calcul-des-structures_portiques---methode-des-deplacements_jexpoz [Mode de compatibilité]

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CHAPITRE II

CALCUL DES PORTI UES

HEI 4 BTP

Hautes Etudes dIngnieur13, rue de Toul59046 Lille Cedex

PAR LA MTHODE DES DPLACEMENTS


3/21

Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes

moyennes appartiennent un plan (Oxy) et qui sont charges dans

ce plan.

Le point dassemblage de plusieurs poutres sappelle un nud.

Les poutres sont considres comme encastres aux nuds, on dit

ainsi que les nuds sont rigides.

I. Dfinitions

II. Conventions de signes sur les lments poutres

II.1 Dplacements des nuds

En un nud i dune poutre, le dplacement i

3 composantes (ou 3

degrs de libert)

u2

v22

u1

v11

=

i

i

i

v

u

i


4/21

II. Conventions de signes sur les lments poutres

II.2 Elments de rduction

Chaque section droite est sollicite par un effort normal N, un

effort tranchant T et un moment flchissant . Dans les sections

extrmes, les sens positifs sont les suivants:

T22

N1

2

T11

II.3 Forces extrieures

X2

Y2M

2

X1

Y1M

1


5/21

III. Dfinition des vecteurs force et dplacement nodaux

Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et dplacement {}scriront:

{ }

=

2

2

1

1

1

Y

X

M

Y

X

F { }

=

2

2

1

1

1

v

u

v

u

2M 2Notre objectif est dtablir la relation de rigidit dun lment

poutre, cest--dire:

[ ]

=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

MY

X

MY

X

v

u

v

u

K

{ } { }FK =

dimension 6x6


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7/21

IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre local

b) Matrice de rigidit due aux efforts selon z*

On impose une rotation 1 au nud 1 en bloquant les autres

dplacements

M2

M1 1 2

1

1 2

Y Y

Le moment M1ncessaire pour produire1est (p 21) : 11L

M =

Mt/1=0M1+M2+Y2L=0 122 L6EIY =

De plus, on a Y1+Y2=0 121 L

6EIY =

Les variations de longueur tant ngligeables, on X1=X2=0

Il produit un moment M2au nud 2 : 12L

2EIM =


8/21



De mme, on impose une rotation 2au nud 2 en bloquant les autres

dplacements

M2

M1 21

2

21

Y Y

Le moment M2ncessaire pour produire2est : 22L4EIM =

Mt/2=0M1+M2-Y1L=0 221 L6EIY =

De plus, on a Y1+Y2=0 222 L

6EIY =


Il produit un moment M1au nud 1 : 21L

2EIM =


9/21



En superposant les deux cas, on obtient:

1

221 u

600

600

000000

XL

EI

L

EI

=

2

2

2

1

1

22

2

2

2

1

1

v

u

400

200

600

600

000000

200400

M

Y

X

M

L

EI

L

EI L

EI

L

EI

LEI

LEI


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c) Matrice de rigidit due aux efforts selon y*

On impose un dplacement v1au nud 1 et on bloque tous les autres

dplacements

1

2v1 M2

M11 2

Nous avons des moments (2.4 p 23)12

1221 v

L

6EI

L

vv

L

6EIMM =

==

Mt/2=0M

1+M

2-Y

1L=0

131 vL

12EI

Y =

De plus, on a Y1+Y2=0 132 vL

12EIY =


Y1 Y2


11/21



De mme, on impose un dplacement v2au nud 2 et on bloque tous

les autres dplacements

2

1 v2 M2

M121

Nous avons des moments22

1221 v

L

6EI

L

vv

L

6EIMM =

==

Mt/1=0M

1+M

2+Y

2L=0

232 vL

12EI

Y =

De plus, on a Y1+Y2=0 231 vL

12EIY =


Y1 Y2


12/21



En superposant les deux cas, on obtient:

000000

=

2

2

2

1

1

1

22

33

22

33

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

06

006

0

01200120

000000

06

006

0

0000

M

Y

X

M

Y

L

EI

L

EILEI

LEI

L

EI

L

EILL


13/21


Conclusion : La matrice de rigidit de llment poutre en reprelocalest obtenue en superposant les cas a), b) et c):

1

23231 u

6120

6120

00LEA00

LEA

XL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

=

2

2

2

1

1

22

2323

22

2

2

2

1

1

v

u

460

260

6120

6120

00L

EA00

L

EA

260460

M

Y

X

M

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

LEI

LEI

LEI

LEI

e

*K


14/21


Cas particuliers : La poutre est rigide-articule ou articule-rigide(p 63-65)

IV.2 En repre global

La matrice de rotation est la suivante:

0

[ ]

=

100

0

Au nud 1 (par exemple), nous avons les relations:

[ ]

=

1

1

1

1

*

1*

1*

M

Y

X

M

Y

X

[ ]

=

1

1

1

1

*

1*

1*

v

u

v

u


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IV. Dtermination de la matrice de rigidit lmentaireIV.1 En repre global

On a la relation de rigidit en repre local :

et : [ ] { } =*

De plus :

{ } { }*** F= eK

[ ] { } {**

F= eK

[ ] { }FF* =

La relation de rigidit en repre global scrit :

{ {F=

eK

Ou encore : [ ] [ ][ ] { } { }F*1 = eK

Comme on a : [ ] [ ]t1

=

[ ] [ ][ ] { } { }F* = et

K

[ ]

globalrepreen

rigiditdematrice

eK


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V. Transformation des chargements en forces nodales

La relation {F}=[Ke].{} quon doit rsoudre nest valable quelorsque les forces {F} sont appliques aux nuds.

Une charge rpartie ou concentre (en trave) doit donc tre

dcompose en forces nodales appeles forces de blocage.On cherche donc dterminer i et j qui correspondent aux

ractions des nuds au chargement considr (p 71 75).

M2M1

Y1 Y2

p

21

l

M2M1

Y1 Y2

p

21

l

=

=

=

=

12

plM

2

plY

0X

2*

1

*

1

*

1

*

1

=

=

=

=

12

plM

2

plY

0X

2*

2

*

2

*

2

*

2

=

=

=

=

8

plM

2

pY

0X

*

1

*

1

*

1

*

1

=

=

=

=

8plM

2

pY

0X

*

2

*

2

*

2

*

2


18/21

VI. Equation dquilibre dun lment poutre

Les quations dquilibre dun lment poutre charg entre les nudsscriront:

jjjjijij

ijijiiii

KK

KK

++=

++=

Forces de blocage

Forces de raideur

=

=

zj

yj

xj

j

zi

yi

xi

i

M

P

P

M

P

P

et

O i et j sont les systmes de forces extrieures qui sollicitent

directement les nuds i et j :


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VII. Effet thermique sur les poutres

Les expressions en repre local des forces de blocage sont lessuivantes :

00

TEA-

00

TEA

**

=

= ji

La relation de rigidit avec effet thermique dans les poutres s'crit alors

:

(e)

j(e)jj

)(

jji

)(

ji(e)j

(e)

i(e)ij

)(

iji

)(

ii(e)i

KKF

KKF

+++=

+++=

ee

ee


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VIII. Tableau de localisation

e i EA/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L

. . . . . . . . . .


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