≥x et coïncide avec la suite n nn +2 pour n

entier positif.

( ) x

x

x

xxxxx

122 limlim Or, +=+→∞→∞

est de la forme indéterminée .0∞

Si nous posons ( ) ,12 x

xxy += alors ( ) ( )22

ln1ln lnx x

y x xx x

+= + = et

( ) ( ) 012

2lim121limlnlimlnlim 2

2

=+

=+⋅+

=+

=→∞→∞→∞→∞ x

xxxx

xxyxxxx

(applications répétées de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).

Il s'ensuit que 1lim 0 ==∞→

eyx


La suite converge vers 1. 65. Comme le numérateur et le dénominateur de na tendent tous deux vers l'infini lorsque ,∞→n

la règle de L'Hospital nous permet d'écrire ( ) ( )45

15 lnlnlim lim 1

2n n

nn nn

n→∞ →∞

⋅=

( ) ( )4 45 ln 10 lnlim 2 lim .n n

n nn

n n→∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Par applications successives de la règle de L'Hospital,

nous obtenons :

( ) ( ) ( ) ,ln80lim

21

1ln410limln10lim

33

4

nn

n

nn

nn

nnn →∞→∞→∞=

⋅⋅=

puis

( ) ,ln480lim2

nn

n ∞→

puis

( )n

nn

ln1920lim→∞

et enfin,



.03840lim =→∞ nn


66. ( ) ( ) ( )2 222 2

2 2lim lim limn n n

n n nn n nn n n n n nn n n n n n→∞ →∞ →∞

− −+ −− − = − − ⋅ =

+ − + −

( )2 2

1 1lim lim lim .21 1 11 1n n n

n nnn n n n n n→∞ →∞ →∞

= = = =+ −+ − + −


67. Nous procédons par essais et erreurs, en tentant de cerner la première valeur n pour laquelle

-310 15,0 <−n . Notre recherche nous a fait essayer les valeurs suivantes de n : 100, 200, 400,

600, 700, 690, 693, 692.

Comme l'inégalité est respectée pour la première fois pour ,693=n nous savons qu'en

choisissant ,692=n l'inégalité sera respectée pour tout .Nn >

La suite .1lim .5,0 ===→∞ nn

nn aLa

68. 9123=N La suite .n

n na = 1lim ==∞→ nn

aL

69. 65=N La suite ( ) .0lim .9,0 ===

→∞ nn

nn aLa

70. 14=N La suite .!

2nn 0lim ==

→∞ nnaL

71. Posons ( ) .113

++

==nnanf n

Alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

3 1 3 1 13 1 3 3 3 1 2 01 1 1 1

x xd x x xf xdx x x x x

+ − + ⋅+ + − −⎛ ⎞′ = = = = >⎜ ⎟+⎝ ⎠ + + + pour tout .1≥x



Par conséquent, f est une fonction croissante, c'est-à-dire que ( ) ( ),1 nfnf ≥+ ou encore nn aa ≥+1

pour tout .1≥n La suite est donc non décroissante.

De plus, ( )3 13 1 3 3 3,1 1 1

nn nn n n

++ +< = =

+ + + de sorte que la suite est bornée supérieurement entre

autres par 3=M .

72. ( )( )2 3 !

1 !nn

an

+=

+

La forme de la suite se prête bien à une définition par récurrence.

( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )( )

( )( ) ( )

1

2 1 3 ! 2 5 ! 2 5 2 4 2 3 !En effet,

1 1 ! 2 ! 2 1 !

2 5 2 42 2 5 .

2

n

n n

n n n n na

n n n n

n na n a

n

+

+ + + + + += = =

+ + + + +

+ += ⋅ = +

+

Pour ,1≥n ( ) ,1522 >+n de sorte que .1 nn aa >+ La suite est donc non décroissante.

De plus, ( )( )2 3 !

lim ,1 !n

nn→∞

+= ∞

+ donc la suite n'est pas bornée supérieurement.

73. !

6!32

nna

nnn

n ==

La forme de la suite se prête bien à une définition par récurrence (puissance au numérateur et

factorielle au dénominateur).

En effet, ( ) ( )

1

16 6 6 6 6 6 .

1 ! 1 ! 1 ! 1

n n n

n na an n n n n n

+

+⋅

= = = ⋅ = ⋅+ + ⋅ + +

Pour 165, 1 et ,

1 n nn a an +> < <

+ de sorte que la suite n'est pas non décroissante.

Nous venons de voir que pour n > 5, la suite { }na est décroissante.

Nous constatons sans difficulté que na atteint un maximum pour .5a

En effet, .8,64et 54 ,36 ,18 ,6 54321 ===== aaaaa

La suite est donc bornée supérieurement par 64,8, entre autres.



74. nnnn nnaa

2122

21

122 11 −−≥−+

−⇔≥ ++

( )( )

( ) 1

1

21-

12

121

21

1212

21

21

122

+

+

≥+

⇔

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≥

+−+

⇔−≥+

−⇔

n

nnn

nn

nnnn

nn

Comme cette dernière inégalité est vraie pour tout n, il en résulte que nn aa ≥+1 pour tout n.

La suite est donc non décroissante.

Par ailleurs, 22122 ≤−− nn

pour tout n. La suite est donc bornée supérieurement par 2, entre

autres.

75. n

an11−= converge, puisque

nn nn

1lim111lim∞→∞→

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − et que 01lim =

→∞ nn

(Voir l'exemple 2. a), page 259).

Nous pourrions aussi utiliser la justification suivante : n11− est une suite non décroissante

bornée supérieurement par 1. Par conséquent, elle converge.

76. ,1lim ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→∞ nn

n donc la suite diverge.

77. .211

212

nn

n

na −=−

= Comme nn1

210 << et que 01

→n

(Voir l'exemple 2. a), page 259),

021

→n en vertu du théorème du sandwich. Par conséquent n

n

212 − converge vers 1.

78. 00031lim

32lim

312lim =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∞→∞→∞→

n

n

n

nn

n


La suite converge.



79. 0=na pour n impair et 2112 →⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

nan pour n pair. Il n'existe pas de nombre L satisfaisant la

définition de convergence vers L, et la suite diverge. 80. ( ){ }nnxn cos ,1cos ..., ,3cos ,2cos ,1cosmax −= et ( ){ },1cos ,cos ..., ,3cos ,2cos ,1cosmax1 +=+ nnxn

d'où nn xx ≥+1 : la suite est non décroissante.

De plus 1≤nx de sorte que la suite est bornée supérieurement par 1.

Il s'ensuit que la suite converge (Voir le théorème 4.1.11).

81. n

an11+= converge, puisque

nn nn

1lim111lim→∞→∞

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + et que 01lim =

→∞ nn

(Voir l'exemple 2. a), page 259)

82. 1 2 1 2 1lim lim lim lim lim 2n n n n n

n nnn n n→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

+= + = +

Or 01lim =→∞ nn

(Voir l'exemple 2, page 259), d'où 001lim ==→∞ nn


De plus, 22lim =∞→n

(Voir l'exemple 2, page 259).

Il s'ensuit que .22021lim =+=+

→∞ nn

n


83. ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⋅−=

−∞→∞→∞→

-221lim

2221lim

241lim n

nnn

nn

nnn

n

La suite diverge.

84. 40443lim4lim

434lim

434lim

1

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+→∞→∞→∞

+

→∞

n

nn

n

nn

nn

n (Voir l'exemple 2, page 259

et la table 4.1.1, numéro 4).




85. Soit ( ) ( )nink et deux fonctions dont le domaine est l'ensemble des entiers positifs, les images sont

des sous-ensembles de l'ensemble des entiers positifs et qui préservent l'ordre. Soit les deux

sous-suites ( ){ } ( ){ } et k n i na a telles que ( ) ( )1, 2 1 2et .k n i na L a L L L→ → ≠

Puisque ( ) ,1La nk → pour tout 0>ε il existe un entier positif 1N tel que

( ) ( ) . 11 ε<−⇒> LaNnk nk

De même, puisque ( ) ,2La ni → pour tout ,0>ε il existe un entier positif 2N tel que

( ) ( ) . 22 ε<−⇒> LaNni ni

Soit { }. ,max 21 NNN = Alors pour , et , 21 εε <−<−> LaLaNn nn d'où 1Lan →

et ,2Lan → où .21 LL ≠ Comme la limite d'une suite convergente est toujours unique

(Voir le numéro 100 de la présente section d'exercices), an ne peut converger de sorte qu'elle

diverge.

86. Puisque ,2 La k → pour tout ,0>ε il existe un entier 1N tel que ε<−⇒> 2 21 LaNk k

De même, puisque ,12 La k →+ pour tout ,0>ε il existe un entier 2N tel que

. 12 122 ε<−⇒>+ + LaNk k

Soit { }. ,max 21 NNN = Alors ε<−⇒> LaNn n pour n pair ou impair, d'où .Lan → 87. a) 1223 -1;121 2222 =⋅−=⋅−

Plus généralement, ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 4 2 4 2 - 2a b a b a ab b a ab b a b+ − + = + + − − − = +

( )2 2- 2 ,a b= − de sorte que si -1,2 22 =− ba alors ( ) ( ) 122 22 =+−+ baba et que si

1,2 22 =− ba alors ( ) ( )2 22 2 -1.a b a b+ − + =

b) ( )( )

22

2

22 2n

a br

a b

+− = −

+



( ) ( )( )

( )( )

2 2

2

2 2

2

2

2 2

- 2

1

n

a b a b

a b

a b

a b

y

+ − +=

+

−=

+

±=

d'où .122

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

nn y

r

Par ailleurs, y1 =1, y2 = 2, d'où nyn ≥ dans ces deux cas. De plus, 212 −− += nnn yyy

pour .3≥n Si nous arrivons à démontrer que ( 2et 1 21 −≥−≥ −− nyny nn ) ,nyn ≥⇒ nous

aurons démontré que nyn ≥ pour tout n positif, du fait que .2et 1 21 ≥≥ yy

Or, si 1 21 et 2,n ny n y n− −≥ − ≥ − alors ( )1 22 2 1 2 2 4 ,n n ny y y n n n n n− −= + ≥ − + − = + − ≥

puisque .0423 >−⇒≥ nn

Finalement ,11et 11 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤⇒≥

nynyny

nnn d'où ,212limlim

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

∞→∞→ nnnn yr

puisque .01→

n

88. a) Posons .1n

x =∆

Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0lim lim 1 lim lim 0 .nn n x x

f x f x fa nf n f

x x+ +→∞ →∞ ∆ → ∆ →

∆ + ∆ −′= = = =

∆ ∆

b) Posons ( ) ,tan xarcxf = une fonction dérivable sur [ ]0, 1 et telle que ( ) .00tan 0 == arcf

Alors ( ) 21 1lim tan 0 1.

1 0nn arc f

n→∞

⎛ ⎞ ′= = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

c) Posons ( ) ,1−= xexf une fonction dérivable sur [ ]0, 1 et telle que ( ) .010 0 =−= ef

Alors ( ) ( ) .101lim 01 ==′=−∞→

efen n

n

d) Posons ( ) ( )ln 1 2 ,f x x= + une fonction dérivable sur [ ]0, 1 et telle que ( ) .01ln0 ==f

Alors ( ) .2221

1021ln lim0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

+=′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=→∞ xn x

fn

n



89. a) Si a est un entier positif impair, alors a peut s'écrire sous la forme ,12 +n où n est un

entier 0≥ .

( )22 2

2 2

2 1 4 4 12 2 2

12 2 2 2 et 2

na n nb

n n n n

⎡ ⎤⎡ ⎤ + ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )222 22 1 12 2 2 2 1,

2 2 2nac n n n n

⎡ ⎤⎡ ⎤ + ⎡ ⎤⎢ ⎥= = = + + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

de sorte que ( ) ( )222 2 2 2 4 3 22 1 2 2 4 4 1 4 8 4a b n n n n n n n n+ = + + + = + + + + +

( ) .12214884 222234 cnnnnnn =++=++++=

b)

2

2

22

2 2 2lim lim 12 2 1

2

a a

an n

n na→∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥

+⎣ ⎦ = =⎡ ⎤ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(règle de L'Hospital, cas ∞∞ ),

ou encore

2

2 2

2lim lim sin 1.

2

a θ π

a

θa→∞ →

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

En effet, lorsque 2 , πθ →∞→a puisque 2

2ab

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

augmente plus vite que a.

90. a) ( ) ( )n

nn 212lim π

∞→ entraîne la forme indéterminée .0∞ Si nous posons ( ) ( ),2 21 nny π=

alors ( ) ( )ln 21ln ln 2 2 2

nπy nπ

n n= = et ( )

1 2ln 2 12lim ln lim lim lim 02 2 2n n n n

πnπ nπyn n→∞ →∞ →∞ →∞

⋅= = = =

(application de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).

Il s'ensuit que ( ) ( )1 2 0lim 2 1n

nnπ e

→∞= = (Voir le théorème 4.1.3).

Selon l'approximation de Stirling, ,2! πnenn

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈ de sorte que



( ) ( ) ( ).22! 211

21 nnn

n nenn

enn ππ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

b) Comme ( ) ( )ennn nn

n≈=

∞→! ,12lim 21π pour n suffisamment grand.

n n n! en

40 15,76852702 14,71517765

50 19,48325423 18,39397206

60 23,1918961 22,07276647

69 26,52596034 25,38368144

91. a) 1

1

limlnlim −∞→∞→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= cncn ncn

nn (application de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ )

.0011lim1 1lim =⋅=⋅==

∞→∞→ cncnc cncn

b) Si ,04,0et 001,0 == cε on veut ,001,0104,0 <

n soit ( ) ,

001,01lnln ,

001,01 04,004,0 >> nn

( ) ( ) ( )( )-ln 0,001 0,04 75-ln 0,0010,04ln -ln 0,001 et ln , et 1 10 .

0,04n n n e> > > ≈ × En prenant

,101 75×=N nous serons donc assurés que pour .001,0 01 , 04,0 <−>n

Nn

Plus généralement, pour tout ,0>ε il existe un ( ) ceN εln-= tel que si ,Nn > alors

,ln-lnc

n ε> d'où ε

εεε <>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛>> c

cc

nnnnc 1 ,1 ,1lnln ,ln-ln et finalement . 01 ε<−cn

Il s'ensuit que .01lim =∞→ cn n

92. Supposons que les suites { }na et { }nb convergent toutes deux vers L.

Définissons une nouvelle suite { }nc telle que nnnn acbc == −122 et pour ... ,3 ,2 ,1=n



Pour tout ,0>ε il existe un entier 1N tel que ε<−⇒> 1 LaNn n et il existe un entier

2N tel que . 2 ε<−⇒> LbNn n Soit { }1 2max , .N N N=

Alors ,etn nn N a L ε b L ε> ⇒ − < − < de sorte que , 2 ε<− Lc n c'est-à-dire qu'à partir

du ( )e2n terme de la suite { },nc tous les termes sont à une distance de L inférieure à .ε

Il s'ensuit que la suite { }nc converge vers L.

93. a) ( )1 1 1ln lim lnln1lim lim lim limn

nn nnnn n n

n n n nn n e e e →∞

→∞ →∞ →∞ →∞= = = =

Or 1

1 lnlim ln lim lim1n n n

n nnn n→∞ →∞ →∞

⋅ = = (règle de L'Hospital, cas ∞∞ ) .0=

Il s'ensuit que .1lim 0 ==∞→

ennn

b) ,1limlimlim 0lnlimln1limln1

ln1 1====== ∞→∞→

⋅⋅

∞→∞→∞→eeeeex n

xxn

xn

n

x

n

n

nnn

n puisque x demeure

constante lorsque .∞→n 94. Nous devons démontrer que pour tout ,0>ε il existe un entier N tel que . 0 ε<−⇒> nxNn

Comme 1 1 lorsque nε n→ → ∞ (Voir la Table 4.1.1, numéro 3), alors que 1 <x par hypothèse, il

existe un entier N tel que . 1 xN >ε Autrement dit, ( )1 .NNN Nx x ε ε= < =

Ce N est l'entier recherché, puisque si ,1 <x alors n Nx x< pour tout .Nn >

Il s'ensuit que ε< nx pour tout ,Nn > d'où lim 0.n

nx

→∞=

95. ln 1 ln 1 lim ln 1

lim 1 lim lim

n

n

x x xn n nn n n

n n n

x e e en

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞+ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Or

2

2

1 -

ln 1 1lim ln 1 lim lim

1 -1n n n

xx x n

x n nnn n n→∞ →∞ →∞

⋅⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⋅ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(règle de L'Hospital, cas ∞∞ )



.1

1lim x

nxx

n=

+=

→∞ Il s'ensuit que .1lim x

n

ne

nx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

96. Nous savons que, pour tout x, , - nnn xxx ≤≤ de sorte que

- .! ! !

n nnx xxn n n

≤ ≤ Il suffit donc

de démontrer que ,0!

→nx n

puis d'appliquer le théorème du sandwich pour les suites (Voir le

théorème 4.1.2, page 263), pour arriver à démontrer que .0!→nxn

Soit M un entier tel que . xM > Nous avons alors .1

<Mx

Selon le résultat de la table 4.1.1,

numéro 4,

0.n

xM

⎛ ⎞→⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ Concentrons-nous sur les valeurs de n telles que .Mn >

( )( )

( ) facteurs

Nous avons alors

! 1 2 ... 1 2 ... !

.

!!

n n n

n M

n M

nn M M

n

x x xn M M M n M M

x M xMM MM M

−

−

= ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

⎛ ⎞⋅= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Ainsi,

0 .! !

nn Mx xMn M M

⎛ ⎞≤ ≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Comme, par ailleurs, !M

M M

demeure constant lorsque ∞→n et que

0,n

xM

⎛ ⎞→⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ le membre

de droite tend vers 0 et, en vertu du théorème du sandwich,

0,!

nxn

→ d'où 0!

nxn

→ par

une nouvelle application du théorème du sandwich.

97. Supposons que lim limn nn n

a c L→∞ →∞

= = et soit .0>ε Alors il existe un entier 1N tel que

, 1 ε<−⇒> LaNn n c'est-à-dire - ou .n nε a L ε L ε a L ε< − < − < < +



De même, il existe un entier 2N tel que , 2 ε<−⇒> LcNn n c'est-à-dire - εε <−< Lcn

.ou εε +<<− LcL n

Si { }1 2max , ,n N N> alors ,n n nL ε a b c L ε− < ≤ ≤ < + de sorte que , ε<− Lbn d'où

lim .nnb L

→∞=

98. Si ,Lan → alors pour tout ,0>δ il existe un entier N tel que pour tout n, . δ<−⇒> LaNn n

Mais si f est continue en L, alors pour tout ,0>ε il existe un 0>δ tel que

( ) ( ) . εδ <−⇒<− LfafLa nn

Il s'ensuit que ( ) ( ) , ε<−⇒> LfafNn n de sorte que ( ) ( ).Lfaf n → 99. Supposons que la suite { }na converge vers L. Alors, d'après la définition de convergence, pour

tout 2ε il existe un entier N tel que pour tout m et tout n, 2

ε<−⇒> LaNm m et

.2

ε<−⇒> LaNn n

Il s'ensuit que εεε=+<−+−≤−+−=−

22 nmnmnm aLLaaLLaaa

pour tout .et NnNm >> 100. Si 21 et LaLa nn →→ alors, pour tout ,0>ε il existe un entier N tel que pour tout n,

. 21 et εε <−<−⇒> nn aLaLNn

Puisque εεε 2 1 21212 =+<−+−≤−+−=− LaaLLaaLLL nnnn la différence 12 LL −

entre les limites 21 et LL est plus petite que n'importe quel nombre réel positif .2ε Or, le seul

nombre non négatif à être plus petit que tout nombre positif est le nombre 0, de sorte que

.ou 0 2112 LLLL ==− 101. Supposons d'abord que la suite { }na converge vers 0. Alors, pour tout ,0>ε on peut trouver

un entier N tel que , 0 ε<−⇒> naNn d'où , 0- , , εεε <<< nnn aaa ce qui implique

que { } na converge vers 0.



Supposons maintenant que { } na converge vers 0. Alors pour tout ,0>ε on peut trouver un

entier N tel que , 0 ε<−⇒> naNn d'où , 0- , , εεε <<< nnn aaa ce qui implique

que { }na converge vers 0. 102. a) Nous procédons par essais et erreurs, en tentant de cerner la première valeur n

pour laquelle ( )7,25 0,94 3,5.nnS = <

Par exemple, 1 5 10 11 126,815, 5,32, 3,90, 3,67 3,45.etS S S S S= = = = =

La compagnie Ford aurait mis environ 12 ans à rattraper les entreprises japonaises.

b) Une calculatrice graphique donne 76,11≈x pour .50,3≈y

Nous pouvons obtenir une réponse exacte en résolvant l'équation exponentielle

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) .77,1194,0ln

25,75,3ln25,75,3ln94,0ln

25,75,394,0

5,394,025,7

≈=

=

=

=⋅

n

n

n

n

Exercices réalisés avec Mathématica Rechercher des indications de convergence ou de divergence.

103. a) [ ] na n_ : = n

[ ] { }[ ]

[ ]

[ ]{ }

{ } { } { }

n

j

x

Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N

Dessin = TracerListe Valeurs

L = lim a n

j = 2

While Abs j 1 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice

Indice

Tracer L + 0.01, x , x, Indice - 5, Indice + 5 , Style rouge, bleu

→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ → ⎤⎣ ⎦

Ici, évaluez n n pour différentes valeurs de n afin de réduire le temps d'attente du test

effectué par Mathematica. Car n est assez grand.



[ ]{ }

{ } { } { }

j

x

j = 110000

While Abs j 1 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice

Indice

Tracer 1.0001, x , x, Indice -10, Indice +10 , Style rouge, bleu

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

104. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin

[ ]n1a n_ : = 1 +

2n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) 2=j

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }

[ ] [ ]{ }

While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice

Indice

Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 10, 25 , Style rouge, vert, bleu


Indice

Tracer L +

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]{ } { } { }0.0001, L 0.0001, a n , n, 1800, 3000 , Style rouge, vert, bleu⎡ ⎤− →⎣ ⎦

105. [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin

[ ] [ ]a n_ : = Sin n

[ ] { }[ ]

[ ]n

Valeurs = Table a n , n, 1, 25 //N


L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

Donc la suite diverge.



106. a) [ ]Dessin Valeurs, L, j, a,Nouveau

[ ] 1a n_ : = n Sinn

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) 2=j

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }

[ ] [ ]{ }


Indice



Indice

Tracer L + 0.

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]{ } { } { }0001, L 0.0001, a n , n, 20, 50 , Style rouge, vert, bleu⎡ ⎤− →⎣ ⎦

107. a) [ ]Dessin Valeurs, L, j, a,Nouveau

[ ] [ ]Sin na n_ : =

n

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) Il est à remarquer que cette suite n'est pas monotone. 1=j

[ ]{ }

[ ]{ } { } { }

1While Abs L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indicej

Indice


⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦



[ ]{ }

[ ]{ } { } { }]

1While Abs L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indicej

Indice

Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 9500, 10500 , Style rouge, vert, bleu ,

AspectRatio 0.8

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ − →⎣

→


[ ] [ ]Log na n_ : =

n

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) 1=j

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }

[ ] [ ]{ }


Indice


j = 100000


Indic

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦e

Ici, le graphique n'est pas très convaincant. Essayez!

[ ]{ } { }

{ } ( )

Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 115000, 116680 ,

Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8, Image -0.000105, 0.000105

⎡ −⎣

⎤→ → → ⎦

Calculons la valeur de [ ]a n pour la valeur trouvée et la précédente.

[ ][ ]

N a Indice -1 , 25

N a Indice , 25

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦




[ ] ( )na n_ : = 0.9999

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) 1=j

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }

[ ] [ ]{ }


Indice



Indice

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

Ici, le graphique n'est pas très convaincant. Essayez !

[ ]{ } { }

{ }

Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 90000, 93000 ,

Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8

⎡ −⎣

⎤→ → ⎦


[ ] na n_ : = 123456

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) 1=j

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }


Indice


⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦

Évaluez [ ]na pour déterminer une valeur de départ pour le test afin de réduire le

temps d'attente. j = 115000



[ ] [ ]{ }While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice

Indice

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

Ici, le graphique n'est pas très convaincant. Essayez !

[ ]{ } { }

{ }

Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 115000, 118000 ,


⎡ −⎣

⎤→ → ⎦

[ ]

[ ]

N Abs a Indice L , 25

N Abs a Indice 1 L , 25

⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦


[ ]n8a n_ : =

n!

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= N lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) 1=j

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }


Indice


⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦


Indice

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]{ } { }

{ }

Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 25, 30 ,


⎡ −⎣

⎤→ → ⎦

[ ]

[ ]



⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦




[ ]( )

41

nna n_ : =19

[ ] { }[ ]

[ ]n



L= lim a n→∞

⎡ ⎤⎣ ⎦

b) j =1

[ ] [ ]{ }

[ ]{ } { } { }


Indice


⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤− →⎣ ⎦

[ ]

[ ]



⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦


Indice

⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]{ } { }

{ }

Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 58, 65 ,


⎡ −⎣

⎤→ → ⎦

[ ]

[ ]



⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦



Déterminer la convergence de suites définies par récurrence.

113. a) [ ]Nouveau a, L, Dessin, j

[ ]a 1 = 1

La liste des valeurs commencera avec [ ]2a

[ ] [ ] { }

[ ]

{ }

n1Valeurs = Table a n +1 = a n , n, 1, 255

N Valeurs

TracerListe Valeurs, image 1, 2, 1.27

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

La suite semble converger vers 1.25. Les commandes suivantes permettent de trouver

[ ]a n en fonction de n seulement, ce qui permettra de décider de la convergence de cette

suite. Il faut charger le Package suivant :

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]n

-n

n

DiscreteMath'RSolve'

Nouveau a

1RSolve a n +1 = a n , a 1 = 1 , a n , n5

1 5lim4 4→∞

⟨⟨

⎡ ⎤⎧ ⎫+⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) 1j =

[ ]{ }-j1 5 5While Abs 5 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice

4 4 4

Indice

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞− − >⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]{ }

-3

-2

-3

1 5 5Abs 54 4 4

1 5 5Abs 54 4 4

1 5 5While Abs 5 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice4 4 4

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞− − >⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦



[ ] [ ] ( ) [ ]{ } [ ]

-6

-5

n

Indice

1 5 5Abs 54 4 4

1 5 5Abs 54 4 4

RSolve a n +1 = a n -2 , a 1 1 , a n , n

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )[ ] ( )( )[ ][ ]

n

n

n

1lim 1 -23

1f n_ : = 1 -23

f 20

f 50

→∞−

−

114. [ ]Nouveau a, L, Dessin, j

[ ]a 1 = 1

La liste des valeurs commencera avec [ ]2a

[ ] [ ] ( ) { }nValeurs = Table a n +1 = a n -2 , n, 1, 25⎡ ⎤+⎣ ⎦

Le graphique n'est pas adéquat. Les valeurs de la table le sont plus.

{ }TracerListe Valeurs, image -600000, 700000⎡ ⎤→⎣ ⎦

La suite semble converger car elle n'est pas bornée.

[ ]

[ ] [ ] ( ) [ ]{ } [ ]n

Nouveau a

RSolve a n +1 = a n -2 , a 1 = 1 , a n , n⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

Cette suite diverge car les termes d'indice pair et impair tendent vers ∞∞ et -

respectivement.

( )

( )( )

n

n

2n+1

n

1lim 1 431lim 1 23

→∞

→∞

−

+



115. a) [ ]Valeurs L, j, a,Nouveau

[ ]A 0 =1000

[ ] [ ] { }0.02015Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n 50, n, 0, 9912

⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

[ ]TracerListe Valeurs

[ ][ ][ ]

A 59

A 200

A 5000

b) [ ]Nouveau A, Valeurs

[ ]A 0 = 5000

[ ] [ ] { }0.0589Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n 50, n, 0, 9912

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

[ ]TracerListe Valeurs

[ ][ ]

A 59

A 100

c) [ ]Nouveau A, Valeurs, a

[ ]A 0 = 5000

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] [ ] [ ]

0.045Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n , n, 0, 994

0.045RSolve a n +1 = 1 + a n , a 0 = 5000 , a n , n4

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

{ }[ ]

nTrouverRacinesIntervalle 5000 1.01125 20000, n, 1, 200

Nouveau A, Valeurs, a

⎡ ⎤∗ =⎣ ⎦

[ ]A 0 5000=

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] [ ] [ ]

0.0625Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n , n, 0, 904

0.0625RSolve a n +1 = 1 + a n , a 0 = 5000 , a n , n4

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦



{ }nTrouverRacinesIntervalle 5000 1.01563 20000, n, 1, 200⎡ ⎤∗ =⎣ ⎦

d) [ ]Nouveau A, Valeurs, a

[ ]A 0 =1000

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }k

0.02015Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n 50, n, 0, 10012

0.02015 12 50 12 50Valeurs = Table A k = 1 + A 0 , k, 0, 10012 0.02015 0.02015

⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤∗ ∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Exercices réalisés avec Maple

103. a) Commandes Maple

restart:

a:=n->n^(1/n):

with(plots):

pointplot({seq([n,a(n)],n=1..25)},symbol=circle,color=black,

symbol=circle);

Limit(n^(1/n),n=infinity)=limit(n^(1/n),n=infinity):

L:=rhs(%);

:= L 1

b) k:=15:

for i from k by 1 while is(abs(a(i)-L)>0.01) do k:=k+1 end

do:` N `=k;

= N 652



k:=115000:

for i from k by 1 while is(abs(a(i)-L)>0.0001) do k:=k+1 end

do:` N `=k;

= N 116678

104. a)

c := L 1.648721271

b) N = 21 et N = 2036

105. a)

106. a)

:= L 1

b) N =15 et N = 41 107. a)

:= L 0

b) N =19 et N = 289



108. a)

:= L 0

b) N = 648 et N =116672 109. a)

:= L 0.

b) N = 46050 et N = 92099 110. a)

:= L 1

b) N = 46050 et N = 92099

111. a)

:= L 0 b) N =1179 et N = 117243



112. a)

:= L 0

b) N = 59 et N = 61

113. a) Commandes Maple

a[1]:=1:

for i from 1 to 99 do a[i+1]:=evalf(a[i]+1/5^i,6) end do:

seq([`rang `=i,a[i]],i=[1,2,10,25,100]);

with(plots):

pointplot({seq([n,a[n]],n=1..25)},symbol=circle,color=black,

symbol=circle);

[ ], = rang 1 1 [ ], = rang 2 1.20000 [ ], = rang 10 1.24999 [ ], = rang 25 1.24999, , , ,

[ ], = rang 100 1.24999

La suite est bornée inférieurement par 1 et supérieurement par 1.25. Elle est

croissante et elle converge vers 1.25.

b) Commandes Maple

k:=1:

for i from k by 1 while is(abs(a[i]-L)>0.01) do k:=k+1 end

do:` N `=k;

N = 3 et N = 6



114. a)

La suite n’est pas bornée ni inférieurement ni supérieurement. Elle est divergente.

115. a) Commandes Maple A[0]:=1000:r:=0.02015:m:=12:b:=50:

for i from 0 to 100 do A[i+1]:=evalf((1+r/m)*A[i]+b,6) end

do:seq([`nb de périodes`=k,A[k]],k=1..4);

[`après 60 périodes`=A[60]];

[ ], = nb de périodes 1 1051.68 [ ], = nb de périodes 2 1103.45, ,

[ ], = nb de périodes 3 1155.30 [ ], = nb de périodes 4 1207.24,

[ ] = après 60 périodes( 5 ans) 4259.56

La suite est bornée inférieurement par 1000 mais ne possède pas de borne supérieure.

[ ], = rang 1 1 [ ], = rang 2 -1. [ ], = rang 9 171. [ ], = rang 10 -341., , , ,[ ], = rang 24 -.5592405 107 [ ], = rang 25 .11184811 108,



b)

[ ] = après 60 périodes 3229.25

La suite est bornée supérieurement par 1000 et inférieurement par 0.

c) Commandes Maple

A[0]:=5000:r:=0.045:m:=4:b:=0:

for i from 0 to 200 do A[i+1]:=evalf((1+r/m)*A[i]+b,6) end

do:L:=20000: k:=100:

for i from k by 1 while is(A[i]<L) do k:=k+1 end do:` N `=k;

L’investissement atteindra le montant de 20 000$ après 124=N périodes, soit après 31

ans. Si le taux d’intérêt passe à 6.25% il faudra alors 90=N périodes, soit 22.5 ans.

d) Commandes Maple

A[0]:=1000:r:=0.02015:m:=12:b:=50:

for i from 0 to 49 do A[i+1]:=(1+r/m)*A[i]+b end do:

B[0]:=A[0]:

for i from 1 to 50 do B[i]:=(1+r/m)^i*(A[0]+m*b/r)-m*b/r end

do: seq([A[i],B[i]],i=0..10);

Voici la comparaison des 10 premiers termes : [ ],1000 1000 [ ],1051.679167 1051.67918 [ ],1103.445112 1103.44514, , ,

[ ],1155.297981 1155.29802 [ ],1207.237919 1207.23797, ,[ ],1259.265073 1259.26511 [ ],1311.379589 1311.37965, ,[ ],1363.581614 1363.58170 [ ],1415.871295 1415.87139, ,[ ],1468.248779 1468.24886 [ ],1520.714214 1520.71432,

[ ], = nb de périodes 1 4974.55 [ ], = nb de périodes 2 4948.98, ,[ ], = nb de périodes 3 4923.28 [ ], = nb de périodes 4 4897.45,



Exercices 4.2 - Séries infinies 1. Série géométrique de premier terme 2=a et de raison .31=r

( ) ( )( )

( )( )( )( )

2 1 1 313 1 1 3

1 1 1 3

lim lim 3 1 1 3 3,

nnn

n

nnn n

a rs

r

S s→∞ →∞

−−= = = −

− −

= = − =

ou encore ( ) .3311

2lim =−

==→∞ nn

sS

La série converge vers 3. 2. Série géométrique de premier terme 1009=a et de raison .1001=r

( ) ( )( )

( )( )9 100 1 1 1001 1 1 1 100

1 1 1 100 11

nnn

n

a rs

r

−−= = = −

− −

( )( )1 1lim lim 1 1 100 ,11 11

nnn n

S s→∞ →∞

= = − = ou encore .111

99100

1009

100111009

1=×=

−=

−=

raS

La série converge vers .111 3. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .21-=r

( ) ( )( )( )

( )( )

( )

1 1 -1 2 2 1 -1 21

1 1 -1 2 3

1 2lim1 -1 2 3

n nn

n

nn

a rs

r

S s→∞

− −−= = =

− −

= = =−

La série converge vers .32

4. Série géométrique de premier terme a = 1 et de raison .2-=r

( )( )( )

( )1 -2 1 -21 -2 3

n n

ns− −

= =−

1,r > donc la série diverge.



5. ( )( )

1 1 1 ,1 2 1 2n n n n

= −+ + + +

d'où

21

21

21limlim

.2

121

21

11...

41

31

31

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−==

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

→∞→∞ nsS

nnns

nnn

n


6. ( )

5 5 5 ,1 1n n n n

= −+ +

d'où

.1

551

5551

5 ... 45

35

35

25

255

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

nnnnnsn

.51

55limlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−==

∞→∞→ nsS

nnn La série converge vers 5.

7. ... 641

161

411 +−+− Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .41-=r

( ) 54

41-11lim =

−==

∞→ nnsS

8. ... 2567

647

167

47

++++ Série géométrique de premier terme 47=a et de raison .41=r

37

41147

1=

−=

−=

raS

9. ( ) ... 271

85

91

45

31

2515 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

Somme de deux séries géométriques, la première de premier terme 5=a et de raison ,21=r

la seconde de premier terme 1=a et de raison .31=r

La somme est .223

2310

3111

2115

=+=−

+−

=S



10. ( ) ... 271

85

91

45

31

2515 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

Différence de deux séries géométriques, la première de premier terme 5=a et de raison ,21=r


La somme est .2

172310

3111

2115

=−=−

−−

=S

11. ( ) ... 125

181

251

41

51

2111 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

Somme de deux séries géométriques, la première de premier terme 1=a et de raison ,21=r

la seconde de premier terme 1=a et de raison .51-=r

La somme est ( ) .6

17652

51-11

2111

=+=−

+−

=S

12. ... 12516

258

542 ++++ Série géométrique de premier terme 2=a et de raison .52=r

3

10521

21

=−

=−

=r

aS

13. ( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )( )4 1 4 3 4 4 34

4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1A n B n A B n A BA B

n n n n n n n n+ + − + + −

= + = =− + − + − + − +

En rendant les numérateurs égaux, nous obtenons ,43et -où d' ,044 =−==+ BABABA

.1 que sorte de -1,et 43-où d' ===− ABBB

Donc, ( )( )

4 1 14 3 4 1 4 3 4 1n n n n

= −− + − +

et

.1

1411limlim

.14

1114

134

134

174

1 ... 131

91

91

51

511

=+

−==

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

→∞→∞ nsS

nnnnns

nnn

n



14. ( )( )

6 ,2 1 2 1 2 1 2 1

A Bn n n n

= +− + − +

d'où ( ) ( ) ( )6 2 1 2 1 2 2 .A n B n A B n A B= + + − = + + −

Nous avons donc ,022 =+ BA d'où ,6et - =−= BABA d'où -3.et 3 ,62 === BAA

Ainsi, ( )( )

6 3 32 1 2 1 2 1 2 1n n n n

= −− + − +

et

( ) ( ) ( ) ( )

.12

33

123

123

123

323 ... 9373735353113

+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−++−+−+−+−=

n

nnnnsn

312

33limlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−==

∞→∞→ nsS

nnn.

15. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

402 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1

n A B C Dn nn n n n

= + + +− +− + − +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

3 2 2 3 2 2

2 2

3 2

2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

8 4 2 1 4 4 1 8 4 2 1 4 4 1

2 1 2 1

8 8 4 4 4 4 -2 4 2 4

2 1 2 1

A n n B n C n n D n

n n

A n n n B n n C n n n D n n

n n

A C n A B C D n A B C D n A B C D

n n

− + + + + − + + −=

− +

+ − − + + + + − − + + − +=

− +

+ + + − + + + − − + − + + +=

− +

En rendant les numérateurs égaux, nous obtenons le système d'équations linéaires :

040

00

44

248

44

-2-

48

====

+−+

+−−+

+++

DDD

CCCC

BBB

AA

AA

c'est-à-dire

( )( )( )( ) .4321

020

00

22--

====

+−+

+−−+

+++

DD

D

CCCC

BB

B

AA

AA

De (2) et (4), nous déduisons 022 =+ DB et, de (1) et (3), ,2022 =− DB d'où 5 ,204 == BB

-5.et =D Par (1), 0=+CA et par (4), ,055- =−++ CA c'est-à-dire .0- =+CA



Il s'ensuit que ,0=C d'où .0=A

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1

40 5 52 1 2 1 2 1 2 1

k k

n n

nn n n n= =

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠

∑ ∑

⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ...

491

251

251

91

9115

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 12 3 2 1 2 1 2 1k k k k

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

( )2

15 1 .2 1k

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )

.512

115lim 2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

→∞ kS

n

16. ( ) ( )

,1

11112

2222 +−=

++

nnnnn d'où

( ) ( ) ( )22222 1

111

1111

1 ... 161

91

91

41

411

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

nnnnnsn .

( )

11

11limlim 2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−==

→∞→∞ nsS

nnn

17. 1

111

1111

1 ... 4

13

13

12

12

11+

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nnnnnsn

11

11limlim =+

−==→∞→∞ n

sSnnn

18. ... 4ln

15ln

13ln

14ln

12ln

13ln

1+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ns

( ) ( ) ( ) ( ) 2ln1

2ln1

1ln1

2ln1

ln1

1ln1

−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

nnnnn

( ) 2ln1-

2ln1

2ln1limlim =−+

==→∞→∞ n

sSnnn



19. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .12

1<=r

La série converge donc vers ( )

1 2 2 2.2 11 1 2

= = +−−

20. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .12 >=r La série diverge.

21. Série géométrique de premier terme 23=a et de raison .1 où ,21- <= rr

La série converge donc vers ( ) .12323

21-123

==−

22. ( ) ,1-cos nn =π de sorte que ( ) .51-

51-

5cos

000∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

n

n

nn

n

nnnπ

Série géométrique de premier terme 1=a et de raison ,51-=r donc .1 <r

La série converge donc vers ( ) .65

51-11

=−

23. Série géométrique de premier terme 10 == ea et de raison .112

2- <==e

er

La série converge donc vers .111

12

2

2 −=

− ee

e

24. 0-lnlim1lnlimlim0

≠∞==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→∞→∞→x

na

xnnn

La série diverge, selon le test du en terme pour la divergence.

25. Série géométrique de premier terme 110 ==

xa et de raison .11

<=x

r

La série converge donc vers .111

1−

=− x

xx



26. Différence de deux séries géométriques, la première de premier terme 1=a et de raison ,32=r


La somme est .23

233

3111

3211

=−=−

−−

=S

27. ( ) 01-1lim11lim 1- ≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→∞→e

nn

n

n

n

n

La série diverge donc, selon le test du en terme pour la divergence.

28. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .1<= πer


1ee −

=− π

ππ

29. ( )1 1ln ln ln 1

1n n

n n nn

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠∑ ∑

[ ] [ ] [ ]( ) ( )

( ) ( )( )

ln1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 3 ln 4 ...

ln 1 ln ln ln 1

ln1 ln 1 -ln 1 .

lim lim ln 1 -

n

nn n

s

n n n n

n n

S s n→∞ →∞

= − + − + − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + = +

= = − + = ∞

La série diverge. 30. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .eππer =

Or .103,1e e >≈ππ La série diverge.

31. ,0

!1000lim

1

!1000

1lim1000

!lim ≠∞===

∞→

∞→∞→

nn

nn

n

nnnn

puisque 0!

1000lim =→∞ n

n

n (voir la table 4.1.1, numéro 6, page 260).

La série diverge donc, selon le test du en terme pour la divergence.



32. 0lim...321...lim

!limlim ≠∞=>

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==∞→∞→∞→∞→

nnnnnn

nna

nn

n

nnn

La série diverge, selon le test du en terme pour la divergence.

33. ( ) ( ) ... 1-1- 32

00+−+−== ∑∑

∞

=

∞

=

xxxxxn

n

n

nn

Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .-xr =

La série converge vers ( ) .1 - pour 1

1-1

1<==

+=

−xxr

xx

34. ( ) ( )2 2 2 4 6

0 0-1 - 1 ...

nn n

n nx x x x x

∞ ∞

= =

= = − + − +∑ ∑

Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .- 2xr =

La série converge vers ( ) 22

1 111 - xx

=+−

pour 1 - 2 <= xr c'est-à-dire .11-ou 12 <<< xx

35.

2 3

0

1 1 1 13 3 3 3 3 ...2 2 2 2

n

n

x x x x∞

=

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

Série géométrique de premier terme 3=a et de raison .2

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=xr

La série converge vers ,12

11-pour 3

6

23

3

211

3<

−<

−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

xxxx

c'est-à-dire .31-ou 212- <<<−< xx

36. ( )

( ) ( ) ( )2 30 0

-1 1 1 -1 1 1 1 1 ...2 3 sin 2 3 sin 2 2 3 sin 2 3 sin 2 3 sin

n n n

n nx x x x x

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + +∑ ∑

Série géométrique de premier terme 21=a et de raison .sin31-

xr

+=

La série converge vers x

xxx

xsin28

sin3sin4sin3

21

sin31-1

21++

=++

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

pour tout x (puisque, étant

donné que 21

sin31

41 ,1sin1- ≤

+≤≤≤

xx pour tout x).



37. ( )∑ ∑∞

=

∞

=

=0 0

22n n

nnn xx

Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .2xr =

La série converge vers .21 ou 1 2 pour

211

<<=−

xxrx

38. ( ) -22

0 0

-1-1n

n n

n nx

x

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .1-2x

r =

La série converge vers 11-1

12

2

2+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− x

x

x

pour ,1 1- 2 <=x

r c'est-à-dire ,1 2 >x ou encore

-1.ou 1 <> xx

39. ( ) ( )n

n n

nn

xx∑ ∑∞

=

∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0 03

21-3

21-

Série géométrique de premier terme 1=a et de raison ( ) .2

3321- xxr −

=−=

La série converge vers ,1 2

3 pour 1

2=

231

1<

−=

−−−

xrxx c'est-à-dire

.51ou -1-5- ,232- ,12

3<1- <<<<<−<<− xxxx

40. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .ln xr =

La série converge vers xln1

1−

pour ,1 ln <= xr soit ,1ln1- << x ou encore .1- exe <<



41. ( ) ( )

... 100

23100

2310023... 23 23 23,023,0 32 +++==

n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∑

∞

= 1001

10023

0

Série géométrique de premier terme 10023

=a et de raison .1100

1<=r


1001110023

=−

42. ( ) ( )2 3

0

234 234 234 234 10, 234 0,234 234 234... ... 1000 1000 10001000 1000

n

n

∞

=

⎛ ⎞= = + + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Série géométrique de premier terme 1000234

=a et de raison .11000

1<=r


1000111000234

=−

43. ... 10

710

710

7107... 7777,07,0 432 ++++==

n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

= 101

107

0

Série géométrique de premier terme 107=a et de raison .1101 <=r


1011107

=−

44. ( ) ( ) ∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=++++==

032 1000

110004141 ...

1000414

1000414

10004141...144 144 414,1414 ,1

n

n

999

14139994141

10001110004141 =+=

−+= .



45. 123... 123 123 24,112324,1 =

2

5 5 3 5 3

5 3

5 3 3 5 30

124 123 123 1 123 1 ... 100 10 10 10 10 10

124 123 1 124 123 10 124 123 10100 100 10010 10 1 1 10 10 10 1124 123 123 999 41 333100 99 900 99 900 33 300

n

n

∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = + = + ⋅⎜ ⎟ − −⎝ ⎠

= + = =

∑

46. ... 857 421 857 421 857 142,3857 142 ,3 =

( ) ( )6 2 36 6

6

6 6 60

142 857 142 857 142 8573 ...10 10 10

142 857 1 142 857 103 310 10 1 1 10

n

n

∞

=

= + + + +

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑

722

999 999854 142 3

999 999857 1423 ==+=

47. La distance ... 4342

4342

43424

32

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⋅⋅+=s

m. 28464

431164

... 43

431

43424 2

=⋅+=−

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⋅+=

48. Le temps ... 43

9,442

43

9,442

43

9,442

9,44 32

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=t

( ) ( ) s. 58,12329,4

324329,4

34324

323

9,44

9,42

43143

9,442

9,44

... 43

43

43

9,442

9,44 32

≈−

+=

−+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=

−⋅+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=



49. Désignons par nc la longueur du côté du en carré. Ainsi,

,2

121

21 ,1

22

22c ,211 ,2

22

4

22

322

21 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+== ccc etc.

( ) ( )

.m 8211

4

... 21124

... 2

1122

2

2222

=−

=

++++=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=S

50. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 21 2 1 4 1 82 4 8 ... 2 ...

2 2 2 2Aire

nnππ π π ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

221141

... 2

1 ... 161

81

41

1

ππ

π

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++= +n

51. a) 2 1

1 2 34 4 43, 3 , 3 , ... , 33 3 3

n

nL L L L−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14lim lim 3

3

n

nn nL

−

→∞ →∞

⎛ ⎞= = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( )43

231

21

1 =⋅⋅=A

2 1

3 2

4 3

1 1 3 3 332 3 6 4 12

1 1 3 3 3 3122 9 18 4 12 27

1 1 3 3 3 3 4 3482 27 54 4 12 27 243

...

A A

A A

A A

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠



n

n

n

nnn

nnn

nn

A

A

AA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+=

⋅+=

⋅⋅⋅⋅⋅+=

−

−−−

−−−

−

94

64273 ...

94

64273

94

64273

94

64273

43

943

43

43

3

323

31

2143

432

331

3321

112

1

532

59

123

43

9418116

64273

43

94

64273

43lim

2

=⋅+=−

⋅⋅+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+= ∑

∞

=→∞

n

nnn

A

52. Chaque terme de la série ∑∞

=12

1n n

est représenté par l'aire d'un des carrés de la figure.

Tous ces carrés sont contenus dans un rectangle de largeur 1 et de longueur égale à

.2211

121

0=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑

∞

=n

n

Comme les carrés ne remplissent pas le rectangle dans sa totalité,

nous pouvons en déduire que .211

2 <∑∞

=n n

53. a) ( )( )-2

1+4 5n n n

∞

= +∑

b) ( )( )0

1+2 3n n n

∞

= +∑

c) ( )( )5

13 2n n n

∞

= − −∑

54. a) Par exemple : .1211

21 ... 161

81

41

21

=−

=++++



b) Par exemple : .3-211

23- ... 163

83

43

23- =

−=−−−−

c) Par exemple : .0211

211 ... 161

81

41

211 =

−−=−−−−−

Soit k un nombre arbitraire, positif ou négatif.

La série kkkkkk=

−=++++

2112 ...

16842 est un modèle d'une telle série.

55. 91

1 ... 1 32 =−

=++++ bbbb

eeee d'où .

98lnet

98 ,1

91

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==−= bee bb

56. La somme partielle ns de la série est donnée par 65432 2221 rrrrrrsn ++++++=

122 2 ... ++++ nn rr que l'on peut récrire sous la forme ( )nn rrrrs 2642 ... 1 +++++=

( )1253 2 ... 222 ++++++ nrrrr qui est la somme des sommes partielles de deux séries géométriques

de raison .2r

,1 si 1

211

21

1lim 2222 <

−+

=−

+−

=→∞

rr

rrr

rsnn

c'est-à-dire si .1 <r

57. ( ) ( )1

1 11 1 1 1

n nn

n

a ra a a rL s rr r r r

−⎡ ⎤− = − = − − =⎣ ⎦− − − −

58. Soit .21 n

nn ba ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== Alors .1

21121

21

111=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

n

nnn

nn ba

Par ailleurs, .31

41141

41

21

21

111=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

= n

n

n

nn

nnnba

Or, ,3111 ≠× d'où .

111n

nn

nn

nn baba ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

≠⋅



59. Prenons, par exemple, la série n

nnna ∑∑

∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

11 41 et la série .

21

11

n

nnnb ∑∑

∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Alors 31

41141

1=

−== ∑

∞

=nnaA et .1

21121

1=

−== ∑

∞

=nnbB

Toutefois, ( )( )

.1211

2121

2141

111 BA

ba n

nnn

n

n n

n ≠=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

60. Soit .21 n

nn ba ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== Alors ,1

21121

21

111=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

n

nnn

nn ba alors que

( )( )

,12121

111∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

==nn

n

n

n n

n

ba qui est une série divergente.

61. Elle diverge. En effet, si ∑ na converge, alors ,0lim =∞→ nn

a de sorte que .1lim ∞=→∞ nn a

Puisque ,01lim ≠∞→ nn a

, la série ∑na

1 diverge, selon le test du en terme pour la divergence.

62. Puisque la somme d'un nombre fini de termes ne peut être que finie, le fait d'ajouter un nombre

fini de termes à une série divergente ou de le retrancher ne modifie pas la divergence de la série.

63. Soit nn aaaA +++= ... 21 et soit .lim AAnn

=∞→

Supposons que ( )∑ + nn ba converge vers S.

Si nous posons ( ) ( ) ( ), ... 2211 nnn bababaS ++++++=

alors ( ) ( ), ... ... 2121 nnn bbbaaaS +++++++= d'où nnn ASbbb −=+++ ... 21

et ( ) ( ) .limlimlim ... lim 21 ASASASbbb nnnnnnnnn−=−=−=+++

→∞→∞→∞→∞

Puisque ( ) ,...lim 21 ASbbb nn−=+++

→∞ il s'ensuit que ∑ nb converge. Mais ∑ nb diverge par

hypothèse. Donc ( )∑ + nn ba ne peut converger ; elle diverge.



Exercices 4.3 - Séries à termes positifs

1. ( )1

5+

=x

xf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

( )1

1 1

5 5 lim lim 5ln 1 lim 5ln 1 5ln 21 1

bb

b b bdx dx x b

x x

∞

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + − = ∞⎣ ⎦⎣ ⎦+ +∫ ∫

Puisque l'intégrale diverge, la série ∑∞

= +1 15

n n diverge aussi.

2. ( )12

1

−=

xxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

( )11 1

1 1 1 1 1lim lim ln 2 1 lim ln 2 1 ln12 1 2 1 2 2 2

bb

b b bdx dx x b

x x

∞

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − − = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Puisque l'intégrale diverge, la série 1

12 1n n

∞

= −∑ diverge aussi.

3. ∑∑∞

=

∞

=

+=32

ln22lnln

nn nn

nn

Or ( )xxxf ln

= est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .3≥x

( ) ( ) ( )∞=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⋅=

→∞→∞

∞

→∞∫∫ 23ln

2lnlim

2lnlim 1lnlim ln 22

3

2

33

bxdxx

xdxxx

b

b

b

b

b


=3

lnn n

n diverge aussi, de même que .ln2∑∞

=n n

4. ∑∑∑∞

==

∞

=

+=8

7

22

lnlnlnnnn n

nnn

nn

L'étude des signes de la dérivée première de ( )xxxf ln

= démontre que la fonction est croissante

de )39,7( à 2 2 ≈== exx et décroissante pour .2ex > Le test de l'intégrale ne s'applique donc qu'à

la série .ln8∑∞

=n nn



Par ailleurs, les autres conditions d'application du test ( ( )xf continue et positive) sont satisfaites.

∫∫∞

→∞=

b

bdx

xxdx

xx

88

lnlimln

Posons .ln xt = Alors ,1 dxx

dt = tex = et .2tex =

2ln 1ln tx dx x x dx t e dtxx

= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

Intégration par parties : posons ,tu = .2dtedv t= Alors dtdu = et ,2 2tev = de sorte que

.4222 22222 ∫∫ −=−= ttttt eetdteetdtet

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

ln 2 ln 2

8

8

lnAinsi, lim lim 2ln 4

lim 2 ln 4

lim 2 ln 4 2 ln8 8 4 8

lim 2 ln 2 2 ln8 8 4 8 .

bx x

b b

b

b

b

b

xdx xe ex

x x x

b b b

b b

→∞ →∞

→∞

→∞

→∞

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + = ∞⎣ ⎦

∫


=8

lnn n

n diverge aussi, de même que .ln2∑∞

=n nn

5. ( ) x

x

eexf 21+

= est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

(On peut montrer que la fonction est décroissante en calculant sa dérivée et en montrant

qu'elle est toujours négative.)

( )∫ ∫∫+

=+

=+ ∞→

∞

∞→

b b

x

x

bx

x

bx

x

dxe

edxe

edxe

e

1 122

12

1lim

1lim

1

1

lim tan lim tan tan tan 0,352

bx b

b b

πarc e arc e arc e arc e→∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − ≈⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Puisque l'intégrale converge, la série ∑∞

= +121n

n

n

ee converge aussi.



6. ( ) ( )1

1f x

x x=

+ est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

( )( ) ( )

1 1 1

1

1 1 1 1 12 2 lim 1 2 1 21

2 lim ln 1 2 lim ln 1 ln 2

b

b

b

b b

dx dx dxx x x xx x

x b

∞ ∞

→∞

→∞ →∞

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅+ ++

⎡ ⎤= + = + − = ∞⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Puisque l'intégrale diverge, la série ( )1

11n n n

∞

= +∑ diverge aussi.

7. La calculatrice graphique illustre que la fonction ( )( ) ( )2

1

ln ln 1

xf xx x

=−

est continue, positive

et décroissante pour .3≥x

Soit ( ) ( )

. 1lnln

1

32

dxxx

x∫∞

−

Posons .ln xu = Alors 3ln , 1== udx

xdu lorsque ∞→= ux et 3 lorsque .∞→x

L'intégrale devient

( )

( )

ln32ln3

lim lim sec lim sec sec ln 31

1sec ln3 cos 1,1439.2 2 ln3

bb

b b b

du arc u arc b arcu u

π πarc arc

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦⎣ ⎦

−

⎛ ⎞= − = − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Puisque l'intégrale converge, la série ( ) ( )23

1

ln ln 1n

n

n n

∞

= −∑ converge aussi.

8. ( )( )( )2

1

1 lnf x

x x=


( )( ) ( )( )2 21 1

1 1lim1 ln 1 ln

b

bdx dx

x x x x

∞

→∞=

+ +∫ ∫

Posons .ln xu = Alors ,1 dxx

du = .1 lorsque 0et lorsque ==∞→∞→ xuxu



( )( )[ ]

[ ]

2 221 0 0

0

1 1 1 lim1 11 ln

lim tan

lim tan tan 0

0 .2 2

Ainsi,b

b

b

b

b

dx du duu ux x

arc u

arc b arc

π π

∞ ∞

→∞

→∞

→∞

= =+ ++

=

= −

= − =

∫ ∫ ∫

Puisque l'intégrale converge, la série ( )( )2

1

1

1 lnn n n

∞

= +∑ converge aussi.

9. Pour tout , ,1 3 nnn ≤≥ d'où .3

12

1et 3223

3

nnnnnnnn ≥

+=+≤+

Or ∑∞

=1

1n n

est une série-p divergente ( ),121 ≤=p donc ∑∞

=1 31

n n est aussi une série divergente

et ∑∞

= +132

1n nn

diverge, selon le test de comparaison directe.

10. Pour tout ,1≥n nnnnnn

nnnnnnnnnn+

<⇒+

<⇒+>⇒++>++⇒≥311

3130

.13nnn

>+

⇒

Or ∑∞

=1

1n n

est la série harmonique, qui est divergente, donc la série ∑∞

=1

3n nn

diverge, selon le test

de comparaison directe.

11. 1sin2 ≤n pour tout n, de sorte que .21

2sin2

nnn≤

Or ∑∞

=1 21

nn est une série géométrique de raison ,1

21 <=r donc convergente.

Donc ∑∞

=1

2

2sin

nn

n est une série convergente, selon le test de comparaison directe.



12. Pour tout ,1≥n ,2cos1 ≤+ n de sorte que .2cos122 nn

n≤

+ Or ∑∞

=12

1n n

est une série-p convergente

( )12 >=p et ∑∞

=12

2n n

est un multiple d'une série convergente, donc convergente.

Donc ∑∞

=

+

12

cos1n n

n est une série convergente, selon le test de comparaison directe.

13. Pour tout .31

313 ,1

nnn

nn

nnn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+≥

Or ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 31

n

n

est une série géométrique de raison ,131 <=r donc convergente.

Par conséquent, ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+1 13n

n

nn est une série convergente, selon le test de comparaison directe.

14. ( ) ( )nnnnnn

lnln1

ln1lnlnlnln <⇒>⇒> (puisque ( ) 0lnln >n pour e>n ). De plus,

.ln11lnnn

nn <⇒> Il s'ensuit que ( ) .lnln1

ln11

nnn<< Or ∑

∞

=1

1n n

est la série harmonique, qui est

divergente, donc la série ( )∑∞

=3 lnln1

n n diverge, selon le test de comparaison directe.

15. Comparons la série avec la série harmonique .12∑∞

=n n

( )

( ) ( )( )

2. . . .

2

1ln 1 1 1 1 1lim lim lim lim lim lim11 2 ln 2 1 2ln 2 ln

R H R H

n n n n n n

n n n nn nn n

nn→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎝ ⎠ = = = = = = ∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

Or ∑∞

=2

1n n

est une série divergente, donc ( )2

2

1lnn n

∞

=∑ est une série divergente, selon le 3e cas

du test de comparaison par une limite.



16. Comparons la série avec la série-p ∑∞

=12

1n n

( )( ) ( )

2

3 2 . . . .

2

ln1 12ln 2ln 2ln 2lim lim lim lim lim lim 0

1 1 1

R H R H

n n n n n n

nnn n nn n

n n nn

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥

⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ = = = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Or ∑∞

=12

1n n

est une série-p convergente ( ),12 >=p donc ( )∑∞

=13

2lnn n

n est une série convergente,

selon le 2e cas du test de comparaison par une limite.

17. Comparons la série avec la série-p .11

2∑∞

=n n

( )( ) ( )

( ) ( )

3

23 3 . .

2

2 . .

l 13 lllim lim lim

1 1

16 l3 llim lim

1

R H

n n n

R H

n n

nnnnn nn n

nn

nnnn nn

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

→∞ ∞ ∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

l6 lim 6 0 0n

nnn→∞

= = ⋅ = (Voir la table 4.1.1, numéro 1, page 266).

Or ∑∞

=12

1n n

est une série-p convergente ( ).12 >=p

Par conséquent, ( )33

1

l

n

nnn

∞

=∑ est une série convergente, selon le 2e cas du test de comparaison

par une limite.


=n n

. .1 1ln 2lim lim lim lim1 1ln 2

R H

n n n n

n nn n nn

n n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

= = = = ∞



Or ∑∞

=2

1n n

est une série divergente, donc ∑∞

=2 ln1

n nn est une série divergente, selon le 3e cas du test

de comparaison par une limite.


45∑∞

=n n

( )( ) ( )

2

3 2 2 . .

1 4

5 4 3 4

. .

1 4 1 4

3 4

ln12 lnln

lim lim lim1 1

4

1ln 18 lim 8 lim 32 lim 32 0 0

14

R H

n n n

R H

n n n

nnn n n

nn n

n nn n

n

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

→∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = ⋅ =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Or ∑∞

=145

1n n

est une série-p convergente ( ),145 >=p donc ( )∑∞

=123

2lnn n

n est une série convergente,

selon le 2e cas du test de comparaison par une limite.


=n n

. .1

11 lnlim lim lim lim1 11 ln

R H

n n n n

nn nn

n n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

+ = = = = ∞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Or ∑∞

=1

1n n

est une série divergente, donc ∑∞

= +1 ln11

n n est une série divergente, selon le 3e cas du test

de comparaison par une limite.



21.

( )( )

2

1 21

1 22

12 1 2lim lim lim

2

2

nn

nnn n nn

n

n

naρa nn

+

++→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦= = = ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

121

211

2111lim

211lim

22

<=⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∞→∞→ nn

nnn

La série converge selon le test du rapport.

22. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2- 1 . .1

2 - 2 2 répétée

1 1 11 1 1 1lim lim lim lim 1 1n R H

nnn n n nn

n e n naρ

a e e e en e n n

++

→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= = = ⋅ = = ⋅ = <⎢ ⎥⎣ ⎦


23. ( ) ( )- 11 1 ! 1lim lim lim

!

nn

-nn n nn

n ea nρa en e

++

→∞ →∞ →∞

+ += = = = ∞

La série diverge selon le test du rapport.

24.

( )( ) ( )

11

1

1 !10 1 ! 10 1lim lim lim lim 1

! ! 101010

n nn

nn n n nnn

nnaρ n

na n

++

+→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥ +⎣ ⎦= = = ⋅ = ⋅ + = ∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


25.

( )( )

101

10

10

1

10

1 1010

1lim

10

101

limlimn

nn

n

aa n

nn

n

n

nn

nn

⋅+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +

== +∞→

+

∞→

+

∞→ρ

1101

1011

10111lim

1011lim

1010

<=⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=→∞→∞ nn

nnn




26.

( ) ( )( ) ( )1

11

1 ln 12 1 ln 1 2lim lim limln ln22

n nn

nn n nnn

n nn naρ

n na n n

++

+→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦= = = ⋅⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

( )ln 11 1 1 1lim 1 1 1,2 ln 2 2n

nnn n→∞

⎡ ⎤++= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = <⎢ ⎥

⎣ ⎦

puisque 111lim1lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+→∞→∞ nn

nnn

et que ( ) .111lim

1lim1

11

limln

1lnlim....

==+

=+=+

∞→∞∞∞→∞→∞∞∞→ n

HR

nn

HR

n nn

n

nn

n


27.

( )( )( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )1

2 31 ! 2 3 !lim lim lim

1 ! 1 21 2!

nn n nn

n nn n na nρ

a n n nn nn

+

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⋅

+ + +⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

1022

1lim12

3lim1

113lim

..

2 <=+

=++

+=

+⋅

++

=→∞∞∞→∞→∞ nnn

nnn

nn

HR

nn


28. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3- 1 . .

1- 3 3 3 répétée

1 1 11 1 1 1lim lim lim lim 1 1n R H

nnn n n nn

e n n naρa e e e ee n n n

++

→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= = = ⋅ = = ⋅ = <⎢ ⎥⎢ ⎥


29. ( ) ( )1

1

lnlnlim lim lim

nnnnn

n n nn n n n

nnρ a

n n→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎣ ⎦= = =⎡ ⎤⎣ ⎦

10lnlim <==→∞ n

nn

(Voir la table 4.1.1, numéro 1, page 266).

La série converge selon le test de la racine .en



30. 1011lim11limlim 22 <=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

∞→∞→∞→ nnnna

nn

n

nn

nnρ


31. ( ) n

nnna

n

nn nn

nnn ln

limln

limlim∞→∞→∞→

===ρ

10lnlim

1<==

→∞n

n


32. ( ) n

nnna

n

nn nn

nnn ln

limln

limlim 2 ∞→∞→∞→===ρ

lnlim

1lnlim

lim

nn

n

nn

nn

∞→∞→

∞→ == (voir la table 4.1.1, numéro 2, page 266) .10 <=


33. ( )( )

( )1

2 12

!!lim lim lim

nnn

nnn nn n n nn

nnρ a

nn→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎣ ⎦= = =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( )

( )

2

1 2 !!lim lim

1lim 1 lim 2 ! 1

n n

n n

n n nnn nn

nn

→∞ →∞

→∞ →∞

− −= =

⋅

⎛ ⎞= − ⋅ − = ⋅∞ = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

La série diverge selon le test de la racine .en

34. ( ) ∞====∞→∞→∞→ 4

lim2

limlim 2nna

nn

n

n

nn

nnρ

La série diverge selon le test de la racine .en



35. -

1 1 1

1 1 ,n

nn

n n ne

ee

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ qui est une série géométrique de raison .11 <=e

r

La série converge.

36. 0111lim

1lim

..≠==

+ ∞→∞∞∞→ n

HR

n nn

La série diverge selon le test du en terme pour la divergence.

37. ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

=111

1et 133nnn nnn

est une série-p divergente ( ).121 ≤=p

La série diverge.

38. ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

=1

231

231

1et 12-2-nnn nnnn


La série converge en tant que multiple d'une série convergente.


=n n

( )( ) ( )

( )

2. .

2

. .

11 ln 1lim lim lim 11 1 ln 2 1 ln

1lim lim lim12 1 ln 22

R H

n n n

R H

n n n

n nn n

nnn n

nn

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

→∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ = =

⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = = ∞+ ⋅

Or ∑∞

=1

1n n

est une série divergente, donc ( )∑

∞

= +12ln1

1n n

est une série divergente, selon le 3e cas

du test de comparaison par une limite.



40. ( ) ( )11ln

++

=xxxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .2≥x

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]22 2

2 22

ln 1ln 1 ln3ln 1 ln 1 lim lim lim

1 1 2 2 2

bb

b b b

bxx xdx dx

x x

∞

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+++ + ⎣ ⎦⎢ ⎥= = = − = ∞⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

∫ ∫

Puisque l'intégrale diverge, la série ( )∑∞

= ++

2 11ln

n nn diverge aussi selon le test de l'intégrale.


23∑∞

=n n

nnnnnn ≥−⇒≥⇒≥ 22 22

Mais ( ) .1

1

11111 232232322222

nnnnnnnnnnnnnn <

−⇒>−⇒>−⇒>−⇒−>−

Or ∑∞

=123

1n n



= −1 2 1

1n nn

est une série convergente, selon le test de comparaison directe.

42. -22 -2lim lim lim 1 0n n

nn n n

na en n→∞ →∞ →∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(voir la table 4.1.1, numéro 5, page 266).


43.

( )( )( )

11

4 !3! 1 !3

lim lim3 !

3! !3

nn

n nnn

nnaρ

a nn

++

→∞ →∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )

( )

1

. .

4 ! 3! !3lim3 !3! 1 !3

4 1 1lim lim 13 1 3 3

n

nn

R H

n n

n nnn

nn

+→∞

→∞ ∞ ∞ →∞

+= ⋅

++

+= = = <

+




44.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

1 11

1

1 2 2 !3 1 ! 1 2 2 ! 3 !lim lim lim

3 1 ! 2 1 !2 1 !3 !

n

n n nn

n nnn n nnn

n nn n na nρ

a n n nn nn

+

+ ++

+→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⋅⎢ ⎥⎡ ⎤ + ++ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,1321

321

12

321lim <=⋅⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++

⋅⋅+

=→∞ n

nn

nn

puisque 1111lim

..==

+∞∞∞→

HR

n nn et .1

11

12lim

..==

++

∞∞∞→

HR

n nn


45.

( )( )

( )

( )( )

( )1

1 !2 3 ! 1 ! 2 1 !

lim lim lim2 3 ! !!

2 1 !

nn n nn

nn n naρ

a n nnn

+

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⋅

+⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ). .

2

1lim2 3 2 2

1 1lim lim 0 18 104 10 6

n

R H

n n

nn n

nnn n

→∞

→∞ ∞ ∞ →∞

+=

+ +

+= = = <

++ +


46.

( )( ) ( )

( )

11

1

1 !

1 1 !lim lim lim

! !1

n nn

nn n nnn

n

n na nρna nnn

+

++→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= = = ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥+⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )

1lim 1 lim1 11

1 1lim1 1lim 1

1 1.

nn

nn n

n nn

n

n nnn nn

nn n

e

→∞ →∞

→∞

→∞

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎢ ⎥+⎣ ⎦

= =+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= <




47. ( ) 2+1tan 8x

xarcxf = est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

(Nous pouvons montrer que la fonction est décroissante en calculant sa dérivée et en montrant

qu'elle est toujours négative.)

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 21 1

2

1

2 2

2 2 2 2 2

2

8 tan 1 8 lim tan1 1

tan8 lim

2

tan tan18 lim

2 2

2 4 38 4 42 2 4 16 16

34

b

b

b

b

b

arc x dx arc x dxx x

arc x

arc b arc

π π π π π

π

∞

→∞

→∞

→∞

= ⋅ ⋅+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟= − = − = ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

=

∫ ∫


= +121

tan 8n n

narc converge aussi.

48. ( )12 +

=x

xxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

(En effet, lorsque nous étudions la fonction pour les x positifs, le calcul de la dérivée première

démontre que la fonction admet un maximum relatif en 1=x puis qu'elle décroît ensuite.)

( )

( )( )

2 2 21 1 1

2

1

2

1 1 1 1 2 lim 2 2 21 1 1

1 lim ln 121 lim ln 1 ln 22

b

b

b

b

b

x dx x dx x dxx x x

x

b

∞ ∞

→∞

→∞

→∞

= =+ + +

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦= ∞

∫ ∫ ∫


= +12 1n nn diverge aussi, selon le test de l'intégrale.



49. ( ) ( ) ( )( ) 3541-2

54

45

1-225,1

1-2⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

+ nn

n

n

n

n

n

Or ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

111 54et

5433

54

n

n

n

n

n

n

est une série géométrique de raison ,154 <=r donc

convergente. Il s'ensuit que 543

1∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n

n

est aussi une série convergente.

Par conséquent ( )∑∞

=

+

1 25,11-2

nn

n

est une série convergente, selon le test de comparaison directe.

50. ( ) 031-1lim311limlim 31- ≠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∞→∞→∞→e

nna

n

n

n

nnn

La série diverge selon le test du en terme pour la divergence. 51. Pour tout .ln ,1 nnn <≥ (En effet, ( ) nnnf lnet 11ln −=< est une fonction croissante puisque

( ) 011 >−=′n

nf pour tout 1>n .) Il s'ensuit que 2331lnnn

nn

n=< pour .1≥n

Or ∑∞

=12

1n n

est une série-p convergente ( )12 >=p .


=13

lnn n

n est une série convergente selon le test de comparaison directe.

52. 1ln >n pour ,3≥n d'où .1lnnn

n> Or ∑

∞

=3

1n n

est la série harmonique, qui est divergente.

Donc ∑∞

=3

lnn n

n diverge, selon le test de comparaison directe, et aussi la série .ln1∑∞

=n nn




2∑∞

=n n

( )( ) ( )( )( )

2

2

2 . . . .

2

10 11 2 10 1

lim lim1 1 2

10 20 1 20lim lim lim 102 3 23 2

n n

R H R H

n n n

nn n n n n

n n nn

n n nnn n

→∞ →∞

→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦ =

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ += = = =

++ +

Or ∑∞

=12

1n n


Par conséquent, ( )( )1

10 11 2n

nn n n

∞

=

++ +∑ est une série convergente selon le 1er cas du test de

comparaison par une limite.


2∑∞

=n n

( )( )

( )( )

3

2 2 3 3 . .2

3 22 2

2

5 32 5 5 3 5 3lim lim lim 51 2 5 102 5

R H

n n n répétée

n nn n n n n n nn

n n nn n nn

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥= ⋅ = =⎢ ⎥⎡ ⎤ − + −− +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Or ∑∞

=32

1n n

est une série-p convergente ( ),12 >=p donc ( )( )

3

2 23

5 32 5n

n nn n n

∞

=

−

− +∑ converge aussi,

selon le 1er cas du test de comparaison par une limite.

55. Pour tout ( ) .2tan et 2

tan ,1 1,11,1 nnnarcnarcn ππ<<≥

Or 1,1 1,1 1,11 1 1

2 1 1 et 2n n n

π πn n n

∞ ∞ ∞

= = =

=∑ ∑ ∑ est une série-p convergente ( ).11 ,1 >=p

Donc ∑∞

=11,1

12 n nπ est aussi une série convergente en tant que multiple d'une série convergente.

Finalement, 1,11

tann

arc nn

∞

=∑ est une série convergente selon le 1er cas du test de comparaison directe.



56. Pour tout .2secoù d' 2

sec ,1 3,13,1 nnnarcnarcn ππ<<≥

Or ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

=1

3,11

3,11

3,11et 1

22

nnn nnnππ est une série-p convergente ( ).13,1 >=p

Donc ∑∞

=13,1

12 n nπ est aussi une série convergente en tant que multiple d'une série convergente.

Finalement, ∑∞

=13,1

secn n

narc est une série convergente selon le test de comparaison directe.

57. 0

1 sin1 sinlim sin lim lim 1 01n n x

n xnn n x→∞ →∞ →

⎛ ⎞ = = = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠


58. ( ) 21 xf x

e=


1 1

2 2 lim 1 1

b

x xbdx dx

e e

∞

→∞=

+ +∫ ∫

Posons .xu e= Alors et .x dudu e dx dxu

= = De plus, .et 1 ∞→⇒∞→=⇒= uxeux

( )

( )

1

2 1 1 1 2 2 1 11

1 12 lim 2 lim ln ln 11

2 lim ln 2 lim ln 2ln1 1 1

2ln1 2ln -2ln1 1

xe e

bb

eb be

b

b be

dx du duu u u ue

du u uu u

u b eu b e

e ee e

∞ ∞ ∞

→∞ →∞

→∞ →∞

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ ++ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫


= +1 12

nne

converge aussi, selon le test de l'intégrale.



59. 10sin1limsin1lim

sin1

limlim 1 <=+=+

=⋅

+

==∞→∞→∞→

+

∞→ nn

nnn

a

an

n

aa

nnn

n

nn

nn

ρ


60. n

narca

an

narc

aa

nn

n

nn

nn

tan 1lim

tan 1

limlim 1 +=

⋅+

==∞→∞→

+

∞→ρ

1000tan lim1lim <=+=+=→∞→∞ n

narcn nn


61. 123

23lim

5213lim52

13

limlim..

1 >==+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

==∞→∞∞∞→∞→

+

∞→ n

HR

nn

n

nn

nn n

na

ann

aaρ


62. ( ) ( ) ( )( ) 211 1

211

111 −−+ ⋅

−−

⋅−

⋅+

=−

⋅+

=+

= nnnn ann

nn

nna

nn

nna

nna

13

321

32 ...

121

1

21

32 ...

121

1

32 ...

121

1 ...

1

2

+=

⋅⋅⋅⋅−−

⋅−

⋅+

=

⋅⋅⋅−−

⋅−

⋅+

=

⋅⋅−−

⋅−

⋅+

==

n

nn

nn

nn

ann

nn

nn

ann

nn

nn

Donc ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

==111

133nnn

n nna est une série divergente, en tant que multiple non nul de la série

harmonique ,11∑∞

=n n qui est divergente.



63. 32 43 46 6 4!1 2 1 3 2 4 3 5 4

1 1 1 1 1 1 1, , , , 3 3 3 3 3 3 3

a a a a a a a a a= = = = = = = = = = =

( ) 1lim31!1 =⇒=

→∞−

nnn

n aa puisque ( )!1

31−n est une sous-suite de 1

31

−n et que

0131lim

31lim 1 ≠==

→∞−

→∞n

nn

n (voir la table 4.1.1, numéro 3, page 266).

La série diverge selon le test du n e terme pour la divergence.

64. nn

naaaaa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

21

21 ,

21

21 ,

21 ,

21 ,

21 !!4

432

4

32

3

2

21

Or ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 21

n

n

est une série géométrique avec ,121 <=r qui converge.

Donc la série donnée converge, selon le test de comparaison directe.

65. a) Si 0lim =∞→ n

nn b

a , alors il existe un entier positif N tel que pour tout , 0 1,n

n

an Nb

> − < d'où

.et 11- nnn

n baba

<<<

Par conséquent, si la série ∑ nb converge, alors ∑ na converge aussi, selon le test de

comparaison directe.

b) Si ,lim ∞=∞→ n

nn b

a alors il existe un entier positif N tel que pour tout ,1 , >>n

n

baNn d'où

.nn ba >

Par conséquent, si la série ∑ nb diverge, alors na∑ diverge aussi, selon le test de

comparaison directe.



66. a) Comparons la série avec la série harmonique .12∑∞

=n n

( ) 22

2 2

2

2 2

1 ln1 ln ln5lim lim lim

1 5 5

lim lim ln5 5

0 1

n n n

n n

n nn n n n n nn

n nn

n n nn n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟ + ++⎝ ⎠ = =

⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + ⋅+ +

= + ⋅∞ = ∞

Or ∑∞

=2

1n n

est une série divergente, donc 22

1 ln5n

n nn

∞

=

++∑ est une série divergente, selon

le 3e cas du test de comparaison par une limite.

b) Comparons la série avec la série-p .11

2∑∞

=n n

3 . .

23

2

lnln ln 1 1lim lim lim lim lim 0

1 1

R H

n n n n n

nn n nn n

n nnn

→∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⋅ = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Or ∑∞

=22

1n n

est une série-p convergente ( ).12 >=p Par conséquent, ∑∞

=13

lnn n

n est une série

convergente, selon le 2e cas du test de comparaison par une limite. 67. a) .1<ρ Soit r un nombre compris entre .1et ρ Alors le nombre ρε −= r est positif.

Puisque nn

nn aa ,ρ→ doit se situer à une distance de ρ inférieure à ε lorsque n est

suffisamment grand, c'est-à-dire pour tout n ≥ N . Ainsi, ερ +<nna pour Nn ≥ et,

par suite, ( ) .nna ερ +<



Or ( )∑∞

=

+Nn

nερ est une série géométrique de raison ,1 <+ ερ donc convergente. Il en

résulte, selon le test de comparaison directe, que ∑∞

=Nnna converge et que

∑∑∞

=−

∞

=

++++=Nn

nNn

n aaaaa 1211

... converge également.

b) ρ > 1. Si ,1>ρ alors il existe un entier positif M tel que pour tout 1 , >> nnaMn et,

par suite, .1>na Il s'ensuit que ,0lim ≠∞→ nn

a de sorte que la série diverge selon le test

du n e terme pour la divergence.

c) Les séries ∑∑∞

=

∞

= 12

1

1et 1nn nn

illustrent bien que le test n'est pas concluant lorsque .1=ρ

En effet, 1111lim1lim ===

→∞→∞ nnn

n nn (voir la table 4.1.1, numéro 2, page 266) et

( ) ,1111lim1lim 222 ===

∞→∞→ nnn

n nn de sorte que 1=ρ dans les deux cas.

Pourtant la première série diverge (série harmonique) alors que la seconde converge

(série-p avec 12 >=p ).

68. Comme nn a

na

≤ pour tout 1≥n et que ∑∞

=1nna converge, ∑

∞

=1n

n

na converge aussi, selon le test


69. Puisque ,lim ∞=∞→ n

nn b

a il existe un entier positif N tel que pour tout ,1 , >>n

n

baNn d'où .nn ba >

Si la série ∑ na converge alors, selon le test de comparaison directe, la série ∑ nb converge

aussi.



70. Puisque ∑ na converge, .0lim =∞→ nn

a Il existe donc un entier positif N tel que pour tout ,Nn >

,10 <≤ na d'où .2nn aa < Par conséquent, ,

11

2 ∑∑∞

+=

∞

+=

<Nn

nNn

n aa d'où ∑∞

+= 1

2

Nnna converge selon le test de

comparaison directe. Comme l'ajout d'un nombre fini de termes ne modifie pas la convergence

d'une série, ∑∞

=1

2

nna converge.

71. Si ( )4

12

,1+

−+

=≥xx

axfa est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x

Appliquons le test de l'intégrale :

1 1

1 1 lim 2 4 2 4

b

b

a adx dxx x x x

∞

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

( )

( )

1lim ln 2 ln 4

2 3lim ln ln4 5

2 3ln lim ln .4 5

b

b

a a

b

a a

b

a x x

bb

bb

→∞

→∞

→∞

⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟

+⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Or ( ) ( ) ( ) .2lim12lim

42lim 1

1..−

→∞

−

→∞∞∞→∞+=

+=

++ a

b

a

b

HRa

bbaba

bb

Si ,1=a alors ( ) .53ln-

53ln1ln

41

2et 1

42lim

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

++

∫∞

→∞dx

xxa

bb a

b

L'intégrale converge, donc la série ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+1 41

2n nna converge aussi, selon le test de

l'intégrale.

Si ,1>a alors ( ) ( ) 12lim lim 2

4

aa

b b

ba b

b−

→∞ →∞

+= + = ∞

+

( )1

21 3et ln lim ln .2 4 4 5

a a

b

ba dxx x b

∞

→∞

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥− = − = ∞⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

L'intégrale diverge, donc la série correspondante diverge aussi.



Si, finalement, a < 1, le test de l'intégrale ne s'applique pas puisque, pour n supérieur à un N

donné, les termes an deviennent négatifs. À partir de ce moment, cependant, la série se comporte

comme un multiple négatif de la série harmonique et diverge.

72. Si ,21

≤a ( )1

21

1+

−−

=x

ax

xf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour 3≥x .

Appliquons le test de l'intégrale :

( )

( )

( )

3 3

3

2

3

2 2

2 2

1 2 1 2 lim 1 1 1 1

lim ln 1 2 ln 1

1lim ln1

1 2lim ln ln41

1 2ln lim ln41

b

b

b

b

b

ab

a ab

a ab

a adx dxx x x x

x a x

xx

bb

bb

∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠+⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠+⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

.

Or ( ) ( )

.12

1lim11lim 12

..

2 −→∞∞∞→∞ +=

+−

ab

HR

ab babb

Si ,21=a alors ( )

( ).21ln-42ln1ln

12

11et 1

111lim

30 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

+ ∫∞

∞→dx

xa

xbb

L'intégrale converge, donc la série ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−3 12

11

n na

n converge aussi, selon le test de l'intégrale.

Si ,21<a alors ( )

( )1-22 1

1 1lim lim +1 ,22 1

aab b

baa b −→∞ →∞

= = ∞+

puisque l'exposant 021 >− a et

( )

.42ln

11limln

12

11 22

3

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

− →∞

∞

∫ aab bbdx

xa

x

L'intégrale diverge, donc la série correspondante diverge aussi.



Si, finalement, ,21>a le test de l'intégrale ne s'applique pas puisque, pour n supérieur à un N

donné, les termes an deviennent négatifs. À partir de ce moment, cependant, la série se

comporte comme un multiple négatif de la série harmonique et diverge.

73. Soit ,2et 1

21

∑∑==

==n

k

kn

n

kkn kaBaA où { }ka est une suite non croissante de termes positifs qui

converge vers 0. { } { }nn BA et sont des suites non décroissantes de termes positifs.

Nous avons :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.22

2 ... 22 ... 22222222

2 ... 22 ... 2222222

2 ... 842

12

2221287654321

termes2

2228888442

2842

11

1

∑∞

=

++

≤=

++++++++++++≤

+++++++++++=

++++=

−−

−

kk

nn

aA

aaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaB

n

nnn

n

nnn

n

Il s'ensuit que si ∑ ka converge, alors { }nB est bornée supérieurement, d'où ∑ kak22 converge.

Réciproquement, nous avons ( ) ( ) nn aaaaaaaaA ++++++++= ... 7654321

.22 ... 42 21

112421 kn aaBaaaaak

kn

n ∑∞

=

+<+<++++<

Il s'ensuit que si ∑∞

=122

k

kka converge, alors { }nA est bornée supérieurement, d'où ∑ ka converge.

74. a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

nn ln1 pour ,2≥n est une suite non croissante de termes positifs qui converge vers 0.

Les conditions d'application du test de Cauchy sont donc satisfaites.

( )2

1 1 ,2 ln 22 ln 2

n nn na

n= = d'où ,1

2ln1

2ln2122

2 222 ∑ ∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

=⋅=n n

nn

n

n

nna n qui diverge en tant

que multiple non nul de la série harmonique ,12∑∞

=n n qui est divergente.



Puisque ∑∞

=222

n

nna diverge, il s'ensuit que ∑∑

∞

=

∞

=

=22 ln

1nn

n nna diverge aussi, selon le test de

Cauchy.

b) Si ,0>p ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

pn1 pour ,1≥n est une suite non croissante de termes positifs qui converge

vers 0. Dans ce cas, les conditions d'application du test de Cauchy sont satisfaites.

( )2

1 1 ,22

n p npna = = d'où

( ) 1 121 1 1 1

1 1 12 2 .2 22

n

nn n

np p pnn n n na

∞ ∞ ∞ ∞

− −= = = =

⎛ ⎞= ⋅ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

Il s'agit d'une série géométrique de raison 121−= pr qui converge si ,1

21

1 <−p c'est-à-dire si

,1>p mais diverge si ,12

11 ≥−p c'est-à-dire si .1≤p

Selon le test de Cauchy, il s'ensuit que ∑∑∞

=

∞

=

=11

1n

pn

n na converge ou diverge pour les mêmes

valeurs de p.

Si, par ailleurs, 0≤p , le test de Cauchy ne s'applique pas, puisque { },1 - pp n

n=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ où

,0- ≥p n'est pas une suite qui converge vers 0.

Justement, puisque 0limlim - ≠=∞→∞→

p

nnnna la série ∑

∞

=1

1n

pn diverge. Nous pouvons donc

conclure que ∑∞

=1

1n

pn converge si 1>p et diverge si .1≤p

75. a) ( ) ( )∫∫ ∞→

∞

=b

pbp xxdx

xxdx

22 lnlim

ln

Posons .ln xu = Alors .et 2ln2 , 1∞→⇒∞→=⇒== uxuxdx

xdu

Ainsi, ( )

- 1- - 1 - 1

2 ln 2 ln 2

1 1 lim lim ln 2- 1 1 1ln

bpp p p

p b b

dx uu du bp p px x

∞ ∞ ++ +

→∞ →∞

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

Si ,1>p alors 01-et -1- <+< pp d'où .01

1lim 1- =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

→∞

p

bb

p



Dans ce cas, ( )

( )- 1

2

1 ln 21ln

pp

dxpx x

∞+=

−∫ et l'intégrale impropre converge.

Si ,1<p alors 01 >− p d'où .1

1lim 1- ∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

∞→

p

bb

p

Dans ce cas, ( )∫

∞

2 ln pxxdx diverge.

Si ,1=p alors ( ) ( ) ( )2

2 2

1 1lim lim ln ln lim ln ln ln ln 2 ,ln ln

bb

b b b

dx dx x bx x x x

∞

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

de sorte que l'intégrale impropre diverge.

Par conséquent, il est donc vrai que ( )∫

∞

2 ln pxxdx converge si et seulement si .1>p

b) Selon le test de l'intégrale, dont les conditions d'application sont remplies puisque

( )xf est continue, positive et décroissante pour ,2≥x la série ( )∑

∞

=2 ln1

npnn

converge si

et seulement si l'intégrale ( )∫

∞

2 ln pxxdx converge, donc si et seulement si .1>p

76. a) ,1=p donc la série diverge.

b) ,101,1 >=p donc la série converge.

c) ( )3

2 2 2

1 1 1 13ln 3 lnlnn n nn n n nn n

∞ ∞ ∞

= = =

= =⋅∑ ∑ ∑

,1=p donc la série diverge.

d) ,13 >=p donc la série converge.



77. Test du rapport :

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

1

. . . .

1

ln 1lim lim 1

ln

ln ln 1 1 1lim lim lim lim lim 1 1,ln 1 1 1 1ln 1

p

nn nn

p

p pp p pR H R Hp

pn n n n n

naρa

n

n n n nn n nn

+

→∞ →∞

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞

⎡ ⎤+⎣ ⎦= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

donc le test n'est pas concluant.

Test de la racine n e : ( ) ( )( )1

1 1lim lim .ln lim ln

n nn p pn n n

n

ρ an n

→∞ →∞

→∞

= = =

Posons ( ) ( ) .ln 1 nnnf =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

. .

lim lnln

1 1ln ln ln ln1 lnAlors, ln ln ln lim ln lim lim

11lim 0 lim lim 1.ln

n

R H

n n n

f nf n 0

n n n

n n n nf n n f n sn n n

f n e e en n

→∞

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

→∞ →∞ →∞

⋅= ⋅ = ⇒ = =

= = ⇒ = = = =


1 1lim 1,1lim ln

nn p pn n

n

ρ an

→∞

→∞

= = = = donc le test n'est pas concluant.

78. Pour tout .2

,1 nnnan ≤≥

Or ∑∞

=1 2nn

n est une série convergente, ce que nous pouvons démontrer par le test du rapport :

.1211

211

21lim2

21lim

2

21

limlim 1

11 <=⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==∞→+∞→

+

∞→

+

∞→ nn

nn

n

n

aa

n

n

nn

n

n

nn

nn

ρ

Il s'ensuit que ∑ na converge aussi, selon le test de comparaison directe.



79. Test du rapport :

( )

( )

1

. .

11

lim lim 1

1lim lim lim lim 1 1,1 1 11

pn

n nnp

p p pp R Hp

pn n n n

naρa

n

n n nn nn

+

→∞ →∞

→∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞

+= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

donc le test n'est pas concluant.

Test de la racine n e :

( ) ,1111lim1limlim =====

→∞→∞→∞ ppnnn

pnn

nn nnaρ donc le test n'est pas concluant.



Exercices 4.4 - Séries alternées, convergences absolue et conditionnelle

1. Soit .12n

un = Alors,

(1) les nu sont tous positifs ;

(2) ( )( )

,1

1110et 1 2222

+≥⇒+≤⇒>+≤

nnnnnnn d'où 1+≥ nn uu pour tout 1≥n ;

(3) .01lim 2 =∞→ nn

Il s'ensuit que la série ( )∑∞

=

+

12

1 11-n

n

n est convergente par le test des séries alternées.

2. Soit 231

nun = .

Alors (1) les nu sont tous positifs.

(2) ( )( ) 2323

2323

11110et 1+

≥⇒+≤⇒>+≤nn

nnnnn , d'où 1+≥ nn uu pour tout 1≥n .

(3) 01lim 23 =∞→ nn

Il s'ensuit que la série ( ) 231

1 11-nn

n∑∞

=

+ est convergente par le test des séries alternées.

3. Soit .10

n

nnu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Pour ,1

10 ,10 >>

nn de sorte que .010

lim ≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→∞

n

n

n

Comme 0lim ≠∞→ nn

u , la série ( )∑∞

=

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

1

101-

n

nn n diverge selon le test du en terme pour la divergence.

4. ( )10. .

10 répétée

10 ln1010lim lim lim 010!

nn R H

nn n na

n→∞ →∞ →∞= = = ∞ ≠

La série diverge donc selon le test du en terme pour la divergence.



5. ( ) xxf ln= est une fonction croissante de x, de sorte que xln

1 est une fonction décroissante.

Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout .2≥n De plus, 0≥nu pour 2≥n et .0ln1lim =

→∞ nn

La série ( )∑∞

=

+

2

1

ln11-

n

n

n converge donc par le test des séries alternées.

6. Soit ( )xxxf ln

= . Alors ( ) 0ln11ln1

22 <−

=⋅−⋅

=′x

xx

xxxxf lorsque ex > , d'où ( )xf est décroissante

pour ex > . Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 3≥n .

De plus, 0≥nu pour 3≥n et . .ln 1lim lim 0

1

R H

n n

n nn→∞ ∞ ∞ →∞

= = .

La série ( )nn

n ln1-3

1∑∞

=

+ converge donc par le test des séries alternées et, de ce fait, la série

( )nn

n ln1-1

1∑∞

=

+ .

7. 2ln ln 1 1lim lim lim lim 0

2ln 2 2lnnn n n n

n nunn→∞ →∞ →∞ →∞

= = = = ≠



=

+

22

1

lnln1-

n

n

nn diverge selon le test du en terme pour la divergence.

8. Soit ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xxf 11ln . Alors ( ) ( ) 0

11-1-

11-

11

122 <

+=⋅

+=⋅

+=′

xxxxx

xx

xf lorsque 1≥x , d'où ( )xf est

décroissante pour 1≥x . Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n .

De plus, 0≥nu pour 1≥n et 01ln11lnlim ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→∞ nn.

La série ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∑

∞

= nn

n 11ln1-1

converge donc par le test des séries alternées.



9. Posons ( ) .11

++

=xxxf

Nous avons alors ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

.12

2112221

1

1112

1

222 +−−

=+−−+

=+

⋅+−+⋅=′

xxxx

xxxxx

x

xxxxf

Pour ,021 ,1 <−−≥ xxx de sorte que ( ) ( )xfxf et 0<′ est décroissante.

Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour .1≥n De plus, 0≥nu pour 1≥n et .011limlim =

++

=∞→∞→ n

nunnn

La série ( )∑∞

=

+

++

1

1

111-

n

n

nn converge donc par le test des séries alternées.

10. 0311

113lim

1

13

lim113limlim ≠=

+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=++

=→∞→∞→∞→∞

n

n

nn

nn

nna

nnnnn.

La série diverge selon le test du n e terme pour la divergence.

11. La série correspondante des valeurs absolues est ( ) ( ) ( )1

1 1-1 0,1 0,1 ,n n n

n n

∞ ∞+

= =

=∑ ∑ qui est une série

géométrique de raison ,11,0 <=r donc convergente. La série ( ) ( )∑∞

=

+

1

1 1,01-n

nn est donc

absolument convergente.

12. La série correspondante des valeurs absolues est ( ) ( ) ( )1

1 1 1

0,1 0,1 1 1 -1 10

n n nn

n n nn n n

∞ ∞ ∞+

= = =

⎛ ⎞= = ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ .

Or, pour tout 1≥n , nn

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

101

1011 . Par ailleurs, ∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 101

n

n

est une série géométrique de

raison 1101 <=r , donc convergente. La série ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

1 1011

n

n

n converge donc également selon

le test de comparaison directe et la série ( ) ( )∑∞

=

+

1

1 1,01-n

nn

n est absolument convergente.



13. Pour ,21et 21 ,1 +<++<+≥ nnnnn de sorte que .et 2

11

11+>

+>

+nn uu

nn

De plus, 01

1>

+=

nun pour tout .0

11limlimet 1 =+

=≥→∞→∞ n

unnnn

La série converge donc

par le test des séries alternées.

Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ∑∞

= +1 11

n n diverge par le test de

l'intégrale puisque 1

1 1

1 1 lim lim 2 1 lim 2 1 2 2 .1 1

b b

b b bdx dx x b

x x

∞

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +∫ ∫

La série ( )∑∞

= +1 111-

n

n

n est donc conditionnellement convergente.

14. Pour 1≥n , 1+< nn , d'où 111 ++<+ nn et 11

11

1++

>+ nn

, de sorte que 1+> nn uu .

De plus, 01

1>

+=

nun pour tout 1≥n et 0

11limlim =+

=∞→∞→ n

unnn

.

La série converge donc par le test des séries alternées. Par ailleurs, la série correspondante des

valeurs absolues ∑∞

= +1 11

n n diverge par le test de comparaison directe puisque

nnnn 211

11

=+

≥+

et que∑∞

=121

1n n

diverge en tant que série-p avec 121 ≤=p . La série

( )∑∞

= +1 11-

n

n

n est donc conditionnellement convergente.

15. La série correspondante des valeurs absolues est 3 3 2 21 1 1 1

1 1 11 1 1n n n n

nn n n n n

n n

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

= = ≤+ +

+∑ ∑ ∑ ∑

puisque 221

11

nnn≤

+ pour tout 1≥n . Or, la série ∑

∞

=12

1n n

est une série- p avec 1>p , de sorte

qu'elle converge. Par le test de comparaison directe, la série ∑∞

= +13 1n nn converge donc, et la

série ( )1

1- 31

1

+∑∞

=

+

nn

n




16. 0

!2lim

12

!limlim ≠∞===

∞→

∞→∞→

n

na n

n

nnnn (Voir la table 4.1.1 numéro 6, page 266).

La série diverge donc selon le test du n e terme pour la divergence.

17. La série ( )∑∞

= +1 311-

n

n

n converge par le test des séries alternées. En effet, 0

31

≥+

=n

un pour tout

( ) 313 ; 1 ++<+≥ nnn , de sorte que ( )

1 13 1 3n n>

+ + + et 1+> nn uu pour tout ; 1≥n finalement,

03

1limlim =+

=∞→∞→ n

unnn

.


= +1 31

n n diverge, puisque pour

nnn 43 ,1 ≤+≥ , d'où ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

=≥+

≥+ 111

141

41

31et

41

31

nnn nnnnn.

La série ∑∞

=1

1n n

étant divergente, la série ∑∞

=1

141

n n l'est aussi et, par le test de comparaison directe,

la série ∑∞

= +1 31

n n.

Il s'ensuit que ( )3

11-1 +∑

∞

= nn

n est conditionnellement convergente.

18. La série correspondante des valeurs absolues ∑∞

=12 sin

n nn converge par le test de comparaison

directe puisque 221 sin nn

n≤ pour tout 1≥n et que ∑

∞

=12

1n n


Par conséquent, la série ( )∑∞

=12

sin1-n

n

nn est absolument convergente.

19. 0153limlim ≠=++

=→∞→∞ n

nunnn


u , la série ( ) 1

1

3-15

n

n

nn

∞+

=

++∑ diverge selon le test du n e terme pour la divergence.



20. ( ) xxf ln= est une fonction croissante et positive pour 2≥x , de sorte que ( )3

1 13lnln xx

= est

une fonction décroissante pour 2≥x . Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout n ≥ 2 et que 0≥nu .

De plus, 0ln31limlim ==

→∞→∞ xu

nnn. La série ( ) ( )3

2

1-1ln

n

n n

∞

=∑ converge donc par le test des séries

alternées. Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ( )3

2 2

1 13lnlnn n nn

∞ ∞

= =

=∑ ∑ diverge

puisque nn 31

ln31

> et que ∑∞

=2 31

n n diverge en tant que multiple non nul de la série divergente

∑∞

=2

1n n

. La série ( ) ( )32

1-1ln

n

n n

∞

=∑ est donc conditionnellement convergente.

21. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑∑∞

=

∞

=

++∞

=

++∞

=

+ +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

+

1 1

12

1

1

12

12

1

1 11-11-11-11-11-n n

nn

n

nn

n

n

nnnnnn

Chacune des deux séries est une série-p alternée, donc chacune converge et la somme converge.

Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

+=+

112

12

111nnn nnn

n . La première

série du membre de droite de l'égalité est une série-p avec ,1>p qui converge, alors que la

deuxième série est la série harmonique, qui diverge. La somme d'une série convergente et d'une

série divergente diverge (Voir le théorème 4.2.5, page 284).

La série ( )∑∞

=

+ +

12

1 11-n

n

nn est donc conditionnellement convergente.


=

+

+1

1

52

nn

n

n converge par le test de comparaison

directe puisque n

n

n

n

n

nn⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅<

+⋅

=+

+

522

522

52 1

pour tout 1≥n et que la série ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

1 522

n

n

converge en

tant que multiple de la série géométrique convergente ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 52

n

n

, avec 152 <=r .

Par conséquent, la série ( )∑∞

=

+

+1

1

52-

nn

n




23. La série correspondante des valeurs absolues ( )∑∞

1=

2 32n

nn converge selon le test du quotient.

En effet, ( ) ( )( )

( )2 1 21

22

1 2 3 1 2 2lim lim lim 13 32 3

nn

nn n nn

n nuu nn

++

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= = ⋅ = <⎢ ⎥⎣ ⎦

.

La série ( ) ( )∑∞

1=

2 321-n

nn n est donc absolument convergente.

24. ( ) 0110limlim 1 ≠==

→∞→∞

n

nnna (Voir la table 4.1.1. numéro 3, page 266).



+1=2 1tan

n nnarc converge selon le test de l'intégrale.

( )

( ) ( ) .32

3422

12

1tan 2tan lim

2tan lim

1tan lim

1tan effet,En

22222

1

2

12

12

πππ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

+=

+

→∞

→∞

∞

→∞

∞

∫∫

arcbarc

xarcdxx

xarcdxx

xarc

b

b

bb

La série ( )1

tan 1- 21 +∑

∞

= nnarc

n

n est donc absolument convergente.

26. ( ) ( )( )

( )( )( )

( )0

ln1ln-

ln

1ln1-

ln1

22 <+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+−

=′⇒=xx

xxx

xxx

xfxx

xf pour tout 2≥x , de sorte que la fonction

( )xf est décroissante. Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout .2≥n

De plus, 0≥nu pour 2≥n et 0ln1lim =

→∞ nnn.

La série ( )nnn

n

ln11-

2

1∑∞

=

+ converge donc selon le test des séries alternées. Par ailleurs, la série

correspondante des valeurs absolues ∑∞

=2 ln1

n nn est divergente selon le test de l'intégrale (dont les

conditions d'application sont satisfaites).



En effet, ( ) ( ) ( )2

2 2 2

1 1lim lim lim ln ln lim ln ln ln ln 2ln ln ln

b bb

b b b b

dx dx dx x bx x x x x x x

∞

→∞ →∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

Puisque l'intégrale diverge, la série correspondante ∑∞

=2 ln1

n nn diverge aussi. La série

( )nnn

n

ln11-

2

1∑∞

=

+ est donc conditionnellement convergente.

27. 011

limlim ≠=+

=→∞→∞ n

nunnn


u , la série ( )1

1-1 +∑

∞

= nn

n

n diverge selon le test du en terme pour la divergence.

28. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 ln lnln ln 1 1 lnln 1 ln 0ln ln ln ln

x xx x x xx xx x x xf x f xx x x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠′= ⇒ = = = <− − − −

pour

ex > , de sorte que la fonction ( )xf est décroissante et que 1+≥ nn uu pour n > e. De plus, 0≥nu

pour 1≥n et . .ln 1lim lim 0

ln 1 1

R H

n n

n nn n n→∞ ∞ ∞ →∞

= =− −

. La série ( )3

ln-1ln

n

n

nn n

∞

= −∑ converge donc selon le test

des séries alternées et, par conséquent, ( )∑∞

= −1 lnln1-

n

n

nnn .


= −1 lnln

n nnn est divergente selon le test


En effet, 0ln ≥n et 0ln ≥− nn pour ,1≥n de sorte que nnn ≤− ln et nnn1

ln1

≥−

.

Pour en > , 1ln >n et, par conséquent, nnnnn

n 1ln

1ln

ln≥

−>

−. Comme la série ∑

∞

=3

1n n

diverge, la

série ∑∞

= −3 lnln

n nnn diverge aussi, et donc ∑

∞

= −1 lnln

n nnn . La série ( )∑

∞

= −1 lnln1-

n

n

nnn est donc

conditionnellement convergente.




=1 !100

n

n

n converge selon le test du quotient.

En effet, ( )

11 100 ! 100lim lim lim 0 1

1 ! 1100

nn

nn n nn

u nu n n

++

→∞ →∞ →∞= ⋅ = = <

+ +.

La série ( )∑∞

=1 !100-

n

n


30. La série correspondante des valeurs absolues ∑∑∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

11

-

515

n

n

n

n converge en tant que série

géométrique avec 151 <=r .

La série ( )∑∞

=1

-5-n

n converge, elle est donc absolument convergente.


= ++12 12

1n nn

converge par le test de comparaison

directe avec la série ∑∞

=12

1n n

, qui est une série-p avec 1>p , donc convergente.

En effet, pour 22 12 ,1 nnnn ≥++≥ de sorte que 221

121

nnn≤

++ et, par conséquent,

∑ ∑∞

=

∞

=

≤++1 1

221

121

n n nnn.

La série ( )∑∞

=

−

++12

1

121-

n

n

nn est donc absolument convergente.

32. La série correspondante des valeurs absolues n

n

n

n

n

n nn

nn ∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2222 2

1ln2

lnlnln converge en tant

que série géométrique avec 121 <=r .

La série ( )n

n

n

nn∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

22ln

ln1- est donc absolument convergente.



33. ( )3 2

1 1

1cosn

n n

nπnn n

∞ ∞

= =

−=∑ ∑

La série correspondante des valeurs absolues ∑∞

=123

1n n

est une série-p avec 1>p , de sorte qu'elle

converge.

La série ∑∞

=1

cosn nn

nπ est donc absolument convergente.

34. ( ) ,1-cos

1 1∑ ∑∞

=

∞

=

=n n

n

nnnπ soit la série harmonique alternée, qui converge conditionnellement (Voir

l'exemple 1, page 303).

35. La série correspondante des valeurs absolues ( )

( )∑∞

=

+

1 21

nn

n

nn converge selon le test de la racine

n e . En effet, ( )( )

121

21lim

21lim <=

+=

+→∞→∞ n

nn

nn

nn

n

n.

La série ( ) ( )( )∑

∞

=

+

1 211-

nn

nn

nn est donc absolument convergente.

36. La série correspondante des valeurs absolues ( )

( )

2

1

!2 !n

nn

∞

=∑ converge selon le test du rapport.

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

2

2

122

22

2

2 . .

2

1 !2 2 ! 1 ! 2 !

lim lim lim2 2 ! !!

2 !

1 ! 2 ! 1lim lim 12 2 ! 2 2 2 1!

2 1 1lim 1.44 6 2

En effet, nn n nn

n n

R H

n répétée

nn n naρ

a n nnn

n nn

n n nn

n nn n

+

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

→∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥

+⎢ ⎥ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎢ ⎥= = = ⋅⎢ ⎥+⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

+ ⎡ ⎤= ⋅ = +⎢ ⎥

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ += = <⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

La série ( ) ( )( )

1 2

1

-1 !2 !

n

n

nn

+∞

=∑ est donc absolument convergente.



37. ( ) ( )( ) ( )2 ! 1 2 ... 2lim lim lim

2 ! 2n n nn n n

n n n nu

n n n→∞ →∞ →∞

+ + ⋅ ⋅= =

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

1

1

1

1 2 ... 1 2lim

2 21 2 ... 1

lim2

11 2 1lim ... lim2 2 2 2

nn

nn

n

n n

n n n n nn

n n n n

n nn n n

−→∞

−→∞

−

→∞ →∞

+ + ⋅ ⋅ + − ⋅=

⋅ ⋅

+ + ⋅ ⋅ + −=

+ −+ + +⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ > ⎜ ⎟⎝ ⎠

Or ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + −

∞→

1

21lim

n

n

n , de sorte que 0lim ≠∞=∞→ nn

u . La série ( ) ( )1

2 !-1

2 !n

nn

nn n

∞

=∑ diverge donc selon

le test du n e terme pour la divergence.

38. La série correspondante des valeurs absolues ( )( )

2

1

! 32 1 !

n

n

nn

∞

= +∑ converge selon le test du rapport.

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

11

2 . .

2

1 ! 1 !3 2 1 ! lim lim

2 3 ! ! !3

1 ! 1 ! 2 1 !lim 3

! ! 2 3 !

1lim 1 1 32 3 2 2

3 6 3 3lim 1.44 10 6

En effet,n

nnn nn

n

n

R H

nrépétée

n n naρa n n n

n n nn n n

n nn n

n nn n

++

→∞ →∞

→∞

→∞

∞ ∞→∞

⎡ ⎤+ + += = ⋅⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + += ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ += = <⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

La série ( ) ( ))!12(

3!1-2

1 +∑∞

= nn n

n


39. ( )nnnn

nnnnnn++

=++++

⋅−+=−+11

1111

Or 121 +++<++ nnnn , de sorte que 12

111

+++>

++ nnnn et 1+> nn uu .

De plus, 01 >−+= nnun pour tout ( ) 011lim1limet 1 =++

=−+≥∞→∞→ nn

nnnnn

.

La série converge donc par le test des séries alternées. Par ailleurs, la série correspondante des



valeurs absolues ( ) ∑∑∞

=

∞

= ++=−+

11 111

nn nnnn diverge. En effet, pour 13 ,1 >≥ nn , d'où

nnnnnnn ++>+>+> 13 ,12 ,14 et finalement, nnn ++

<11

31 .

Mais ∑∑∞

=

∞

=

=1

211

131

31

nn nn diverge, en tant que multiple non nul de la série-p divergente ∑

∞

=121

1n n

( )1<p . Par le test de comparaison directe, il s'ensuit que ∑∞

= ++1 11

n nn diverge.

La série ( ) ( )nnn

n −+∑∞

=

11-1

est donc conditionnellement convergente.

40. nnn

nnn

nnn

nnnnnnnnnannnnn ++

−+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=−+=

→∞→∞→∞→∞ 2

22

2

222 limlimlimlim

.021

1111lim

limlim

2

22

≠=++

=

++

=++

=

→∞

→∞→∞

n

nn

nnn

nn

nnn

n

n

nn


41. ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

∞→∞→ nnn

nnnnnnnnnnnlimlim

.0

21

111

1lim1lim

limlim

≠=++

=

++

=

++=

++

−+=

∞→∞→

∞→∞→

nnn

nnn

nnn

n

nnn

nnn

nn

nn



=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

11-

n

n nnn diverge selon le test du n e terme pour la

divergence.



42. La série converge selon le test des séries alternées puisque ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++ 11

nn est une suite

décroissante à termes positifs qui converge vers 0. Par ailleurs, la série correspondante des

valeurs absolues ∑∞

= ++1 11

n nn diverge selon le test de comparaison par une limite.

En effet, ∑∞

=∞→∞→∞→∞→=

++=

++

=++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

1

11111

1lim1

lim1

lim1

11

lim et nnnnn n

nnn

nn

nnnn

n

n

nn

est une série-p divergente ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≤= 1

21p . La série ( )∑

∞

= ++1 11-

n

n

nn est donc conditionnellement

convergente.

43. 20,051erreur 5 ==< u

44. 00001,010

1erreur 55 ==< u

45. ( ) 11-5

5 102501,0erreur ×==< u

46. .10 1erreur puisque4

5 <<<=< ttu

47. Il s'agit de trouver n tel que ( ) ( )

6

61 5 10ou 2 ! 200 000

2 ! 510nu nn

= < > = .

On trouve 5≥n et ( ) ( )0

1 1 1 1 1-1 1 -0,540302 ! 2! 4! 6! 8!

n

n n

∞

=

≈ − + − + ≈∑ .

48. Il s'agit de trouver n tel que 000 2005

10>n! 10

5!

1 6

6 ou =<=n

un .

On trouve ( ) 36788,0!8

1!7

1!6

1!5

1!4

1!3

1!2

111!

11-et 90

≈+−+−+−+−≈≥ ∑∞

= nn

n

n .



49. a) La condition 1+≥ nn uu n'est pas satisfaite puisque, par exemple, 21

31< .

b) ... 21

31 ...

81

271

41

91

21

31

+−++−+−+− nn

.

21-1

21

21121

31131

... 21 ...

81

41

21...

31 ...

271

91

31

=−=−

−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++= nn

(Séries géométriques de raisons 21et 31 == rr respectivement.)

50. 692580927,0211

21et 6687714032,0

201

191 ...

41

31

211 2020 ≈⋅+≈−++−+−= ss

51. Si la somme L est approximée par la somme partielle ( ) j

n

j

jn us ∑

=

+=1

11- , alors le reste est

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 4 51 2 3 4

1

2 2 2 2 2 31 2 3 4

21 2 3 4

-1 -1 -1 -1 -1 ...

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ...

-1 ...

j n n n nj n n n n

j n

n n n nn n n n

nn n n n

u u u u u

u u u u

u u u u

∞+ + + + +

+ + + += +

+ + + ++ + + +

++ + + +

= + + + +

= + + + +

⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦

∑

Comme 1+≥ nn uu pour tout n ≥ 1, le résultat de chaque regroupement de termes est positif ou nul,

de sorte que l'expression entre crochets est positive ou nulle et que le reste a le même signe que

-1( )n +2 , qui est le signe de un+1 , le premier terme non utilisé.

52. ( ) ( ) ∑∑==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+=

+++

⋅+

⋅+

⋅=

n

k

n

k kkkknns

1120 1

111

11

1 ... 43

132

121

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

111 ...

51

41

41

31

31

21

211

nn, soit les 2n premiers termes de la

première série. Les deux séries sont donc identiques.

Nous voyons que 1

111

111 +

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= ∑

= nkks

n

kn et que 1

111limlim =+

−==→∞→∞ n

sSnnn

.

Les deux séries convergent donc vers 1.



La somme des ( )12 +n premiers termes de la première série est 11

11

11 =+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

nn et la somme

des deux séries est 1.

53. Selon le test de comparaison directe, puisque nn aa ≥ pour tout n et ∑∞

=1nna diverge, il s'ensuit

que ∑∞

=1

nna diverge.

54. Nous savons que ... ... 2121 nn aaaaaa +++≤+++ pour tout n.

De plus, si ∑∞

=1

nna converge, alors ∑

∞

=1nna converge (Voir le théorème 4.4.3, page 306), de sorte

que ∑∑∞

=

∞

=

≤11

n

nn

n aa .

55. a) Par hypothèse, ∑∞

=1

nna et ∑

∞

=1

nnb sont deux séries convergentes, de sorte que

( ) 1 1 1

n n n nn n n

a b a b∞ ∞ ∞

= = =

+ = +∑ ∑ ∑ converge aussi.

Comme, pour tout n, n n n na b a b+ ≤ + , il s'ensuit, par le test de comparaison directe,

que ∑∞

=

+1

n

nn ba converge aussi, d'où ( )∑∞

=

+1n

nn ba est absolument convergente.

b) Par hypothèse, ∑∞

=1

nnb converge, de sorte que ∑

∞

=1-

nnb est absolument convergente. De

plus, par hypothèse, ∑∞

=1nna est aussi absolument convergente. D'après a),

( )( ) ( )1 1

-n n n nn n

a b a b∞ ∞

= =

+ = −∑ ∑ est absolument convergente.

c) Par hypothèse, ∑∞

=1

nna est une série convergente. Il s'ensuit que ∑∑

∞

=

∞

=

=1

1

n

nn

n akak

est aussi une série convergente, d'où ∑∞

=1

nnak converge absolument.



56. Soit n

ba nnn

1)1-( 1+== . Alors ∑∑∑∞

=

+∞

=

∞

=

==1

1

11

1)1-(n

n

nn

nn n

ba convergent

(Voir l'exemple 3 a), page 306), mais ∑∑∞

=

∞

=

=11

1n

nn

n nba diverge.

57. 211

21- ,

21- 21 =+== ss

5099,0-221

201

181

161

121

101

81

61

411

21-3

≈

−−−−−−−−−+=s

(Note : Pour obtenir s3 , nous additionnons à s2 suffisamment de termes négatifs pour que s3 soit

inférieure à -0,50. Bien entendu, la calculatrice est ici d'une grande utilité!)

-0,512441

421

401

381

361

341

321

301

281

261

241

-0,176631

45

34

≈

−−−−−−−−−−−=

≈+=

ss

ss

-0,51107661

641

621

601

581

561

541

521

501

481

461s

-0,31251

67

56

≈

−−−−−−−−−−−=

≈+=

s

ss

58. Les termes de cette série conditionnellement convergente ne sont pas additionnés dans l'ordre

donné.

2 4 6 8

0,4

0,2

-0,2

-0,4

21 =y



59. a) Si ∑∞

=1


∞

=1

nna converge (Voir le théorème 4.4.5, page 299) et la série

∑∑∞

=

∞

=

+11

21

21

nn

nn aa converge aussi.

Or ∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=+

=+1111 2

21

21

nn

n

nn

nn

nn b

aaaa , où

00

0 <≥

⎩⎨⎧

=n

nnn a

asisia

b

de sorte que ∑∞

=1

nnb converge.

b) Si ∑∞

=1


∞

=1

nna converge et la série ∑∑

∞

=

∞

=

−11

21

21

nn

nn aa converge aussi.

Or ∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=−

=−1111 2

21

21

nn

n

nn

nn

nn c

aaaa où

000

<≥

⎩⎨⎧

=n

n

nn a

asisi

ac

de sorte que ∑∞

=1

nnc converge.

60. Voici un exemple où 5=N . On remarquera

que 123 uuu >> et que 453 uuu >> , mais

que 1+≥ nn uu pour 5≥n .

x02s 4s 6s 8s 5s1s

1u +

2u −

3u +

5u +

4u −

6u −

7u +

3s8u −

7sL



Exercices 4.5 - Séries entières

1. Soit .nn xu = Alors

11

nn

nn

u x x xu x

++ = = → lorsque .∞→n Suivant le test du rapport,

la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire pour .1<1- <x Elle diverge pour

,1 >x car le n e terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x. Pour la borne -1,=x

la série devient ( ) ,1-0∑∞

=n

n qui diverge. Pour la borne ,1=x la série devient ,10∑∞

=n qui diverge

également.

a) )inférieure borne - supérieure (borne 21est econvergenc derayon Le =R

( )( )1 1 -1 1.2

= − =

L'intervalle de convergence est .11- << x

b) L'intervalle de convergence absolue est .11- << x

c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.

2. Soit ( )nn xu 5+= . Alors ( )( )

11 5

5 5 5

nn

nn

xu x xu x

++ +

= = + → ++

lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 5 <+x , c'est-à-dire pour

4-6-ou 151- <<<+< xx .

Elle diverge pour 1 5 >+x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 6-=x , la série devient ( )∑∞

=01-

n

n , qui diverge.

Pour la borne 4-=x , la série devient ∑∞

=01

n, qui diverge également.

a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2

R = −

( )( )1 -4 -6 1.2

= − =

L'intervalle de convergence est 4-6- << x .



b) L'intervalle de convergence absolue est 4-6- << x .


3. Soit ( ) ( ) .141- nnn xu += Alors ( ) ( )

( ) ( )

1 11 -1 4 1

4 1 4 1 -1 4 1

n nn

n nn

xu x xu x

+ ++ +

= = + → ++

lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 14 <+x c'est-à-dire pour

,04<2- ,114<1- <<+ xx ou encore .021- << x

Elle diverge pour ,1 14 >+x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x. Pour

la borne ,21-=x la série devient ( ) ( ) ( )2

0 0 0-1 -1 -1 1,n n n

n n n

∞ ∞ ∞

= = =

= =∑ ∑ ∑ qui diverge. Pour la borne ,0=x

la série devient ( ) ( ) ( )0 0

-1 1 -1 ,n n n

n n

∞ ∞

= =

=∑ ∑ qui diverge également.

a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure - borne inférieure) 2

R =

1 1 10 - .2 2 4⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠




4. Soit ( )n

n nxu 23 −

= . Alors ( )( )

( )1

1 3 2 3 2 3 2

1 13 2

nn

nn

xu n nx xu n nx

++ −

= ⋅ = − ⋅ → −+ +−

lorsque

∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 23 <−x , c'est-à-dire pour

131 encoreou ,1231- <<<−< xx .



Elle diverge pour 1 2-3 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 31

=x , la série devient ( )∑∞

=1

1-n

n

n, soit la série harmonique alternée, qui est


Pour la borne 1=x , la série devient ∑∞

=1

1n n

, soit la série harmonique, qui diverge.


R = −

.31

311

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

L'intervalle de convergence est 131

<≤ x .

b) L'intervalle de convergence absolue est 131

<< x .

c) La série entière converge conditionnellement pour 31

=x .

5. Soit ( ) .10

2n

n

nxu −

= Alors ( )( )

( ) ( )10

2 10

2

210

102 1

11 −

→−

=−

⋅−

= +

++ xx

xx

uu

n

n

n

n

n

n lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( ) 2

1,10

x −< c'est-à-dire pour

,102<10- ,110

2<1- <−<− xx ou encore .128- << x

Elle diverge pour ( ) 2

1,10

x −> car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -8,=x la série devient ( ) ( )n0 0

-10-1 ,

10

nn

n n

∞ ∞

= =

=∑ ∑ qui diverge. Pour la borne ,12=x la

série devient 0 0

10 1,10

n

nn n

∞ ∞

= =

=∑ ∑ qui diverge également.



a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure)2

R = −

( )( )1 12 -8 10.2

= − =




6. Soit ( )nn xu 2= . Alors ( )( )

11 2

2 2 2

nn

nn

xu x xu x

++ = = → lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 2 <x , c'est-à-dire pour

21

21-ou 121- <<<< xx .

Elle diverge pour 1 2 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 21-=x , la série devient ( )∑

∞

=01-

n

n , qui diverge.

Pour la borne 21

=x , la série devient ∑∞

=01

n, qui diverge également.


R = −

1 1 1 1- .2 2 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠


21- << x .


21- << x .


7. Soit .2

+

=n

xnun

n Alors ( ) ( )( )( )

11 +1 +1 2+2

3 3

nn

nn

n x n nu n x xu n n nnx

++ +

= ⋅ = ⋅ →+ +

lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire pour .1<1- <x



Elle diverge pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x. Pour la

borne -1,=x la série devient ( ) ,1-20

∑∞

=

⋅+n

n

nn qui diverge selon le test du en terme pour la

divergence puisque .012

lim ≠=+→∞ nn

n Pour la borne ,1=x la série devient ,

20∑∞

= +n nn qui diverge

également selon le test du en terme.

a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2

R = −

( )( )1 1 -1 1.2

= − =




8. Soit ( )n

n nxu 2+

= . Alors ( )( )

( ) 2+ 1

2 21

2 1

1 xn

nxx

nn

xu

un

n

n

n →+

⋅+=+

⋅+

+=

++ lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 2+ <x , c'est-à-dire pour

-13-ou 121- <<<+< xx .

Elle diverge pour 1 2+ >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.


=1

1n n

, soit la série harmonique, qui diverge.


=1

1-n

n

n, soit la série harmonique alternée, qui est



R = −

( )( )1 -1 -3 12

= − =

L'intervalle de convergence est -13- ≤< x .



b) L'intervalle de convergence absolue est -13- << x .

c) La série entière converge conditionnellement pour 1-=x .

9. Soit .3n

n

n nnxu = Alors

( ) ( )1

11

3 .3 1 13 1 1

n nn

nnn

u x n n n n xu xn n n n

++

+= ⋅ = ⋅

+ + + +

Or ( )

lim lim lim 1 1 ,

3 1 1 3 3 31 1n n n

x x xn n x n nn nn n→∞ →∞ →∞

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ ++ +

de sorte que 3

1 xu

u

n

n →+

lorsque n → ∞. Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour

1,3x

< c'est-

à-dire pour .33-ou 13

<1- <<< xx

Elle diverge pour ,13 >

x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -3,=x la série devient ( ) ( )3 2

1 1

-1 -1,

n n

n n nn n

∞ ∞

= =

=∑ ∑ une série-p alternée qui converge

absolument, puisque 1>p (Voir l'exemple 6, page 307).

Pour la borne ,3=x la série devient ,111

231

∑∑∞

=

∞

=

=nn nnn

une série-p convergente, puisque .1>p


R = −

( )( )1 3 -3 3.2

= − =

L'intervalle de convergence est .33- ≤≤ x

b) L'intervalle de convergence absolue est .33- ≤≤ x




10. Soit ( )n

n nxu 1−

= . Alors ( )( )

( )1

1 1 1 1

11 1

nn

nn

xu n nx xu nn x

++ −

= ⋅ = − ⋅ → −++ −

lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 1 <−x , c'est-à-dire pour

20ou 111- <<<−< xx .

Elle diverge pour 1 1 >−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 0=x , la série devient ( )∑∞

=1

1-n

n

n, une série-p alternée avec 1

21≤=p , qui est


Pour la borne 2=x , la série devient 1

1n n

∞

=∑ , une série-p avec 1

21≤=p , qui diverge.


R = −

( ) .10221

=−=

L'intervalle de convergence est 20 <≤ x .

b) L'intervalle de convergence absolue est 20 << x .

c) La série entière converge conditionnellement pour 0=x .

11. Soit ( ) .! 1-

nxu

nn

n = Alors ( )( ) ( )

1 11 -1 ! 1 0,

1 ! +1-1

n nn

n nn

xu n xu n nx

+ ++ = ⋅ = ⋅ →

+ pour tout x lorsque

.∞→n Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.

a) Le rayon de convergence est infini.

L'intervalle de convergence est la droite réelle.

b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.




12. Soit !

3nxu

nn

n = . Alors ( )

1 11 3 ! 1 3 0

1 ! 13

n nn

n nn

u x n xu n nx

+ ++ = ⋅ = ⋅ →

+ + pour tout x lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.





13. Soit 2 1 .!

n

nxu

n

+

= Alors ( )

2 321

2 1! 1 0,

1 ! +1

nn

nn

u x n xu n nx

++

+= ⋅ = ⋅ →+

pour tout x lorsque .∞→n






14. Soit ( )!32 12

nxu

n

n

++= . Alors ( )

( ) ( )( )

2 321

2 1

2 3 ! 1 2 +3 01 ! 12 3

nn

nn

xu n xu n nx

++

+

+= ⋅ = ⋅ →

+ ++ pour

tout x lorsque ∞→n .






15. Soit .32 +

=n

xun

n Alors ( )

, 4+2+

3 3

31 2

22

2

11 xx

nnn

xn

n

xu

un

n

n

n →⋅+

=+

⋅++

=+

+ lorsque

,∞→n puisque 2 2

2 23 3lim lim 1 1.

2 4 2 4n n

n nn n n n→∞ →∞

+ += = =

+ + + +



Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire .11- << x Elle

diverge pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -1,=x la série devient ( ) .3

1-0 2∑

∞

= +n

n

n

Cette série est conditionnellement convergente puisqu'elle converge selon le test des séries

alternées ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≥≥≥>

+=

→∞+ 0limet 1pour tout ;1pour tout 03

112 nnnnn unuun

nu mais que, par

ailleurs, la série des valeurs absolues ∑∞

= +0 2 3

1n n

diverge comme le démontre le test de

comparaison par une limite avec la série harmonique ,11∑∞

=n n qui diverge.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

+→∞

.11

31limeffet En 2

nn

n

Pour la borne ,1=x la série devient ∑∞

= +0 2 3

1n n

qui, comme nous venons de le voir, diverge.


R = −

( )( )1 1 -1 1.2

= − =

L'intervalle de convergence est .11- <≤ x


c) La série entière converge conditionnellement pour -1.=x

16. Soit 32 +

=n

xun

n . Alors ( )

42

3 3

31 2

22

2

11 x

nnnx

xn

n

xu

un

n

n

n →++

+⋅=

+⋅

++=

++ lorsque

∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire pour 11- << x .

Elle diverge pour 1 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.




= +1 2 3

1n n

, qui diverge (comparaison par une limite avec

∑∞

=1

1n n

).


= +1 2 3

1-n

n

n, qui converge conditionnellement en tant que

série alternée dont les termes sont décroissants et convergent vers 0.


R = −

( )( )1 1 -1 1.2

= − =

L'intervalle de convergence est 11- ≤< x .

b) L'intervalle de convergence absolue est 11- << x .

c) La série entière converge conditionnellement pour 1=x .

17. Soit ( )3.

5

n

n n

n xu

+= Alors ( )( )

( )

11

1

3 1 3 5 +1 3 5 55 3

n nn

n nn

xn xu n xu nn x

++

+

++ + += ⋅ = ⋅ →

+

lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,15

3 <

+x c'est-à-dire

,53<5- ,15

31- <+<+

< xx ou encore .28- << x Elle diverge pour ,15

3 >

+x car le en terme ne

converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -8,=x la série devient ( )0

-1 ,n

nn

∞

=

⋅∑ qui diverge selon le test du en terme pour la

divergence puisque .0lim ≠∞=→∞

nn

Pour la borne 2,=x la série devient ,0∑∞

=nn qui diverge pour les mêmes raisons.




R = −

( )( )1 2 -8 5.2

= − =




18. Soit ( )24 1

n

n n

nxun

=+

.

Alors ( )( )

( )( )

21 21

221

4 1 1 1 1 4 41 14 1 1

nn

nnn

n n xn xu x n nu nnx nn

++

+

++ + += ⋅ = ⋅ ⋅ →

⎡ ⎤ + ++ +⎣ ⎦

lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 14 <

x, soit 44-ou 4 <<< xx .


Pour la borne 4-=x , la série devient ( )2

0

-11

n

n

nn

∞

= +∑ , qui est une série conditionnellement

convergente.


= +02 1n nn , qui est une série divergente.


R = −

( )( )1 4 -4 4.2

= − =

L'intervalle de convergence est 44- <≤ x .





19. Soit .3n

n

nxnu = Alors

11

1

1 3 1 3 33

n nn

n nn

xu n x n xu nnx

++

+

+ += ⋅ = ⋅ → lorsque ,∞→n puisque

1 1lim lim 1 .3 3 3 3n n

x x xn x nn n→∞ →∞

+ +⋅ = ⋅ = ⋅ =

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,13 <

x c'est-à-dire

.3<3-ou 13

1- <<< xx Elle diverge pour ,13 >

x car le en terme ne converge pas vers 0 pour les

valeurs de x.

Pour la borne -3,=x la série devient ( ) ,1-0∑∞

=n

n n qui diverge selon le test du en terme pour la

divergence puisque .0lim ≠∞=→∞

nn

Pour la borne 3,=x la série devient ,0∑∞

=nn qui diverge pour les mêmes raisons.


R = −

( )( )1 3 -3 3.2

= − =




20. Soit ( )nnn xnu 52 += . Alors ( )

( )( )

11 11 1 2 5 1 2 +5 2 5

2 5

nn nn

n nnn

n xu nx xu nn x

++ ++ + ⋅ + +

= = ⋅ → +⋅ +

lorsque ∞→n ( )11

puisque lim lim 1 1n nn n

n n+

→∞ + →∞= + = .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 52 <+x , c'est-à-dire

2-3- encoreou ,1521- <<<+< xx .




Pour la borne 3-=x , la série devient ( ) n

n

n n∑∞

=11- , qui diverge par le test du en terme pour la

divergence, puisque 01lim ≠=∞→

nn

n .


=1n

n n , qui diverge pour les mêmes raisons.


R = −

( )( )1 1-2 -3 .2 2

= − =

L'intervalle de convergence est -23- << x .



21. Soit .11 nn

n xn

u ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Alors 1 1 1+ 1 ,

nnn nnu x x x

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lorsque .∞→n Suivant

le test de la racine en la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire .11- << x Elle

diverge pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -1,=x la série devient ( )1

1-1 1 ,n

n

n n

∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ qui diverge selon le test du en terme pour

la divergence puisque 1lim 1 0.n

ne

n→∞

⎛ ⎞+ = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

Pour la borne 1,=x la série devient 1

11 ,n

n n

∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ qui diverge pour les mêmes raisons.


R = −

( )( )1 1 -1 1.2

= − =






22. Soit ( )ln nnu n x= . Alors

( )( )( )

( )11

ln 1 ln 1

lnln

nn

nn

n x nu x xu nn x

++

+ += = ⋅ → lorsque ∞→n puisque

( ) . .ln 1lim 1

ln

R H

n

nn→∞ ∞ ∞

+= .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire 11- << x .


Pour la borne 1-=x , la série devient ( ) nn

n ln1-1∑∞

=

, qui diverge par le test du en terme puisque

0lnlim ≠∞=∞→

nn

.


=1ln

nn , qui diverge pour les mêmes raisons.


R = −

( )( )1 1 -1 1.2

= − =

L'intervalle de convergence est 11- << x .


c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x. 23. Soit .nn

n xnu = Alors , ∞→== xnxnu n nnnn lorsque ,∞→n sauf en .0=x

Suivant le test de la racine ,en la série diverge pour tout x, sauf .0=x Elle converge absolument

en .0=x

a) Le rayon de convergence est .0=R

L'intervalle de convergence est .0=x

b) L'intervalle de convergence absolue est .0=x




24. Soit ( )nn xnu 4! −= . Alors ( ) ( )( )

( ) ( )1

1 1 ! 4 4 1

! 4

nn

nn

n xu x nu n x

++ + −

= = − ⋅ + →∞−

lorsque

∞→n , sauf en 4=x , où 10 lim 1 <=+

→∞ n

nn u

u .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument en 4=x seulement.

a) Le rayon de convergence est 0=R .

L'intervalle de convergence est 4=x .

b) L'intervalle de convergence absolue est 4=x .


25. Soit ( ) ( )1-1 2.

2

n n

n n

xu

n

+ +=

Alors ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 11

1 1

2 -1 2 2 2 ,+1 2 21 2 -1 2

n n nn

n n nn

xxu n n xu nn x

+ ++

+ +

++ += ⋅ = ⋅ →

+ + lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,12

2 <

+x c'est-à-dire

.04- encoreou ,222- ,12

21- <<<+<<+

< xxx Elle diverge pour ,12

2 >

+x car le en terme ne


Pour la borne -4,=x la série devient ( ) ( ) ( )1 2 1

1 1 1

-1 -1 -1 1- ,n n n

n n nn n n

+ +∞ ∞ ∞

= = =

⋅= =∑ ∑ ∑ qui est l'opposé de la

série harmonique et donc une série divergente.

Pour la borne 0,=x la série devient ( ) ,1-1

1

∑∞

=

+

n

n

n soit la série harmonique alternée, qui converge

conditionnellement (Voir les pages 303 à 305).


R = −

( )( )1 0 -4 2.2

= − =

L'intervalle de convergence est .04- ≤< x



b) L'intervalle de convergence absolue est .04- ≤< x

c) La série entière converge conditionnellement en .0=x 26. Soit ( ) ( )( )-2 1 1n n

nu n x= + − .

Alors ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )1 1

1 -2 2 1 2 -2 1 2 1 1-2 1 1

n nn

n nn

n xu nx xu nn x

+ ++ + − +

= = − ⋅ → −++ −

lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 1 2 <−x , c'est-à-dire

23

21 encoreou ,

211

21- <<<−< xx .


Pour la borne 21

=x , la série devient ( )∑∞

=

+1

1n

n , une série divergente par le test du en terme.

Pour la borne 23

=x , la série devient ( ) ( )1

-1 1n

nn

∞

=

+∑ , une série divergente par le test du en terme.


R = −

.21

21

23

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=


21

<< x .


21

<< x .


27. Soit ( )

.ln 2nnxu

n

n = Alors ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

2 211

2 2

ln ln .

11 ln 1 ln 1

nn

nn

n n nu x n xu nxn n n

++ = ⋅ = ⋅ ⋅

++ + +

Or ( )( )( )

( )( )( ) ( )

22 2

2 2

ln ln lnlim lim lim lim lim 1 1 1 ln 1ln 1 ln 1n n n n n

n nn n n nx x xn n n nn n→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + ++ + ⎝ ⎠

( ) , 1 1lim 11

1lim1 222

xxxn

nxn

nnn

=⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=→∞→∞

de sorte que 1 xu

u

n

n →+ lorsque .∞→n



Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <x soit .11- << x Elle diverge

pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -1,=x la série devient ( )( )2

2

-1.

ln

n

n n n

∞

=∑ Cette série est absolument convergente

puisque la série correspondante des valeurs absolues, ( )2

2

1 ,lnn n n

∞

=∑ converge (série-p

logarithmique avec 1>p ). (Voir la section 4.3, exercice 75, page 301)

Pour la borne 1,=x la série devient ( )2

2

1 ,lnn n n

∞

=∑ qui converge pour les mêmes raisons.


R = −

( )( )1 1 -1 12

= − = .

L'intervalle de convergence est .11- ≤≤ x

b) L'intervalle de convergence absolue est .11- ≤≤ x


28. Soit nn

xun

n ln= . Alors

( ) ( ) ( )1

1 ln ln 1 ln 1 1 ln 1

nn

nn

u x n n n nx xu n n n nx

++ = ⋅ = ⋅ ⋅ →

+ + + + lorsque

∞→n , puisque ( )

. . . .lnlim 1 et lim 11 ln 1

R H R H

n n

n nn n→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞

= =+ +

.

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire 11- << x .



=2 ln1-

n

n

nn, une série alternée qui est conditionnellement

convergente (Voir l'exercice 4.4, numéro 26, page 311).


=2 ln1

n nn, une série-p logarithmique qui diverge puisque

1=p .




R = −

( )( )1 1 -1 1.2

= − =


b) L'intervalle de convergence absolue est 11- <≤ x .


29. Soit ( ) .5423

12

nxu

n

n

+−=

Alors ( )( ) ( )

( ) ( )2 3 3 23 2

2 213 2 2 1

4 5 4 5 4 5 ,

11 4 5

nn

nn

xu n n x xu nn x

++

+

− ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − → −⎜ ⎟+⎝ ⎠+ − lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( ) ,154 2 <−x soit ,1 54 <−x c'est-

à-dire ,644 ,1541- <<<−< xx ou encore .231 << x Elle diverge pour ( ) ,154 2 >−x car le en

terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 1,=x la série devient ( )2 1

3 2 3 2 3 21 1 1

-1 1 1- ,n

n n nn n n

+∞ ∞ ∞

= = =

−= =∑ ∑ ∑ qui converge absolument en

tant que l'opposé d'une série-p alternée avec .1>p

Pour la borne ,23=x la série devient ,11

23∑∞

=n n qui converge en tant que série-p avec .1>p


R = −

.411

23

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

L'intervalle de convergence est .231 ≤≤ x

b) L'intervalle de convergence absolue est .231 ≤≤ x




30. Soit ( )22

13 1

++

=+

nxu

n

n . Alors ( )( )

( )2

11

3 1 2 2 2 2 3 +1 3 1 2 4 2 43 1

nn

nn

xu n nx xu n nx

++

+

+ + += ⋅ = ⋅ → +

+ ++ lorsque

∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 13 <+x , c'est-à-dire

032-ou 1131- <<<+< xx .


Pour la borne 32-=x , la série devient ( )∑

∞

=

+

+1

1

221-

n

n

n, une série conditionnellement convergente.

Pour la borne 0=x , la série devient 1

12 2n n

∞

= +∑ , une série divergente.


R = −

.31

32-0

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=


b) L'intervalle de convergence absolue est 032- <≤ x .


31. Soit ( ) .n

xun

nπ+

= Alors ( )( )

( )1

1 ,+11

nn

nn

x πu n n x π x πu nn x π

++ +

= ⋅ = ⋅ + → ++ +

lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <+ πx c'est-à-dire

,11- <+< πx ou encore .11- ππ −<<− x Elle diverge pour ,1 >+ πx car le en terme ne




Pour la borne ,-1 π−=x la série devient ( ) ,1-1∑∞

=n

n

n qui converge conditionnellement en tant que

série-p alternée avec .10 ≤< p

Pour la borne ,1 π−=x la série devient 1

1 ,n n

∞

=∑ qui diverge en tant que série-p avec .10 ≤< p


R = −

( )( )1 1 -1 1.2

π π= − − − =

L'intervalle de convergence est .11- ππ −<≤− x

b) L'intervalle de convergence absolue est .11- ππ −<≤− x

c) La série entière converge conditionnellement pour .-1 π−=x

32. Soit ( )2 1

2

2

n

n n

xu

+−

= .

Alors ( )

( )( ) ( )2 3 2 2

11 2 1

2 2 22 2 22 2

n

nn n

n

x x xu nu x

+

++ +

− − −= ⋅ = →

− lorsque ∞→n .

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( ) ( )

222

1 ou 2 22

xx

−< − < ,

c'est-à-dire 220ou 222- <<<−< xx .

Elle diverge pour ( ) 122>−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 0=x , la série devient ( ) ( ) ( )

( )22 1

0 0 0

- 2 - 2- 2- 2

2 2

nn

n nn n n

+∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦= =∑ ∑ ∑ qui diverge

selon le test du en terme puisque 02-2-lim ≠=∞→n

.

Pour la borne 22 , la série devient ( ) ( )22 1

0 0 0

2 222

2 2

nn

n nn n n

+∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦= =∑ ∑ ∑ qui diverge pour les

mêmes raisons.




R = −

( ) .202221

=−=

b) L'intervalle de convergence absolue est .220 << x

c) La série entière ne converge pour aucune valeur de x.

33. ( ) ( )2 2 2

20 0 0

1 1 1 ,24 2

nn n

n nn n n

x x x∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤− − −⎛ ⎞= = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ qui est une série géométrique de premier terme 1 et de

raison .2

1 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=xr

Cette série converge donc pour ,1 2

1 2

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −x c'est-à-dire ( ) ,2 1 ,41 2 <−<− xx

2,<1-<2- x ou encore .31- << x

Donc, la série entière converge pour 31- << x et la somme est :

( )

.23

4124

4

414

1

211

11

12222 xxxxxxr −+

=−+−

=−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

=−

34. ( ) ( )∑∑∞

=

∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=

+

0

2

0

2

91

91

n

n

nn

n xx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison ( )219

xr

+= .

Cette série converge donc pour ( )21 1

9x +

< , c'est-à-dire ( )21 9,x + < ou encore 313- <+< x

ou 24- << x .

Donc, la série entière converge pour 24- << x et la somme est

( ) ( )2 2 2 2

1 1 9 9 91 9 2 1 8 21 9 1

19

r x x x xx x= = = =

− − − − − −+ − +−

.



35. ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

01

2n

nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison .1

2−=

xr


<−x

c'est-à-dire ,4<0 ,22

<0 ,112

1- <<<−< xxx ou encore .160 << x

Donc, la série entière converge pour 160 << x et la somme est :

.4

2

12

1

11

1xxr −

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

36. ( )∑∞

=0ln

n

nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison xr ln= .

Cette série converge donc pour 1 ln <x , c'est-à-dire 1ln1- << x ou exe

<<1

Donc, la série entière converge pour exe

<<1 et la somme est

xr ln11

11

−=

−.

37. ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

0

2

31

n

nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison .

312

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

xr


1 2

<+x c'est-à-dire .22- ,2 ,31 22 <<<<+ xxx


( ) 22 2

1 1 3 3 .1 21 3 11

3r xx x= = =

− ⎛ ⎞ −+ − +− ⎜ ⎟⎝ ⎠



38. ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

0

2

21

n

nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

212xr .

Cette série converge donc pour 1 2

1 2

<−x , c'est-à-dire ,212- ,2 1 22 <−<<− xx

33- ,30 ,31- 22 <<<<<< xxx .


( ) 22 2

1 1 2 21 31 2 11

2r xx x= = =

− ⎛ ⎞ −− − −− ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

39. Il faut trouver une série géométrique telle que .41

434

3raison1

rmepremier texx −

=−

=−

La série aura donc 43 pour premier terme et la raison sera .4x

La série recherchée est , ... 44

3 ... 44

344

343 2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

nxxx ou encore

... 4

3 ... 43

43

43

12

32 +++++ +n

n xxx

40. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )6-12

6163

63

raison1rmepremier te

xx

xx

xx

−=

+=

+=

−.

La série aura donc 2x pour premier terme et sa raison sera ( )6- x .

La série recherchée est ... 6

-2

... 6

-26

-22

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

nxxxxxxx , ou encore

( ) ( )∑∞

= ⋅=+

⋅+−

⋅+

⋅−

0

32

2

621- ...

621- ...

621

621

2 n

nn

nn

n

n

xxxxx .



41. Il faut trouver une série géométrique telle que ( ) ( ) .32135

32335

235

raison1rmepremier te 222

xx

xx

xx

−=

−=

−=

−

La série aura donc 35 2x pour premier terme et la raison sera .32x

La série recherchée est , ... 3

23

5 ... 3

23

53

23

53

5 22222

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅+

nxxxxxxx ou encore

2 23 4 2

2 3 15 5 2 5 2 5 2 ... ...

3 3 3 3

nn

nx x x x +

+

⋅ ⋅ ⋅+ + + + +

42. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )( )

33 4 3premier terme 41 raison 3 5 1 -5 3

xxx x

= =− + −

.

La série aura donc ( )34 3x pour premier terme et sa raison sera 35- x .

La série recherchée est 23 3 3 34 4 -5 4 -5 4 -5... ...

3 3 3 3 3 3 3

nx x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, ou encore

( ) ( )3 24 5 3 3

2 3 1 10

-1 4 5 -1 4 54 4 5 4 5 ... ... 3 3 3 3 3

n nn nn n

n nn

x x x x x∞

+ ++ +

=

⋅ ⋅⋅ ⋅− + − + + = ∑ .

43. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )22premier terme ,1 raison 5 3

xx

−=

− − la raison étant exprimée

en termes de ( )2−x puisque la série recherchée sera centrée en .2=a

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2 2 2 22 2 2 2 - 2 - 2.

5 3 5 3 2 2 5 3 2 6 -1 3 2 1 3 2 1 -3 2x x x x x x

x x x x x x− − − − − −

= = = = =− − − + − − − − − + − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦

La série aura donc ( )22- −x pour premier terme et la raison sera ( ).23- −x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 2322322-est recherchée série La −⋅−−−⋅−+− xxxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ... 2321- ... 232 21332 +−⋅⋅−++−⋅−+ + nnn xxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 1 22 3ou encore - 2 3 2 3 2 3 2 ... -1 3 2 ... .n nnx x x x x+ +− + − − − + − − + ⋅ ⋅ − +

Note : Dans les problèmes qui suivent, nous utiliserons fréquemment le développement en série

de ,xe énoncé à l'exercice 66, auquel nous appliquerons le changement de variable approprié.



44. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )32 3premier terme1 raison 3 1

xx+

=− −

, la raison étant exprimée

en termes de 3+x , puisque la série recherchée sera centrée en 3-=a .

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

33 3 3 32 3 -102 3 2 3 2 3 - 3 533 1 3 3 3 1 3 3 10 3 +3 10 10 1 3

10

xx x x xx x x x x

⎡ ⎤++ + + +⎣ ⎦= = = =− + − − + − ⎡ ⎤−⎣ ⎦ − +

.

La série aura donc ( )5

3- 3+x pour premier terme et sa raison sera ( )3103

+x .

La série recherchée est

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ... 3103

53 ... 3

103

533

103

53

53- 32333

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

+−+⋅

+−

+ n

xxxxxxx

ou encore ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 324 5 3

20

- 3 3 33 3 33 3 ... 3 ... -5 5 10 5 10 5 10 5 10

nnnn

n nn

x xx x x

+∞+

=

+ +− + − + − − + − =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ .

45. Supposons qu'il existe une solution de la forme

... ... 11

2210 ++++++= −

+n

nn

n xaxaxaxaay

alors

... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xanxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 0,n

n ny y a a a a x a a x n a a x −+′ + = + + + + + + + + + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 0, 3 0, ... , 0, etc.n na a a a a a n a a −+ = + = + = + =

Vu que ,0en 1 == xy il s'ensuit que a0 = 1.

De ,1et 0 001 ==+ aaa nous déduisons -1.- 01 == aa

De ,1-et 02 112 ==+ aaa nous déduisons .21

2- 1

2 ==aa

De ,21et 03 223 ==+ aaa nous déduisons .32

1-3

- 23 ⋅

==aa

En général, de ,0 1 =+ −nn aan il découle que ( ) ( ) .!

1-...32

1-- 1

nnnaa

nnn

n =⋅⋅⋅

== −

Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :



( )2 3 -11 11 ... ...2 3! !

nny x x x x

n= − + − + + +

( )0

-1.

!

n n-x

n

xe

n

∞

=

= =∑

46. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 2 2 2 3 2 ... 2 ... 0,n

n ny y a a a a x a a x na a x −−′ − = − + − + − + + − + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 12 0, 2 2 0, 3 2 0, ..., 2 0n na a a a a a na a −− = − = − = − = , etc.

Vu que 0en 1 == xy , il s'ensuit que 10 =a .

De 1et 02 001 ==− aaa , nous déduisons 22 01 == aa .

De 2et 022 112 ==− aaa , nous déduisons 22

222

22 2

12 =

⋅==

aa .

De 22et 023

2

223 ==− aaa , nous déduisons 23

222

32

32 32

23 ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== aa .

En général, de 02 1 =− −nn ana , il découle que ( )

112 2 2 2

1 ...3 2 !

n nn

naan n n n

−−= = ⋅ =

− ⋅.


( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 32 3

2 3

0

2 2 21 2 ... ...2 3 2 !

2 2 21 2 ... ...

2! 3! !

2.

!

nn

n

n

n

y x x x xn

x x xx

n

xn

∞

=

= + + + + + +⋅

= + + + + + +

=∑

Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers xe2 pour tout x.


... ... 11

2210 ++++++= −

+n

nn

n xaxaxaxaay



alors

... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xanxaxaay

( ) ( ) ( ) ( ) ,1 ... ... 32 11

2231201 =+−++−+−+−=−′ −

+n

nn xaanxaaxaaaayy

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) etc. ,0 , ... ,03 ,02 ,1 1231201 =−=−=−=− −nn aanaaaaaa

Vu que ,0en 0 == xy il s'ensuit que .00 =a

De ,0et 1 001 ==− aaa nous déduisons 1 0 1 1.a a= + =

De ,1et 02 112 ==− aaa nous déduisons .21

21

2 ==aa

De ,21et 03 223 ==− aaa nous déduisons .

321

32

3 ⋅==

aa

En général, de ,0 1 =− −nn aan il découle que !

1 ... 32

11

nnnaa n

n =⋅⋅⋅

== − pour .1≥n


... !

1 ... !3

121 32 +++++= nx

nxxxy

1

0

!

1 1.!

n

n

nx

n

xn

x en

∞

=

∞

=

=

= − = −

∑

∑

48. Supposons qu'il existe une solution de la forme 2 10 1 2 1... ...n n

n ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +

alors 2 11 2 32 3 ... ...n

ny a a x a x na x −′ = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 1n

n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + = ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 11, 2 0, 3 0, ..., 0n na a a a a a na a −+ = + = + = + = , etc.


De 2et 1 001 ==+ aaa , nous déduisons 1-1 01 =−= aa .

De 1-et 02 112 ==+ aaa , nous déduisons 21

2- 1

2 ==aa .

De 21et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons

321-

3- 2

3 ⋅==

aa .



En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( ) ( )!

1-...32

1-- 1

nnaaa

nn

n

nn =

⋅⋅⋅== − .

Ainsi, la solution de l'équation différentielle est

( )

( )

( ) .1!

1-1

...!

1- ... !3!2

11

... !

1- ... 32

1212

0

-

32

32

∑∞

=

+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−+−+=

+++⋅

−+−=

n

xnn

nn

nn

en

x

nxxxx

xn

xxxy

Comme nous le verrons à la section 4.6, la série ( )∑∞

=0 !1-

n

nn

nx converge vers xe- pour tout x,

de sorte que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme xey -1+= .


... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors

... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xanxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... ,n

n ny y a a a a x a a x n a a x x−−′ − = − + − + − + + − + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) etc. ,0 ..., ,03 ,12 ,0 1231201 =−=−=−=− −nn aanaaaaaa


De ,0et 0 001 ==− aaa nous déduisons a1 = a0 = 0.

De 2a2 − a1 = 1 et a1 = 0, nous déduisons .21

21 1

2 =+

=aa


321

32

3 ⋅==

aa

En général, de ,0 1 =− −nn aan il découle que !

1...32

11

nnnaa n

n =⋅⋅⋅

== − pour .2≥n


2 3

2 0

1 1 10 0 ... ... 1 1 .2 3! ! ! !

n nn x

n n

x xy x x x x x e xn n n

∞ ∞

= =

= + ⋅ + + + + + = = − − = − −∑ ∑




n ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 2n

n ny y a a a a x a a x na a x x−−′ + = + + + + + + + + + = ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 2, 3 0, ..., 0n na a a a a a na a −+ = + = + = + = , etc.

Vu que 0en 1- == xy , il s'ensuit que 1-0 =a .

De 1-et 0 001 ==+ aaa , nous déduisons 1- 01 == aa .

De 1et 22 112 ==+ aaa , nous déduisons 21

22 1

2 =−

=aa .


321-

3- 2

3 ⋅==

aa .

En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( ) ( )1 -1 -1-2 3 ... !

n nn

nn

aaa n n

−= = =⋅ ⋅ ⋅

.


( )

( )

( ) .22!

1-

22... !

1- ... !3!2

1

... !

1- ... !3

1211-

0

32

32

∑∞

=

+−=

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−+−=

+++−++=

n

nn

nn

nn

xn

x

xn

xxxx

xn

xxxy

Comme nous le verrons à la section 4.6, la série ( )∑∞

=0 !1-

n

nn

nx converge vers xe- pour tout x,

de sorte que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme 22- −+= xey x . 51. Supposons qu'il existe une solution de la forme

... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors

... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xanxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 2 0 3 1 4 2 22 3 4 ... 0,n

n ny xy a a a x a a x a a x n a a x −−′ − = + − + − + − + − + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 3 1 4 2 20, 2 0, 3 0, 4 =0, ..., 0, etc.n na a a a a a a n a a −= − = − = − − =





20

2 ==aa


3 ==aa


421

42

4 ⋅==

aa

En général, de ,0 2 =− −nn aan il découle que 02 == −

naa n

n si n est impair

et nn

aa nn ⋅⋅⋅

== −

... 4212 si n est pair, ou encore 012 =+na

et ( ) . ... 2121

2 ... 421

2 nna nn ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=


.!

2!2

... 2...42

1 ... 42

1211 2

0

2

0

2242 2x

n

n

nn

nn e

n

x

nxx

nxxy =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⋅

=+⋅⋅⋅

++⋅

++= ∑∑∞

=

∞

=


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( )2 2 3 11 2 3 0 4 1 32 3 4 ... ... 0,n

n ny x y a a x a a x a a x na a x −−′ − = + + − + − + + − + =

d'où ( ) ( ) ( )1 2 3 0 4 1 30, 0, 3 0, 4 0, ..., 0n na a a a a a na a −= = − = − = + = , etc.

Vu que 0pour 1 == xy , il s'ensuit que 10 =a .


30

3 ==aa .


4 ==aa .

Du terme général ( ) 03 =− −nn ana , nous tirons

,05 25 =− aa d'où 052

5 ==aa

,06 36 =− aa d'où 63

163

6 ⋅==

aa .

En général, 0et 0 ,3...963

123133 ==

⋅⋅⋅⋅= ++ nnn aa

na .




∑∑∞

=

∞

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

+⋅⋅⋅⋅

++⋅⋅

+⋅

++=

0

3

0

3

3963

.!

3!3

... 3...963

1 ... 963

163

1311

n

n

nn

n

n

n

x

nx

xn

xxxy

Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers 3 3xe pour tout x.


... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors 2 3 11 2 3 42 3 4 ... ...n

ny a a x a x a x n a x −′ = + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 31 0 2 1 1 3 2 2 4 3 3

11 1

1 2 3 2 4 3

... 1 ... 0, nn n n

x y y a a a a a x a a a x a a a x

n a n a a x −− −

′− − = − + − − + − − + − −

+ + − − − + =

d'où ( )1 0 2 1 3 2 4 3 10, 2 2 0, 3 3 0, 4 4 0, ... , 0, etc.n na a a a a a a a n a n a −− = − = − = − = − =


De ,2et 0 001 ==− aaa nous déduisons 2.01 == aa

De ,2et 022 112 ==− aaa nous déduisons 2.12 == aa

De ,2et 033 223 ==− aaa nous déduisons .223 == aa

En général, de ,01 =− −nn nana il découle que .21 == −nn aa


.

122

... 2 ... 2222

0

32

∑∞

= −==

++++++=

n

n

n

xx

xxxxy

54. Supposons qu'il existe une solution de la forme 2 1

0 1 2 1... ...n nn ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,0 ...

... 2242322211

2

3224

2113021

2

=+++

+++++++++=+′+−

−n

nn xnana

xaaaxaaaxaaaxyyx

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 3 1 4 2 20, 2 2 0, 3 3 0, 4 4 0, ..., 0n na a a a a a a na na −= + = + = + = + = , etc.



Vu que 0pour 3 == xy , il s'ensuit que 30 =a .

De 3et 022 002 ==+ aaa , nous déduisons -3- 02 == aa .

De 0et 033 113 ==+ aaa , nous déduisons 0- 13 == aa .

De 3-et 044 224 ==+ aaa , nous déduisons 3- 24 == aa .

En général, ( ) 31-et 0 212 ⋅==+

nnn aa .


( ) ( ) .-31-3 ... 3330

2

0

242 ∑∑∞

=

∞

=

==−+−=n

n

n

nn xxxxy

Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers 213x+

pour 1 <x .


... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors

... ... 432 134

2321 ++++++=′ −n

n xanxaxaxaay et

( ) ... 1 ... 34232 22432 +−++⋅+⋅+=′′ −n

nxannxaxaay

( ) ( ) ( ) 22 0 3 1 4 22 3 2 4 3 ...y y a a a a x a a x′′ − = − + ⋅ − + ⋅ − +

( )[ ] ,0 ... 1 22 =+−−+ −

−n

nn xaann

d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 22 0, 3 2 0, 4 3 =0, ... , 1 0, etc.n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤− = ⋅ − = ⋅ − − − =⎣ ⎦

Vu que .1 ,0en 1 1 ===′ axy De même, vu que .0 ,0en 0 0 === axy


2 ==aa

De ,1et 023 113 ==−⋅ aaa nous déduisons .23

123

13 ⋅

=⋅

=aa

De ,0et 034 224 ==−⋅ aaa nous déduisons .034

24 =

⋅=

aa

De même, ,23

1et 045 335 ⋅==−⋅ aaa d'où .

!51

23451

453

5 =⋅⋅⋅

=⋅

=aa

Ainsi ( )2 2 1

10 et 2 1 !n na a

n+= =+

et la solution de l'équation différentielle est :



( )

( )

3 5 2 1

2 1

0

1 1 1 ... ...3! 5! 2 1 !

.2 1 !

n

n

n

y x x x xn

xn

+

+∞

=

= + + + + ++

=+∑


2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay et

( ) ... 1 ... 34232 22432 +−++⋅+⋅+=′′ −n

nxannxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 3 1 4 2 22 3 2 4 3 ... 1 ... 0n

n ny y a a a a x a a x n n a a x −−′′ ⎡ ⎤+ = + + ⋅ + + ⋅ + + + − + + =⎣ ⎦ ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 2 2 0, 3 2 0, 4 3 0, ..., 1 0n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤+ = ⋅ + = ⋅ + = − + =⎣ ⎦ , etc.

Vu que 0pour 0et 1 ==′= xyy , il s'ensuit que 0et 1 10 == aa .

De 1et 02 002 ==+ aaa , nous déduisons 21-

2- 0

2 ==aa .

De 0et 023 113 ==+⋅ aaa , nous déduisons 023

- 13 =

⋅=

aa .

De 21-et 034 224 ==+⋅ aaa , nous déduisons

2341

34- 2

4 ⋅⋅=

⋅=

aa .

De 0et 045 335 ==+⋅ aaa , nous déduisons 045

- 35 =

⋅=

aa .

En général, ( )( )2 1 2-1

0 et 2 !

n

n na an+ = = .


( )( )

22 4

0

-11 11 ... 2 4! 2 !

n n

n

xy x x

n

∞

=

= − + − =∑ .

Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers xcos pour tout x.

(Voir aussi l'exercice 65. a) de la présente section)




... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors

... ... 432 134

2321 ++++++=′ −n

n xanxaxaxaay

et

( ) ... 1 ... 34232 22432 +−++⋅+⋅+=′′ −n

nxannxaxaay

( ) ( ) ( ) ... 34232 2241302 ++⋅++⋅++=+′′ xaaxaaaayy

( )[ ] , ... 1 22 xxaann n

nn =++−+ −−

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) etc. ,01..., 0,=34 ,123 ,02 2241302 =+−+⋅=+⋅=+ −nn aannaaaaaa

Vu que .1 ,0en 1 1 ===′ axy De même, vu que .2 ,0en 2 0 === axy

De ,2et 02 002 ==+ aaa nous déduisons -1.2

- 02 ==

aa

De ,1et 123 113 ==+⋅ aaa nous déduisons .023

1 13 =

⋅−

=aa

De 4 ⋅ 3a4 + a2 = 0 et a2 = -1, nous déduisons 24

- 1 .4 3 4 3aa = =⋅ ⋅

De même, ,0et 045 335 ==+⋅ aaa d'où 045

- 35 =

⋅=

aa et ,34

1et 056 446 ⋅==+⋅ aaa

d'où .3456

1-56

- 46 ⋅⋅⋅

=⋅

=aa

Ainsi, .012 =+na

Dans le cas des indices pairs, la régularité est moins évidente, mais voyons tout de même :

!62

2345621-

34561- ,

!42

2342

341 ,

!22-

22-=-1 ,

!022 6420 =

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

==⋅⋅

=⋅

===== aaaa

d'où ( )( )2-1 2

.2 !

n

nan⋅

=



La solution de l'équation différentielle est :

( )( )

( )( )

( )( )

22 4 6

1 22 4 6

1 2

1

2 -12 22 ... ...4! 6! 2 !

-12 2 ... ...

2! 4! 6! 2 !

-12 2 .

2 !

n n

n n

n n

n

xy x x x x

n

xx x xxn

xx

n

+

+∞

=

= + − + − + + +

⎛ ⎞⎜ ⎟= + − − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − ∑


2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay et

( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n

ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +

( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 3 1 4 2 22 3 2 4 3 ... 1 ... n

n ny y a a a a x a a x n n a a x x−−′′ ⎡ ⎤− = − + ⋅ − + ⋅ − + + − − + =⎣ ⎦ ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 22 0, 3 2 1, 4 3 0, ..., 1 0n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤− = ⋅ − = ⋅ − = − − =⎣ ⎦ , etc.

Vu que 0pour 2et 1- ==′= xyy , il s'ensuit que 2et 1- 10 == aa .

De ( ) 1-et 02 002 ==− aaa , nous déduisons 21-

20

2 ==aa .

De ( ) 2et 123 113 ==−⋅ aaa , nous déduisons 21

23+1 1

3 =⋅

=aa .

De ( )21-et 034 224 ==−⋅ aaa , nous déduisons

2341-

342

4 ⋅⋅=

⋅=

aa .

De ( )21et 045 335 ==−⋅ aaa , nous déduisons

!53

2451

453

5 =⋅⋅

=⋅

=aa .

En général, ( ) ( )!123et

!21-

122 +== + n

an

a nn .


( ) ( )

2 3

2 2 1

1 1

1 3-1 2 ...2 3!

3-1 2 .2 ! 2 1 !

n n

n n

y x x x

x xxn n

+∞ ∞

= =

= + − + −

= + − ++∑ ∑



59. Les conditions initiales sont fournies pour 2=x ; il faut donc centrer la série recherchée en

.2=a Nous supposerons donc qu'il existe une solution de la forme

( ) ( ) ( ) . ... 2 ... 22 2210 +−++−+−+= n

n xaxaxaay

Alors

( ) ( ) ( ) ( ) ... 2 ... 242322 134

2321 +−++−+−+−+=′ −n

n xanxaxaxaay

et

( ) ( ) ( ) ( ) ... 21 ... 2342232 22432 +−−++−⋅+−⋅+=′′ −n

n xannxaxaay

( ) ( )( ) ( )( )22 0 3 1 4 22 3 2 2 4 3 2 ...y y a a a a x a a x′′ − = − + ⋅ − − + ⋅ − − +

( ) ( ) ( )221 2 ... - -2 2 ,n

n nn n a a x x x−−⎡ ⎤+ − − − + = = − −⎣ ⎦

d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 22 -2, 3 2 -1, 4 3 =0, ..., 1 0, etc.n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤− = ⋅ − = ⋅ − − − =⎣ ⎦

Vu que -2. ,2 lorsque -2 1 ===′ axy De même, vu que .0 ,2 lorsque 0 0 === axy

De ( ) ,0et -22 002 ==− aaa nous déduisons -1.2

202 =

−=

aa

De ( ) -2,et 1-23 113 ==−⋅ aaa nous déduisons .233-

2311

3 ⋅=

⋅−

=aa

De ( ) -1,et 034 224 ==−⋅ aaa nous déduisons .!42-

341-

342

4 =⋅

=⋅

=aa

De même ( ) ,233-et 045 335 ⋅

==−⋅ aaa d'où ( ) 056et 2345

3-45 46

35 =−⋅

⋅⋅⋅=

⋅= aaaa et

.!62-

34561-

56où d' ,

341- 4

64 =⋅⋅⋅

=⋅

=⋅

=aaa

Ainsi, ( ) ( )2 2 1

-2 -3 pour 1 et pour 1.2n ! 2n+1 !n na n a n+= ≥ = ≥


( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

2 3 4 5

2 2 1

1

2 3 2 3-2 2 2 2 2 2 ...2! 3! 4! 5!

2 2 3 2-2 2 .

2 ! 2 1 !

n n

n

y x x x x x

x xx

n n

+∞

=

= − − − − − − − − − −

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − − +

+⎢ ⎥⎣ ⎦∑




2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay et

( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n

ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +

( ) ( )2 2 22 3 4 0 42 6 4 3 ... 1 ... 0n

n ny x y a a x a a x n n a a x −−′′ ⎡ ⎤− = + + ⋅ − + + − − + =⎣ ⎦ ,

d'où ( ) ( )2 3 4 0 42 0, 6 0, 4 3 0, ..., 1 0n na a a a n n a a −⎡ ⎤= = ⋅ − = − − =⎣ ⎦ , etc.

Vu que 0en et ==′= xbyay , il s'ensuit que baaa == 10 et . De plus, .032 == aa

De ( ) aaaa ==−⋅ 004 et 034 , nous déduisons 3434

04 ⋅

=⋅

=aaa .

De ( ) baaa ==−⋅ 115 et 045 , nous déduisons 4545

15 ⋅

=⋅

=baa .

De ( ) 0et 056 226 ==−⋅ aaa , nous déduisons 06 =a .

De ( ) 0et 067 337 ==−⋅ aaa , nous déduisons 07 =a .

De ( )34

et 078 448 ⋅==−⋅

aaaa , nous déduisons 347878

48 ⋅⋅⋅

=⋅

=aaa .

De ( )45

et 089 559 ⋅==−⋅

baaa , nous déduisons 458989

59 ⋅⋅⋅

=⋅

=baa .


... 458934784534

9854 +⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅

+⋅

++= xbxaxbxabxay .


... ... 11

2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors

... ... 432 134

2321 ++++++=′ −n

n xanxaxaxaay

et

( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n

ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +

( ) ( ) ( )2 2 3 22 3 4 0 5 1 42 3 2 4 3 5 4 ... 1 ... ,n

n ny x y a a x a a x a a x n n a a x x−−′′ ⎡ ⎤+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + − + + =⎣ ⎦ d'où

( ) ( ) ( )2 3 4 0 5 1 42 0, 3 2 1, 4 3 0, 5 4 0, ... , 1 0, etc.n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + = − + =⎣ ⎦

Vu que . ,0en 1 baxby ===′ De même, vu que . ,0en 0 aaxay ===



De ,02 2 =a nous déduisons .02 =a

De ,123 3 =⋅ a nous déduisons .23

13 ⋅=a

De ( ) ,et 034 004 aaaa ==+⋅ nous déduisons .34

-4 ⋅=

aa

De ( ) ,et 045 115 baaa ==+⋅ nous déduisons .45

-5 ⋅=

ba

De ( ) ,0et 056 226 ==+⋅ aaa nous déduisons .06 =a

De ( ) ,23

1et 067 337 ⋅==+⋅ aaa nous déduisons .

23671-

7 ⋅⋅⋅=a

Pour les termes suivants, de ( ) ,01 4 =+− −nn aann nous déduisons ( ) .1- 4

−= −

nnaa n

n


. ... 458934782367

1453423

1 987543 +⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

−⋅

−⋅

−⋅

++= xbxaxxbxaxbxay


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay et

( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n

ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +

( ) ( ) ( ) 22 1 0 3 2 1 4 3 22 2 2 3 2 4 4 3 3 2y y y a a a a a a x a a a x′′ ′− + = − + + ⋅ − + + ⋅ − ⋅ +

( ) ( ) 21 2 ... 1 2 1 0n

n n nn n a n a a x −− −⎡ ⎤+ + − − − + =⎣ ⎦ ,

d'où ( ) ( ) ( )2 1 0 3 2 1 4 3 22 2 0, 3 2 4 0, 4 3 3 2 0,a a a a a a a a a− + = ⋅ − + = ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) 1 2... , 1 2 1 0n n nn n a n a a− −⎡ ⎤− − − + =⎣ ⎦ .

Vu que 0en 1et 0 ==′= xyy , il s'ensuit que a0 = 0 et a1 = 1.

De ( ) 1et 0= ,022 10012 ==+− aaaaa , nous déduisons 12

2 012 =

−=

aaa .

De ( ) 1et 1 ,0423 21123 ===+−⋅ aaaaa , nous déduisons 21

234 12

3 =⋅−

=aaa .

De ( )21et 1= ,02334 32234 ==+⋅−⋅ aaaaa , nous déduisons

61

3423 23

4 =⋅−⋅

=aaa .

De ( )61et

21= ,04245 43345 ==+⋅−⋅ aaaaa , nous déduisons

241

4542 34

5 =⋅−⋅

=aaa .



En général, ( )

11 !na

n=

−.


( )

12 3 4 5

1 0 0

1 1 1 ... 2 3! 4! 1 ! ! !

n n n

n n n

x x xy x x x x x xn n n

+∞ ∞ ∞

= = =

= + + + + + = = =−∑ ∑ ∑ .

Comme nous le verrons à la section 4.6, la série ∑∞

=0 !n

n

nx converge vers xe pour tout x,

de sorte que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme xexy = .

(Voir aussi l'exercice 66 de la présente section) 63. La série est une série géométrique de premier terme 1 et de raison ( ).3

21- −= xr

Cette série converge donc pour ( ) ,1 321- <−x c'est-à-dire ,232- ,2 3 <−<<− xx ou encore

.51 << x La somme est ( )

.1

232

2

3211

11

1−

=−+

=−+

=− xxxr

Si ( ) ( ) ( ) ( ) , ... 321- ... 3

413

211 2 +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−+−−= n

n

xxxxf

alors ( ) ( ) ( ) , ... 321- ... 3

21

21- 1 +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−+=′ −n

n

xnxxf qui est à son tour une série convergente sur

.51 << x

La somme de cette nouvelle série est ( )

.1

2-1

22−

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− xx

64. Soit ( ) ( ) ( ) ( )1

2 ... 321- ... 3

413

211 2

−=+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−+−−=

xxxxxf n

n

(voir l'exercice 63).

Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1

321- ...

123

43

132

++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++

−+

−−=

+

∫ nxxxxdxxf

nn

.

En 1=x , la série devient ∑∞

= +1 12-

n n, qui diverge.



En 5=x , la série devient ( )∑∞

= +1 121-

n

n

n, qui converge conditionnellement.

Par conséquent, l'intervalle de convergence de la nouvelle série est 51 ≤< x et la somme est

( )4ln3 1 ln2 −+−x , puisque Cxdxx

+−=−∫ 1 ln2

12 et que la constante d'intégration C

s'obtient en posant 3=x dans l'équation

( ) ( ) ( )2 3 13 3 31 ... - ... 2ln 1 4 12 2 1

nnx x xx x C

n

+− − −⎛ ⎞− + + + + = − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠, d'où C+= 2ln23

et 4ln32ln23 −=−=C .

65. a) Puisque la fonction xcos est la dérivée de la fonction xsin , il suffit de dériver le

développement en série de xsin pour obtenir celui de xcos .

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

3 5 7 9 11Ainsi, cos 1 ...3! 5! 7! 9! 11!

1 ... .2! 4! 6! 8! 10!

x x x x xx

x x x x x

= − + − + − +

= − + − + − +

La série converge pour tout x (Voir le théorème 4.5.2, page 321).

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 9 112 2 2 2 2sin 2 2 ...

3! 5! 7! 9! 11!x x x x x

x x= − + − + − +

3 5 7 9 118 32 128 512 20482 ...

3! 5! 7! 9! 11!x x x x xx= − + − + − +

c) Pour le développement de xsin , nous avons :

!111- ,0

,!9

1 ,0 ,!7

1- ,0 ,!5

1

,0 ,!3

1- ,0 ,1 ,0

1110

98765

43210

==

=====

=====

aa

aaaaa

aaaaa

Pour le développement de xcos , nous avons

.0 ,10!1-

,0 ,8!1 ,0 ,

6!1- ,0

,4!1 ,0 ,

2!1- ,0 ,1

1110

98765

43210

==

=====

=====

bb

bbbbb

bbbbb



∑∑=

−

∞

=

==n

kknkn

n

nn bacxcxx

00où 2cossin2 (Voir le théorème 4.5.4 page 324), d'où

( ) ( )

7

6

5

4

3

2

17!1-00

2!1-

!5100

!41

3!1-00

6!1-100

100!5

12!1-00

3!1-

!41001

6!1-0

1!5

1002!1-

3!1-00

!41100

1003!1-

2!1-001

!410

13!1-00

!21-100

1001!2

1-01100102cossin2

x

x

x

x

x

xxxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+

⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

] ...

111!1-00

2!1-

!9100

4!1

7!1-00

!61-

!5100

8!1

3!1-00

!101-100

100!9

12!1-0

07!1-

4!100

!51

!61-00

3!1-

8!1001

!101-0

1!9

100

2!1-

7!1-00

!41

!5100

6!1-

3!1-00

!81100

1007!1-

2!1-00

!51

!4100

3!1-

6!1-001

!810

11

10

9

8

+

⎟⎠⎞⋅+⋅+⋅+⋅+

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞⋅+⋅+⋅+

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞⋅+⋅+

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

x

x

x

x

...!11

2048!9

512!7

128!5

32!3

82

... !11

1024!9

256504064

12016

642

119753

119753

+−+−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−+−=

xxxxxx

xxxxxx

Les deux réponses sont bien entendu identiques puisque .cossin22sin xxx =



66. a) ( )2 3 4 2 3 42 3 4 51 ... 1 ...

2! 3! 4! 5! 2! 3! 4!x xd x x x x x x xe x e

dx= + + + + + = + + + + + = .

La dérivée du développement en série de xe est donc encore le développement en série de

xe .

b) ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++= dxxxxxxdxex ...

!5!4!3!21

5432

. ... !6!5!4!32

65432

Cexxxxxx x +=++++++=

Nous trouvons la valeur de C en posant 0=x dans la dernière équation : Ce += 00 , d'où

1-=C .

Nous pouvons donc écrire : 1 ... !6!5!4!3!2

65432

−=++++++ xexxxxxx

et nous retrouvons le développement en série de xe :

... !6!5!4!3!2

165432

+++++++=xxxxxxex .

c) ... !5!4!3!2

15432

- +−+−+−=xxxxxe x

( )

...000001

... 1!5

11!4

1!2

1!3

1!3

1!2

1!4

11!5

11

1!4

11!3

1!2

1!2

1!3

11!4

11!3

11!2

1!2

11!3

11

1!2

111!2

11111111

5

43

2-

+++++=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅−⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=⋅

x

xx

xxee xx

67. a) dxxxxxxdxxx ... 283562

31517

152

3 tan sec ln

9753

∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++==

Cxxxxx++++++= ...

1417531

252017

45122

108642

La valeur de C s'obtient en posant 0=x dans l'équation :

C++⋅

+⋅

+++= ... 14175

0312520

017450

120

20 0sec ln

108642

, de sorte que ,0 0sec ln ==C

que ... 1417531

252017

45122 sec ln

108642

+++++=xxxxxx et que la série converge pour



.22- ππ << x (Voir le théorème 4.5.3)

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++== ...

283562

31517

152

3tansec

97532 xxxxx

dxdx

dxdx

...

31562

4517

321

... 2835

558315

11915

103

31

8642

8642

+++++=

+++++=

xxxx

xxxx

et la série converge pour .22- ππ << x (Voir le théorème 4.5.2)

c) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++== ...

8064277

72061

245

21secsecsec 864

22 xxxxxxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++⋅ ...

8064277

72061

245

21 864

2

xxxx

En posant 8064277et 0 ,

72061 ,0 ,

245 ,0 ,

21 ,0 ,1 876543210 ========= aaaaaaaaa

(les coefficients du développement en série de xsec ), et de même

,8064277et 0 ,

72061 ,0 ,

245 ,0 ,

21 ,0 ,1 876543210 ========= bbbbbbbbb

nous avons ∑∑=

−

∞

=

==n

kknk

nn

nn bacxcx

00

2 où sec (Voir le théorème 4.5.4, page 324) d'où

( ) ( )2 2

3 4

5

6

1 1sec 1 1 1 0 0 1 1 0 0 12 2

1 1 5 1 1 51 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 12 2 24 2 2 24

5 1 1 51 0 0 0 0 0 0 124 2 2 24

61 1 5 5 1 611 0 0 0 0 0 0 1720 2 24 24 2 720

611 0 0720

x x x

x x

x

x

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ⋅ + ⋅ 7

8

2 4 6 8

1 5 5 1 610 0 0 0 0 0 12 24 24 2 720

277 1 61 5 5 61 1 2771 0 0 0 0 0 0 0 0 18064 2 720 24 24 720 2 8064

...2 17 621 ... ,3 45 315

x

x

x x x x

⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

+

= + + + + +

ce qui correspond (bien heureusement!) au résultat obtenu en b).



68. a) ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++==++ ...

8064277

72061

245

21 sec tansec ln 8

642

xxxxdxxCxx

... 72576277

504061

246

9753

+++++=xxxxx .

Nous avons 00 =⇒= Cx , de sorte que

... 72576

277504061

246 tansec ln 9

453

+++++=+ xxxxxxx ,

qui converge pour 22

- ππ<< x .

b) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++== ...

8064277

72061

245

21sectansec 864

2

xxxxdxd

dxxdxx

... 1008277

12061

65 753

++++=xxxx , qui converge pour

22- ππ

<< x .

c) 2 4 6 3 5 7 9

85 61 277 2 17 62sec tan 1 ... ... 2 24 720 8064 3 15 315 2835x x x x x x xx x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, ...

1008277

12061

65

... 72061

725

151

31517

245

61

152

21

31

753

753

++++=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

xxxx

xxxx

qui converge pour 22

- ππ<< x .

69. a) Si ( ) , ... ... 33

22

11

2210

0++++++++== +

++

++

+

∞

=∑ n

nn

nn

nn

nn

nn xaxaxaxaxaxaaxaxf

alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 ... 1 1 1 ...2nn nf x n n n a n n n a x+= − − + + − ⋅ ⋅

( )( ) ( )( )2 32 32 1 ...3 3 2 ... 4 ...n nn n n a x n n a x+ ++ + + + + + ⋅ ⋅ +

de sorte que ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )00 1 2 ... 1 ! et .

!

nn

n n nf

f n n n a n a an

= − − = =

De même, si ( ) , ... ... 33

22

11

2210

0++++++++== +

++

++

+

∞

=∑ n

nn

nn

nn

nn

nn xbxbxbxbxbxbbxbxf

alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 2 ...1 1 1 ... 2nn nf x n n n b n n n b x+= − − + + − ⋅ ⋅



( )( ) ( )( )2 32 32 1 ... 3 3 2 ... 4 ...n nn n n b x n n b x+ ++ + + ⋅ + + + ⋅ +

de sorte que ( )( ) ( )( )( )( ) .

!0et !1...210

nfbbnbnnnf

n

nnnn ==⋅−−=

Il s'ensuit que nn ba = pour tout .0≥n

b) Si ( ) 00

== ∑∞

=

n

nn xaxf pour tout x, alors ( )( ) 0=xf n pour tout x et il découle de a) que

( )( ) 0

!0

==n

fan

n pour tout .0≥n

70. ...11

1 432 +++++=−

xxxxx

En dérivant par rapport à x : ( )

2 32

1 1 2 3 4 ...1

x x xx

= + + + +−

.

En multipliant par x : ( )

2 3 42 2 3 4 ...

1x x x x xx

= + + + +−

.

En dérivant par rapport à x : ( ) ( ) ( )( ) ( )

22 3

4 3

1 1 2 1 -1 1 1 4 9 16 ...1 1

x x x x x x xx x

⋅ − − ⋅ − ⋅ += = + + + +

− −.

En multipliant de nouveau par x : ( )

22 3 4

3 4 9 16 ...1x x x x x x

x+

= + + + +−

.

En posant 21=x dans la dernière équation : ∑∞

=

=++++=+

1

2

2 ...

1616

89

44

21

81

41

21

nn

n .

Il s'ensuit que 6

81

41

21

21

2

=+

=∑∞

=nn

n .

71. Considérons, par exemple, la série .1∑∞

=n

n

nx On peut montrer sans difficulté que l'intervalle de

convergence de cette série est 1.<1- x≤ En particulier, pour -1,=x la série devient ( )∑∞

=1

1-n

n

n

qui est la série harmonique alternée, qui converge conditionnellement (Voir bas de la page 298).

Par ailleurs, la série ∑∞

=12

n

n

nx a pour intervalle de convergence 11- ≤≤ x et devient ( )∑

∞

=12

1-n

n

n



lorsque -1=x , qui est une série-p alternée qui converge absolument puisque 1>p

(Voir l'exemple 6, page 307).

D'autres exemples se trouvent aux exercices 9, 15, 25, 27, 29 et 31 de la présente section.

72. Plusieurs réponses sont possibles ; en voici quelques exemples :

a) n

n

x∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 3 b) ( )∑

∞

=

+1

1n

nx c) n

n

x∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1 23



Exercices 4.6 - Séries de Taylor et de Maclaurin, et série du binôme

1. ( ) ( ) ( ) ( ) 322et 1- ,1 ,lnx

xfx

xfx

xfxxf =′′′=′′=′=

( ) ( ) ( ) ( )1 0, 1 1, 1 -1 et 1 2f f f f′ ′′ ′′′= = = =

Nous avons donc ( ) ( ) ,010 == fxP

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2 22

1 1 1 0 1 1 1,

1 11 1 1 1 1 12! 2

P x f f x x x

fP x f f x x x x

′= + − = + − = −

′′′= + − + − = − − −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 33

2 3

1 1et 1 1 1 1 1

2! 3!1 11 1 1 .2 3

f fP x f f x x x

x x x

′′ ′′′′= + − + − + −

= − − − + −

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -2 -31ln 1 , 1 , -1 1+ et 2 1

1f x x f x x f x x f x x

x′ ′′ ′′′= + = = + = = +

+

( ) ( ) ( ) ( )0 ln1 0, 0 1, 0 -1 et 0 2f f f f′ ′′ ′′′= = = = =

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 10 0, 0 0 0P x f P x f f x x x′= = = + = + = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.32

!30

!2000et

2!2000

32

323

22

2

xxx

xfxfxffxPxxxfxffxP

+−=

′′′+

′′+′+=−=

′′+′+=

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4-3-2-1- 26-et 22 ,2- ,2

21

+=′′′+=′′+=′+=+

= xxfxxfxxfxx

xf

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )83-26-0et

41=220 ,

41-2-0 ,

210 4-3-2- ==′′′=′′==′= ffff

Nous avons donc ( ) ( ) ,2100 == fxP

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 222

1

81

41

21

!2000

,41

2100

xxxfxffxP

xxffxP

+−=′′

+′+=

−=′+=



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.161

81

41

21

!30

!2000et

32

323

xxx

xfxfxffxP

−+−=

′′′+

′′+′+=

4. ( ) ( ) ( ) ( ) xxfxxfxxfxxf cos-et sin- ,cos ,sin =′′′=′′=′=

( ) ( ) ( ) ( )2

2-4et 2

2-4 ,224 ,

224 =′′′=′′=′= ππππ ffff

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 12 2 24 , 4 4 4 4

2 2 2P x f π P x f π f π x π x π′= = = + − = + − ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22

4 2 2 24 4 4 4 4 42! 2 2 4

f πP x f π f π x π x π x π x π

′′′= + − + − = + − − − et

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 33

2 3

4 44 4 4 4 4

2! 3!2 2 2 24 4 4 .

2 2 4 12

f π f πP x f π f π x π x π x π

x π x π x π

′′ ′′′′= + − + − + −

= + − − − − −

5. ( ) ( ) ( ) ( ) cos , -sin , -cos et sinf x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = =

( ) ( ) ( ) ( )2

14et 21-4 ,

21-4 ,

214 =′′′=′′=′= ππππ ffff

Nous avons donc ( ) ( ) ,2

140 == πfxP

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

22

2

1 14 4 4 42 2

44 4 4 4

2!1 1 14 42 2 2 2

P x f π f π x π x π

f πP x f π f π x π x π

x π x π

′= + − = − −

′′′= + − + −

= − − − −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 33

2 3

4 4et 4 4 4 4 4

2! 3!1 1 1 14 4 4 .2 2 2 2 6 2

f π f πP x f π f π x π x π x π

x π x π x π

′′ ′′′′= + − + − + −

= − − − − + −



6. ( ) ( ) ( ) ( ) 25-23-21-21

83et

41- ,

21 , xxfxxfxxfxxxf =′′′=′′=′== .

( ) ( ) ( ) ( )256

34et 321-4 ,

414 ,24 =′′′=′′=′= ffff .

Nous avons donc ( ) ( ) ( )4412 ,2 10 −+== xxPxP ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 32 3

1 1 1 1 12 4 4 et 2 4 - 4 4 .4 64 4 64 512

P x x x P x x x x= + − − − = + − − + −

7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- - - - -, - , , - ,..., -1 .nnx x x x xf x e f x e f x e f x e f x e′ ′′ ′′′= = = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0 -1, 0 1, 0 -1, ..., 0 -1 .nnf f f f f′ ′′ ′′′= = = = =

La série de Maclaurin engendrée par ( ) xexf -= est

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2 3

2 3

0

0 0 -10 0 ... ...

2! 3! !

1 ... -1 ...2! 3! !

-1 .!

nn

nn

nn

n

f ff f x x x x

nx x xx

nxn

∞

=

′′ ′′′′+ + + + + +

= − + − + + +

= ∑

8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -2 -3 -41 , - 1 , 2 1 , -3! 1 , ..., nf x x f x x f x x f x x f x′ ′′ ′′′= + = + = + = +

( ) ( )- 1-1 ! 1n nn x −= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0 -1, 0 2, 0 -3!, ..., 0 -1 !nnf f f f f n′ ′′ ′′′= = = = =

La série de Maclaurin engendrée par ( )x

xf+

=1

1 est

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3

0

0 0 00 0 ... ... 1 ... -1

2! 3! !

nnn n

n

f f ff f x x x x x x x x

n

∞

=

′′ ′′′′+ + + + + + = − + − + = ∑ .



9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) xxfxxfxxfxxfxxf 3sin3 ,3cos3- ,3sin3- ,3cos3 ,3sin 4432 ==′′′=′′=′= , etc.,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 2 1de sorte que -1 3 sin3 et -1 3 cos3 .n nn nn nf x x f x x+ += =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,00 ,3-0 ,00 ,30 ,00 43 ==′′′=′′=′= fffff

( )( ) ( )( ) ( ) .31-0et 00 12122 ++ == nnnn ff

La série de Maclaurin engendrée par ( ) xxf 3sin= est

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) .

!1231-

... !12

31- ... !4

0!3

3!2

030

... !0 ...

4!0

3!0

2!0 0 0

0

12

12124332

44

32

∑∞

=

+

++

+=

++

++⋅

+−⋅

++=

++++′′′

+′′

+′+

n

nn

nnn

nn

nx

nxxxxx

xn

fxfxfxfxff

10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7cos - , 7sin - , -7cos - , -7sin - ,f x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = = de sorte que

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxfxxf nnnn -sin71-et -cos71- 122 == + .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 00et 71-0 ..., ,00 ,7-0 ,00 ,70 122 ===′′′=′′=′= +nnn ffffff

La série de Maclaurin engendrée par ( ) ( )7cos -f x x= est

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 3 2 4 6

2

0

0 0 0 7 7 70 0 ... ... 7 ... 2! 3! ! 2! 4! 6!

-17 .

2 !

nn

n n

n

f f ff f x x x x x x x

n

xn

∞

=

′′ ′′′′+ + + + + + = − + − +

= ∑

11. ( ) ( ) ( ) ( ), , , 2 2 2 2

x -x x -x x -x x -xe e e e e e e ef x f x f x f x+ − + −′ ′′ ′′′= = = = ,

de sorte que ( ) ( ) ( )-12

nx -xn e e

f x+

= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

1-10 ..., ,00 ,10 ,00 ,10n

nfffff +==′′′=′′=′= .



La série de Maclaurin engendrée par ( )2

x -xe ef x += est

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

42 3 4

2 3 4

2

0

0 0 0 00 0 .. ...

2! 3! 4! !1 0 11 0 ...2! 3! 4!

.2 !

nn

n

n

f f f ff f x x x x x

n

x x x x

xn

∞

=

′′ ′′′′+ + + + + + +

= + ⋅ + ⋅ − + +

= ∑

12. ( ) ( ) ( ) ( )-

, , , ,2 2 2 2

x x x -x x -x x -xe e e e e e e ef x f x f x f x− + − +′ ′′ ′′′= = = = de sorte que

( ) ( ) ( ) 1-12

nx -xn e e

f x++

= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21-10 ..., ,10 ,00 ,10 ,00

1++==′′′=′′=′=

nnfffff

La série de Maclaurin engendrée par ( )2

x -xe ef x −= est

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 5 72 3

2 1

0

0 0 00 0 ... ... ...

2! 3! ! 3! 5! 7!

.2 1 !

nn

n

n

f f f x x xf f x x x x xn

xn

+∞

=

′′ ′′′′+ + + + + + = + + + +

=+∑

13. ( ) ( ) ,564 ,4+52 2334 −−=′−−= xxxfxxxxf

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .5pour 0et 24 ,1224 ,1212 42 ≥==−=′′′−=′′ nxfxfxxfxxxf n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .5pour 00et 24=0 ,12-0 ,00 ,5-0 ,40 4 ≥==′′′=′′=′= nffffff n

La série de Maclaurin engendrée par ( ) 452 34 +−−= xxxxf est

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

,254!4

24!3

12!2

054

... !0 ...

4!0

3!0

2!0 0 0

43

432

44

32

xxx

xxxx

xn

fxfxfxfxff nn

+−−=

+−+−=

++++′′′

+′′

+′+

soit la fonction elle-même.



14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 , 2 1 , 2,f x x f x x f x′ ′′= + = + = ( ) ( ) 0 pour 3nf x n= ≥ .

( ) ( ) ( ) ( )( ) 3pour 00 ,20 ,20 ,10 ≥==′′=′= nffff n .

La série de Maclaurin engendrée par ( ) ( )21+= xxf est

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2232 21!2

221 ... !0 ...

!30

!2000 xxxxx

nfxfxfxff n

n

++=++=+++′′′

+′′

+′+ .

15. ( ) ( ) ,23 ,4+2 23 −=′−= xxfxxxf ( ) ( ) ( )( ) .4pour 0et 6 ,6 ≥==′′′=′′ nxfxfxxf n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .4pour 02et 62 ,122 ,102 ,82 ≥==′′′=′′=′= nfffff n

La série de Taylor engendrée par ( ) 2en 423 =+−= xxxxf est

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

2 3

2 22 2 2 2 2

2! 3!

8 10 2 6 2 2 .

f ff f x x x

x x x

′′ ′′′′+ − + − + −

= + − + − + −

16. ( ) ( ) ,26415 ,223 2342345 xxxxxfxxxxxf ++−=′−++−=

( ) ( ) ,1224180 ,2121260 223 +−=′′′++−=′′ xxxfxxxxf

( )( ) ( )( ) ( )( ) 6pour 0 ,360 ,24360 54 ≥==−= nxfxfxxf n

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) .6pour 01-et 3601- -384,1-

,2161- -82,1- ,321- -7,1-54 ≥===

=′′′=′′=′=

nfff

ffffn

La série de Taylor engendrée par ( ) est -1en 223 2345 =−++−= xxxxxxf

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 52 3 4 5

2 3 4 5

-1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 1 1 1

2! 3! 4! 5!

-7 23 1 41 1 36 1 16 1 3 1 .

f f f ff f x x x x x

x x x x x

′′ ′′′′+ + + + + + + + + +

= + + − + + + − + + +

17. ( ) ( ) ,2- ,1 3--22 xxfxxxf =′== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-4 -5 - 2 3! , -4! et -1 1 ! .nn nf x x f x x f x n x −′′ ′′′= = = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 1 -2, 1 3!, 1 -4! et 1 -1 1 !nnf f f f f n′ ′′ ′′′= = = = = +



La série de Taylor engendrée par ( ) 1en 1 2 == xxxf est

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 3

2 3

0

1 1 11 1 1 1 1 ... 1 ...

2! 3! !

1 2 1 3 1 4 1 ... -1 1 1 ...

-1 1 1 .

nn

n n

n n

n

f f ff f x x x x

n

x x x n x

n x∞

=

′′ ′′′′+ − + − + − + + − +

= − − + − − − + + + − +

= + −∑

18. ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 322 12,1

11,

1 −− −=′′−=

−=′

−= xxfx

xxf

xxxf .

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1--4 1! ,...,1!3 −−=−=′′′ nn xnxfxxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) !0 ,...,!30 ,20 ,10 ,00 nfffff n ==′′′=′′=′=

La série de Taylor (ou de Maclaurin, puisque 0=a ) engendrée par ( ) 0en 1

=−

= xx

xxf est

∑∞

=

+=+++++=0

132 ......n

nn xxxxx .

19. ( ) ( ) , , xx exfexf =′= ( ) ( )( ) . ..., , xnx exfexf ==′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 ..., ,2 ,2 ,2 2222 efefefef n ==′′=′=

La série de Taylor engendrée par ( ) 2en == xexf x est

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3

2 2 22 32 2

2

0

2 2 22 2 2 2 2 ... 2 ...

2! 3! !

2 2 2 ... 2 ...2! 3! !

2 .!

nn

n

n

n

f f ff f x x x x

ne e ee e x x x x

ne xn

∞

=

′′ ′′′′+ − + − + − + + − +

= + − + − + − + + − +

= −∑

20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..., ,2ln2 ,2ln2 ,2ln2 ,2 32 xxxx xfxfxfxf =′′′=′′=′=

( )( ) ( )nxn xf 2ln2=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 31 2, 1 2ln 2, 1 2 ln 2 , 1 2 ln 2 , ..., 1 2 ln 2 nnf f f f f′ ′′ ′′′= = = = =



La série de Taylor engendrée par ( ) 1en 2 == xxf x est

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3

0

2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 12 2ln 2 1 1 1 ...

2! 3! !

n n

n

xx x x

n

∞

=

−+ − + − + − + = ∑ .

21. ( ) 3221

321

221

121

11 xxxx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

( ) ( )( )2 3

2 3

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2112 2! 3!1 1 112 8 16

x x x

x x x

− − −= + + +

= + − +

22. ( ) 3231

331

231

131

11 xxxx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

( ) ( )( )2 3

2 3

1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 2113 2! 3!1 1 513 9 81

x x x

x x x

− − −= + + +

= + − +

23. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )-1 2-1 2 2 3-1 2 -1 2 -1 21 1 - 1 - - -

1 2 3x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )2 3

2 3

-1 2 -3 2 -1 2 -3 2 -5 2112 2! 3!1 3 512 8 16

x x x

x x x

= + + −

= + + +

24. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 31 2 1 2 1 21 2 1 -2 1 -2 -2 -2

1 2 3x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3

2 3

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 211 -2 -2 -22 2! 3!

1 112 2

x x x

x x x

− − −= + + +

= − − −



25. 322-

232-

222-

212-

12

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xxxx

( )( ) ( )( )( )2 3

2 3

-2 -3 -2 -3 -41 2

2 2! 4 3! 83 114 2

x x x

x x x

= − ⋅ + ⋅ + ⋅

= − + −

26. -2-2 2 3-2 -2 -2- - -1 1 - 1

1 2 32 2 2 2 2x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )2 3

2 3

-2 -3 -2 -3 -4- - -1 22 2! 2 3! 23 114 2

x x x

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + +

27. ( ) ( ) ( )-1 2-1 2 -1 23 3 -1 2 34 4 1 4 4 1 4x x x⎡ ⎤+ = + = ⋅ +⎣ ⎦

-1 2 2 33 3 3 3-1 2 -1 2 -1 21 11 1

1 2 32 4 2 4 4 4x x x x⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + = + ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( ) ( )( )( )3 6 9

3 6 9

3 6 9

-1 2 -3 2 -1 2 -3 2 -5 21 112 2 4 2! 16 3! 64

1 1 3 512 8 128 10241 1 3 52 16 256 2048

x x x

x x x

x x x

⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + −

28. ( ) ( ) ( )-1 32-1 3-1 3 -1 32 2 -1 3 2 18 8 1 8 8 1 8 1

2 8xx x x

⎛ ⎞⎡ ⎤+ = + = + = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )

2 32 2 2

2 4 6

24 6

24 6

-1 3 -1 3 -1 31 11 2 32 8 8 8

-1 3 -4 3 -1 3 -4 3 -7 31 112 3 8 2! 64 3! 512

1 1 712 24 288 20 736

1 1 72 48 576 41 472

x x x

x x x

x x x

x x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ⋅ + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − + −



29. 3221 1

3211

2211

121

111 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xxxx

( )( ) ( )( )( )2 3

2 3

1 2 -1 2 1 2 -1 2 -3 21 1 1 112 2! 3!1 1 11

2 8 16

x x x

x x x

= + ⋅ + ⋅ + ⋅

= + − +

30. 1 31 3 2 31 3 1 3 1 32 -2 -2 -2 -21 1 1

1 2 3x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( ) ( )( )( )2 3

2 3

1 3 -2 3 1 3 -2 3 -5 31 -2 -2 -213 2! 3!2 7 401

3 9 81

x x x

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − −

31. ( ) 4324

!41234

!3234

!234411 xxxxx ⋅⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

++=+

432 4641 xxxx ++++=

32. ( ) ( ) ( )2 32 232 2 2 4 6

3 2 3 2 11 1 3 1 3 3

2! 3!

x xx x x x x

⋅ ⋅ ⋅+ = + + + = + + +

33. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )33 2 33 2 3 2 11 2 1 -2 1 3 -2 -2 -22! 3!

x x x x x⋅ ⋅ ⋅− = + = + + +

32 81261 xxx −+−=

34.

2 3 4

4 4 3 - 4 3 2 - 4 3 2 1 -2 2 21 1 4 -

2 2 2! 3! 4!

x x xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

432

161

21

2321 xxxx +−+−=



35. En remplaçant x par x5- dans la série de Maclaurin de xe , nous obtenons

( ) ( ) ( ) ... !51- ...

!22551

!5- 2

0

5- ++++−== ∑∞

= nxxx

nxe

nn

n

nx

36. En remplaçant x par 2- x dans la série de Maclaurin de xe , nous obtenons

( ) ( ) . ... !32!222

1!2

1-!2-

3

3

2

2

00

2- +⋅

−⋅

+−=⋅

== ∑∑∞

=

∞

=

xxxnx

nxe

nn

nn

n

nx

37. En remplaçant x par 2xπ dans la série de Maclaurin de xsin , nous obtenons

( ) ( ) ( )( )

2 1

3 3 5 5 2 1 2 1

3 5 2 10

2sin -1 ... -1 ...2 2 1 ! 2 2 3! 2 5! 2 2 1 !

n

n nn n

nn

π xπx πx π x π x π x

n n

+

+ +∞

+=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = − + + + +⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ +⎝ ⎠

∑

38. En remplaçant x par x dans la série de Maclaurin de xcos , nous obtenons

( )( )( )

( )( )

22 3

0 0

-1cos -1 1 ... .

2 ! 2 ! 2! 4! 6!

nn n

n

n n

x x x x xxn n

∞ ∞

= =

= = = − + − +∑ ∑

39. ∑∞

=

=0 !n

nx

nxe , d'où ...

!4!3!2!!

5432

0

1

0+++++==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

∞

=

+∞

=

xxxxxn

xnxxex

n

n

n

nx

40. ( ) ( )2 1

0sin -1

2 1 !

nn

n

xxn

+∞

=

=+∑ , d'où ( )

( )

2 3 5 7 92 3

0

-1sin ... .

2 1 ! 3! 5! 7!

n n

n

x x x xx x xn

+∞

=

= = − + − ++∑

41. ( )( )

2

0

-1cos

2 !

n n

n

xx

n

∞

=

= ∑ , d'où ( )( )

22 2

0

-11 cos 1

2 2 2 !

n n

n

xx xxn

∞

=

− + = − + ∑

( )( )

2 2 4 6 8 10

24 6 8 10

2

1 1 ...2 2! 4! 6! 8! 10!

-1 ...

4! 6! 8! 10! 2 !

n n

n

x x x x x x

xx x x xn

∞

=

= − + − + − + − +

= − + − + = ∑



42. ( ) ( )( )( )

2 12 1 3

0 2

-1sin -1

2 1 ! 3! 2 1 !

n nnn

n n

xx xx xn n

++∞ ∞

= =

= = − ++ +∑ ∑ , d'où ( )

( )2 13 5 7 9

2

-1sin ... .

3! 2 1 ! 5! 7! 9!

n n

n

xx x x xx xn

+∞

=

− + = = − + −+∑

43. ( )( )

2

0

-1cos

2 !

n n

n

xx

n

∞

=

= ∑ , d'où ( ) ( )( )

2

0

-1cos

2 !

n n

n

πxx πx x

n

∞

=

= ∑

( )( )

2 2 1 2 3 4 5 6 7

0

-1...

2 ! 2! 4! 6!

n n n

n

π x π x π x π xxn

+∞

=

= = − + − +∑

44. ( ) ( )( )

22

0

-1 21 cos2 1 1cos2 2 2 2 2 !

n n

n

xxxn

∞

=

= + = + ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 4 6

2 4 6 2

1

2 2 21 1 1 ... 2 2 2! 4! 6!

2 2 2 -1 21 ... 1

2 2! 2 4! 2 6! 2 2 !

n n

n

x x x

x x x xn

∞

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + − + = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑

45. 2 1 cos2 1 1sin cos22 2 2

xx x−⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 4 6 2 4 6

1 2

1

2 2 2 2 2 21 1 1 ... ...2 2 2! 4! 6! 2 2! 2 4! 2 6!

-1 22 2 !

n n

n

x x x x x x

xn

+∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + − + = − + −⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

=⋅∑

46. ( )2

2 2

0

1 21 2 1 2

n

n

x x x xx x

∞

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ (progression géométrique de premier terme 1 et de raison

xr 2= ).

2

2 2 2 3 2 4 3 5

0 02 2 2 2 2 ...

1 2n n n n

n n

x x x x x x x xx

∞ ∞+

= =

= = = + + + +− ∑ ∑



47. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 42 2 2ln 1 2 2 ...

2 3 4x x x

x x x x⎛ ⎞⎜ ⎟+ = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )∑

∞

=

+−

=

+−+−=

1

11

5443322

21-

... 4

23

22

22

n

nnn

nx

xxxx

48. , ... 11

1 32

0++++==

− ∑∞

=

xxxxx n

n d'où

( )

( )2 12

1 0

1 1 1 2 3 ... 1 .11

n n

n n

d x x nx n xdx xx

∞ ∞−

= =

⎛ ⎞= = + + + = = +⎜ ⎟−⎝ ⎠−∑ ∑

49. ( )2 4 6 8

2 3 40

1 1 ... 2 2 2! 2 3! 2 4!2

x t t t tF x dtπ

⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟

⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠∫

3 5 7 9

2 3 40

3 5 7

1 ... 6 5 2 2! 7 2 3! 9 2 4!2

16 20 2! 56 3!2

1 1 erreur 0,0001 ( é è 4.4.2 303).144 4!2

xt t t tt

π

x x xxπ

Voir le th or me pageπ

⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤≈ − + −⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦

< ⋅ ≈⋅

50. ( ) 24 6 8 10

2 - 2 2

0 0

1 ... 2! 3! 4! 5!

x xt t t t tF x t e dt t t dt

⎛ ⎞= = − + − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

6 8 10 122 4

0

3 5 7 9 11 13

0

3 5 7 9 11

... 2! 3! 4! 5!

...3 5 7 2! 9 3! 11 4! 13 5!

3 5 7 2! 9 3! 11 4!1 erreur 0,00064.

13 5!

x

x

t t t tt t dt

t t t t t t

x x x x x

⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤= − + − + − +⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

≈ − + − +⋅ ⋅ ⋅

< ≈⋅

∫



51. a) ( ) dtttttxFx

... 7530

753

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=

( ) 03).3 2.4.4 èé ( 0005,0305,0erreur

122

... 7856342

6

42

0

8642

pagemeorthleVoir

xx

ttttx

≈<

−≈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅−

⋅+

⋅−=

b) Dans le cas de l'intervalle [ ]0, 1 , il faudra trouver n impair tel que

( )

1 erreur 0,0011n n

< <+

. Par tâtonnement, nous trouvons que le plus petit

entier positif n qui vérifie cette propriété est 33=n .

Le polynôme recherché sera donc ( )3231

... 9107856342

32108642

⋅−−

⋅+

⋅−

⋅+

⋅−≈

xxxxxxxF .

52. a) ( ) ( ) dtttttt

dtt

txFxx

... 432

1 1ln

0

432

0∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=

+=

( ) .00043,065,0erreur

5432

... 443322

... 432

1

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

0

432

0

32

≈<

+−+−≈

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅−

⋅+

⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−= ∫

xxxxx

tttt

dtttt

x

x

b) Dans le cas de l'intervalle [ ]0, 1 , il faudra trouver le plus petit entier n tel que

1000ou 001,01122 ><= n

nn

n

. Il s'agit de 32=n .

Le polynôme recherché sera donc ( ) 2

31

2

5

2

4

2

3

2

2

31 ...

5432xxxxxxxF −−+−+−≈ .



53. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21ln cos , -sin - tan et -sec .cos

f x x f x x x f x xx

′ ′′= = ⋅ = =

( ) ( ) ( ) -1.0et 00 ,00 =′′=′= fff

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) 000 =′+= xffxL et ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20 10 0 - .2! 2

fQ x f f x x x

′′′= + + =

54. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxexexxexfxexfexf xxxxx sincossin-coscoset cos , 2sinsinsinsinsin −=⋅+⋅⋅=′′⋅=′=

( ) ( ) ( ) 10et 10 ,10 =′′=′= fff

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) xxffxL +=′+= 100 et ( ) ( ) ( ) ( ) 220

0 0 12! 2

f xQ x f f x x x′′

′= + + = + + .

55. ( ) ( ) ( ) ( )( )

-1 2 -3 22 23 22 2

1 11 , - 1 -2 et21 1

xf x x f x x xx x

′= = − = − ⋅ =− −

( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

3 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

3 3 5 22 2 2

1 1 3 2 1 -2 1 1 3 1 2

1 1 1

x x x x x x x xf xx x x

⎡ ⎤⋅ − − ⋅ − ⋅ − − + +⎣ ⎦′′ = = =− − −

( ) ( ) ( ) .10et 00 ,10 =′′=′= fff

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) 10 0 =′+= xffxL et ( ) ( ) ( ) ( ) .211

!2000 22 xxfxffxQ +=

′′+′+=

56. ( ) ( ) ( )2

et 2

,2

cosh--- xxxxxx eexfeexfeexxf +

=′′−=′+

==

( ) ( ) ( ) 10et 00 ,10 =′′=′= fff

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) 100 =′+= xffxL et ( ) ( ) ( ) ( )2

1!2000

22 xxfxffxQ +=

′′+′+= .

57. Selon le théorème 4.4.2, page 296, .!5

erreur 5x

<

De 4-5

105!5

×<x

, nous tirons ( ) -45 105!5 ××<x , soit ( )5 1 5 0,06 ou 0,06 0,56968.x x< < ≈



58. Si 5,0 et 2

1cos2

<−= xxx , alors ( ) ( ) 0026,0 245,0

!4cos erreur

44

3 =<== xcxR ,

où c est un nombre situé entre 0 et x. Étant donné que le terme suivant du

développement en série est positif, l'approximation obtenue est une approximation

par défaut, selon le théorème 4.4.2, page 303.

59. 3 5 7

sin ...3! 5! 7!x x xx x= − + − +

Pour l'approximation linéaire ( )( )3-3

32

10-cossin , erreur 3! 3!

cx x R x x≈ = = < pour xc <<0 ,

puisque -310 et 1cos1- <≤≤ xc . Donc, -101067,1erreur ×< .

xx sin< lorsque 0sin >− xx ; mais ( ) ( )xRxRxx 22 et sin =− est de même signe que !3

- 3x

(Voir le théorème 4.4.2, page 303), de sorte que 010-et 0 -3 <<< xx .

60. ... 1682

1132

−+−+=+xxxx (Voir l'exercice 21 de la présente section). Selon le théorème

4.4.2, page 296, ( )22-50,01- erreur 1,25 10

8 8x

< < = × .

61. a) ( ) ( )30,13-4

23 0,1

1,87 10 ,3! 3!

ce xR x = < < × où xc <<0 .

b) ( ) ( )33-4

20,1

1,67 10 ,3! 3!

ce xR x = < < × où xc <<0 .

L'erreur est plus petite pour x négatif.

62. ( ) ( )5- 5 0,5 -0,5

40,5

0,0002936532 5! 2 5!

c ce e x e eR x + +< ⋅ < ⋅ ≈



63. Si nous approximons he par h+1 et si 01,00 ≤≤ h , alors

( ) ( )0,012 0,01 0,01

erreur 0,00505 0,006 0,6 %2 2 2

c ee h e h h h h h h⎛ ⎞⋅⋅

< ≤ = = < =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, où hc <<0 .

64. ( )( )

2 2

1 21 0,01

2! 2 21x x xR x x x

c= ⋅ < = <

+, d'où 01,0

2 <x , c'est-à-dire 02,0 0 << x ou

02,00 << x , puisque x est positif.

65. ... 753

tan 753

+−+−=xxxxxarc , d'où ...

71

51

3111tan

4+−+−== arcπ

Nous voulons 01,012

1erreur <+

<n

, d'où 49ou 10012 >>+ nn .

66. a) ... !7!5!3

sin753

+−+−=xxxxx , d'où ...

!7!5!31sin 642

+−+−=xxx

xx

6

1et 12

21xss −== .

Si L désigne la somme du développement en série de x

xsin alors, selon le théorème 4.4.2,

06

1sinet 01sin 2

21 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−<−=−

xx

xsLx

xsL .

Par conséquent, 1sin6

12

<<−x

xx .

b) Comme nous l'avons démontré en a),

le graphique de x

xy sin= , pour 0≠x ,

est borné inférieurement par le

graphique de 6

12xy −= et

supérieurement par le graphique de 1=y .

-2

-4

2

4

1 =y

6

2 1 xy −=

xxy sin =

y

-4 -2 42x



67. ( ) ( )( ) ( )2 3 4 2

2 2 2

1 1 1 11 1 ... 1 ...2! 3! 4! 2 3! 4!

xxe x x x x x xe x x x

x x x− + ⎛ ⎞

= − + = + + + + + − + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, d'où

( ) 2

20 0

1 1 1lim lim ... .2 3! 4! 2

x

x x

e x x xx→ →

− + ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

68. ( ) ... !8!6!4

1- ... !6!42

12

112

cos112cos1 426422

4

2

44

2

+−+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

−− ttttttt

tttt

tt ,

d'où ( )241- ...

!8!6!41-lim2cos1lim

42

4

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=

−−→∞→∞

ttt

tttt

.

69. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=− 1 ... 1-

!311-

!211-11

3

2

2

2221-2 2

xxxxex x

... 61

21+-1 ...

61

211- 42642

2 +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

xxxxxx ,

d'où ( )22 -12 4

1 1lim 1 lim -1 ... -1.2 6

x

x xx e

x x→∞ →∞

⎛ ⎞− = + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

70. yy

yy

yy

yyyyyy

yyyyarc

cos

... 12023

6-

cos

... !5!3

... 53

cossintan

3

53

3

5353

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

=− ,

y

y

cos

... 12023

61- 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

d'où 61-

cos

... 12023

61-

limcos

sintan lim

2

030=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=−

→→ y

y

yyyyarc

yy.



71. ( )

( ) ( )2 3 2 42 2222

2 4 22

1 ... ...ln 1 2 32 31 cos 11 1 ... ...

2! 4! 2! 4!

x xx x xxx

x x x xx

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟− + −+ ⎝ ⎠= =

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

d'où ( )

2 4

2

20 0

1 ... ln 1 2 3lim lim 2! 2.

1 cos 1 ... 2! 4!

x x

x xx

x x→ →

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = =

− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

72. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3 5 2 41 1 1 1 1 11 sin 1 ... 1 ... ,

1 1 3! 1 5! 1 3! 1 5! 1x x

x x x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ = + − + − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ + + + +⎝ ⎠

d'où ( )( ) ( )2 4

1 1 1lim 1 sin lim 1 ... 11 3! 1 5! 1x x

xx x x→∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ = − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +⎝ ⎠.

73. Un cas particulier du théorème de Taylor est obtenu en posant 0=n . Nous avons alors

( ) ( ) ( )( )f x f a f c x a′= + − pour xca << .

En posant bx = , nous obtenons ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a′= + − , ou encore ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a′− = − ,

le résultat énoncé par le théorème de la moyenne de Lagrange.

74. Si ( ) ( )afaf ′′′ et existent et que la fonction admet un point d'inflexion en ax = , alors ( ) 0=′′ af .

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )( )L x Q x f a f a x a′= = + − .

75. a) Si ( ) 0≤′′ xf pour tout x dans un intervalle ouvert contenant a et si ( ) 0f a′ = , alors

( ) ( )( )( )22

02

f c x af x f a

′′ −− = ≤ partout dans l'intervalle, de sorte que nous avons

( ) ( )f x f a≤ partout dans l'intervalle et que f présente un maximum relatif en ax = .

b) De même, si ( ) 0≥′′ xf pour tout x dans un intervalle ouvert contenant a et si ( ) 0=′ af ,

alors ( ) ( )( )( )22

02

f c x af x f a

′′ −− = ≥ partout dans l'intervalle, de sorte que nous avons

( ) ( )afxf ≥ partout dans l'intervalle et que f présente un minimum relatif en ax = .



76. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1!3 ,12 ,1 ,11

1 4--32-1- xxfxxfxxfxx

xf −=′′′−=′′−=′−=−

=

( )( ) ( ) .1!4et -54 xxf −= Ainsi, 3211

1 xxxx

+++≈−

.

Si 1,0 <x , alors 1,119,0 ,1,0-1,0- ,1,01,0- <−<<<<< xxx et 9,0

11

11,1

1<

−<

x, d'où

9

101

11110

<−

<x

. Il s'ensuit que ( )

5

5 910

11 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<

− x, d'où

( )( ) 54

910

!4 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<

xf et l'erreur

( )( ) ( ) 00017,000016935,01,0

910

!4max e 4

54

4

3 <=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⋅≤ xxf .

77. a) Posons π+= xP . Alors nPx -105,0 ×<−= π , puisque l'approximation π de P est

précise à n décimales près.

( ) ( ) ( )( ) ( )xxxx

xxxxxPPsinsin

sincoscossinsinsin plus, De−+=−+=

+++=+++=+

ππ

πππππ

( ) ( )

nn

nxxxxxPP

3-3-

3-3

105,0106125,0

105,0!3

1!3

sin sin sin où d'

×<×=

×<≤−=−−+=−+ πππ.

Il s'ensuit que l'approximation π de sin PP + est correcte à n3 décimales.

b) 141592654,3≈π

Prenons l'approximation 3,1, correcte à 1 décimale. Alors 141580662,31,3sin1,3 ≈+ est

correcte à au moins 3 décimales.

L'approximation 3,14 est précise à 2 décimales.

D'autre part, 141592653,314,3sin14,3 ≈+ est correcte à au moins 6 décimales.

78. Si ( )0

nn

nf x a x

∞

=

= ∑ , alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... 1 et 0 !k kn kn k

n kf x n n n n k a x f k a

∞−

=

= − − − + =∑ , d'où

( ) ( )0!

k

kf

ak

= , où k est un entier non négatif. Il s'ensuit que les coefficients de ( )xf sont les

mêmes que les coefficients correspondants de la série de Maclaurin, ce qui démontre l'assertion.



79. Comme nous le verrons ci-après, la fonction ( )xf admet des dérivées de tout ordre en 0=x

et ( ) ( ) 00 =nf pour tout n.

La série de Maclaurin de ( )xf est donc

( ) ( ) ( ) ( )( )

... 0 ... 000... 0 ... 000

... !0 ...

!2000

2

2

+++++=

+⋅++⋅+⋅+=

+++′′

+⋅′+

n

nn

xxx

xn

fxfxff

La série converge pour tout x (la somme est 0), mais elle ne converge vers ( )xf qu'en .0=x

Montrons maintenant que ( ) 00 =′f :

( ) ( ) ( ) 2

2 2

2

-1

0 0

2. .

1 1 30 0

10

0 00 lim lim

1 -1lim lim-2

lim 0.2

h

h h

R H

h hh h

hh

f h f efh h

h he e h

he

→ →

→ ∞ ∞ →

→

+ −′ = =

= =⋅

= =⋅

Par ailleurs, pour ( ) ( )2 2-1 -13

20, x xx f x e ex

′′≠ = = , ce qui nous servira ci-après.

Calculons ( )0f ′′ :

( ) ( ) ( )2

2 2

2 2 2

-13

0 0

4 5. .

1 1 30 0

2 3. .

1 1 3 10 0 0

20 0

0 lim lim

2 1 2 -4lim lim-2

4 -8 4lim lim lim 0,-2

h

h h

R H

h hh h

R H

h h hh h h

ef h f hfh h

h he e h

h he e h e

→ →

→ ∞ ∞ →

→ ∞ ∞ → →

⋅′ ′+ −′′ = =

⋅ ⋅= =

⋅

= = = =⋅

et ainsi de suite.



80. Le graphique de ( )xf est tellement

plat dans le voisinage de 0=x que

toutes les dérivées de la fonction

sont nulles en 0=x .

81. Remarques : Si f est paire, alors ( ) ( ) ( )( ) ( )( )- et -f x f x f x f x

′ ′= = , de sorte que

( ) ( )xfxf ′=⋅′ -1- et ( ) ( )xfxf ′=′ -- , d'où f ′ est impaire.

Si, d'autre part, f est impaire, alors ( ) ( ) ( )( ) ( )( )- - et - -f x f x f x f x′ ′

= = , de sorte que

( ) ( )xfxf ′=⋅′ --1- et ( ) ( )xfxf ′=′ - , d'où f ′ est paire.

De plus, si f est impaire, alors ( ) ( )0-0- ff = ; mais ( ) ( ),00- ff = de sorte que ( ) ( ) 00et 002 == ff .

a) Si f est paire, alors toutes les dérivées d'ordre impair sont des fonctions impaires et

s'annulent en 0=x . Par conséquent, 0 ... 531 ==== aaa et la série de Maclaurin de la

fonction ne contient que des puissances paires de x.

b) Si f est impaire, alors toutes les dérivées d'ordre pair sont des fonctions impaires et

s'annulent en 0=x . Par conséquent, 0 ... 420 ==== aaa et la série de Maclaurin de la

fonction ne contient que des puissances impaires de x.

82. a) Soit ( )xf une fonction périodique continue de période p. Soit 0x un nombre réel

quelconque. Alors f admet un minimum 1m et un maximum 2m dans l'intervalle

[ ]0 0, x x p+ , c'est-à-dire que ( )1 2m f x m≤ ≤ pour tout x dans [ ]0 0, x x p+ .

Puisque la fonction f est périodique, elle prend exactement les mêmes valeurs sur les

autres intervalles tels que

[ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 0 0 0 0 0, 2 , 2 , 3 , ..., , , 2 , ,x p x p x p x p x p x x p x p+ + + + − − − etc.

Il s'ensuit que pour tout x réel, ( )1 2m f x m≤ ≤ .

Soit { }1 2 max , M m m= . Alors ( )1 1 2 2 - - M m m f x m m M≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ , d'où

( ) Mxf ≤ pour tout x.

2-1

0, 00e , x

xy

x⎧ =⎪= ⎨ ≠⎪⎩

1

1 2 3 4-1-2-4 -3 0

y

x



b) Le terme dominant du polynôme d'ordre n engendré par xcos en ax = est

( ) ( ) ,!

sin naxn

a− ou encore ( ) ( )nax

na

−!

cos , selon le cas. Dans les deux cas, lorsque

x augmente, le terme dominant tend, en valeur absolue, vers ,∞ ce qui explique

pourquoi le graphe du polynôme s'éloigne du graphe de xcos . 83. a)

b) ..., 53

tan 53

−+−=xxxxarc de sorte que

... 53

1 ... 53

1tan 253

33 +−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−=

− xxxxxxx

xarcx

Selon le théorème de l'estimation des séries alternées (Voir le théorème 4.4.2, page 303),

53

1tan 31 2

3x

xxarcx

−<−

< , ce qui est illustré par le graphique.

De plus, .31 ...

531limtan lim

2

030=+−=

−→→

xx

xarcxxx

84. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

0 1 2 3 ... nnE x f x g x f x b b x a b x a b x a b x a= − = − − − − − − − − −

La condition ( ) ( ) ( )0 00 0 .E a f a b b f a= ⇒ − = ⇒ =

La condition

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 31 2 3 ...

lim 0 lim 0n

nn nx a x a

E x f x f a b x a b x a b x a b x a

x a x a→ →

− − − − − − − − − −= ⇒ =

− −.

0,2

0,1

0,3

0,4

0,5

-2 -1 0 21

31 =y

5

2

31 xy −=

3 tan arc

xxxy −=

x

y



( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

2 1. .1 2 3

10 0

2. .2 3

1 20 0

3. .3

2 30 0

3

2 3 ... lim 0

2 3! ... 1lim 0

1

3! ... 1 21 lim 02 1 2

nR Hn

nx a

nR Hn

nx a

nR Hn

nx a

f x b b x a b x a nb x a

n x a

f x b b x a n n b x ab f a

n n x a

f x b n n n b x ab f a

n n n x a

b

−

−→

−

−→

−

−→

′ − − − − − − − −= =

−

′′ − − − − − − −′⇒ = ⇒ =

− −

′′′ − − − − − −′′⇒ = ⇒ =

− − −

⇒ = ( )( ) ( )

( ) ( )

. . !1 lim 03! !1 .!

nR Hn

x arépétée

nn

f x n bf a

n

b f an

→

−′′′ ⇒ =

⇒ =

Ainsi, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 ...

2! !

nn

nf a f a

g x f a f a x a x a x a P xn

′′′= + − + − + + − = .

85. ( ) ( )1ln ln 1 ln 11

x x xx

+⎛ ⎞ = + − −⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−=

... 53

2

... 5432

- ... 5432

... 5

-4

-3

-2

-- ... 5432

53

54325432

54325432

xxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

86. ( ) ( ) ... 1- ... 432

1ln1432

+++−+−=+−

nxxxxxx

nn

( )n

nn

nnx

101 1- erreur

1

==−

lorsque 101

=x .

88 1010

101

101

>⇒< nn n

n l'inéquation étant vérifiée pour 8≥n . L'addition des sept premiers

termes suffit donc.



87. ( ) , ... 12

1- ... 9753

tan 1219753

+−

+−+−+−=−−

nxxxxxxxarc

nn

d'où ( )12

1 12

1- erreur 121

−=

−=

−−

nnx nn

pour 1000121012

1 .1 -3 >−⇒<−

= nn

x ,

d'où 5,500>n . Le premier terme non utilisé sera le 501e terme de la

série. Il faut donc additionner les 500 premiers termes.

88. ( ) ... 12

1- ... 973

tan 12197

53

+−

+−+−+−=−−

nxxxxxxxarc

nn

Si 1>x , alors ( ) 2 22 1 . . 2 1lim lim 0

2 1 2

nn R H

n n

n xxn

−−

→∞ ∞ ∞ →∞

−= = ∞ ≠

−.


Si 1-<x , alors ( ) 2 22 1 . . 2 1lim lim - 0

2 1 2

nn R H

n n

n xxn

−−

→∞ ∞ ∞ →∞

−= = ∞ ≠

−. La série diverge également.

Donc, la série de Maclaurin de xarc tan diverge pour 1 >x . 89. a) ( ) ( )( )-1 2-1 22 21 1 -x x− = +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

2 32 2 2

2 4 6

2 64

2 3

2

1

-1 2 -1 2 -1 21 - - - ...

1 2 3

-1 2 -3 2 -1 2 -3 2 -5 211 - - -2 2! 3!

1 1 3 1 3 51 ...2 2 2! 2 3!1 3 5... 2 1

1 ,2 !

n

nn

x x x

x x x

x xx

n xn

∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + + +

⋅ ⋅

⋅ ⋅ −= +

⋅∑

( ) ( )

( )( )

( )

2-1 22

10 0

2 1

1

2 1

1

1 3 5 ... 2 1 sin 1 1

2 !

1 3 5 ... 2 12 ! 2 1

1 3 5 ... 2 1.

2 4 6 ... 2 2 1

de sorte que nx x

nn

n

nn

n

n

n tarc x t dt dt

n

n xx

n n

n xxn n

∞

=

+∞

=

+∞

=

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ −= − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ −= +

⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ −= + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

∑∫ ∫

∑

∑



b) Soit ( )122...642

12...531 12

+⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=+

nx

nnu

n

n .

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

2 31

2 1

2

22 2

2

1 3 5 ... 2 1 2 4 6 ... 2 2 1

2 4 6 ... 2 2 2 3 1 3 5 ... 2 1

2 1 2 1

2 2 2 3

4 4 1 lorsque .4 10 6

Alors,n

nn

n

n n nu xu n n n x

n nx

n n

n n x x nn n

++

+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ += ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

+ += ⋅

+ +

+ += ⋅ → → ∞

+ +

Suivant le test du rapport, la série converge absolument lorsque 12 <x , soit 11- << x .

90. 3 5 73 5 sin cos cos sin

2 2 2 6 40 112π π π x x xarc x arc x arc x arc x x

⎛ ⎞+ = ⇒ = − ≈ − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1125

403

62

753 xxxx −−−−=π

91. ( )2 2 2 2 2 4 62 2

1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 1 11 1t t t t t t tt t

⎛ ⎞= = ⋅ = − + − +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠+

(Voir la table 4.6.1, numéro 2, où x est substitué par 21 t ), d'où ... 11111

186422 +−+−=

+ ttttt

[ ] [ ] ( )

2

2 4 6 8

3 5 7

3 5 7

tan lim tan lim tan tan

1 tan lim 2 1

1 1 1 1lim ...

1 1 1 1lim - ... 3 5 7

1 1 1 1 1lim - ... -3 5 7

bx xb b

b

bx

b

bx

b

b x

b

arc t arc t arc b arc x

π arc x dtt

dtt t t t

t t t t

b b b b

∞

→∞ →∞

→∞

→∞

→∞

→∞

= = −

= − =+

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

3 5 7

3 5 7

1 1 1 ... 3 5 7

1 1 1 1 ...3 5 7

x x x x

x x x x

⎡ ⎤⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= − + − +

Il en découle que ... 7

151

311

2tan 753 −+−+−=

xxxxxarc π pour 1>x .



Par ailleurs,

[ ] [ ] ( )

... 7

151

311-

... 71

51

311- ...

71

51

311-lim

... 71

51

311-lim

... 1111lim

1

1lim2

tan 2

-tan

tan tan limtan limtan

753

753753

753

8642

2

-

−+−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−=

+==+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−==

−∞→

−∞→

−∞→

−∞→

−∞→−∞→∞

∫

∫

xxxx

bbbbxxxx

tttt

dttttt

dtt

xarcxarc

barcxarctarctarc

b

x

bb

x

bb

x

bb

b

xbb

x

ππ

Il en découle que ... 7

151

311

2-tan 753 −+−+−=

xxxxxarc π pour 1-<x .

92. a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

tan tan 1 tan tan 1tan tan 1 tan 1

1+tan tan 1 tan tan 1arc n arc n

arc n arc narc n arc n

+ − −+ − − =

+ −,

( )( )( ) 2

1 1 21 1 1

n nn n n

+ − −= =

+ + −

d'où ( ) ( )22 tan tan 1 tan 1arc arc n arc nn

= + − − .

b) ( ) ( )21 1

2 tan tan 1 tan 1N N

n narc arc n arc n

n= =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

( )

tan 2 tan 0 tan3 tan1

tan 4 tan 2 ... tan 1 tan 3

tan tan 2 tan 1 tan 1

tan 1 tan tan 0 tan1

tan 1 tan4

arc arc arc arc

arc arc arc N arc N

arc N arc N arc N arc N

arc N arc N arc arc

πarc N arc N

= − + −

+ − + + − − −

+ − − + + − −

= + + − −

= + + −

c) ( )21

2 3 tan lim tan 1 tan4 2 2 4 4Nn

π π π π πarc arc N arc Nn

∞

→∞=

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + − = + − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑



Exercices réalisés avec Mathematica

Approximations linéaire, quadratique et cubique.

93. [ ] 1f x_ : = 1+x

-3 3BorneInf ; BorneSup ;4 4

= =

Étape 1

[ ] { } { }

{ }{ } { }

Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup , Image -0.1. 2.2 ,

Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique , Style vert

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

Étape 2

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] { }

P1 x_ =Série f x , x, 0, 1 // Normal



⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

Étape 3

[ ] [ ]u1 c_ = f'' c

[ ] { } { }

{ } { }{ } { }

Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup , Image -1, 25

Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , 5, 10, 15, 20, 25 , Style rouge

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

Le graphique permet facilement de constater que la fonction u1 est positive et décroissante sur

l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 , donc sa valeur absolue maximale sera atteinte en .43-=c Notons cette

valeur .1M

[ ] ( ) [ ][ ] { } { }

{ }{ } { }

3

-3M1 = u14

u2 c_ = f c


Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique , Style rouge

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦



Le graphique permet facilement de constater que la fonction u2 est négative et croissante sur


valeur M2. Ici, il faudra prendre la valeur absolue de [ ]u2 -3 4 pour que la constante 2M soit

positive. Le symbole de valeur absolue { }( ) se trouve sur la palette dans la section Opérations

et symboles. Si vous n'utilisez pas la palette, il vous faudra taper au clavier [ ]Abs .

[ ] ( ) [ ]4

-3M2 = u2 4

u3 c_ = f c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Traçons le graphique de la fonction u3 afin de déterminer sa valeur absolue maximale.

[ ] { } { }

{ }{ } { }


Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique , Style rouge

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

Le graphique permet facilement de constater que la fonction u3 est positive et décroissante sur


valeur .3M

-3M3 = u34

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Étape 4

Calculons le reste ( )xnR pour chaque polynôme en utilisant l'estimation iM

obtenue à l'étape 3.

Selon le théorème 4.6.6 Estimation du reste de Taylor (page 330), nous avons

( ) ( )

1

x M .1 !

n

nx

Rn

+

≤+

En fait ici on nous demande de calculer ( )

1

M1 !

nxn

+

+ que nous noterons

aussi ( )xnR .



Pour le polynôme de Taylor d'ordre 1 (approximation linéaire) :

[ ] x2!

M1 =x_R1 2

Traçons le graphique de 1R sur l'intervalle [ ]43 ,43-

[ ] { } { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Image -1, 5 , Style rouge⎡ ⎤→ →⎣ ⎦

Répondons maintenant à la question posée en a) c'est-à-dire trouvons les valeurs de x pour

lesquelles l'erreur d'estimation est inférieure à 0.01 lorsque nous remplaçons la fonction f

par le polynôme de Taylor d'ordre 1. Le graphique précédent n'est pas très utile pour estimer

les valeurs de x recherchées, effectuons un zoom près de 0 et ajoutons au graphique la droite

y = 0.01.

[ ]{ { } { } { }Tracer R1 x , 0.013, x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ →⎣ ⎦

Confirmation par Mathematica

[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

Pour le polynôme de Taylor d'ordre 2 (approximation quadratique) :

[ ] 3M2R2 x_ = x 3!

Traçons le graphique de 2R sur l'intervalle [ ]-3 4, 3 4

[ ] { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→⎣ ⎦

Encore une fois, le graphique précédent ne nous renseigne pas immédiatement sur les valeurs de

x. Effectuons alors un zoom près de 0 et ajoutons la droite y = 0.01.

[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ →⎣ ⎦


[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦



Pour le polynôme de Taylor d'ordre 3 (approximation cubique) :

[ ] 4M3R3 x_ = Abs x4!

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→⎣ ⎦

Encore une fois, le graphique précédent ne nous renseigne pas immédiatement sur les valeurs de

x. Effectuons alors un zoom près de 0 et ajoutons la droite y = 0.01.

[ ]{ } { } { } { }Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.15, 0.15 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ →⎣ ⎦


[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

Étape 5

Comparons notre estimation de l'erreur réelle donnée par la différence, en valeur

absolue, entre la fonction et le polynôme de Taylor utilisé.

Pour le polynôme de Taylor d'ordre 1 (approximation linéaire) :

[ ] [ ] [ ]E1 x_ = f x P1 x −

Traçons le graphique des fonctions R1 et E1.

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ }{ }

Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup ,

Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique ,

Style rouge, bleu

⎡⎣

→

⎤→ ⎦

On remarque que l'erreur réelle est inférieure à notre estimation de l'erreur R1.

Répondons à la question b) : Quelle est l'erreur réelle maximale prévisible si nous remplaçons

la fonction f par son approximation linéaire sur l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 ?

Le graphique précédent permet facilement de localiser l'erreur réelle maximale (la courbe en

rouge).

Calculons cette erreur réelle maximale en évaluant la fonction E1 pour la valeur précédente.

-3E1 = // N4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦



Pour le polynôme de Taylor d'ordre 2 (approximation quadratique) :

[ ] [ ] [ ]E2 = x_ : = f x P2 x −

Traçons le graphique de R2 et E2

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ }{ }



Style rouge, bleu

⎡⎣

→

⎤→ ⎦

On remarque que l'erreur réelle est inférieure à notre estimation de l'erreur R2.

Répondons à la question b) : Quelle est l'erreur réelle maximale prévisible si nous remplaçons

la fonction f par son approximation linéaire sur l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 ?

Le graphique permet facilement de localiser l'erreur réelle maximale (la courbe en

rouge).

Calculons cette erreur réelle maximale en évaluant la fonction E2 pour la valeur précédente.

N // 43-=E2 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Pour le polynôme de Taylor d'ordre 3 (approximation cubique) :

[ ] [ ] [ ]E3 = x_ : = f x P3 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ }{ }



Style rouge, bleu

⎡⎣

→

⎤→ ⎦

N // 43-=E3 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Étape 6

Traçons le graphique de f ainsi que ces trois approximations.

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }{ }{ } { }

Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, BorneInf, BorneSup ,


Image 0.5, 2 , Style noir, vert, rouge, bleu

⎡⎣

→

⎤→ → ⎦



94. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2,u3, E1, E2, E3

[ ] ( )3 2f x_ : = 1 + x

-1BorneInf = ; BorneSup = 2 ;2

Étape 1

Traçons le graphe de f sur l'intervalle [ ]BorneInf, BorneSup

[ ] { } { }

{ }{ } { }

Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 6 ,

Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style vert

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

Étape 2

[ ] [ ] { }P1 x_ = Série f x , x, 0, 1 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦

Le polynôme de Taylor d'ordre deux est :


Le polynôme de Taylor d'ordre trois est :

[ ] [ ] { }P3 x_ = Série f x , x, 0, 3 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦ Étape 3

[ ] [ ]u1 c_ = f '' c

[ ] { } { }

{ }{ } { }

Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup , Image -1, 2 ,

Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ] ( ) [ ]3

-1M1 = u12

u2 c_ = f c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] { }

{ }{ } { }

Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup ,


⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ] ( ) [ ]4

-1M2 = u2 2

u3 c_ = f c

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦



[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

-1M3 = u32

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Étape 4

[ ] 2M1R1 x_ = x 2!

[ ] { } { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 2.1 , Style rouge⎡ ⎤→ → ⎦⎣

[ ]{ } { } { } { }Tracer R1 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣

[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] x3!

M2 =x_R2 3

[ ] { } { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 1 , Style rouge⎡ ⎤→ → ⎦⎣


[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 4M3R3 x_ = x 4!

[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣

[ ]{ } { } { }

{ }{ } { }

Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.6, 0.7 , Image -0.05, 0.05 ,

Jalons -0.5, -0.3, -0.1, 0.1, 0.3, 0.5 , Automatique , Style rouge, bleu

⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦ Étape 5

[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }


Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦



[ ]E1 2 // N

[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E2 2 // N

[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E3 2 // N Étape 6

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }


Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] 2xf x_ : =

x 1BorneInf = -2 ; BorneSup = 2 ;

+

Étape 1

[ ] { }

{ }{ } { }

Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup ,

Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style vert

⎡⎣

⎤→ → ⎦

Étape 2






Étape 3

[ ] [ ]u1 c_ = f '' c // Simplifier

[ ] { }

{ }{ } { }


Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge

⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]

[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ]}

ZérosDeLaDérivée = Résoudre u1 ' c = 0, c

u1 BorneInf , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2 ,

u1 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u1 BorneSup // N

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] ( ) [ ]3

M1 = u1 1- 2 // Simplifier

u2 c_ = f c // Simplifier

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]

[ ] ( ) [ ][ ] { }{ }{ } { }

[ ]

[ ] [ ] [ ]{ [ ]

4

M2 = u2 0

u3 c_ = f c //Simplifier



ZérosDeLaDérivée = Résoudre u3' c = 0, c

u3 BorneInf , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u3 c

⎡⎣

⎤→ → ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} / . ZérosDeLaDérivée 2 ,

u3 c / . ZérosDeLaDérivée 4 , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 5 , u3 BorneSup // N

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M3 = u3 2 3 // N⎡ ⎤−⎣ ⎦

Étape 4

[ ] 2M1R1 x_ = x 2!



[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦



[ ] 3M2R2 x_ = x 3!



[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 4M3R3 x_ = x 4!


[ ]{ } { } { }

{ }{ } { }

Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.4, 0.4 , Image -0.05, 0.05 ,


⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

Étape 5

[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }


Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E1 2 // N

[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E2 2 // N

[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E3 2 // N



Étape 6

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }


Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦

96. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2, u3, E1, E2, E3

[ ] [ ] [ ]f x_ : = Cos x Sin 2x

BorneInf = -2 ; BorneSup = 2 ;

Étape 1

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

Étape 2




Étape 3


[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u1 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}

u1 BorneInf , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2 ,


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]3

M1 = u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2


⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦




[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} }

u2 BorneInf //N, u2 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,


⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]4



⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}

u3 BorneInf , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 2 ,


⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]M3 = u3 c / . ZérosDeLaDérivée 3⎡ ⎤⎣ ⎦

Étape 4

[ ] 2M1R1 x_ = x 2!



[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 3M2R2 x_ = x 3!



[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 4M3R3 x_ = x 4!




[ ]{ } { } { }

{ }{ } { }

Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 ,


⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

Étape 5

[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E1 2 // N

[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E2 2 // N

[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E3 2 // N

Étape 6

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }


Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ]-xf x_ : = e Cos 2x




Étape 1

[ ] { }

{ }{ } { }


Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style vert

⎡⎣

⎤→ → ⎦

Étape 2




Étape 3


[ ] { }

{ }{ } { }


Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge

⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ]}



⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]3



⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ] [ ] [ ]} }{u2 BorneInf // N, u2 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u2 BorneSup // N ⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ]

[ ] ( ) [ ]4

M2 = u2 BorneInf // N


[ ] { }

{ }{ } { }


Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge

⎡⎣

⎤→ → ⎦




[ ] [ ] [ ]{ [ ] }u3 BorneInf , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u3 BorneSup // N ⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ]M3 = u3 BorneInf //N Étape 4

[ ] 2M1R1 x_ = x 2!



[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 3M2R2 x_ = x 3!



[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 4M3R3 x_ = x 4!


[ ]{ } { } { }

{ }{ } { }

Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 ,


⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦ Étape 5

[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦



[ ]E1 -1 // N

[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }


Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E2 1 // N

[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −

[ ] [ ]{ } { } { }

{ }{ } { }

Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 1 ,


⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E3 1 // N

Étape 6

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }

Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, -1, 1 ,

Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ]x 3f x_ : = e Sin 2x


Étape 1

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦

Étape 2






Étape 3


[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ]}



⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]3



⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] }

u2 BorneInf // N, u2 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,


⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ]4



⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦


[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] }

u3 BorneInf // N, u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,


⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]M3 = u3 c / . ZérosDeLaDérivée 3 //N⎡ ⎤⎣ ⎦



Étape 4

[ ] 2M1R1 x_ = x 2!


[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 3M2R2 x_ = x 3!


[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ]

[ ]{ } { } { } { }

[ ]

3M2R2 x_ = x 3!

Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.2, 0.2 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu

Résous R2 x 0.01, x

⎡ ⎤→ →⎣ ⎦

⎡ ⎤<⎣ ⎦

[ ] 4M3R3 x_ = x 4!

[ ]{ } { } { }

{ }{ } { }

Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.4, 0.4 , Image -0.05, 0.05 ,


⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦ Étape 5

[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −

[ ] [ ]{ } { } { }

{ }{ } { }



⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E1 2 // N

[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −

[ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }



⎡⎣

⎤→ → ⎦



[ ]E2 2 // N

[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −

[ ] [ ]{ } { } { }

{ }{ } { }



⎡ →⎣

⎤→ → ⎦

[ ]E3 -2 // N

Étape 6

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }

{ }{ } { }

Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, -1, 1 ,

Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu

⎡⎣

⎤→ → ⎦

Exercices réalisés avec Maple 6

93. 1)

2) Commandes Maple

for i from 2 to 4 do p[i-1]:=convert(taylor(f(x),x=0,i),polynom) end do;

:= p1 − 112 x

et := p2 − + 1

12 x

38 x2 et := p3 − + − 1

12 x

38 x2 5

16 x3

3) Commandes Maple

d2f:=unapply(diff(f(x),x$2),x) :

plot(d2f(x),x=a..b,color=black,thickness=2,title=`graphe de la dérivée seconde)`);

M1:=evalf(maximize(abs(d2f(x)),x=a..b));



:= M1 24.00000000

De même on trouve, que la dérivée troisième est toujours croissante et sa valeur absolue

maximale est M2 = 240, que la dérivée quatrième est toujours décroissante avec 3360

comme valeur absolue maximale. Les valeurs maximales sont obtenues à la borne

x = –3/4.

4) Commandes Maple

R1:=x->M1*x^2/2!:

plot(R1(x),x=a..b,color=black,title=`graphe de R1(x)` );

solve(R1(x)<1/100,{x});

L’ensemble des valeurs suivantes { }, < x .02886751346 < -.02886751346 x produiront

une approximation avec reste d’ordre 1 inférieur à 10-2 . Pour R2 l’ensemble des valeurs

est { }, < x .06299605249 < -.06299605249 x . Pour R3 l’ensemble des valeurs est

{ }, < -.09193227152 x < x .09193227152 .

5) Commandes Maple

E1:=x->abs(f(x)-p[1]):

plot(E1(x),x=a..b,color=black,title=`Erreur réelle d'ordre 1`);

E1:=evalf(maximize(E1(x),x=a..b));



L’erreur maximale avec le polynôme p1 est := E1 .625000000 , avec p2 elle est

:= E2 .414062500 et avec p3 elle est de := E3 .282226562

6) Commandes Maple

with(plots):

f1:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=2):

f2:=plot([seq(p[i],i=1..3)],x=a..b,color=black):

f3:=textplot({[-0.6,1.9,`f(x)`],[-0.4,1.1,"p1"],[0.6,0.9,`p 2`],[-0.7,1.7,`p 3`]}):

display(f1,f2,f3);

On remarque que plus le degré du polynôme est élevé, plus la courbe de ce dernier est

rapprochée de la courbe de la fonction. À l’étape 4, il est important de noter qu’un

polynôme de degré plus élevé nous permet un intervalle légèrement plus large pour

obtenir une approximation de même qualité.



94. 1)

2) 323

221 16

183

231:

83

231:et

231: xxxpxxpxp −++=++=+=

3) 181980514.3:3et 060660172.1:2et 060660172.1:1 === MMM

4) Intervalle pour reste inférieur à 10-2

ordre 1 : { }, < -.1373178096 x < x .1373178096

ordre 2 : { }, < -.3838766207 x < x .3838766207

ordre 3 : { }, < x .5240568855 < -.5240568855 x

5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est ,196152424.1:1 =E avec p2 elle est 303847576.:2 =E et avec p3 elle est de 196152424.:3 =E .

6)

b

95. 1)



2) := p1 x et := p3 − x x3 Aucun polynôme de degré 2.

3) := M1 1.457106781 et := M2 6. et := M3 19.49278582


Ordre 1 : { }, < -.1171572875 x < x .1171572875

Ordre 2 : { }, < -.2154434690 x < x .2154434690

Ordre 3 : { }, < x .3331074399 < -.3331074399 x

5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est := E1 1.600000000 et avec p3 elle est de

:= E3 6.400000000

6)

96. 1)

2) 331 3

72:et 2: xxpxp −==

Aucun polynôme de degré 2.



3)

:= M1 4.752300722

:= M2 14. et := M3 40.75025701


Ordre 1 : { }, < -.06487285936 x < x .06487285936

Ordre 2 : { }, < x .1624330522 < -.1624330522 x

Ordre 3 : { }, < x .2770258030 < -.2770258030 x

5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est E1=37, et avec p3 elle est de 15.

6)

97. 1)

A

2) := p1 + 1 x et := p2 + − 1 x32 x2 et := p3 + − − 1 x

32 x2 11

6 x3



3)

:= M1 9

:= M2 14 et := M3 70


Ordre 1 : { }, < x1

30 2 < −1

30 2 x

Ordre 2 : { }, < x1

70 1470( )/1 3

< −170 1470

( )/1 3x

Ordre 3 : { }, < −1

875 3( )/1 4

875( )/3 4

x < x1

875 3( )/1 4

875( )/3 4

5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est E1=3.1, avec p2 elle est E2= 1.6 et avec

p3 elle est de 0.49.

6)

98. 1)

A



2) := p1 2 x et := p2 + 2 x23 x2 et := p3 + − 2 x

23 x2 11

9 x3

3)

:= M1 6

:= M2 16 et := M3 25


Ordre 1 : { }, < −1

30 3 x < x130 3

Ordre 2 : { }, < x1

20 30( )/1 3

< −1

20 30( )/1 3

x

Ordre 3 :

{ }, < x15 6

( )/1 4 < −

15 6

( )/1 4x

5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est E1= 5.5, avec p2 elle est de E2= 8.09 et avec

p3 elle est de 8.09.

6)

Exercices récapitulatifs page 843


Chapitre 4 - Exercices récapitulatifs

1. ( )-1lim lim 1 1 0 1

n

nn na

n→∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠


2. n n

2 20 , lim 0 0 et lim 0nan n→∞ →∞

≤ ≤ = = , de sorte que 0limn

=→∞ na selon le théorème du sandwich.


3. 1 2 1lim lim lim 1 0 1 -122

n

n nn n na

n→∞ →∞ →∞

− ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

La suite converge vers -1. 4. ( )

n nlim lim 1 0,9 1 0 1n

na→∞ →∞

⎡ ⎤= + = + =⎣ ⎦


5. { } { }... ,0 ,1 ,0 ,1- ,0 ,12

sin =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

πnan

La suite diverge. 6. { } { } { }sin 0,0,0, ... na nπ= =


7. ( )2

. .

12ln 2ln 1lim lim lim lim lim 2 0.1

R H

nn n n n n

n n nan n n→∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = ⋅ =




8. ( ) . .

n n n n

1 2ln 2 1 22 1lim lim lim lim 01 2 1

R H

nn nan n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⋅+ += = = =+


9. 1.1

11limlnlimlim

..=

+=

+=

∞→∞∞∞→∞→

nn

nnan

HR

nnn


10. ( ) 23 2. . . .3

3 2n n n n n n

1 6ln 2 1 6 12 22 1lim lim lim lim lim lim 01 2 1 6

R H R H

n

nn n nnan nn n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⋅+ += = = = = =+


11. ( ) 5-5-1lim5limlim enn

nan

n

n

nnn=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∞→∞→∞→

(Voir la table 4.1.1, numéro 5, page 266).

La suite converge vers -5e .

12. -1 1 1lim lim 1 lim

11

n

n nn n na

n en

→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

(Voir la table 4.1.1 numéro 5, page 266).

La suite converge vers e1 .

13. 3133lim3limlim 1

1

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞→∞→∞→ nn

nn

nnn nna (Voir la table 4.1.1, numéro 2, page 266)


14. 1 1

13 3 1lim lim lim 1

1

n n

n nn n na

n n→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(Voir la table 4.1.1, numéros 3 et 2, page 266).




15. ( ) ( )1 21 . .1 1 0

20 0

2 ln 2 -12 1lim lim 2 1 lim lim lim 2 ln 2 2 ln 2 ln 21 -1

nn R Hn n

nn n n n n

na n

n n→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⋅ ⋅−= − = = = ⋅ = ⋅ =

La suite converge vers 2ln . 16. ln 2 1lim lim 2 1 lim

n nnnn n n

a n e +

→∞ →∞ →∞= + =

( )( )

( )

1

n

n

ln 2 1ln 2 1

1 2ln 2 1 2 1. .lim lim1

2lim 02 1

lim lim

=

1.

n

n

nn

nn n

n nR Hn

n

e e

e e

e e

→∞ →∞

→∞

+⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

→∞ →∞

⋅+ +

∞ ∞

+

= =

=

= = =


17. ( ) ( )1 !lim lim lim 1

!nn n n

na n

n→∞ →∞ →∞

+= = + = ∞

La suite diverge.

18. ( )-4lim lim 0

!

n

nn na

n→∞ →∞= = (Voir la table 4.1.1, numéro 6, page 260).


19. ( )( )

1 1 2 1 22 3 2 1 2 3 2 1n n n n

= −− − − −

, d'où

12

2161

1221

3221 ...

181

141

141

101

101

61

−−=

−−

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

nnnsn

.61

1221

61limlim =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−==

→∞→∞ nsS

nnn

La série converge vers 61 .



20. ( ) 122-

12-

++=

+ nnnn, d'où

121-

122- ...

52

21-

21

32-

321-

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

nnnsn

2lim lim -1 -11nn n

S sn→∞ →∞

= = + =+

La série converge vers -1.

21. ( )( )

9 3 33 1 3 2 3 1 3 2n n n n

= −− + − +

, d'où

23

323

233

133 ...

113

83

83

53

53

23

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

nnnsn

.23

233

23limlim =

+−==

∞→∞→ nsS

nnn

La série converge vers 23 .

22. ( )( )

-8 -2 24 3 4 1 4 3 4 1n n n n

= +− + − +

, d'où

14

292-

142

342- ...

212

172-

172

132-

132

92-

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

nnnsn

2 2 2lim lim - -9 4 1 9nn n

S sn→∞ →∞

= = + =+

La série converge vers 92- .

23. -

0 0 0

1 1 nn

nn n n

eee

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ , qui est une série géométrique de raison 11 <=e

r et de premier terme

1=a .

111

11 −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

=e

e

er

aS

La série converge vers .1−e

e



24. ( )1 1

3 1-1 3 -44

nn

nn n

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , qui est une série géométrique de raison 1 41- <=r et de premier

terme 43-=a .

( ) 53-

4543-

41-143-

1==

−=

−=

raS

La série converge vers 53- .

25. ∑∞

=1

1n n

est une série-p avec 121 ≤=p . Elle diverge.

26. ∑∑∞

=

∞

=

=11

1-55-nn nn

diverge, en tant que multiple non nul de la série harmonique ∑∞

=1

1n n

, qui est

divergente.

27. Soit ( )x

xf 1= . Alors ( ) 0

21- 23 <=′x

xf pour tout 1≥x , de sorte que ( )xf est une fonction

décroissante. Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n . De plus, 0≥nu pour 01limet 1 =≥→∞ n

nn

.

La série ( )∑∞

=1

1-n

n

n converge donc par le test des séries alternées.

La série ∑∞

=1

1n n

étant divergente (voir l'exercice 25), la série ( )1

-1 n

n n

∞

=∑ est conditionnellement

convergente.

28. ∑∑∞

=

∞

=

=1

31

31

21

22

nn nn converge absolument, en tant que multiple de la série-p ∑

∞

=13

1n n

, qui est

convergente ( )13 >=p .



29. Soit ( ) ( )1

ln 1f x

x=

+. Alors ( )

( ) ( )21- 0

ln 1 1f x

x x′ = <

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ pour tout 1≥x , de sorte que ( )xf est

une fonction décroissante.

Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n . De plus, 0≥nu pour tout ( )

11 et lim 0ln 1n

nn→∞

≥ =+

.

La série ( )( )1

-1ln 1

n

n n

∞

= +∑ converge donc par le test des séries alternées.

Cependant, la série ( )1

1ln 1n n

∞

= +∑ est divergente.

En effet ( ) 11ln +<+ nn , de sorte que ( )

1 1ln 1 1n n

>+ +

pour tout 1≥n .

Par ailleurs, ∑∑∞

=

∞

=

=+ 21

11

1nn nn

est la série harmonique, qui diverge, d'où ( )1

1ln 1n n

∞

= +∑

diverge aussi par le test de comparaison directe.


-1ln 1

n

n n

∞

= +∑ est conditionnellement convergente.

30. ( )( )2

1ln

f xx x

= est une fonction de x continue, positive et décroissante pour 2≥x .

( ) ( )2 2

22 2

1 1 -1 -1 1 1 lim lim limln ln ln 2 ln 2ln ln

bb

b b bdx dx

x bx x x x

∞

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ .

Puisque l'intégrale converge, la série converge absolument, selon le test de l'intégrale.

31. nn <ln pour tout 1≥n , d'où 2331lnnn

nn

n=< .

Or, ∑∞

=12

1n n

est une série-p avec 12 >=p : elle converge.

Donc ∑∞

=13

lnn n

n converge absolument, selon le test de comparaison directe.



32. ( )ln lnn nn ne n e n> ⇒ >

( ) ( ) ( )

( )

ln ln ln ln ln ln ln

ln 1ln ln

n nn n n n n n n

nn n

⇒ > ⇒ > ⇒ >

⇒ >

(puisque ( )ln ln 0n > pour en > ).

Or ∑∞

=3

1n n

est la série harmonique, qui diverge, d'où la série ( )3

lnln lnn

nn

∞

=∑ diverge aussi, selon le

test de comparaison directe.

33. Comparons la série avec la série-p ∑∞

=12

1n n

.

2 42

2 22

2

2 2 . .

2 2

11lim lim lim

1 11

2lim lim lim21 1

1 1

n n n

R H

n n n

n nn nn nn n

n

n n nnn n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ = =

⎛ ⎞ ++⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =+ +

= =

Or, ∑∞

=12

1n n


Donc ( )21

-1

1

n

n n n

∞

= +∑ converge absolument, selon le test de comparaison par une limite.

34. Soit ( )1

33

2

+=

xxxf . Alors ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 2 34

2 2 23 3 3

6 1 3 3 3 26 3 01 1 1

x x x x x xx xf xx x x

+ − −−′ = = = <+ + +

pour tout

1≥x , de sorte que ( )f x est une fonction décroissante pour 1≥x .

Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n .

De plus, 0≥nu pour 1≥n et 01

3lim..

répétée3

2 HR

n nn

=+∞→

.

La série ( ) 2

31

-1 31

n

n

nn

∞

= +∑ converge donc, selon le test des séries alternées.



Par contre, la série ne converge pas absolument, puisque

2

3 3 . .

3 répétée

31 3lim lim 3

1 1

R H

n n

nn n

nn

→∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎝ ⎠ = =⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

et que ∑∞

=1

1n n

diverge, de sorte que ∑∞

= +13

2

13

n nn diverge aussi, selon le test de comparaison par une

limite. Par conséquent, la série ( ) 2

31

-1 31

n

n

nn

∞

= +∑ converge, conditionnellement.

35.

( )( )( )

( )( )

1

21 ! 2 !lim lim lim1 1 ! 1

!

nn n nn

nn na nρna n nn

+

→∞ →∞ →∞

++ +

= = = ⋅+ + +

( )

. .

2 22 2 1lim lim 0 1

2 22 11

R H

n n

n nnn nn→∞ →∞ ∞ ∞

+ += = = = <

++ ++

Donc 1

1!n

nn

∞

=

+∑ converge absolument, selon le test du rapport.

36. La série alternée a la forme ( ) nn

nu∑∞

=11- , où

121

2

2

−++

=nn

nun .

Or 2 . .

2 répétée

1 1lim lim 022 1

R H

nn n

nun n→∞ →∞

+= = ≠

+ −.

Donc la série ( ) ( )2

21

-1 1

2 1

n

n

n

n n

∞

=

+

+ −∑ diverge, selon le test des séries alternées.

37.

( )( )( )

( )( ) ( )

1

11

-31 ! -3 !lim lim lim

1 !-3 -3!

n

nn

n nn n nn

na nρa n

n

+

++

→∞ →∞ →∞

+= = = ⋅

+

101

3-lim <=+

=→∞ nn

Donc ( )∑∞

=1 !3-

n

n

n converge absolument, selon le test du rapport.



38. 106lim32limlim <====→∞→∞→∞ nn

an

nn

nn

nn

nnρ .

La série ∑∞

=1

32n

n

nn

n converge absolument, selon le test de la racine en .

39. Comparons la série avec la série-p 3 21

1n n

∞

=∑ .

( )( )

( )( )

( )( )

3 2

3

. .

3 répétée

11 2

lim lim11 2

1 2lim 1 1

n n

R H

n

n n nnn

n n n

n n nn

→∞ →∞

→∞

+ +=

+ +

+ += = =

Or, ∑∞

=123

1n n


Donc ( )( )1

11 2n n n n

∞

= + +∑ converge absolument, selon le test de comparaison par une limite.

40. Comparons la série avec la série-p 22

1n n

∞

=∑ :

( )2 222 . .

2 4 répétée

2

111lim lim lim 1 1

11

R H

n n n

n nn nnn n

n n

→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎜ ⎟ −−⎝ ⎠ = = = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Or, ∑∞

=22

1n n

est une série-p convergente ( )12 >=p . Donc ∑∞

= −2 2 1

1n nn

converge absolument,

selon le test de comparaison par une limite.

41. Soit ( )43

n

n n

xu

n+

= .

Alors ( )( ) ( )

11

1

4 3 4 4 3 1 31 3 4

n nn

n nn

xu n x n xu nn x

++

+

+ + += ⋅ = ⋅ →

++ + lorsque ∞→n .



Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 3

4 <+x , c'est-à-dire

343- <+< x ou -17- << x .

Elle diverge pour 1 3

4 >+x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne -7=x , la série devient ( )1

-1 n

n n

∞

=∑ , la série harmonique alternée, qui converge

conditionnellement.

Pour la borne -1=x , la série devient la série harmonique ∑∞

=1

1n n

, qui diverge.

a) Le rayon de convergence est

( ) ( )( )1 1 borne supérieure borne inférieure -1 -7 32 2

R = − = − = .

L'intervalle de convergence est -17- <≤ x .


c) La série entière converge conditionnellement en -7=x .

42. Soit ( )( )

2 212 1 !

n

nx

un

−−=

−. Alors ( )

( )( )( )

( ) ( )

221

2 2

1 2 1 ! 1 1 02 1 ! 2 1 21

nn

nn

x nu xu n n nx+

−

− −= ⋅ = − ⋅ →

+ +− pour

tout x lorsque .∞→n





d) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.

43. Soit ( )2

3 1 n

nx

un−

= .

Alors ( )( ) ( ) ( )

1 2 21

2 2

3 1 3 1 3 1

1 3 1 1

nn

nn

xu n nx xu n x n

++ −

= ⋅ = − ⋅ → −+ − +

lorsque ∞→n .



Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 13 <−x , c'est-à-dire

1131- <−< x ou 320 << x .


Pour la borne 0=x , la série devient ( )2 1

2 21 1

-1 1-n

n nn n

−∞ ∞

= =

=∑ ∑ , qui converge absolument en tant que

multiple d'une série-p convergente ( )2 1p = > .


=

+

12

11-n

n

n, qui converge absolument puisque ∑

∞

=12

1n n

est une

série-p convergente.


( )1 1 2 borne supérieure borne inférieure 0 1 3.2 2 3

R ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

L'intervalle de convergence est 320 ≤≤ x .

b) L'intervalle de convergence absolue est 320 ≤≤ x .


44. Soit ( )( )( )

1 2 12 1 2

n

n n

n xu

n+ +

=+

.

Alors ( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

11

1

2 2 1 2 1 2 2 2 +12 1 2 1 2 1 2 +3 22 3 2 1 2 1

n nn

n nn

n x n n nu x xu n nn n x

++

+

+ + + ++ += ⋅ = ⋅ ⋅ →

++ + +

lorsque .∞→n


12 <+x , c'est-à-dire

21

23-ou 1

2121- <<<

+< xx . Elle diverge pour 1

212 >

+x , car le n e terme ne converge pas

vers 0 pour ces valeurs de x. Pour la borne x = -3 2, la série devient ( )( )( )0

1 -12 1

n

n

nn

∞

=

++∑ , qui

diverge selon le test du en terme pour la divergence, puisque 021

121lim ≠=++

→∞ nn

n.




= ++

0 121

n nn , qui diverge pour la même raison.

a) Le rayon de convergence est ( )1 1 1 -3borne supérieure borne inférieure 12 2 2 2

R⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.


23-

<< x .


23-

<< x .


45. Soit n

n

n nxu = .

Alors ( )

11

11 1 0 0

+1 11

nn nn

n nn

u x n nx xu n n exn

++

+⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠+

pour tout x lorsque ∞→n .






46. Soit n

xun

n = . Alors 1

1 11

nn

nn

u x n nx xu nxn

++ = ⋅ = ⋅ →

++ lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire .1 1- << x



=1

1-n n

, qui est conditionnellement convergente (Voir

l'exercice 27).


=1

1n n

, qui est une série-p divergente ( )121 ≤=p .



a) Le rayon de convergence est ( ) ( )( )1 1borne supérieure borne inférieure 1 -1 12 2

R = − = − = .



c) La série entière converge conditionnellement en 1-=x .

47. Soit ( ) 2 113

n

n n

n xu

−+= .

Alors ( )( )

3

12

3

13

32

22

121

121 x

nnx

xnxn

uu

n

n

n

n

n

n →++

⋅=+

⋅+

= −+

++ lorsque ∞→n .


2

<x , c'est-à-dire 30 2 << x

ou 33- << x .

Elle diverge pour 1 3

2

>x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.


=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

0 3-1

n

n , alors que pour la borne ,3=x la série devient

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

0 31

n

n . Dans les deux cas, la série diverge selon le test du en terme pour la divergence,

puisque 31limet

3-1lim ++

→∞→∞

nnnn

n'existent pas.


( ) ( )( )1 1 borne supérieure borne inférieure 3 - 3 32 2

R = − = − = .

L'intervalle de convergence est 33- << x .





48. Soit ( )12

1 12

+−

=+

nxu

n

n .

Alors ( )( )

( ) ( )2 3

2 212 1

1 2 1 2 1 1 12 3 2 31

nn

nn

xu n nx xu n nx

++

+

− + += ⋅ = − ⋅ → −

+ +− lorsque .∞→n

Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( )20 1 1x< − < , c'est-à-dire

2.<<0ou 111- xx <−<

Elle diverge pour ( ) 11 2 >−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.

Pour la borne 0=x , la série devient ( ) ( )∑∑∞

=

+∞

=

+

+=

+ 0

1

0

13

121-

121-

n

n

n

n

nn, qui converge par le test des séries

alternées : les ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

121

nun sont tous positifs, 0et 1 →≥ + nnn uuu lorsque ∞→n .

Par contre, cette série n'est pas absolument convergente puisque ∑∞

= +0 121

n n diverge ; elle est donc


Pour la borne 2=x , la série devient ( )0

-1,

2 1

n

n n

∞

= +∑ qui converge conditionnellement pour les mêmes

raisons.


( ) ( )1 1 borne supérieure borne inférieure 2 0 12 2

R = − = − = .

L'intervalle de convergence est 20 ≤≤ x .

b) L'intervalle de convergence absolue est 20 << x .

c) La série entière converge conditionnellement pour 2et 0 == xx .

49. La série est de la forme ( )x

xxxx n

+=+++−+−

11 ... - ... 1 32 .

La fonction recherchée est x+1

1 . La valeur de x est 41 .

La somme de la série est 54

411

1=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

.



50. La série est de la forme ( ) ( )2 3

1 ... -1 ... ln 12 3

nnx x xx x

n−− + − + + = + .

La fonction recherchée est ( )ln 1 x+ .

La valeur de x est 32 . La somme de la série est ( )ln 5 3 0,5108256238≈ .

51. La série est de la forme ( ) ( )3 5 2 1

... -1 ... sin3! 5! 2 1 !

nnx x xx x

n

+

− + − + + =+

.

La fonction recherchée est xsin .

La valeur de x est π . La somme de la série est 0sin =π .

52. La série est de la forme ( )( )

22 4 -11 ... ... cos

2! 4! 2 !

n nxx x xn

− + − + + = .

La fonction recherchée est xcos .

La valeur de x est 3π . La somme de la série est 21

3cos =

π .

53. La série est de la forme 2 3

1 ... ... 2! 3! !

nxx x xx e

n+ + + + + + = .

La fonction recherchée est xe .

La valeur de x est 2ln . La somme de la série est 22ln =e .

54. La série est de la forme ( )3 5 2 1

... -1 ... tan3 5 2 1

nnx x xx arc x

n

+

− + − + + =+

.

La fonction recherchée est xarc tan .

La valeur de x est 3

1 . La somme de la série est 63

1tan π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛arc .



55. L'expression x21

1−

peut être vue comme la somme d'une série géométrique convergente de

premier terme 1=a et de raison xr 2= .

Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( )2 3

0 0

1 1 2 2 2 ... 2 21 2

n n n

n nx x x x x

x

∞ ∞

= =

= + + + + = =− ∑ ∑ , où 1 2 <x , c'est-à-dire

21 <x ,

constitue l'intervalle de convergence.

56. L'expression 311x+

peut être vue comme la somme d'une série géométrique convergente de

premier terme 1=a et de raison 3-xr = .

Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 33 3 3 33 3

0

1 1 1 - - - ... -11 1 -

n n

nx x x x

x x

∞

=

= = + + + + =+ −

∑ , où 1 - 3 <x , c'est-à-dire

1 3 <x ou 11- << x constitue l'intervalle de convergence.

57. Le développement en série de Maclaurin de xsin est ( )( )

2 1

0

-1sin

2 1 !

n n

n

xx

n

+∞

=

=+∑ , d'où

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 1 2 1 2 1

0 0

-1 -1sin ,

2 1 ! 2 1 !

n n n n n

n n

πx π xπx

n n

+ + +∞ ∞

= =

= =+ +∑ ∑ pour tout x réel.

58. Le développement en série de Maclaurin de xsin est ( )( )

2 1

0

-1sin

2 1 !

n n

n

xx

n

+∞

=

=+∑ , d'où

( )

( )( )

( )

2 1

2 1 2 1

2 10 0

2-1 -1 22 3sin3 2 1 ! 3 2 1 !

nn

n n n

nn n

xxx

n n

+

+ +∞ ∞

+= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠

∑ ∑ , pour tout x réel.

59. Le développement en série de Maclaurin de xcos est ( )( )

2

0

-1cos

2 !

n n

n

xx

n

∞

=

= ∑ , d'où

( ) ( ) ( )( )

( )( )

25 2 55 2

0 0

-1 -1cos ,

2 ! 2 !

nn n n

n n

x xx

n n

∞ ∞

= =

= =∑ ∑ pour tout x réel.



60. Le développement en série de Maclaurin de xcos est ( )( )

2

0

-1cos

2 !

n n

n

xx

n

∞

=

= ∑ , d'où

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 21 2 1 2

0 0 0

-1 5 -1 5 -1 5cos 5

2 ! 2 ! 2 !

n n nn n n n n

n n n

x x xx

n n n

∞ ∞ ∞

= = =

= = =∑ ∑ ∑ , pour tout x réel.

61. Le développement en série de Maclaurin de xe est 0 !

nx

n

xen

∞

=

= ∑ , d'où

2

0 0

2 ,! 2 !

n

n nπx

nn n

πxπ xe

n n

∞ ∞

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =∑ ∑ pour tout x réel.

62. Le développement en série de Maclaurin de xe est ∑∞

=

=0 !n

nx

nxe , d'où

( ) ( )2

2 2-

0 0

- -1! !

n n nx

n n

x xe

n n

∞ ∞

= =

= =∑ ∑ , pour tout x réel.

63. ( ) ( ) ( ) ( )-1 2-1 22 213 , 3 2 3 ,2

f x x f x x x x x′= + = + ⋅ = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

-1 2 -3 2 -1 2 -3 22 2 2 2 2

-3 2 -3 2 -5 22 2 2 2

-3 2 -3 2 -5 22 2 3 2

-3 2 -5 22 3 2

11 3 - 3 2 3 3 ,2

1 3- 3 2 2 3 - 3 22 2

- 3 2 3 3 3

-3 3 3 3 ,

f x x x x x x x x

f x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

′′ = + + ⋅ + ⋅ = + − +

⎡ ⎤′′′ = + ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

= + − + + +

= + + +

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 3 9-1 2, -1 - , -1 et -12 8 32

f f f f′ ′′ ′′′= = = = .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 32

2 3

3 5

1 3 8 9 32 3 2 - 1 1 12 2! 3!

1 3 1 9 12 ... .

2 1! 2 2! 2 3!

Nous avons donc x x x x

x x x

⎛ ⎞+ = + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + += − + + +

⋅ ⋅ ⋅



64. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -2 -2 -3 -31 1 , -1 1 -1 1 , -2 1 -1 2 1 ,1

f x x f x x x f x x xx

′ ′′= = − = − = − = − = −−

( ) ( ) ( ) ( )-4 -4-3! 1 -1 3! 1f x x x′′′ = − = − , d'où ( ) ( ) ( ) ( ) !32et -22 ,12 -1,2 =′′′=′′=′= ffff .

Nous avons donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 31 -2 3-1 1 2 2 2 -1 2 2 2 ...1 2! 3!

x x x x x xx= + − + − + − = + − − − + − −

−.

65. ( ) ( ) ( ) ( )-1 -21 1 , - 1 ,1

f x x f x xx

′= = + = ++

( ) ( ) ( ) ( )-3 -42 1 , -3! 1 ,f x x f x x′′ ′′′= + = +

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) 432 46-3et

423 ,

41-3 ,

413 =′′′=′′=′= ffff .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 42 3

2

2 32 3 4

1 1 1 2 4 -3! 4 - 3 3 3 ...1 4 2! 3!4

1 1 1 1 13 3 3 ... .1 4 4 4 4

Nous avons donc x x xx

x x xx

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = − − + − − − ++

66. ( ) ( ) ( ) ,2 ,--1 ,1 3-2-2-1- xxfxxxfxx

xf =′′=⋅=′== ( ) ,!3- -4xxf =′′′ d'où

( ) ( ) ( ) ( ) 432!3-et 2 ,1- ,1

aaf

aaf

aaf

aaf =′′′=′′=′= .

Nous avons donc

( ) ( ) ( )3 4

2 32

1 1 -1 2 -3! ...2! 3!a ax a x a x a

x a a⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ... 1111 34

232 +−−−+−−= ax

aax

aax

aa.


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 0,n

n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 0, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −+ = + = + = + = etc.

Vu que 0en -1 == xy , il s'ensuit que -10 =a .

De -1et 0 001 ==+ aaa , nous déduisons 1- 01 == aa .



De 1et 02 112 ==+ aaa , nous déduisons 21-2 =a .

De 21-et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons 32

13 ⋅=a .

En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( ) ( )1 11 -1 -1-

2 3 ... !

n nn

naan n n

+ +−= = =

⋅ ⋅.


( )

( ) ( )

12 3

1-

0 0

-11 1-1 ... ...2 3 !

-1 -1- - .

! !

nn

n nn nx

n n

y x x x xn

x xe

n n

+

+∞ ∞

= =

= + − + + + +

= = =∑ ∑


n ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 0n

n ny y a a a a x a a x na a x −−′ − = − + − + − + + − + = ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 0, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −− = − = − = − = etc.

Vu que 0en 3- == xy , il s'ensuit que 3-0 =a .

De 3-et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 3-1 =a .

De 3-et 02 112 ==− aaa , nous déduisons 23-2 =a .

De 23-et 03 223 ==− aaa , nous déduisons 233-

3 ⋅=a .

En général, de 01 =− −nn ana , il découle que !3-1

nnaa n

n == − .


2 3

2 3

0

3 3 3-3 3 ... ...2 3 !

-3 1 ... ... 2! 3! !

-3 -3 .!

n

n

nx

n

xy x x xn

x x xxn

x en

∞

=

= − − − − − −

⎛ ⎞= + + + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =∑




2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors 2 11 2 32 3 ... ...n

ny a a x a x na x −′ = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 2 2 2 3 2 ... 2 ... 0,n

n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 12 0, 2 2 0, 3 2 0, ..., 2 0,n na a a a a a na a −+ = + = + = + = etc.


De 3et 02 001 ==+ aaa , nous déduisons ( ) ( )23-32--2 01 === aa .

De 3-2et 022 112 ⋅==+ aaa , nous déduisons ( )22332-

22-

22-

2

12 ⋅=⋅=⋅= aa .

De 223et 023

2

223 ⋅==+ aaa , nous déduisons ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅==

2323-

223

32-

32-

32

23 aa .

En général, de 02 1 =+ −nn ana , il découle que ( )( )

( )1 11 3 -1 2 3 -1 2-2 -2

1 ! !

n nn nn

naan n n n

− −−= = ⋅ =

−.


( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 32 3

2 3

-2

0

3 -1 22 23 3 2 3 3 ... ...2 3! !

2 2 -1 23 1 2 ... ...

2! 3! !

-1 23 3 .

!

n nn

n n

n nx

n

y x x x xn

x x xx

n

xe

n

∞

=

= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + +

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= =∑


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 1n

n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + = ,



De 0et 1 001 ==+ aaa , nous déduisons 11 01 =−= aa .

De 1et 02 112 ==+ aaa , nous déduisons 21-

2- 1

2 ==aa .



De 21-et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons

231

3- 2

3 ⋅==

aa .

En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( )( )

( ) 11 -1 -1- -1

1 ! !

n nn

naan n n n

+−= = ⋅ =

− pour 1≥n .


( )

( )

( ) .1!

1-1

... !

1- ... 31

2111

... !

1- ... !3

1210

-

0

32

132

x

n

nn

nn

nn

en

x

nxxxx

xn

xxxy

−=−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++−+−−=

++−+−+=

∑∞

=

+


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 3 ,n

n ny y a a a a x a a x na a x x−−′ − = − + − + − + + − + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 ..., ,03 ,32 ,0 1231201 =−=−=−=− −nn anaaaaaaa etc.

Vu que 0en -1 == xy , il s'ensuit que -10 =a .

De -1et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 1-01 == aa .

De -1et 32 112 ==− aaa , nous déduisons 22

23 1

2 =+

=aa .

De 22et 03 223 ==− aaa , nous déduisons

232

32

3 ⋅==

aa .

En général, de 01 =− −nn ana , il découle que !

21

nnaa n

n == − pour 2≥n .


.33233!

2

33- ... !

... !3!2

12

122- ... !

2 ... !3

2!2

222

... !

2 ... !3

222-1

0

32

32

32

−−=−−=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++=

−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++=

+++++−=

∑∞

=

xexnx

xnxxxx

xxnxxxx

xn

xxxy

x

n

n

n

n

n




2210 ++++++= −

−n

nn

n xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( ) xxanaxaaxaaaayy nnn =+++++++++=+′ −− ... ... 32 11

2231201 ,



De 0et 0 001 ==+ aaa , nous déduisons 01 =a .

De 0et 12 112 ==+ aaa , nous déduisons 21

21 1

2 =−

=aa .


231-

3- 2

3 ⋅==

aa .

En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( )!

1-- 1

nnaa

nn

n == − pour 2≥n .


( )

( )

( )

2 3

2 3

0

-11 10 0 ... ...2 3 2 !

-11 11 ... ... 12! 3 !

-11 1.

!

nn

nn

n n-x

n

y x x x xn

x x x x xn

xx e x

n

∞

=

= + + − + + +⋅

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + = + −∑


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... ,n

n ny y a a a a x a a x na a x x−−′ − = − + − + − + + − + =

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 1, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −− = − = − = − = etc.


De 1et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 11 =a .


211

2 =+

=aa .


232

32

3 ⋅==

aa .



En général, de 01 =− −nn ana , il découle que !

21

nnaa n

n == − pour 2≥n .


.121!

2

1- ... !

... !3!2

12

1- ... !

2 ... !3

2!2

222

... !

2 ... !3

2221

0

32

32

32

−−=−−=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++=

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++++=

++++++=

∑∞

=

xexnx

xnxxxx

xxn

xxx

xn

xxxy

x

n

n

n

n

n


12

210 ++++++= −−

nn

nn xaxaxaxaay

alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n

n xnaxaxaay

( ) ( ) ( ) ( ) xxanaxaaxaaaayy nnn - ... ... 32 1

12

231201 =+−++−+−+−=−′ −− ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 ..., ,03 ,1-2 ,0 1231201 =−=−=−=− −nn anaaaaaaa etc.


De 2et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 21 =a .

De 2et 1-2 112 ==− aaa , nous déduisons 21

211

2 =−

=aa .


231

32

3 ⋅==

aa .

En général, de 01 =− −nn ana , il découle que 1 1!

nn

aan n−= = pour 2≥n .


.11!

1 ... !

... !3!2

1

... !

1 ... !3

12122

0

32

32

++=++=

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++=

++++++=

∑∞

=

xexnx

xnxxxx

xn

xxxy

x

n

n

n

n



75.

3 5

2 2 2 3 30 0

7 ... 3! 5!7sinlim lim

1 2 21 2 ... 12! 3!

xx x

x xxx

e x xx→ →

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞−+ + + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 4

2 3 20

2 4

2 3 20

7 1 ... 3! 5!

lim2 22 ... 2! 3!

7 1 ... 3! 5! 7lim

22 22 ... 2! 3!

x

x

x xx

x xx

x x

x x

→

→

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟

⎝ ⎠= =⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

76.

2 3 2 3

-

3 50 0

1 ... 1 ... 22! 3! 2! 3!2lim lim

sin ...

3! 5!

θ θ

θ θ

θ θ θ θθ θ θe e θθ θ θ θθ θ

→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=− ⎛ ⎞

− − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 5 23

3 5 20 03

2

20

12 ... 2 ... 3! 5! 3! 5!

lim lim1 ... ...

3! 5! 3! 5!

12 ... 3! 5!

lim 21 ... 3! 5!

θ θ

θ

θ θ θθ

θ θ θθ

θ

θ

→ →

→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞

− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠= =⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

77.

( )2

2 20 0

1 1 2 2coslim lim2 2cos 2 1 cost t

t tt t t t→ →

− +⎛ ⎞− =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 4 62

2 4 602

4 6 24

6 20 04 4

2 2 1 ... 2 4! 6!

lim2 1 1 ...

2 4! 6!

12 ... 2 ... 4! 6! 4! 6!

lim lim2 2 ... 1 ... 4! 4!

t

t t

t t tt

t t tt

t t tt

t tt t

→

→ →

⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞

− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠



2

20

12 ... 4! 6! 2 1lim

4! 1221 ... 4!

t

t

t→

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠= = =⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

78.

3 5 7 2 4 6

2 20 0

1sin ... 1 ... cos 3! 5! 7! 2! 4! 6!lim limh h

h h h h h hh hh hhh h→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

2 4 6 2 4 6

20

2 2 4 4 6 6

20

2 2 4 4

0

1 ... 1 ...3! 5! 7! 2! 4! 6!lim

1lim ... 2! 3! 5! 4! 6! 7!

1 1 1 1 1lim ... 2! 3! 5! 4! 6! 7! 2 6 3

h

h

h

h h h h h h

h

h h h h h hh

h h h h

→

→

→

− + − + − + − + −=

⎡ ⎤= − + − + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + − + = − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

79. ( )

2 4 2 4

2

2 3 4 3 50 0

1 1 ... 1 ... 2! 4! 2! 4!1 coslim lim

ln 1 sin- ... ...

2 3 4 3! 5!

z z

z z z zz

z z z z z z zz z→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞− − + − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

− ⎝ ⎠⎝ ⎠=− + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − − − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2-21-

1

... 422

1-

... 3

1lim

... 422

-

... 3lim

... 4!332

-

... !2!2!4

2!2

211lim

22

22

0432

42

0

4332

442

0

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−−−

+−=

−−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−−

=

→→

→

zzz

zz

zzz

zz

zzzz

zzz

zz

z



80. 2 2

2 4 2 3 40 0lim lim

cos1 ... 1 ...

2 4! 2 3 4

yy y

y yy e y y y y y yy y

→ →=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +− + − − + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1-

... 245

31-

1lim ...

245

31-

lim

... 4!432

2-lim

2022

2

0

4432

2

0

=−−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

=

−−+−=

→→

→

yyyyy

y

yyyyy

yy

y

81. a) ∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 121sin

21sin

n nn1 1 1 1 1 1sin sin sin sin sin sin ...2 3 4 5 6 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

... 12

1sin21sin +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+

nn

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

==22

1-1sin1-n

nn

n

n un

Posons ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxf 1sin . Alors ( ) ( ) 01cos-1-1cos 22 <=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′

xx

xxxf

pour ,2≥x donc ( )xf est une fonction décroissante et 1+≥ nn uu pour tout 2≥n .

De plus, 0≥nu pour 2≥n et 01sinlimlim ==∞→∞→ n

unnn

, de sorte que ( )nn

n 1sin1-2∑∞

=

converge

selon le test des séries alternées.

b) ( ) ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑

== nnn n

n

n

1sin1-12

1sin21sin

41

2

20

1

02381,0 421sin erreur ≈<

Étant donné que le terme suivant du développement en série est positif, l'approximation

obtenue est une approximation par défaut, selon le théorème 4.4.2, page 303.



82. a) ∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 121tan

21tan

n nn...

71tan

61tan

51tan

41tan

31tan

21tan +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

... 12

1tan21tan +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+

nn

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

==22

1-1tan1-n

nn

n un

Posons ( )x

xf 1tan= . Alors ( ) ( ) 01sec- 2

2

<=′x

xxf pour 2≥x donc ( )xf est une fonction

décroissante et 1+≥ nn uu pour tout 2≥n .

De plus, 0≥nu pour 2≥n et 01tanlimlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→∞→ nu

nnn, de sorte que ( )

nn

n 1tan1-2∑∞

=

converge selon le test des séries alternées.

b) ( ) ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑

== nnn n

n

n

1tan1-12

1tan21tan

41

2

20

1

02381,0 421tan erreur ≈<

Étant donné que le terme suivant du développement en série est positif, l'approximation

obtenue est une approximation par défaut, selon le théorème 4.4.2, page 303. 83. Appliquons le test du rapport :

( )( )( )( ) ( )

11 2 5 8 ... 3 1 3 2 2 4 6 ... 2lim lim

2 4 6 ... 2 2 2 2 5 8 ... 3 1

3 2 3lim .2 2 2

nn

nn nn

n

n n xa nρa n n n x

nx xn

++

→∞ →∞

→∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

+= ⋅ =

+

La série converge lorsque ,123

<x c'est-à-dire .32 <x Le rayon de convergence est

32

=R .

84. Appliquons le test du rapport :

( )( )( )

( )( )( )

11 3 5 7 ... 2 1 1 4 9 14 ... 5 1

lim lim 4 9 14 ... 5 4 3 5 7 ... 2 1 1

2 1 2lim 1 1 .5 4 5

nn

nn nn

n

n x naρa n n x

nx xn

++

→∞ →∞

→∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −

+= − ⋅ = −

+



La série converge lorsque ,1 1 52

<−x c'est-à-dire 25 1 <−x . Le rayon de convergence est

25

=R .

85. 22 2

1 1 1ln 1 ln 1 1n n

k k k kk= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑

( ) ( )

[ ] [ ][ ] [ ]

( ) ( )

2 2

2

1 1 1 1ln ln ln

ln 1 ln ln 1 ln

ln3 ln 2 ln1 ln 2 ln 4 ln 3 ln 2 ln3

ln5 ln 4 ln3 ln 4 ln 6 ln 5 ln 4 ln 5

... ln 1 ln ln 1 ln

ln1 l

n n

k k

n

k

k k k kk k k k

k k k k

n n n n

= =

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + − −⎣ ⎦

= − + − + − + −

+ − + − + − + −

⎡ ⎤+ + + − + − −⎣ ⎦

= −

∑ ∑

∑

[ ] ( )n 2 ln 1 ln ,n n⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

d'où .2

1ln1ln21ln11ln

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∑

= nn

nn

k

n

k


1 1 1 1 1ln 1 lim ln ln ln ln1 ln .2 2 2

n

nk

nnk →∞=

⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

86. ( )( )2

2 2 2

1 1 1 1 11 1 2 1 11

n n n

k k kk k k kk= = =

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ − − +− ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( ) ( )( )

2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 2 3 2 4 3 5 4 6 2 1 1

1 1 1 1 1 3 1 112 2 1 2 2 1

3 1 2 1 21 3 22 2 1 4 4

n n n n

n n n n

n n n n n nn n n n

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎡ ⎤+ − + − − −= =⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦


4423lim

11

2

2

22 =

+−−

=− ∞→=

∑ nnnn

k n

n

k.



87. a) Appliquons le test du rapport :

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

3 31

3

3

1 4 7 ... 3 2 3 1 3 !lim lim

3 3 ! 1 4 7 ... 3 2

3 1lim 0 1 pour tout .3 3 3 2 3 1

nn

nn nn

n

n n x naρa n n x

nx xn n n

++

→∞ →∞

→∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − += = ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

+= ⋅ = <

+ + +

Le rayon de convergence est infini et la série converge pour tous les réels.

b) ( )( )

3

1

1 4 7 ... 3 21

3 !n

n

ny x

n

∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= +∑

dydx

⇒ =( )

( )3 1

1

1 4 7 ... 3 23

3 !n

n

nnx

n

∞−

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅∑ ( )

( )3 1

1

1 4 7 ... 3 23 1 !

n

n

nx

n

∞−

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −=

−∑

( )( )( )

3 22

21

1 4 7 ... 3 2 3 13 1 !

n

n

n n xd yndx

−∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −⇒ =

−∑

( )( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

3 2

2

3 2

2

3 1

2

3

1

1 4 7 ... 3 5 3 2 3 13 1 !

1 4 7 ... 3 53 3 !

1 4 7 ... 3 1 2

3 1 !

1 4 7 ... 3 21 0, d'où 1 et 0.

3 !

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n xx

n

n xx

n

n x xx

n

n xx xy a b

n

−∞

=

−∞

=

−∞

=

∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − −= +

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= +

−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −= +

⎡ ⎤−⎣ ⎦

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

88. a) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 32 2 2 2- - - ...

1 1 -x x x x x x x x x

x x= = + + + +

+ −

( )∑∞

=

=+−+−=2

5432 1- ... n

nn xxxxx , qui converge absolument pour .1 <x

b) En 1=x , la série devient ( )∑∞

=21-

n

n , qui diverge.



89. La série ∑∞

=1nnnba converge.

En effet, puisque ∑∞

=1nna converge, 0lim =

∞→ nna , de sorte qu'il existe un entier positif N tel que pour

tout 1 , <> naNn .

Il s'ensuit que pour nnn bbaNn <> , ; et comme ∑∞

=1nnb est convergente, alors ∑

∞

=1nnnba converge

aussi selon le test de comparaison directe.

90. Nous ne pouvons rien conclure puisque ∑∞

=1nnnba peut diverger (par exemple si nba nn == ) ou elle

peut converger ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

nba nn

1 si exemplepar .

91. ( ) ( )∑∑=

+→∞

∞

=+ −=−

n

kkknn

nn xxxx1

11

1 lim

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,limlim

... lim

1111

112312

xxxx

xxxxxxxx

nnnn

nnnnn

−=−=

−+−++−+−=

+→∞+→∞

+−→∞

de sorte que pour que ( )∑∞

=+ −

11

nnn xx converge, il faut et il suffit que 1lim +∞→ nn

x existe,

c'est-à-dire que la suite { }nx converge. 92. Elle converge selon le test de comparaison par une limite.

En effet, 11

1lim1

lim =+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

→∞→∞ nnn

n

n

n aaa

a

puisque 0lim =∞→ nn

a en raison de la convergence de la

série ∑∞

=1nna .

Puisque la limite du quotient des deux termes généraux est 1 et que ∑∞

=1nna converge,

∑∞

= +11n n

n

aa converge aussi.



93. a) ... 432432

11

++++=∑∞

=

aaaana

n

n

168421 161 ...

101

91

81

71

61

51

41

31

21 aaaaa ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+≥

( ) ... 21

16842 ++++≥ aaaa , qui est une série divergente.

La série ... 432432

1 ++++aaaa diverge donc aussi par le test de comparaison directe.

b) Soit n

an ln1

= pour 2≥n .

Alors ...432 ≥≥≥ aaa et

∑∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=+++=+++

1

12ln

1 ... 31

211

2ln1 ...

2ln31

2ln21

2ln1 ...

8ln1

4ln1

2ln1

n n,

qui diverge en tant que multiple non nul de la série harmonique.


=

+2 ln

11n nn

diverge aussi selon le résultat démontré en a).

94. a) ( )0 1 21 22

b aT y y yn−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

1 2 1 21 1 0 1 1 10 2 0,8856606162 2 2 8 4

e e e e⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

b) et ... 2

... 2

14

322

22 +++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

xxxxxxex x

.368,06041

101

41

31

1043

2

1

0

5431

0

1

0

4322 ≈=++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≈∫ ∫

xxxdxxxxdxex x

c) Étant donné que la dérivée seconde est positive pour tout 0>x , la courbe de la fonction

est concave vers le haut, de sorte que les segments polygonaux reliant les points de la

courbe sont situés au-dessus de la courbe. L'approximation fournie par l'aire des trapèzes

est donc supérieure à l'aire sous la courbe de la fonction.

d) Comme toutes les dérivées de ( )xf sont positives, tous les termes de la série de

Maclaurin sont positifs. Lorsque la série est tronquée, les termes omis sont tous positifs

et l'approximation obtenue est inférieure à la valeur réelle de la série.



e) Intégration tabulaire :

( ) ( )

1 12 20

0

2 2

2 2 0 0 2

x x x xx e dx x e xe e

e e e

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − +⎣ ⎦

∫

2 0,7182818285.e= − ≈

95. a) ( ) ( )∫∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++−+−=

+

++x nnnn

x

dtttttttdt

t 02

2212642

02

11-1- ... 1

11

( ) ( ) dtttx

nxxxxxarc

x nnn

n

1

1-12

1-...753

tan 0

2

22112

753

∫ ++

+++−+−=

+++

b) Par définition,

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫ +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++−+−−=

−=+++ x nnnn

nn

dttt

nxxxxxxarc

xPxfxR

02

22112753

. 1

1-12

1- ... 753

tan

Si l'intégrande tend vers 0 lorsque ∞→n , il en sera de même de la valeur de l'intégrale.

( ) ( )1 2 2

1 2 22 2

-1 1 1 1 lim lim -1 0.1 1

n nn n

n n

tx t t

t t

+ ++ +

→∞ →∞< ⇒ < ⇒ = =

+ +

Si 1 =x , alors la valeur de l'intégrande tend vers 0 pour tout t compris entre 0 et x, alors

qu'en xt = , elle oscille entre 211t+

± . Néanmoins, l'intégrale d'une fonction converge à

condition que la fonction soit continue par morceaux dans l'intervalle xt <<0 .

La convergence de ( )xRn vers 0 n'est donc pas affectée par la valeur que prend

l'intégrande en xt = , à condition qu'elle prenne une valeur finie, ce qui est le cas ici. Il en

résulte que ( ) 0lim =→∞

xRnn pour 1 ≤x .

c) Pour 1 ≤x , ( ) 12

0

753

121- ...

753tan +

∞

=∑ +

=+−+−= n

n

n

xn

xxxxxarc .

d) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 12

1- ... 91

71

51

311

121-1

121-

41tan

00

12 ++

+−+−+−=+

=+

== ∑∑∞

=

∞

=

+

nnnarc

n

n

n

n

nnπ

Exercices supplémentaires page 875


Chapitre 4 - Exercices supplémentaires

1. La série converge selon le test de comparaison directe avec la série ( )∑

∞

= −12323

1n n

.

En effet, pour tout ( ) ( ) ( )3 21 2

1 11, 3 23 2 n

nnn +

≥ ≤−−

.

Or la série ( )∑

∞

= −12313

1n n

converge par le test de comparaison par une limite avec la série

∑∞

=123

1n n

, puisque

( )

( )3 2 3 23 2 . .3 2

3 2

3 2

13 2 3 2lim lim lim 3 .

13 2

R H

n n n

n nnnn

n

→∞ →∞ →∞ ∞ ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎝ ⎠ = = =⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Puisque la série ∑∞

=123

1n n

est une série-p convergente ( )123 >=p , la série ( )∑

∞

= −12323

1n n

converge

aussi, et finalement la série ( ) ( )1 2

1

1

3 2 nn n

∞

+= −∑ .

2. ( ) ( )1

tan 2

2

+=

xxarcxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour 1≥x .

( ) ( )∫∫ +

=+

∞

∞→

b

bdx

xxarcdx

xxarc

12

2

12

2

1

tan lim 1

tan

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 3

1

3 3 3

tan tan tan1lim lim

3 3 3

2 4 73 3 192

b

b b

arc x arc b arc

π π π

→∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − =

Puisque l'intégrale converge, la série converge aussi.



3. ( ) ( )( )( )

-2-

- -2

1lim lim -1 lim -1

1

n nn nn n

n n n n nn n n

e ee eae e e e→∞ →∞ →∞

−−= =

+ +

( ) ( ) ( )-2

-21lim -1 lim -1 1 lim -11

nn n n

nn n n

ee→∞ →∞ →∞

−= ⋅ = ⋅ =

+,

qui n'existe pas. La série diverge donc selon le test du en terme pour la divergence.

4. La série converge selon le test de comparaison directe avec la série ∑∞

=22

1n n

.

En effet, ( ) ( ) ( ) ( )( ) nnnnnnnnn nn <=<⇒<

ln!lnet lnln!ln! (puisque ( ) 2pour 0ln ≥> nn ).

Or ( ) ( )!logln

!ln nnn

n= , d'où ( ) ( )233

1!loget !lognn

nn

nnn nn =<< .

Puisque la série ∑∞

=22

1n n

est une série -p convergente ( )12 >=p , la série ( )∑∞

=23

!logn

n

nn converge

aussi. 5. Cherchons à exprimer le terme général en fonction de n :

( )( )( )1 2 3 2

1 2 2 3 1 2 121, , ,3 4 4 5 3 4 3 5 4

a a a⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )( )

( )( )( )

4 2

5 2

3 4 2 3 1 2 12 ,5 6 4 5 3 4 4 6 5

4 5 3 4 2 3 1 2 4 5 12 .6 7 5 6 4 5 3 4 6 7 5 7 6

a

a

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Nous trouvons ( )( )2

122 1

nan n n

=+ +

pour 2≥n et la série 1

nn

a∞

=∑ peut s'écrire

( )( )22

1212 1n n n n

∞

=

++ +

∑ .

La série ( )( )2

2

122 1n n n n

∞

= + +∑ converge par le test de comparaison directe avec la série ∑

∞

=24

12n n

.



En effet, pour tout ( )( )2 4

12 122, +2 1

nnn n n

≥ ≤+

et la série ∑∞

=24

12n n

converge en tant que multiple de

la série-p convergente ∑∞

=24

1n n

( )14 >=p .

Donc la série ( )( )2

2

122 1n n n n

∞

= + +∑ converge et, par conséquent, ∑

∞

=1nna .

6. ( )( )( )( )

. .1 1 1

lim lim lim 0 11 1

n R Hn

n n nn n

n an na nρ

a a n n+

→∞ →∞ →∞ ∞ ∞

− += = = = <

− +


7. La série diverge selon le test du n e terme pour la divergence. En effet, si Lan → lorsque

∞→n , alors L

L+

=1

1 , d'où 02

51-et 012 ≠±

==−+ LLL .

8. ∑∑∑∞

=

∞

=+

∞

=

+=1

20

121 3

23

1n

nn

nn

nna .

La série ∑∞

=+

0123

1n

n est une série géométrique de raison 1312 < , donc convergente.

La série ∑∞

=123

2n

nn converge selon le test de la racine en :

191

911

92lim

32limlim 2 <=

⋅=

⋅==

→∞→∞→∞

nn

nn

nnn

nn

nna . (Voir la table 4.1.1, page 266).

La suite ∑∞

=1nna converge donc en tant que somme de deux séries convergentes.

9. ( ) xxf cos= avec 3π=a .

( ) ( ) ( ) ( )233sin3 ,

21-3cos-3 ,

23-3sin-3 ,

21

3cos3 ==′′′==′′==′== ππππππππ ffff

( ) ... 312

334

1323

21cos

32

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−=

πππ xxxx



10. ( ) xxf sin= avec π2=a .

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1-2cos-2 ,02sin-2 ,12cos2 ,02sin2

,1-2cos-2 ,02sin-2 ,12cos2 ,02sin27654 ========

==′′′==′′==′==

ππππππππ

ππππππππ

ffff

ffff

( ) ( ) ( ) ( ) ... 2!7

12!5

12!3

12sin 753 +−−−+−−−= ππππ xxxxx

11. ( ) xf x e= avec 0=a .

( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 1f f f f e′ ′′ ′′′= = = = =

2 3

1 ...2! 3!

x x xe x= + + + +

12. ( ) xxf ln= avec 1=a .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )42 3 41 1 1 1

1 1 2 61 ln1 0, 1 1, 1 - -1, 1 2, 1 - -6x x x x

f f f f fx x x x= = = =

′ ′′ ′′′= = = = = = = = = =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... 1411

311

211

... 1!4

61!3

21!2

11ln

432

432

+−−−+−−−=

+−−−+−−−=

xxxx

xxxxx

13. ( ) xxf cos= avec π22=a .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,022sin22 ,1-22-cos22 ,022sin-22 ,122cos22

==

′′′==′′==′==

π

πππππππ ffff

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .1-22cos-22 ,022sin-22 ,122cos22 654 ====== ππππππ fff

( ) ( ) ( ) ... 22!6

1224122

211cos 642 +−−−+−−= πππ xxxx

14. ( ) xarcxf tan = avec 1=a .

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2

2 2 31 1 12 2

1 1 2 1 6 2 11 tan1 , 1 , 1 - - , 14 2 2 21 1 1x x x

π x xf arc f f fx x x= = =

−′ ′′ ′′′= = = = = = = =+ + +

( ) ( ) ( ) ... 11211

411

21

4tan 32 +−+−−−+= xxxxarc π



15. Posons ( ) nnnn bac

1+= .

Alors nn

n babc

1

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= , d'où b

babc

nn

nnn=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

→∞→∞

1

1limlim puisque ba <<0 .

La suite converge donc vers b.

16. ... 10237

102371 ...

107

103

102

107

103

1021 6365432 +++=+++++++

∑∞

=

=+=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+=1

3

3

3 333412

9992371

1011

10237

1102371

nn

17. 0tan tan 11

...111 0

21

2

2

12

1

02

1

0

1

2 arcnarcx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxsnn

n

n

k

k

kn −=

+=

+++

++

+=

+= ∫∫∫∫∑ ∫

−

−

=

+

2

tan limlim

tan π

===

=

∞→∞→narcsS

narc

nnn


( )( )( )

( )( )

( )( )

11

1

2

1 1 2 1lim lim

2 2 1

1lim .

2 1 2 2 1

nnn

n nn nn

n

n x n xaρa nxn x

nx xx n n x

++

+→∞ →∞

→∞

+ + += = ⋅

+ +

+= ⋅ =

+ + +

La série converge absolument lorsque 1 12

<+x

x , soit 12 +< xx .

Si 1-12 12 ,0 >⇒+<⇒+<> xxxxxx .

Si 31-12- 12 ,0

21- >⇒+<⇒+<<< xxxxxx .

Si 1-12-- 12 ,21- <⇒−<⇒+<< xxxxxx .

La série converge donc absolument pour 31-et -1 >< xx .



19. a) Si nous nous reportons à la figure 4.3.2 de la page 282 avec ( )k

ax

xf k1et 1

== , nous

obtenons, par la figure a) n

dxx

n 1 ... 31

211 11

1

++++≤∫+

et, par la figure b),

∫+≤++++n

dxxn 1

111 ... 31

211 . Il s'ensuit que ( ) n

nn ln11 ...

31

2111ln +≤++++≤+ , d'où

( ) 1ln1 ... 31

211ln1ln0 ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++++≤−+≤ n

nnn .

Ainsi, la suite { }na , où nn

an ln1 ... 31

211 −++++= est bornée supérieurement par 1

et inférieurement par 0.

b) Selon la figure 4.3.2. a) avec ( ) ( )11 1 1, ln 1 ln

1

n

n

f x dx n nx n x

+

= < = + −+ ∫ , d'où

( ) ( )1 1 1 10 ln 1 ln 1 ... ln 1

1 2 3 1

1 1 1 1 ... ln .2 3

n n nn n

nn

⎛ ⎞⎡ ⎤> − + − = + + + + − +⎜ ⎟⎣ ⎦+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞− + + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Si nous posons nn

an ln1 ... 31

211 −++++= , alors nn aa −> +10 , d'où nn aa <+1 .

C'est donc dire que la suite { }na est non croissante. 20. a) Tous les nA sont contenus dans le triangle correspondant de sommets

( ) ( )( ) ,1 , +− nfnfn ( )( ) ( )( )1, 1 et , n f n n f n+ + , le long de la droite de pente

( ) ( )1f n f n+ − .

Par translation, tous les nA sont contenus dans le premier de ces triangles, de base 1 et de

hauteur ( ) ( )21 ff − , de sorte que ( ) ( )1

1 22n

n

f fA

∞

=

−<∑ .

b) Nous avons ( ) ( ) ( )( )aire du trapèze de sommets , 0 , 1, 0 , 1, 1 kA k k k f k= + + +

( )( )et , airek f k − sous la courbe de ( )xf entre 1et +kk ( ) ( ) ( )dxxfkfkf k

k

2

1 1

∫+

−++

= ,



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2 3

1 2 1

1

2 1

1

1 1

1 2 2 3 ... 2 1 1d'où

2

...

1

2

1 2 ,

2 2

n

kk

n

n

nn

k

nnn

k

f f f f f n f n f n f nA

f x dx f x dx f x dx

f f nf k f x dx

f ff ff k f x dx

−

=

−

−

=

=

+ + + + + − + − + − +=

− − − −

+= + −

++= − − <

∑

∫ ∫ ∫

∑ ∫

∑ ∫

d'après a).

La suite ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑

−

=

1

1

n

kkA est bornée supérieurement et croissante, donc elle converge

selon le théorème des suites monotones (Voir la page 263).

Il s'ensuit que ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1

1lim 1 2

nn

n kf k f f n f x dx

→∞ =

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ existe.

c) De b) nous tirons ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 2 2 1

2 2 2 2

nn

k

f f n f f f f nf k f x dx f

=

+ −− < + = − +∑ ∫ ,

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 2lim lim 1 1

2 2 2

nn

n nk

f f n ff k f x dx f f

→∞ →∞=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− < − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∫ .

La suite ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∑ ∫=

n

k

n

dxxfkf1 1

est bornée supérieurement et croissante, et converge

donc selon le théorème des suites monotones.

Il s'ensuit que ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−∑ ∫

=→∞

n

k

n

ndxxfkf

1 1

lim existe.

21. À l'étape n, 13 −n triangles sont retranchés, la longueur des côtés de ces triangles est 12 −nb et

l'aire de chacun est 2

111 243

223

221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⋅⋅ −−− nnn

bbb .

a) n

nnn

n

bbbbbb ∑∑∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

0

2

02

26

23

4

22

2

22

43

43

23

43 ...

2433

2433

2433

43



b) Il s'agit d'une série géométrique de premier terme 2

43 b et de raison

43 , donc la somme

est 2

2

3431

43

bb

=−

.

c) Non ; les trois sommets du triangle initial ne sont jamais retranchés.

Cependant, l'aire totale de la partie retranchée est 23b , ce qui correspond à l'aire du

triangle initial ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅= bb 2

232

21 .

Cela s'explique par le fait que l'aire de l'ensemble des points non retranchés est nulle.

22. La suite { }nx converge vers 2π par valeurs inférieures, de sorte que 0

2>−= nn xπε pour tout n.

Selon le théorème 4.4.2, page 296, ( )31 !31

nn εε ≈+ avec une erreur due à la troncature

( )5!5

1erreur nε< .

Comme le premier terme tronqué est négatif, il s'agit d'une approximation par excès et

( )31 610 nn εε << + .

23. a) Non, la limite ne semble pas dépendre de la valeur de a.

b) Oui, la limite dépend de la valeur de b (voir c).

c) Posons ( )cos1

na n

sn

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Alors ( )( )cos

ln 1cos

ln ln 11

a nna n

s nn n

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



( ) ( )

( )

2

2

. .

20 0

- -sin cos1

cos cosln 1 1

lim ln lim lim1 -1

sin cos0 1lim -1.

cos 1 01

etR H

n n n

n

a a ann nn

a n a n nn n

sn n

a a an n n

a nn

→∞ →∞ →∞

→∞

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =−

−

Donc lim lnln -1 1lim lim n

ss

n ns e e e

e→∞

→∞ →∞= = = = .

De même, si ( )cos1 ,

na n

sbn

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( ) ( )

2

2 2

2

-- -sin cos1

cos1

alors lim ln lim-1

sin cos0 1 -1lim .1 0cos

1

n n

n

a a anb bn nn

a n b nbn

sn

a a an n n

b ba nb

n

→∞ →∞

→∞

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =−⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

Donc limn

s e→∞

= b- 1 .

La limite dépend donc seulement de la valeur de b.

24. Si ∑∞

=1nna converge, alors 0lim =

∞→ nna .

Appliquons le test de la racine en à la série ( ) n

n

na∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1 2sin1 :

( ) ( ) ( )1 sin lim1 sin 1 sin 1 sin 0 1lim lim 12 2 2 2 2

nnn n nn

n n

aa aρ →∞

→∞ →∞

+⎛ ⎞+ + += = = = = <⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Donc la série converge.




( ) ( )

1 11 ln lnlim lim lim

ln 1 ln 1

n nn

n nn n nn

a b x n nρ x b bxa n nb x

+ ++

→∞ →∞ →∞= = ⋅ = ⋅ ⋅ =

+ + puisque

( ) ( )

. . . .ln 1 1lim lim lim 1ln 1 1 1

R H R H

n n n

n n nn n n→∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞

+= = =

+ +.

La série converge si ,1 <bx ou encore

1 b

x < . De 5

1=

b nous tirons

51

±=b .

26. La série de Taylor d'une fonction polynomiale ne comporte qu'un nombre fini de termes non nuls, alors que les fonctions sin , ln et xx x e ont des développements en séries de Taylor qui admettent un nombre infini de termes non nuls.

27. Dans le cas de la série ( )22

2

112

1211 ,1nnn

nuu

n n

n

n++=

+=

+

∞

=∑ , d'où ,12 >=C et la série converge

(ce que nous savions déjà : p-série avec 12 >=p ).

Pour ce qui est de la série nn

nuu

n n

n

n

111 ,1

11+=

+=

+

∞

=∑ , d'où ,11≤=C et la série diverge

(ce que nous savions aussi : p-série avec 11≤=p ).

28. ( )( )

2

2 2 21

2 2 1 4 2 6 114 4 1 4 4 12 1

n

n

n nu n n nu n n n nn+

+ + −= = = +

− + − +−

( )( )

( )

2

2

2 2

2

2

2

5 6 4614 4 4 1

63 5421

4 4 1

352

3 4 4 121

nn n n

nn

n n n n

n n

n n

n n

−= + +

− +

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= + +

− +

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦= + +



Nous avons donc ( )2

21

2

33 553 221 et 3,5 et 4 12 4 4 1 4n

n

nnnC f n u

n nn n

∞

=

−−= > = = ≤

− + − +∑ converge selon le test

de Raabe.

29. a) Si ∑∞

=1nna converge, alors La

nn =∑

∞

=1 et, pour tout Laaaan n

nnnn =≤≥ ∑

∞

=1

2 ,1 .

Donc ∑∞

=1

2

nna converge selon le test de comparaison directe avec la série ∑∑

∞

=

∞

=

=11 n

nn

n aLLa ,

qui elle-même converge en tant que multiple d'une série convergente.

b) Elle converge selon le test de comparaison par une limite.

En effet, 11

1lim1

lim =−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→∞→∞ nnn

n

n

n aaa

a

puisque 0lim =∞→ nn

a en raison de la convergence de la

série ∑∞

=1nna .

Puisque la limite du quotient des deux termes généraux est 1 et que ∑∞

=1nna converge,

∑∞

= −11n n

n

aa converge aussi.

30. Si 10 << na ,

( ) ( )

2 3

2 32 3

alors ln 1 -ln 1 - - ... 2 3

... ... 2 3 1

n nn n n

n n nn n n n

n

a aa a a

a a aa a a aa

⎛ ⎞− = − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + + + < + + + =−

(série géométrique de premier terme na et de raison an ).

Or, puisque ∑∞

=1nna converge, que 0et 1 >≠ nn aa pour tout n, ∑

∞

= −11n n

n

aa converge par l'exercice

29 b), et ( )∑∞

=

−1

1lnn

na converge selon le test de comparaison directe avec ∑∞

= −11n n

n

aa .



31. ∑∞

=

+=− 1

11

1n

nxx

, où 1 <x .

En dérivant chaque membre de l'équation, nous obtenons ( ) ∑

∞

=

−=− 1

121

1n

nnxx

.

Pour 21

=x , l'équation devient ... 21 ...

214

213

21214

132

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

−n

n .

32. a) x

xxn

n

−=∑

∞

=

+

1

2

1

1 (progression géométrique de premier terme 2x et de raison r).

En dérivant l'équation, nous obtenons ( )( )2

2

1 121

xxxxn

n

n

−−

=+∑∞

=

.

En dérivant de nouveau, ( )( )31

1

121x

xnnn

n

−=+∑

∞

=

− .

En multipliant par x, ( )( )31 1

21xxxnn

n

n

−=+∑

∞

=

.

En remplaçant x par x1 , nous obtenons finalement ( )

( )32

31 1

211

21

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+∑

∞

= xx

x

xxnn

nn

pour 1 >x .

b) ( )( ) x

xxxxx

xxxnnx

nn

223

3

2

1

21331

21=−+−⇒

−=⇒

+= ∑

∞

=

769292,29571

95711013

313123 ≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⇒=−+−⇒ xxxx

(réponse obtenue à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de calcul symbolique).

33. Pour 22 21, , - - et -x -xx x x x x e e≥ ≥ ≤ ≤ .

( ) -xf x e= est une fonction de x continue, positive et décroissante.

De plus, -1 -11

1 1

lim lim - lim -b b-x -x -x -b

b b be dx e dx e e e e

∞

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ .



Puisque l'intégrale converge la série -

1

x

ne

∞

=∑ converge aussi, de même que ∑

∞

=1

- 2

n

xe par le test de

comparaison directe, et finalement 2 2-

0 11 .-x x

n ne e

∞ ∞

= =

= +∑ ∑

34. La série ( )∑∞

=

+1

1lnn

na converge selon le test de comparaison directe.

En effet, ( )2 3

11 1 ... 1 ln 1 et

2! 3!nan n

n n n n n nn

a aa a a e a a a∞

=

+ < + + + + ⇒ + < ⇒ + < ∑ est une série

convergente par hypothèse, donc ( )∑∞

=

+1

1lnn

na converge également.

35. a) ( )

( )2 32

1 1 1 ... 11

d d x x xdx x dxx

⎛ ⎞= = + + + +⎜ ⎟−⎝ ⎠−

∑∞

=

−=++++=1

132 ... 4321n

nnxxxx .

b) De a) nous tirons ( )

1 1

21 1

5 1 1 5 1 1 66 6 6 6 6 1 5 6

n n

n nn n

− −∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

∑ ∑ .

c) De a) nous tirons ( ) qq

qp

qnpqqnpn

n

n

n 11 22

1

1

1

1 ==−

== ∑∑∞

=

−∞

=

− .

36. a) -

1 1 1

1 1 22 12 1 1 2

kk

kk k k

p∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( )( )

1- 1

21 1 1 1

1 1 1 1 12 2 22 2 2 2 1 1 2

kk k

kk k k k

E X kp k k k−∞ ∞ ∞ ∞

−

= = = =

⎛ ⎞= = = = = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ −

∑ ∑ ∑ ∑

b) 1651

6551

65

51

65

11

1

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∑∑∑

∞

=

∞

=

−∞

= k

k

kk

k

kkp

( )( )

11

21 1 1

5 1 5 1 1 66 6 66 1 5 6

kk

k kk k k

E X kp k k−−∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −

∑ ∑ ∑

c) ( )1 1 1

1 1 1 1lim 1 11 1 1k kk k k

pk k k k k

∞ ∞ ∞

→∞= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑



( )( )1 1 1

1 11 1k

k k kE X kp k

k k k

∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ∑ ∑ , qui est une série divergente.

L'espérance mathématique n'est pas définie ici.

37. a) 0 0 0- -2 -0 0 0...kt kt nkt

nR C e C e C e= + + +

( )0

00

-

--

11

kt

nktkt0

eeeC

−−

= ,

d'où 11

lim00

00

-

-0

−=

−==

∞→ ktkt

kt

nn eC

eeCRR .

b) ( )-1 -

-11-1

10,36787944

1

n

n

e eR R e

e

−= ⇒ = ≈

− et

( )-1 -10

10 -1

10,58195029

1

e eR

e

−= ≈

−.

( )-10

-1010

-5

111 1 1

111

4,54 10 0,00005.

eR R e eR e

e Re

−−− − −= ⇒ = =

−−

= × <

c) ( ) .7541659,41

121

2et

-11

1,00,1-

1,0-,10-

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

−=

eR

eeeR

n

n

( )

.93,61,02ln2ln1,0

21ln1,0-21

211

11

21

11

2

1,0-1,0-

1,01,0

1,0-

≈>⇒>⇒

<⇒<⇒>−⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−>

−−

⇒>

nn

nee

eeeRR

nn

n

n

La plus petite valeur de n est 7.



38. a) h 20ln05,01

0 == et

b) Il faut administrer une dose initiale capable de produire une concentration de 2 mg/ml,

suivie chaque 0t heures par une dose capable d'élever la concentration de 1,5 mg/ml,

où h 31,695,0

2ln02,01

0 ≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=t .

c) h 603,01,0ln

2,01

0 ≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=t

39. Puisque ∑∞

=1

nna converge, 0 lim =∞→ nn

a .

Soit N un entier positif tel que

1 1 1 2 2 2 1

nn n n

n

aa a a

a< ⇒ − > ⇒ <

− pour tout Nn > .

( )2 3 4 2 3 4

2 3 4

ln 1 ... ...2 3 4 2 3 4

... 2 .

1

Nous avons n n n n n nn n n

nn n n n n

n

a a a a a aa a a

aa a a a a

a

+ = − + − + ≤ + + + +

< + + + + = <−

La série ( )1ln 1 n

na

∞

=

+∑ converge donc selon le test de comparaison directe avec la série

∑∞

=1 2

nna , qui converge en tant que multiple de la série convergente

1 n

na

∞

=∑ .

40. Nous pouvons utiliser le test de l'intégrale pour montrer que la série ( )( )3

1

ln ln lnp

n n n n

∞

=∑

converge si et seulement si 1>p .

La fonction ( )( )( )

1

ln ln lnpf x

x x x= est une fonction de x continue, positive et décroissante

pour 3≥x .

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

3 3

3

1 1Si 1, alors lim ln ln ln ln ln ln

lim ln ln ln lim ln ln ln ln ln ln3 .

b

b

b

b b

p dx dxx x x x x x

x b

∞

→∞

→∞ →∞

= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫



( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

-

3 3

- 1 1 1

3

1 1Si 1, alors lim ln ln lnln ln ln

ln ln ln ln ln ln ln 3 lim lim .

- 1 1 1

bp

p b

bp p p

b b

p dx x dxx xx x x

x bp p p

∞

→∞

+ − −

→∞ →∞

≠ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

Or, ( )( )1ln ln 0 si 1

limsi 11

p

b

b ppp

−

→∞

⎡ ⎤ >⎧⎢ ⎥ = ⎨⎢ ⎥ ∞ <− ⎩⎣ ⎦ donc

( )( )3

1

ln ln lnp dx

x x x

∞

∫ converge si 1>p et

diverge si 1<p .

En résumé, l'intégrale converge si 1>p et diverge si 1≤p , de sorte que la série converge si 1>p

et diverge si 1≤p .

CALCUL INTÉGRAL · CALCUL INTÉGRAL Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition...

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