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ESLSCA BUSINESS SCHOOL OF PARIS

PÔLE TRADING 2012

Le MEDAF : background

théorique, implications et

limites

BOUFARSI Youssef Alaoui

25/04/2012

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PLAN

Introduction Générale ………………………………………………………………………..4

Chapitre 1 : La CML, la SML et le MEDAF ...…………………………..…………………..7

1.1 Les hypothèses du MEDAF ……………………………………………………………...7

1.2 La Capital Market line (CML)……………………………………………………………8

1.3 La Security Market line (SML)………………………………………………………….14

1.4 Le MEDAF……………………………………………………………………………...18

Chapitre 2 : MEDAF, ses implications pratiques et ses utilisations dans la gestion de

portefeuille et l’estimation des coûts des fonds propres…………………………………..…24

2.1 Les implications pratiques………………………………………………………………25

2.2 Le MEDAF et la gestion de portefeuille………………………………………………..26

2.3 Le MEDAF et l’estimation des couts des fonds propres………………………………..33

Chapitre 3 : les extensions et les limites du MEDAF…………………………………..…...35

3.1 Les extensions …………………………………………………………………………...36

3.2 Les limites ……………………………………………………………………………….45

Conclusion Générale ...…………………………...………………………………………….45

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Introduction générale

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INTRODUCTION GENERALE Le Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) est un modèle théorique d’équilibre développée par Sharpe (1964), Lintner (1965) et Mossin (1966). Il explique les taux de rentabilités des différents actifs en fonction de leurs risques. Généralement, ce modèle suppose que tous les investisseurs sont rationnels et averses au risque. Il est supposé qu’ils ont les mêmes anticipations sur les rentabilités et les risques futurs. Dans la cadre de ce modèle, les marchés financiers sont considérés comme parfaits, il n’existe ni coûts de transactions ni fiscalité des gains en capital et des dividendes. De plus, le taux sans risque est le même pour les préteurs et les emprunteurs. A ceci s’ajoute une atomicité d’acteurs, aucun vendeur ou acheteur ne peut influencer le prix d’équilibre. Ce modèle revêt d’un intérêt majeur puisqu’il est utilisé dans la gestion de portefeuille ainsi que dans l’estimation du coût des fonds propres. Il est considéré même comme pièce maitresse de la finance moderne. Notre travail s’intéresse au background théorique du MEDAF, quelles sont ses hypothèses, ses composantes, ses implications pratiques, ses usages, ses versions et ses limites ? Dans cette perspective, notre travail se divise en 3 chapitres : Le premier chapitre présente, dans un premier temps, les hypothèses du modèle, dans un deuxième, il explique la philosophie des deux droites fondamentales de la finance moderne, et particulièrement du MEDAF, il s’agit respectivement de la Capital Market Line et la Security Market line. Et ce, en présentant des démonstrations rigoureuses. Le deuxième chapitre échappe un peu à ce background théorique et prend comme objectif la réponse à la question des implications pratiques du modèle et de la possibilité d’utiliser ce modèle dans la gestion du portefeuille et l’estimation des coûts des fonds propres. Ce chapitre essaye d’appliquer le MEDAF sur les six actions du secteur bancaire marocain. Dans ce cadre, il a eu le mérite de tracer la Capital Market Line et la Security Market Line pour le marché boursier marocain. Ce chapitre nous a permis à arriver à des idées révélatrices avant même d’entamer la partie empirique. Il nous a permis d’apprécier la portée du contexte dans la validité des enseignements d’une théorie donnée. Ce chapitre permet d’être en mesure d’affirmer l’idée selon laquelle, le changement de contexte peut basculer l’applicabilité de la théorie, une théorie qui peut s’appliquer à merveille a un contexte donné, peut ne pas être en mesure de s’appliquer a un autre contexte ou au moins amener a des prises de décision absurdes (le fait d’investir dans un portefeuille de marché alors qu’il est inefficient au sens de Markowitz). Il s’ensuit d’avertir tout chercheur que les enseignements d’une théorie ne doivent pas être pris à l’aveuglette sans prendre en considération le contexte sur lequel on opère.

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Une sortie de la contextualisation et un retour au contenu théorique du modèle s’impose par l’existence des hypothèses restrictives dans le MEDAF, ces dernières ont poussé plusieurs auteurs à monter plusieurs variantes ou versions du modèle. Pour répondre a ce constat un troisième chapitre vient en vue d’essayer de présenter ces versions du MEDAF d’une manière succincte; et donc inévitablement sélective ; et en apportant des explications dans la mesure du possible. Il convient de signaler que chaque version peut faire l’objet d’une recherche à part. C’est la raison pour laquelle ce troisième chapitre essayera d’être le plus concis possible en se limitant à l’essentiel. Ayant conscience que toute chose à une limite et qu’il n’existe pas un modèle parfait, on a essayé à ajouter à ce troisième chapitre une section qui montre les limites du MEDAF. Et ce, en expliquant, la philosophie de la critique de Roll (1976). Partant de tout cela, on espère que ce travail soit le plus exhaustif que possible et qu’il satisfasse les attentes des lecteurs.

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Chapitre 1 : la CML, la SML et le MEDAF

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CHAPITRE 1 : LA CML, LA SML ET LE MEDAF

1.1 Les hypothèses du MEDAF D’abord et à partir de nos lectures des écrits de Cobbaut (1994), de Jaquillat et solnik (2007) de Merton et Bodie (2007) et autres, on s’est convaincu que la réalité possède un caractère multidimensionnel, elle est complexe et agissant à plusieurs niveaux. Difficile à cerner cette réalité sans émettre des hypothèses délimitant la cadre d’analyse. C’est en spécifiant ce champ d’analyse qu’on peut formaliser un phénomène quelconque. Ensuite et bien qu’il existe plusieurs formulations des hypothèses, il nous parait pertinent d’apporter notre propre formulation de ces hypothèses du MEDAF : H1 : Les investisseurs sont rationnels et ont une aversion au risque. H2 : Les investisseurs ne sont jamais saturés quant a la recherche du profit, ils préfèrent toujours le portefeuille qui procure plus de rentabilité. H3 : Le marché est « atomistique », ce qui veut dire que les acheteurs et les vendeurs sont de petite taille de manière à ce qu’aucun acheteur ni aucun vendeur individuel n’est en mesure d’influencer le prix d’équilibre. H4 : Accessibilité libre (sans coût) à l’information nécessaire pour l’évaluation des actifs financiers traités sur le marché. H5 : Existence d’un taux sans risque (free risk rate) unique auquel il est possible d’emprunter et/ou prêter toute somme d’argent. Et ce sans aucune restriction. H6 : Les investisseurs partagent les mêmes prévision des rentabilités et risques. (ce qui est connu dans la littérature sous le non de « homogeneous expectations hypothesis ») H7 : Pour tous les investisseurs, l’horizon temporel d’investissement est une seule période. H8 : les actifs sont considérés comme des biens parfaitement divisibles. H9 : Absence de la fiscalité sur toutes les opérations effectuées sur le marché. H10 : Il n’existe aucune segmentation au niveau du marché financier. On peut valablement considérer ; comme l’a fait déjà Cobbaut(1994) ; que nombre de ces hypothèses sont irréalistes en tant que description des conditions réelles des marchés financiers et des comportements des investisseurs. Cobbaut met une comparaison assez judicieuse en affirmant « qu’il faut se rappeler que la notion de « marché parfait » est une idéalisation qui est a la science économique ce que sont à

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la physique des notions telles que le vide parfait ou le froid absolu. De tels concepts ont une portée analytique mais non une valeur opératoire immédiate. » (Cobbaut, 1994, p. 190) De notre part et d’une manière générale, on peut raisonnablement stipuler que même si les hypothèses sont irréalistes ou fortes, ceci ne veut pas dire que la théorie est a priori ne tient pas et non valide, mais peut être au moment ou les conditions réelles changeront et rejoindront le cadre d’analyse tel qu’il était spécifié au début de la modélisation, les résultats de la théorie peuvent être valides en réalité. 1.2 La Capital Market Line (CML) Avant 1964, année de publication d’un premier article de sharpe « Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk », le paysage de la théorie financière était caractérisé par une hypothèse d’information parfaite, chose qui veut dire que l’avenir était considéré comme certain. Dans un second temps, Il y avait un abandon de l’hypothèse de la certitude de l’avenir en faveur de l’adoption de celle de l’incertitude. A vrai dire, il s’agit d’une incertitude prévisible, quantifiable et affectant la richesse des investisseurs, cette incertitude est appelée « risque » dans la littérature financière et économique. La considération qu’il existe un risque issu de l’avenir incertain à amené Sharpe à admettre qu’il devrait y avoir une prime de risque supposée majorer le taux d’intérêt pur. Et ce, proportionnellement à la dimension du risque caractérisant un actif financier donné. Ceci à amené aussi Wiliam Sharpe à croire en l’inéluctabilité qu’il existe une droite pour l’ensemble du marché financier, c’est la Capital Market Line (CML).

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Source : Cobbaut (1994) Nul ne peut nier que le premier apport fondamental de Sharpe dans le cadre du MEDAF est l’élaboration de cette Capital Market Line (CML), cette dernière, pleine d’enseignements, elle nous informe ; comme le précise Cobbaut (1994) ; que le prix de tout actif financier est divisé en deux éléments : Le premier élément est le loyer de l’argent qui correspond au prix du temps nommé par Sharpe « taux d’intérêt pur », il correspond a l’ordonnée a l’origine de la droite de marché. Le deuxième élément est le prix du risque, Ce dernier est mesuré par la pente de la Capital Market Line. Il est fondamental de préciser que Sharpe a observé qu’il est possible de remplacer la frontière efficiente curvilinéaire de Markowitz par cette droite de marché (CML). Il nous parait pertinent de clarifier le fait que la CML (qui est une frontière efficiente sous forme d’une droite) vient substituer la frontière efficiente curvilinéaire de Markowitz et non pas la complétée, il en résulte une relation de discordance et d’opposition entre les deux au lieu d’être de complémentarité. Sharpe (1964) justifie le fait que sa droite est en mesure de remplacer la frontière efficiente de Markowitz en apportant une démonstration graphique, cette dernière est expliquée d’ailleurs dans nombre d’ouvrage spécialisés en théorie de portefeuille. Amenc et Le sourd (2002) nous indiquent de Considérer la représentation de la frontière efficiente de Markowitz dans un plan( ))(, RpEpσ , le point correspondant à l’actif sans risque se situe sur l’axe des ordonnées. (cf. figure 1-B)

Risque mesuré par l’écart type

Espérance de rentabilité

Droite de marché (CML)

Tau

x d’

inté

rêt

pur

Figure 1-A : La Capital Market Line

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A partir de leurs explication, on conclue qu’en traçant des droites issues du Rf et rejoignant les différents points de la frontière efficiente, on trouve que l’une d’elle l’emporte sur la totalité des autres et surclasse même la frontière efficiente curvilinéaire de Markowitz (considérée pendant longtemps comme limite de la zone de portefeuilles réalisables). En toute clarté, c’est l’unique droite tangente à la frontière efficiente. La lettre M indique le point de tangence.

Source : Amenc et Le sourd (2002) Rien a travers l’observation du graphique ci-dessus, on voit que tous les regroupements linéaires possibles du portefeuille risqué M avec l’actif sans risque Rf sont représentés sur la droite (Rf M). Amenc et Le sourd (2002) ont touché le centre de ce que Sharpe veut faire passer par sa démonstration graphique. Et ce, en affirmant qu’en présence d’un actif sans risque, la droite décrite ci-dessus définit la frontière efficiente. Ils stipulent que le fait d’introduire l’actif sans risque permet la transition d’une frontière curvilinéaire de Markowitz (représentée ici par BAM) à une autre frontière efficiente, cette fois-ci, rectilinéaire (sous forme d’une droite). Plus précisément, cette frontière efficiente rectilinéaire n’est rien d’autre que la droite de marché (CML). Par ailleurs, Cobbaut (1994) n’a pas manqué de constater que la possibilité d’investir dans l’actif sans risque permet de composer un portefeuille ayant une rentabilité supérieure à celle qu’on pouvait obtenir si on investie dans un portefeuille constitué uniquement d’actifs risqués.

Rf

E(Rp)

σ(Rp)

M

B

A

Figure 1-B : La CML et la frontière efficiente

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La figure 2 vient en vue de justifier ce constat, dans cette figure on peut voir aisément que « l’investisseur dont le système de préférences est représenté par la carte d’indifférence (U1, U2, U3) passera du portefeuille S au portefeuille T, ce qui lui permet en l’espèce de constituer un portefeuille qui est à la fois plus rentable et moins risqué ». (Cobbaut, 1994, p.191)

Source : Cobbaut (1994) A travers l’observation de la figure ci-dessus, on peut énoncer que le portefeuille T domine totalement le portefeuille S, il est à la fois plus rentable et moins risqué. Ce portefeuille T est composé d’une fraction du portefeuille de tangence M et d’une autre de l’actif sans risque. Le fait de combiner portefeuille de tangence et actif sans risque rend du portefeuille T, un portefeuille bel et bien optimal. Cobbaut ajoute que « dans la situation ainsi décrite, tous les investisseurs ayant les mêmes attentes, et ayant par conséquent tous identifié la frontière efficiente de markowitz comme étant QSMV, détiendront tous des portefeuilles dont la fraction investie en valeurs a risque aura exactement la même composition, qui est celle du portefeuille de tangence M. » (1994, p. 192) Ce portefeuille tangent ou de tangence inclut tous les actifs risqués traités sur le marché, par conséquent donc, il est appelé raisonnablement « portefeuille de marché ». Il convient fort bien d’énoncer que le fait que tous les investisseurs ont les mêmes prévisions de risques et de rentabilités futures, induit que ces investisseurs auront tendance à investir dans les mêmes proportions de tous les actifs risqués. Ces proportions optimales de détention correspondent exactement au poids de chaque action dans le portefeuille de marché. Il est fondamental de citer qu’à « l’équilibre la CML représente les meilleurs couples « risque-rentabilité » pour les investisseurs. Même si chacun va s’efforcer de réaliser un portefeuille situé au dessus de cette droite de marché, l’offre et la demande vont influer sur les prix des

σp

E(Rp)

Rf Q

S

M V

U1 U2 U3

T

R

Figure 2 : CML, frontière efficiente et carte d’indifférence

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actifs de telle sorte que les portefeuilles réalisés vont tous se retrouver sur cette droite » (Merton & Bodie, 2007, p. 386) Le fait d’arriver à élaborer une droite de marché (CML) représentant les meilleurs couples « risque-rentabilité » tire apparemment le tapis sous les pieds de la frontière efficiente curvilinéaire de Markovitz, cette dernière devient dominée totalement par la CML et donc sans aucun effet. Il est intéressant de citer que la CML à marqué profondément le paysage de la théorie moderne du portefeuille qui à commencé avec Markowitz et à constitué le début de la théorie d’équilibre du marché financier. Existe-t-il un substitut du portefeuille de marché ? Wagner et Lau (1971) ont réalisé une étude statistique sur la bourse de new york, « le principe de leur étude était de sélectionner au hasard pour chaque « taille » de portefeuille (n), un échantillon important de portefeuilles et calculer les paramètres de la distribution des returns ainsi obtenus. Plus précisément, pour chaque valeur de n, 100 portefeuille ont été composés au hasard, chacune des actions rentrait dans une part égale (1/n) dans le portefeuille constitué » (Cobbaut, 1994 , p. 119) Ils ont pu constater qu’au delà d’une vingtaine de lignes, l’effet de réduction de risque est très faible pour compenser l’augmentation des couts de transaction. Ce qui nous intéresse ici est qu’ils ont trouvé que les portefeuilles de 20 valeurs diversifiés d’une manière naïve ; en d’autres termes, en tirant au hasard 20 valeurs et en répartissant le budget par équi-pondération ; avait avec l’indice de marché une corrélation moyenne de 0, 89. A partir de constats de cette étude, Cobbaut (1994) n’a pas manqué de tirer une idée majeure et révélatrice selon laquelle « il n’est pas difficile de concevoir dans ces conditions qu’un portefeuille de 15 a 20 valeurs diversifiés de manière efficiente – c'est-à-dire conformément au modèle normatif de markowitz – puisse être un substitut quasi-parfait du portefeuille de marché » ( p.193). Démonstration de l’équation de la CML1 : Soient : Rf : rentabilité de l’actif sans risque E(Rm)= Em : rentabilité espérée sur le portefeuille de marché

Em mσ = σ : écart type du portefeuille marché

Rf fσ = σ : écart type de l’actif sans risque (il est toujours nul car ici le risque est absent)

w : la part investie dans le portefeuille action P : un portefeuille qui combine le portefeuille de marché et l’actif sans risque.

1 Cette démonstration est citée sur nombre d’ouvrage de finance et de théorie du portefeuille, mais elle est originellement élaborée par le premier concepteur du MEDAF, à savoir Wiliam Sharpe. De notre part, on a essayé d’expliquer et de détailler les passages entre équations.

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E(Rp) (1 w)Rf wE(Rm)= − + (0.1)

( ) ( )E Rp – Rf w Em – Rf=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )² Rp 1 w ² ² Rf w² ² Em 2 w 1 w cov Rf,Rm σ = − σ + σ + − (1.2)

Sachant que : f m

Cov(Rf;Rm)ρ =σ σ

La relation de la variance devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f² Rp 1 w ² ² Rf w² ² Em 2 w 1 w rho . σ = − σ + σ + − σ σ

Puisque

f0σ = , alors :

( ) ( )² Rp w² ² Em σ = σ

Ainsi : ( ) ( )w² ² p / ² m= σ σ

)()( mRpw σσ=

Remplaçons w par son expression dans (1.2) :

( ) ( )p

p

m m

Em RfE Rp – Rf Em – Rf

σ −= = σσ σ

(1.3)

Finalement l’équation de la droite de marché (CML) est de :

( ) p

m

Em RfE Rp Rf

−= + σσ

(1.4)

C’est une fonction d’une droite sous forme de y = ax+ b Il est clair que sa pente est de :

)(m

RfEma

σ−=

Cette pente mesure la rémunération du risque.

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Il est fondamental de remarquer que cette équation (1.4) caractérise le marché financier dans son ensemble. Et c’est la raison pour laquelle on l’appelle « Capital Market Line » ou « droite de marché ». Si cette dernière nous fournie toutes les combinaisons efficientes du portefeuille de marché et de l’actif sans risque, elle reste muette en ce qui concerne les prix et les rentabilités d’équilibre des actifs financiers individuels. Telle était la remarque de Cobbaut(1994). 1.3 La Security Market Line (SML) Il s’agit ici, en clair, d’établir une relation linéaire entre la rentabilité d’une valeur quelconque cotée sur le marché et la rentabilité Rm du portefeuille de marché, souvent appelée le return du marché. Cobbaut (1994) affirme que si jamais « une telle relation peut être établie pour chaque valeur et peut être considérée comme relativement stable a travers le temps, elle permettra de concentrer l’activité de prévision sur l’anticipation de l’évolution d’un indice de marché » (p.195) Soit un actif risqué quelconque i. Soit un portefeuille Z, composé d’une quantité Qi de la valeur i et d’une autre QM du portefeuille de marché (laquelle contient dèja une certaine proportion de i) :

1=+ mi QQ

EmQmQiEiEz .+=

),cov(..2. 22222 miQmQiQQ mmiiz ++= σσσ

Sur le graphique 3, le point I représente le portefeuille Z lorsque (Qm= 0), c’est a dire le cas ou le portefeuille est constitué seulement de l’actif risqué i (Qi= 1) et le point M représente le portefeuille Z lorsque (Qi= 0), c est a dire le cas ou ce portefeuille est indexé sur l’indice (Qm= 1). Le segment IM représente toutes les possibilités intermédiaires. Le point I’ représente un portefeuille pour lequel l’actif i a été vendu a découvert pour un montant égale a sa proportion dans le portefeuille de marché. Le segment I’M représente toutes les possibilités intermédiaires.

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Source : Cobbaut (1994) Il est démontré que la pente SM de la courbe IMI’ (la frontière efficiente de Markowitz) ; évaluée au point M, est :

)(),cov(

)().(2 mmi

mEmEiSm

σσ

−−=

Sharpe nous enseigne que, la courbe IM doit à l’équilibre, être tangente au point M à la droite de marché. Il démontre cela, d’une manière graphique et intuitive, il s’est contenter d’illustrer graphiquement l’impossibilité qu’il en soit autrement. Démonstration de Sharpe2 : Si la pente de la courbe IM, évaluée en M , est inférieure a celle de la droite de marché ( cas du graphique 4.A) , « cela impliquerait qu’il existe au moins une combinaison de i et M ( par exemple R) qui domine le portefeuille de même risque (S), situé sur la frontière efficiente.» (Cobbaut, 1994, p.196) Ceci ne peut être qu’en forte contradiction avec la définition même de la frontière efficiente. Par conséquent donc, cette situation ne peut pas caractériser une situation d’équilibre de marché. Si la pente de la courbe IM, évaluée en M, est supérieure a celle de droite de marché ( cas du graphique 4.B), cela impliquerait qu’on peut avoir une combinaison R consistant a vendre a découvert l’actif i et investir tout le capital dans le portefeuille de marché, cette combinaison domine un portefeuille de même risque (S), situé aussi sur la frontière efficiente. Ceci est 2 Cette démonstration doit son originalité à William Sharpe aux années 60.

Ep

σp σM

Rf

R

M

EM - Rf

0

I

I’

Figure 3 : situation de tangence de la frontière efficiente avec la CML

EM

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contradictoire avec la définition de celle-ci et se trouve incompatible avec une situation d’équilibre de marché.

Source : Cobbaut (1994)

Source : Cobbaut (1994) On sait qu’au point d’intersection de deux courbes les pentes sont égales. Dans notre cas, la tangente de la courbe IMI’ au point M n’est autre que la droite de marché ou Capital Market Line, en conséquence, on peut égaliser leur pentes.

Ep

σp

I

M

R

S

Figure 4-A : cas ou la pente de la frontière efficiente est inferieure à celle de la CML

EP

σp 0

I

M

R

S

Figure 4.B : cas ou la pente de la frontière efficiente est supérieure à celle de la CML

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)()(),cov(

)()(2 m

RfEm

mmi

mEmEi

σσσ −=

−−

(1.5)

(Ei – Em ) σ²m = Em - Rf) (σ iM – σ² M) Ei σ²m – EM σ²m = (Em - Rf) σ im – Em σ² m + Rf σ² (m)

Em σ² m - Rf σ² m + Ei σ²m – Em σ²m = (Em - Rf) cov(i,m)

),()(

)(2 mi

m

RfEmRfEi σ

σ−=− (1.6)

Rien a travers l’observation de cette équation, on déduit que la prime de risque de la valeur i

)( RfEi − est fonction de sa seule covariance avec le marché ( ),cov(),( mimi =σ ). Partant de là, on a eu une relation spécifiant la rentabilité de l’équilibre d’un actif financier i. Cette relation, représentée par le graphique 5, est connu dans la littérature financière sous le non de le la ligne d’évaluation des actifs financiers ou Security Market Line (SML) pour prendre l’appellation originale, certains l’appellent la droite du MEDAF. * Cov (M,M) / Var M = Var M /Var M = 1. Source : Cobbaut (1994)

M

0 1* Cov (i,M) / σ² M

EM

RF

Figure 5 : La Security Market Line

Ri

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1.4 Le MEDAF Dans l’expression de la SML, « le seul élément spécifique à la valeur i est la covariance de sa rentabilité avec celle du marché. Cette covariance peut être déterminée à partir du modèle de marché. » (Cobbaut, 1994, p.200) Cobbaut attire l’attention sur le fait que dans ce modèle, « σ iM est déterminée, d’une part, par la pente de la droite de régression de Ri sur RM , appelée ligne caractéristique de la valeur i , et, d’autre part par les probabilités attachées aux diverses valeurs de RM. » (1994, p.200) Il propose de traiter cette relation comme si l’équation de régression du modèle de marché ne contient pas de terme d’erreur. C'est-à-dire comme si la valeur de Ri est parfaitement déterminée par les coefficients de régression. D’une manière algébrique, cette proposition s’exprime par la relation suivante, qui est la définition de la covariance. Démonstration 3 : Pr (Rm) : probabilité de Rm Pr ( Ri | Rm) : probabilité conditionnelle de Ri sachant Rm Pr (Ri,Rm) : probabilité jointe ou composée de Ri et Rm On sait que la probabilité jointe de a et b est de : Pr (a ∩ b) = Pr (a | b). Pr (b) implique : Pr (a | b)= Pr (a ∩ b) / Pr (b) Alors la probabilité composée ou jointe de Ri et Rm est de : )Pr().Pr(),Pr( RmRmRiRmRi = (1.7) On sait que :

))(,Pr()²)(,Pr(

)²()²()var(

babaEaaba

baEbaEba

−∑−−∑=−=

= Σ Pr a,b ( a²- Ea) –(Σ Pr a,b (a-b))²

))().(,Pr(),cov()( EbbEaabababa −−∑=≡σ Alors:

))()(,Pr()(),( EmRmEiRiRmRiRmRiRmRiCov −−Σ=≡ σ (1.8)

3 Cette démonstration doit son mérite à Cobbaut (1994), d’ailleurs elle est tirée de son ouvrage intitulé « théorie financière ».

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Cobbaut (1994) nous informe que « cette relation est évidemment stratégique pour la construction d’un modèle d’évaluation réellement opérationnel. Elle est, en effet, fondée sur l’hypothèse qu’on possède une capacité de prévision de Rm, et partant, de Ri, conditionnellement a Rm. » (p. 201) Or, on a à notre disposition un modèle de régression simple, le modèle de marché, qui explique la relation entre Ri et Rm. Si on néglige le terme d’erreur :

iRmiRi βα += (1.9) iEmiEi βα += (1.10)

En introduisant ces valeurs dans l’expression (1.8) ,on obtient :

[ ] )()()(Pr Rm)cov(Ri, EmRmiRmiiRmiRmRi −+−+),(Σ= βαβα

[ ] )()(),Pr(),cov( EmRmEmRmiRmRiRmRi −−Σ= β

2))(,Pr(),cov( EmRmRmRiiRmRi −Σ= β On sait que : 22 ))(,Pr()()var( EmRmRmRimRm −Σ== σ Alors : )(),cov( 2 miRmRi σβ=

Donc : ( )

)(

,cov2 m

RmRii

σβ = (1.11)

Cobbaut (1994) attire l’attention qu’on peut conclure qu’en établissant la correspondance entre le modèle de marché et la security market line, on déduit le MEDAF. Autrement dit, en remplaçant, le rapport de la covariance de Ri et Rm avec la variance du marché par le coefficient beta, on obtient l’équation du MEDAF.

[ ] iRfRmERfRiE β−+= )()( (1.12) De cette équation du MEDAF, découle le constat selon lequel la prime du risque espérée sur un titre est égale à la prime du risque de marché multiplié par le beta de ce titre. Cette équation nous fournie « une liaison organique simple entre l’évolution du marché boursier dans son ensemble et celle des titres individuels ». (cobbaut, 1994,p. 202) L’équation du MEDAF nous permet de dire que la rentabilité espérée sur la valeur i est égale à la rentabilité de l’actif sans risque majorée de l’espérance de la prime de risque de la valeur i. cette dernière est obtenue par la multiplication de l’espérance de la prime de risque unitaire du marché ((E(Rm)- Rf) / σM ) et d’un coefficient qui mesure la contribution de la valeur i au risque total du portefeuille de marché. (Cobbaut, 1994)

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Si on remplace β par sa valeur dans l’expression (12), on obtient :

)(

),cov(

)()(

m

RmRi

m

RfEmRfRiE

σσ−+=

La contribution de la valeur i au risque du portefeuille de marché est de :

)(),()(

)()(),(

)(

),cov(imirho

m

mimirho

m

RmRi σσ

σσσ

==

Il est capital de signaler, que pour rendre opérationnel ce modèle il va falloir avoir la possibilité d’établir une prévision valable de l’évolution de l’ensemble du marché boursier, c'est-à-dire de Rm. L’interprétation du coefficient beta : Lorsqu’on a établie la relation entre le modèle de marché et la Security Market Line, on a négligé le terme aléatoire (le terme d’erreur) de l’équation du modèle de marché. Alors qu’en réalité, le modèle de marché est un modèle stochastique et non pas déterministe, car Ri ne peut jamais être prévue d’une manière parfaite et complète. Et ce, même si on suppose par contestation que Rm puisse être prévu de manière parfaite. Le modèle de marché est de :

iiRmiRi εβα ++= (1.13) On sait que la covariance de ε et Rm est nulle, par conséquent on peut appliquer le thèorème d’additivité des variables aléatoires indépendantes :

)()()(

)()()(

)()()(

2222

2222

222

imi

iRmi

iiRmi

i

i

εσσβσεσσβσ

εσβσσ

+=

+=+=

(1.15)

De cette manière, on a divisé la variance du titre i en deux élements, l’un systématique, en liaison avec la variance de la rentabilité du marché (σ² (Rm) ou σ²M), et l’autre spécifique sous forme de la variance du terme aléatoire (σ² (εi)). Il en résulte qu’il est à notre portée de spécifier dans les variations de cours d’un titre la part issue des variations du marché, c est la variation expliquée, et celle qui est inhérente au titre, c’est à dire propre au titre ou ce qui est connu dans la littérature financière sous le nom de la part spécifique au titre.( Albouy, 2000) Remarque : Avant de présenter les formules de calcul des composantes du risque d’un titre, il nous semble judicieux de rappeler le théorème de Pythagore.

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Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Autrement dit : AB² = AC² + BC² En appliquant ce théorème sur notre cas on aura :

Il s’ensuit que : Le risque systématique d’une action est égal à son beta fois l’écart type de la rentabilité de marché : Risque systématique = βi σM

Le risque spécifique est égale à l’écart type du facteur résiduel : Risque spécifique = σ (εi) AB² = AC² + BC² implique (Risque total) ² = (Risque spécifique)² + (Risque systèmatique)² Ceci correspond bien à la décomposition de la variance effectuée précédemment dans l’expression (1.15): )()()( 2222 imi i εσσβσ +=

σ (εi) n’est pas connu et ne peut pas être estimé, on le calcule par la racine au carré de la différence entre le risque systématique au carré et le risque total au carré :

( i) ( i M)² – ²iσ ε = β σ σ

Risque total : σi

Risque systématique : βi σM

Risque spécifique : σ (εi)

A

B C

22

Plusieurs auteurs (Albouy, Cobbaut, Amenc, Le Sourd, Charreaux, Merton, Bodie etc.…) signalent que rien à travers l’observation de l’équation du MEDAF on peut conclure :

� Si β < 1 donc : E(Ri) < E (Rm) ; c'est-à-dire que la rentabilité attendue sur le titre est inférieure a celle attendue sur le marché. Dans la littérature on dit que le titre amortie les fluctuations du marché, par conséquent donc, il est appelé « défensif ».

� Si β > 1 donc : E(Ri) > E (Rm) ; c'est-à-dire que la rentabilité attendue sur le titre est

supérieure a celle attendue sur le marché. On dit dans la littérature que le titre amplifie les fluctuations de marché, c’est la raison pour laquelle il est appelé « offensif » ou « agressif ».

� Si β = 1 donc E(Ri) = E (Rm) ; c'est-à-dire que la rentabilité espérée sur le titre est

égale a celle attendue sur le marché. Il s’ensuit qu’on dit que le titre n’amortie ni amplifie les fluctuations de marché, en conséquence, il est appelé « neutre ».

Par ailleurs, il nous parait fort bien pertinent et fondamental de souligner que le coefficient beta est à peu près la contribution de la valeur i au risque du portefeuille de marché.

En effet, on a vu que : ( ))(

,cov2 m

RmRii

σβ =

Contribution de i au σ(m) = )(

),cov(

m

RmRi

σ

Alors : (m)

(m)au i deon contributi

σσβ =i

Ceci veut dire que le beta est rien d’autre que la contribution de i au risque du portefeuille de marché divisé par l’écart type du marché. Plus précisément on peut dire que le beta est la contribution « unitaire » de i au risque du portefeuille de marché. Maintenant on comprend les raisons pour lesquelles il est enseigné d’une manière simplifiée dans les universités que la beta est le risque relatif au marché. Il est capital de signaler également que rien à travers l’observation de l’équation du MEDAF, on peut tirer un constat selon lequel le beta est aussi un coefficient de sensibilité. Dans cette logique, Charreaux (2000) nous indique que si la rentabilité espérée du marché varie de 1%, la rentabilité espérée sur un titre i variera de β%. Illustrons cela par un exemple réel4 : L’action ATW (Attijari Wafae Bank) à un beta de 1,46 (c'est-à-dire il s’agit d’un titre agressif ou offensif). le taux de rentabilité annuel espéré du MASI est de 19,2 % (1,6 % *12mois) et

4 Cet exemple est basé sur les données mensuelles de 5 ans. (D’avril 2004 au Mai 2009)

23

le taux moyen mensuel pondéré des émissions du trésor pour une maturité d’un an est de 3,35% (selon l’émission de mai 2009). Pour ces taux, le taux espéré sur l’action ATW est de : Taux espéré= Rf + β (Em – Rf) = 3,35% + 1,46 (19,2% - 3,35%) = 26,49 % Si la rentabilité du MASI passe à 20,2 % (augmentation de 1%), le taux espéré sur l’action ATW augmentera de β % ( c'est-à-dire, de 1,46%) , en conséquence il deviendra 26,49% + 1,46% = 27,95 % Taux espéré = Rf + β (Em – Rf) = 3,35% + 1,46 (20,2% - 3,35%) = 27,95% Si la rentabilité du MASI passe à 18,2 % (baisse de 1%) , le taux espéré sur l’action ATW baissera de β % ( c'est-à-dire, de 1,46%) , en conséquence il deviendra 26,49% -1,46% = 25,03 % Taux espéré = Rf + β (Em – Rf) = 3,35% + 1,46 (18,2% - 3,35%) = 25,03% Signalons maintenant qu’il parait très judicieux de préciser que Cobbaut (1994) à mis l’accent sur le fait qu’il faut analyser le portefeuille comme un tout, peut être parce que les valeurs mobilières sont corrélées entre eux, ce qui influence l’écart type de ce portefeuille. On sait bien que les covariances entre les actions entrent dans le calcul de la variance du portefeuille. Ce qui fait, analyser les actions comme des éléments distincts n’est pas rationnel dans la mesure où on néglige les répercutions de leurs covariances sur le risque de notre portefeuille. Peut être c’est la raison derrière les propos de Cobbaut. Sur un plan opérationnel et pratique, Cobbaut (1994) a eu le mérite de proposer une méthode de gestion de portefeuille basée sur le MEDAF. On peut valablement présenter sa méthode comme suit : Il faut d’abord prévoir l’évolution de la rentabilité de marché représenté par son indice général5, une fois la série prévisionnelle des rentabilités de cet indice général est élaboré, il faut régresser chaque valeur sur l’indice de marché. Et ce, pour déterminer son coefficient beta (de sensibilité). Ensuite, il convient de déterminer la frontière efficiente de tous les portefeuilles possibles (ceci est possible avec une programmation d’Excel sous Visual Basic for applications) Enfin il faut faire un suivie, une mise à jour des données et une révision des portefeuilles composés. 5 Il faut déterminer les variables macroéconomiques qui expliquent l’évolution de l’indice de marché, il s’agit d’élaborer un modèle de régression multiple.

24

Chapitre 2 :Le MEDAF, Ses implications pratiques et ses utilisations dans la gestion de portefeuille et l’estimation des couts des fonds propres

25

CHAPITRE 2 :

LE MEDAF, SES IMPLICATIONS PRATIQUES ET SES UTILISATIONS DANS LA GESTION DE PORTFEUILLE ET

L’ESTIMATION DES COUTS DES FONDS 2.1 Les implications pratiques Selon Jaquillat et Solnik (2007), deux conclusions intuitives peuvent être tirées du Medaf, « l’une normative indiquant quelle politique de placement doit être suivie, l’autre descriptive indiquant la relation qui doit exister entre rentabilité et risque » ( p. 133) La première conclusion : théorème de séparation Le Medaf nous propose une méthode de gestion de portefeuille en deux étapes : 1- Investir dans le portefeuille de marché, c’est à dire constituer son portefeuille dans les mêmes proportions de l’indice général de marché : généralement le fait que le marché est efficient et concurrentiel et tous les investisseurs ont les mêmes prévisions de risques et de rentabilités futures induit que ces investisseurs auront tendance à investir dans les mêmes proportions de tous les actifs risqués. De plus « le portefeuille actions doit être le plus diversifié possible, puisque le risque spécifique n’apporte pas une rentabilité « anormale ». Tout investisseur doit donc faire du portefeuille de marché (le mieux diversifié) la partie action de ses placements. » (Jaquillat & Solnik, 2007, p.133) 2- Combiner ce portefeuille de marché avec l’actif sans risque : ceci permet de réduire le risque de notre portefeuille global pour un même niveau de rentabilité du portefeuille de marché. La répartition entre portefeuille de marché et actif sans risque se fait selon les préférences de chaque investisseur. La deuxième conclusion : le prix ou la prime du risque Il s’agit ici de préciser le type de risque qui devrait être rémunéré par le marché tout en expliquant les raisons.

Jaquiallat et Solnik nous indiquent que « le risque d’un titre qui doit être pris en compte est uniquement son risque systématique (beta) et non pas son risque total (sigma). La justification est claire. N’importe quel investisseur « naïf » peut facilement éliminer les risques spécifiques des titres en construisant un portefeuille bien diversifié. De tels risques qui peuvent être facilement évités ne doivent pas être rémunéré sur le marché. Par contre le risque systématique, ou risque de marché, ne peut être évité.»(2007, p.133-134)

26

Le risque systématique est non diversifiable, et par conséquent il est rémunéré par le marché à l’équilibre. Sa rémunération est rien d’autre que la prime de risque de marché qui est de : Prime de risque de marché = E(Rm) - Rf 2.2 Le MEDAF et la gestion de portefeuille Dans la gestion du portefeuille, et d’après des lectures approfondies, on a détecté deux principales formes d’utilisation du MEDAF, ces dernières peuvent être résumées comme suit :

1. Utilisation de la SML pour la sélection des titres. 2. Utilisation de la CML pour vérifier si le portefeuille activement géré n’est pas dominé

par un autre portefeuille combinant le portefeuille de marché et l’actif sans risque.

Pour la première utilisation, la tache consistera à calculer les betas et espérances de rentabilité des actions du secteur bancaire pour les placer sur un graphique de la SML, et ce pour distinguer les actions sous évaluées de celles sur évaluées. Ensuite on va suivre l’évolution des points de ces actions et s’assurer s’ils vont rejoindre la droite de la SML ou ils vont rester d’une manière persistante au dessus ou en dessous de cette droite. Pour la deuxième utilisation, notre travail sera de calculer la rentabilité espérée et la volatilité d’un portefeuille activement géré et le représenté sur un graph de la droite de marché (CML) pour voir est ce qu’il est dominé par un simple portefeuille combinant le portefeuille de marché et l’actif sans risque. il en résulte que la droite de marché offre un indicateur simple et efficace pour juger la performance d’un portefeuille donné. La première utilisation : Type de données : variations mensuelles Echantillon : Du Mars 2004 jusqu'à Mars 2009 E(Ri) Beta ATW 0,68106245 1,46578391 BMCE 1,78612666 0,56132861 CDM 1,25564463 0,88285551 BCP 0,77197889 1,06887639 BMCI 0,51858306 0,74552882 CIH 6,28926969 2,5506714 Rf 3,26 0 E(Rm) 1,6 1

27

Figure 6 : La SML du marché boursier marocain pour la période considérée

Source : Réalisé à partir de Microsoft Excel Remarque : la Moroccan SML est décroissante alors que généralement la SML est supposée être croissante, par conséquent donc, ceci pose de doute sur la validité du MEDAF sur le marché boursier marocain. Une remise en cause du modèle serait néanmoins hâtive à ce stade de la partie théorique. Il s’ensuit qu’on va continuer d’expliquer l’usage de la SML dans la gestion de portefeuille. Et ce, en faisant abstraction de la validité du modèle. Figure 7 : Positionnement des actions du secteur bancaire par rapport à la SML

Source : Réalisé à l’aide de Microsoft Excel Règle de décision : L’action qui se trouve en dessous de la SML est moins rentable pour qu’elle soit à l’équilibre, donc sa rentabilité va s’ajuster en augmentant, pour se faire son prix va baisser, alors elle est sur-évaluée.

Moroccan SML

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

beta

E(R

i)

Moroccan SML

Positionnement des actions du secteur bancaire par rapport à la SML

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

beta

E(R

i)

ATWBCPCDMBMCIBMCE CIH

Rf

E(Rm)

28

L’action qui se trouve au dessus de la SML est plus rentable pour qu’elle soit à l’équilibre, donc sa rentabilité va s’ajuster en baissant, pour se faire son prix va augmenter, alors elle est sous-évaluée. Résultats :

Action Positionnement / SML Evaluation Décision

ATW En dessous sur-évaluée Vente BMCE En dessous sur-évaluée Vente CDM En dessous sur-évaluée Vente BCP En dessous sur-évaluée Vente BMCI En dessous sur-évaluée Vente CIH Au dessus sous-évaluée Achat

Suivie : Ce tableau contient les variations mensuelles des rentabilités

Rentabilité mensuelle ATW BMCE CDM BCP BMCI CIH

30/04/2009 1,85 8,00 -9,21 -0,43 1,11 9,17

29/05/2009 -0,47 0,86 4,78 0,22 -1,83 13,45

30/06/2009 7,00 8,12 7,75 2,92 -1,74 3,21

31/07/2009 -9,49 -11,32 1,28 -5,70 -4,43 -2,42 Figure 8 : Suivie des rentabilités des actions du secteur bancaire

Source : Réalisé à l’aide de Microsoft Excel

Suivie des rentabilités des actions du secteur banc aire

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

avr-09 mai-09 juin-09 juil-09

Temps

Ren

tabi

lité

men

suel

le ATW

BMCE

CDM

BCP

BMCI

CIH

29

Figure 9 : Mouvements des actions autour de la SML

Source : Réalisé à l’aide de Microsoft Excel A partir de cette figure on conclue que les points représentatifs des actions ne rejoignent pas la SML d’une manière persistante. Quelle énigme !! Après des recherches approfondies on a trouvé que Merton et Bodie, ainsi que Cobbaut ont résolu cette énigme en faisant des pistes explicatives. Selon Merton et Bodie (2007), le fait que les points représentatifs des actions ne rejoignent pas la SML d’une manière persistante contredit le MEDAF dans la mesure où elle implique soit que le marché n’est pas a l’équilibre, soit les investisseurs ne partagent pas les mêmes prévisions des rentabilités futures, soit les investisseurs ne se comportent pas d’une manière permettant d’optimiser leur couple risque rentabilité. Selon Cobbaut (1994), une telle situation peut avoir deux interprétations possibles : Soit que l’hypothèse d’efficience des marchés ; incontestablement le background de la construction théorique du modèle ; n’est pas réalisée. Soit que le MEDAF est loin d’être le véritable processus générateur des rentabilités observés. Remarque : la décroissance de la SML qui à posé de doute sur la validité du MEDAF sur le marché boursier marocain ne fera pas l’objet de cette partie mais sera examiné soigneusement dans la partie empirique.

Mouvements des actions autour de la SML

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

beta

E(R

i)

en avril

en Mai

en juin

en juillet

BMCE BMCI CDM CIHATWBCP

30

La deuxième utilisation : Il convient de signaler qu’on a travaillé sur un échantillon de 55 observations mensuelles, puis on a calculé les 54 variations mensuelles. Et ce, en allant de septembre 2004 jusqu'à Mars 2009. Pour tracer la CML, il faut calculer la rentabilité et le risque du portefeuille de marché représenté par l’indice MASI. Après les calculs on a obtenu ce qui suit :

MASI Actif sans risque

E(Ri) 1,76 3,26 Sigma i 6,45 0

Figure 10 : La CML du marché boursier marocain pour la période considérée

Source : Réalisé à l’aide de Microsoft Excel Il s’agit d’une droite décroissante, On en déduit que le portefeuille de marché représenté par MASI est totalement dominé par l’actif sans risque. Ce dernier offre une rentabilité de Rf =3,26 %, tandis que le MASI offre seulement une rentabilité de 1,76 %. Il en résulte qu’il existe une prime de risque de marché négative : E(Rm) –Rf = 1,76% -3,26% = -1,5% Pourquoi alors investir dans le MASI pour avoir une rentabilité moyenne de 1,76% tout en subissant un risque de 6,45 % alors que l’actif sans risque est largement plus rentable ? La réponse est qu’il n’y a aucune raison d’investir dans un portefeuille indexant le MASI, car ce dernier n’est pas efficient au sens de Markowitz, c'est-à-dire au sens moyenne-variance.

Moroccan CML

0,00

0,50

1,00

1,502,00

2,50

3,00

3,50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

sigma

E(R

i) MoroccanCML

Rf

MASI

σMASI = 6,45E(RMasi)=

1,76

31

En ce qui suit, on va démontrer que le portefeuille de marché (MASI) est bien un portefeuille inefficient, pour se faire, on essaiera de constituer a partir de quelque actions un portefeuille dominant un autre qui combine le portefeuille de marché et l’actif sans risque. Soit un portefeuille P Bank constitué seulement des actions du secteur bancaire. Supposons qu’on a constitué ce portefeuille à parts égales entre les 6 actions du secteur, chose qui revient de dire qu’il s’agit d’un portefeuille équi-pondéré. Il convient de signaler qu’on à travaillé sur le même échantillon de 55 observations mensuelles, puis on a calculé les 54 variations mensuelles. Et ce, en allant de septembre 2004 jusqu'à Mars 2009. Les résultats sur la période considérée sont les suivants : ATW BMCE CDM BCP BMCI CIH

Rentabilité mensuelle 0,81 1,57 1,34 0,90 0,57 7,38 Ecart type mensuel 14,55 15,08 8,40 14,75 7,91 32,96

� La rentabilité moyenne du P Bank est de : 2,09 %

Matrice des variances-covariances pondérées par les proportions

ATW BMCE CDM BCP BMCI CIH

ATW 26,26152362 -9,342856765 20,92608635 -5,396657364 12,15407253 -93,19876071

BMCE -9,342856765 211,1616763 -21,93360746 8,482059635 -2,731797365 129,3837392

CDM 20,92608635 -21,93360746 90,37047926 -15,02281863 23,84200745 -404,3029962

BCP -5,396657364 8,482059635 -15,02281863 10,96491151 -6,667205732 43,32995404

BMCI 12,15407253 -2,731797365 23,84200745 -6,667205732 18,78357288 -87,58385502

CIH -93,19876071 129,3837392 -404,3029962 43,32995404 -87,58385502 3694,66999 On sait que : La variance pour deux actions est de: Var( aX+aY) = a² Var( X+Y) = a²[( Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)] La variance pour plusieurs actions est de: Var (a ATW+ a BMCE + a CDM+ a BCP + a BMCI + a CIH ) = a² * somme de la matrice des Var-Cov pures. La pondération est de : a = 1/6 = 0,1666 = 16,67% Alors : a² = 0,02777778

32

Donc :

� Variance du Portefeuille = 109,2706346 � Ecart type du Portefeuille = 10,45325952

En positionnant ce portefeuille sur la figure 10, on obtient la figure suivante : Figure 11 : Positionnement des portefeuilles sur la CML du marché bousier marocain

Source : Réalisé à l’aide de Microsoft Excel On observe que le portefeuille P Y domine notre portefeuille P Bank car pour un même niveau de rentabilité (E(Ri)= 2,09), il offre un risque inférieur de sigma= 5,3. Si notre portefeuille P Bank est dominé par le portefeuille P Y, il n’en est pas de même avec le portefeuille P X. Il est clair que le portefeuille P Bank domine le portefeuille X, car pour un même niveau de risque (sigma = 10,45), ce dernier qui se situe sur la CML donne moins de rentabilité (E(R PX) = 0,85. Ce qui est frappant ici est le fait que désormais on a notre disposition un portefeuille P Bank dominant un portefeuille se situant sur la frontière efficiente rectilinéaire de Sharpe (la CML). Chose qui est en forte contradiction avec l’essence même de la CML parce qu’on sait pertinemment qu’à l’équilibre la CML est supposée représenter les meilleurs couples « risque-rentabilité » pour les investisseurs. Ces couples ne devraient être dominés par aucun autre. Comment expliquer alors, une telle situation ? Soit « le marché n’est pas à l’équilibre », comme le dit les défenseurs du MEDAF, chaque fois qu’il y a une faille dans le modèle, ces derniers avancent l’argument selon lequel le marché n’est pas à l’équilibre. Mais de quel équilibre s’agit-il !! Soit les investisseurs n’ont pas les mêmes anticipations quand a la performance future des actions et aux risques, explication plus ou moins crédible. Soit les investisseurs ne composent pas leurs portefeuilles en se préoccupant seulement de l’espérance et de la variance des rentabilités de ceux-ci. A vrai dire, Il se peut que les

Moroccan CML

0,00

0,50

1,00

1,502,00

2,50

3,00

3,50

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

sigma

E(R

i)

P Bank

MASI

Rf

10,45

2,09

5,3

P Y

P X

0,85

33

investisseurs sur la bourse de Casablanca ont d’autres considérations dans la composition de leurs portefeuilles. On remarque que ces pistes explicatives sont proches de celles du non retour persistant des actions bancaires vers la SML. Rappelons ici, qu’on a cité que Merton et Bodie stipulent que même si chacun va s’efforcer de réaliser un portefeuille situé au dessus de la CML, « l’offre et la demande vont influer sur les prix des actifs de telle sorte que les portefeuilles réalisés vont tous se retrouver sur cette droite » ((Merton & Bodie, 2007, p. 386) Ce qu’ils ont dit est vrai et juste si et seulement si le système des prix élaboré par le MEDAF est vérifié en réalité. Dans la section précédente, on à montré que ce système des prix n’est pas vérifié dans le monde réel au moins pour le secteur bancaire de notre marché boursier marocain. 2.3 Le MEDAF et le coût des fonds propres On sait que pour estimer le cout des fonds propres, on peut faire appel à des modèles actuariels, notamment ceux de Gordon-shapiro et de Bates pour les sociétés de croissance. Albouy (2000) stipule que ces modèles souffrent de plusieurs lacunes. En premier lieu, ils nécessitent une anticipation juste et rigoureuse du taux de croissance futur de l’entreprise a long terme (le fameux g), il est clair qu’une telle opération dispose d’un aspect difficile et risqué. Ensuite, Il a eu le mérite de remarquer que ces modèles sont déconnectés des conditions du marché financier en ce qui concerne des variables telles que le taux d’intérêt sans risque , la prime de risque, etc. le cout des fonds propres calculé par ces modèles est peut être qualifié d’endogène dans le sens ou il dépend essentiellement de variables internes a la gestion de l’entreprise. En dernier lieu, ces modèles n’intègrent et ne contiennent pas la notion de risque. Le MEDAF permet d’éviter ces lacunes et d’offrir une méthode d’estimation du coût des fonds propres des entreprises cotées. L’idée fondamentale ici, est de considérer ce qui est rentabilité espérée sur un titre donné comme étant un coût exigé sur les fonds propres de l’entreprise émettrice de ce titre. Autrement dit, ce qui était considéré auparavant comme rentabilité espérée par le marché sur un titre est considéré ici comme coût exigé par le marché sur les fonds propres de l’entreprise. Ce coût va servir de référence pour les actionnaires, pour placer leurs capitaux dans l’entreprise, on peut valablement supposer qu’ils vont exiger au moins ce taux de rentabilité espéré par le marché sur l’entreprise. Albouy (2000), n’a pas manqué de signaler que « si le MEDAF est aujourd’hui conseillé pour calculer le coût des fonds propres, c’est parce qu’en l’état des connaissances, il est encore le moins mauvais des modèles et certainement le plus pratique d’emploi. » (p.183)

34

Ceci peut présenter une opportunité de développer d’autres modèles plus performants que le MEDAF et plus spécifiques a la matière d’estimation du coût des fonds propres. D’ailleurs, Albouy(2000) attire l’attention que le cout des fonds propres « doit être interprété comme signal donné a l’entreprise par le marché financier ».(p.184) Si il arrive que le coût des fonds propres soit supérieur à la rentabilité attendue des projets d’investissement, il sera fort bien nécessaire au dirigeant d’aviser les actionnaires du fait qu’il est indispensable de reporter l’investissement jusqu’au moment ou le cout des fonds propres sera inférieur à la rentabilité attendue des projets. Exemple illustratif : coût des fonds propres de BMCE Selon nos bases de données : Beta de l’action BMCE : βi= 0,56 Selon l’émission de mai 2009 le taux des bons de trésor pour une maturité d’un an est de : Rf =3,35% Le taux de rentabilité annuel espéré sur MASI est de 19,2 % Le cout des fonds de propres sera de : E (Ri)= Rf + βc( Em - Rf) = 3,35% + 0,56 ( 19,2% - 3,35% ) = 12,26 % Remarque : le beta de l’actif devient le beta capitaux propres: βi = βc

35

Chapitre 3 : Les extensions et les limites du MEDAF de base

36

CHAPITRE 3 : LES EXTENSIONS ET LES LIMITES DU MEDAF DE BASE

3.1 Les extensions du MEDAF Très restrictives sont les hypothèses d’origine du medaf. Ce constat a poussé plusieurs auteurs à étudier les conséquences sur le modèle du non respect de ces hypothèses. Il convient de signaler que les études portent sur une seule hypothèse a la fois. Dans ce chapitre on traitera les modèles suivants :

1. Modèle zero beta de black (1972) 2. Modèle avec taxes de breenan (1970) 3. Modèle prenant en compte l’inflation 4. Modèle basé sur la consommation : Consumption CAPM de breeden (1979) 5. Modèle en temps continu: Intretemporal CAPM de merton (1973) 6. Modèle international : MEDAF international de solnik (1974)

Parmi ces modèles, ceux qui présentent le plus d’intérêt sur le plan pratique selon le point de vue d’Amenc et le Sourd (2002) sont : Le Modèle zero beta de black (1972) Le modèle avec taxes de breenan (1970) Par conséquent donc, on va essayer de les traités d’une manière plus ou moins particulièrement détaillée. Alors que les autres modèles vont être traités d’une manière brève et concise. Modèle zéro beta de black 1972 Black a pu créer ce modèle en remettant en cause deux hypothèses du modèle d’origine : « L’existence d’un actif sans risque, et donc la possibilité de prêter ou d’emprunter a ce taux, ainsi que l’hypothèse d’un même taux pour le prêt et l’emprunt. » ( Amenc & Le sourd , 2002, p. 139) Pour l’élaboration se son modèle, black a remplacé l’actif sans risque par un portefeuille ou un actif de beta nul. De plus, il a considéré par analogie, qu’au « lieu de prêter et emprunter au taux sans risque, il est possible de prendre des positions a découvert sur les actifs risqués. La structure de raisonnement permettant d’aboutir à ce modèle est très proche de celle utilisée pour développer le modèle de base. » (Amenc & Le sourd , 2002, p.140) Il convient de signaler qu’un portefeuille de beta nul est rien d’autre qu’un portefeuille non corrélé avec le portefeuille de marché. Amenc et le Sourd (2002) supposent que « l’ont sait déterminer l’ensemble des portefeuilles de beta nul. Ces portefeuilles ont tous la même espérance de rendement E(Rz), puisqu’ils ont

37

tous le même risque systématique, a savoir beta égale a zéro. Parmi tous ces portefeuilles, un seul se trouve sur la frontière efficiente : il s’agit du portefeuille dont le risque est minimum. » (p.140) Figure 12 : Portefeuille de marché et portefeuille de beta nul

Source : Amenc & Le Sourd (2002) D’après ce graphique on observe deux portefeuilles sur la frontière efficiente : le portefeuille de marché M et le portefeuille de beta nul, désigné par Z, dont la variance est minimum. Il faut combiner ces deux portefeuilles pour avoir la frontière efficiente complète. Pour se faire, il est supposé qu’on investit x dans le portefeuille Z et (1-x) dans le portefeuille M. Démonstration6 : Soit : P : un portefeuille qui combine le portefeuille de marché et un portefeuille de beta nul.

x.E(Rm) Rz x)-(1 E(Rp) += Rz) -(Em w Rz -E(Rp) =

),().1(2)()()1()( 22222 RmRzCovxxEmxRzxRp −++−= σσσ

6 Certaines équations de cette démonstration sont tirées de l’ouvrage d’Amenc et Le sourd. Cependant, on a essayé d’expliciter les étapes de celle-ci en imputant d’autres équations. Par exemple, les équations intermédiaires expliquant le passage de E(Rp) à σ(Rp).

M

Z

E(Rp)

σ(Rp)

E(Rz)

38

Sachant que : mz

RmRzCovrho

σσ ∗= ),(

La relation de la variance devient :

)().(.)1(2)()()1()( 22222 mzrhoxxmxzxRp σσσσσ −++−= Puisque Z est un portefeuille de beta nul, c'est-à-dire non corrélé avec le portefeuille de marché, son coefficient d’autocorrélation avec le marché est nul ( rho (z,m) = 0)

)()()1()(

)()()1()(

2222

22222

mxzxRp

mxzxRp

σσσ

σσσ

+−=

+−=

Il faut chercher la pente de la tangente au point M coupant l’axe des ordonnées au point E(Rz). Cette pente est donnée par :

xRp

xRpE

Rp

RpE

∂∂∂∂=

∂∂

)(

)(

)(

)(

σσ

On calcule les dérivées partielles de l’espérance de rendement et du risque du portefeuille, soit :

)(2

)1(22)(

:

)()()(

22

Rp

xx

x

Rp

Et

RmERzEx

RpE

mZ

σσσσ −−

=∂

∂

−=∂

∂

Au point M, x=0 , σ(Rp) = σm donc :

)(

)()(

)(

)(

m

RzERmE

Rp

RpE

σσ−=

∂∂

Cette droite coupe l’axe des ordonnées au point E( Rz). Son équation s’écrit donc finalement :

)()(

)()()()( Rp

m

RzERmERzERpE σ

σ

−+=

Il est fondamental de préciser que l’équation ainsi établie est semblable dans sa forme a celle de la droite de marché (Capital Market Line) du modèle de base. C’est comme si la rentabilité de l’actif sans risque est remplacée par le rentabilité espérée du portefeuille de beta nul. Amenc et Le sourd notent « qu’il est maintenant possible de montrer que la rentabilité de tout actif risqué peut s’écrire a partir de la rentabilité du portefeuille zéro beta et de la rentabilité

39

du portefeuille de marché. on procède pour cela de la même façon que pour établir le MEDAF en présence d’un actif sans risque » ( 2002, p. 141) On sait que la pente de la frontière efficiente est de :

( )

2),(

)()()(

mmi

mRmERiE

σσσ

−−

Cette pente doit être égale a la pente de notre nouvelle droite de marché, soit :

)(

)()(

m

RzERmE

σ−

D’où :

( )

)(

)()(

),(

)()()(2 m

RzERmE

mi

mRmERiE

m σσσσ −=

−−

Ce qui donne:

( ))()(),(

)()(2

RzERmEmi

RzERiEm

−+=σ

σ

Sachant que:

2

),(

)var(

),cov(

m

mi

m

mii

σσβ ==

Alors : ( ))()()()( RzERmEiRzERiE −+= β Il devient clair que même dans l’absence d’un actif sans risque la forme du MEDAF est conservée. Ce modèle est qualifié du modèle à deux facteurs. Amenc et Le sourd (2002) stipulent que « La meilleure façon d’obtenir un portefeuille de beta nul, est d’associer des positions longues et des positions courtes sur les actifs, c'est-à-dire de procéder à des ventes a découvert sur les actifs. La construction de portefeuille de beta nul n’est donc possible que lorsque les ventes à découvert sont autorisées sans aucune restriction. » (p. 142) En réalité et généralement les restrictions existent sur les ventes à découvert. Amenc et Le sourd (2002) stipulent que même si cette version du MEDAF élargit le champ d’utilisation, elle n’apporte pas une solution touts azimuts.

40

Modèle avec taxes : version de brennan (1970) « Le modèle de base du CAPM suppose qu’il n’existe pas de taxe. L’investisseur est donc indifférent de recevoir un revenu en dividende ou en gain de capital, et les investisseurs détiennent tous le même portefeuille d’actifs risqués. Or, la taxation des dividendes et des gains en capitaux est en général différente, et ceci est susceptible d’influencer la composition du portefeuille d’actifs risqués des investisseurs. La prise en compte des taxes peut donc modifier les prix d’équilibre des actifs. » (Amenc & Le sourd, 2002, p. 142) En réponse a ce problème, Brennan « propose une version particulière du CAPM , qui montre que, pour un niveau de risque donné, une distribution généreuse en dividendes devra résulter en un rendement attendu d’autant plus élevé que la différence d’imposition entre dividendes et gain de capital est grande. » (Wouters , 2003, p.28-29) Brennan a formulé son modèle comme suit : [ ] )()()()( RfDiTRfDmTRfRmEiRfRiE −+−−−+= β

Avec : Tg

TgTdT

−−=

1

Où : Td : le taux moyen de taxation des dividendes Tg : le taux moyen de taxation des gains en capital Dm : le taux de dividende du portefeuille de marché Di : le taux de dividende de l’actif i Présentons cette formule d’une manière un peu différente : [ ])()()()( RfDmTRfRmEiRfDiTRfRiE −−−=−−− β Remarque : On se rend compte que cette formule est très semblable à celle du CAPM de base. En effet, Si Td = Tg on aura : T = 0 Et la formule devient :

( )))()( RfRmEiRfRiE −=− β Ceci correspond bien à la formule du modèle de base. « Les rentabilités de l’actif et du marché sont respectivement diminuées (ou augmentées si T est négatif) d’un terme proportionnel au taux de dividende et aux taxes. » (Amenc & Le sourd, 2002, p. 143) Ce qu’on peut retenir de ce modèle sur le plan pratique est ; comme l’a dit Amenc et Le sourd (2002) ; que les investisseurs peuvent valablement se permettre de chercher à éviter d’acheter

41

les actions versant un dividende élevé, Car plus le taux de dividende de l’actif i est élevé plus sa taxation est élevée. En se faisant, les investisseurs peuvent améliorer la rentabilité des portefeuilles après déduction des taxes. Amenc et Le sourd n’ont pas manqué de préciser que le risque de cette pratique est l’éloignement par rapport au portefeuille de marché, chose qui ne peut qu’augmenter le risque résiduel, spécifique qu’on aurait pu éliminer en s’alignant sur le portefeuille de marché. Modèle prenant en compte l’inflation « Ce modèle est un exemple simple de la généralisation du CAPM à plusieurs facteurs. On suppose ici que l’inflation est incertaine, ce qui constitue un facteur de risque supplémentaire, qui vient s’ajouter au facteur de risque de marché du modèle de base. Son équation est de :

( ) ( )RfRiEilRfRmEimRfRiE −+−=− )()()( ββ Où βil désigne la sensibilité du titre i au portefeuille de titres détenu pour couvrir le risque d’inflation et (E(Rl) –Rf) est la prime de risque d’inflation. » (Amenc & Le sourd, 2002, p. 144) Modèle basé sur la consommation : Consumption CAPM de breeden (1979) A vrai dire, il s’agit ici « d’un modèle multipériodique, mais qui s’éloigne du modèle de base puisque les rentabilités des actifs sont expliquées a l’aide du taux de croissance de la consommation, et non plus de la rentabilité du marché ». (Amenc et Le sourd, 2002, p.144) Sur chaque période t la rentabilité de l’actif i s’écrit :

ittiiit eCR ++= βα

Ou tC désigne le taux de croissance de la consommation.

C’est un modèle économétrique simple, il s’ensuit qu’on suppose vérifiées les fameuses hypothèses de la régression simple. Modèle en temps continu: Intretemporal CAPM de merton (1973) A partir de la présentation concise et singulière de ce modèle par Amenc et Le sourd (2002), on se rend compte qu’on peut présenter le MEDAF intertemporel d’une manière brève et concise.

42

A vrai dire, Il s’agit d’un modèle ou il est supposé qu’une variable d’état, entre autre, le taux d’intérêt sans risque, évolue d’une manière aléatoire au cours du temps. En l’espèce, Merton a eu le mérite de monter que les investisseurs composent leur portefeuille en le décomposant en trois fonds :

o L’actif sans risque o Le portefeuille de marché o Un troisième portefeuille, choisi de telle sorte que sa rentabilité soit corrélée

négativement et de façon parfaite (rho = -1 ) avec la rentabilité de l’actif sans risque La question qui se pose ici est : à quoi sert le 3ième portefeuille ? La réponse est en quelque sorte évidente, ce portefeuille avec rho= -1, ne peut qu’éliminer totalement le risque de variation non anticipée du taux d’intérêt sans risque. La rentabilité espérée d’un actif i à l’équilibre s’écrit alors :

))(())(()( 21 RfRERfRmERfRiE nfii −+−+= λλ

Avec :

2,

,,,2

2,

,,,1

1

:

1

mNF

mNFmiNFii

mNF

mNFNFimii

Et

ρβββ

λ

ρβββ

λ

−−

=

−−

=

Ou yx,β et mNF ,ρ sont définis de la façon suivante :

2,y

xyyx σ

σβ = et

mNF

mNfmNF σσ

σρ ,

, =

E( Rnf) est le taux de rentabilité espéré d’un portefeuille qui a une corrélation négative parfaite avec l’actif sans risque Rf. Tous les taux sont des taux continus instantanés. Remarque : si le taux sans risque n’est pas stochastique, ou s’il n’est pas corrélé avec le risque de marché, le troisième fonds disparaît. Si 0,, == mNFNFi ββ Alors: 02 =iλ et imi βλ =1

Il s’ensuit que :

( )RfRmEiRfRiE −+= )()( β On à rejoint alors, l’équation du CAPM de base, « sauf que les taux de rentabilité sont instantanés et que la distribution des rentabilités est log normale au lieu d’être normale.

43

Le modèle de Merton est une version multipériodique du CAPM, le fait de supposer que le taux sans risque est stochastique conduit a établir une version multifactorielle (appelée aussi multi beta) du CAPM. Un tel modèle peut être ensuite être généralisé pour prendre en compte d’autre source de risque extérieures au marché, le principe étant toujours de constituer un portefeuille de couverture pour chaque source de risque, et de déterminer la sensibilité des actifs a ces portefeuilles. » (Amenc & Le sourd, 2002, p. 144) Modèle international : MEDAF international de Solnik (1974) Ce modèle « peut être dérivé en supposant que chaque investisseur mesure la rentabilité et le risque dans sa propre monnaie et qu’il peut couvrir le risque de change par des contrats a terme ou par des opérations de prêt/emprunt. » (Jaquillat & Solnik, 2002, p. 136) A partir des écrits de Jaquillat et Solnik, on comprend que l’idée de base est que chaque investisseur doit détenir une combinaison de deux placements :

o l’actif sans risque (prêt a cout terme) dans sa propre monnaie o Le portefeuille de marché mondial, partiellement couvert contre le risque de change.

Jaquillat et Solnik (2002) stipulent que « ce portefeuille mondial est exactement le même pour tout investisseur quelle que soit sa nationalité. Il est couvert optimalement contre le risque de change. » (p. 137) Jaquillat et Solnik (2002) présentent ce modèle en énonçant que s’il y a k+1 pays, et que l’on choisit arbitrairement la monnaie du pays 0 pour mesurer les rentabilités, l’équation s’écrit comme suit :

[ ] kikiiff PRPRPRRRmEiRRiE ×++×+×+−+= γγγβ ........)()( 221100 Avec :

)(RmE : La rentabilité anticipée sur le portefeuille de marché mondial

0fR : Le taux sans risque en monnaie 0

1iγ à ikγ : les sensibilités de l’actif i à chacun des taux de change

1PR à kPR : les primes de risque sur chaque devise

« Pour tout actif dont la rentabilité n’est pas corrélée aux variations de change, et donc pour tous les actifs et portefeuilles couverts contre le risque de change, la relation du prix de risque se réduit à celle du Medaf classique. Si les marchés boursiers sont faiblement corrélés avec les taux de change, la relation classique reste valide. Sinon, il faut tenir compte des primes de risque de change. » (Jaquillat & Solnik, 2002, p. 137)

44

3.2 Les limites du MEDAF

La critique la plus célèbre est celle de Richard Roll en 1976. Ce dernier a montré que le véritable indice de marché applicable au MEDAF n'est pas un indice boursier, mais un indice de tous les actifs risqués dans l’économie.

Le marché, au sens du MEDAF, n'inclut donc pas seulement l'ensemble des actions mais également les actifs immobiliers, le capital humain et tous autres actifs corporels ou incorporels qui contribuent à l'ensemble des actifs risqués.

Roll nous indique que la relation du MEDAF impliquait que le portefeuille de marché était efficient au sens de Markowitz, c’est à dire au sens de moyenne-variance.

Il en a conclue que pour tester le MEDAF, il va falloir montrer que le portefeuille de marché était efficient. Or le vrai portefeuille de marché n’est pas observable, car il doit comprendre tous les actifs risqués de l’économie, y compris ceux qui ne sont pas négociés.

Amenc et Le sourd (2002) expliquent que « Les résultats des tests empiriques ne sont pas indépendants de l’indice choisi comme approximation du portefeuille de marché. Si ce portefeuille est efficient, on va conclure à la validité du MEDAF. Dans le cas contraire, on conclura que le modèle n’est pas valide. » (p.172)

Autrement dit, le test du MEDAF est très sensible au choix de l'indice représentatif du marché. Il en résulte que le test du CAPM en lui-même devient problématique, car il est fondé sur des variables qui sont difficilement observables (rendements anticipés).

Roll (1976) déduit que le véritable portefeuille de marché (qui inclut tous les actifs) est nécessaire pour tester le CAPM. Or la non observabilité de celui ci introduit un doute quant à la possibilité de tester le CAPM.

En définitive, « la critique de Roll ne signifie pas que le MEDAF est une théorie non valide, mais bien qu’elle est pratiquement impossible a tester rigoureusement. » (Cobbaut, 1994, p.254)

Que le portefeuille de marché soit efficient ou pas, une autre limite s’impose, il s’agit du fait que le MEDAF essaye d’expliquer les rentabilités des actions en se basant sur un et unique facteur qui est la rentabilité du portefeuille de marché. Réduire une réalité multidimensionnelle en une seule dimension s’avère dénué de toute crédibilité et relevant un caractère de naïveté. Peut être aux années 60, découvrir qu’il existe une variable explicative de la rentabilité des titres était une réalisation originale et inédite à l’époque.

45

CONCLUSION En premier chapitre, on à préciser que la CML caractérise le marché financier dans son ensemble. Ce qu’il faut retenir est le fait qu’à l’équilibre la CML représente les meilleurs couples « risque-rentabilité » pour tous les investisseurs, et par conséquent donc, elle à remplacer la frontière efficiente curvilinéaire de Markowitz. Même si chacun va s’entêter de réaliser un portefeuille situé au dessus de la CML, le fait de considérer que tous les investisseurs sont rationnels, parfaitement informés, averses au risque et partageant les mêmes prévisions des rentabilités et des risques futurs va les poussés à se comporter de la même manière en choisissant un portefeuille appartenant à la CML, c’est à dire on rejoint une situation ou tous les portefeuilles réalisées vont se trouver sur cette CML. Il convient de mettre l’accent sur le fait que ce sont les prix des actifs financiers qui se modifient de façon à ce que les portefeuilles réalisés se trouvent sur la CML. Cobbaut (1994) a remarqué que si cette dernière nous fournie toutes les combinaisons efficientes du portefeuille de marché et de l’actif sans risque, elle reste muette en ce qui concerne les prix et les rentabilités d’équilibre des actifs financiers individuels. L’équation de la SML nous renseigne que la prime de risque de la valeur i est fonction (linéaire) de sa seule covariance avec le marché. Ainsi on à eu une relation spécifiant la rentabilité de l’équilibre d’un actif financier i. On à conclue qu’en établissant la correspondance entre le modèle de marché et la Security Market Line, on déduit le MEDAF. Autrement dit, en remplaçant, le rapport de la covariance de Ri et Rm avec la variance du marché par le coefficient beta, on obtient l’équation du MEDAF (expression 1.12). A partir de cette équation du MEDAF, on à tiré le constat selon lequel la prime du risque espérée sur un titre est égale à la prime du risque de marché multiplié par le beta de ce titre. A vrai dire et comme il a si bien mentionné Cobbaut, l’équation du MEDAF nous fournie « une liaison organique simple entre l’évolution du marché boursier dans son ensemble et celle des titres individuels ». (1994, p. 202) Il est capital de signaler, que pour rendre opérationnel ce modèle il va falloir avoir la possibilité d’établir une prévision valable de l’évolution de l’ensemble du marché boursier, c'est-à-dire de Rm. L’équation du MEDAF nous permet de dire que la rentabilité espérée sur la valeur i est égale à la rentabilité de l’actif sans risque majorée de l’espérance de la prime de risque de la valeur i. cette dernière est obtenue par la multiplication de l’espérance de la prime de risque unitaire du marché ((E(Rm)- Rf) / σM ) et d’un coefficient qui mesure la contribution de la valeur i au risque total du portefeuille de marché. (Cobbaut, 1994) Si on remplace β par sa valeur dans l’expression (1.12), on obtient l’expression (1.13) qui est de :

46

m

mi

m

RfRmERfRiE

σσ),cov()(

)( ×−+=

La contribution de la valeur i au risque du portefeuille de marché est rien d’autre que la covariance d’un titre i avec le marché divisée par l’écart type du marché :

)(),()(

)()(),(

)(

),cov(imirho

m

mimirho

m

RmRi σσ

σσσ

==

En deuxième chapitre qui s’intéresse et met en relief les implications pratiques et les usages du MEDAF, Il faut retenir que deux conclusions intuitives peuvent être tirées, « l’une normative indiquant quelle politique de placement doit être suivie, l’autre descriptive indiquant la relation qui doit exister entre rentabilité et risque » (Jaquillat & Solnik, 2007, p. 133) La première conclusion qui est normative nous propose une méthode de gestion de portefeuille en deux étapes : La première étape est l’investissement dans le portefeuille de marché (incontestablement le mieux diversifié), car le risque spécifique n’apporte pas une rentabilité «anormale». La deuxième étape est de combiner ce portefeuille de marché avec l’actif sans risque : ceci permet de réduire le risque de notre portefeuille global pour un même niveau de rentabilité du portefeuille de marché. La répartition entre portefeuille de marché et actif sans risque se fait selon les préférences de chaque investisseur. La deuxième conclusion qui est descriptive nous décrit pourquoi seul le risque systématique est rémunéré par le marché. Les raisons est que « n’importe quel investisseur « naïf » peut facilement éliminer les risques spécifiques des titres en construisant un portefeuille bien diversifié. De tels risques qui peuvent être facilement évités ne doivent pas être rémunéré sur le marché. Par contre le risque systématique, ou risque de marché, ne peut être évité. » (Jaquillat & Solnik, 2007, p. 133-134) Concernant les usages du MEDAF, ce dernier peut être utilisé dans deux domaines bien distincts, a savoir, la gestion de portefeuille et l’estimation des coûts des fonds propres. Concernant les usages dans la gestion de portefeuille, Il existe deux principales formes d’utilisation, ces dernières peuvent être résumées comme suit :

1. Utilisation de la SML pour la sélection des titres. 2. Utilisation de la CML pour vérifier si le portefeuille activement géré n’est pas dominé

par un autre portefeuille combinant le portefeuille de marché et l’actif sans risque. Lors de la l’élaboration de la SML pour le marché boursier marocain (la Moroccan SML), on s’est heurté au résultat selon lequel cette SML est décroissante, ceci pose de doute sur la validité du MEDAF sur le marché boursier marocain. Une remise en cause de la validité du modèle serait néanmoins hâtive au moins à ce stade de la partie théorique. Lors du suivie des rentabilités des actions du secteur bancaire, on s’est rendu compte que ces dernières ne rejoint pas la SML. Et ce, d’une manière persistante.

47

Lors de l’élaboration de la CML pour le marché boursier marocain (la Moroccan CML), On à déduit que le portefeuille de marché représenté par MASI est totalement dominé par l’actif sans risque. Ce dernier offre une rentabilité de Rf =3,26 %, tandis que le MASI offre seulement une rentabilité de 1,76 %. Il en résulte qu’il existe une prime de risque de marché négative. Ceci nous a amené a s’interroger sur l’utilité d’investir dans le MASI pour avoir une rentabilité moyenne de 1,76 % tout en subissant un risque de 6,45 % alors que l’actif sans risque est largement plus rentable La réponse est qu’il n’y a aucune raison d’investir dans un portefeuille indexant le MASI, car ce dernier n’est pas efficient au sens de Markowitz, c'est-à-dire au sens moyenne-variance. Ainsi, on à démontré que le portefeuille de marché (MASI) est bien un portefeuille inefficient. Ce qui est frappant est qu’on a trouvé un portefeuille P Bank (portefeuille équipondéré des actions bancaires) dominant un portefeuille se situant sur la frontière efficiente rectilinéaire de Sharpe (la CML). Chose qui est en forte contradiction avec l’essence même de la CML parce qu’on sait pertinemment qu’à l’équilibre la CML est supposé représenter les meilleurs couples « risque-rentabilité » pour les investisseurs. Ces couples ne devraient être dominés par aucun autre. La décroissance de notre SML et la non optimalité de note CML, nous a poussé à admettre raisonnablement que soit le marché n’est pas a l’équilibre, soit les investisseurs ne partagent pas les mêmes prévisions des rentabilités futures, soit les investisseurs ne se comportent pas d’une manière permettant d’optimiser leur couple risque rentabilité, soit le MEDAF n’est pas le véritable processus générateur des rentabilités observés. Il est à rappeler que la question de validité n’a pas fait l’objet central de cette partie mais sera examiné soigneusement dans la partie empirique. Concernant les usages du modèle dans le domaine de l’estimation des coûts des fonds propres, il convient de citer ; a priori ; qu’il existe des modèles actuariels ; comme le modèle de Gordon-Shapiro et/ou de Bates (pour les sociétés de croissance) ; utilisés pour l’estimation du coût de ces fonds propres. Albouy (2000) stipule que ces modèles souffrent de plusieurs lacunes. En premier lieu, ils nécessitent une anticipation juste et rigoureuse du taux de croissance futur de l’entreprise a long terme (le fameux g). Ensuite, Il a remarqué que ces modèles sont déconnectés des conditions du marché financier en ce qui concerne des variables telles que le taux d’intérêt sans risque, la prime de risque. De plus, ces modèles n’intègrent et ne contiennent pas la notion de risque. Le MEDAF permet d’éviter ces lacunes et d’offrir une méthode d’estimation du coût des fonds propres des entreprises cotées et par conséquent donc, peut être considéré comme une alternative aux modèles actuariels. L’idée fondamentale ici, est de considérer ce qui est rentabilité espérée sur un titre donné comme étant un coût exigé par le marché sur les fonds propres de l’entreprise émettrice de ce titre.

48

Albouy (2000) précise que si le MEDAF est conseillé pour estimé le coût des fonds propres, «c’est parce qu’en l’état des connaissances, « il est encore le moins mauvais des modèles et certainement le plus pratique d’emploi. » (p.183) En troisième chapitre, il convient de garder a l’esprit que les hypothèses du MEDAF sont très restrictives, et c’est la chose qui a amené plusieurs économistes a élaboré plusieurs versions en réduisant les hypothèses. Brennan (1970) dans l’élaboration de son modèle avec taxes à abandonner l’hypothèse de la non existence de la fiscalité. L’idée de base est que la taxation peut influencer la composition du portefeuille d’actifs risqués des investisseurs. Elle peut même modifier les prix d’équilibre des actifs. Ce qu’on peut retenir de ce modèle sur le plan pratique est ; comme l’a dit Amenc et Le sourd (2002) ; que les investisseurs peuvent valablement se permettre de chercher à éviter d’acheter les actions versant un dividende élevé, Car plus le taux de dividende de l’actif i est élevé plus sa taxation est élevée. En se faisant, les investisseurs peuvent améliorer la rentabilité des portefeuilles après déduction des taxes. Amenc et Le sourd n’ont pas manqué de préciser que le risque de cette pratique est l’éloignement par rapport au portefeuille de marché, chose qui ne peut qu’augmenter le risque résiduel, spécifique qu’on aurait pu éliminer en s’alignant sur le portefeuille de marché. Black (1972) a monté son modèle Zero Beta en remettant en cause deux hypothèses du modèle d’origine, il s’agit de l’hypothèse de l’existence d’un actif sans risque et celle d’un même taux pour le prêt et l’emprunt. (Amenc & Le sourd , 2002) Pour l’élaboration de son modèle, black a remplacé l’actif sans risque par un portefeuille ou un actif de beta nul. De plus, il a considéré par analogie, qu’au « lieu de prêter et emprunter au taux sans risque, il est possible de prendre des positions a découvert sur les actifs risqués. La structure de raisonnement permettant d’aboutir à ce modèle est très proche de celle utilisée pour développer le modèle de base.» (Amenc & Le sourd , 2002, p.140) Il convient de signaler qu’un portefeuille de beta nul est rien d’autre qu’un portefeuille non corrélé avec le portefeuille de marché. Merton (1973) a élaboré un MEDAF intertemporel, Il s’agit d’un modèle ou il est supposé que le taux d’intérêt sans risque, évolue d’une manière aléatoire au cours du temps. En l’espèce, Merton a eu le mérite de monter que les investisseurs composent leur portefeuille en le décomposant en trois fonds :

� L’actif sans risque � Le portefeuille de marché � Un troisième portefeuille, choisi de telle sorte que sa rentabilité soit corrélée

négativement et de façon parfaite ( rho = -1 ) avec la rentabilité de l’actif sans risque L’utilité de ce troisième portefeuille est la possibilité d’élimination totale du risque de variation non anticipée du taux d’intérêt sans risque.

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Amenc et Le sourd (2002) ont souligné que « le modèle de Merton est une version multipériodique du MEDAF, le fait de supposer que le taux sans risque est stochastique conduit à établir une version multifactorielle (appelée aussi multi beta) du CAPM. » (p. 144) Solnik (1974) à élaboré un MEDAF international. Ce dernier «peut être dérivé en supposant que chaque investisseur mesure la rentabilité et le risque dans sa propre monnaie et qu’il peut couvrir le risque de change par des contrats a terme ou par des opérations de prêt/emprunt. » (Jaquillat & Solnik, 2002, p. 136) L’idée de base est que chaque investisseur doit détenir une combinaison de deux placements :

o l’actif sans risque (prêt a cout terme) dans sa propre monnaie o Le portefeuille de marché mondial, partiellement couvert contre le risque de change.

Jaquillat et Solnik (2002) stipulent que « ce portefeuille mondial est exactement le même pour tout investisseur quelle que soit sa nationalité. Il est couvert optimalement contre le risque de change. » (p. 137) Breeden (1979) dans son modèle basé sur la consommation à remplacé la variable explicative, «rentabilité de marché » par la variable, « taux de croissance de la consommation ».

50

Bibliographie

Albouy, M. (2000). Décisions financières et création de la valeur. Economica, paris.

Bibliographie

51

Amenc, N et Le sourd, V (2002). Théorie du portefeuille et analyse de sa performance. Economica, paris. Bernard, P. le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF). Université Paris-Dauphine, Ingénierie Economique et Financière. (En ligne). Adresse URL : http://www.master272.com/finance/capm/medaf.pdf Bourbonnais, R. (1993). Econométrie. Dunod, paris. Bourse de Casablanca. 2009. Bourse de Casablanca : Historique des cours et des indices. (En ligne). Adresse URL : http://www.casablanca-bourse.com/ Charreux, G. (2000). Gestion financière. Litec, 6ième édition, paris. Chabi, B. Applicabilité du Modèle d'Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF) aux marchés financiers africains: cas des actions côtés à la Bourse des Valeurs de Nairobi au Kenya. Mémoire de DEA, Université d'Abomey-Calavi, République du Bénin. (En ligne). Adresse URL : http://www.memoireonline.com Cobbaut, R (1994). Théorie financière. Economica, 3ième édition, paris. Dubois, M. et Girerd-Potin, I. (2001). Exercices de théorie financière et de gestion de portefeuille. De Boek Université, Bruxelles, Belgique. Grandin, P. (1998). La gestion de portefeuille d’actions. Nathan, Paris. Jaquillat, B. et Solnik, B. (2002). Marchés financiers : gestion de portefeuille et des risques., Dunod, Paris, 4ième édition. Mabdou, A. (2001). Gestion de portefeuille actions : élaboration des critères d’évaluation & sélection des titres. Mémoire de DESA non publiée, université Cadi Ayyad, Marrakech. Merton, R. et Bodie, Z. (2007). Finance., Nouveaux horizons, 2ème édition, paris. (Traduction par Thieberge, C.) Plihon, P. (2008). Les marchés financiers sont ils efficaces? Cahiers français, n° 345, 102-106, juillet-août 2008. Wouters, J (2003). Les dividendes, la fiscalité et les comportements opportunistes. Larcier, paris.