Modèle d'équilibre des actifs financiers MEDAF ( CAPM)

UCAM

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FSJES

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Master ès sciences économiques,

mention : Finance Appliquée.

Le Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers :

Cas d’ITISSALAT AL-MAGHRIB.

Othman GAGA Ahmed TARIB

Encadrés Par :

Pr B. MORCHID

Résumé : Le présent document est un support écrit d’une présentation faite sur le modèle d’équilibre des actifs

financiers (MEDAF) dans le cadre d’un cours portant sur la théorie avancée de portefeuille. En cela,

l’enchainement des informations sera présenté de manière succincte. On commencera par une présentation

détaillée tant des hypothèses que des soubassements théoriques du MEDAF. Cette étape sera nécessaire à une

meilleure compréhension des démonstrations mathématiques qui vont suivre. Dans le but de sortir du cadre

théorique, nous allons présenter une application tirée de la bourse de Casablanca. Et pour conclure, nous

allons présenter le modèle Fama-French qui est un modèle alternatif au MEDAF en vue de mettre en relief les

faiblesses et lacunes de ce dernier.

Section 1 : Hypothèses et soubassements théoriques.

une bonne compréhension des hypothèses ainsi que des fondements théoriques est nécessaire à une

bonne maîtrise d’un modèle. C’est dans cette optique que l’on va passer en revue les traits saillants

du socle théorique sur lequel repose le MEDAF1 (Treynor 1961,1962 ; Sharpe,1964 ; Lintner,1965 ;

Mossin, 1966)2.

Voici donc les hypothèses du MEDAF :

1. Les investisseurs sont qualifiés d’investisseurs efficients au sens de Markowitz : cela veut dire

que tous les investisseurs souhaitent cibler des points qui appartiennent à la frontière

efficiente. Cela dit, la location exacte de ces points dépendra de la fonction d’utilité

individuelle risque/rentabilité.

2. Les investisseurs peuvent prêter et emprunter n’importe quelle somme d’argent au taux sans

risque (RFR3) : s’il est ordinaire de concevoir que l’on puisse prêter au taux RFR, il est en

revanche difficile d’imaginer que l’on puisse aisément emprunter à ce taux. En fait, cette

hypothèse vise à simplifier l’analyse. L’absence de cette supposition n’altère que très

légèrement les résultats du modèle.

3. Les investisseurs ont les mêmes anticipations : ceci revient à dire que l’ensemble des

investisseurs sur le marché anticipent les rentabilités futures avec les mêmes distributions de

probabilité. Là aussi, l’absence de cette hypothèse est sans conséquences du moment où

l’écart des anticipations n’est pas trop vaste.

4. Les investisseurs ont le même horizon temporel : cette hypothèse a pour but de standardiser

l’analyse. L’horizon temporel peut être d’une durée d’un an, six mois, un mois etc.

5. Le marché est sans friction : c’est-à-dire qu’il n’y a ni coût de transaction ni taxes. Cette

hypothèse insinue aussi une condition de CPP. Elle constitue le talon d’Achille du modèle.

Effectivement, Il semble clairement que les marchés financiers sont loin d’être en condition

de CPP, de surcroît un niveau de coûts de transactions ou de taxes élevé peut altérer

sensiblement les résultats du modèle.

6. Les investissements sont infiniment divisibles : ce qui signifie que l’on peut acheter ou vendre

une fraction d’action ou de portefeuille. Cette hypothèse est d’ordre mathématique dans la

mesure où elle permet la continuité des courbes.

7. Il n’y a ni inflation ni changement de taux d’intérêt : il convient de souligner que quand on

parle de l’actif sans risque, on fait souvent allusion aux obligations d’Etat. Ces dernières sont

les titres les moins risqués sur les marchés, mais elles ne sont pas dépourvues de risque pour

autant. En effet, deux types de risque persistent à savoir le risque de taux et le risque

d’inflation. Et si l’on fait l’hypothèse de l’absence de l’inflation (i.e. inflation totalement

anticipée) ainsi que de la constance des taux d’intérêt, les obligations d’Etat constitueront

des actifs sans risques en bonne et due forme.

8. Le marché est en équilibre : cela signifie que les actifs ont des prix qui reflètent leur niveau

de risque. En d’autres termes, le marché évalue correctement les actifs.

1 Traduction subjective du Capital Asset Pricing Model CAPM

2 Ces auteurs ont travaillé indépendamment à l’élaboration du MEDAF.

3 Risk-Free Rate

Avant d’aller plus loin, il est nécessaire de s’arrêter sur la notion de l’actif sans risque. En fait, celle-ci

joue le rôle de pierre angulaire qui lie entre le modèle de Markowitz et le modèle de Marché pour

aboutir au MEDAF. En théorie, le taux d’actif sans risque est défini comme étant le taux de croissance

anticipé de l’économie à long-terme corrigé par la liquidité à court-terme. De façon plus concrète,

l’actif sans risque est un actif qui a un écart-type nul et qui dispose par la même occasion d’une

corrélation nulle avec les actifs risqués.

Maintenant, voyons voir que va-t-il se passer si on constitue un portefeuille qui combine entre l’actif

sans risque est un actif risqué. La rentabilité de ce portefeuille sera égale à :

𝐸 𝑅𝑝 = 𝜔𝑅𝑓𝑅𝑓 + (1 −𝜔𝑅𝑓)𝐸 𝑅𝑖

Avec :

𝐸 𝑅𝑝 : rentabilité espérée du portefeuille

𝜔𝑅𝑓 : portion allouée à l’actif sans risque

𝑅𝑓 : rentabilité de l’actif sans risque

𝐸 𝑅𝑖 : rentabilité de l’actif risqué.

Maintenant, nous allons déterminer le risque de ce portefeuille. Pour simplifier, nous allons

commencer par le calcul de la variance :

𝜎𝑝2 = 𝜔𝑅𝐹

2 𝜎𝑅𝑓2 + (1 −𝜔𝑅𝑓)2𝜎𝑖

2 + 2𝜔𝑅𝑓(1 −𝜔𝑅𝑓)𝜌𝑖,𝑟𝜎𝑅𝑓𝜎𝑖

Puisque l’actif sans risque a une variance nulle (𝜔𝑅𝐹2 𝜎𝑅𝑓

2 = 0) et que sa corrélation 𝜌𝑖 ,𝑟 avec les actifs

risqués est également nulle (2𝜔𝑅𝑓 1 −𝜔𝑅𝑓 𝜌𝑖 ,𝑟𝜎𝑅𝑓𝜎𝑖 = 0). La variance du portefeuille devient

donc égale à :

𝜎𝑝2 = (1 −𝜔𝑅𝑓)2𝜎𝑖

2

Et par conséquent, l’écart-type sera comme suit :

𝜎𝑝 = (1 −𝜔𝑅𝑓)𝜎𝑖

On peut facilement déduire qu’il existe une relation linéaire entre le risque du marché et le risque de

l’actif risqué.

𝜎𝑖

𝐸 𝑅𝑖

(

𝑅𝑓

A

B

𝐹 𝐸

Figure 1.1 : Relation entre la Frontière efficiente est

l’actif sans risque

Insérons maintenant dans notre analyse la frontière efficiente de Markowitz. Le segment RF-A, dans

la figure 1.1, renseigne sur les possibilités d’investissement résultant d’une combinaison entre l’actif

sans risque et le portefeuille risqué A. En cela, RF-A est appelé ligne de possibilité d’investissement.

En comparant RF-A à RF-B, on constate qu’à chaque niveau de risque (mesuré par 𝜎𝑖 ) la rentabilité

offerte par les second dépasse le premier. On dira donc que RF-B domine RF-A.

La ligne d’investissement qui domine toute les autres lignes est la droite RF-M. D’après la figure 1.2,

on constate que la ligne la plus élevée est en situation de tangence avec la frontière efficiente. La

droite RF-M est appelée droite du marché ou encore CML4.

La condition de tangence suppose que le portefeuille M doit inclure tous les actifs risqués. Et

puisque le marché est en équilibre5, les actifs risqués doivent être inclus eu égard à leur valeur sur le

marché. En faisant cela le Portefeuille M ne contiendra plus de risques inhérents aux actifs

individuels. Seul le risque systématique persistera. Ainsi, le portefeuille M est dit portefeuille du

marché6. Le risque systématique est souvent attribué à une variabilité des actifs causée par des

facteurs macroéconomiques qui sont de nature exogène aux marchés financiers.

4 Capital Market Line

5 Hypothèse N°8.

6 Voir le modèle de Markowitz.

𝐸(𝑅𝑝𝑓 ) La droite

du marché

𝑅𝑓

𝜎𝑝𝑓 Figure 1.2 : La tangence entre la droite du marché et la frontière

efficiente

Une rentabilité supérieure à celle de M est envisageable. En fait, au lieu d’investir dans l’actif sans

risque, les investisseurs vont emprunter au taux RFR7. Prenons un exemple pour mettre au clair cette

idée, supposons que l’on a : 𝑅𝑓 = 6% 𝑒𝑡 𝐸 𝑅𝑀 = 12% . Supposons aussi que l’investisseur va

emprunter 50% de sa richesse, 𝜔𝑅𝑓 va être négative. En faisant le calcul nous allons trouver :

𝐸 𝑅𝑝 = −0,5𝑅𝑓 + 1,5𝐸 𝑅𝑀

𝐸 𝑅𝑝 = 15%

Le risque de ce portefeuille va être égal à :

𝜎𝑝 = (1 − 𝜔𝑅𝑓)𝜎𝑀

𝜎𝑝 = 1,5𝜎𝑀

Et ainsi, pour obtenir une rentabilité de 15%, l’investisseur doit supporter un risque plus élevé que le

marché de l’ordre de 50%. Il est à préciser que le point, appartenant à la CML, qui correspond à cet

investissement est 18% (1,5𝐸 𝑅𝑀 ). Cela dit, l’investisseur doit rembourser son emprunt (−0,5𝑅𝑓 ),

d’où le positionnement de 15% sur la frontière efficiente. De façon plus générale, la figure 1.2 peut

être segmentée en deux zones : la première va se situer à gauche de M et va correspondre à une

situation de prêt tandis que la seconde va se situer à droite de M et va correspondre à une situation

d’emprunt.

7 Hypothèse N°2.

𝜎𝑀

Risque Total

Risque

systématique

𝜎𝑝𝑓

Nombre d’actifs dans le PF

Risque

spécifique

Figure 1.3 : L’élimination du risque

spécifique via la diversification

𝐸(𝑅𝑝𝑓 ) CML

𝑅𝑓

𝜎𝑝𝑓

Emprunt

Prêt

Figure 1.4 : Zone de prêt et zone d’emprunt

Afin de conclure cette section, nous allons présenter le théorème de séparation (Tobin, 1958) en

guise de récapitulation. Ce théorème fait la supposition qu’un investisseur, au moment d’investir,

émet deux décisions parfaitement distinctes. Sachant que les investisseurs sont des IEM8, ils

choisiront forcément le portefeuille M pour la simple raison qu’il offre la ligne d’investissement la

plus élevée, c’est ce qu’on appelle la décision d’investissement. Pour satisfaire leurs préférences

pour le risque, les investisseurs vont prêter ou emprunter pour atteindre leur position de risque

préférée tout au long de la droite du marché, cette décision est qualifiée de décision financière.

Le prêt ou l’emprunt renseigne sur le profil de l’investisseur en matière de risque. En effet, selon le

MEDAF, les investisseurs qui sont plus averses au risque (risquophobes) sont des prêteurs alors que

ceux qui sont prêts à prendre plus de risque pour battre le marché sont des emprunteurs

(risquophiles). L’idée sous-jacente du théorème de séparation est que l’on soit risquophobe ou

risquophile, on est amené à faire la même décision d’investissement. Ce n’est que notre décision

financière qui va nous situer sur la droite du marché en fonction de notre préférence pour le risque.

Maintenant que l’on a étudié les tenants et aboutissants du MEDAF, il est plus facile de passer à la

démonstration de la formule que l’on représentera via deux méthodes.

8 Hypothèse N°1.

Section 2 : Démonstrations mathématiques.

Le MEDAF peut être démontré par deux méthodes, la première se base sur l’analyse théorique

effectuée lors de la section précédente, elle est appelée démonstration de Sharpe. La deuxième

découle directement de la résolution d’un lagrangien.

Nous allons commencer par la démonstration de Sharpe parce qu’elle est en liaison avec la section

précédente. Pour une combinaison entre un portefeuille C et le portefeuille du marché M, on aura9 :

𝐸 𝑅𝐶 = 𝑋𝐸 𝑅𝑖 + (1 − 𝑋)𝐸 𝑅𝑀

𝜎𝐶2 = 𝑋2𝜎𝑖

2 + 1 − 𝑋 2𝜎𝑀2 + 2𝑋 1 − 𝑋 𝜌𝑖 ,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀

On sait désormais que le portefeuille M est en situation de tangence avec la droite du marché.

Mathématiquement, cela implique que les courbes de la CML et de la frontière efficiente au point M

sont identiques :

La pente de la CML : 𝜎𝑀−0

𝐸 𝑅𝑀 −𝑅𝑓

La pente de la frontière efficiente au Point M : 𝑑𝜎𝑐𝑑𝑋

𝑑𝐸 𝑅𝑀

𝑑𝑋

𝑀

Calculons la deuxième pente :

𝑑𝜎𝑐𝑑𝑋

= 2𝑋𝜎𝑖

2 − 2𝜎𝑀2 + 2𝑋𝜎𝑀

2 + 2𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀 − 4𝑋𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀

2 𝑋2𝜎𝑖2 + 1 − 𝑋 2𝜎𝑀

2 + 2𝑋 1 − 𝑋 𝜌𝑖 ,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀

𝑑𝐸 𝑅𝑀

𝑑𝑋= 𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖

Quand la richesse est totalement investie dans le portefeuille M, La valeur de X est nulle. Ce qui nous

donne :


= 2𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀 − 2𝜎𝑀

2

2 𝜎𝑀2

La pente de la frontière efficiente au Point M, devient donc :


𝑑𝐸 𝑅𝑀 𝑑𝑋

=𝜌𝑖 ,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀 − 𝜎𝑀

2

𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖 𝜎𝑀

En égalisant les deux pentes, nous obtenons :


𝑑𝐸 𝑅𝑀 𝑑𝑋

=𝜎𝑀

𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓

9 X correspond à la somme allouée au portefeuille C.

Et donc,

𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀 − 𝜎𝑀2

𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖 𝜎𝑀=

𝜎𝑀𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓

𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀 − 𝜎𝑀2

𝜎𝑀2 =

𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖


𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀

𝜎𝑀2 − 1 =

𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖


On sait que10 :

𝜌𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀

𝜎𝑀2 =

𝑐𝑜𝑣(𝑖,𝑀)

𝑣𝑎𝑟(𝑀)= 𝛽

On aura alors :

𝛽 − 1 =𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖


𝛽 − 1 𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓 = 𝐸 𝑅𝑀 − 𝐸 𝑅𝑖

D’où la formule du MEDAF :

𝐸 𝑅𝑖 = 𝑅𝑓 + 𝛽(𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓)

Passons maintenant à la méthode directe:

Supposons que l’on a un portefeuille composé de 𝑋0 l’actif sans risque et 𝑋𝑖 d’actifs risqués. Ce

portefeuille aura une rentabilité anticipée 𝐸 𝑅𝑝 et un risque 𝜎𝑝2 :

𝐸 𝑅𝑝 = 𝑋0𝑅𝑓 + 𝑋𝑖𝐸 𝑅𝑖

𝑛

𝑖

Et

𝜎𝑝2 = 𝑋𝑖𝑋𝑗𝜎𝑖𝑗

𝑛

𝑗

𝑛

𝑖

Le problème à optimiser s’annonce comme suit :

min 𝑋𝑖𝑋𝑗𝜎𝑖𝑗

𝑛

𝑗

𝑛

𝑖

𝑠. 𝑐:

𝑋0 + 𝑋𝑖 = 1

𝑛

𝑖

𝑋0𝑅𝑓 + 𝑋𝑖𝐸 𝑅𝑖 = 𝐸 𝑅𝑝

𝑛

𝑖

10

Voir le modèle de marché de W. Sharpe

Afin de faciliter le calcul, nous allons combiner les deux contraintes en une seule :

𝑋0 = 1 − 𝑋𝑖 ⇒ (1 − 𝑋𝑖 )

𝑛

𝑖

𝑅𝑓 + 𝑋𝑖𝐸 𝑅𝑖 = 𝐸 𝑅𝑝

𝑛

𝑖

𝑛

𝑖

⇒ 𝑋𝑖 (

𝑛

𝑖

𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑓) = 𝐸 𝑅𝑝 − 𝑅𝑓

Ainsi nous pouvons facilement reformuler le programme sous forme matricielle :

min𝑋 𝑋′𝑉𝑋

s.c 𝑋′𝐸 = 𝐸 𝑅 − 𝑅𝑓

avec :

𝑋: le vecteur colonne (𝑋1 ,𝑋2 ,… ,𝑋𝑛) et 𝑋′ son transposé

𝑉: la matrice covariance

𝐸: Le vecteur colonne (𝐸 𝑅1 − 𝑅𝑓 ,𝐸 𝑅2 − 𝑅𝑓 ,… ,𝐸 𝑅𝑛 − 𝑅𝑓)

Le lagrangien peut s’écrire de la façon suivante :

𝐿 = 𝑋′𝑉𝑋 − 𝜆 𝑋′𝐸 − 𝐸 𝑅 − 𝑅𝑓

La condition du premier ordre est :

𝜕𝐿

𝜕𝑥= 2𝑋𝑉 − 𝜆𝐸 = 0 ⇒ 𝑋 =

𝜆

2𝐸𝑉−1

Il convient de signaler que 𝑋 =𝜆

2𝐸𝑉−1 est une solution pour un seul investisseur, l’agrégation de

celle-ci est formulée ainsi :

𝑋 = 𝑀

M désigne le portefeuille du marché. En sachant que 𝐸𝑉−1 est une constante pour l’ensemble des

investisseurs, on aura :

𝑀 = 𝜆𝑀𝐸𝑉−1 ⇒ 𝐸 =

1

𝜆𝑀𝑀𝑉

Pour un actif i :

(a) 𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑓 = 1

𝜆𝑀𝜎𝑖,𝑀 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜎𝑖,𝑀 = 𝑐𝑜𝑣(𝑖,𝑀)

Pour le portefeuille M :

(b) 𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓 = 1

𝜆𝑀 𝜎𝑀

2

(a)/(b) nous donne :

𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑓

𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓=

1𝜆𝑀

𝜎𝑖,𝑀

1𝜆𝑀

𝜎𝑀2

⇒ 𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑓 =𝜎𝑖,𝑀

𝜎𝑀2 (𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓)

⇒ 𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑓 = 𝛽 𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓

D’où la formule du MEDAF :

𝐸 𝑅𝑖 = 𝑅𝑓 + 𝛽(𝐸 𝑅𝑀 − 𝑅𝑓)

Les deux démonstrations, ainsi faites, vont nous faciliter la tâche de l’interprétation du modèle qui

sera l’objet de la section suivante.

Section 3 : Interprétations du MEDAF.

L’élément essentiel à prendre en ligne de compte quand on veut évaluer le risque d’un actif est la

covariance de celui-ci avec le portefeuille du marché11. La présentation graphique de ce état de fait

sera donc comme suit :

La SML12 est à ne pas confondre avec la droite du marché. En fait, la SML peut être

appréhendée comme étant l’output du MEDAF. D’après ce dernier, la rentabilité espérée est la

somme du RFR et de la prime de risque du marché corrigée par beta. Ce qui nous mène à énoncer les

remarques suivantes :

L’investisseur n’acceptera que des rentabilités supérieures à celle du RFR de la part des actifs

du marché.

Si le beta et supérieur à l’unité, l’investisseur exigera une prime de risque supérieure à celle

du marché.

Si le beta est inférieure à l’unité, l’investisseur acceptera une prime de risque inférieure à

celle du marché.

Ces trois remarques nous interpellent sur le rôle de beta. Ce dernier est un outils de mesure de

volatilité dans le sens où il permet d’ajuster la prime de risque du marché en fonction du degré de

volatilité de l’actif. Généralement, les actions dont le beta est inférieur à l’unité sont qualifiées

d’actions défensives de par leur robustesse. En revanche, les actions dont le beta est largement

supérieur à l’unité sont souvent qualifiées d’actions cycliques qui amplifient les réactions du marché.

11

Voir le modèle de marché de W. Sharpe 12

Security Market Line

𝐸 𝑅𝑖

𝛽 1

𝐸(𝑅𝑀)

𝑅𝑓

Actions sous-

évaluées

Actions

surévaluées

SML

Figure 3.1 : droite de la SML

Le MEDAF suppose que les rentabilités de tous les titres devraient appartenir à la SML13. Ce qui est

loin d’être le cas, puisque les marchés financiers sont dans une situation de déséquilibre quasi-

permanente. Ainsi, les rentabilités effectivement réalisées se disperseront autour de la SML. On aura

alors deux cas de figure (figure 3.1) :

La différence entre la rentabilité réalisée sur le marché et la rentabilité attendue est

positive : les estimations des investisseurs sont inférieures à la rentabilité du marché. On

peut avancer que les investisseurs sous-estiment l’actif en question.

Dans le cas inverse, nous serons dans un contexte de surestimation de l’actif.

Ce différentiel est appelé alpha ex-post ou alpha de Jensen. Un alpha positif (négatif) signifie une

sous-estimation (surestimation) de l’actif.

Afin d’étayer ces propos, nous allons s’appuyer sur l’illustration suivante :

En se référant à l’alpha des actifs, les actions C et E sont sous-estimées par le marché. Il est donc

recommandé d’acheter ces titres. Les actions B et D sont en revanche surestimées, il convient de les

vendre quitte à procéder à une vente à découvert si la stratégie de l’investisseur est agressive.

Cependant, le MEDAF ne peut pas se prononcer sur l’action A puisqu’elle est très près de la SML. On

ne sait donc pas si elle est sous-estimée ou surestimée.

Maintenant que l’on sait que préconise le MEDAF en matière d’investissement, nous allons passer à

l’étude effectuée sur ITISSALAT-AL MAGHRIB.

13

Hypothèse N°8.

𝐸 𝑅𝑖

𝛽 1

𝑅𝑀

𝑅𝑓

A D

B

E

C

Figure 3.2 : sous-estimation et surestimation.

Section 4 : Etude empirique.

Il est à noter que cette étude ne prétend en aucun cas une précision totale. En effet la finalité de

celle-ci est plutôt de donner une idée sur l’application du MEDAF en pratique. Les résultats obtenus

sont donc à relativiser.

Notre choix a porté sur l’action d’ITISSALAT AL-MAGHRIB14 parce qu’elle est l’une des actions les plus

liquides sur le marché. Ainsi, nous éviterons les problèmes afférents au non trading. Le portefeuille

du marché sera représenté par l’index MASI15. Le fait qu’il inclut l’ensemble des actions de la BVC le

rend plus proche du portefeuille du marché théorique comparativement au MADEX16. Bien

évidemment, le choix du MASI n’est qu’une approximation très relative du portefeuille du marché

théorique, puisque ce dernier présente une diversification plus large qui s’étend au niveau

international et qui touche à tous les actifs risqués qu’ils soient financiers ou pas (Titrisation, œuvres

d’art…). A titre d’exemple, les investisseurs choisissent souvent l’indice S&P500, au niveau de la

NYSE17, comme benchmark. En ce qui concerne l’actif sans risque, au niveau international, on prend

souvent des obligations d’Etat telles que les T-bills aux Etats-Unis ou les Gilt en Grande-Bretagne.

Pour le cas du Maroc nous avons choisi le bon de trésor de 56 semaines au taux de 3.40%.

Les données utilisées sont puisées du site de la bourse des valeurs de Casablanca. Les résultats sont

générés par le logiciel EViews6.

Maintenant nous allons spécifier le modèle à régresser, on sait que :

(4.1) 𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + 𝛽 𝐸(𝑅𝑀 − 𝑅𝑓)

Et donc,

(4.2) 𝑅𝑖𝑡 − 𝑅𝑓 = 𝛽(𝑅𝑀𝑡 − 𝑅𝑓)

La rentabilité sera exprimée par la méthode Log-Return, on aura alors :

(4.3) 𝐿𝑜𝑔 𝑃𝑖 ,𝑡

𝑃𝑖 ,𝑡−1 − 𝑅𝑓 = 𝛽(𝐿𝑜𝑔

𝑃𝑀 ,𝑡

𝑃𝑀 ,𝑡−1 − 𝑅𝑓)

Le taux 𝑅𝑓 dont on dispose est annuel tandis que les données sont journalières. On doit donc

procéder à une transformation de ce taux, ce qui nous donne18 :

(4.4) 𝐿𝑜𝑔 𝑃𝑖 ,𝑡

𝑃𝑖 ,𝑡−1 − ( 1 + 𝑅𝑓

240 − 1) = 𝛽(𝐿𝑜𝑔 𝑃𝑀 ,𝑡

𝑃𝑀 ,𝑡−1 − ( 1 + 𝑅𝑓

240 − 1))

14

Maroc Télécom, tricker : IAM 15

Moroccan All Shares Index 16

Moroccan Moste Active Shares Index 17

New York Stock Exchange 18

240 correspond au nombre de jours ouvrables en moyenne.

Nous allons estimer deux modèles :

(4.5) 𝐸𝑅𝑖𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑃𝑅𝑀𝑡 + 𝜀𝑡

(4.6) 𝐸𝑅𝑖𝑡 = 𝛽𝑃𝑅𝑀𝑡 + 𝜀𝑡

Avec :

𝐸𝑅𝑖𝑡 = 𝐿𝑜𝑔 𝑃𝑖,𝑡

𝑃𝑖,𝑡−1 − ( 1 + 𝑅𝑓

240 − 1)

𝑃𝑅𝑀𝑡 = 𝐿𝑜𝑔 𝑃𝑀 ,𝑡

𝑃𝑀 ,𝑡−1 − ( 1 + 𝑅𝑓

240 − 1)

𝐸𝑅𝑖𝑡 exprime l’excès de rentabilité du titre i à l’instant t tandis que 𝑃𝑅𝑀𝑡 est la prime de risque du

marché à l’instant t. 𝛼 est l’alpha ex-post de Jensen et 𝜀𝑡 le terme d’erreur. Pour le cas d’Itissalat Al-

Maghrib nous aurons19 :

(4.7) 𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼𝑡 + 𝜀𝑡 où 𝑡 = 1,2,3…… ,934

(4.8) 𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 𝛽𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼𝑡 + 𝜀𝑡 où 𝑡 = 1,2,3…… ,934

Nous avons pris les données relatives à l’évolution du cours de IAM du 01/12/05 au 01/12/09, soit

934 observations. D’après le graphique, on constate que ces données sont fortement non

stationnaires :

De même que pour l’index MASI :

19 L’excès de rentabilité du Masi exprime la prime de risque du marché

80

100

120

140

160

180

200

220

100 200 300 400 500 600 700 800 900

IAM

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

100 200 300 400 500 600 700 800 900

MASI

A l’aide de la transformation Log-Return, les excès de rentabilité seront stationnaires, même si les

cours ne le sont pas :

En procédant à la régression, nous avons obtenu les résultats suivants :

Dependent Variable: ERIAM

Method: Least Squares

Date: 12/20/09 Time: 23:04

Sample (adjusted): 2 993

Included observations: 992 after adjustments Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

ERMASI 0.788139 0.030883 25.52006 0.0000

R-squared 0.396256 Mean dependent var 0.030857

Adjusted R-squared 0.396256 S.D. dependent var 1.356213

S.E. of regression 1.053791 Akaike info criterion 2.943673

Sum squared resid 1100.481 Schwarz criterion 2.948612

Log likelihood -1459.062 Hannan-Quinn criter. 2.945551

Durbin-Watson stat 1.918309

On constate que le beta est largement significatif. On peut donc avancer que le proxy ERMASI

explique bien l’excès de rentabilité de l’action IAM :

(4.9) 𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 0.79 𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼𝑡

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

100 200 300 400 500 600 700 800 900

ERIAM ERMASI

Maintenant nous allons voir quelle sera la réaction de beta (0.79) en cas de changement de l’horizon

temporel. En passant d’une série quotidienne à une série hebdomadaire, le nombre d’observations

pour la même durée est de 203 :

On constate que les deux graphiques20 montrent une certaine présence de l’effet week-end. On

remarque aussi que le passage à des séries hebdomadaires n’a pas pu éludé la non stationnarité.

Nous allons maintenant ajuster le modèle aux séries hebdomadaires, on aura donc :

(4.10) 𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑆𝐼𝐴𝑀𝑡

𝐷𝑆𝐼𝐴𝑀 𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

51 − 1) = 𝛽(𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑆𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡

𝐷𝑆𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

51 − 1))

20

FS (DS) dénote le cours de la fin (début) de semaine.

80

100

120

140

160

180

200

220

80

100

120

140

160

180

200

220

25 50 75 100 125 150 175 200

FSIAM DSIAM

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

25 50 75 100 125 150 175 200

FSMASI DSMASI

Le modèle s’écrira alors :


Avec :

𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑆𝐼𝐴𝑀𝑡

𝐷𝑆𝐼𝐴𝑀 𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

51 − 1)

𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼 = 𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑆𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡

𝐷𝑆𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

51 − 1)

Les résultats obtenus sont les suivants :



Date: 12/19/09 Time: 11:33



ERMASI 0.752164 0.071313 10.54734 0.0000

R-squared 0.353445 Mean dependent var -0.139107






Le modèle peut être écrit de la façon suivante :

(1.1) 𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 0.75 𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼𝑡

le beta est toujours significativement différent de zéro. Ajoutons aussi que la valeur de beta a baissé

( de 0.79 à 0.75).A présent, Nous allons élargir davantage l’horizon temporel pour voir si cette

tendance va se confirmer. Pour la même durée, nous disposons désormais de 48 observations21 :

21

DM (FM) dénote le cours du début (fin) de mois

A l’instar de la deuxième régression, le modèle doit être ajusté :

(1.2) 𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑀𝐼𝐴𝑀𝑡

𝐷𝑀𝐼𝐴𝑀𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

12 − 1) = 𝛽(𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑀𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡

𝐷𝑀𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

12 − 1))


Avec :

𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑀𝐼𝐴𝑀𝑡

𝐷𝑀𝐼𝐴𝑀𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

12 − 1)

𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼𝑡 = 𝐿𝑜𝑔 𝐹𝑀𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡

𝐷𝑀𝑀𝐴𝑆𝐼 𝑡 − ( 1 + 𝑅𝑓

12 − 1)

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

2006 2007 2008 2009

DMMASI FMMASI

80

100

120

140

160

180

200

220

80

100

120

140

160

180

200

220

2006 2007 2008 2009

FMIAM DMIAM

Les rentabilités de IAM et MASI ainsi que de l’actif sans risque se présentent comme suit :

Quand la courbe (RIAM) passe au-dessous de l’actif sans risque22 (RFM),un placement dans ce

dernier devient plus rémunérateur que la rentabilité offerte par IAM. Et Inversement pour le cas où

RIAM passe au-dessus de RFM.

Les résultats de la régression sont comme suit :



Date: 12/19/09 Time: 01:06

Sample: 2005M12 2009M11

Included observations: 48 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

ERMASI 0.740684 0.117982 6.277920 0.0000







Là aussi beta est largement significatif. On constate aussi une légère baisse (0.75 à 0 .74)

22

RFM est un taux mensuel.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

2006 2007 2008 2009

RIAM RMASI RFM

Analyse des résultats :

Nous avons spécifié deux modèles : l’un avec un alpha ex-post et l’autre sans. Le but étant de vérifier

si le MEDAF sous-estimait ou surestimait l’action IAM. A travers les trois régressions effectuées23, on

remarque que ledit alpha n’est pas significatif. Ce qui revient à dire que les actions IAM sont

proprement évaluées par le marché.

En changeant l’horizon temporel, nous avons pu constater que le beta variait d’un horizon à l’autre.

0.79 0.75 et 0.74 respectivement pour les données quotidiennes, hebdomadaires et mensuelles. Ces

résultats montrent que pour le cas d’IAM, il existerait une relation négative moins que

proportionnelle entre le beta et l’horizon temporel. En d’autres termes, plus l’horizon temporel est

large et moins le beta sera élevé. Notre résultat rejoint un bon nombre de travaux réalisés à ce sujet.

Citons à titre d’exemple Reilly & Right (1988) et Statman(1981). Face à cette instabilité, quel est

l’horizon temporel qui reflète la valeur correcte de beta ?

Sur le plan théorique, il n’y a aucune recommandation quant au choix de l’horizon temporel. Cela

dit, rares sont ceux qui travaillent avec des données quotidiennes. Par exemple, Merrill Lynch et

Pierce, Fenner & Smith utilisent des données mensuelles tandis que Value Line prône plutôt des

données hebdomadaires. Et donc pour un même titre nous pouvons trouver plusieurs valeurs de

beta.

Les auteurs précités24 ont montré que la valeur de beta variait non seulement avec l’horizon

temporel mais aussi avec la taille de l’entreprise. En effet, en cas de données hebdomadaires, les

grandes capitalisations (le cas d’IAM) pâtissent d’un beta plus élevé qu’en cas de donnés mensuelles.

Et inversement pour les petites capitalisations. Cet état de fait demande bien sûr une généralisation

pour le cas de la bourse de Casablanca.

Enfin, le fait que IAM soit proprement évalué25 par la BVC renseigne à bien des égards sur la situation

de cette dernière. En effet, ces résultats sont logiques vu l’absence de certains types d’investisseurs

tels que les hedge funds qui exercent un effet perturbateur sur les cours ou les petits porteurs26

(boursicoteurs) qui perturbent eux-aussi les cours via l’effet mimétisme. En effet, la présence des ces

derniers entrainent l’incorporation du bruit (Black,1986) dans le processus de formation des cours.

Ce qui tend à aplatir la droite SML et par conséquent entraine la disparition de la relation entre beta

et la rentabilité. Bien évidemment, cela demande aussi une généralisation au niveau de toutes les

actions de la bourse de Casablanca.

23

Voir annexes 24

Reilly & Right (1988) et Statman(1981) 25

Les betas sont significativement différents de zéro. 26

Ce type d’investisseurs existe mais à un petit nombre.

Section 5 : Modèle de FAMA-FRENCH Vs MEDAF.

Quand on cherche à vérifier la validité d’un modèle, il ne faut pas le juger à travers ses hypothèses

mais plutôt par la façon dont il explique les relations existantes dans la réalité. En cela, nous avons

jugé plus judicieux de confronter le MEDAF avec un autre modèle tel que celui de FAMA-FRENCH.

La clé de voûte du MEDAF est le beta qui est supposé avoir une relation positive et linéaire avec la

rentabilité (représentée par la SML). Toutefois, est-ce que cette relation existe vraiment ?

Des travaux anciens tels que ceux de Black, Jensen & Scholes (1971) ont étudié la relation entre

l’excès de rentabilité de certains portefeuilles et le beta, les résultats obtenus confirmait la présence

d’une relation positive et linéaire entre ces deux derniers. Cependant, l’article le plus fameux à ce

sujet est sans conteste celui de Fama & French (1992) qui a été surnommé depuis « The beta is

dead ». selon les résultats de cet article, la relation entre beta et la rentabilité a complètement

disparu depuis 1963.

En effet, d’autres facteurs entrent en jeu quant à la détermination du risque. Ces facteurs là sont des

anomalies des marchés financiers qui portent directement atteinte à la théorie d’efficience. On peut

citer à titre d’exemple l’effet de taille que l’on a abordé lors de l’analyse des résultats de l’étude

empirique. Il y aussi l’effet PER qui départagent entre deux types d’actions : les actions de

croissance(PER élevé) et les actions de valeur (PER faible). Les premiers offrent une forte rentabilité

assortie d’un risque élevé dont une majeure partie n’est pas prise en compte par le beta. Et donc,

Outre la volatilité, les investisseurs exigent une rentabilité supérieure des actions à petite

capitalisation ainsi que des actions à PER faible. Ainsi, l’effet de taille et l’effet PER ont une relation

inverse avec la rentabilité. Ajoutons à cela, le ratio Book-Value Market-value qui a une relation

positive avec la rentabilité. Et qui s’avère être un bon estimateur des rentabilités futures (Roserberg,

Reid & Lanstein ; 1988).

Fama et French, ont étudié tous ces facteurs pour établir un modèle qui tiendrait en compte les

anomalies du marché. Ils ont commencé par effectuer des tests uni-variés à chacun de ces facteurs.

Les résultats de ces tests ont montré que seul le beta était non significatif. De plus, les test multi-

variés ont montré que l’effet de capitalisation devenait plus robuste avec l’introduction des autres

facteurs, de même pour le Book-to-market value. Ce dernier engloberait l’impact de l’effet PER et de

l’effet de levier financier.

A la lumière de ces résultats, un modèle nommé modèle à trois facteurs a été proposé par ces deux

chercheurs :

𝑟 = 𝑟𝑓 + 𝛽3 𝑘𝑀 − 𝑟𝑓 + 𝑏𝑠𝑆𝑀𝐵 + 𝑏𝑣𝐻𝑀𝐿

Avec :

𝑘𝑀 : indice du marché

SMB : « Small Minus Big »

HML : « High Minus Low »

SMB est un portefeuille qui mesure l’écart entre la rentabilité réalisées par les petites capitalisations

et celles réalisées par les grandes capitalisations. Idem pour le HML qui mesure l’écarte de rentabilité

entre les actions de valeur et les actions de croissance. Ici, le 𝛽3 est analogue à celui du MEDAF.

Cependant il perd de son ampleur à cause de l’introduction des deux autres facteurs. Remarquons

aussi l’absence de la notion de portefeuille du marché, 𝑘𝑀 dénote un simple indice.

Le modèle à trois facteurs de Fama-French connaît une ascension considérable parmi les

professionnels des marchés financiers. Des études ont montré qu’il expliquait 90% de la rentabilité

des portefeuilles diversifiés contre 80% seulement pour le MEDAF. De surcroit, on assiste

actuellement à l’instauration de nouveaux index qui se basent sur ledit model.

A notre sens, le modèle à trois facteur est certes plus compliqué, mais force est de constater qu’il est

plus adéquat en matière d’évaluation de la rentabilité des portefeuilles. Il ne serait pas donc

inimaginable de voir un jour le MEDAF céder le pas au modèle à trois facteurs ou bien à un modèle

amélioré de ce dernier.

Références :

Articles :

Fama, Eugene F.; French, Kenneth R. (1992). "The Cross-Section of Expected Stock Returns".

Journal of Finance 47 (2): 427–465

Fischer Black, Michael Jensen, and Myron Scholes, “The Capital Asset Pricing Model: Some

Empirical Tests,” in Studies in the Theory of Capital Markets, ed. Michael Jensen (New York:

Praeger, 1972).

Fischer Black.(1986) "noise". Journal of finance 41 (3) : 529-543

Frank K. Reilly and David J. Wright, “A Comparison of Published Betas,” Journal of Portfolio

Management 14, no. 3 (Spring 1988): 64–69.

Laxims Chand Bhandari.(1988) "Debt/Equity Ratio and Expected Common Stock Returns: Empirical

Evidence", Journal of Finance 43 (2) : 507–528.

Meir Statman, “Betas Compared: Merrill Lynch vs. Value Line,” Journal of Portfolio Management

7, no. 2 (Winter 1981): 41–44.

William F. Sharpe and Guy M. Cooper, “Risk-Return Classes of New York Stock Exchange

Common Stocks: 1931–1967,” Financial Analysis Journal 28, no. 2 (March–April 1972): 46–54.

Ouvrages :

Brealy Myers “Principles Of Corporate Finance“ 7th Edithion. The McGraw-Hill company (2003)

Christine Brentani “Portfolio Management in Practice ‘’ Elsevier Butterworth-Heinemann (2004)

Frank K. Reilly and Keith Brown “Investment Analysis And Portfolio Managment“ 7th Edition.

Thompson (2008)

Annexes : Régressions du modèle : 𝐸𝑅𝐼𝐴𝑀𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑅𝑀𝐴𝑆𝐼𝑡 + 𝜀𝑡

Données quotidiennes :



Date: 12/20/09 Time: 00:42



C -0.017332 0.033524 -0.517018 0.6053

ERMASI 0.789041 0.030944 25.49920 0.0000






F-statistic 650.2094 Durbin-Watson stat 1.918670

Prob(F-statistic) 0.000000

Données hebdomadaires :



Date: 12/18/09 Time: 22:57



C -0.118156 0.153688 -0.768807 0.4429

ERMASI 0.751416 0.071395 10.52484 0.0000

R-squared 0.355298 Mean dependent var -0.144469







Données mensuelles :



Date: 12/19/09 Time: 00:35

Sample: 2005M12 2009M11

Included observations: 48 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.266657 0.709823 -0.375667 0.7089

ERMASI 0.747842 0.120590 6.201514 0.0000








Modèle d'équilibre des actifs financiers MEDAF ( CAPM)

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