Bernard P ARZYSZ

Bernard P ARZYSZ

SUIVI DE

GLMMES NATURELLES

par yves Hellegouarch

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Teacutel (1) 3313405

Musique et mathematique (Parzysz B) - APMEP 1984 - ndeg 53

Nonobstant toute lexpeacuterience que je pouvais mecirctre acquise dans la musique pour lavoir pratiqueacutee pendant une assez longue suite de temps ce nest cependant que par le secours des matheacutematiques que mes ideacutees se sont deacutebrouilleacutees et que la lumiegravere y a succeacutedeacute agrave une certaine obscuriteacute dont je ne mapercevais pas auparavant

Jean-Philippe RAMEAU


AVANT-PROPOS

Cette brochure est une synthegravese de plusieurs brochures et articles anteacuterieurs (publieacutes principalement par lAPMEP lIREM de Paris-Sud et les Cahiers peacutedagogiques) remanieacutes et compleacuteteacutes

Elle comporte neacuteanmoins plusieurs parties ineacutedites ainsi quune eacutetude dYves Hellegouarch () sur les gammes naturelles qui complegravete en quelque sorte la premiegravere partie en se placcedilant du point de vue le plus geacuteneacuteral

On y trouvera eacutegalement un certain nombre dencadreacutes destineacutes (pour la satisfaction des curieux ou du moins je lespegravere) agrave donner des preacutecisions sur tel point preacutecis sans nuire agrave la continuiteacute du deacuteveloppeshyment

Jai essayeacute de preacutesenter les choses de la faccedilon la plus eacuteleacutementaire possible en pensant au lecteur qui nest pas familiariseacute avec la theacuteorie musicale (mais celui qui le voudra pourra bien sucircr sauter les encadreacutes correspondants)

Bonne lecture

BP

() Que je remercie ici pour ses preacutecieux avis


SOMMAIRE

Introduction p 7

Premiegravere partie les eacutechelles musicales p 11

I -Le son p 12 II - Les intervalles 14 p III - Les notes p 16 IV - Les eacutechelles pythagoriciennes p 16 V - La transposition p 40 VI - Laccord parfait majeur p 41 VII - Leacutechelle de Zarlino 42 p VIII - Laccord parfait mineur p 44 IX - Le tempeacuterament eacutegal p 44

Deuxiegraveme partie Notre eacutechelle tempeacutereacutee p 57

I - Notation 58 p II - Une approche possible dans le Premier cycle p 60 III - Les tonaliteacutes majeures p 63 IV - Les transpositions p 63 V - Tonaliteacutes majeures voisines p 64 VI - Les tonaliteacutes mineures p 66 VII - Notes modalesmiddot notes tonales p 68 VIII - Relativiteacute et voisinage p 69 IX - Les noms des intervalles p 70 X - Conclusion p 72

Troisiegraveme partie Quelques proceacutedeacutes imitatifs du contrepoint p 73

I -Diagramme meacutelodique p 74 II - Transposition p 74 III - Renversement 77 p IV - Reacutecurrence 78 p V -Un groupe de Klein p 78 VI - Proceacutedeacutes voisins p 79

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Quatriegraveme partie Aperccedilus sur le XXe siegravecle p 83

I - Les attaques contre la tonaliteacute p 84 II -Le dodeacutecaphonisme p 86 III - A la recherche des modes agrave transpositions limiteacutees p 91 IV - Plus pregraves de nous p 100 V - Recircvons un peu p 102

Annexe Petit meccano seacuteriel numeacutero 00 p 108

Liste des Encadreacutes p 124

Bibliographie p 125 et p 158

Gammes naturelles par Yves Hellegouarch p 127

Index des termes musicaux p 159

Index des noms de personnes p 161

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INTRODUCTION

Les matheacutematiques sont la plupart du temps enseigneacutees hors de toute reacutealiteacute comme si elles se suffisaient agrave elles-mecircmes On a mecircme limpression quelles sont agrave peu pregraves sans objet ailleurs quen cours de matheacutematiques (sauf- parfois- en physique) Dans le meilleur des cas on les considegravere comme destineacutees agrave former un esprit logique (rocircle autrefois deacutevolu au latin) et dans le pire comme un instrument de seacutelecshytion scolaire (rocircle eacutegalement deacutevolu autrefois au latin) Cest pourquoi il serait bon de faire ressortir chaque fois que cela est possible les applicashytions des matheacutematiques dans le monde qui nous entoure En quelque sorte de les mettre en situation

Une telle deacutemarche nous amegravene alors agrave aborder dautres domaines que celui des matheacutematiques pures cest-agrave-dire agrave faire de linterdiscishyplinariteacute Voilagrave le mot est lacirccheacute Il est vrai que linterdisciplinariteacute est devenue une des tartes agrave la cregraveme de la peacutedagogie actuelle Tout le monde en parle mais peu la pratiquent en fin de compte Je voudrais ici donner un exemple dune possibiliteacute de coordination entre deux discishyplines que lon a peu loccasion de faire se rencontrer les matheacutematiques et la musique

Les eacutelegraveves qui arrivent dans le Second cycle ont eu de la sixiegraveme agrave la troisiegraveme une heure hebdomadaire de musique (tout au moins theacuteoriqueshyment) Certains sont eacutelegraveves dune eacutecole de musique certains possegravedent une guitare Quant aux autres rares sont ceux qui ne se sentent concershyneacutes par aucune espegravece de musique (ne vivons-nous pas agrave legravere de laudioshyvisuel ) Il y a donc lagrave un terrain que lon peut exploiter du point de vue qui nous occupe ici

En effet la musique en tant quart possegravede son propre langage avec ses regravegles (son vocabulaire sa syntaxe) et ceci mecircme chez les peuples dits primitifs (contrairement agrave une opinion reacutepandue) Parmi ceux qui se sont frotteacutes de pregraves ou de loin au domaine de la musique un certain nombre se sont certainement poseacute des questions du genre

- Pourquoi y a-t-il sept noms de notes

- Pourquoi y a-t-il douze touches par octave sur le clavier du piano et douze cases par octave sur le manche de la guitare

-Pourquoi les diegraveses se succegravedent-ils dans lordre FA DO SOL etc et les beacutemols dans lordre inverse

- Pourquoi en solfegravege apprend-on que Sol diegravese et La beacutemol sont deux notes diffeacuterentes alors quelles correspondent agrave une mecircme touche du piano une mecircme case de la guitare un mecircme doigteacute de la flucircte Pourquoi les cases de la guitare sont-elles de plus en plus petites agrave mesure que lon descend sur le manche

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- Est -ce la mecircme gamme est utiliseacutee dans tous les pays du monde

Etc etc

Ces questions et dautres encore peuvent faire lobjet dune concershytation entre le matheux et le musicien agrave condition que lun et lautre en aient envie Car cest bien lagrave quest le problegraveme la tendance naturelle serkit au contraire de se replier sur soi-mecircme de vivre en autarshycie au sein de son eacutetablissement A la rigueur discute-t-on boulot avec les collegravegues de la mecircme discipline ou de disciplines voisines (mathsphysique geacuteographiesciences eacuteconomiques ) mais cela ne va guegravere plus loin Et qui pourrait sen offusquerTout ce qui sort de la routine demande un tel une telle somme de travail que beaushycoup heacutesitent pensant que le jeu nen vaut pas la chandelle

Et pourtant ce sont justement ces heures dans un climat celui la classe habituelle alors que

est en situation de recherche et que les maths montrent peuvent servir agrave autre chose quagrave faire des

marquent durablement les eacutelegraveves

Admettons donc que veuille se lancer dans une collaboration Il nest pas du tout neacutecessaire que lenseignant de musishy

que soit bon matheux les musiciens soient en geacuteneacuteral des gens qui sous des dehors artistes ont la tecircte bien faite) Au conshytraire mecircme il pourra les excegraves de son collegravegue Par contre il est souhaitable de matheacutematiques ait des notions sur le sujet veut aborder avec son collegravegue sans pour cela ecirctre neacutecessairement musicien lui-mecircme Bibliographie) De toute faccedilon la concertation entre les deux permettra de cerner le problegraveme et de mettre en œuvre une

Le tableau de la page 10 indique des possibiliteacutes de collaboration entre la musique et les que la physique la musique est fondeacutee sur le son ne loublions pas) Il ne preacutetend pas eacutepuiser le sujet mais montrer comment chaque discipline peut senrichir gracircce agrave lautre En loccurrence la musique fournit ici le terrain et les matheacutematiques loutil

La musique napparaicirct plus alors comme un eacutedifice tout construit immuable (Cest comme ccedila et pas autrement) Au contraire les pheacuteshynomegravenes musicaux deviennent compreacutehensibles on voit par exemple se succeacuteder dans cette approche historico-matheacutematique les lentes meacutetashymorphoses de la gamme qui na que depuis peu atteint cette (ultime ) perfection (meilleur rapport qualiteacutecomplexiteacute) On aborde ici la musique par la base en recommenccedilant les expeacuteriences des Grecs sur la division dune corde vibrante celles des Chinois sur les tuyaux sonores en mesurant les longueurs successives des cases sur le manche dune guishytare pour chercher agrave en tirer des conclusions quant agrave la nature de la gamme sur laquelle est fondeacutee la musique que peut jouer linstrument A partir de ces travaux pratiques les matheacutematiques pourront entrer en jeu pour mettre un peu dordre et permettre daller plus loin De plus

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elles permettront de relier certains pheacutenomegravenes dordre musical agrave dautres rencontreacutes ailleurs les quatre formes fondamentales du thegraveme dune fugue agrave certaines transformations geacuteomeacutetriques la structure de leacutechelle tempeacutereacutee agrave celle du cercle trigonomeacutetrique la transposition agrave laddition Dautre part le fait que la somme des intervalles correspond au produit des freacutequences pourra servir dintroduction aux logarithmes

Pour la musique un des inteacuterecircts dune telle entreprise reacuteside justeshyment dans le fait que les problegravemes musicaux y sont abordeacutes sous un eacuteclaishyrage diffeacuterent ce qui peut permettre agrave des eacutelegraveves qui auraient eu des diffishyculteacutes dans une approche plus traditionnelle de (re)partir du bon pied ou agrave dautres qui regardaient la musique de haut la consideacuterant comme quelshyque chose de tout agrave fait irrationnel de voir quelle aussi a sa logique mecircme si celle-ci nest pas apparente degraves labord Il appartiendra alors au professeur de musique dentraicircner plus loin ces nouveaux convertis de les emmener vers le domaine de lart

Nous avons deacutejagrave eacutevoqueacute quelques-uns des inteacuterecircts que peut preacutesenshyter pour les maths une telle coordination application agrave un nouveau domaine de connaissances anteacuterieures mais aussi approche de notions nouvelles Aspect qui peut se reacuteveacuteler motivant pour certains eacutelegraveves non scientifiques qui reacutepugnent agrave faire des maths pour les maths (pour le plaisir) Au professeur de matheacutematiques alors dexploiter ces points de deacutepart et den chercher de nouveaux en sollicitant au besoin des conshycertations avec dautres disciplines et en prenant garde alors agrave meacutenager les susceptibiliteacutes Car degraves quils voient intervenir les matheacutematiques dans dautres disciplines certains nheacutesitent pas agrave parler dimpeacuterialisme des maths Alors quen reacutealiteacute il faut au contraire y voir le fait que les maths constituent en loccurrence un outil au service des autres disciplishynes comme ce fut leur vocation degraves le deacutepart Dailleurs parle-t-on dimpeacuterialisme du franccedilais alors que celui-ci constitue le support de prashytiquement toutes les matiegraveres

Il faut donc que le professeur de matheacutematiques ne se preacutesente pas en conqueacuterant deacutecideacute agrave tout reacutegenter Mais avec un peu de bonne volonteacute de part et dautre on apprendra agrave mieux se connaicirctre et partant agrave sappreacutecier Enfin dans cette entreprise commune les deux disciplines apporteront chacune leur speacutecificiteacute propre et lensemble en sera valoshyriseacute Nest-ce pas ainsi quil doit en ecirctre de toute union si lon veut quelle soit heureuse

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THEME MUSIQUE MATHEMATIQUES Icirc

PHYSIQUE JCorde vibrante Tuyau

1 sonore Harmoniques bull Les harmoniques bull Les Pythagoriciens et la bull Exemples dutilisation des notion de nombre harmoniques sur certains bull La fraction 32 Multipli-

Echelle instruments cation division et encadre-de bull Les intervalles doctave et ment de fractions par des

Pythagore de quinte entiers bull La gamme chinoise bull Utilisation de calculatrices (Asie Europe Ameacuterique) programmables (le cycle bull Les noms des notes des quintes) bull Les modes grecs

Echelle bull Lintervalle de tierce de bull Fractions (suite)

Zarlino bull Laccord parfait son origine (polyphonie)

bull La transposition neacutecesshy bull Geacuteniale simpliciteacute de la siteacute et difficulteacutes dans les solution de Werckmeister deux systegravemes preacuteceacutedents bull Les freacutequences des notes bull Diffeacuterents essais des 16bullshy bull Approximation des eacutechelshy

Le 17bull siegravecles les anteacuterieures tempeacuterament bull Autres tempeacuteraments

eacutegal eacutegaux la gamme des solshyfegraveges certaines eacutechelles exotiques la gamme par tons

bull La structure (tons du son en musique (porteacutee bull Leacutecriture de la hauteur

demi-tons) de la gamme clefs notes) majeure 1bull Les tonaliteacutes majeures et bull La notation chiffreacutee (anashymineures logie avec une numeacuteration agrave

base 12)bull Les tonaliteacutes voisines bull Lordre des diegraveses et des bull Simpliciteacute de la transposhybeacutemols

LES TONALITEacuteS sition ( = addition) bull Le disque transpositeur analogie avec le cercle trigonomeacutetrique bull Recherche des tonaliteacutes voisines

bull Le contrepoint la fugue bull Transposition et groupe LART DE origine principes Exemples de Klein LA FUGUE de diverses eacutepoques

bull La dissolution de la bull Etude statistique dœuvres tonaliteacute historique des lSe 19e et 20bull s (chromatisme polytonaliteacute (freacutequence de chacune des

12 notes)) bull La musique seacuterielle naisshy bull Les 48 formes de la seacuterie LE (toujours le groupe de Klein) sance principes (analogie DODEacuteCAshy avec ceux de la fugue) bull Chiffrage dune partitionPHONISME bull Exemples de recherche de seacuterielle et recherche de la la seacuterie de base et de ses seacuterie diverses formes agrave partir de bull Chiffrage des diffeacuterentes la partition formes de la seacuterie et

recherche dans la partition chiffreacutee

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1 LES EacuteCHELLES MUSICALES

Quest-ce que nos principes naturels sinon nos principes accoutumeacutes

PASCAL

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I LE SON

La musique est lart des sons dit Adolphe Danhauser (1835-1896) au deacutebut de sa Theacuteorie de la musique Mais dabord quest-ce quun son

Ce mot deacutesigne en fait tout mouvement vibratoire de lair lorsquil est perccedilu par loreille En tant que pheacutenomegravene vibratoire on peut donc appliquer au son le theacuteoregraveme de Fourier

Tout mouvement peacuteriodique de freacutequence f peut ecirctre deacutecomposeacute en lfl somme de mouvement sinusoiumldaux de freacutequences J 2f 3J etc

Or dans le domaine qui nous occupe ici un son deacutetermineacute par un mouvement sinusoiumldal sappelle un son pur Le theacuteoregraveme devient alors Un son de freacutequence f peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant de la supershyposition de sons purs de freacutequences J 2J 3J etc

Un son musical est caracteacuteriseacute par 3 eacuteleacutements (outre sa dureacutee) 1) hauteur elle est lieacutee agrave la freacutequence Pour quun son soit un

vrai son (cest-agrave-dire audible) il faut que sa freacutequence soit comprise entre 20 et 20 000 herz environ (1 herz = 1 vibration par seconde) en dessous on est dans le domaine des infra-sons et au-dessus dans celui des ultra-sons

2) intensiteacute elle est lieacutee agrave lamplitude maximale du mouvement vibratoire Le seuil daudibiliteacute dun son deacutepend eacutegalement de son intenshysiteacute Pour quun son soit perccedilu il faut quil exerce sur loreille une presshysion dau moins 2 x w-s Newtonm2

bull

3) timbre il est lieacute agrave la deacutecomposition du son en seacuterie de Fourier de sons purs Ces sons purs sont appeleacutes les harmoniques du son consishydeacutereacute (le son de freacutequence nf est le ne harmonique le 1er harmonique sappelle le fondamental)

(Voir Encadreacute 1 Avec trois trous)

Le timbre deacutepend des numeacuteros et de lamplitude relative des harmoshyniques perccedilus

Dans ce qui suit nous ne nous inteacuteresserons quaux hauteurs des sons plus preacuteciseacutement nous identifierons deux sons de mecircme freacutequence cest-agrave-dire quun son sera pour nous un reacuteel strictement positif (nous ne distinguerons pas non plus en theacuteorie les sons audibles de ceux qui ne le sont pas) Et reacuteciproquement nous admettrons quagrave tout reacuteel strictement positif f correspond un son

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Encadreacute 1

Avec trois trous

Majeur ndex

~--- ~ tPouce e Trou bouclleacute

OTrou ouvert

fondamental

bull bull 0

secte eshy

2 +1 1 Qg

0

l bull

l l lr l f e

-e-1~ ocirc0 0

Q

1 1 bull a 0 0 ert te

1 1

Le galoubet provenccedilal (joueacute de la main gauche par le Tambourishynaiumlre en saccompagnant du tambour) est une flucircte agrave bec tregraves ingeacutenieuse munie seulement de trois trous pour les doigts Il y a 4 doigteacutes de base obtenus en deacutebouchant successivement les trous de bas en haut Pour chacun de ces doigteacutes on obtient en soufflant de plus en plus fort la seacuterie des harmoniques jusquau ndeg 4 5 ou 6

Voyez ci-dessus ce que lon obtient avec un galoubet en Do()

Lensemble des sons obtenus est donc

2 $ q6- o~middot~

il bullo- ~e~eP-1 f sons usuels

Comme on le constate on peut sur un tel instrument jouer dans deux tonaliteacutes Do Majeur et Sol Majeur ()

() Pour leacutecriture des sons voir Encadreacute 8 () Pour les tonaliteacutes voir page 63

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II LES INTERVALLES

Lappreacuteciation des eacutecarts entre deux sons est reacutegie par la loi de WEBER loi psycho-physiologique qui appliqueacutee au domaine auditif dit que loreille est sensible non aux diffeacuterences mais aux rapports de freacutequences des sons Ceci nous conduit agrave poser la relation suivante dans lensemble (R)Z des couples de sons

f f(ft fz) R (f3 fJ = ~ = _1_

ft f3 Il est immeacutediat que R est une relation deacutequivalence

Les classes modulo R sont appeleacutees intervalles

Consideacuterons lune de ces classes pour tout couple (flgt f2) de la

classe le rapport 1z_ de la freacutequence du 2e son agrave celle du premier est le ft

mecircme cest un reacuteel (strictement positif) k Il y a eacutevidemment bijection entre lensemble des intervalles et R De plus tout intervalle admet un repreacutesentant (unique) dont le premier eacuteleacutement est 1 ce repreacutesentant est (1 k) Nous noterons Ik lintervalle correspondant et J lensemble des intervalles

J = [Ik kER

lk = [(f kf) fER

Remarques

a) 11 est lensemble des couples (f f) nous appellerons cet intervalle lunisson bien que des musiciens traditionnels refusent encore agrave lunisson le statut dintervalle

b) Si k gt 1 alors la freacutequence du second son de chaque couple est supeacuterieure agrave celle du premier son On dit que lintervalle Ik est ascendant

De mecircme si k lt 1 lintervalle Ik est dit descendant

c) Les musiciens additionnent les intervalles ce qui nous conduit agrave poser que la bijection canonique k 1--- Jt deR sur J est en fait un isoshymorphisme de (R x ) sur (J + ) Ceci nous megravene donc au groupe additif des intervalles Nous avons alors Ik + Ik = Ikk bull

d) Nous pouvons eacutegalement convenir de noter le son kf comme

kf = f + Ik

e) Repreacutesentation lineacuteaire (Isomorphisme avec la droite affine)

Pour pouvoir comparer visuellement les intervalles nous pouvons repreacutesenter sur la droite reacuteelle leacutegaliteacute preacuteceacutedente par

f kf

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en convenant de repreacutesenter Ik par un bipoint dont la mesure algeacutebrique est proportionnelle au logarithme de k (dans une base quelconque) pour que lon ait

Mes alg (Ik + Id = Mes alg (Ik) + Mes alg (Ik)

(Voir Encadreacute 2 Uniteacutes de mesure des intervalles)

Encadreacute 2

Les intervalles uniteacutes de mesure

Le cent Cest le centiegraveme de demi-ton tempeacutereacute (lui-mecircme valant un doushyziegraveme doctave) Loctave vaut donc 1200 cents et la mesure dun intervalle en cents est donneacutee par

ougrave f 1 et f2 sont les freacutequences de deux sons deacutefinissant lintervalle

Le savart Par deacutefinition la mesure dun intervalle en savarts est

Loctave mesure donc environ 30103 savarts (puisque log 10(2) 030103)

Mais les musiciens arrondissent agrave 300 pour la commoditeacute des calshy31culs Ainsi le demi-ton tempeacutereacute mesure deg~ soit 25 savarts

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III LES NOTES

On peut faire chanter en chœur la mecircme meacutelodie par des hommes des femmes et des enfants Bien que toutes les voix ne soient pas agrave la mecircme hauteur le reacutesultat ne sera pas choquant ce fait est ducirc agrave ce que certaines voix chantent (comme on dit) agrave loctave des autres Cette notion doctave est commune agrave tous les systegravemes musicaux cest lintershyvalle qui seacutepare les deux premiers harmoniques dun son musical Puisque nous avons vu plus haut que ces sons avaient pour freacutequences f et 2f loctave nest autre que I2 (octave supeacuterieure) ou I112 (octave infeacuterieure) Cette parenteacute tregraves forte (consonance) entre sons que lon ressent intuitishyvement a conduit partout agrave identifier (de proche en proche) les sons de freacutequences f 2f 4f Sf 211 f (nEN) et aussi bien sucircr

f f f (pEN) 2 4 2P

Dougrave la relation G que nous deacutefinissons dans R par

f 1 G f2 ~(3 n E Z f 2 = 211 bull f 1)

On veacuterifie immeacutediatement que G est une relation deacutequivalence les classes modulo G seront appeleacutees notes et noteacutees pour fER f = 211f nEZ

Mais un douloureux problegraveme surgit alors peut-on faire de la musishyque avec une infiniteacute de notes Ceci soulegraveve une foule de difficulteacutes de tous ordres (production du son notation etc ) Aussi la solution univershysellement adopteacutee a-t-elle consisteacute agrave ne prendre quun nombre fini de notes (cest ce que lon appelle une eacutechelle musicale)

Une petite remarque au sujet des notes Etant donneacute f(f ER) toute note (dont une des freacutequences est f) admet un repreacutesentant unique appartenant agrave lintervalle [f 2f[ Ceci reacutesulte du fait quon peut toujours

encadrer un reacuteel positif donneacute (ici = K_) par deux puissances conseacuteshyf 1

cutives de 2 si 2P ( - lt 2P+ 1 alors 2 -p f est le repreacutesentant chercheacute f

Construire une eacutechelle se ramegravenera agrave deacuteterminer n reacuteels f 0( = f) 1

2 bull fn -1 appartenant agrave lintervalle U 2f Nous allons voir ci-apregraves quelques meacutethodes utiliseacutees (agrave diffeacuterentes eacutepoques et dans diffeacuterentes reacutegions du globe) pour construire des eacutechelles musicales

IV LES EacuteCHELLES PYTHAGORICIENNES

GREgraveCE ET CHINE ANCIENNES

Les Chinois ont fondeacute leur systegraveme musical sur la flucircte de bambou les Grecs ont construit le leur sur la lyre (Voir encadreacutes 12 et 14) Ni les

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uns ni les autres navaient les moyens techniques de soccuper de la freacuteshyquence des sons pheacutenomegravene vibratoire Mais il se trouve que dans le cas de la corde vibrante (lyre) comme dans celui du tuyau sonore cylindrique dont la longueur est grande par rapport agrave la section (flucircte) la freacuteshyquence du son fondamental eacutemis est inversement proportionnelle agrave la lonshygueur (de la corde ou du tuyau) Ces gens ont donc fait des observations

Encadreacute 3

Vrai ou Faux

La leacutegende grecque nous rapporte que Pythagore se promenant un jour en inspectant les eacutetoiles un Pythagore peut-il en effet se promener autrement quen inspectant les eacutetoiles - fut frappeacute de la consonance de marteaux de forgerons qui rendaient la quinte la quarte et loctave Il entra dans la forge se fit confier les marteaux les pesa et saperccedilut que les rapports de poids fournisshysaient les chiffres 1 2 3 et 4

Jacques Chailley (Voir Bibliographie)

Ce texte appelle deux remarques 1) La leacutegende (comme le souligne plus loin Chailley) est manifesshytement erroneacutee sur un point (au moins) des marteaux de masses proportionnelles agrave 1 2 3 4 ne donneront certainement pas la quarte la quinte et loctave (voir Encadreacute 24 Dautres corps sonores)

2) Elle sous-entend que les intervalles de quarte quinte et octave eacutetaient deacutejagrave connus avant les travaux de Pythagore ce qui apregraves tout est normal les Grecs navaient pas attendu Pythagore pour faire de la musique

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et des mesures sur les consonances entre sons eacutemis et se sont aperccedilus que les rapports de longueurs correspondant aux sons consonants eacutetaient des rationnels simples En fait ils ont deacutecouvert les premiers termes de la suite des harmoniques Grecs comme Chinois sen sont tenus aux rapshyports deacutetermineacutes par les 4 premiers termes de cette seacuterie Voyons quels sont les intervalles deacutetermineacutes par ces 4 sons qui ont (on la vu) respectishyvement pour freacutequences f 2f 3f 4f lintervalle entre le fondamental et

le deuxiegraveme harmonique est loctave 12 (rapport de freacutequences lf = 2) f

entre le 2e et le 3e harmonique nous trouvons l31z appeleacute quinte (ascenshydante) enfin entre le 3e et le 4e nous avons 1413 appeleacute quarte (ascenshydante)

Ces 4 premiers harmoniques nous fournissent donc

bull loctave ascendante (I2) ou descendante (I u2)

bull la quinte ascendante (1312) ou descendante (I213)

bull la quarte ascendante (I43) ou descendante (I34)

Ce qui peut ecirctre repreacutesenteacute par le scheacutema suivant

_ - - - - -- octave - - - - shy

___quinte_ -x--- quarte

(Voir Encadreacutes 3 et 4 Vrai ou jaux et Pythagore) (Suite page 20)

Encadreacute 4

Pythagore

Gravure de 1492 extraite de la Theorica Musicae de Franchinus Gafurius Elle repreacutesente Pythagore faisant des expeacuteriences sur les corps sonores En fait Pythagore (572- 480 av J-C) ne nous

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a laisseacute aucun eacutecrit Ce que nous en connaissons est rapporteacute par des auteurs posteacuterieurs comme Aristoxegravene de Tarente (v 350 av J C) Le cycle des quintes dont linvention est attribueacutee agrave Pythagore est en reacutealiteacute anteacuterieur agrave celui-ci il navait fait que le justifier theacuteoriquement agrave laide du monocorde (voir encadreacute 14) et non agrave laide de cloches ou de verres plus ou moins remplis

Les expeacuteriences de Pythagore Pythagore avait remarqueacute quen placcedilant un chevalet au milieu dune corde tendue les deux parties de la corde (chacune de lonshygueur moitieacute) donnaient lorsquon les pinccedilait le mecircme son resshysemblant agrave celui que donnait la corde entiegravere (loctave supeacuteshyrieure)

Si lon placcedilait ce chevalet au tiers agrave partir dune des extreacutemiteacutes la partie la plus longue donnait un nouveau son (quinte supeacuterieure du son initial) lautre en donnant loctave supeacuterieure (puisque sa longueur eacutetait moitieacute)

On peut eacutegalement proceacuteder en augmentant la longueur de corde vibrante au lieu de la diminuer ainsi partant dune corde mesushyrant 4 uniteacutes de longueur des cordes identiques (mateacuteriau secshytion tension) mais de longueurs 8 et 16 sonneront respectivement une et deux octaves en-dessous de la premiegravere

Une corde de longueur 6 (une fois et demie 4) sonnera agrave la quinte infeacuterieure de la corde de deacutepart et une corde de longueur 12 une octave en-dessous

Les disciples de Pythagore (Philolaos Archytas) poussegraverent les choses plus loin en introduisant la quinte de la quinte (dont la lonshygueur sera donc

4 x l_ x l_ = 9) 2 2

La gravure ci-dessus est une illustration (revue et corrigeacutee) de ceci les nombres placeacutes sur les cloches repreacutesentent les lonshygueurs de ces cloches (eacutetant supposeacute quelles sont homotheacutetishyques) Dans ce cas on sait depuis le Moyen-Age que ces lonshygueurs se comportent comme celles des cordes vibrantes (en fait la freacutequence du son eacutemis est inversement proportionnelle agrave la racine cubique de la masse - voir Encadreacute 25 La Reine des Closhyches - cest-agrave-dire dans le cas preacutesent agrave la longueur) Les nombres indiqueacutes repreacutesentent donc les intervalles suivants

octave

~----- 1116

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Remarquons que les 3 intervalles sont fournis par les 2bull 3bull 4bull harshymoniques le fondamental nest en somme quun doublet du 2bull harshymonique

Le proceacutedeacute utiliseacute par les Pythagoriciens (et qui nous est connu par les eacutecrits dAristoxegravene de Tarente) se base sur ces 3 harmoniques il conshysiste en une succession alterneacutee de quintes montantes et de quartes descenshydantes Plus preacuteciseacutement on part dun son f0 = f puis on prend le son f1

situeacute une quinte au-dessus de f(f1 = 1_ f) le son f2 se trouvant une quarte2

en-dessous de f1(f2 = l_f1 = _2_f) le son f3 placeacute une quinte au-dessus 4 8

de f2 etc On voit immeacutediatement que lon aura

f2n = 1_2_) n et f 2n + 1 = 1_ X 1_2_) n 8 2 8

Ouvrons ici une parenthegravese

La meacutethode des Grecs est pour les premiers termes de la suite (fn) eacutequivalente agrave la suivante qui consiste en une progression de quintes rameneacutees dans loctavcf Preacutecisons

Partant toujours de f0 = f on construit la suite (fn) deacutefinie par

3 f 3 - n Sl - fn lt 2f 2 2

l_fn 2 si 1_ fn 2f 2 2

Les termes successifs de cette suite seront donc de la forme

fn = (1_( x _l_f p eacutetant deacutefini comme lentier (unique) tel que 2 2P

fn E [f 2f[ Le calcul montre que cette meacutethode appeleacutee cycle des quintes est

eacutequivalente agrave celle des Grecs jusquagrave n = 7

Le cycle des quintes peut se programmer de la maniegravere suivante

fn ) middot(ou Un= f

Ce qui sera inteacuteressant du point de vue musical ce sera dobtenir une eacutechelle de sons finie Cela se produira si (et seulement si) par chance

20


la suite des fn (ou des Un) est peacuteriodique On pourra alors veacuteritablement parler de cycle des quintes puisque le proceacutedeacute permettra de boucler la boucle

Voyons donc si lon peut trouver un entier p tel que up = u0 ( = 1)

Ceci revient agrave chercher deux entiers net p tels que (l__) n x __ = 1 2 2P

ou encore 3n = 2n +P Malheureusement 2n + P est pair et 3n est impair

Il faut nous faire une raison le cycle des quintes nexiste pas du moins en tant que cycle (certains parlent pour cette raison de spirale des quintes)

Mais les musiciens de lAntiquiteacute malgreacute tout ont trouveacute une solushytion au problegraveme Solution approcheacutee certes imparfaite comme le sont nos sens mais solution acceptable En fait ils ont arrecircteacute leur progression lorsquils sont revenus dans le voisinage du son dont ils eacutetaient partis

Le problegraveme est donc finalement le suivant trouver n et p entiers

tels que ~ = 1 + 8 ou 1 - 8 (8 eacutetant un nombre petit devant l)2n+p

Quelle est la valeur de Un correspondante

Distinguons les 2 cas

3lbullr cas n = 1 + 8 Alors nous aurons Un = 1 + 8 ((1 + 8) E [1 2[) 2n+p et par conseacutequent 8 = Un -lJ

2bull cas 1 - 8 Nous aurons cette fois Un = 2 (1 - 8) puisque

(1- 8) $ [1 2 [ Dougrave 1 8 = 1 - +Un 1

Donc dans tous les cas 8 sera le plus petit des deux nombres un - 1

et 1 - _L Un Lequel est-ce Un (leacuteger) calcul montre que ce sera Un - 1 2

si (et seulement si) Un est infeacuterieur agrave 43

Nous pouvons donc transformer lorganigramme preacuteceacutedent pour obtenir

Cet organigramme nous donnera 8 et la valeur de n correspondante

21


Remarque La comparaison de Un agrave 2 a eacuteteacute rendue inutile par celle de Un agrave 43 En effet

bull Si Un lt 43 alors 312un lt 2 donc on na pas agrave diviser Un

bull Si Un ~ 43 on a 23 ( Un lt 1 et puisque Un+ 1 = _l_ Un Un+ 1 E [1 2[2 2

la calculatrice nous fournira alors les reacutesultats suivants

n 8

5 005078125

7 006787109

12 001364326

41 001139745

53 000209031

306 000102172

359 000106645

665 000004366

15601 000001819

Une approch~ arithmeacutetique du cycle des quintes

Le problegraveme on vient de le voir est de reacutesoudre (impossible) eacutequashytion (32)n = 2P ougrave les inconnues net p sont des entiers naturels

Cette eacutequation eacutequivaut agrave log232) = _12__ Bien entendu cette eacutequashyn

tion na pas de solution dans N x N Mais on peut cependant approcher log232) par un rationnel et on sait que la meacutethode des fractions contishynues nous fournira justement la reacuteponse agrave ce problegraveme Utilisons-la donc pour eacutecrire logz(32) sous la forme

ft + ---~------

fz +-----------shy

rs +

22


a) On a 2deglt32lt21 donc 0 lt log2 (32) lt 1 et [T1 = 0 1middot

b) 1 = log3n(2) et on a (32)1 lt 2 lt (32)2 donc 1 lt log32(2) lt 2 log2(32)

et 1 r2 = 1 1middot

1c) log3n(2)- 1=log312(43) et -= log43(32)log3n(43)

De plus (43)1lt32lt(43)2 donc 1 ltlog43(32)lt2 et

En continuant on trouve ainsi successivement

r 5 = 2

~ L~

Nous avons donc

logD2) = 0 +-shy1 +_____

1 +-------------------shy

2 +--------shy

2 +------shy3 + _____

1 +

Et nous obtenons successivement les reacuteduites suivantes

11 12 35 712 2441 3153

23


Dans leacutequation (3f2)n = 2P le nombre n repreacutesente le nombre de quintes qui boucleraient loctave Donc dans les reacuteduites le deacutenomishynateur repreacutesente le nombre de quintes qui bouclent agrave peu pregraves loctave On remarque que lon retrouve les valeurs n = 5 12 41 53 mais pas 7 la raison en est que lapproximation par 7 quintes est (un peu) moins bonne que par 5 (voir le tableau de la page 22)

Nous allons maintenant envisager successivement les cas

n 57124153

n 5 Au bout de 5 quintes nous sommes donc revenus au voisishy

nage de 1 cest-agrave-dire que f5f0 ~ 1

En identifiant f5 et f0 nous aurons donc reacuteparti 5 sons dans loctave qui sont

En repreacutesentation lineacuteaire nous aurons alors

Si nous calculons les intervalles entre deux sons conseacutecutifs nous constatons quils sont de 2 types seulement

bull _k = r_ (intervalle A) 8 23fo f2 fl

32 25bull h ~ = (intervalle B) f4 f3 27 33

Cette eacutechelle agrave 5 notes (pentatonique) est la gamme chinoise Elle est et a eacuteteacute tregraves reacutepandue du Peacuterou agrave la Chine en passant par lEcosse

(Voir Encadreacute 5 Sur cinq notes)

24


Encadreacute 5

Sur cinq notes La gamme pentatonique (gamme chinoise) est et a eacuteteacute tregraves reacutepandue dans le monde du Peacuterou au Congo en passant par les pays eskimos et lEcosse Le fameux Ce nest quun au-revoir air du folklore eacutecossais en est un exemple typique

Shouid auld to mind Should

KAYPIPAS

~~ v1 rli1ct tltlliJ uu1 rcttticircJittilf (Air du folklore

(Air instrumental chinois recueilli au 18e s par le Pegravere Amiot)

l ) oooo

icirc~~i~ 8

25


Nous ajoutons cette fois deux sons nouveaux agrave leacutechelle chinoise

243 f et fs 729 ffs 128 512

Ces deux sons viennent partager les deux intervalles B en un intervalle A et un nouvel intervalle plus petit (C) Finalement les intervalles entre deux sons conseacutecutifs ne sont encore que de 2 types

12_ 11 amp_ _h _h = 1_ (A)23fo fz f4 fl f3

28_h ~ (C)35fs fs

La repreacutesentation est la suivante

fa fi ~ ~ ~ ~ Ps (2~) A A A c A A c

Cette eacutechelle est connue sous le nom de gamme de Pythagore elle a eacuteteacute employeacutee dans la Gregravece antique mais eacutetait eacutegalement connue de la Chine ancienne les deux notes suppleacutementaires (pien) neacutetant touteshyfois utiliseacutees que comme notes de passage

lintervalle A est le ton pythagoricien (env 204 cents)

lintervalle C est le limma pythagoricien (env 90 cents)

Remarquons que dans le cycle des quintes le son de deacutepart f ne joue pas de rocircle particulier En effet au lieu de proceacuteder par quintes ascendantes nous aurions pu proceacuteder symeacutetriquement (par quintes desshycendantes) ou mecircme panacher en prenant p quintes ascendantes et 6-p quintes descendantes (avec p = 0 1 2 6) Ces 7 possibiliteacutes se ramegravenent simplement agrave un changement du son de deacutepart et deacuteterminent donc 7 reacutepartitions des intervalles successifs dans loctave se deacuteduisant lune de lautre par permutation circulaire

Ce sont ces 7 reacutepartitions qui constituent les 7 modes grecs primishytifs

p = 6 quintes montantes mode hypolydien

5 lydien

4 hypophrygien

3 phrygien

2 hypodorien

1 dorien

0 mixolydien (Suite page 31)

26


Encadreacute 6

Les modes du plain-chant Les modes du plain-chant sont issus des huit modes byzantins eux-mecircmes heacuteritiers des modes grecs Leur theacuteorie a eacuteteacute eacutetablie au IXbull siegravecle par le moine beacuteneacutedictin AUREacuteLIEN de Reacuteomeacute (pregraves de Langres) dans son traiteacute MUSICA DISCIPLINA

Ces modes sont caracteacuteriseacutes par

- leur ambitus octave dans laquelle se deacuteveloppe la meacutelodie leur teneur son autour duquel sorganise la meacutelodie

- leur finale (ou tonique) son conclusif des diffeacuterentes parties de la meacutelodie

a) Il y a 4 finales possibles REacute Ml FA SOL (voir encadreacute suishyvant)

b) Entre la finale et sa quinte supeacuterieure on construit un teacutetrashycorde gracircce agrave 3 sons intermeacutediaires

c) On complegravete alors loctave par un second teacutetracorde soit vers laigu (le mode est alors dit authente) soit vers le grave (le mode est dit plagal)

Dougrave 8 modes (4x2) dont les noms en principe repris de ceux des modes grecs sont en fait incorrects par suite dune confusion faite au Xbull siegravecle (par un anonyme bien sucircr) (Comparer avec la page 26)

MODES AUTHENTES MODE PLAGAUX

Premier ton dorien Deuxiegraveme ton hypodorien f~ (bull) 3(bull) bull(bull) fJ~plusmncQ F 0 T ~ _ F T

Troisiegraveme ton phryg1en riegraveme 0 hypoph ~ e (bull) bull i 0 bull bull 0 (bull)J~wlbullT

T (+) bull F T

Cinquiegraveme ton lydien Sixiegraveme ton hypolydien

~ ---1 ~~--- 1 ill bullccediliumlricirc [) (bull r)-0 bull

F T + bull F T Septiegraveme ton mixolydien Huitiegraveme ton hypomixolydien

~ bullltbull)middotmiddot i Lbullbull o (middot) ecirc bullbull -bull(bull) F TF 1

NB T = teneur F = finale ----- = teacutetracorde de base Les notes entre ( ) ne servent que de notes dornement ou de passage

27


Encadreacute 7

Le nom des notes Cest Guido dArezzo (v 1000- v 1050) qui est agrave lorigine du nom que nous donnons aux notes de la gamme

Ayant remarqueacute que dans lhymne Ut queant laxis (deacutedieacute agrave St Jean) les notes initiales de la meacutelodie de chaque vers (sauf le dershynier) eacutetaient dans lordre naturel de la gamme il songea agrave donner comme nom agrave chacune de ces notes la syllabe sur laquelle elle se chantait Et pour la derniegravere on forgea plus tard le mot formeacute des initiales des deux mots du dernier vers

+ bull bull 0 UT 9oemiddotant la-xis

RE-so-na-re Pi- bris

~ 7middot Cbull Ml- ra g~-to-rum

bull bull ----

FA-mu-li bJ- ~-um

sectS~bull__ v~ ~1-~u-Eumli ~ ~-i-~ e_-_ Um sect=

Sallc-U lo-haVl-IIU

(DO a remplaceacute UT au 17e siegravecle) Dans les pays germaniques ainsi que dans les pays anglo-saxons on utilise un codage alphabeacutetique correspondant au nocirctre selon le tableau suivant

France DO REacute Ml FA SOL LA Slb S14

Allemagne c D E F G A B H

Gde Bretagne c D E F G A B

Ceci a permis agrave nombre de compositeurs deacutecrire des œuvres sur un nom Voir par exemple le nom de BACH (Si b 1La Do Si 9) dans les Variations op 31 de SCHOENBERG page 91)

28


Encadreacute 8

La notation classique hauteurs Commenccedilons par numeacuteroter les octaves

Soit le son de freacutequence f (par convention appelons-le DO et prenons f = 327 Hz)() Consideacuterons les octaves (f2f) (2f4f)

(4f8f) ainsi que ( ~ ff)( l f ~ f) Dans chaque octave le

son le plus grave (qui est un DO) a pour freacutequence un nombre de la forme 2nf avec n E Z

Nous conviendrons de dire que n est le numeacutero de loctave (2nf2n+1f) et daffecter ce numeacutero agrave tout son de leacutechelle situeacute dans lintervalle [2nt2n + 1f[

Que lon se place dans le systegraveme pythagoricien zarlinien ou temshypeacutereacute eacutegal les sons de leacutechelle correspondant aux 7 notes natushyrelles (cest-agrave-dire non alteacutereacutees par un diegravese ou un beacutemol) pourront donc ecirctre codeacutes par un couple (pn) ougrave pE Do Reacute Mi Fa Sol La Si et nEZ (n est le numeacutero de loctave)

La notation musicale classique est baseacutee sur la relation dordre canonique deacutefinie agrave partir des freacutequences sur cet ensemble de sons (appelons-le I) un son A est plus haut (plus aigu) quun son B si la freacutequence de A est plus grande que celle de B

La porteacutee est censeacutee repreacutesenter une partie dune eacutechelle verticale dont chaque barreau est occupeacute par un son deI de faccedilon quun son plus aigu quun autre soit situeacute plus haut sur leacutechelle Elle est constitueacutee par cinq parallegraveles horizontales implicitement numeacuteroshyteacutees de bas en haut et appeleacutees lignes ces cinq lignes deacutelimitent quatre interlignes eacutegalement numeacuteroteacutes de bas en haut

Ceci deacutefinit une eacutechelle de 9 barreaux

Pour pouvoir placer un son quelconque de I il nous suffira donc que soit repeacutereacute lun dentre eux (le son origine en quelque sorte)

() Ceci se justifiera dans fa 2e partie (p 58)

29


Exemple

]sol 31 ~~~-~~o~~~-~~-~~-~ Fa 3 5ol3 La3 Si3 Dot Reacute+

(NB 1 On note Sol 3 au lieu de (Sol 3) etc

NB2 Les signes repreacutesentant les sons sont eacutegalement appeleacutes notes)

Le repeacuterage du son-origine se fait gracircce agrave une cleacute (signe placeacute au deacutebut de chaque porteacutee) Il y a 7 cleacutes diffeacuterentes

- la cleacute de Sot2e ligne qui fixe la position du Sol 3 sur la 2e ligne

de la porteacutee (Notation )

- les cleacutes de Fa 3e ligne et 4e ligne ()=)qui fixent la position du Fa 2

- les cleacutes dUt 1e 2e 3e et 4e ligne ( ~ ) qui fixent la position du 3Do Sol fa4e Fa3e Ut-tbull Utze Ut3e Ut4shy

2 7 ft ~ g ~middot le pluusifeacutees

Deux remarques 1) La porteacutee ne permet agrave premiegravere vue de coder que 11 sons En fait on peut en coder bien plus gracircce agrave trois proceacutedeacutes principaux

a) lutilisation de petites lignes suppleacutementaires destineacutees agrave ajoushyter des barreaux agrave leacutechelle Exemple 1

i) bull1

Reacute3 Igto-1

b) lutilisation du signe sa------ (resp sa bassa------) qui indishyque que les sons reacuteels sont en fait ceux qui sont situeacutes une octave au-dessus (resp en dessous) des sons eacutecrits Exemple

+ ~ L~~-bullbullbullbull est un codage de ~-- - shy

c) le changement de cleacute en cours de morceau

2) Les sons correspondant aux notes alteacutereacutees sont codeacutes comme ceux qui correspondent aux notes non alteacutereacutees mais preacuteceacutedeacutes du signe dalteacuteration

Exemple

30


Pour simplifier leacutecriture on indique larmure de la tonaliteacute de lœuvre au deacutebut de chaque porteacutee les notes dieacuteseacutees (resp beacutemoliseacutees) sont repreacutesenteacutees par un (resp un b ) placeacute sur la ligne - ou dans linterligne - dun son repreacutesentant cette note Ceci dispensera dans le cours de lœuvre deacutecrire le signe dalteacuteshyration devant chaque note (il sera sous-entendu) Exemple

~ b k b signifie que le morceau est eacutecrit en Mi b majeur ou en Do mineur

On annulera leffet de cette armure (pour un son donneacute et pour la dureacutee dune mesure (voir Encadreacute 10) en placcedilant un beacutecarre ( ~) devant ce son leffet de ce beacutecarre eacutetant lui-mecircme annoleacute par le reacutetablissement de lalteacuteration dorigine

(Suite de la page 26)

Au fil des siegravecles et agrave travers de multiples transformations dont les modes liturgiques du Moyen-Acircge (Voir Encadreacute 6 Les modes du plainshychant) ces diffeacuterents modes ont fini par nen plus former que deux

le mode majeur (5 quintes montantes)

A A c A A A c le mode mineur (ancien) (2 quintes montantes)

A c A A c A A

Cest finalement le mode majeur qui a eu le plus de succegraves et qui a servi de reacutefeacuterence Il a alors fallu donner un nom aux 7 notes de leacutechelle (voir Encadreacute 7 Le nom des notes) et lon a abouti agrave leacutechelle suivante

Do Reacute Mi Fa So La Si Do

Les rapports des freacutequences agrave Do des diffeacuterents sons de loctave sont

1Do Reacute Mi Fa Sol 1 La 1 Si

1 98 81 -64

43 32

---shy

1 2716

1 243128

1

Cest agrave cette succession que lon a donneacute le nom de tonaliteacute de Do majeur

31


Par rapport agrave leacutechelle de Pythagore initiale nous obtenons ici 5 nouveaux sons qui viennent amputer chaque intervalle A dun intershyvalle C de la faccedilon suivante (avec D = A C)

fo D C fi D C ~ D C f C ~ D C f D C fs c lt2f) -+---+---~--~--~

f f3 ~4 Fa ~tl Une fois encore on ne trouve que types dintervalles successifs middot

28

se

Do

D

vureutu~~middot remarques

1) Cette eacutechelle na eacuteteacute quune eacutechelle mais elle a eacuteteacute deacutecouverte aussi bien par les Chinois (voir Encadreacute 12 la leacutegende des

que par les Pythagoriciens qui avaient appeleacute comma la diffeacuteshyrence entre 12 quintes et 7 octaves (comma pythagoricien dont on reparshylera sous peu)

2) Les 5 derniegraveres notes obtenues sont les notes dieacuteseacutees (theacuteoriques)

Do Reacute Mi fa Sol la Si (Do) bull bull 1 bull bull + bull 1 bull bull

Doif Reacute (Do diegravese)

(Suite page 38)

32


Encadreacute 9

La notation classique dureacutees La forme du signe (note) qui repreacutesente un son indique la dureacutee relative de ce son A chaque dureacutee de son torrespond une dureacutee de silence eacutegalement repreacutesenteacutee par un signe (le silence)

Le tableau suivant indique les dureacutees des principales figures de notes relativement agrave la noire ()ainsi que les figures de silences correspondants

~OTE ~---------t-------S-J_L_EN_C_E_______-i

NOM SIGNE VALEUR SIGNE

VALEUR) 1 1 EN) --+----i---------1

de l 0 j 4 pause bla_nche cl l 2 demi-pouse

1no1re ) 1 soupir croche )gt j 12 7 demi-soupir double croche )1 7 quart de soupir L1 4

1triple croche ~ 18 If huitiegraveme de soupir

~uadruple croche L_~ -~16_ ______if__j-~eiziegraveme de soupir

NB 1 Attention aux appellations trompeuses (double trishyple quadruple croche) NB 2 La queue des notes peut ecirctre dirigeacutee indiffeacuteremment vers le haut (d ) ou vers le bas ( f) la figure est donc deacutefinie agrave une symeacutetrie centrale pregraves

Une note (resp un silence) peut ecirctre pointeacutee (Ex Jl sa dureacutee est alors multipIcirceacutee par 32

Dyux notes (correspondant au mecircme son) peuvent ecirctre lieacutees(U) lensemble eacutequivaut alors agrave un seul son ayant pour dureacutee la somme des dureacutees (NB il est inutile de lier des silences)

Les dureacutees absolues sont indiqueacutees

par des indications meacutetronomiques indiquant pour une valeur de note donneacutee le nombre de telles valeurs que lon doit entendre en une minute Exemple ~ = 116 signifie que

chaque croche doit avoir une dureacutee de ~ 6 de minute 1

par des indications de tempo plus floues que les preacuteceacutedenshytes En voici quelques-unes du mouvement le plus lent au plus rapide

Largo Larghetto Lento Adagio Andante Andantino Moderato Allegretto Allegro Vivace Presto

33


Encadreacute 10

La notation classique mesure

Lindication de mesure placeacutee au deacutebut dun morceau deacutecoupe celui-ci en peacuteriodes de mecircme dureacutee (les mesures) qui sont seacutepashyreacutees sur la partition par des barres verticales Cette indication se preacutesente sous la forme dune fraction (sans barre) dont

- le deacutenominateur est un codage de la dureacutee 1 = o 2 = J 4= J 8=~ etc

- le numeacuterateur indique le nombre de ces dureacutees qui constituent une mesure

Exemple ~ signifie quune mesure correspond agrave une dureacutee de

3 blanches (NB 4est codeacute C et~ est codeacute 4l Lindication de mesure signale eacutegalement de quelle faccedilon se fait le deacutecoupage de chaque mesure On distingue les mesures ternaires (numeacuterateur 6 9 ou 12) et les mesures binaires (23 ou 4 en geacuteneacuteral)

Dans une mesure binaire le numeacuterateur indique le nombre de temps (subdivisions) que comporte chaque mesure

Exemple signifie 3 temps avec une noire par temps

Dans une mesure ternaire le numeacuterateur indique le nombre de tiers de temps que comporte chaque mesure

Exemple 1 ~ indique une mesure agrave 4 temps ougrave chaque temps

est subdiviseacute en trois avec une noire pointeacutee (3 croches) par temps

34


r Encadreacute 11

Deux exemples de codages musicaux alphanumeacuteriques

(utiliseacutes dans la composition avec ordinateur)

Code SCRIPTU Code MUSICA

Tonaliteacute Peut ecirctre indiqueacutee au Non indiqueacutee deacutebut (notes alteacutereacutees)

Octave Ndeg doctave placeacute Virgules ou apostrophes H derriegravere la note placeacutees devant la noteA (0123 ) = 1 =2 =3 =4u

Note DO RE Ml FA SOL CDEFGAB naturelle

T LA SIE

u Note D R M etc +C + D + E etc R alteacutereacutee DB RB MB ampC ampD ampE

Beacutecarre ND NR etcs Dureacutee (de notes) TO suivi dun chiffre 1 = 0 2 = d 4 = J

(indiquant la dureacutee en 8 =~ 7 =A doubles croches) Note pointeacutee chiffre

ci-dessus suivi dun point

Dureacutee (de silence) PO suivi dun chiffre - preacuteceacutedeacute de la dureacutee (cf ci-dessus) (cf ci-dessus)

Intensiteacute AO suivi dun chiffre PP P S (forte) (1 =pp 2=p )

Fin de description Virgule Le nom de la notedune note

Fin de description Point dune mesure

Accord Notes seacutepareacutees par Notes entre parenthegraveses

Lorsquune action est indiqueacutee (dureacutee intensiteacute ) son effet ne cesse que lorsquune autre vient le remplacer

Exemple

SCRIPTU T04 S03 RE4 T02 S03 LA 3 P01 T01 SB3 T04 S03~F ~~~ MUSICA (4 G Dl (8GA) 7 - ampB4G

(on ne reacutepegravete pas loctave)- + t- (on ne reacutepegravete ni loctave ni la dureacutee)

35


Encadreacute 12

La leacutegende des ulyus

Voici une leacutegende chinoise lhistoire se passe en 2697 avant notre egravere

A cette eacutepoque lempereur Hoang-Ti venait de se rendre maicirctre de la Chine apregraves avoir vaincu les armeacutees de son ennemi Tcheacute-Yeou Soucieux du bonheur de son peuple il promulga de sages lois et sefforccedila de lui procurer tous les plaisirs possibles

36


En particulier il ordonna agrave son maicirctre de musique Ling Luen de mettre sur pied un systegraveme de notes invariables auquel tout le monde ensuite pourrait se reacutefeacuterer

Ling-Luen se rendit au pays de Si-Joung vers le Nord-Ouest et lagrave il deacutecouvrit au Nord dune haute montagne une magnifique forecirct de bambous dont les tiges tregraves droites avaient toutes la mecircme grosseur

Ayant coupeacute lune de ces tiges entre deux nœuds Ling-Luen y souffla et le son qui sortit du bambou eacutetait exactement le mecircme que le gazouillis du ruisseau qui serpentait lagrave et qui neacutetait autre que le Fleuve Jaune pregraves de sa source Aussi Ling-Luen nommashyt-il ce tuyau Cloche Jaune

A ce moment un couple de pheacutenix vint se poser dans le voisishynage et se mit agrave chanter Le macircle siffla six notes allant du grave agrave laigu et dont la premiegravere - ocirc surprise - eacutetait justement celle de la Cloche Jaune la femelle elle siffla six autres notes qui venaient sintercaler entre celles de son compagnon Subjugueacute par ces sons merveilleux Ling-Luen eacutecouta de toutes ses oreilles et quand les oiseaux fabuleux eurent cesseacute leur chant sempressa de couper onze nouvelles tiges de bambou reproduishysant chacune des notes quil venait dentendre

Il constata que le tuyau qui donnait la note la plus grave chanteacutee par la femelle mesurait les deux-tiers de la longueur de la Cloche Jaune Et comme il savait que le nombre deux repreacuteshysente la Terre et le nombre trois le Ciel cette harmonie le plongea dans le ravissement ravissement qui saccrut encore lorsquil saperccedilut que ceci se poursuivait jusquau bout de la seacuterie et que chacune des notes (alternativement macircle ou femelle) corresponshydait du grave agrave laigu agrave un tuyau dont la longueur eacutetait les deuxshytiers de celle du preacuteceacutedent eacuteventuellement doubleacutee (aucun des tuyaux neacutetait plus long que la Cloche Jaune ni plus petit que la moitieacute de celle-ci)

Mais pour que ces tuyaux (lyus) puissent servir deacutetalons il fallait les mesurer de faccedilon preacutecise Pour ce faire Ling-Luen deacutecida dutiliser des graines de chou (sorte de gros millet) Il sen fit apporter de toutes les espegraveces des gris des jaunes des rouges des noirs Finalement il choisit de se servir des noirs car ils eacutetaient plus durs plus reacutesistants et surtout dune taille plus reacuteguliegravere Il placcedila contre Ja Cloche Jaune des graines aligneacutees suivant leur plus grande dimension il lui en fallut 81 pour obtenir la longueur du tuyau Puis il fit de mecircme avec les autres lyus

Dapregraves vous quelles eacutetaient en graines les longueurs des onze autres lyus (Vous arrondirez sil y a lieu) (Reacuteponse page 121)

37



3) Si au lieu de proceacuteder par quintes ascendantes on avait effectueacute une progression de quintes descendantes on aurait (apregraves secirctre rameneacute agrave Do Majeur) obtenu 5 notes nouvelles diffeacuterentes des notes dieacuteseacutees les notes beacutemoliseacutees

Do Reacute Mi Fa Sol La Si

Reacuteb ti b (Reacute blme)

4) Entre deux sons conseacutecutifs on intercale donc deux sons lun dieacuteseacute lautre beacutemoliseacute selon la reacutepartition suivante (nous avons pris Do-Reacute comme exemple mais dans les quatre autres cas le reacutesultat est similaire)

~ D ~ c reg DoR~b

~c gtlt

D Lintervalle D- Centre Reacute 6 et Do correspond au rapport de freacuteshy

quences

122187 256 = 3 = (1_) 12

21 (environ 235 cents) 2192048 243 2

Cet intervalle est donc eacutegal agrave la diffeacuterence entre 12 quintes et 7 octashyves cest le comma pythagoricien preacuteceacutedemment-nommeacute

S) Les notes dieacuteseacutees ou beacutemoliseacutees sont appeleacutees notes alteacutereacutees Mais reacutepeacutetons-le ces notes ne sont pas venues historiquement du prolongeshyment du cycle des quintes Elles ont leur origine dans un deacuteplacement de degreacute ( = note de la tonaliteacute) sous linfluence de ce que lon appelle en musique lattraction dun autre degreacute Par exemple Marchetto de Padoue en 1317 divise le ton pythagoricien en 5 dieacutesis et nattribue agrave lintervalle Do-Do quun seul dieacutesis soit un cinquiegraveme de ton Nous sommes loin du cycle des quintes

(Pour leacutecriture de la musique voir Encadreacutes 8 9 JO et 11)

n = 41

La douziegraveme quinte on la vu donne (apregraves reacuteduction agrave loctave) un son situeacute un comma (pythagoricien) au-dessus du son initial Les 12 quinshytes suivantes vont donner alors un deacutecoupage qui sera translateacute du preshymier dun comma et ainsi de suite

38


Nous obtiendrons finalement entre Do et Reacute le partage suivant (en notant P le comma pythagoricien)

p p Qp p

----o c~

Quels sont les deux intervalles reacutesiduels

Nous souvenant (voir plus haut) que P D - C on a

a) D - 3 P = 3 C - 2 D

b) C - 2 P = 3 C - 2 D

Ces deux intervalles sont donc eacutegaux

Dans cette nouvelle eacutechelle il ny a encore une fois que deux types dintervalles

bull le comma pythagoricien (P) (rapport de freacutequences 312

)219

246bull un intervalle Q (rapport de freacutequences - )

329

Cet intervalle Q est plus grand que P

Remarquons que cette eacutechelle ne semble pas avoir eu beaucoup de succegraves mecircme theacuteorique (peut-ecirctre parce que lapproximation de loctave nest guegravere meilleure que celle que lon obtient pour n = 12 )

n = 53 1

On refait une nouvelle seacuterie de 12 quintes ascendantes

Cette fois chacun des 12 intervalles Q va ecirctre amputeacute dun intervalle P

8P p p p

-- ~ p p

Nous naurons cette fois encore que 2 types dintervalles successifs

bull le comma pythagoricien P (rapport de freacutequences 312

219) 265

bull un intervalle R = Q - P (rapport de freacutequences 341 )

Cette eacutechelle obtenue agrave partir de 52 quintes eacutetait connue des Chishynois degraves le se siegravecle av J c Ils avaient dailleurs mecircme pousseacute leurs invesshytigations plus loin mais le peu de chiffres significatifs dont ils disposaient leur a fourni pocircur les plus grands nombres des reacutesultats erroneacutes (ex 666 au lieu de 665)

39


V LA TRANSPOSITION

Un problegraveme sest poseacute tregraves tocirct aux musiciens degraves quil a eacuteteacute quesshytion de chanter une meacutelodie entendue ou de la (re)jouer sur un instrushyment il est souvent neacutecessaire alors d adapter cette meacutelodie au regisshytre de la voix ou de linstrument et de la deacuteplacer vers laigu ou le grave Il faut malgreacute tout ne pas deacutenaturer la matiegravere musicale et donc conserver leur valeur aux intervalles successifs (seul le son initial ayant varieacute) Cest ce que lon appelle transposer Donc

Transposer une meacutelodie cest multiplier toutes les freacutequences par un mecircme nombre k (kER)

Nous appellerons transposition associeacutee agrave lintervalle h lapplication

Du point de vue de la transposition une eacutechelle musicale sera parshyfaite si lon peut y transposer toute meacutelodie en partant dun son quelconshyque

Ceci sera reacutealiseacute si (et seulement si) leacutechelle 8 f0 ft fn~ rl est invariante par toute transposition associeacutee agrave un intervalle quelconque de leacutechelle

Prenons le cas de leacutechelle pythagoricienne agrave 7 notes eacutechelle pratishyqueacutee par les musiciens occidentaux au Moyen-Acircge Comment se comporte-t-elle vis-agrave-vis de la transposition

Soit par exemple la transposition faisant passer de Do agrave Reacute (et donc associeacutee agrave I 91s) Visualisons-la gracircce agrave la repreacutesentation licircneacuteaire

Do A Ri A Hi c fa A Sol A la A Si C (Do A (Reacute) A Mi) 1shy

i Reacute

A i tli

A c 0 i

Sol A

j La

A i

Si A c

acirc) (Reacute)

Nous voyons quil nous faudra changer deux notes de leacutechelle si lon veut obtenir le mecircme effet musical Plus preacuteciseacutement il faudra hausshyser le Fa et le Do dun intervalle A - C soit D (Fa sera donc remplaceacute par Fa et Do par Do) Et si mecircme on ajoute les cinq notes dieacuteseacutees ou les cinq notes beacutemoliseacutees qui apparaissent en poursuivant le cycle des quinshytes vers le haut ou vers le bas (eacutechelle chromatique) le problegraveme nen sera pas reacutesolu pour autant puisque ces nouvelles notes en introduiront agrave leur tour de nouvelles et ainsi de suite

40


VI LACCORD PARFAIT MAJEUR

La musique antique eacutetait essentiellement monodique agrave partir du Moyen-Acircge on commence agrave faire entendre simultaneacutement plusieurs meacutelodies (cas du contrepoint par exemple) Outre laspect horizontal (deacuteroulement des sons dans le temps) loreille perccediloit de plus en plus un aspect vertical (simultaneacuteiteacute des sons) Cette conscience de la verticashyliteacute de la musique sest lentement deacuteveloppeacutee et a fini par engendrer une branche speacuteciale de la theacuteorie lharmonie

Pour les musiciens il y a accord degraves que 3 sons au moins (corresshypondant agrave des notes diffeacuterentes) sont entendus simultaneacutement Les accords les plus naturels font intervenir les premiers harmoniques de la seacuterie Pour obtenir 3 notes diffeacuterentes il faut aller jusquagrave lharmonique 5 ces notes correspondent aux harmoniques 1 (ou 2 ou 4) 3 et 5 Rameshy

neacutees agrave lintervalle [f 2f[ les freacutequences sont respectivement f l_f et l_f 2 4

ou dans lordre croissant f 5 lr 4 2

Cest lensemble (f l_f ]_fj que les musiciens ont appeleacute accord 4 2

parfait majeur (APM)() 1 54 31shy~--------~------~

Remarques

1) On trouve lAPM agrave leacutetat natif (si lon peut dire) en consideacuterant les harmoniques 4 5 et 6

2) Si f et l_f font partie de leacutechelle pythagoricienne il nen est 2

heacutelas pas de mecircme de 2_r Cest un problegraveme qui a tourmenteacute les musishy4

ciens de la Renaissance prenant conscience du fait et souhaitant trouver une eacutechelle qui ticircnt compte des exigences nouvelles cest-agrave-dire qui conshyticircnt lAPM

On peut quand mecircme remarquer que cette note intruse est voisine du 81Mi de Pythagore En effet ~ l_ = Lintervalle lsuso est le

64 4 80 comma syntonique (environ 215 cents)

() ou mecircme APMEP (Accord Parfait Majeur Engendreacute par la Polyphonie)

41


VII LECHELLE DE ZARLINO

Pour incorporer lAPM agrave leacutechelle musicale divers musiciens et en particulier le veacutenitien Gioseffo Zarlino (1558) imaginegraverent de construire une nouvelle eacutechelle approximation de celle de Pythagore qui serait baseacutee sur cet accord

Posons donc agrave notre tour le problegraveme est-il possible dobtenir une approximation de leacutechelle pythagoricienne agrave partir dune succession daccords parfaits majeurs

Remarquons que sil y a une solution elle comportera au moins trois accords

- 1 accord de base (3 notes) - 1 accord obtenu agrave partir dune des 3 notes preacuteceacutedentes (dougrave 2 notes nouvelles) - 1 accord qui fournira de mecircme ~ deux derniegraveres notes

Laccord de base rappelons-le est le suivant

MiT t r

(Remarque lintervalle 154 est la tierce majeure zarlinienne T et la diffeacuterence avec la quinte soit 165 est la tierce mineure zarlinienne t)

Si nous fondons maintenant un APM sur le Mi preacuteceacutedent nous obteshy

nons les notes de freacutequences ( _2_) 2 x f et l_ x _2_ f

4 2 4

Do t1i SoT t

Mi T t d smiddot P h ( 243 15 81)La note la plus haute est vmsme u 1 yt agoncren -- - = -

128 8 80 elle est donc situeacutee un comma syntonique en-dessous)

Par contre la note moyenne est situeacutee entre le Sol (l_f) et le La (27 f)2 16

de leacutechelle de Pythagore et assez loin des deux (en fait elle est voisine du La P obtenu par le cycle des quintes) LAPM fondeacute sur Mi est donc agrave rejeter Aurons-nous plus de chance avec celui qui est fondeacute sur Sol

42


2Nous obtiendrons alors les freacutequences (_l_ x l__)f et (_l_) f (ou _2_f en se

2 4 2 8 ramenant dans loctave)

Do T Mi t Sol

T t

Nous retrouvons le Si (un peu bas) de lessai preacuteceacutedent et le Reacute de Pythagore

Voilagrave deacutejagrave 5 notes convenables il ne nous manque plus quun Fa et un La Or il suffit de faire les essais pour constater (avec deacutepit) que parshytir de Si ou de Reacute pour bacirctir un APM introduit des notes parasites (comme lorsquon est parti de Mi) Faut-il donc ici laisser toute espeacuteshyrance Que non pas car les musiciens deacutecideacutes agrave tout pour reacuteussir ont astucieusement tourneacute la difficulteacute en prenant comme dernier APM un accord dont la note la plus haute est une des cinq notes preacuteceacutedentes (en fait le Do initial solution unique) On obtient en effet les freacutequences

2_f et 2f ou en se ramenant dans loctave l__f et _plusmn_f Cette derniegravere 6 3 3 3

correspond au Fa de Pythagore quant agrave lautre elle est situeacutee un comma

syntonique plus bas que le La de Pythagore ( 27 2_ = B_ )16 3 80

Le reacutesultat final est donc

Do Reacute Fa Sol ~Do)

1Stf (2f)~Fp 9tf (les notes encadreacutees sont plus basses dun comma syntonique que les notes correspondantes de leacutechelle de Pythagore)

(Voir Encadreacutes 13 et 14 Plus grave Plus aigu et Le Monocorde)

Les freacutequences des diffeacuterentes notes sexpriment ici par des fractions plus simples que dans le cas de Pythagore mais il y a cette fois trois types dintervalles successifs

a) 19s cest le ton pythagoricien A appeleacute ici ton majeur zarlinien (env 204 cents)

b) lw9 ton mineur zarlinien A (env 182 cents)

c) 116115 demi-ton majeur zarlinien B (env 112 cents) (demi nest pas agrave prendre au sens matheacutematique )

Mettons face agrave face Pythagore et Zarlino A A B A A A B

Reacute La Si Jo) B

A A A A Zadino

43


On voit immeacutediatement que puisque le ton mineur zarlinien est plus petit que le ton pythagoricien dun comma syntonique le demi-ton majeur zarlinien sera plus grand que le limma pythagoricien dun comma syntonique

Sans trop entrer dans les deacutetails il est clair que la preacutesence de ces 3 types deacutecarts rendra le problegraveme de la transposition deacutejagrave impossible avec Pythagore tout aussi insoluble

VIII LACCORD PARFAIT MINEUR

LAPM reacutesulte on la vu de la superposition dune tierce majeure et dune tierce mineure

Si maintenant on superpose ces deux intervalles dans lordre inverse on obtient laccord parfait mineur qui lui ne se trouve pas dans la seacuterie des harmoniques f 6sf 32F

9uint

(Exemple daccord parfait mineur dans la gamme de Zarlino Mi-Sol-Si)

IX LE TEMPEacuteRAMENT EacuteGAL

Le problegraveme de la transposition continuait donc agrave tourmenter (de plus en plus) les musiciens des 16e et 17e siegravecles (Voir Encadreacutes 15 et 16 Le tempeacuterament meacutesotonique et Les touches briseacutees du clavecin) Tombeacutes de Charybde en Scylla puisque ce quils avaient gagneacute du cocircteacute de lharshymonie ils lavaient reperdu du cocircteacute de la simpliciteacute de leacutechelle Cest alors que lideacutee (geacuteniale dans sa simpliciteacute) se fit jour dun partage de loctave en intervalles eacutegaux (tempeacuterament eacutegal)

Leacutechelle obtenue (pour rester dans la continuiteacute) constitue une approximation de leacutechelle (de Pythagore ou de Zarlino)

Par les transpositions on restera alors agrave linteacuterieur de leacutechelle (les intervalles eacutetant eacutegaux) Divers tempeacuteraments eacutegaux ont eacuteteacute imagineacutes aux 16e et 17e siegravecles notamment par Guillaume Costeley (division en 19) Christiaan Huygens en 1691 (division en 31) et Andreas Werckmeister la mecircme anneacutee() Cest ce dernier tempeacuterament qui a eu de loin le plus de succegraves Lideacutee de base en est la suivante

On part de leacutechelle pythagoricienne agrave 12 notes dans laquelle on a remarqueacute que les intervalles successifs (Cet D) sont agrave peu pregraves eacutegaux et on deacutecide de les rendre eacutegaux dougrave une division de loctave en 12 intervalles eacutegaux lk On doit avoir 12 Ik = 12 dougrave k12 = 2 et k = 21112 Ik est le demi-ton tempeacutereacute et lkz est le ton tempeacutereacute cette fois le demi-ton vaut bien la moitieacute du ton

() Quoique la paterniteacute du tempeacuterament eacutegal par 12 lui soit contesteacutee Mais enfin lideacutee eacutetait dans lair

44


Encadreacute 13

Plus grave Plus aigu A) Dans la tonaliteacute pythagoricienne de Do Majeur les freacuteshyquences des sons de [f2f[ sont

Do Reacute Mi Fa Sol La Si (Do)

f j_f 81 f i_f l_f 27 f ~f (2f) 8 64 3 2 16 128

Dans la tonaliteacute pythagoricienne de Si Majeur cherchez quelle est la freacutequence du son La diegravese de lintervalle [f2f[

Cherchez de mecircme quelle est dans la tonaliteacute de Fa Majeur la freacutequence du Si beacutemol de [f2f[

Lequel de ces deux sons est le plus aigu (freacutequence la plus eacuteleveacutee)

B) Dans la tonaliteacute zarlinienne de Do Majeur les freacutequences des sons de [f2f[ sont


f JLf 8

2_f 4

i_f 3

]__f2

2f 3

~f 8

(2f)

Mecircmes questions que ci-dessus pour le La diegravese de Si Majeur et le Si beacutemol de Fa Majeur qui se trouvent dans [f2f[

Lequel de ces deux sons est le plus aigu

(Reacuteponses page 121)

Dautre part cette identification des intervalles C et D conduit agrave identifier les notes dieacuteseacutees et beacutemoliseacutees enharmoniques (Do = Reacute b etc ) Finalement leacutechelle de Werckmeister aura lallure suivante

Do Reacute Mi Fa Sol la Si (Do)

Ut Fat Sol~ Mib Sol b La b

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Aucune des notes (autres que Do) ne coiumlncide avec son homologue de leacutechelle de Pythagore ou de celle de Zarlino (le proceacutedeacute dobtention est purement theacuteorique et non baseacute sur le pheacutenomegravene des harmoniques) mais malgreacute tout cette eacutechelle fournit une bonne approximation de lune comme de lautre

(Voir Encadreacutes 17 et 18 Les eacutechelles des instruments et Quelques mesures sur la guitare)

Tableau comparatif de la gamme diatonique dans les systegravemes de Pythashygore et de Zarlino par rapport agrave leacutechelle tempeacutereacutee (eacutecarts en cents)

Note Do Reacute Mi Fa Sol La Si

Pythashygo re 0 +4 +8 +2 +2 +6 + 10

Zarlino 0 +4 -14 +2 +2 -16 -12

Nous reviendrons plus loin sur cette eacutechelle de W erckmeister qui est notre eacutechelle actuelle (du moins theacuteorique) Mais auparavant il nous faut dire un mot dun autre tempeacuterament eacutegal bien plus preacutecis vis-agrave-vis de Pythagore et qui inventeacute par Mercator en 1675 a eacuteteacute repris par Roishyder en 1694 Ce tempeacuterament est lui baseacute sur leacutechelle pythagoricienne agrave 53 notes il consiste agrave identifier les intervalles P et Q et donc agrave partager loctave en 53 intervalles eacutegaux (degreacutes-commas) (Voir Encadreacute 19 Quelshyques commas) Lintervalle Do-Reacute se deacutecompose de la faccedilon suivante

Do Do Reacute œ œ œ QI

Reacuteb Le ton pythagoricien correspond donc ici agrave 9 degreacutes et le limma agrave 4 degreacutes

Cette eacutechelle est en fait leacutechelle des solfegraveges qui possegravede linteacuteshyrecirct theacuteorique decirctre une tregraves bonne approximation du cycle des quintes

Pour terminer ce survol rapide des tempeacuteraments eacutegaux signalons que lOccident nen a pas lexclusiviteacute loin de lagrave En effet la paterniteacute du tempeacuterament par 12 revient en fait au prince chinois Tchou Tsai Y ou qui le proposa en 1596 (un siegravecle avant Werckmeister )

Le tempeacuterament par 5 se retrouve en Indoneacutesie (cest le mode Sienshydra) aussi bien quen Afrique Occidentale (Haute Volta Mali)

Le tempeacuterament par 7 est eacutegalement reacutepandu au Cambodge en Thaiumlshylande (ougrave il constitue leacutechelle officielle) en Afrique Occidentale (Guineacutee) et aux Iles Salomon (voir Encadreacute 20 Are Are)

Nous avons eacutegalement releveacute chez les Arabes un tempeacuterament presque eacutegal (voir Encadreacute 21 Une eacutechelle arabe)

(Suite page 49)

46


bull bull

Encadreacute 14

Le Monocorde

Cette gravure de 1529 (Ludovico Fogliano Musica Theorica) montre un musicien utilisant le monocorde Au Moyen-Age la division du monocorde avait eacuteteacute pousseacutee plus loin que par Pythagore et ses disciples la gravure ci-dessus fait intervenir le ge harmonique alors que les pythagoriciens navaient pas deacutepasseacute le 4e

Explication Partie droite ~ A8 c

A Si on place le chevalet en B puis en C (lautre chevalet restant fixe en Al on obtie11t la deuxiegraveme fois un son situeacute agrave la sixte majeure () supeacuterieure du premier (rapport de freacutequence 53)

Partie gauche

c s A

Si on place le chevalet en B puis en C (lautre chevalet restant fixe en A) on obtient la deuxiegraveme fois un son situeacute agrave la sixte mineure supeacuterieure du premier (rapport des freacutequences 85)

() Zarlinienne avant lheure

47


Encadreacute 15

Le tempeacuterament meacutesotonique Il sagit du systegraveme daccordage des clavecins qui a eacuteteacute le plus utishyliseacute au 17e siegravecle

Lideacutee de base en eacutetait de donner la prioriteacute agrave la tierce sur la quinte de faccedilon agrave ameacuteliorer lharmonie La base de cet accordage est la suivante

On commence par former la tierce exacte DO-Ml (rapport de freacuteshyquences 54) Puis agrave partir du DO on accorde un cycle de 4 quintes DO-SOL-REacute-LA-Ml Ce Ml final devant ecirctre le mecircme que le premier obtenu il est neacutecessaire de raccourcir les quintes en effet si on appelle x le rapport de freacutequences dune telle quinte on doit avoir x4 = (54) 22 bull

tierce on a monteacute Do-Mi de 2 octaves

4 Dougrave x $cest-agrave-dire environ 1495 (au lieu de 1 5)

quinte quinte quinte courte courte courte r-=l --~-RE------middot LA ~j

preuve~(controcircle)

Cette base eacutetant eacutetablie il reste agrave accorder les 7 notes restantes de leacutechelle ce que lon fait gracircce agrave des tierces (exactes)

Mi b- SOL Si 1 Fa -- LA Do

Si b --- REacute ________ Fa 1Jll---- Sol1

On a donc ainsi 8 tierces exactes

Remarquons eacutegalement que les touches noires (cest-agrave-dire correspondant aux notes alteacutereacutees bien que sur les clavecins les couleurs des touches eussent freacutequemment eacuteteacute inverseacutees par rapport au piano moderne) correspondent aux trois premiers diegraveshyses et aux deux premiers beacutemols Ce qui fait que les tonaliteacutes comportant beaucoup dalteacuterations sonneront moins bien Consideacuterons en particulier la quinte constitueacutee par les notes extrecircshymes de la seacuterie Sol -Mi b Pour cette quinte le rapport des freacuteshyquences est eacutegal agrave Faites le calcul (reacuteponse et preacutecisions page 721 pour ceux qui veulent voir le loup)

48



Citons eacutegalement en Europe la gamme par tons chegravere agrave Debussy obtenue en prenant un degreacute sur deux de leacutechelle de Werckmeister (voir Encadreacute 22) ainsi que plus reacutecemment le TEQJ de Serge Cordier (voir Encadreacute 23) Et pour terminer un tempeacuterament rationnel (qui a eacuteteacute

effectivement utiliseacute) et qui est baseacute sur le fait que ~(irrationnel bien sucircr) est tregraves voisin du rationnel196185 En effet en prenant cette valeur rationnelle pour le demi-ton on obtient une octave presque exacte ((196185)12 = 199992) juste un tout petit peu trop courte (leacutecart nest que de 007 cent l)

Encadreacute 16

Les touches ~~briseacutees du clavecin

Au deacutebut du 17bull siegravecle avant lavegravenement du tempeacuterament eacutegal il eacutetait difficile de faire entendre un Sol (par exemple) pour un La b ou linverse Or le clavecin eacutetant accordeacute dune faccedilon donshyneacutee on ne pouvait faire entendre que lune de ces deux notes agrave lexclusion de lautre Pour tourner la difficulteacute et accroicirctre ainsi les possibiliteacutes de linstrument des facteurs (dont Giovanni Batshytista BONI) imaginegraverent de briser certaines touches noires (voir Encadreacute 15) il sagissait en fait de couper la touche en deux dans le sens de la largeur chacune des deux parties de ladite toushyche faisant vibrer une corde accordeacutee diffeacuteremment

Exemple

~ ~ PO 111 FA-1f Llb sib

rshy - rshy PROFiL

DO REacute Ml FA SOL lA SI

Le revers de cette innovation eacutetant bien sucircr la difficulteacute accrue de jouer dun tel instrument ce systegraveme inteacuteressant ne connut pas une tregraves grande vogue Signalons que pour lorgue Gottfried FRITSCHE arriva indeacutependamment agrave la mecircme solution que BONI dix ans plus tard)

49


Encadreacute 17

Les eacutechelles des instruments Les instruments agrave vent sont baseacutes sur la seacuterie des harmoniques (voir lexemple du galoubet Encadreacute 1) Le cor peut donner jusquau 16bull harmonique (en rectifiant au besoin par le souffle ceux qui seacutecartent trop de leacutechelle usuelle) La trompette ne va que jusquau 12bull et le trombone que jusquau 8bull (exceptionnellement jusquau 10bull) De plus les instrushyments ci-dessus ne donnent pas le son fondamental au contraire de la flucircte (harmoniques de 1 agrave 5)

Les instruments agrave cordes de la famille du violon ont 4 cordes accordeacutees de quinte en quinte() Laccord est donc en principe celui de leacutechelle pythagoricienne Mais seuls les quatre sons donshyneacutes par les cordes agrave vide et les harmoniques naturels sont fixeacutes les autres sont laisseacutes au choix (ou aux possibiliteacutes) de lexeacutecutant

La guitare la mandoline la viole sont des instruments agrave sons fixes (voir encadreacute 18) Ils sont baseacutes sur leacutechelle tempeacutereacutee

Le piano la harpe sont (theacuteoriquement) accordeacutes suivant leacutechelle tempeacutereacutee

Pour lorgue on a essayeacute agrave peu pregraves toutes les eacutechelles

() NB la contrebasse accordeacutee de quarte en quarte apparshytient agrave la famille de la viole

50


HAUT

chevaet

Encadreacute 18

Quelques mesures sur la guitare

Le manche dune guitare comporte de petites barres meacutetalliques transversales en saillie (les sillets ou frettes) Ces frettes sont destineacutees agrave modifier de faccedilon discontishynue la longueur de la corde qui vibre si lon pose le doigt sur une corde dans une des cases deacutelimiteacutees par les fretshytes la longueur de la corde qui pourra vibrer sera celle qui sera comprise entre le chevashylet et la frette situeacutee justeBAS au-dessous du doigt

doigt

ti_-_cor_Je __ ~_---------P-~_

fetle agraveev~le De haut en bas appuyer le doigt sur les cases successives monte agrave chaque fois le son dun chouiumla Sur une guitare on a mesureacute les distances successives dn entre les frettes et le chevalet Les reacutesultats (en mm) sont consigneacutes ci-dessous

660 623 588 555 524 495 467 441 416 393 371 350 330 311 293 277 262 247 233 220

(Rappel la freacutequence du son eacutemis par une corde vibrante est inversement proportionnelle agrave la longueur de cette corde)

Calculez les valeurs successives de ~- On constate que ce dn+1

rapport est sensiblement constant (de lordre de 106) On peut donc raisonnablement faire lhypothegravese que tous les chouiumlas sont eacutegaux() De plus on arrive au milieu de la corde au bout de 12 cases Il y a donc 12 chouiumlas dans une octave (en fait les musishyciens disent plutocirct demi-ton tempeacutereacute que chouiumla)

()La suite fdn) est donc geacuteomeacutetrique

51


Calculez les longueurs successives Xn des cases deacutelimiteacutees par les frettes On constate que au deacutebut tout au moins les Xn deacutecroissent agrave peu pregraves lineacuteairement Cela sexplique par le fait que le rapport

dn (constant) est du type 1 + 8 (avec 8 petit par rapport agrave 1 ) dn+1

doOnaxn-1=dn -dnetdn=--- (n = 12 19)

(1 + 8)n

do d0 d08 D ou Xn-1 = --- =---=d08 (1 +8) n

(1+8)n~1 (1+8)n (1+8)n

Pour n pas trop grand nous aurons donc Xn -1 d0 8 ( 1 - n8)

Encadreacute 19

Quelques commas

Le mot de comma en musique deacutesigne des tas de choses dif shyfeacuterentes En fait cest un veacuteritable fourre-tout car les musiciens ont tendance agrave appeler comma tout intervalle infeacuterieur au demishyton En voici quelques exemples parmi dautres

- Nous connaissons deacutejagrave le comma pythagoricien diffeacuterence 27entre 12 quintes et 7 octaves Rapport de freacutequences (32) 12

( 1 0136) soit environ 234 cents

le comma syntonique (ou didymique) diffeacuterence entre la tierce pythagoricienne et la tierce naturelle (harmonique) Rapport de freacutequences (34 26) (54) soit 8180 ( 10125) ou environ 215 cents

- le comma schisma de Zarlino diffeacuterence entre le ton majeur et le ton mineur de leacutechelle de Zarlino Rapport de freacutequences (98) (109) cest-agrave-dire 8180 Le comma schisma nest autre que le comma syntonique

- le comma de Hoder Nous avons vu quil sagit du 53 53

doctave Rapport de freacutequences $( 1 0132) soit environ 226 cents

- le comma tempeacutereacute diffeacuterence entre la quinte naturelle et la 27112quinte tempeacutereacutee Rapport de freacutequences (32)

( 10011) soit environ 2 cents

52


Encadreacute 20

lAre lAre Au sujet des indigegravenes AreAre de Malaita (les Salomon)

Leacutechelle musicale de base des flucirctes de Pan joueacutees en formation est eacutequiheptatonique cest-agraveshydire que loctave est divishyseacutee en 7 intervalles eacutequishydistants Chez les AreAre leacutechelle eacutequishyheptatonique apparaicirct sous deux formes ou bien tous les instruments dun ensemble possegravedent leacutechelle complegravete des sept intervalles eacutequidistants (ensemble au tahana) ou bien leacutechelle eacutequiheptatoshynique est reacutepartie sur deux instruments formant paire lun ayant les tuyaux 1 3 5 7 etc lautre les tuyaux 2 4 6 8 etc (ensembles au keto et au takaiori)

Le quatriegraveme ensemble de flucirctes de Pan (ensemble au paina) est composeacute dinstruments dont leacutechelle pentaphonique est consideacuteshyreacutee par lesAreAre comme eacutetant extraite de leacutechelle eacutequiheptashyphonique En effet quand ils fabriquent de nouveaux instruments du type au paina et quil ny a pas de vieux instruments pouvant servir de modegravele pour laccord les AreAre prennent un instrushyment du au tahana et mesurent la longueur des tuyaux 123568 etc

Hugo Zemp (notice daccompagnement des disques Flucirctes de Pan meacutelaneacutesiennes AreAre- Disques Vogue 1971 Coll Museacutee de lHomme)

53


Encadreacute 21

Une eacutechelle arabe

Le systegraveme tonal arabe est lieacute agrave la position des frettes (voir Encashydreacute 18) sur le manche du Oud (luth) et ce depuis le ge siegravecle() Vers cette eacutepoque le theacuteoricien Al-Farabi (mort en 950) procegravede agrave une division theacuteorique de loctave en 25 intervalles (ineacutegaux) cershytaines subdivisions sobtenant agrave partir des quintes pythagoricienshynes dautres non et sur cette eacutechelle il choisit des modes de 7 sons

Au 19e siegravecle le Libanais Michael Meshaqa (1800-1889) fait paraicircshytre un traiteacute Limmas et commas dans lequel il preacuteconise la division de loctave en 24 parties Pour ce faire il indique un proshyceacutedeacute qui permet de trouver la longueur des cases successives sur le manche du Oud et qui est le suivant

Soit AB la longueur de la corde agrave vide On A c construit le triangle ABC rectangle en A tel

- 1que AC - - AB 36

On place le milieu D de [ABL puis on divise [AD] en 24 parties eacutegagraveles Par chacun des points de subdivision lp on megravene la parallegravele agrave (AC) qui coupe (BC) en Jpmiddot

Les distances lpJp sont les longueurs successhysives des cases agrave reporter sur le manche du Oud (en partant du haut) Pour loctave supeacuterieure on reacuteitegravere le proceacutedeacute agrave partir de DE (E milieu de [BC]) Les modes sont alors construits en prenant certains eacuteleacutements de

B cette eacutechelle agrave 24 notes

Cette faccedilon tout empirique de proceacuteder appelle bien sucircr deux questions

1) Arrive-t-on bien au bout de 24 frettes agrave boucler loctave

2) Les intervalles successifs ainsi deacutetermineacutes sont-ils eacutegaux


()Le oud actuel ne comporte plus de frettes (sauf parfois en Tunisie)

54


Encadreacute 22

La gamme par tons Elle sobtient en prenant une note sur deux de leacutechelle tempeacutereacutee il en existe donc deux formes (et deux seulement) transposeacutees lune de lautre

Soit en notation chiffreacutee

00 02 04 06 08 10 et 01 03 05 07 09 11

(Ces deux formes sont dailleurs disjointes)

La gamme par tons a tous ses intervalles successifs eacutegaux donc aucune note ne peut jouer le rocircle de tonique

Olivier Messiaen (neacute en 1908) la rangeacutee parmi ses modes agrave transshypositions limiteacutees (cest le premier mode) Auparavant on la trouve chez Debussy (voir ci-dessous) mais aussi chez Dukas Liszt Schubert et Mozart (Une plaisanterie musicale 1787)

Voici le deacutebut de Cloches agrave travers les feuilles une des Images pour piano de Debussy (1905) (Cest la forme 2 qui est utiliseacutee)

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Encadreacute 23

Un autre tempeacuterament eacutegal middot le TEQJ

Une eacutetude expeacuterimentale fine des harmoniques montre que les harmoniques successifs dune corde de freacutequence f nont pas exactement pour freacutequences 2f 3f 4f etc mais des freacutequences leacutegegraverement plus eacuteleveacutees (surtout dans le cas du piano) Ce pheacutenoshymegravene est linharmoniciteacute

En accord avec cette constatation Serge CORDIER a eu lideacutee dun nouveau tempeacuterament eacutegal (conduisant agrave une nouvelle techshynique daccordage) il sagit cette fois de diviser non plus loctave en 12 intervalles eacutegaux mais la quinte en 7 intervalles eacutegaux Dougrave un tempeacuterament eacutegal agrave quintes justes (TEQJ) Le demi-ton du TEQJ correspond donc au rapport de freacutequences V32 (contre

1VI pour le tempeacuterament usuel) et loctave du TEQJ au rapport (32) 1217 (contre 2 pour le tempeacuterament usuel)

Or (32) 1217 est sensiblement eacutegal agrave 20039 Loctave du TEQJ est donc leacutegegraverement plus grande que loctave classique (eacutecart environ 33 cents) ce qui est plutocirct en accord avec le pheacutenomegravene dinharmoniciteacute signaleacute plus haut

(Pour plus de deacutetails voir le livre de S Cordier citeacute en Biblioshygraphie)

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2 NOTRE

EacuteCHELLE TEMPEacuteREacuteE

Vous savez que les inventions humaines marchent du composeacute au simple et que le simple est toujours la perfection

A DUMAS

Leacutechelle tempeacutereacutee est on la vu baseacutee sur un seul intervalle le demi-ton tempeacutereacute (nous le noterons I) et loctave (que nous noterons Q) comporte 12 demi-tons Q = 12 I

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I NOTATION

Tout intervalle de leacutechelle sera de la forme pl (p E Z) les musiciens lappellent intervalle de p demi-tons (ascendant si p gt 0 descendant si p lt 0)

Les sons de leacutechelle situeacutes dans lintervalle [f 2f[ ont pour freacutequenshy

ces fn = 2n112 f avec nE 0 1 11 On peut se contenter de les noter par leur indice (fn seacutecrira ni) alors tout son du systegraveme pourra seacutecrire ni + puuml (pEZ) ou encore (n + 12 p)I

En fait il sagit lagrave dune notation numeacuterique de Z dans la base 12 ougrave p est le chiffre des douzaines (positif ou neacutegatif) et n celui des uniteacutes cest cette notation quutilisent certains compositeurs actuels (P Barshybaud) qui utilisent linformatique en eacutecrivant ainsi les douze chiffres uniteacutes

00 01 02 09 10 11

Avec cette eacutecriture en base 12 le chiffre des douzaines sera le numeacutero doctave celui des uniteacutes pourra servir agrave qualifier les notes puisque tous les sons dune mecircme note seacutecriront avec le mecircme chiffre des uniteacutes (Par exemple Do correspondra agrave 00) Mais leacutechelle nest encore que relative puisque les freacutequences de tous les sons deacutependent de lune delles Il sufshyfit pour que toutes les freacutequences soient deacutetermineacutees den fixer une Par une convention de 1939 il a eacuteteacute deacutecreacuteteacute que la freacutequence du son 309 serait de 440 herz()

Pour reacutesumer ce qui preacutecegravede voyez ci-dessous la repreacutesentation dune partie de leacutechelle la troisiegraveme octave

n Do

300 301 30l 3D3 30t 305 306 30J 301 ~10 3fl (Ut)

~ On donne eacutegalement des noms aux sons de leacutechelle le nom dun

son sera celui de la note agrave laquelle il appartient accompagneacute du numeacutero doctave

Exemples 309 sappellera La 3 403 sappellera Mi beacutemol4 (ou Reacute diegravese 4 puisque

lon a identifieacute les deux notes)

(Pour vous deacutetendre vous pouvez vous amuser avec les Encadreacutes 24 et 25 Dautres corps sonores et La Reine des Cloches)

()Il ny a pas contradiction aveclEncadreacute 8 car si le La 3 (309) a pourjreacutequence440 Hz alors le Do 0 (000) a bien pour freacutequence 327 Hz (environ)

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Encadreacute 24Dautres corps sonores Mes enfants ont un petit meacutetallophone dont les lames sont des morceaux coupeacutes dans une mecircme barre plate de section consshytante Curieux de nature jai mesureacute les longueurs des barres et jai obtenu les reacutesultats suvants (du grave agrave laigu)

Note DO RE Ml FA SOL LA SI DO RE Ml FA SOL LA SI DOtempeacutereacutee

Longueur 124 117 110 107 101 95 90 88 83 78 76 72 68 64 62 en mm

Est-il possible de tirer de ce tableau une relation liant la freacutequence du son eacutemis et la longueur de la barre

(Reacuteponse page 122)

Encadreacute 25La reine des cloches Au Kremlin agrave Moscou se trouve le clocher dIvan le Grand (termineacute en 1600 sous le regravegne de Boris Goudounov) Ce clocher contient 31 closhyches ou plutocirct 30 seulement car la plus grosse dentre elles la Reine des Cloches (Tsar Kolokol) construite en 1733-35 est tombeacutee en 1737 et a depuis eacuteteacute installeacutee au pied de la tour sur un socle de granit Elle pegravese 12 000 pouds mesure 614 m de haut commente le guide et 660 m de diamegravetre Un visishyteur curieux lui demande alors Quel son donnait donc Tsar kolokol Et le guide pas embarrasseacute du tout de reacutepondre Cest bien simple

admettons que la freacutequence de vibration dune cloche est inverseshyment proportionnelle agrave la racine cubique de sa masse (ce qui est agrave peu pregraves vrai) Dautre part le gros bourdon de Notre-Dame agrave Paris qui donne le Reacute 2 pegravese 16 tonnes Alors faites-le calcul Et vous saurez-vous satisfaire la curiositeacute du touriste ( 1 poud = 16381 kg) (Reacuteponse page 122)

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II UNE APPROCHE POSSIBLE DE LA STRUCTURE DE LEacuteCHELLE TEMPEacuteREacuteE DANS LE PREMIER CYCLE

On peut ici utiliser un carillon (improprement appeleacute xylophone) et ceci de deux faccedilons diffeacuterentes suivant les eacutelegraveves auxquels on a affaire et les possibiliteacutes mateacuterielles

a) Carillon diatonique (I) agrave lames interchangeables

A leacutetat normal le carillon comporte les lames DO REacute MI FA etc (non alteacutereacutees) on demande aux enfa~ts dessayer de jouer Fregravere Jacshyques (jusquagrave Dormez-vous inclus) sur le carillon Ils sapercevront alors quils ne peuvent y arriver quen choisissant DO ou SOL comme note de deacutepart (les lames sont marqueacutees)

On se propose alors de classer expeacuterimentalement les eacutecarts entre deux lames conseacutecutives du carillon du point de vue de limpression quen reccediloit loreille (2) En effet que lon commence par DO ou par SOL on a la mecircme impression auditive on reconnaicirct lair or dans chacun des cas on a eu les correspondances suivantes entre paroles et musique (cest-agrave-dire lames du carillon)

Paroles Fregrave re Ja cques (bis) Dor mez lvous (bis)

egravere lame DO DO REacute MI DO MI FA SOL

egravere lame SOL SOL LA SI SOL SI DO REacute

On classera donc ensemble les eacutecarts (DO REacute) et (SOL LA) (corresponshydant agrave Fregrave-re)

(REacute Ml) et (LA SI) (MI FA) et (SI DO) (FA SOL) et (DO REacute)

Si maintenant on part de REacute on constate que la lame FA (corresponshydant au Ja- de Jacques) nest pas bonne car trop grave il faushydrait donc la remplacer par une lame FA + au son un peu plus aigu Une telle lame existe dans le stock des lames inutiliseacutees (la rechercher) et sappelle FA

Si on effectue le remplacement de FA par FA tout rentre dans lordre ce qui fait quon a cette fois la correspondance

Paroles Fregrave re Ja cques Dor mez vous

1ere lame REacute REacute MI FA REacute FA SOL LA

()Diatonique ne comporte que les notes non alteacutereacutees par opposition agrave chromatique qui comporte toutes les notes de leacutechelle (2) Gracircce agrave la relation deacutequivalence sur les eacutecarts a 3_ b~leacutecart entre les deux sons de a est analogue agrave leacutecart entre les deux sons de b

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Premiegravere conseacutequence Leacutecart (MI FA) est plus faible que leacutecart (MI FA) puisquon a eacuteteacute obligeacute de monter le FA

Deuxiegraveme conseacutequence On peut ranger les eacutecarts en deux classes deacutequishyvalence seulement (par comparaisons de proche en proche)

Ecarts de type A (DO REacute) (REacute MI) (FA SOL) (SOL LA) (LA SI) Ecarts de type B (MI FA) et (SI DO)

Loctave peut donc se scheacutematiser de la maniegravere suivante

Do Reacute Mi F~ Sol La Si (Do)

B Agrave Agrave A BA

Nous avons donc mis en eacutevidence lexistence de 2 types deacutecarts dans la gamme usuelle (majeure) les grands (type A) sont les tons et les autres (type B) les demi-tons()

Dans un second stade on peut envisager lapproche de la gamme chromatique toujours sur lair de Fregravere Jacques en changeant agrave chashyque fois la note de deacutepart

bull Si on commence par MI on est obligeacute de monter outre le FA (~FA) le SOL (~SOL) bull Si on commence par FA on est cette fois obligeacute de baisser le SI ( ~ Sib )(2)

bull Si on commence par LA il faut monter le DO (~ DO) bull Enfin si on commence par SI il sera neacutecessaire de monter le DO (~DO) le REacute(~ REacute) (3) et le FA(- FA)

Nous sommes alors en possession du tableau geacuteneacuteral suivant


1ere lame DO DO REacute MI DO MI FA SOL


1ere lame MI lvii FA SOL MI SOL LA SI

1ere lame FA FA SOL LA FA LA SI b DO

1ere lame SOL SOL LA SI SOL SI DO REacute

1ere lame LA LA SI DO LA DO REacute MI

1ere lame SI SI DO REacute SI REacute MI FA

(1) Nous justifierons plus loin pourquoi on les appelle justement demi-tons (2) Qui nexiste peut-ecirctre pas quelques tacirctonnements permettront alors de voir que la lame marqueacutee LA fait tregraves bien laffaire (3) Voir note preacuteceacutedente Ici cest peut-ecirctre MI b quon trouvera

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Le classement des eacutecarts nous permet de reacutepartir les 12 notes obteshynues au total de la maniegravere suivante

Do Dot Reacute Reacutet Mi f41 F~i Sol Soif La Sib Si (Do)

~____y ~~~ A A ( A

Sur ce scheacutema nous voyons que les eacutecarts de type A ont eacuteteacute ampushyteacutes dun eacutecart de type B ce qui fait que si lon considegravere maintenant la gamme de 12 notes les eacutecarts entre deux lames conseacutecutives sont ou bien de type B ou bien dun type C obtenu en retranchant un eacutecart de type B dun eacutecart de type A

Nous nous proposons donc maintenant de comparer les eacutecarts de type B et les eacutecarts de type C deux eacuteventualiteacutes sont agrave envisager

ex) Nous avons deacutejagrave rencontreacute la lame LA en commenccedilant Fregravere Jacques par la lame FA et nous lavons identifieacutee avec SI b

(3) Sinon on demande aux enfants de prendre comme note de deacutepart FA ils peuvent alors constater quils doivent monter le SOL (- SOL) ainsi que le LA(- LA) et le DO(- DO) Par malshychance il ny a pas de lame marqueacutee LA Une petite recherche monshytrera alors que la lame marqueacutee SI b joue le mecircme rocircle

La conclusion agrave en tirer reacutesultera dune simple constatation puisque LA et SI b donnent le mecircme son et que les eacutecarts (LA SI b ) et (LA SI) sont tous deux de type B nous avons forceacutement la configuration suishyvante La B s b

B Si cest-agrave-dire que les eacutecarts de type B et de type C sont eacutequivalents

Autrement dit un ton vaut bien deux demi-tons et la division chromatishyque de loctave se fait en douze parties eacutequivalentes (demi-tons)

Do Reacute Mi Fa Sol La Si (Do) œ œ 1 œ œ œ $ œ ~

Dol Reacute Fat- Sol~ La1f NB Remarquant que les lames dieacuteseacutees sont un demi-ton plus haut on peut alors faire admettre la geacuteneacuteralisation de cette proprieacuteteacute (donc Ml = FA et SI = DO) ainsi que la proprieacuteteacute du beacutemol dabaisser le son dun demi-ton (proprieacuteteacute rencontreacutee dans le cas de SI b )

Voilagrave donc les enfants en possession des 12 notes de la gamme chromatishyque (et en plus des 7 notes de la gamme majeure)

b) Carillon chromatique agrave deux rangeacutees de lames

Ce cas est analogue au preacuteceacutedent agrave cette diffeacuterence pregraves quici les lames correspondant aux notes alteacutereacutees se trouvent sur une seconde ranshygeacutee au lieu decirctre en reacuteserve

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III LES TONALITES MAJEURES

Comme nous lavons vu plus haut la tonaliteacute de Do majeur est (toushyjours dans la troisiegraveme octave) deacutefinie par

Do ti Fa Sol La Si (Do)

300 302 304- 305 301 311 (~00)

La tonaliteacute de Do majeur est donc constitueacutee des 7 notes 00 02 04 05 07 09 11

Elle apparaicirct comme extraite dune eacutechelle plus vaste ce qui nest pas un cas unique (voir Encadreacutes 12 21 26 et 27) Une tonaliteacute majeure sera deacutefinie de faccedilon geacuteneacuterale par la succession (ascendante) des intervalles successifs 21 21 1 21 21 21 1

Mais une tonaliteacute nest pas seulement un ensemble de notes puisque la construction de Zarlino comme celle de Pythagore leur fait jouer des rocircles diffeacuterents Une tonaliteacute est en fait un septuplet de notes (ce qui justishyfie le nom de degreacutes donneacute agrave ces notes) Cependant par abus de langage nous appellerons eacutegalement tonaliteacute lensemble des notes

Traditionnellement on donne un nom agrave chaque eacuteleacutement de ce septushyplet ce sont dans lordre

tonique sus-toniquemeacutediantesous-dominantedominantesus-doshyminantesensible Nous aurons par exemple pour la tonaliteacute de Mi beacutemol majeur

Note -----middot

Codage

Mi b Fa Sol La b Si b Do Reacute

03 05 07 08 10 00 02 Nom tonique sus-ton meacutediante sous-dom domin sus-dom sensible

IV LES TRANSPOSITIONS

Dans le cas preacutesent la transposition associeacutee agrave lintervalle ni sera laddition (algeacutebrique) de n demi-tons (nous la noterons tn)

Comme le systegraveme tempeacutereacute a eacuteteacute inventeacute dans ce but cest bien la moindre des choses que les transpositions nen fassent pas sortir Cepenshydant comme une tonaliteacute ne comprend que 7 notes sur les 12 il nest pas sucircr que les transpositions la laissent (globalement) invariante Voyons sur un exemple la transposition de 4 demi-tons de Do majeur

Note de Do majeur 00 02 04 05 07 09 11

Note transposeacutee 04 06 08 09 11 01 03

4 des notes obtenues nappartiennent pas agrave Do majeur

06 08 01 et 03

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Quelle que soit la transposition envisageacutee on obtient dailleurs des notes eacutetrangegraveres Le tableau ci-dessous rassemble les reacutesultats suivant le nombre (positif) de demi-tons de la transposition

Remarque La recherche qui conduit agrave ce tableau peut ecirctre faciliteacutee par lutilisation dun disque transpositeur construit de la faccedilon suivante

Reacutealisons un cadran dhorloge en carton (cercle partageacute en 12 arcs eacutegaux) numeacuteroteacute de 00 agrave 11 (le 12 de lhorloge est remplaceacute par 00) Chashyque chiffre deacutesigne bien sucircr une note de leacutechelle Au centre de ce cadran fixons-en un autre semblable mais de diamegravetre leacutegegraverement infeacuteshyrieur (gracircce agrave une attache parisienne) Transposer de n demi-tons revienshydra agrave faire correspondre au 00 du cadran fixe le n du cadran mobile Ainsi pour transposer de 7 demi-tons nous placerons le 07 du cadran mobile en face du 00 du cadran fixe Il ne restera plus alors quagrave lire la correspondance cadran fixe _____ cadran mobile

u9

(On peut mecircme sur chacun des cadrans signaler les notes de Do majeur pour faire apparaicirctre plus clairement les notes communes)

TONALITEacuteS MAJEURES VOISINES

Le tableau preacuteceacutedent fait apparaicirctre deux transposeacutees de Do majeur qui nen diffegraverent que par une seule note ce sont celles qui ont pour tonishyques 05 et 07 Ces deux tonaliteacutes (Fa majeur et Sol majeur) sont appeleacutees tonaliteacutes majeures voisines de Do majeur (plus geacuteneacuteralement les tonaliteacutes voisines dune tonaliteacute majeure donneacutee seront ses transposeacutees par t5 et t 7

cest-agrave-dire une quinte en dessous ou au-dessus)

V

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Encadreacute 26

Musique agrave Bali

A Bali chaque ensemble instrumental (principalement composeacute de meacutetallophones) possegravede sa propre eacutechelle (et un mecircme village peut posseacuteder jusquagrave dix ensembles voire plus) Autant dire quil ny a pas de veacuteritable eacutechelle musicale balinaise (du fait quil y en a trop )

On en distingue cependant deux grands types comme agrave Java

- lun pentatonique est pratiquement un tempeacuterament eacutegal (slendro javanais)

- lautre heptaphonique (pelog javanais) est plus variable et comporte de grands et de petits intervalles

Au sujet de cette derniegravere eacutechelle Urs RAMSEYER (voir Biblioshygraphie) note

De mecircme que notre musique est baseacutee sur une gamme chromashytique comprenant douze notes formant le reacuteservoir dont on tire les notes neacutecessaires pour former diffeacuterentes gammes diatoniques majeures ou mineures auxquelles on peut ajouter lune ou lautre note auxiliaire les sept notes de la gamme ( ) sont le reacuteservoir dont on tire des compositions pentatoniques compleacuteteacutees par une ou deux notes auxiliaires

RAMSEYER signale eacutegalement une curiositeacute balinaise qui se situe agrave lopposeacute de nos conceptions occidentales

A linteacuterieur des gammes comportant en tout sept notes disponishybles nous trouvons certaines notes se reacutepeacutetant deux fois Dans ces cas-lagrave les deux notes identiques sont accordeacutees de maniegravere agrave produire une leacutegegravere dissonance causeacutee par le nombre de vibrashytions que lon fera diverger consciemment le plus possible dune note agrave lautre ( )Selon lensemble des Balinais seules les ondushylations de ce genre permettront agrave une note de reacutesonner de vivre

Un accordage qui recherche les battements Etonnant nest-ce pas

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Dans Fa majeur (par rapport agrave Do majeur) le Si a eacuteteacute baisseacute dun demi-ton cest pourquoi on lappelle Si b de preacutefeacuterence agrave La De mecircme parmi les deux tonaliteacutes majeures voisines de Fa majeur lune (qui aura justement pour tonique le Si b preacuteceacutedent) nen diffeacuterera que par le Mi plus bas dun demi-ton quon appellera donc Mi b Ainsi de quinte descendante en quinte descendante vont apparaicirctre successiveshyment les notes beacutemoliseacutees Si b Mi b La b etc cest ce que lon appelle lordre des beacutemols les tonaliteacutes correspondantes eacutetant les tonalishyteacutes agrave beacutemols On arrecirctera la progression au moment ougrave lon obtiendrait des notes doublement beacutemoliseacutees cest-agrave-dire au bout de 7 quintes

Sol majeur diffegravere de Do majeur par le Fa qui est plus haut dun demi -ton (et donc appeleacute Fa ) De quinte ascendante en quinte ascenshydante on obtiendra successivement les notes dieacuteseacutees Fa Do Sol (ordre des diegraveses) les tonaliteacutes correspondantes eacutetant les tonaliteacutes agrave diegraveshyses On arrecirctera eacutegalement la progression au bout de 7 quintes On peut remarquer que lordre d apparition des diegraveses est inverse de celui des beacutemols ce que lon peut repreacutesenter par le scheacutema suivant

b fa Do Sol La Mi Si

PORTRAIT DE FAMILLE

A) Tonaliteacutes agrave diegraveses

Tonaliteacutes Sol M Reacute M La M Mi M Si M FaM[ DoM1

Alteacuterations L 2 1 3 4 1 5 6 1 71 1

Bl Tonalite agrave beacutemols

Tonaliteacute F-aM SibM MibM Sol bM DobM

Alteacuteration 2 6 7

Remarque Consideacuterons les paires de tonaliteacutes suivantes

Si M Dob M] FaM Solb M] DoM Reacute b M]

Dans chaque paire les deux tonaliteacutes sont formeacutees des mecircmes notes (mais une note donneacutee a deux noms diffeacuterents suivant la tonaliteacute dans laquelle elle figure) Les eacuteleacutements dune mecircme paire sont dits enharmoniques lun de lautre

VI LES TONALITEacuteS MINEURES

Nous avons vu lors de leacutetude du cycle des quintes quil existait un autre mode que le mode majeur le mode mineur ancien qui est obtenu par un simple changement de la note de base du mode majeur (dans Je cas de Do majeur on part de La au lieu de Do) Dans leacutechelle

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Encadreacute 27

Les touches noires du piano

On a coutume de dire que si lon joue uniquement sur les touches noires du piano on obtient de la musique genre chinois Cest (presque) vrai

Consideacuterons en effet les notes FA SOL LA DO REacute de leacutechelle tempeacutereacutee

Fl Sol~ Laitmiddot

Fa reg

5ol e

La 9

Si Do Reacute Mmiddot Fa

Prenons comme reacutefeacuterence la freacutequence f dun FA et chershychons les repreacutesentants des autres notes qui se trouvent dans [f2f[ Nous avons

Note Fa Sol La Do 1

Reacute

Rapport de freacutequences

1 22112 24112 27112 1i

29112

Valeur approcheacutee

1 1122 1259 1498 1

i 1682

Dans leacutechelle pentatonique chinoise nous aurions nous lavons vu

Note Fa Sol La Do Reacute



1

1

98

1 125

8164

1266

32

1500

2716

1687

Lapproximation est donc tout agrave fait acceptable (leacutecart maximum sur les La est infeacuterieur agrave 8 cents) Ceci sexplique dailleurs par le fait que les notes dieacuteseacutees sobtiennent elles aussi par des quinshytes ascendantes successives

Les compositeurs occidentaux ne se sont pas priveacutes dutiliser la musique sur les touches noires pour composer des chinoiseries Voici agrave titre dexemple un passage de Laideronshynette impeacuteratrice des pagodes (extrait de Ma Megravere lOye de RAVEL) ---- ---shy

middot~ _ ---- ----shy

sect1llrJrbltifJJiucircucirc tl1 ut1

67


tempeacutereacutee la tonaliteacute de La mineur ancien est donc le septuplet (09 11 00 02 04 05 07)

La Si Do Ri 1i Fa Sol (La)

209 21-t 300 302 304- 305 (309)

Mais par suite de attraction de la tonique le Sol sest trouveacute hausseacute dun demi-ton ( -gt Sol)

La Si Do Reacute Mi Fa Soi-t (La)

111 300 301 301t 305 soa (309)

La tonaliteacute de La mineur est donc finalement constitueacutee du septuplet (09 11 00 02 04 05 08) et plus geacuteneacuteralement une tonaliteacute mineure harmonique est deacutefinie par la succession (ascendante) dintervalles 21 1 21 21 1 31 I Cest cet intervalle de 31 qui donne agrave la tonaliteacute mineure son allure vaguement orientale

NB On donne aux degreacutes de la tonaliteacute mineure le mecircme nom quaux degreacutes de la tonaliteacute majeure

VII NOTES MODALES NOTES TONALES

1) On a remarqueacute que dans les tonaliteacutes de X majeur et de X mineur (appeleacutees tonaliteacutes homonymes) 5 degreacutes sont les mecircmes tandis que les deux autres sont plus bas dun demi-ton en X mineur Ce sont

- la meacutediante (3e degreacute) - la sus-dominante (6e degreacute)

Ces deux degreacutes qui diffeacuterencient les deux modes sont appeleacutes notes modales

2) Dautre part nous avons vu dans la Premiegravere partie que la tonaliteacute majeure (zarlinienne) pouvait ecirctre engendreacutee par trois APM placeacutes sur

- la tonique (1er degreacute) - la sous-dominante (4e degreacute) - la dominante (5e degreacute)

Regardons plus preacuteciseacutement la nature des accords de 3 notes obteshynus en prenant un degreacute sur deux de la tonaliteacute majeure (il sagit bien sucircr des approximations tempeacutereacutees des accords de leacutechelle zarlinienne mais nous leur donnerons le mecircme nom ainsi quaux intervalles)

Petits scheacutemas pour soutenir le raisonnement

61 r 61 3~cl 4d 5d 6bullcl

tierce ajeure tCf mirleoteœ œ 1d -1d 2d

ED

68


Nous avons 3 APM placeacutes sur les 1er 4e et se degreacutes 3 AP mineurs placeacutes sur les 2e 3e et 6e degreacutes un accord non identifieacute placeacute sur le 7e degreacute Cet accord

(constitueacute de deux tierces mineures superposeacutees) a reccedilu le nom de quinte diminueacutee

Etant donneacute que si on se limite au point de vue ensembliste la tonashyliteacute mineure ancienne (sans sensible) nest quune transposeacutee de la tonaliteacute majeure on trouvera dans ce cas

3 APM placeacutes sur les 3e 6e et 7e degreacutes 3 AP mineurs placeacutes sur les Iltr 4e et se degreacutes une quinte diminueacutee placeacutee sur le 2e degreacute

Ceci nous permet de conclure

Trois accords parfaits mineurs (resp majeurs) placeacutes sur les ]er 4e et se degreacutes dune tonaliteacute mineure ancienne (resp majeure) permettent dengendrer toutes les notes de cette tonaliteacute

Cest pour cette raison que ces trois degreacutes sont appeleacutes notes tonales

Remarque Si lon considegravere non plus la tonaliteacute mineure ancienne mais la tonaliteacute mineure usuelle (ou harmonique) on trouve cette fois

2 APM placeacutes sur les se et 6e degreacutes 2 AP mineurs placeacutes sur les 1er et 4e degreacutes 2 quintes diminueacutees placeacutees sur les 2e et 7e degreacutes un accord non identifieacute placeacute sur le 3e degreacute cest la quinte augmenshy

teacutee constitueacutee de deux tierces majeures superposeacutees

Nous disposons alors de la panoplie complegravete des accords de trois notes (en tant que couples de tierces celles-ci pouvant ecirctre majeures ou mineures)

~ mineure majeure middotmiddot~

mmeure

majeure

quinte diminueacutee

~-

APM

AP mineur

quinte augmenteacutee

---middot~

VIII RELATIVITEacute ET VOISINAGE

La tonaliteacute de La mineur est appeleacutee tonaliteacute mineure relative de Do majeur (de par son origine) et plus geacuteneacuteralement toute tonaliteacute majeure a comme tonaliteacute relative mineure celle qui a pour tonique son sixiegraveme degreacute

69


Inversement Do majeur est la tonaliteacute majeure relative de La mineur

Une tonaliteacute majeure et sa relative mineure (harmonique) ne diffegraveshyrent que par une note comme cest le cas pour deux tonaliteacutes majeures voisines

On eacutetend alors la notion de voisinage agrave lensemble des tonaliteacutes majeures et mineures en deacutecidant dappeler tonaliteacutes voisines dune tonashyliteacute majeure

- sa relative mineure - ses tonaliteacutes majeures voisines - les relatives mineures de celles-ci

De mecircme on convient dappeler tonaliteacutes voisines dune tonaliteacute mineure

- sa relative majeure - les tonaliteacutes majeures voisines de celles-ci - leurs relatives mineures

(il sagit bien dune extension de la notion puisque certaines des tonaliteacutes voisines diffegraverent de la tonaliteacute de deacutepart de plus dune note En fait si lon avait conserveacute les tonaliteacutes mineures anciennes on naurait bien quune seule note eacutetrangegravere dans tous les cas)

A quoi sert donc en musique cette notion de voisinage Voici

Dans la musique classique une œuvre musicale se refegravere agrave une tonaliteacute (majeure ou mineure) cest-agrave-dire quen principe on nutilisera dans le cours de lœuvre que les notes de ladite tonaliteacute En fait un des aspects de lart musical consiste justement agrave transgresser cette regravegle mais de faccedilon subtile il sagira de passer dune tonaliteacute agrave une autre (cest ce que lon appelle moduler) sans choquer lauditeur Le moyen dy parveshynir cest de nintroduire que le minimum de notes nouvelles donc de ne moduler que dans une tonaliteacute voisine

IX LES NOMS DES INTERVALLES

a) Nous avons vu au 1 quun son quelconque de leacutechelle tempeacutereacutee pouvait ecirctre codeacute par un triplet formeacute

1deg) dun des sept noms de note 2deg) (eacuteventuellement) dune alteacuteration 3deg) dun numeacutero doctave

A ce nom de son on peut associer canoniquement le nom de son qui correspond aux

- mecircme nom de note -mecircme numeacutero doctave

mais sans alteacuteration

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On deacutefinit ainsi une surjection (non injective) ltP de lensemble des noms de sons de leacutechelle tempeacutereacutee sur le sous-ensemble~ constitueacute des noms de sons non alteacutereacutes

Exemples Fa2 - Fa 2 Reacuteb3 - Reacute3 Lal- Lal

b) Pour deacuteterminer le nom dun intervalle deacutefini par deux sons codeacutes o et o

1deg) on remplace a et a par ltP(a) et ltP(a) 2deg) on compte le nombre de sons non alteacutereacutes seacuteparant les sons codeacutes ltP(a) et ltP(a) ceux-ci inclus Cest ce nombre qui deacuteterminera le nom que lon donnera agrave lintervalle

Nombre de sons 2 3 4 5 6 7 8 9

Nom seconde tierce quarte quinte sixte septiegraveme octave neuviegraveme

(Remarquons que les deacutenominations doctave quinte quarte correspondent bien agrave ce que nous avons deacutefini dans la Premiegravere partie (compte tenu de lapproximation du tempeacutereacute))~

Exemple Comment nommerons-nous lintervalle (Fa 2 Reacute b3)

ltP(Fa2) = Fa2 et ltP(Reacuteb 3) = Reacute3DeplusentreFa2etReacute3ilya6 sons non alteacutereacutes

fal Sol2 la2 Si2 Do3 ~i3

Lintervalle (Fa 2 Reacute b 3) est donc une sixte Mais on saperccediloit tout de suite quon ne peut pas se contenter de

ce seul nom il est impossible didentifier (Fa 2 Reacute b 3) et (Fa 2 Reacute 3) et qui sont pourtant toutes deux des sixtes la seconde est plus grande de 3 demi-tons que la premiegravere

Le principe de discrimination consistera agrave se reacutefeacuterer agrave deux eacutetalons la tonaliteacute majeure et la tonaliteacute mineure en consideacuterant les intervalles seacuteparant la tonique des autres degreacutes

G 1 bull 1 bull bull 1 bull bull 1 bull bull

IumlJ 1 bullUcade 1

tierct q~~t-

qui l tc sixte

~Ptl~ e oc cave

1 bull 1

bull 1 bull bull bull 1)

Tonalite YWjeU(C

Toalite Wfe

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X

Par convention ces intervalles sont dits majeurs dans le cas de la tonaliteacute majeure sauf(traditionnellement) la quarte la quinte et loctave qui sont dits justes (quoique certains musiciens contestent cette tradishytion)

Si nous regardons maintenant les intervalles dans le cas de la tonaliteacute mineure nous voyons que ce sont les mecircmes que ci-dessus sauf la tierce et la sixte (correspondant aux notes modales) qui sont plus petites dun demi-ton On les dit mineures et on geacuteneacuteralise

Deacutefinition un intervalle mineur est plus petit dun demi-ton que lintershyvalle majeur de mecircme nom (NB Ceci ne vaut pas pour les intervalles justes)

Revenons maintenant agrave notre sixte (Fa 2 Reacute b 3) Est-elle majeure ou mineure

Dans la tonaliteacute de Fa majeur la sixte (majeure) est (Fa 2 Reacute 3) La sixte mineure est donc (Fa 2 Reacute 3) Notre sixte nest donc ni majeure ni mecircme mineure En fait elle est plus petite dun demi-ton que la sixte mineure Un tel intervalle est dit diminueacute

Deacutefinition Un intervalle plus petit dun demi-ton que lintervalle mineur ou juste de mecircme nom est dit diminueacute

Deacutefinition Un intervalle plus grand dun demi-ton que lintervalle majeur ou juste de mecircme nom est dit augmenteacute

(NB Remarquer que la quinte diminueacutee et la quinte augmenteacutee sont eacutegalement des noms daccords (comportant dailleurs ces intervalles))

CONCLUSION

Malgreacute ses allures modernes et affranchies notre eacutechelle tempeacutereacutee continue agrave vivre avec son passeacute Pythagore (structure des tonaliteacutes ordre des diegraveses et des beacutemols ) aussi bien que Zarlino (accords notes tonashyles )

Nous verrons plus loin (Quatriegraveme partie) les efforts qui ont eacuteteacute faits depuis un siegravecle pour sen deacutebarrasser Mais auparavant nous allons revenir agrave des choses plus classiques

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3 QUELQUES PROCEacuteDEacuteS

IMITATIFS DU CONTREPOINT

Il nexiste point damour et de beauteacute dignes de ce nom sans loi et sans ordre

JS BACH

Le contrepoint a pour objet leacutetude de la musique dans son aspect horizontal cest-agrave-dire meacutelodique Cest lui qui reacutegit la musique polyshyphonique ougrave des lignes meacutelodiques se superposent (les lois de lharmonie venant ensuite reacutegenter cette superposition) La forme la plus eacutelaboreacutee de la polyphonie est sans conteste la fugue et nous allons ici en exposer quelques proceacutedeacutes

Une fugue est bacirctie sur un sujet thegraveme meacutelodique cest-agrave-dire sucshycession de sons de dureacutees diverses (ces dureacutees resteront en principe invashyriantes sauf dans laugmentation ougrave elles seront doubleacutees et la diminushytion ougrave elles seront diviseacutees par deux)

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1 DIAGRAMME MELODIQUE

Une meacutelodie peut ecirctre repreacutesenteacutee graphiquement par une ligne brishyseacutee dans un systegraveme daxes ougrave on porte

- en abscisses lordre dapparition des sons (sans tenir compte des dureacutees)

- en ordonneacutees les nombres (en base 12) repreacutesentant ces sons

Prenons lexemple du thegraveme de lOffrande musicale de JS Bach (Voir Encadreacute 28)

~t rnr rJi rmiddotr~q9rbfR rirr iMJ 5 rfi rr Ir 08 olshy

gIcirc03 oz 01

4~~ 10 03ol

JQ~

II TRANSPOSITION

Le sujet dune œuvre contrapuntique est exposeacute plusieurs fois() mais pour eacuteviter la monotonie le compositeur peut le transformer de plusieurs faccedilons

La maniegravere la plus simple de transformer un thegraveme musical est bien sucircr de le transposer (imitation directe) Mais comme on la vu plus haut la transposition fait moduler donc introduit des notes eacutetrangegraveres agrave la tonaliteacute pour en introduire le moins possible les imitations se font en geacuteneacuteral agrave la quinte (infeacuterieure ou supeacuterieure) on module ainsi dans une tonaliteacute voisine

Cest ainsi que nous trouvons agrave la mesure 10 de lOffrande

dont le diagramme meacutelodique est

(it)

() Notons au passage que la forme la plus simple de contrepoint imitatif est le canon qui consiste agrave faire entendre simultaneacutement un mecircme thegraveme sous la mecircme forme dans plusieurs voix avec un simple deacutecalage dans le temps

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Encadreacute 28 LOffrande musicale

Le Thegraveme royal (sujet de lOffrande musicale) est une eacutenigme Est-il de J-S Bach Est-il de Freacutedeacuteric Il

Quoi quil en soit lOffrande a vu le jour en 1747 agrave la suite dune invitation du Cantor par le Roi de Prusse Voici ce quen dit Bach lui-mecircme dans la deacutedicace de lœuvre

Cest avec un respectueux plaisir que je me souviens encore de la gracircce toute royale que voulut bien me faire il y a quelque temps votre Majesteacute en daignant me jouer lors de ma preacutesenJe agrave Potsdam un sujet de fugue et en daignant me demander de la traiter en son auguste preacutesence

Freacutedeacuteric Il eacutetait certes bon musicien (flucirctiste talentueux et composhysiteur honorable) mais de lagrave agrave composer un thegraveme aussi brillant et aussi riche en possibiliteacutes En fait il est plus vraisemblable de penser que ce thegraveme doit un peu aux deux hommes Dailleurs Bach na pas composeacute lOffrande en une seule journeacutee comme il le dit lui-mecircme

Je remarquai bientocirct que faute de la preacuteparation neacutecessaire il ne meacutetait pas possible de traiter un sujet aussi excellent de la faccedilon quil meacuteritait Je me deacutecidai alors agrave travailler ce sujet vraishyment royal en toute perfection et agrave le faire ensuite connaicirctre au monde

Lœuvre sarticule de la faccedilon suivante

Ndeg 1 Ricercare agrave trois voix (NB le Ricercare est un style de musique rechercheacutee comme son nom lindique sorte de fugue tregraves eacutelaboreacutee)

Ndeg 2 Canon perpeacutetuel Le Thegraveme royal sert de base agrave un canon agrave deux voix Voici le deacutebut de la partition

~il 1 Que signifient ces deux cleacutes sur la porteacutee infeacuterieure Eh bien que cette porteacutee en repreacutesente en fait deux lune agrave lire en cleacute de Sol Jautre agrave lire en cleacute de Fa 4e ligne (avec en plus un deacutecalage dune mesure)

Ndeg 3 Cinq canons divers (accompagnant le Thegraveme royal)

a) Canon agrave deux En voici le deacutebut et la fin

Bach annonce un canon agrave deux et neacutecrit quune seule ligne meacutelodique Il suffit de lire la partition en commenccedilant par la fin

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(comme le suggegravere la cleacute eacutecritegrave agrave lenvers) pour trouver la seconde voix (Krebscanon)

b) Canon agrave deux Violons agrave lunisson

c) Canon agrave trois par mouvement contraire En voici le deacutebut

ftlib Nra rHq rn Ceci correspond eacutegalement agrave deux voix une premiegravere lue normashylement en cleacute dUt 1egravere et une seconde lue en retournant la partishytion et en lisant de droite agrave gauche en cleacute dUt 3e (renversement sans modulation)

d) Canon agrave deux par augmentation et mouvement contraire

En exergue Bach a eacutecrit Notulis crescentibus crescat fortuna regis (Avec les notes qui augmentent que saccroisse la fortune du roi) Cette fois on trouve ~~ ~ J f1 f1

ti gtl~rec trllamp ~ +=

Ndeg 5 Ricercare agrave six

Ndeg 6 Canon agrave deux Quaerendo invenietis (Cherchez et vous trouverez)

Le deacutebut en est

La cleacute agrave lenvers suggegravere (voir Nos 3 c et d) que la seconde voix doit ecirctre renverseacutee Mais cette fois il sagit dun renversement exact

Ndeg 7 Canon agrave quatre

Ndeg 8 Sonate pour flucircte traversiegravere violon et basse continue

Ndeg 9 Canon perpeacutetuel par mouvement contraire Renversement exact comme au ndeg 6

Ce qui est le plus eacutepoustouflant nest-ce pas quavec autant dingeacuteniositeacute(cf en particulier le Ndeg 3d) lon puisse arriver agrave comshyposer daussi belle musique

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Par rapport au sujet initial il y a simplement eu translation verticale agrave lexception dune note() en vertu de la mutation qui dans une imitashytion agrave la quinte transforme la dominante en la tonique (comme la tonique est transformeacutee en la dominante)

III RENVERSEMENT

Une deuxiegraveme faccedilon dimiter un thegraveme est le renversement Le renversement est en fait une symeacutetrie affine deacutefinie sur leacutechelle tempeacuteshyreacutee par

z--- z n k- n (k entier relatif donneacute)

Cette transformation inverse le sens des intervalles successifs du thegraveme tout en conservant leur amplitude

Prenons par exemple k = 602 (toujours en notation duodeacutecimale) et transformons le thegraveme de lOffrande

400 ~--~ 202 403 --- 111 407 --- 107 408 -- 106 311 - 203

etc

Dougrave le diagramme meacutelodique

1ihecircMe B Re~V~YS~WCNt

H o1 B ot

200 tf to

oJ

t-0

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Remarques

a) le diagramme est symeacutetrique de celui du thegraveme par rapport agrave une horizontale

b) cette forme est utiliseacutee par Bach dans lOffrande (dans les no 6 (Canon agrave 2) et 9 (Canon perpeacutetuel)) mais agrave partir dune forme du thegraveme leacutegegraverement modifieacutee

IV REacuteCURRENCE

Autre proceacutedeacute dimitation la reacutecurrence (ou mouvement reacutetrograde) Il sagit ici tout simplement de jouer le thegraveme en commenshyccedilant par la derniegravere note et en remontant Dougrave le nom allemand Krebsshycanon (canon agrave leacutecrevisse)

La reacutecurrence du thegraveme de lOffrande aura pour diagramme Ol 0~0os 0~ 03 01 01

ltOO 11 3 oS

3or

Le diagramme bien sucircr est symeacutetrique de celui du thegraveme par rapshyport agrave la verticale Le Krebscanon est utiliseacute par Bach dans lOffrande au no 3a (Canon agrave 2) agrave partir dune leacutegegravere variante du thegraveme

V UN GROUPE DE KLEIN

On peut eacutegalement composer un renversement et une reacutecurrence ce qui donnera une quatriegraveme forme du thegraveme

1

1 1 1

1 d a re~cu=middot~ ~ t

~lt t bull tbull

l 1~C o

~ shyt bull t 1 ~ ~ bull

Remarques

a) lordre dans lequel on utilise les deux proceacutedeacutes ninflue pas sur le reacutesultat obtenu

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b) le diagramme obtenu est symeacutetrique de celui du thegraveme par rapport agrave un point

Si maintenant nous notons 8 la transformation identique A le renshyversement B la reacutecurrence et C = AoB(= BoA) la composition des deux nous obtenons dans lensemble 8 A B C) le tableau suivant pour la loi de composition

0

e

e e

A

A

B

B

c c

A A e c B

B B c e A

c c B A e

Cette table est celle du groupe de Klein ce qui nest guegravere eacutetonnant eacutetant donneacute lisomorphisme que nous avons remarqueacute avec le groupe des symeacutetries planes par rapport agrave deux axes orthogonaux et leur intersection

VI PROCEacuteDEacuteS VOISINS

Parmi les 3 proceacutedeacutes que nous venons de voir pour transformer un thegraveme meacutelodique deux sont modulants (font changer de tonaliteacute) la transposition et le renversement Si lon simpose maintenant de rester agrave linteacuterieur dune mecircme tonaliteacute on ne pourra plus ni transposer ni renshyverser exactement il faudra adapter cest-agrave-dire avoir recours agrave une approximation

Restant agrave linteacuterieur dune tonaliteacute on pourra consideacuterer la sousshyeacutechelle (au sens de sous-ensemble) constitueacutee des sons correspondant aux notes de la tonaliteacute et numeacuteroter les sons de cette sous-eacutechelle gracircce agrave une numeacuteration agrave base 7 du mecircme type que la numeacuteration agrave base 12 indishyqueacutee plus haut

- chiffre des uniteacutes On affecte le chiffre 0 agrave la tonique 1 agrave la sus-tonique 2 agrave la meacutediante

6 agrave la sensible - chiffre des septaines On peut convenir (par exemple) daffecter agrave chaque son qui correspond agrave la tonique son numeacutero doctave et le mecircme chiffre aux 6 sons de la sous-eacutechelle situeacutes au-dessus de lui Exemple tonaliteacute de Sol diegravese mineur

Son

Codage

(NB le signe x repreacutesente le double diegravese)

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Dans la sous-eacutechelle ainsi numeacuteroteacutee laddition dune constante sera une imitation sans modulation (approximation de la transposition) et la symeacutetrie sera un renversement sans modulation (approximation du renversement exact)

Un proceacutedeacute du mecircme genre mais modulant est limitation agrave lunisshyson dans la tonaliteacute homonyme cest-agrave-dire la reprise dun thegraveme majeur en mineur ou inversement

Soit par exemple un thegraveme eacutecrit en X majeur que lon veut imiter agrave lunisson en X mineur Il suffira pour cela de coder les sous-eacutechelles correspondant aux sons de X majeur et agrave ceux de X mineur de la faccedilon indiqueacutee ci-dessus puis de remplacer chaque son du thegraveme par le son de la sous-eacutechelle X mineur portant le mecircme numeacutero (bijection canonique) Exemple (extrait du Voyage dHiver de Schubert Le Tilshyleul)

Ce passage est eacutecrit en Mi majeur La tonaliteacute de Mi majeur donnera le codage suivant

Son Mi 3 Fa3 Sol3 La 3 Si 3

Codage 30 31 32 33 34

Le passage ci-dessus se transcrit alors

34-34-32-32-32-32-30-30-31-32-33-32-31-30

Le codage de Mi mineur aui correspond au passage preacuteceacutedent est

Son Mi 3 Fa3 Sol 3 La 3 Si 3

Codage 30 31 32 33 34

Limitation du passage consideacutereacute sera alors

sect~- JJNI JJYJ J J œ J On la trouve effectivement dans la suite de lœuvre Du point de vue

de leacutecriture seule larmure a changeacute

Notons pour terminer que les diffeacuterents types dimitation peuvent bien entendu se composer (au sens de la composition des applications)

(A titre dillustrations voir les Encadreacutes 28 et 29 Made in USA) On pourra eacutegalement rechercher les imitations agrave laudition des œuvres tant classiques (du Moyen-Acircge agrave nos jours) que de varieacuteteacutes (par exemshyple le thegraveme des Feuilles Mortes de Joseph Kosma ou celui des Demoiselles de Rochefort de Michel Legrand)

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Encadreacute 29

Made in USA Les proceacutedeacutes imitatifs sont de toutes les eacutepoques car ils permetshytent comme nous lavons vu de faire reacuteentendre un thegraveme sous une forme qui ne soit pas toujours la mecircme (pour eacuteviter la monoshytonie) et de faccedilon quil soit cependant reconnaissable

En voici quelques exemples (parmi bien dautres) puiseacutes chez George GERSHWIN (1898-1937)

1) Dans A Foggy Day (tireacute de A damsel in distress 1937) nous trouvons

i$JIJJ~ltJ blbJ lt1 iHD dbull89 bJI J J fF1- ---- __~A B

La phrase B est la transposeacutee de la phrase A agrave la quarte supeacuterieure (vous pourrez veacuterifier en chiffrant les deux phrases)

2) Dans Love waked in (tireacute de The Goldwyn Follies 1937) nous trouvons

La phrase B est limitation sans modulation de la phrase A au degreacute infeacuterieur (Un chiffrage en base 7 dans la tonaliteacute du morshyceau (Mi b majeur) permet de sen rendre compte)

3) Dans le fameux got Rhythm (tireacute de Girl Crazy 1930) le deacutebut du thegraveme se deacutecompose en deux fragments

On voit degraves labord que B est la reacutecurrence de A Mais cest aussi un renversement de A En effet A se chiffre 305307310400

Consideacuterons le renversement r deacutefini par 305 ~ 400 On aura alors 307 ~ 310 et par conseacutequent (involutiviteacute du renversement) 310 --- 307

400 __ 305

Ce qui montre que r(A) = B

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Preacutesence dEvariste Galois R TATON J DIEUDONNEacute ADAHANDGUY

56 pages- 21 x 295

OBJECTIFS A loccasion du cent cinquantenaire de la mort de Galois preacutesenter des textes

de Galois qui peuvent ecirctre lus et commenteacutes aux eacutelegraveves du secondaire rappeler en mecircme temps limportance des grandes ideacutees que Galois a introduites dans de nomshybreux domaines matheacutematiques Sil na pu faute de temps les deacutevelopper comme il laurait certainement fait elles ont feacutecondeacute le progregraves des matheacutematiques et dans ce sem il y a une preacutesence de Galois dans la science daujourdhui

SOMMAIRE Evariste Galois et nous (G Walusinski) Evariste Galoio et ses contemporains (R Taton)

middotArticle uivi dune bibliographie complegravete des œuvres de Galois et des eacutetudes sur Galois ainsi que de documents divers sur la vie de Galois en particulier sa lettre-testament agrave Auguste Chevalier reproduite photographiquement en face du texte imprimeacute

Linfluence de Galois (J Dieudonneacute) Reacutesolubiliteacute des eacutequations par radicaux et premier meacutemoire dEvariste Galois

(A Dahan) Matheacutematiques en fecircte aux Collegravege et Lyceacutee Romain-Rolland dArgenteuil

(D Guy)

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4 APERCcedilUS

SUR LE xxe SIEgraveCLE

Qui peut dire par exemple quil prenne goucirct agrave la Trigon~meacutetrie ou agrave lAlgegravebre sil nen a jamais rien appris Cest agrave la connaissance dune chose que se joint lestime et lamour pour elle

Johann Joachim QUANTZ

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1 LES ATTAQUES CONTRE LA TONALITEacute

Au cours du 19bull siegravecle la preacutepondeacuterance du vertical (harmonie) sur lhorizontal (meacutelodie) ne cessa de croicirctre agrave un point tel que le cadre tonal finit par apparaicirctre comme un veacuteritable carcan aux yeux dun nombre de plus en plus grand de compositeurs Bien sucircr on modulait de plus en plus pour essayer deacutechapper agrave lemprise de la tonaliteacute (voir Encadreacute 30 Freacutequences de freacutequences) mais on restait malgreacute tout agrave linteacuterieur dun mecircme systegraveme Parmi les premiers qui tentegraverent de sen affranchir il faut citer Liszt (1811-1886) avec en particulier la Bagatelle sans tonaliteacute au titre sans eacutequivoque

Trois moyens principaux furent envisageacutes agrave la fin du 19bull siegravecle pour se libeacuterer de la tonaliteacute le chromatisme la modaliteacute et la polytonaliteacute

Le chromatisme (avec Wagner (1813-1883) et Richard Strauss (1864-1949)) a surtout eacuteteacute un pheacutenomegravene germanique Sagissant dun proceacutedeacute consistant agrave compleacuteter les 7 notes de la tonaliteacute par tout ou partie des 5 autres notes de leacutechelle il eacutetait utiliseacute depuis la Renaissance comme proceacutedeacute expressif (le Thegraveme royal de lOffrande musicale est chromatique) Mais avec Wagner il prend une dimension essentielle dans le discours musical (en particulier dans Tristan et Isolde 1859)

La modaliteacute et la polytonaliteacute ont au deacutepart plutocirct eacuteteacute francoshyrusses Certains compositeurs (Moussorgsky (1839-1881) RimskyshyKorsakov (1844-1908) Ravel (1875-1937)) reacuteutilisent les modes anciens dont le fonctionnement eacutetait quelque peu diffeacuterent de celui des tonaliteacutes (Voir Encadreacute 6) mais en y introduisant de maniegravere plus ou moins inconsciente des pratiques tonales (ce sera en fait une modaliteacute harmoshynique) Certains eacutegalement utiliseront des eacutechelles particuliegraveres puiseacutees parfois dans lexotisme ou le folklore (Voir Encadreacutes 2 La gamme par tons et 27 Les touches noires du piano) Aujourdhui la modaliteacute trouve son eacutevolution ultime avec Messiaen (neacute en 1908) et ses modes agrave transpositions limiteacutees (voir III)

Quant agrave la polytonaliteacute - avec en particulier Stravinsky (1882shy1971) et Milhaud (1892-1974) -elle consiste comme son nom lindique en une superposition de deux lignes meacutelodiques (ou plus) eacutecrites chacune dans une tonaliteacute particuliegravere

Tous ces systegravemes existent encore aujourdhui mais ils ne sont plus consideacutereacutes que comme des moyens occasionnels deacutecriture Cependant le proceacutedeacute le plus radical pour se libeacuterer de la tonaliteacute consistait bien sucircr agrave la nier et cest ainsi que lon vit au deacutebut de ce siegravecle naicirctre latonaliteacute (plus preacuteciseacutement en 1908 avec Schoenberg (1874-1951)) cest-agrave-dire la suspension des fonctions tonales et en particulier labolition de toute hieacuterarchie entre les douze notes de leacutechelle tempeacutereacutee Ceci avait pour conseacutequence de mettre le compositeur en face dun mateacuteriau brut quil aurait tout loisir de modeler agrave sa guise Mais Schoenberg semble avoir eacuteteacute quelque peu effrayeacute de cette liberteacute nouvelle quil venait doctroyer au compositeur et qui constituait un dangereux ferment danarchie ainsi

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Encadreacute 30

Freacutequences de freacutequences On peut samuser (cest fastidieux mais pas totalement deacutenueacute dinteacuterecirct) agrave deacutenombrer sur une partition les freacutequences dapparishytion des 12 notes de leacutechelle (en convenant de ne compter que pour un les sons reacutepeacuteteacutes afin deacuteviter davantager artificiellement certaines notes)

Voici par exemple les releveacutes de pourcentages effectueacutes pour la Partita pour flucircte seule de J-S Bach (BWV 1013) en La mineur (environ 2000 notes) et pour la Premiegravere ballade de Chopin (op 23) en Sol mineur (env 4000 notes)

NOTE 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Total

B 129 19 121 15 162 90 41 86 50 149 14 123 999

Ch 95 32 146 106 47 64 54 130 66 76 145 37 998

Ces tableaux seront bien sucircr mieux visualiseacutes par un histoshygramme (pourcentage en fonction de la note) Dans le cas de la musique tonale et si lon veut comparer deux histogrammes on peut convenir de commencer par la tonique de la tonaliteacute de lœuvre Pour les deux cas envisageacutes ci-dessus nous obtiendrons alors

15

10 __ Bach

- - Chopin 5

fon SugraveSmiddot bull 1 SoUSmiddot cl sus-to0 middot o om-

Nous pouvons ici faire quelques constatations du genre de celles qui suivent

- Dans les deux cas les trois degreacutes les plus freacutequents sont la tonique la meacutediante et la dominante Rien deacutetonnant agrave cela puisquil sagit des trois notes de laccord de base de la tonaliteacute celui qui affirme celle-ci au long de lœuvre

- Puis viennent la sus-tonique la sous-dominante et la susshydominante

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- La (relativement) faible freacutequence de la sensible se justifie par le fait que la tonaliteacute mineure peut se preacutesenter sous plusieurs forshymes dont (grosso modo) une forme ougrave le 6bull degreacute est situeacute un demi-ton au-dessous de la tonique (forme avec sensible) et une forme ougrave ce 6bull degreacute est placeacute un ton au-dessous (forme sans sensible)

On peut remarquer chez Chopin une freacutequence nettement plus grande des notes les moins freacutequentes Cest ainsi que pour les trois notes les plus rares on trouve un total de 116 chez Chopin contre 48 chez Bach la tonaliteacute commence agrave ecirctre resshysentie comme de plus en plus contraignante au 19bull siegravecle et en particulier les modulations se font plus freacutequentes plus hardies au sein dun mecircme morceau on ne se limite plus aux tonaliteacutes voisines Dans la Premiegravere Ballade par exemple (en Sol mineur deux beacutemols) on trouve en effet des modulations dans des tonaliteacutes aussi eacuteloigneacutees que La Majeur (3 diegraveses) Sol mineur (5 diegraveses) ou Mi b mineur (6 beacutemols) Ces modulations bien sucircr magnifiquement preacutepareacutees nous font eacutevoluer dans des horizons extrecircmement diversifieacutes

quune menace de dissolution pour la rationaliteacute de lœuvre musicale() Ainsi entreprit-il de constituer une nouvelle organisation de lespace sonore qui aboutit au dodeacutecaphonisme (ou musique seacuterielle) en 1923

II LE DODEacuteCAPHONISME

Le systegraveme de Schoenberg (et de ses disciples de lEcole de Vienne Alban Berg (1885-1935) et Anton Webern (1883-1945)) est fondeacute nous lavons dit sur la non-hieacuterarchisation des 12 notes de la gamme Schoenshyberg en effet ne sinteacuteresse quaux notes et non pas aux sons et il impose agrave ces notes des regravegles dutilisation draconiennes en particulier

- aucune des douze notes ne devra ecirctre privileacutegieacutee et donc la freacuteshyquence dapparition sera la mecircme pour toutes

- une note ne pourra reacuteapparaicirctre avant que les onze autres aient eacuteteacute entendues (regravegle du total chromatique)

Pour arriver agrave ceci Schoenberg base son systegraveme de composition sur la seacuterie arrangement des douze notes (cet arrangement est chronologique) Cest sur la seacuterie que se fondera luniteacute dune œuvre musicale

Lensemble des notes de leacutechelle tempeacutereacutee pourra ecirctre identifieacute agrave Zl12z additif une transposition de notes sera une translationmiddot dans cet ensemble et un renversement sera une symeacutetrie

()Francis BAYER (voir Bibliographie) (Suite page 90)

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Encadreacute 31

Les variations Opus 31

Notations Dans ce qui suit comme dans lAnnexe nous appelleshyrons pour tout n-uplet de notes X

s(X) la reacutecurrence de X

-X le renversement de X

X+ i le transposeacute de X par ti X+ i = ti(X)

En ce qui concerne plus particuliegraverement les Variations la seacuterie de lœuvre est nous lavons vu S = 10463592178110) Et nous avons eacutegalement poseacute E = - S + 5 = 71112083410965

Nous appellerons aussi SA la demi-seacuterie formeacutee des 6 premiegraveres notes deS

SA = 1046359 et S 8 la demi-seacuterie constitueacutee des 6 derniegraveres

Ss = 2178110 De mecircme nous noterons EA la premiegravere demi-seacuterie de E et E 8 la seconde EA = 7111208 et Es = 3410965

Nous avons remarqueacute que SA et Es sont constitueacutes des mecircmes notes (seul lordre diffegravere) de mecircme (bien sucircr) que Ss et EA (S est une seacuterie renversable voir Annexe) Par conseacutequent si lon fait entendre dans le mecircme temps S et E demi-seacuterie par demishyseacuterie on aura la superposition suivante

On pourra donc eacutenoncer simultaneacutement ces deux formes de la seacuterie sans faillir agrave la regravegle du total chromatique et il en sera de mecircme pour leurs transposeacutees par une mecircme transposition Schoenberg on va le voir ne sen prive pas

Codage de la partition Pour qui voudrait eacutetudier une œuvre seacuterielle il peut ecirctre commode de coder la partition comme indiqueacute ci-apregraves (il sagit du deacutebut du Thegraveme des Variations)

()Nous simplifions le chiffrage des notes

87


Hlb

CA

cl

Bs

Id p~l

3

r 1tU~ ___

------ 9lti-=

p=-

p~ ~- --

ffmiddot~-~11-- gt lq-ft~- 1f~

p=t ~ -=gt ltgt

k-

f

~~

~~-

-

1t

Cl

~c Cc vd

Cr

vd

Hl

~

z 11 1 0

A 10 4 6 3

2 11 ~ 1 0

3 5 s

4 fi io

J1 ampii 0 3 5 11 4 0

Les Variations (qui datent de 1927-28) se composent dune Introshyduction (mesures 1 agrave 33) du Thegraveme (mes 34-57) de neuf Variashytions (meacutes 58-309) et dun Final (mes 310-520)

Dans lIntroduction Schoenberg commence par introduire goutte agrave goutte les 12 notes de S selon le scheacutema suivant

Mesure 1 2 3 415 6 7 8 9 10

SA x x x x x x IA x x x x x x

Degraves les mesures 9-10 le compositeur utilise la proprieacuteteacute particushyliegravere de S de la faccedilon suivante

Mesure 9 10

Voix pale IA SA

Accompt SA IA

Puis il continue agrave superposer une voix principale (parfois deux) et un accompagnement en fragmentant la seacuterie cest-agrave-dire en faisant entendre simultaneacutement les deux demi-seacuteries dune mecircme forme Ainsi

Mesure 19 ~ Mesure 24 ~ Mesure 25 ~~

~ ~ ~

88


Notons eacutegalement lutilisation dans la mesure 21 du proceacutedeacute original-reacutecurrence consistant agrave superposer une demi-seacuterie sous la forme directe et lautre sous la forme reacutecurrente (ce qui donnera bien sucircr le total chromatique)

Ici SA +3 179680

s(S 8 ) + 3 32111045

(Aux mesures 24-25 apparaicirct pour la premiegravere fois le motif BACH (Si b LaDoSi) eacutenonceacute en valeurs longues par les tromshybones)

LIntroduction se termine par trois mesures ougrave lon reacuteentend une derniegravere fois le total chromatique sous la forme

Mesure 31 32 33

SA x

xx x x x

IA x

xxx x x

Le Thegraveme lui repose tout entier sur la proprieacuteteacute deS et est bacircti sur le scheacutema suivant (qui fait intervenir les 4 formes)

Mesures 34-38 39-45 46-50 51-57

Voix pale 1 s s(I) s(S) S+3

Voix pale 2 I

Accompt s(S) s(I) s(S)

Revenons au motif BACH qui reacuteapparaicirct eacutegalement dans la 2bull Variation mais surtout dans le Finale dont la premiegravere partie repose principalement sur lui Ce motif apparaicirct agrave la fois sous la forme originale a (Alto + Violoncelle) et sous la forme renverseacutee Œ en valeurs plus longues (Cor) On peut dailleurs remarquer que a+ 3 = s(Œ) ce que lon peut scheacutematiser de la faccedilon suivante

Le motif BACH ne preacutesente donc que deux formes au lieu des quatre habituelles

Il y aurait certes beaucoup agrave dire encore sur cette œuvre maicirctresse du dodeacutecaphonisme que sont les Variations op 31 de Schoenshyberg mais cela nous entraicircnerait trop loin Conseillons cependant au lecteur curieux deacutecouter cette œuvre sil ne la connaicirct pas Il ne sera pas deacuteccedilu du voyage comme disent nos eacutelegraveves

89



Car Schoenberg ne rejette pas tout ce qui la preacuteceacutedeacute et en particulier il conserve les regravegles du contrepoint que nous avons eacutevoqueacutees plus haut La seacuterie remplacera dune certaine faccedilon le thegraveme tonal et Schoenberg lui impose de napparaicirctre (agrave une transposition pregraves) que sous lun des quatre avatars suivants

-original - renversement - reacutecurrence - reacutecurrence du renversement

La seacuterie pourra donc dans lœuvre musicale se preacutesenter sous 48 formes (puisquil y a 12 transpositions)

A titre dexemple prenons la seacuterie sur laquelle sont baseacutees les Variashytions pour orchestre (op 31) de Schoenberg il sagit lagrave de la premiegravere œuvre seacuterielle de grandes dimensions du maicirctre viennois et on a pu lappeler la Neuviegraveme Symphonie de notre temps

Voici la seacuterie telle quelle est donneacutee au deacutebut du thegraveme (mesures 34-38) par les violoncelles

M~fbflj r 1 F1z~~z~r1t6j ir ij r1 Cette seacuterie se transcrit 100406030509020107081100 = S

(NB lavant-derniegravere note (Si) est reacutepeacuteteacutee mais la reacutepeacutetition neacutetait aux yeux de Schoenberg quune faccedilon particuliegravere de jouer la note)

Une chose peut sembler ardue au premier abord dans la composishytion seacuterielle la superposition de plusieurs lignes meacutelodiques en effet si deux voix chantent simultaneacutement deux formes diffeacuterentes de la seacuterie il y a peu de chances pour que la regravegle du total chromatique soit respecteacutee Par exemple prenons la seacuterie S et son transposeacute au demi~ton supeacuterieurS+ 1 110507040610etc lorsque les 6 premiegraveres notes de chaque forme ont eacuteteacute eacutemises on a deacutejagrave entendu deux fois les notes 04 05 06 et 10 alors que 00 01 02 et 08 ne sont pas apparues Schoenberg a reacutesolu ce problegraveme de faccedilon eacuteleacutegante en nutilisant presque uniquement dans ses œuvres que des seacuteries posseacutedant la proprieacuteteacute suivante les six premiegraveres notes de la seacuterie et les six premiegraveres de lun de ses renversements donnent le total chromatique (Voir Annexe p 108)

(NB Il ny a guegravere plus dune seacuterie sur trois qui jouit de cette proprieacuteteacute)

Cest ce qui se passe pour la seacuterie des Variations

Consideacuterons dans Z12z le renversement ( = symeacutetrie) deacutefini par n - 5- n Nous aurons alors 10 - 07

04-01 etc

Le renversement correspondant de la seacuterie S sera donc

r = 07 0111020008030410090605

90


On constate que les six premiegraveres notes de I forment avec les six premiegraveres notes de S le total chromatique En conseacutequence si lon eacutenonce simultaneacutement les formes S et I dans deux voix diffeacuterentes par demi-seacuteries de six notes on obtiendra successivement deux fois le total chromatique

Nous remarquons que si S est associeacute agrave I agrave un transposeacute deS sera associeacute le transposeacute correspondant deI agrave un renversement deS le renvershysement correspondant de I etc

Comme on peut en juger par ce qui preacutecegravede la musique de Schoenshyberg est donc aussi fortement structureacutee (sinon plus) que la musique de leacutepoque dite classique et en particulier que celle de Bach Schoenberg reconnaissait dailleurs volontiers cette filiation au point que dans les Variations apparaicirct (dans la ze variation et surtout au Finale) le thegraveme suivant

qui transcrit dans la notation litteacuterale des musiCiens germaniques donne BACH (Pour plus de deacutetails voir Encadreacute 31)

III A LA RECHERCHE DES MODES A TRANSPOSITIONS LIMITEacuteES

Si lon considegravere un sous-ensemble quelconque A (non vide) de lensemble E des notes de leacutechelle chromatique (identifieacutee agrave Z 12z addishytif) () ce sous-ensemble diffeacuterera en geacuteneacuteral de chacun de ses 11 transposhyseacutes possibles ti(A) ougrave ti est la transposition de i demi-tons deacutefinie par tiE ___ E

x1-x+i Cest le cas nous lavons vu de toute tonaliteacute majeure ou mineure

Par contre il peut se faire que A coiumlncide avec lun de ses transposeacutes (cas de la gamme par tons T- voir Encadreacute 21- qui est eacutegale agrave t 2(T) et plus geacuteneacuteralement agrave ti(T) pour tout i pair de Z12Z)

Cest le problegraveme que sest poseacute Olivier Messiaen (neacute en 1908) degraves 1929 (voir Bibliographie) dans le but de rechercher un certain effet dubiquiteacute tonale et de susciter chez lauditeur le charme eacutetrange des impossibiliteacutes Nous formulerons ce problegraveme de la faccedilon suivante

Deacuteterminer les sous-ensembles propres de leacutechelle chromatique E qui sont globalement invariants par une transposition diffeacuterente de lidenshytiteacute

Dougrave la

Deacutefinition On appelle ensemble agrave transpositions limiteacutees tout sous-ensemble X de Etel que 3iEE - 10) tiuml(X) = X

() NB Pour simplifier leacutecriture nous noterons les eacuteleacutements de Z12Z sous la forme 012 9101112 au lieu de 000102 09101112

91


Autrement dit Soit Ix = [i i E E ti (X) = Xl (Ix est un sousshygroupe de E cest le groupe disotropie (ou stabilisateur) de X pour les translations) Alors Ix 1= [0)

(Remarquons que Ix est cyclique on pourra donc trouver j tel que Ix= ltjgt sous-groupe de E engendreacute par j())

On a le theacuteoregraveme suivant

Theacuteoregraveme 1 Si X est un ensemble agrave transpositions limiteacutees il en est de mecircme de tous ses transposeacutes (Autrement dit tous les eacuteleacutements de lorbite de X sont eacutegalement des ensembles agrave transpositions limiteacutees)

Soit donc X un ensemble agrave transpositions limiteacutees (veacuterifiant ti(X) X) et X = tj(X) lun quelconque de ses transposeacutes On a ti(X ) = ti(tj(X)) = tj(ti(X)) = tj(X) = X

Conseacutequence Parmi tous les transposeacutes de X il y en a au moins un qui contient la note O

Nous ne restreindrons donc pas le problegraveme en ne cherchant que les ensembles agrave transpositions limiteacutees contenant 0 les autres eacutetant obtenus par transposition de ceux-ci Nous noterons A ces ensembles agrave transposishytions limiteacutees contenant O

Theacuteoregraveme 2 Soit X un ensemble agrave transpositions limiteacutees veacuterifiant tX) =X Si la note x appartient agrave X il en est de mecircme de x+ i x+ 2i x+ Iii

(Autrement dit X contient lorbite Xi de x par action de ltigt )

En effet xEX =gt tj(x)Eti(X) X cest-agrave-dire x+iEX etc

(Remarque Le cardinal de Xi est eacutegal agrave lindice de lx dansE)

On en deacuteduit immeacutediatement le

Theacuteoregraveme 3 Soit X un ensemble agrave transpositions limiteacutees et 1x son groupe disotropie Pour tout x de X et tout ide Ix on a xiE X et X est une reacuteunion (disjointe) de tels ensembles

(Remarque Le cardinal de X est un multiple de lindice de Ix dansE)

Voyons maintenant quels sont les ensembles A agrave transpositions limishyteacutees que nous pouvons obtenir Puisque les groupes disotropie IA de ces ensembles A sont des sous-groupes de E Card(IA) est un diviseur de 12

Etudions les diffeacuterents cas qui peuvent se preacutesenter

()DansZIJ2zrappelonsquelonaltlgt lt5gt lt7gt = lt11gtlt2gt = lt10gt lt3gt = lt9gt lt4gt = lt8gt

92


1) Si Card(IA) = 12 Alors lA= E et on a un seul ensemble A A1 = E (trivial)

2) Si Card(IA) = 6 Alors lA = [0246810l = lt2gt

A devant contenir 0 contiendra eacutegalement les notes 2468 et 10

De plus si A contient 1 il contiendra aussi 357911

Nous aurons donc ici un nouvel ensemble A A2 = [0246810l (gamme par tons) (leacutechelle chromatique E ( = A1) deacutejagrave trouveacutee est agrave rejeter)

3) Si Card(f4) = 4 Alors lA [0369l = lt3gt

A contiendra 0369

Si A contient 1 il contiendra aussi 4 71 O

Si A contient 2 il contiendra aussi 5811

Ceci nous permet de constituer 3 nouveaux ensembles A

a) un ensemble agrave 4 notes A3 = [0369l

b) deux ensembles agrave 8 notes A4 = [0369lU[l4710l = [013467910l et [0369l U [25811l [023568911) qui nest autre que le transposeacute de A4 par t2

4) Si Card(JA) = 3 Alors lA = (048l = lt4gt

A contiendra 04 et 8

Si A contient 1 il contiendra aussi 5 et 9



Nous pourrons alors former 6 nouveaux ensembles A qui seront


b) deux ensembles agrave 6 notes A6 = [014589let son transposeacute par t3 [03478lll (la gamme par tons A2 est agrave exclure)

c) trois ensembles agrave 9 notes A7 = [02346781011l et ses transposeacutes- par t1 [0134578911l

-par t2 [0124568910l

5) Si Card(JA) =2 Alors lA = [06l = lt6gt

A contiendra 0 et 6

Si A contient 1 il contiendra eacutegalement 7



93


Nous avons ici 32 ensembles A

a) un ensemble agrave 2 notes A8 = [06

b) cinq ensembles agrave 4 notes A 9 = [0167) et son transposeacute par t 3

[05 6 Ill A10 [0268 j et son transposeacute par t4 [046 1 Oj et aussi A 3 deacutejagrave obtenu preacuteceacutedemment

c) c soit 10 ensembles agrave 6 notes

bull A 11 = [0156711) et ses transposeacutes -par t 1 [012678) -par t 11 04561011

bull A 12 = [013679) et ses transposeacutes -par t 3 [0346910)

par t 5 [025 68 11)

bull A 13 [0146710] et ses transposeacutes - par t2 [023689) -par t5 [0356911)

bull La gamme par tons (agrave exclure)

d) C~ soit 10 ensembles agrave 8 notes

bull A 14 = [012567811) et ses transposeacutes -par t1 [01236789) -par t 4 0345691011j -par t5 0145671011)

bull A 15 = [024568 1011 j et ses transposeacutes -par t 1 [013567911) -par t 2 [012467810) -par t 4 [023468910)

bull A4 et son transposeacute par t2 deacutejagrave trouveacutes donc agrave exclure

e) Cinq ensembles agrave 10 notes A 16 = 01235678911) et ses transposeacutes

-par t1 [01234678 910) -par t3 [023456891011) -par t4 [01345679101lj -par t5 [012456781011)

f) Lensemble E

Remarque Les ensembles agrave transpositions limiteacutees qui comportent 6 notes ne sont - bien sucircr - autres que les ensembles A correspondant aux seacuteries semi-transposables (deacutefinies dans lAnnexe)

A partir des 16 ensembles Ai reacutepertorieacutes ci-dessus nous pourrons engendrer par transposition tous les ensembles agrave transpositions limiteacutees

94


Reacutecapitulons maintenant les reacutesultats obtenus dans un tableau en fonction des lA et du nombre de notes des Ai (nous ne consideacutererons plus deacutesormais que les sous-ensembles propres (A1))

lA Card(Ai) Ai

lt2gt 6 A2= 02468 10

lt3gt 4 A3 = 0369

8 A4 = 013467910

3 A 5 = 048

lt4gt 6 A6 = 014589

9 A 7 = 0124568910

2 A8 =06J

4 A9 =0167 A1o = 0268

lt6gt 6 A11 = 0156711) A12 = 013679) A13 = 0146710)

8 A14 = 0 1256 7 811) A15 = 0245681011)

10 A1s = 01235678911)

Voici ce quen dit MESSIAEN

Ces modes sont formeacutes de plusieurs groupes symeacutetriques () la dershyniegravere note de chaque groupe eacutetant toujours commune avec la premiegravere du groupe suivant Au bout dun certain nombre de transpositions chroshymatiques qui varie avec chaque mode ils ne sont plus transposables - la 4deg transposition donnant exactement les mecircmes notes que la 1egravere par exemple la 5deg donnant exactement les mecircmes notes que la 2deg etc

Messiaen deacutenombre 7 modes agrave transpositions limiteacutees et il preacutecise Il est matheacutematiquement impossible den trouver dautres au moins dans notre systegraveme tempeacutereacute agrave 12 demHons

Ces 7 modes sont

Jer mode La gamme par tons admettant deux transpositions bull premiegravere transposition 0246810) (cest notre A2)

4 bullbullbullbullCl~middot)bull d 1

bull deuxiegraveme transposition tl35791l)

ze mode 013467910 ~ 10)

-~a ~ gtto o

Ce mode correspond agrave notre A4 il admet 3 transpositions

()symeacutetriques est ici agrave prendre au sens de semblables cest-agrave-dire identiques modulo une transposition

95


Je mode 02346781011J bolgt ije (a) ~ 0 ~e~ef 0

Il correspond agrave notre A 7 et admet lui aussi 4 transpositions

4e mode 012S67811J b l a licirco 5e F) Q 0 0 90

Correspond agrave notre A14 bull 6 transpositions

se mode 01S6711l ~ ~oofo 9 e ~middot)

Correspond agrave notre A11 6 transpositions

~ e (o)6e mode 024S681011

Correspond agrave notre A 15 bull 6 transpositions

7e mode 0123S678911l ~ L b lu d to ~8- ()8110

-e-bullO 1 o


Au sujet du se mode Messiaen indique

Ce modeS eacutetant un mode 4 tronqueacute na droit de citeacute ici que parce quil engendre la formule meacutelodique ( ) amp

J]=lbullJ J ~J3 o J ~

et laccord en quartes ( )

On pourrait alors penser quil a choisi pour chaque IA les eacuteleacutements maximaux Le tableau de la page 9S nous montre que cest le cas pour 4 des 7 modes (les 1er 2e 3e et 7e) mais pas pour les trois autres Le cas du se mode vient decirctre vu mais quen est-il pour les deux autres

Pour visualiser lensemble T des ensembles propres agrave transpositions limiteacutees deacutefinissons la relation suivante dans T

Deacutefinition Ai lt Aj lt=gt Ai est inclus dans Aj ou un de ses transposeacutes

96


On veacuterifie sans trop de peine quil sagit dune relation dordre dans lensemble-quotient de T par les transpositions Le graphe correspondant agrave cette relation est le suivant

9 noles

8 Mes

6 notts

4 notu

3 notes

2 notes

Lhypothegravese de la maximaliteacute ne pouvant ecirctre retenue cherchons autre chose En fait lexplication repose certainement malgreacute tout sur le nombre de notes des ensembles un mode musical doit contenir un nomshybre de notes convenable cest-agrave-dire ni trop grand ni trop petit Or on peut remarquer que tous les modes de Messiaen ont au moins 6 notes et (sur le graphe) que sur les 5 classes correspondant agrave des ensembles agrave 6 notes deux sont des modes (A2 et A 11) et trois nen sont pas (A6 A 12 et A13) Et ces deux modes agrave 6 notes ne sont admis par Messiaen que pour des raisons speacuteciales (par protection en quelque sorte)

bull En ce qui concerne A 2 (mode 1) ce mode (gamme par tons) a deacutejagrave eacuteteacute utiliseacute avant Messiaen il a donc une existence attesteacutee et pour cette raison on ne saurait lui refuser une place (reconnaissance de facto) Claude Debussy (dans Pelleacuteas et Meacutelisande) et apregraves lui Paul Dukas (dans Ariane et Barbe-Bleue) en ont fait un usage si remarquable quil ny a plus rien agrave ajouter Nous eacuteviterons donc soigneusement de nous en servir

bull Pour ce qui est de A 11 (mode 5) nous avons deacutejagrave vu ce quil en eacutetait la formule meacutelodique quil cite est une cellule musicale (constishytueacutee dune forme directe et de son renversement) que Messiaen prise partishyculiegraverement Cest la seule raison quil invoque pour lui accorder droit de citeacute au sein de ses modes

97


Finalement les modes agrave transpositions limiteacutees dOlivier Messiaen correspondent aux ensembles agrave transpositions limiteacutees propres qui ont plus de 6 notes auxquels sont adjoints deux ensembles agrave 6 notes

- la gamme par tons pour des raisons historiques - le modedeacutefini par 0 1 567 11 j pour des raisons personnelles agrave Messhysiaen

Dun point de vue strictement matheacutematique nous avons cependant vu que en imposant comme seul critegravere agrave un mode de contenir au moins 6 notes on en obtient trois de plus qui correspondent

bull agrave [0145891 ~ bo e o te dd=ffibull agrave [013679l 0)shy

f Egtobelfo o o

bull agrave [0146710) -6- bo 0 - =lo e t-o=ltt

Parmi ces trois modes apocryphes le premier est un mode 3 tronqueacute (comme dit Messiaen) et les deux autres des modes 2 tronqueacutes (comme la gamme par tons est un mode 3 tronqueacute et le mode 5 un mode 4 tronqueacute) Les deux derniers sont dailleurs signaleacutes- pour ecirctre rejeteacutesshypar Messiaen ()

Mais on ne trouve rien sur le premier qui pourtant fournit un accord en tierces qui nest pas vilain

=Dautre part il joue un rocircle tout agrave fait inteacuteressant du point de vue seacuteriel en effet associeacute agrave la gamme par tons et au se mode (cest-agrave-dire justement aux deux modes accepteacutes agrave la limite) il permet dengendrer les seacuteries superstables () En conclusion ne pourrait-on envisager daccorder agrave (0145891e statut de mode agrave transpositions limiteacutees agrave part entiegravere

La structure de lensemble des modes pour la relation deacutefinie plus haut serait alors (le mode apocryphe est noteacute 8)

3

2

() Ainsi que deux modes 5 tronqueacutes qui ne sont en fait que deux formes du mecircme ensemble A 9 bull

() Voir Annexe

98


Encadreacute 32

Musique et algegravebre de Boole

Dans Herma pour piano seul (composeacute en 1961) lannis XENAKIS (neacute en 1922) considegravere lensemble R des sons corresshypondant aux 88 touches du piano et il en distingue trois sousshyensembles AB et C constitueacutes chacun dune trentaine deacuteleacuteshyments

Dans lœuvre le compositeur expose tout dabord les sons de R (ou plutocirct un nuage () de sons obtenu aleacuteatoirement agrave partir de_R) puis _ccedileux de A ceux de A (compleacutementaire de A dans R) BBC et C Ensuite il fait de mecircme pour les ensembles ABBC BC + AB AB +AB ABC en utilisant de faccedilon de plus en plus complexe les opeacuterations de reacuteunion (addition) et dintersection (multiplication) Pour finir il expose ABC+ ABeuml + ABeuml +ABC

(Il faut cependant noter que pour des raisons dordre musical Xeacutenakis est ameneacute agrave commettre des entorses agrave la rigueur matheacuteshymatique de son projet lnitial Cest ainsi que par exemple les expositions de B et de B comportent 11 sons communs)

() Nuage est ici agrave prendre au sens statistique

On peut dailleurs trouver un eacuteleacutement de justification de ce Se mode chez Messiaen lui-mecircme En effet lorsquil parle du 3e mode (dont est extrait notre se) il donne une formule de cadence (dans la 4e transposition) qui est la suivante (Exemple 337)

Consideacuterons alors la partie supeacuterieure (meacutelodique) de cette formule 19102 Lun de ses renversements est 2651 Juxtaposons les deux formes (comme le fait Messiaen pour la formule meacutelodique justifiant le se mode) en commenccedilant par la forme renverseacutee Nous obtenons

Cette formule meacutelodique fournit toutes les notes du mode 8 (2e transposition) et elles seules

99


IV PLUS PREgraveS DE NOUS

Ce nest pas ici le lieu de faire un panorama exhaustif de leacutevolution de la musique occidentale au 20e siegravecle Signalons toutefois lutilisation de la seacuterie geacuteneacuteraliseacutee qui eut son heure de gloire dans les anneacutees cinshyquante Il sagissait en fait deacutetendre le principe de la seacuterie schoenbershygienne aux autres caracteacuteristiques du son cest-agrave-dire de deacutefinir agrave l orishygine de lœuvre non seulement une seacuterie de notes mais eacutegalement une seacuterie de hauteurs (octaves) une seacuterie de dureacutees une seacuterie dintensiteacutes une seacuterie de timbres

Certains musiciens composegraverent des œuvres de type ensembliste (Voir Encadreacute 32 Musique et algegravebre de Boole) La combinatoire et laleacuteatoire firent eacutegalement leur apparition (ou plutocirct leur reacuteapparition Voir Encadreacute 33 La valse des deacutes) dans le but de substituer aux formes musicales traditionnelles fermeacutees (cest-agrave-dire fixeacutees une fois pour toushytes) des formes ouvertes Cest le cas en particulier de la Troisiegraveme sonate (1957) de Pierre Boulez (neacute en 1925) et du Klavierstuumlck (1956) de Karlheinz Stockhausen (neacute en 1928) Prenons lexemple de cette derniegravere piegravece constitueacutee de 19 seacutequences (ou groupes) Voici quelques-unes des indications que donne le compositeur au pianiste

Linterpregravete regarde la feuille sans aucune intention et commence par le groupe quil a remarqueacute tout dabord ille joue dans nimporte quel tempo ( ) nimporte quelle intensiteacute de deacutepart nimporte quel mode dattaque Lorsque ce premier groupe est termineacute il lit les indicashytions de jeu qui suivent pour le tempo lintensiteacute le mode dattaque et les applique agrave nimporte lequel des autres groupes sur lequel sest porteacute son regard sans aucune intention

De plus lorsque lon joue un groupe pour la seconde fois il faut (suivant des indications donneacutees par le compositeur) jouer une (ou deux) octaves plus haut (ou plus bas) (avec de plus la possibiliteacute dajouter ou de retrancher certains sons)

Enfin la piegravece se termine lorsque lon rencontre un groupe pour la troisiegraveme fois

En ayant recours agrave une repreacutesentantion classique (scheacutema durne) nous avons ici un sujet pour la rubrique des problegravemes du Bulletin de lAP MEP

Dans une urne se trouvent 19 boules indiscernables au toucher numeacuteroteacutees de 1 agrave 19 On procegravede agrave des tirages successifs dune boule avec remise

Si la boule tireacutee nest pas la mecircme que celle qui a eacuteteacute obtenue au tirage preacuteceacutedent (ou si cest la premiegravere que lon tire) on note son numeacutero Sinon on la remet dans lurne On arrecircte les tirages lorsquon tire une mecircme boule pour la troisiegraveme fois On a alors obtenu une suite de nombres

100


Encadreacute 33

La valse des deacutes Lintroduction de laleacuteatoire dans la composition musicale nest pas aussi reacutecente quon pourrait le croire puisquelle remonte au moins agrave Mozart Celui-ci seacutetait en effet amuseacute agrave creacuteer un jeu permettant de composer des Valses par le moyen de 2 Degraves sans avoir la moindre connaissance de la Musique ou de la Composishytion

Le mateacuteriel se compose de

deux deacutes - une Table de Chiffres (tableau agrave double entreacutee) formeacutee de 8

colonnes noteacutees ABC H et 121ignes noteacutees 123 12 Dans chaque case se trouve un nombre

une Table de Musique constitueacutee dune suite de mesures (agrave trois temps et en Do Majeur) numeacuteroteacutees

Mode demploi

On lance les deux deacutes et on fait la somme X 1 des deux nombres obtenus on lit alors le nombre situeacute dans la case (X1A) du tableau agrave double entreacutee Ce nombre correspond agrave celui dune mesure de la Table de Musique qui sera la premiegravere mesure de la valse

On lance de nouveaw les deacutes (somme X2 ) et en (X2B) on troushyvera le numeacutero de la deuxiegraveme mesure On procegravede ainsi jusquagrave obtenir 8 mesures qui constitueront la premiegravere partie de la valse On recommence de la mecircme faccedilon pour obtenir la deuxiegraveme parshytie et veut-on avoir un Walzer plus long on recommence de la mecircme maniegravere et ainsi cela va agrave linfini

AS C D E

101


Combien peut-on obtenir de suites diffeacuterentes

Si le cœur vous en dit

A ce hasard dirigeacute soppose lindeacuteterminisme dun John Cage (neacute en 1912) qui considegravere lacte musical comme une maniegravere de laisser une situation ecirctre et croicirctre delle-mecircme() Cest ce qui lamegravenera en 1938 agrave inventer le piano preacutepareacute obtenu en posant des objets divers sur les cordes du piano ou en les coinccedilant entre deux cordes

Lordinateur occupera naturellement lui aussi une place de plus en plus grande dans la composition musicale comme en teacutemoigne le projet LUDUS (Voir Encadreacute 34)

V REcircVONS UN PEU

Comme nous lavons vu notre eacutechelle tempeacutereacutee reacutesulte dune divishysion de loctave en douze intervalles eacutegaux les demi-tons En se fondant sur le mecircme principe Luc Etienne a reacutecemment imagineacute (1972) de diviser loctave en dix intervalles eacutegaux les demi-quints creacuteant ainsi un tempeacuteshyrament deacutecimal

Dans lintervalle [f2f[ les sons de leacutechelle seront donc i

2 10 ffi = (i=Ol 9)

La seule note intermeacutediaire qui coiumlncidera avec une note de leacutechelle usuelle est f5 ( = Fa diegravese puisque 510 = 612) La reacutepartition est la suishyvante Soligt Lab Silgt

Fbull Fbullt Sol Solft l-a l-41 Si (Do)

t ff t t f f f f 0 1 t 3 4 5 6 8 9 (o)bull

Dans leacutechelle deacutecimale steacutephanienne les sons pourront ecirctre noteacutes gracircce agrave une eacutecriture deacutecimale le chiffre des dizaines eacutetant le numeacutero doctave et celui des unites repreacutesentant la note)

On a vu que les tonaliteacutes (majeures et mineures) classiques sont extraites de leacutechelle tempeacutereacutee duodeacutecimale pourra-t-on par analogie imaginer des tonaliteacutes extraites de leacutechelle deacutecimale Le problegraveme est donc de chercher un sous-ensemble de Z10Z (qui sera ensuite ordonneacute suivant les numeacuteros croissants) les tonaliteacutes eacutetant deacutefinies agrave une transposhysition pregraves nous pouvons supposer que celle que nous cherchons agrave consshytruire contiendra la note 0 (tonique)

Pour commencer posons quelques jalons (arbitraires il est vrai mais en rapport avec les tonaliteacutes habituelles)

(1) - Les intervalles entre sons conseacutecutifs ne devront pas exceacuteder 2 demishyquints (1 quint)

(2) - Les intervalles conseacutecutifs ne seront pas tous eacutegaux (il y aura donc des quints et des demi-quints)

() D et J-Y Bosseur Voir Bibliographie

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Encadreacute 34

Le programme 11Ludus Il sagit dun programme de composition tonale automatique ducirc agrave Pierre BARBAUD

Barbaud considegravere une tonaliteacute comme un ensemble daccords de trois sons (majeurs ou mineurs) Par exemple en notant Ap laccord majeur fondeacute sur la note p (Ap = pp + 4p + 7) et Bp laccord mineurfondeacute sur p (Bp = pp +3p + 7)) la tonaliteacute de i majeur sera

Ti = AiAi+5Ai+7Bi+2Bi+4Bi+9lmiddot

On reconnaicirct lagrave bien sucircr les trois accords majeurs fondeacutes sur les 1bullr 4bull et 5bull degreacutes de la tonaliteacute (notes modales) et les trois accords mineurs fondeacutes sur les 2bull 3bull et6bull degreacutes (voir Troisiegraveme partie VI

Le problegraveme est denchaicircner ces accords entre eux dans ce but on deacutefinit pour chaque couple daccords la probabiliteacute de passer de lun agrave lautre (tableau agrave double entreacutee de 6 x 6) Ce tableau eacutetant eacutetabli on peut y effectuer des tirages (tirages effectueacutes dapregraves des critegraveres qui peuvent ecirctre tregraves divers)

Remarquons que ce proceacutedeacute ne fait pas moduler on reste consshytamment dans la tonaliteacute de deacutepart Si lon veut pouvoir changer de tonaliteacute il faudra consideacuterer tous les accords majeurs et mineurs possibles (il y en a donc 24) Dougrave un tableau agrave double entreacutee de 24 x 24

Une fois lenchaicircnement des accords obtenu il sagira deacutecrire ces accords comme triplets de sons en respectant les regravegles de lharshymonie Puis on ajoutera les agreacutements (accords autres que majeurs ou mineurs notes de passage broderies etc ) Enfin on choisira les rythmes

Conseacutequences

Dapregraves (1) il devra y avoir au moins 5 notes dans la tonaliteacute Dapregraves (2) il devra y en avoir au moins 6

Etudions le cas dune tonaliteacute agrave 6 notes

On peut baser la recherche sur le modegravele pythagoricien (cycle de quintes) ou sur le modegravele zarlinien (accord parfait)

Hn


a) Type pythagoricien

Un seul ennui il ny a pas de quintes dans leacutechelle deacutecimale Lintershyvalle qui sen approche le plus (voir scheacutema preacuteceacutedent) est constitueacute de 3

26110quints (f6f0 = = 1516) Convenons de lappeler quinte steacutephashynienne et nen parlons plus (elle est un peu plus grande que la quinte pythagoricienne mais guegravere) Une succession (ascendante) de quintes agrave partir de la note 0 nous donnera successivement les notes 62840 (resshytes de la division de 6n par 10) on nobtient finalement que les 5 notes 02468 Cest la gamme par quints qui ne reacutepond pas au critegravere (2) Cherchons donc autre chose

b) Type zarlinien

LAPM ne se retrouve pas non plus dans leacutechelle deacutecimale mais nous avons deacutejagrave la quinte steacutephanienne (3 quints) il ne reste alors plus quagrave approximer la tierce zarlinienne (Do-Mi) la note la plus voisine du

23112Mi zarlinien est f3 (f3f0 = = 1231) cet intervalle (dun quint et demi) est intermeacutediaire entre la tierce majeure zarlinienne (rapport de freacuteshyquences 54 = 125) et la tierce mineure zarlinienne (rapport de freacuteshyquences 65 = 1 2) mais plus proche malgreacute tout de la tierce majeure Appelons-le tierce steacutephanienne (la quinte vaudra alors exactement deux tierces)

Convenons dappeler APS (accord parfait steacutephanien) laccord consshytitueacute agrave partir de deux tierces steacutephaniennes successives (Ex 036)) cest lui qui constituera la meilleure approximation deacutecimale de lAPM zarlinien

A linstar de Zarlino il nous reste maintenant agrave engendrer une tonashyliteacute agrave 6 notes agrave partir de lAPS Laccord fondeacute sur 0 nous fournit les notes 3 et 6 il nous manque alors 3 notes Du fait de la condition (1) il faudra en placer une entre 0 et 3 une entre 3 et 6 (et donc une autre entre 6 et 0) cette derniegravere sera forceacutement la note 8 toujours en vertu de (1) Il ne nous reste donc plus quagrave trouver 2 notes

bull 1 ou 2 dune part bull 4 ou 5 dautre part

Dougrave 4 possibiliteacutes de tonaliteacutes formeacutees avec les ensembles suivants

a 013468)

b = 023568)

c = 023468

d = [013568]

Pour deacutepartager les candidats nous allons devoir recourir agrave une question subsidiaire Examinons donc leur comportement vis-agrave-vis de la relativiteacute (des tonaliteacutes)

Dans leacutechelle classique nous avions vu que la tonaliteacute relative mineure (ancienne) dune tonaliteacute majeure donneacutee nen diffeacuterait que par lordre des notes

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Dautre part laccord servant de base aux tonaliteacutes eacutetant ici- on la dit- intermeacutediaire entre les accords majeur et mineur classiques on peut envisager didentifier les deux modes pour nen plus constituer quun seul Une tonaliteacute relative sera alors (si elle existe) la tonaliteacute (diffeacuterente ) qui sera constitueacutee des mecircmes notes que la tonaliteacute donneacutee

Une petite recherche permettrait de constater que seul d coiumlncide avec lun de ses transposeacutes d + 5

Cest donc ce type que nous choisirons comme base de la tonaliteacute

T0 = (013568) 1ulnte ticrct ) lt tie~

s s 1 s 1 e e e 0 3 5

~

6 tict-camp

t

(0) tietCamp

(1)

luink ~

On voit que T0 est formeacutee agrave partir de deux APS deacutecaleacutes dune demishyoctave

De plus on a T5 = (568013) cette tonaliteacute est donc formeacutee des mecircmes accords que T 0 bull On ne pourra deacutecider si une meacutelodie est eacutecrite en T0 ou en T5 puisque les notes sont les mecircmes ainsi que les fonctions tonales T5 nest en fait quun doublet de T0 bull

Le systegraveme que nous envisageons nous fournit donc finalement 5 tonaliteacutes agrave deux toniques (distantes dune demi-octave) Ce systegraveme est simple puisquil ne comporte quun seul mode (tenant agrave la fois du majeur et du mineur) et preacutesente des analogies certaines avec le systegraveme tonal classique

Ne disposant pas dHymne agrave St Jean nous nous contenterons de deacutesigner les notes de T0 par les 6 premiegraveres lettres de lalphabet

A B c D E F (A)

0 3 5 6 8 (0)

Etudions maintenant le problegraveme du voisinage dans lensemble des 5 tonaliteacutes T0 T1 T2 T3 T4 bull On constate que par rapport agrave T0 deux tonaliteacutes (T1 et T4) nont que deux notes communes avec elles alors que les deux autres (T2 et T3) en ont quatre (ce seront les tonaliteacutes voisines de T0) Pour moduler de T0 en T 2 il suffira de hausser B etE dun demishyquint (les diegraveser en somme) et si lon veut moduler de T 0 en T3 on baissera A et D dun demi-quint (on les beacutemolisera)

De mecircme pour passer de T2 agrave T4 on diegravesera Cet F et pour passer de T3 agrave T1 on beacutemolisera Cet F Les diegraveses (resp les beacutemols) napparaissent plus ici lun apregraves lautre mais deux par deux de plus on pourra se contenter de deux tonaliteacutes agrave diegraveses et de deux tonaliteacutes agrave beacutemols Dautre part les modulations dans ce systegraveme seront plus sauvages puisquil faudra changer deux notes pour passer dans une tonaliteacute voishysine

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Quid du contrepoint

Nous avons vu que dans le contrepoint classique le renversement dun thegraveme introduisait des notes eacutetrangegraveres agrave la tonaliteacute (imitation modulante)

Or ici on peut sapercevoir que T 0 coiumlncide avec lun de ses renvershysements (celui qui fait passer den agrave 6- n) ce renversement ne sera donc pas modulant et on naura pas agrave adapter

Pour terminer cette petite eacutetude on pourra veacuterifier que les accords de 3 sons fondeacutes sur les diffeacuterents degreacutes de T0 (accords obtenus en sautant un degreacute de la tonaliteacute sur deux) sont tous des APS au contraire du systegraveme classique ougrave ils relegravevent de plusieurs types (Voir Deuxiegraveme partie VII)

En conclusion ce systegraveme tonal est comparable au systegraveme classique du point de vue de la structure des tonaliteacutes deux types dintervalles (quint et demi-quint) de mecircme ordre de grandeur que dans les tonaliteacutes usuelles existence dun accord fondamental de 3 sons Il est par contre plus simple du point de vue des tonaliteacutes relatives (chaque tonaliteacute est sa propre relative) de lharmonie (un seul type daccord) de leacutecriture contrapuntique (on pourra renverser exactement sans moduler)

Mais le problegraveme qui reste poseacute est le suivant Pourrait-on eacutecrire de la (bonne) musique dans ce systegraveme Lagrave est la question

Il ne sagissait somme toute que dun jeu tout agrave fait gratuit destineacute agrave montrer que notre systegraveme musical qui semble aller de soi nest peutshyecirctre pas tout agrave fait aussi eacutevident quille paraicirct et que lon pourrait tregraves bien en envisager dautres Si notre eacutechelle avait eacuteteacute le mode slendro javashynais (tempeacuterament eacutegal par 5) il aurait suffi quun musicien eucirct lideacutee geacuteniale de penser agrave diviser chaque intervalle en deux (comme on a comshyposeacute de la musique en quarts de ton) et Jon aurait obtenu leacutechelle deacutecishymale Et pourquoi un jour un AreAre naurait-il pas la fantaisie de deacutedoubler les intervalles de son eacutechelle usuelle Il inventerait ainsi le temshypeacuterament eacutegal par 14

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CODA

Nous voilagrave au terme de ce petit voyage musical agrave travers lespace et le temps Nous navons bien souvent fait queffleurer des sujets par ailleurs bien plus riches que le bref aperccedilu qui en a eacuteteacute donneacute Certains (je pense en particulier agrave lharmonie) ont mecircme eacuteteacute deacutelibeacutereacutement laisseacutes de cocircteacute mais il faut savoir se limiter Jespegravere neacuteanmoins avoir pu reacuteussir quelque peu agrave mettre en eacutevidence quelques-uns des liens qui unissent dans ce cas particulier qui nous inteacuteresse au premier chef un art et une science

Car cest bien en effet et degraves le deacutepart dune theacuteorisation de lunishyvers sonore quil sagit leacutechelle de Pythagore pas plus que celle de Zarshylino ne sont des eacutechelles naturelles En fait il ny a pas deacutechelle natushyrelle il y a dans chaque cas eacutelaboration dun systegraveme - certes plus ou moins baseacute sur un pheacutenomegravene physique - mais systegraveme theacuteorique malgreacute tout Et deacutecider de deacutecouper loctave en intervalles eacutegaux nest pas plus absurde que de progresser de quinte en quinte ou de juxtaposer des accords

Lhistoire de la musique comme celle des sciences est jalonneacutee de remises en question parfois deacutechirantes (lavegravenement de leacutechelle tempeacuteshyreacutee est peut-ecirctre responsable de la disparition de la viole de gambe) Plushytocirct que de sen attrister pourquoi ne pas y voir un signe de bonne santeacute Leacutelargissement de notre vision du monde au cours des siegravecles ne nous a-tshyil pas appris que rien dhumain neacutetait deacutefinitif dans quelque domaine que ce soit Il nexiste rien de constant si ce nest le changement a dit le Bouddha Et progressivement agrave lexemple de leurs consœurs scientishyfiques les theacuteories musicales se sont vues deacuteloger de leacutetat de dogme agrave celui plus preacutecaire dhypothegravese de travail ()

Ceci eacutetant poseacute et quel que soit le substrat theacuteorique qui sous-tend une œuvre musicale lessentiel ne tient-il pas agrave ce que cette œuvre touche en nous cest-agrave-dire agrave cette partie de la musique qui ne ressortit plus agrave la science mais agrave lart Il nen reste pas moins quune connaissance de ces fondements theacuteoriques peut permettre dapprocher de plus pregraves les intenshytions du compositeur et dentrer davantage dans lœuvre

() Pierre BOULEZ Confeacuterence donneacutee le 1421983 agrave lIRCAM (Le Monde de la Musique Mars 1983)

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ANNEXE PETIT MECCANO SEacuteRIEL NUMEacuteRO 00

(Permettant de construire aiseacutement des seacuteries musicales jouissant de proprieacuteteacutes inteacuteressantes du point de vue compositionnel ainsi que de nombreuses illustrations puiseacutees aux meilleures sources)

NB Nous utiliserons les notations deacutefinies au deacutebut de lencadreacute 31

Rappelons le problegraveme superposer deux formes diffeacuterentes dune seacuterie S en respectant la regravegle du total chromatique

Pour commencer remarquons quil y a des formes que lon peut toushyjours superposer quelle que soit la seacuterie consideacutereacutee une forme quelconque et sa reacutecurrence Nous prendrons comme exemple la seacuterie du Concerto pour violon agrave la meacutemoire dun ange dAlban Berg

original S = 71026904811135 reacutecurrence s(S) = 53111840962107

Si on fait entendre dans un premier temps les six premiegraveres notes de chaque forme et dans un second temps les six derniegraveres on eacutemet deux fois successivement le total chromatique et la regravegle est respecteacutee

Mais cette possibiliteacute est malgreacute tout limiteacutee et le compositeur seacuteriel aura davantage de liberteacute sil utilise une seacuterie qui pourra eacutegaleshyment par superposition avec une forme autre que sa reacutecurrence donner deux fois successivement le total chromatique Lexemple preacuteceacutedent nous indique une direction de recherche partager la seacuterie S en deux demi-seacuteries de six notes chacune

Soit donc A lensemble des notes de la premiegravere demi-seacuterie et B lensemble des notes de la seconde B = A Soit f lune des 48 transforshymations permises autre que lidentiteacute et la reacutecurrence

De deux choses lune ou bien f est une transformation directe (transposition ou renversement) ou bien cest une transformation reacutecurshyrente (reacutecurrence dune transposition ou dun renversement)

Si f est une transformation directe alors f(S) fait dabord entendre les notes de f(A) puis celles de f(B)

Si f est une transformation reacutecurrente elle est la reacutecurrence dune transformation directe g Alors f(S) fait dabord entendre les notes de g(B) puis celles de g(A) La superposition par demi-seacuteries des deux forshymes donnera donc

bull dans le premier cas

A B

f(A) f(B)

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bull dans le second cas

A B

g(B) g(A)

Pour que la regravegle du total chromatique soit respecteacutee il faudra (et il suffira) que lon ait

bull dans le premier cas f(A) = B (dougrave puisque fest bijective f(B) = A) bull dans le second cas g(B) = B (dougrave g(A) = A)

Nous chercherons donc finalement des seacuteries S telles que f(A) = B ou A ougrave f(S) est une forme directe de S (cest -agrave-dire une transposition ou un renversement)

(NB Convenons une fois pour toutes dappeler A celui des deux ensembles qui contient 0 quitte agrave permuter ensuite les deux demi-seacuteries si bon nous semble)

PREMIER CAS ti(A) B (SEacuteRIE TRANSPOSABLE)

Inteacuterecirct des seacuteries transposables Si une seacuterie est transposable (3i flA) = B) on peut en superposer une forme quelconque avec sa transshy

poseacutee par ti Comme dans le sect III de la 4e partie (page 92) nous noterons lA le

groupe disotropie de A dans le groupe des translations lA = [i tjA) = A) Nous aurons bien sucircr lB = lA

Nous appellerons de mecircme IAB le groupe disotropie de la paire AB)

IAB = i ti(A) ti(B)) = AB))

lA est un sous-groupe de IAB et on a IAB = lAU [i ti(A) = B)

Par conseacutequent une seacuterie est transposable si (et seulement si) lindice de lA dans IAB est eacutegal agrave 2

Envisageons les divers cas pour IAB

1) Si Card 1AB = 12 Alors on a Card lA = 6 dougrave lA = lt2gt A est la gamme par tons

2) Si Card IAB = 6 Alors on a Card lA = 3 dougrave lA = lt4gt

Alors A contient 048 ainsi que xx + 4x + 8 (avec x= 1 ou 3 mais pas 2 car A serait alors la gamme par tons) Donc deux possibiliteacutes

A = [014589) ou A = [0347811


Alors A contient 0 et 6 ainsi que xx + 6y y+ 6 avec x et y eacuteleacutements distincts de [12345) Mais la paire [xy) = 24) est agrave exclure et dautre part x et y ne peuvent prendre la valeur 3 ni diffeacuterer de 3 Donc 3 possibiliteacutes

A = [012678) ou A = 0156711) ou A = [04561011)

109


4) Si Card IAB = 3 impossible

5) Si Card IAB = 2 Alors on a Card lA= 1 et lA= lt0gt

Ici on aura B = t 6(A) Donc pour former A on prendra outre 0 un eacuteleacutement et un seul dans chacune des classes (17) (28 (39 (410 (511 en excluant les ensembles deacutejagrave obtenus preacuteceacutedemment (cest-agraveshydire les deux ensembles du 2o ni la gamme par tons ni ceux du 3o ne sont obtenus ils contiennent tous 6) Nous aurons donc ici 25 -2 soit 30 ensembles

Les ensembles A correspondant aux seacuteries transposables sont finaleshy

ment au nombre de 36 (sur C~ = 462 ensembles au total) Le tableau1ci-apregraves indique pour chaque ensemble A les sous-groupes lA B qui lui correspondent

IAB Card IAB Ensembles A

lt8gt 3 aucun

lt2gt 6 (014589] et (0347 811]

lt1gt 12 gamme par tons (0246810]

lt3gt 4 (012678] (0156711] et (04561011J

lt6gt 2

A sobtient en prenant

jo 1 2 3 4

0~~ (Sont agrave exclure

ou ou ou ou les ensembles 7 8 9 10 11 preacuteceacutedents)

Exemples de seacuteries transposables

bull chez Schoenberg bull Seacutereacutenade op 24 42311018695710 bull Suite op 29 37610211098451 bull Ode agrave Napoleacuteon op 41 45108911102376 bull Troisiegraveme lied op 48 17911351064082

bull chez Webern bull Symphonie de chambre op 21 9 6 7 845 11102103 bull Concerto pour neuf instruments op 24 11102376845019

bull chez Berg bull Lulu 10230574698111 bull Suite lyrique 54097281361011

Remarques

- toutes ces seacuteries correspondent agrave i = 6 qui nous lavons vu fournit 32 cas sur 36

- la seacuterie de lop 48c de Schoenberg correspond agrave la gamme par tons -les seacuteries de lop 24 de Webern et celles des op 29 et 41 de Schoenberg

correspondent au mecircme ensemble A (014589 (i = 26 ou 10)

110


-les seacuteries de lop 21 de Webern et de la Suite lyrique de Berg sont des seacuteries agrave formes limiteacutees puisquelles veacuterifient t6(S) = S ceci sobtient en ordonnant B = t 6(A) dans lordre inverse de A Plus preacuteciseacutement si SA = (n1 n2 bullbullbull n6) on prendra SB = (n6 + 6 n5 +6 n1 + 6)

DEUXIEgraveME CAS ti(A) = A (SEacuteRIE SEMI-TRANSPOSABLE)

Inteacuterecirct des seacuteries semi-transposables Si une seacuterie est semishytransposable (3i 0 flA) = A) on peut en superposer une forme quelshyconque avec la reacutecurrence de sa transposeacutee par t1bull

Les seacuteries semi-transposables sont tout simplement les ensembles agrave transpositions limiteacutees qui comportent 6 eacuteleacutements (voir 4e partie sect3)

Il y a donc au total 12 ensembles A distincts dont la moitieacute corresshypond eacutegalement agrave des seacuteries transposables Le tableau ci-dessous reacutecapishytule les reacutesultats

IA Card lA Ensembles A

lt3gt 4 aucun

lt2gt 6 gamme par tons 02468 10)

lt4gt 3 [014589) et [0347811]

A sobtient en adjoignant agrave la paire 06) deux des

lt8gt 2 paires suivantes 17] 28] [39] [410) (511) (agrave lexclusion de la gamme par tons)

Exemples de seacuteries semi-transposables middot

bull chez Schoenberg bull Suite op 29 bull Ode agrave Napoleacuteon op 41 bull Troisiegraveme lied op 48

bull Chez Webern bull Concerto pour neuf instruments op 24

(On remarque que tous ces exemples correspondent agrave des seacuteries qui sont eacutegalement transposables ce qui permet davantage de varieacuteteacute dans la superposition des formes seacuterielles)

TROISIEgraveME CAS ti(- A) = B (SEacuteRIE RENVERSABLE)

Lrzteacuterecirct des seacuteries renversables Si une seacuterie est renversable (3i tl- A) = B) on peut en superposer une forme quelconqueavec la transposeacutee par ft de son renversement

Consideacuterons la symeacutetrie par rapport agrave 0 dans E s x ~---+- -x Alors tout renversement si x ~ i x peut seacutecrire S) = tio s Une seacuterie renversable est donc une seacuterie veacuterifiant 3i si(A) = B

Ill


Remarquons tout dabord que i ne peut pas ecirctre pair En effet si i=2j j est invariant par si si(j) = 2j-j = j Or dapregraves la condition poseacutee nul eacuteleacutement de E ne peut ecirctre invariant

eacutetant alors un eacuteleacutement impair de E on construira A en y placcedilant dabord 0 i ( = Sj(O)) eacutetant placeacute dans B Pour compleacuteter A il suffira ensuite de prendre un eacuteleacutement et un seul de chacune des 5 autres paires ai- a

Un deacutenombrement (assez fastidieux mais pas tregraves difficile) montreshyrait quil y a 174 ensembles A qui reacutepondent agrave la question sur les 462 posshysibles

Le tableau ci-dessous indique pour chaque valeur de i la faccedilon de construire A

Valeurs dei

paires

Lensemble A est constitueacute de

(pas densemble A)

1 2 3 4 5 6

0 ou ou ou ou ou 11 10 9 8 7

3 1 4 5 6 7

0 ou ou ou ou ou 2 11 10 9 8

5 1 2 6 7 8

0 ou ou ou ou ou 4 3 11 10 9

7 1 2 3 8 9

0 ou ou ou ou ou 6 5 4 11 10

9 1 2 3 4 10

0 ou ou ou ou ou 8 7 6 5 11

11 1 2 3 4 5

0 ou ou ou ou 0 u 10 9 8 7 6

Exercice (proposeacute par Yves Hellegouarch) 174 est eacutegal agrave 6 fois 29 or 29 est le nombre de seacuteries transposables dont le groupe IAB a 2 eacuteleacutements Expliquer cette coiumlncidence

Exemples de seacuteries renversables

Tous les exemples de seacuteries transposables ou semi-transposables donshyneacutes preacuteceacutedemment On peut y ajouter (entre autres)

bull chez Schoenberg bull Valse op 23 19117861024305

112


bull Suite pour piano op 25 45716382110910 bull Quintette pour instruments agrave vent op 26 37 911101024685 bull Variations pour orchestre op 31 10463592178110 bull Quatriegraveme quatuor op 37 21910534087611 bull Fantaisie op 47 10911157408362

bull chez Webern bull Quatuor op 28 10901134126587

bull chez Boulez bull Structures pour deux pianos 32987641010511

Remarques

Il existe des seacuteries transposables qui ne sont pas renversables Exemshyple celles qui sont associeacutees agrave A = 034578 MAIS

Theacuteoregraveme 1 Toute seacuterie semi-transposable est renversable

Il suffit de le veacuterifier pour chacun des 12 ensembles A corresponshydants

La seacuterie de lop 28 de Webern est une seacuterie agrave formes limiteacutees qui veacuterifie t5(- S) = s(S)

QUATRIEgraveME CAS ti(- A) = A (SEacuteRIE SEMI-RENVERSABLE)

Inteacuterecirct des seacuteries semi-renversables Si une seacuterie est semi-renversable (3i tl- A) = A) on peut en superposer une forme quelconque avec la reacutecurrence de la transposeacutee par ti de son renversement

Remarquons tout dabord que si xEA il en est de mecircme dei x

Une seacuterie est donc semi-renversable si (et seulement si) 3i Si(A) = A On peut distinguer deux cas suivant que le renversement Si admet un point invariant (i pair) ou non (i impair)

[Remarque Si A est associeacute agrave plusieurs valeurs dei ces valeurs ont mecircme pariteacute

En effet si on a siCA) = Sj(A) = A avec i j alors tio s(A) = A dougrave s(A) = Lj(A) et de mecircme s(A) = Lj(A) On a donc Li(A) = Lj(A) dougrave tj-i(A) = A A correspond donc agrave une seacuterie semi-transposable et (voir tableau page 111) on a neacutecessairement j-i pair cest -agrave-dire i et j de mecircme pariteacute]

Premier cas ensembles A associeacutes agrave des indices i impairs

i eacutetant impair les eacuteleacutements de E peuvent ecirctre reacutepartis en 6 paires disshytinctes xi- x A sera alors constitueacute de la reacuteunion de [Oi avec deux des autres paires

Second cas ensembles A associeacutes agrave des indices i pairs

Si i est pair (i = 2j) alors j est son propre transformeacute ainsi que j + 6 Les autres notes pourront ecirctre groupeacutees en paires deacuteleacutements disshytincts notetransformeacutee

113


Puisque A doit contenir les deux eacuteleacutements dune mecircme paire et posseacuteshyder 6 eacuteleacutements il sensuit que sil contient j il devra eacutegalement contenir j + 6 Constituant donc une sixiegraveme paire avec j et j + 6 nous pourrons dire que A sera constitueacute de la reacuteunion de 3 de ces 6 paires dont celle conshytenant O

Le tableau ci-dessous donne pour les diffeacuterentes valeurs de i les 6 paires de notes

icirc III IV v VI

210 39 48 57

310 49 58 67

2 02 17 311 410 59 1 68

3 03 12 411 510 69 78

4 04 28 13 511 610 79

P= 05 14 23 611 710 89 -----middot------shy

06 39 15 24 711 810

7 07 16 25 34 811 910

8 08 410 17 26 35 911

9 09 18 27 36 45 1011

10 010 511 19 28 37 46

11 011 110 29 38 47 56

Pour constituer un ensemble A il suffira de prendre dans une ligne donneacutee le contenu de la premiegravere case ainsi que celui de deux des cinq autres Combien pourrons-nous construire densembles A diffeacuterents

Le problegraveme est de deacuteterminer si certains dentre eux sont obtenus plusieurs fois et si oui combien

Si A est obtenu agrave partir de deux lignes diffeacuterentes du tableau ci-dessus nous aurons

ti( A) = A et tj( A) = A (ij) ou encore

A = Lj(A) = Lj(A)

De t_i(A) = T _j(A) nous deacuteduisons A = ti-j(A) (deacutejagrave vu plus haut)

Un tel ensemble A sera donc neacutecessairement lun des 12 qui corresshypondent aux seacuteries semi-transposables La comparaison de ces 12 ensemshybles au tableau ci-dessus montre que

[0156711 se trouve deux fois (lignes 0 et 6) [012678 (lignes 2 et 8) [04561011 (lignes 4 et 10) [014589J se trouve trois fois (lignes 15 et 9)

114


[0347811] (lignes 37 et 11) 0246810] se trouve six fois (lignes 0246810)

Or le tableau fournit au total 12xC = 120) ensembles A distincts ou non dapregraves ce qui preacutecegravede il y a en fait 120-12 soit 108 ensembles A diffeacuterents

Exemples de seacuteries semi-renversables

bull Chez Schoenberg bull Seacutereacutenade op 24 bull Suite op 29 bull Ode agrave Napoleacuteon op 41

bull Chez Webern bull Symphonie de chambre op 21

bull Chez Berg bull Lulu bull Suite lyrique

bull Chez Boulez bull Structures pour deux pianos

LES SEacuteRIES STABLES

Deacutemontrons la proprieacuteteacute suivante

Theacuteoregraveme 2 Dans lensemble des seacuteries transposables toute seacuterie renshyversable est semi-renversable et inversement

Soit S une seacuterie transposable et A lensemble associeacute On a alors 3i ti(A) = B

a) Si nous supposons S renversable nous avons de plus 3j tj(- A) = B dougrave ti(A) = tj(- A) et A = tj -i(- A) ce qui montre que S est semi-renversable

b) Si nous supposons S semi-renversable nous aurons cette fois 3k tk(- A) = A dougrave ti+ k(- A) = B ce qui montre que S est renversable

Appelons stable une seacuterie qui veacuterifie les conditions du theacuteoregraveme preacuteceacutedent

Deacutefinition On appelle seacuterie stable une seacuterie qui est agrave la fois transposable et renversable

Le theacuteoregraveme nous permet de conclure

Inteacuterecirct des seacuteries stables Si une seacuterie est stable (3(ij) li(A) = tj(- A) = B) on peut en superposer une forme quelconque avec lune des trois formes suivantes au choix

- sa transposeacutee par ti - la transposeacutee par tj de son renversement - la reacutecurrence de la transposeacutee par ft_ j de son renversement

115


Cherchons maintenant quelles sont les seacuteries stables

On peut constater directement que les seacuteries transposables corresponshydant aux 6 ensembles A associeacutes aux valeurs de i diffeacuterentes de 6 sont eacutegalement renversables (donc stables) Mais quen est-il des autres Les conditions agrave reacutealiser sont ici

t 6(A) = B(C) 3j E [1357911] B

Ce systegraveme est eacutequivalent agrave

(C) t6(A) = B 3jE[l357911j tj( A) = t6(A)

Mais tj(- A) = t 6(A) eacutequivaut agrave A = tj + 6(- A) Posant k = j + 6 les conditions preacuteceacutedentes deviennent finalement

(C) t 6(A) = B 3kE[l357911] tk(-A) =A

Ces conditions signifient que A est associeacute agrave des seacuteries

- transposables dindice 6 - semi-renversables dindice impair

Voyons ce qui se passe pour lindice k = 1

Les 6 paires correspondant agrave cet indice sont (voir plus haut seacuteries semi-renversables)

01] 211 310 49] 58] 67]

A devant contenir 0 et 1 ne pourra contenir ni 6 ni 7 (puisque la seacuterie est eacutegalement transposable dindice 6) Dautre part si A contient 3 et 10 elle ne pourra contenir ni 9 ni 4 (pour les mecircmes raisons) et inversement Enfin de mecircme si A contient 2 et 11 elle ne pourra contenir ni 8 ni 5

Ces conditions nous donneront finalement 4 ensembles A reacuteunions de la paire [01] avec deux des quatre paires ci-dessous prises dans deux lignes diffeacuterentes

2 11 J 58

310] [49

Nous trouverions des reacutesultats analogues pour les 5 autres indices impairs Cest-agrave-dire que nous recensons ainsi 6 x 4 soit 24 ensembles A distincts ou non Ceux qui sont obtenus plusieurs fois auront deacutejagrave eacuteteacute repeacutereacutes comme tels lors de leacutetude des seacuteries semi-renversables Il suffit donc de voir si ces ensembles semi-renversables multiples sont eacutegaleshyment transposables pour lindice 6

014589] convient et est trouveacute 3 fois (i 15 et 9) 0347811] convient et est trouveacute 3 fois (i 37 et 11)

116


Ce sont donc en fait 24 4 soit 20 ensembles A distincts que nous trouvons ici Parmi eux se trouvent deux des six ensembles associeacutes aux seacuteries transposables correspondant aux valeurs de i diffeacuterentes de 6 ceux qui correspondent agrave i = 2 cest-agrave-dire les deux ensembles qui figushyrent ci-dessus

Au total il y a donc 24 ensembles A qui correspondent aux seacuteries stashybles (sur les 36 qui correspondent aux seacuteries transposables)

Le tableau ci-dessous indique les ensembles A correspondant agrave des seacuteries stables suivant les valeurs de i et de j

Valeurs dei Valeurs de j Ensembles A

4 ou 8 aucun

impaires imp~uumlres gamme par tons

26 ou 10 15 ou 9 0347811)

37 ou 11 0 1 45 89)

1 ou 7 0456 1011 J

3 ou 9 3 ou 9 0156711)

5 ou 11 0 1267 8)

1 25) 34)

07)U ou u ou 811) 910)

3 18) 45)

09)U ou u ou 27) 1011)

6

5 110) 29)

011) u ou u ou 47) 38)

7 211) 3 10)

01)U ou u ou 58) 49)

9 12) 411)

03)U ou u ou 78) 510)

11 14) 23)

05)U ou u ou 7 10) 89)

Exemples de seacuteries stables

Les exemples de seacuteries semi-renversables que nous avons donneacutes plus haut (sauf celui de Boulez) correspondant eacutegalement agrave des seacuteries transposhysables fournissent par conseacutequent des exemples de seacuteries stables

117


PORTRAIT DE FAMILLE

Une derniegravere proprieacuteteacute pour terminer

Theacuteoregraveme 3 Toute seacuterie renversable et semi-renversable est transposable

Supposons 3i ti(- A) = B et 3j tj( A) = A

tj(- A) = A implique t _ j(A) = A

dougrave B =ti(- A)= tjOLj(A) =ti- j(A) CQFD

Nous pouvons en deacuteduire que lintersection de lensemble des seacuteries renversables et de lensemble des seacuteries semi-renversables nest autre que celui des seacuteries stables

Les divers reacutesultats obtenus en cours deacutetude nous permettent mainshytenant de donner une repreacutesentation ensembliste des divers types de seacuteries envisageacutes dans le scheacutema ci-dessous

T deacutesigne lensemble des seacuteries transposables T semi-transposables R renversables R semi-renversa bles

Lensemble des seacuteries stables est repreacutesenteacute par la partie hachureacutee

R

T

R

Notons lexistence de 6 ensembles A conduisant agrave des senes (appelons-les superstables) qui jouissent des quatre proprieacuteteacutes elles sont transposables semi-transposables renversables et semi-renversables Ces seacuteries constituent lensemble TnT 1 n Rn R 1

les ensembles A corresponshydants sont

0246810 (gamme par tons) 014589 0347811 045610 11 0156711 012678

118


--

ET HORIZONTALEMENT

Signalons enfin que les proprieacuteteacutes eacutetudieacutees concernant la superposishytion des formes seacuterielles ne sont pas non plus sans inteacuterecirct en ce qui conshycerne leur succession donnant dans ce cas plus duniteacute dodeacutecaphonique au deacuteroulement horizontal de lœuvre

En effet soient S et S deux formes superposables dune mecircme seacuterie telles que S fait entendre (pour fixer les ideacutees) les notes de A puis celles de B alors que S fait entendre les notes de B puis celles de A Lenchaicircneshyment deS et de la reacutecurrence de S eacutenoncera alors les notes de A puis celshyles de B puis de nouveau les notes de A suivies de celles de B Le fragment central (B suivi de A) est un total chromatique (quoique neacutetant pas en geacuteneacuteral une forme de la seacuterie de lœuvre) ce fragment permet en quelque sorte accrochage des formes SetS Ce qui fait que lon a ainsi non pas seulement deux totaux chromatiques juxtaposeacutes mais trois totaux imbriqueacutes les uns dans les autres

3e total S 1

rA B 1

2e total Pour illustrer ceci reprenons lexemple du deacutebut du Thegraveme des

Variations pour orchestre op 31 de Schoenberg (mesures 1 agrave 12 ligne meacutelodique uniquement)

1 --~ 3 ~4 ~ 5 6

~ ~f ~ Egrave J BTI J 1 J r]f1 9J111 y 11]3 ~ L- s 5 ~ 10 11 11

J 1eamptiJ 7 bt ampdit ccedil Chccedill rbullr tmiddotI_ZB

La seacuterie de cette œuvre est on la vu plus haut

s = 10463592178110

Cest une seacuterie renversable qui veacuterifie t 5( A) = B On a

t 5(-S) = 71112083410965

Or les mesures 1 agrave 12 eacutecrites ci-dessus eacutenoncent successivement S puis la reacutecurrence de t 5( S) faisant apparaicirctre un total chromatique censhytral qui est

217 81105691043

Ce maillon assure en quelque sorte la continuiteacute du discours dodeacuteshycaphonique

119


POUR FINIR

Exercice On se propose dengendrer la totaliteacute des ensembles A corresshypondant agrave chacune des cateacutegories envisageacutees ci-avant agrave partir dun nomshybre reacuteduit dentre eux gracircce aux opeacuterations suivantes renversement compleacutementation dans E transposition

1) Deacutemontrer le theacuteoregraveme suivant

Si X est un ensemble A ou B correspondant agrave une seacuterie transposable (ou semi-transposable ou renversable ou semi-renversable) il en est de mecircme de ses transposeacutes de ses renversements et de leurs compleacutementaires

2) Montrer que 7 ensembles A suffisent agrave engendrer les seacuteries transposashybles 4 les seacuteries semi-transposables 19 les seacuteries renversables et 13 les seacuteries semi-renversables

COUP DOEIL EN ARRIEgraveRE

Nous avons dans cette Annexe indiqueacute les ensembles A permettant de construire des seacuteries inteacuteressantes du point de vue de la superposition (et de la succession) des formes Une fois choisi un tel ensemble il reste agrave lordonner agrave ordonner eacutegalement son compleacutementaire B puis agrave ordonner le couple (AB) de faccedilon agrave former une seacuterie normalement constitueacutee La faccedilon dordonner B peut on la vu au passage ecirctre eacutegalement digne dinteacuterecirct (seacuteries agrave formes limiteacutees) La seacuterie eacutetant alors obtenue il faut encore choisir les formes que lon utilisera leur succession etou leur superposition les valeurs des notes leur octave etc Alors il ne sagira plus de matheacutematique nous serons de plain pied dans le domaine de la MUSIQUE Mais ceci est une autre histoire

120


REacutePONSES AUX QUESTIONS POSEacuteES DANS LES ENCADREacuteS

ENCADREacute 1254724864 Puis il faut arrondir 4357 76 51 67 4560

ENCADREacute 13 243 f 243 lA) La = 1802f 128 128 2

Si b _plusmn_f_plusmn_ = 1778f 3 3

Le La diegravese est plus aigu que le Si beacutemol

B) La _12 f 15 l = 1758f 8 8 2


Le Si beacutemol est plus aigu que le La diegravese

ENCADREacute 15

Le Sol (tierce de Mi) a pour freacutequence (54) 2f (ougrave fest la freacutequence de Do)

Le Mi b (tierce infeacuterieure de Sol) a pour freacutequence ~(45)f

Ce qui donne pour la quinte Sol - Mi b le rapport de freacutequences

2(~(45)) (54)2 soit 2(45)3J5 (env 1531) t il faut prendre le Mi de loctave supeacuterieure

Cette quinte est trop grande (denviron 35 cents cest-agrave-dire un tiers de ton) et sonne particuliegraverement faux cest la quinte du loup (ainsi nommeacutee parce quelle hurle)

Cest pour eacuteviter ce loup que lon a imagineacute agrave la fin du 17e siegravecle dautres tempeacuteraments dont le tempeacuterament eacutegal

ENCADREacute 22

bull Reacuteponse agrave la premiegravere question

La longueur Xp de la pe case du manche est

_12_) 48

121


La position de la 24e frette sera donc (partant du haut du manche) 24 24

X 1 Xp = AC I (1 2_) p= 1 p= 1 48

24 soit X = AC (24 I p) = AC (24 - 2425)

48 p= 1 248

71ACou enfin X 4

AB x 71Puisque AC AB on a X 36 2 72

Theacuteoriquement on devrait trouver X AB On na donc pas tout 2

agrave fait boucleacute loctave mais il sen faut de peu (-1-)144

Le proceacutedeacute est donc acceptable agrave moins de 1 OJo pregraves (pour une corde agrave vide de 60 cm leacutecart serait de lordre de 4 mm)

Reacuteponse agrave la seconde question

Il sagit ici de calculer le rapport entre deux longueurs de corde vibrante conseacutecutives

p

Position de la pe frette Xp = I Xn = AC (1 n=1 n 1

p(95- p)X = AC(p - ~ ) soit X = AB p 248 p 36 96

La longueur de corde qui vibre est donc

AB (p2 - 95p + 3456) 3456

Le rapport chercheacute est donc

p2 95p + 3456 = 1 + 2 -----4_7_-__P ___ 2ep+ 1 p - 93p + 3362 p2 93p + 3362

[Remarque Ceci ne vaut que pour p au moins eacutegal agrave 1 3456Pour p 0 le rapport sera AB soit = 1 02796]

AB-x1 95+3456

On peut alors eacutetudier dans R les variations de la fonction deacutefinie par

47y = f(x) = 1 + 2 - x x2 93x+ 3362

122


On saperccediloit (apregraves calcul) que dans lintervalle [1 23] cette foncshytion passe par un maximum pour une valeur x0 comprise entre 13 et 14 quelle est croissante sur [1 x0] et deacutecroissante sur [x0 23] On a de plus

f(1) = 102813 f(23) = 102830 f(13) = 102928 f(14) = 102925

On peut donc ainsi constater que la valeur du rapport nest pas consshytante mais quelle varie peu (elle est comprise entre 10279 et 1 0293)

Conclusion la reacuteponse aux deux questions poseacutees est

NON MAIS PRESQUE

ENCADREacute24

f = l On sen aperccediloit en comparant les longueurs des deux Do 12

extrecircmes Les autres longueurs permettent de confirmer cette hypothegravese

ENCADREacute 25

1200 pouds = 197 tonnes

3-shyDautre part on a f = __k_ dougrave f2 = fJ Ml

~~ V Mz La freacutequence de Reacute 2 est denviron 147 Herz donc celle du son eacutemis par

3r--shyTsar Kolokol est 147 x P_sect__Cest-agrave-dire environ 637 herz v 197

Ceci est compris entre la freacutequence du Si 0 ( 617 Herz) et celle du Do 1 (654 hz) actuels

123


LISTE DES ENCADREacuteS

1 - Avec trois trous 2 - Les intervalles uniteacutes de mesure 3 - Vrai ou faux 4 - Pythagore 5 - Sur cinq notes 6 - Les modes du plain-chant 7 - Le nom des notes 8 - La notation classique hauteurs 9 - La notation classique dureacutees

10 - La notation classique mesure 11 - Deux exemples de codages musicaux alphanumeacuteriques 12 - La leacutegende des lyus 13 - Plus grave Plus aigu 14 - Le monocorde 15 - Le tempeacuterament meacutesotonique 16 - Les touches briseacutees du clavecin 17 - Les eacutechelles des instruments 18 - Quelques mesures sur la guitare 19 - Quelques commas 20- Are Are 21 - Une eacutechelle arabe 22 - La gamme par tons 23 -Un autre tempeacuterament eacutegal le TEQJ 24 - Dautres corps sonores 25 - La reine des cloches 26 - Musique agrave Bali 27 - Les touches noires du piano 28 - LOffrande musicale 29 - Made in USA 30 - Freacutequences de freacutequences 31 - Les Variations opus 31 32 - Musique et algegravebre de Boole 33 - La valse des deacutes 34- Le programme LUDUS

Reacuteponses aux questions poseacutees dans les encadreacutes

p 13 p 15 p 17 p 18 p 25 p 27 p 28 p 29 p 33 p 34 p 35 p 36 p 45 p 47 p 48 p 49 p 50 p 51 p 52 p 53 p 54 p 55 p 56 p 59 p 59 p 65 p 67 p 75 p 81 p 85 p 87 p 99 p 101 p 103

p 121

124


PETITE BIBLIOGRAPHIE

BARBAUD Pierre La musique discipline scientifique (Dunod 1968) BARRAUD Henri Pour comprendre les musiques daujourdhui (Seuil

1968) BAYER Francis De SchOnberg agrave Cage (Klincksieck 1981) BOSSEUR Dominique amp Jean-Yves Reacutevolutions musicales (Le

Sycomore 1979) BRAGARD Roger amp DE HEN Ferd J Les instruments de musique

dans lart et lhistoire (De Visscher Bruxelles 1973) BROWN Frank La musique par ordinateur (PUF 1982 Que sais-je ) CANDEacute Roland de Histoire universelle de la musique (Seuil 1978) CHAILLEY Jacques La reacutesonance dans les eacutechelles musicales (CNRS

1963) CORDIER Serge Piano bien tempeacutereacute et justesse orchestrale (Huchetshy

Chastel 1982) DANHAUSER Adolphe Theacuteorie de la musique (Lemoine 1929) DOURSON Paul amp P ARZYSZ Bernard Musiques nombres et structures

(LEducation musicale nos 232-33-35-39 1976-77) ETIENNE Luc Le tempeacuterament deacutecimal (Bull du GAM no 6 bis Univ

Paris-VII 1972) GAL Hans Preacuteface agrave LOffrande musicale (Boosey amp Hawkes 1952) HONEGGER Marc Science de la musique (Bordas 1976) LEIBOWITZ Reneacute Introduction agrave la musique agrave douze sons (LArche

1949) LEIBOWITZ Reneacute Schoenberg (Seuil 1969) MESSIAEN Olivier Technique de mon langage musical (Leduc 1944) MOLES Abraham Les musiques expeacuterimentales (Cercle dArt contemshy

porain 1960) RAMSEYER Urs Lart populaire agrave Bali (Office du Livre 1977 Fribourg) STUCKENSCHMITT HH La musique du xxe siegravecle (Hachette 1969) TCHEN Ysia La musique chinoise en France au 18e siegravecle (Publications

orientalistes de France 1974) TOUMA HH La musique arabe (Buchet-Chastel 1977)

125


Fragments dhistoire des matheacutematiques Adolf P YOUSCHKEVITCH Meddi ABDELJAOUAD Paulo RIBENBOIM Jean-Luc VERLEY Bernard BRU Dr Roger KNOTT

176 pages OBJECTIFS Aux auteurs des divers articles il a eacuteteacute demandeacute de retracer lhistoire dun grand problegraveme dune theacuteorie dun secteur qui a joueacute un rocircle important soit par son propre deacuteveloppement soit par ses interactions avec dautres secteurs matheacutematiques ou de la science Ceci dans une conception de lhistoire des matheacutematiques comme analyse de la construction des concepts matheacutematiques et des probleacutematiques qui ont motiveacute cette construction analyse eacutegalement de lorganisation des secteurs matheacutematiques et de leurs interactions avec dautres domaines de la science

SOMMAIRE Introduction

par Jean-Louis OVAERT et Daniel REISZ Le concept de fonction jusquau milieu du XJXe siegravecle

par Adolf P YOUSCHKEVITCH (Universiteacute de Moscou) traduction par Jean-Marc BELLEMIN

Vers une eacutepisteacutemologie des deacutecimaux par Mehdi ABDELJAOUAD (Ecole Normale Supeacuterieure de Tunis)

Historique du dernier theacuteoregraveme de Fermat par Paulo RIBENBOIM (Queens University Canada) traduction par Daniel DUCLOS

La controverse des logarithmes des nombres neacutegatifs et imaginaires par Jean-Luc VERLEY (Universiteacute Paris VII)

Petite histoire du calcul des probabiliteacutes par Bernard BRU (Universiteacute Paris VI)

Historique des notations de la theacuteorie des ensembles par Dr Roger KNOTT (University of Technology Loughboroug) traduction par Daniel DUCLOS

126


GAMMES NATURELLES Yves HELLEGOUARCH CAE~fl

Preacuteambule

1) Introduction

2) Une proprieacuteteacute des sous-groupes de Q~ 3) Commas

4) Commas des groupes de rang 2

5) Groupes quotients et gammes de Pythagore

6) Gammes de Zarlino

7) Introduction de la septiegraveme harmonique

8) Crible

9) Distance harmonique sur Q~ 10) Dissonance des intervalles dune gamme

11) Conclusion

12) Exercices sujets deacutetude

Reacutefeacuterences

Si votre ideacutee des gammes et de la justesse est baseacutee sur 1 accord du piano vous trafiquez dans la supercherie pour dire les choses crucircment Cette supercherie fut partiellement approuveacutee par JS Bach et reccedilut lappui total de son fils CPE Bach mais je ne pense pas que la seule vertu de ce nom illustre la preacuteserve de toute critique

[Bun ting]

127

Gammes naturelles (Hellegouarch Y) - APMEP 1984 - ndeg 53

PREacuteAMBULE

Le but de ce travail nest pas de donner un fondement matheacutematique agrave une meacutethode daccordage des instruments agrave clavier [Cordier] mais plushytocirct deacutetudier certains faits qui appartiennent agrave la tradition et agrave lintuition des instrumentistes agrave cordes

Quant on deacuteplace un doigt de la main gauche sur une corde de vioshylon sans appuyer il se produit

l 0 ) des pheacutenomegravenes acoustiques (formation dharmoniques naturelles)

2deg) que linstrumentiste doit interpreacuteter agrave laide de la culture musicale quil a reccedilue

Ces faits appartiennent plus agrave larithmeacutetique quagrave lanalyse reacuteelle car la hauteur des harmoniques est une fonction arithmeacutetique discontinue de la position du doigt sur la corde (quand on appuie le doigt on retrouve

une fonction x _____ _1_ classique) Et comme on le sait depuis longtemps x

[Brun] ils se rattachent agrave la theacuteorie de lapproximation

1 Introduction

Bien que le niveau des matheacutematiques utiliseacutees ici ne deacutepasse pas celui des classes preacuteparatoires aux grandes eacutecoles il est certain que cet article est plus accessible aux matheacutematiciens quaux musiciens

Mais les motivations des deacutefinitions ~t des buts de ce travail peuvent paraicirctre mysteacuterieuses aux non-musiciens Aussi preacutesenterai-je un certain nombre de remarques bien connues des musiciens qui conduisent agrave un point de vue que les paragraphes suivants vont deacutevelopper dune maniegravere abstraite (trop abstraite )

1 1) Pour des raisons plus ou moins claires on considegravere geacuteneacuteraleshyment que la base de la musique occidentale est la gamme chromatique tempeacutereacutee [de Candeacute] qui est le sous-groupe du groupe multiplicatif R

1

engendreacute par 2 12 sous-groupe que nous noterons S

1 2) Il nest pas question de reacutepeacuteter ici tout le mal qui en a eacuteteacute dit [Hindemith] Bornons-nous agrave signaler quun piano accordeacute selon cette gamme sonne tout agrave fait faux ([Leipp] p 134) et que cette gamme paraicirct inadeacutequate pour leacutetude de lharmonie

1 3) En termes matheacutematiques les difficulteacutes proviennent de ce que

s nQ lt2gt or les oreilles des musiciem et les instruments de musique aiment les fractions simples Une expeacuterience facile agrave reacutealiser permet de sen rendre

128


compte si lon pose leacutegegraverement un doigt sur une corde de violon en un 1endroit approchant ou ~ de sa longueur la corde produit un son dont

la freacutequence fondamentale est exactement trois fois celle de la corde agrave vide

Nous appellerons cette remarque le principe dEuler carL Euler disait deacutejagrave en 1766 lorgane de louiumle est accoutumeacute de pour proportion simple toutes les proportions qui nen diffegraverent que fort peu de sorte que la diffeacuterence soit quasi imperceptible

21 4) Les fractions les plus simples sont

~ (quinte juste) j (quarte juste) etc Si lon appelle hauteur de la

fraction irreacuteductible__ le nombre h(__) sup(rs) les fractions s s

dentes se suivent dans lordre des hauteurs dougrave une classifishycation des intervalles par ordre de dissonance croissante a un caractegravere dobjectiviteacute qui a frappeacute les musiciens ([Hindemith] p 55 expeacuteriences de C Stumpf [de Candeacute] t II p 187 etc )

1 5) Pour utiliser cette notion de hauteur on est conduit agrave chercher des gammes de nombres rationnels (h seacutetend bien aux nombres ques mais son extension ne correspond plus agrave lintuition [Hellegouarch 1] et on ne peut appliquer raisonnablement cette notion de hauteur agrave S) Une gamme naturelle sera donc un sous-ensemble de Q~ muni dune certaine structure de groupe par sera agrave Z

16) La meacutethode classique daccord des et octaves [Leipp] fournit lideacutee de base nous allons la preacuteciser

Supposons que lon veuille accorder un Un proceacutedeacute consiste agrave parcourir le des

la reacute sol do si b mib

la b reacute b sol b do b fa b sibb

agrave 3En fait si les quintes sont et non

7

(eacutegales agrave 2 ) on ne peut pas retomber sur un la

3

nadmet pas de solution xE N

Deryck Cooke [Cooke] exprime de ce fait de maniegravere en 312

disant alors que leacutequation deacutesireacutee musicalemem est

129


312 tion matheacutematique correcte est - 1013642

219

Exprimeacute matheacutematiquement ce que le musicien souhaite cest imposhyser la relation

dans le groupe abeacutelien libre lt23 gt Si finalement on applique le principe dEuler pour trouver un

systegraveme de repreacutesentants des classes de lt 23 gt modulo lt r gt on trouve (miraculeusement ) la gamme de Pythagore telle quelle est deacutecrite dans les livres dHistoire de la Musique [de Candeacute]

2 Une proprieacuteteacute des sous-groupes de Q Q deacutesigne le groupe mlltiplicatif des rationnels gtO Il est bien

connu que Q est un groupe libre de rang infini dont lensemble J des nombres premiers est une base cela signifie que tout rationnel r gt 0 seacutecrit dune maniegravere et dune seule

r I1 pn(p) pE~middot

avec n(p)EZ et n(p) 0 sauf pour un nombre fini de p

Theacuteoregraveme Si G est un sous-groupe de Qde rang gt 1 alors G est dense shydans R+

Deacutemonstration

Puisque G est de rang gt l il existe deux eacuteleacutements r et s dans G multiplicativement indeacutependants

Ceci signifie que Log r et Log s sont lineacuteairement indeacutependants sur Q Le theacuteoregraveme de Kronecker [Hardy] affirme alors que lensemble des nombres de la forme rn Log r + n Log s pour (mn) E Z 2 est dense dans R Donc ltrsgt [rmsn (mn)EZ2l est dense dans R

Deacutefinitions Nous dirons que p q r etc sont des nombres muripicatishyvement indeacutependants dans Q si Log p Log q Log r etc sont lineacuteaireshyment indeacutependants sur Q et nous noterons par lt pq gt lt pqr gt etc les sous-groupes denses de Q engendreacutes par (pql [pqrl etc

En fait notre but sera une eacutetude de la suite 0

lt23gt lt235gt lt2357gt etc

130


dont nous deacutesignerons leacuteleacutement geacuteneacuteral par G Et finalement pour

r = I1 pn(p) E Q nous poserons () pEJ +

[[r[[ = I ln(p)ILog p pEl

3) Commas

Nous avons montreacute dans lintroduction linteacuterecirct des approximations de 1 dans les groupes GE S nous appellerons commas de G les meilshyleures de ces approximations et nous en donnerons la deacutefinition suivante

Deacutefinition Soit GE S et a E G

Nous dirons que a est un comma de G (ou meilleure approximation de 1 dans G) si et seulement si

1) a t 1

2) bEG Ill et [Log b[ lt [Log a[ entraicircne [[bll gtlia[[

Remarques

Ph d 11) S1 a = p 1 n1 nh a 1or~ on volt que pgc middot (n1 nh) -shy

2) Un comma de G ne reste pas toujours une meilleure approximashytion de 1 dans un plus grand sous-groupe G de -

Par exemple a = ~ est un comma de lt 23 gt mais nest pas un35

34 comma de lt235gt car il existe b = Elt235gt tel que

24 x5 [Log bi lt [Log a[ et llbll lt [[a[[

Le critegravere eacuteleacutementaire suivant donne une reacuteponse partielle agrave cette question

Critegravere Si GE S et si x = a+ 1 EG avec aEN Alors a est un a comma de G

Deacutemonstration

Soit une fraction irreacuteductible rn E Qt telle que rn gt 1 Montrons n n

que si 1Log r 1 lt 1Log a 1 alors 11 ~ Il gt Il a 1

11

( l) Si lon considegravere Q~ comme un Z-module 1 Il est analogue agrave une norme puisque lon a

o) Il r1i 0 et Il ri = 0 ssi r = 1

3) llrr Il ccedil llrll + llr Il

y) iirnll = lni 1lri1 pour tout nEZ

131


1) Remarquons dabord que n gta (on suppose naturellement que n

est positif) En effet n ~a entraicircne que n + 1 n

~ a+ 1 et comme rngt n a

on a rn n+1 a+1

~ ~ n n a

ou encore

Log rn ~ Log a+ n a

2) Puisque mgtn on a mn+ 1 gt a+ 1 dougrave

Il rn Il + Il n Il gt Il a+ 111 + Il a Il et comme rn et n (resp a+ 1 et a) sont premiers entre eux on a

1Il ~ Il = li mil + lin li (resp Il a Il = lia+ 111 + liai])

ce qui nous donne lineacutegaliteacute chercheacutee

4) Commas des groupes de rang 2 Nous allons geacuteneacuteraliser leacutegegraverement la situation du paragraphe 2 en

prenant un sous-groupe quelconque de rang 2 de Q+ que lon notera encore G Si pqj est une base de G pet q sont multiplicativement indeacuteshypendants et la recherche des commas de G eacutequivaut agrave la recherche des couples (xy) E Z2 tels que (x y) (00) et tels que x Log p + y Log q soit

voisin de 1 Ainsi - ~ doit ecirctre une bonne approximation de lirra-Y

tionnel ex = ~ Log p

La recherche des bonnes approximations de ex se fait habituellemem par lalgorithme des fractions continues [Stark] on construit ainsi une

suite de fractions an les convergentes de ex convergeant vers ex selon bn

le scheacutema

ao lt a2 lt ex lt lt a3 lt ai

bo b2 b3 lJ-shyEn posant (un peu arbitrairement)

(x (( 1)n 1a - 1)nmiddotb )n Yn) = - n n

on obtient le reacutesultat suivant xn Yn

Theacuteoregraveme 1 La suite des rationnels rn p q est monotone deacutecroisshysante et tend vers 1 De plus on a

1

132


Deacutemonstration

1) On sait que an- bnO a le signe de (- l)n- 1 [Stark] donc

soit r 11 gtl

2) Maintenant Log xn + 1 +ClYn+ 1

xn+OYn

Or on sait [Stark] que

lt 1

dougrave Log

lt 1 Log rn

3) Les deux ineacutegaliteacutes de leacutenonceacute eacutequivalent agrave

soit encore agrave

ce qui e~t bien connu [Stark]

On peut se demander maintenant si lon obtient bien ainsi des comshymas de G Pour reacutepondre agrave cette question nous utiliserons le reacutesultat suishyvant [Dubois] agrave partir dun certain rang les convergentes de Cl corresponshydent aux meilleures approximations de Cl pour la norme

N(xy) = [xz + Ozyz]vz

Theacuteoregraveme 2 A partir dun certain rang les nombres r11

deacutefinis dans le theacuteoregraveme 1 sont les commas de G

Deacutemonsru1ion

1) Montrons quagrave partir dun certain rang rn est un comma

Soit ~n la convergente correspondante et r = paq- bEG la condition n

Log rngt Log ri

entraicircne agrave partir dun certain rang

2(log p)2[N(a11 bn)JZ lt 2(Log p)2[N(ab)F

133


Or 2(Log p)2[N(ab)F = (a Log p - b Log q) 2 + (a Log p + b Log q) 2

1 Log r [2 + r 2

dougrave

ce qui entraicircne bien rn Il lt Ir li middot

2) Montrons quagrave partir dun certain rang tout comma est un rn

Soit un comma r = paq bEG assez proche de 1 nous allons montrer que r est une meilleure approximation de a au sens ordinaire du terme cest-agrave-dire que

middot1 a b a 1 lt 1a-- ba 1

entraicircne 1 a gt 1a 1 et 1b gt i b 1 Il en reacutesultera que r est un r n([Stark])

Supposons que Log p lt Log q et prenons 8 positif tel que 8 lt +Log p

supposons de plus que r est tel que

1 a Log p b Log qi lt 1

Alors 1 a Log p - b Log qi lt 1 a Log p - b Log q 1

entraicircne b Log q = a Log p + 11

b Log q = a Log p + 11

avec sup( 111 1 1Tl 1) lt 8

On en deacuteduit que

Il r Il = 1 a Log p + b Log q 1 = l2a Log p + 11 1

Il r Il = 1 a Log + b Log q 1 = 1 2a Log p + 11

Comme on sait que il r gt il r l il vient

[al gt al - IJI + IJ 1 gt lai 2 Log p Lo~ P gt lai

Finalement 1a 1 ~ 1a 1 et de mecircme 1b 1 ~ 1b 1middot

Mais 1a 1 = 1a 1 (respectivement 1b 1 = 1b 1) et 1a Log p - b Log q 1 lt 1a Log p b Log q 1 lt 8 entraicircnent 1b 1 1bi (respectivement 1a 1 = 1a 1) ce qui est absurde Ainsi 1 a 1 gt 1 a 1 et 1b 1 gt 1 b

134


5 Groupes quotients et gammes de Pythagore Nous allons dabord consideacuterer un sous-groupe quelconque de rang 2

de Q (toujours noteacute G) et un comma rn de G Notre premier but est leacutetude du groupe quotient G ltr gtmiddot

n

Ensuite nous choisirons G = lt 23 gt ce qui nous donnera des gamshymes que jappellerai gammes de Pythagore

Xn Yn 51) Soit G = ltpqgt et rn = p q comme dans le paragraphe 4

On introduira le nombre rn_ 1 et on utilisera la relation classique

XnYn-1- Xn 1Yn = (-l)n-l

Theacuteoregraveme

Deacutesignons par H le groupe ltrngt Alors GH est un groupe isomorshyphe agrave Z qui est engendreacute par la classe de rn_ 1middot

Remarque

Rappelons que les signes de xn et Yn sont choisis pour que lon ait Xn Yn

toujours p q gt 1

Deacutemonstration

Il est eacutequivalent de deacutemontrer en notation additive que Z(xnyn)Z

est un groupe sans torsion et que la classe de (xn 1y n _ 1) en est un geacuteneacuteshyrateur

1) Groupe sans torsion

Montrons que si h gt 0

h(xy) E (xnyn)Z

entraicircne que (xy) = k(xnyn) kEZ

En effet cette relation eacutequivaut agrave

hx = fxn hy = fyn

Comme xn et Yn sont premiers entre eux on voit que h divise pgcd

(fxnfYn) = f donc si lon pose

f = hk

et si lon simplifie par h on a le reacutesultat ci-dessus

2) Geacuteneacuterateur

Dire que la classe de (ab) est un geacuteneacuterateur de ZcxnYn)Z revient agrave

135


dire que tout (xy) E Z2 seacutecrit sous la forme

(xy) = h(ab) + k(xnyn)

donc que (ab) et (xnyn) constituent une base de Z2 ce qui est le cas si (ab) = (xn-1bullYn 1)

Theacuteoregraveme Dans ~ la classe de p(resp q) est eacutegale agrave 1 Yn 1 fois (resp

1xn 1 fois) celle de rn 1

Ainsi lindice du sous-groupe de ~ engendreacute par la classe de p (resp

q) est eacutegal agrave IYnl (resp lxnl)

Deacutemonstration Il suffit de deacutemontrer cette proprieacuteteacute pour la classe de p ce qui eacutequishy

vaut agrave Xn- 1 Y n 1 1 Y n 1 p=(p q )

ou bien (en notation additive)

(10) = IYn 1Cxn-1Yn-1) Si n est pair

Yngt 0 et on doit avoir

(10) = (Yn xn 1ynyn_ 1) modulo (xnyn)Z

Or on a

dougrave

Si n est impair

Yn lt0 et on doit avoir

(10) = ( YnXn-1bull -YnYn-1) Or on a

(- 1)ll

Convention Suivant le principe dEuler nous repreacutesenterons une classe de GH par un eacuteleacutement de plus petite hauteur (par hauteur

dune fraction irreacuteductible __EQtnous entendons sup(rs)) En geacuteneacuteral s

un tel repreacutesentant est unique et il lest neacutecessairement lorsque XnYn est impair Sil ne lest pas il y en a au plus deux dans certaines classes

52) Examinons maintenant le cas particulier

F = lt23gt

136


Nous prendrons p = 2 et q = 3 et 1 Yn 1 sera appeleacute le nombre de degreacutes du groupe G ltrngt Il nest peut-ecirctre pas inutile de donner une deacutefinishytion geacuteneacuterale du nombre de degreacutes dun groupe GH (resp une gamme T)

Deacutefinition Le nombre de degreacutes du groupe GH (resp de la gamme T) est lindice du sous-groupe engendreacute par la classe de 2 (resp par 2)

Le calcul des convergentes de t~ ~ donne les commasO) de G (voir

paragraphe 4)

Dans le tableau ci-dessus nous nous sommes borneacutes agrave eacutecrire les comshymas rgt 1

Jappellerai commas de Pythagore Janko et Mercator les trois dershyniers commas car Pythagore Janko et Mercator ont eacutetudieacute des gammes ayant (respectivement) 12 41 et 53 degreacutes [Dautrevaux]

n = 1

z 22relation =1

3freacutequence

n = 2 tonique quinte octave (2 degreacutes)

z 0 1 1 2

3freacutequence 2 2

n = 3 gamme pentaphonique (5 degreacutes)

z 0123 45

freacutequence 2 ~ ~

Remarque

B middotParzysz donne les freacutequences 34

et E pour les degreacutes 2 et 4 26 24

ces freacutequences sont eacutequivalentes aux nocirctres [Parzysz]

(1) Cest une constatation

137


n 4 gamme agrave douze degreacutes

4z 0 1 2 6 7 8 10 Il 123 5 9

28 32 25 34 22 36 27 2433 353 - -freacutequence 1 - - - - 223 26 2935 33 34 24 32 273 2

Le tableau ci-apregraves donne le prolongement de la gamme jusquau 60iegraveme degreacute On constate que les freacutequences sont croissantes 0)

Voir tableau ci-apregraves on constate que les freacutequences sont croissantes()

n = 6 gamme agrave 53 degreacutes (Mercator)

~ Voir tableau ci-apregraves on constate que les freacutequences sont croissantes() ~

au-delagrave le nombre de degreacutes des gammes est 306 665 15601 31867 79335 111202 190537 10590737 10781279 etc

Remarque Contrairement agrave ce que lon pourrait croire en lisant le tableau des 60 premiers degreacutes de la gamme de Pythagore agrave 12 degreacutes on ne passe pas dune octave agrave celle immeacutediatement au-dessus en multipliant les freacutequences par 2 Au-delagrave de laudible des irreacutegulariteacutes apparaissent par exemple

est faux

()Veacuterification de P TOFFIN

138


8 12 PYTHAGORE 2 = 122 =193 = 135 shy 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 28

35

32

23

25

33

34

22

3

36

29 3-2

27

33

~ 24

l r 27

2 29

35

32

22

26

33 ~ 25

23

3

36

28 3

20 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 33 34 35 36 37 38 39

28 1 33 34 23

25

l 35 62

22 210

35

32

2

27

33

34

~ 2

1

3

36

27 1 923 ~

33

22

26

32

35

25 23

211

35 32 28

33

60484o 41 42 44 46 49 54 56 5843 45 47 50 51 52 53 55 57 59

211212210 2834 3636 2925 2733 35 2 eacute2 r~ 24 2533- 23 3232 3 22 32 2332 25333523 1 iuml2 7133 7iuml-w Cl


-- --

0

-1gt- 12 265GAMME DE PYTHAGORE Agrave 41 DEGREacuteS _3_= 412= 65f3 T1 = 1219 3

0 1 4 202 6 8 1810 11 14 163 11 13 15 1975 179

210312 227 216 314 224 31628 319 232 213 311 2292232 3425 39 c__i_ 77 222219 211 230 n320 225 313-w 23 nshy 33 ~ 7~ ~ 73

-~-

E)gt7 E FD_Jgt1 - Jgt P~~ middot ()Yldv M luz WU ~middotmiddot tshy

fa fu_ 1-LA-i campRJgt

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

318

78 218

311 1 2

-~

G

313

220

226

~ 27

ii egrave

h

_t 212

320

TI 215

7 ~ 2

=shy

A ~

315

223

223

7iuml 24

32

nPgt

310

--5 231

~ 212

middot3 7

35

27

B

317 220

~1- AltC


--

GAMME DE PYTHAGORE Agrave 53 (Correspond au Comma de

0 1 2 43 65

265 246 227 28 319

329 37

211 230317 35

=

fiT D~-nl_J~

DEGREumlS

Holder)

18 19 20 21 22 23 24 25

34 259 240 221 l L 248 229

26 337 l5 313 3 217 ~ ~ = =

E F

26

210

7

IMA

36

_t_ 212

t

37

253

333

38

234

~

39

215

39

tshy

40

33

~ =

A

~

41

~ 223

42

242

b

7

235

322

43

223

~

265]il = 5312 = 843

8

216

310

44

24

32

Bj

~

9

32

23

~

D lU

27

36

29

Fitshy

ts-

45

~ 215

10

262

339

28

256

335

46

322

~

11

243

327

29

237

323

47

231

319

12

224

315

30

218

311

48

231

37

13

25

33

Eigt ~~

L

31

l 2

=-= G

Mlt

49

r 27

B A-lt

14

39

~

32

~ 220

50

317

~

15

251

332

33

245

328

51

239

284 53= 1 3

16 17

232 213

320 7

34 35

226

~ =

bgt

152 53

220 2

312

=

c olo


6 Gammes de Zarlino

Eugegravene DUBOIS a mis au point un algorithme qui donne les commas de G = lt23 5gt

Le calcul fait sur ordinateur donne la suite suivante 22 32 24 52 34 2113 5 2 x 5 2 - - - - = Comma de Didyme

22 23 322 3 3x5 23 x3 24 x5 34 x52

310 x 516 254 x 52 362 ---etc

253 337 217 x 535

Nous allons consideacuterer le groupe quotient de G = lt 235 gt par le

sous-groupe H engendreacute par deux fractions r = 2a 33 5~ et r = 2a 33 51

Theacuteoregraveme

1) Posons

x a

y 3 3 ax + 3y + Yz

z

Si le pgcd (a 3 Y) est eacutegal agrave 1 alors GH est isomorphe agrave Z

2) Dire que la classe de s = 2a3b5c est un geacuteneacuterateur de GH eacutequishyvaut agrave dire que

a a

b 3 3 aa + 3b + Yc plusmn1

c

Deacutemonstration

1) Dire que pgcd (a3Y) = 1 eacutequivaut agrave lexistence de (abc)EZ3 tel que

aa + b3 + C( = plusmn

en vertu du theacuteoregraveme de Bezout

2) Mais cette derniegravere condition signifie que (abc) (a3() et (a 3 Y ) constituent une base de Z3bull

Si nous posons K = Z(a3()+Z(a3() nous voyons que Z3K est un groupe isomorphe agrave Z et engendreacute par la classe de (abc) Mais ceci est juste la forme additive du reacutesultat que nous voulons obtenir

Exemples

Nous nous proposons dameacuteliorer les gammes de Pythagore corshyrespondant aux groupes lt 2 3 gt 1 lt r gt que nous avons obtenues dans le paragraphe 5

142


-- -- --

22 32 28 312Pour chaque valeur de r (r = - - - - etc) nous chershy

3 23 35 219 cherons un comma r de lt235 gt qui satisfasse au theacuteoregraveme preacuteceacutedent on posera alors H = ltrr gt

Soit cp la projection canonique G - GH et soit P limage cp(lt 23 gt) Comme Ker cp n lt 23 gt = lt r gt on voit que P est isomorshyphe agrave la gamme de Pythagore dont on eacutetait parti (mais certains repreacutesenshytants de cette gamme doivent ecirctre remplaceacutes par des eacuteleacutements de lt 235 gt de plus petite hauteur)

Finalement le nombre de degreacute de GH est eacutegal agrave celui de P multiplieacute par lindice de P dans GH

Lorsque cet indice est eacutegal agrave 1 on dira que la gamme obtenue affine notre gamme de Pythagore sinon on dira que lon a obtenu une noushyvelle gamme

22 1) r = 3

r 5 22

2x5 32

24 3x5 23x 3

s 2 2 2 _1_ 22

24x 5 5~ 2

2) r

24 52 342x55r -22 32 3x5 23x 3 24x5

3 3 3 5 3s - - - - -222 2 2 2

r 5 2x5 24 52 34 - -shy -shy22 y 3x5 23x3 24x 5

s 32 32 32 25 32 - - - -shy -23 23 23 32 23

143


-- --

-- --

4) r

52 5624 342x55r -22 32 23 x 3 24x 5 26x 353x5

24 3428 28 28 34 - - -s 25 35 35 24x524x 5 3x5

On voit donc apparaicirctre des pheacutenomegravenes inteacuteressants dans les troisiegraveshymes colonnes des trois premiers tableaux ainsi que dans les trois derniegraveres colonnes du dernier tableau nous allons eacutetudier en deacutetailles gammes corshyrespondantes que nous deacutesignerons sous le nom geacuteneacuteral de gammes de Zarlino (du nom de la quatriegraveme du dernier tableau)

(rr) = ( 22 L) deux degreacutes (nouvelle gamme) 3 23 x 3

z 0 2

freacutequences 5 22

2

32 52 1

(r r ) = ( -- ) quatre degres (nouvelle gamme) 23 23 x 3

z 0 2 3 4

freacutequences 3 2

2

( 28

(r r ) L_ ) dix degreacutes() (nouvelle gamme) 35 23 x 3

z 0 1 2 3 4 5 7 8 106 9

32 2422 33 32525 5_l_ 2freacutequences 1 2232 23 3222x 5 2 3 53

312 52 ) d ((r r) = (- -- vmgt-quatre egres nouvelle gamme) 219 23x 3

z 0 2 3 4 5 6

freacutequences 34 28 2x5 32 36 25

-shy24x 5 35 32 23 27 x 5 33

7 8 9

5 34 26x5 22 26 35

() Lexistence de cette gamme peut donner un sens agrave la construction dun tempeacuterament eacutegal agrave 10 degreacutes (Luc Etienne)

144


-- -- -- -- --

-- --- -- --- -- -- -- --

-- -- -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --

10 12 14 1511 13 16 17 18 19

22 3533 36 27 3323x5 28 x 5 3 -29 33 24 363 22x 5 2 25x 5 34 +

20 21 22 23 24

34 (rr ) _ ) douze degreacutes gamme de Zarlino proprement 24 5

dite

7z 2 4 8 91 3 5 60

2324 32 22 52 523 5 3freacutequences 1 23 2235 5 232 2 5 33

10 11 12

2

voir plus loin un tableau des freacutequences des 60 premiers degreacutes (ces freacuteshyquences sont croissantes)

Dans le dernier cas s est plus proche de 1 que r et la gamme que lon peut construire (elle a 72 degreacutes) nest pas croissante

Il est donc plus naturel de prendre r comme geacuteneacuterateur et r =1 et s = 1 comme relations Voici le reacutesultat

6 34(r s) ~- (_5 _ _ _ __) gamme agrave 19 degreacutes()

26 x 35 24 x 5

z 4 5 70 1 2 3 6 8 9

2227 24 32 53 252x3 32x55freacutequences 1 2522 5253 23 22x 33 53x5 3

10 12 14 15 17 18 1911 13 16

27 2452 2322x 32 3 5 3x5 24x 3 252 24 32 23 523 x 522 5 3

(1) Lexistence de cette gamme peut donner un sens agrave la construction dun tempeacuterament eacutegal agrave 19 degreacutes

145


312 340 ZARLI NO ~01219 1 2 bull 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

14 15

1 24

35 l ~

2_]_ 5

2 22

22 3

2- 232

3 2

23 5

2 3

_3_2

5 3x5-J 2

25 35 1

1

~

2 2

3 ~

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 2

23 3

5x3 2

il 3 24

5 ~

3 _d

5 35 7

22 52 23

32 2

23 3 5 5

24 3

Li 3

23 2 2

4o 41 42 1 4332 34 38 3933 35 36 37 11

25__2 2232 52 25 253hll6 23 ~32 2 5 2 3-5shy 3zz 3 352 1 7 1 ~44 45 46 47

22 2

33 2

23 l-5shy 35

48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60

24 8 3

2l u_ 5 2

25

26 3

532 -2shy 233 52 33 2432

5 235 25



La seule difficulteacute pour traiter le cas G = lt 2357 gt consiste agrave en deacuteterminer les commas

Eugegravene DUBOIS a calculeacute les meilleures approximations de 1 dans le

groupe G en remplaccedilant 1 2x 3Y sz 71 par

[x2(Log 2)2 + y2(Log 3)2 + z2(Log 5)2 + t 2(Log 7)2]112

Il a obtenu la suite de fractions

2 23 7 25 5 37 2232 ---

5 2332 27 225 57

26 34 5232 25352 - -- -----etc 74327 24 5 257

et le critegravere du paragraphe 2 montre que ce sont des commas (l)

Nous allons consideacuterer le groupe quotient de G = lt2357gt par le sous-groupe H engendreacute par trois fractions

r = 2a 33 51 7deg r = 2a 23 51 7deg et r = 2a 3(3 51 7deg

Le theacuteoregraveme suivant se deacutemontre comme celui du paragraphe 6

Theacuteoregraveme

1) Posons 1x a a a

y (3 (3 (3 ax + (3y + 111

Z + ot z

Il

t 0 o o

Si le pgcd (a (3 l o)est eacutegal agrave 1 alors GH est isomorphe Z

2) Dire que la classe de s 2a 3b sc 7d est un geacuteneacuterateur de GH eacutequivaut agrave dire que

a a a a

b (3 (3 (3 aa + (3b + 111

C + od plusmn1 c

d 0 o o

() Tous les commas ne sont pas obtenus l ~ par exemple manquent2 4

t47


Montrons pour terminer ce paragraphe comment nous pouvons ameacuteliorer les 60 premiers degreacutes de la gamme de Zarlino de la page 146

312 3252Nous choisissons r = r = 219 257

Nous avons

x -19 -4 -5 y

z

12

0

4

-1

2

2 12x + 19y + 28z + 34t

t 0 0 -1

et (abcd) ( 111 -1) est une solution de leacutequation de Bezout qui est de hauteur minimale dans sa classe

On peut alors reprendre le tableau de la page 146 en remplaccedilant les eacuteleacutements qui sy precirctent par des eacuteleacutements de hauteur minimale dans leurs classes et on obtient le tableau qui suit

148


--

~tZ 4 2 1

J = 3 3 5 = 1ZARLINO BIS 29- 1 1 257shy24 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15

1 35

27 f3 7

u 5

_L_ 22

22 3

7 5

]_ 2

23 5

2 3

1_ 22 ~23

2 35 7

32

22 7 3

24 26 2821 22 2518 20 23 27 29 30 3116 1917

23 Jd_ 2~ 724 242 ~ 77 2 7i3 22hlu 232 53 -3shy23 35 gt25 52 5

42 1 43 44 46 474138 4534 3632 33 35 37 1 39 40

ii1

25 1_2 52 37 532 rhl 1226 3223 27 357 32 23322 T 27

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

24 _____ 3

232 237 3

22 5 37 532

2 23 52 33 middot7

235 25

1gtshyD


8) Crible

Une des difficulteacutes pratiques que lon rencontre dans la construction des gammes est de savoir reconnaicirctre si un nombre connu comme eacuteleacutement du niegraveme degreacute est effectivement un eacuteleacutement de plus petite hauteur de sa classe (cette difficulteacute est la cause des inexactitudes que lon peut trouver dans le tableau de Scales [Hellegouarch 2])

On peut tourner cette difficulteacute en eacutecrivant par ordre de hauteur croissante les eacuteleacutements de G qui sont plus grands que 1 Pour la gamme de Zarlino par exemple on construira le tableau suivant ougrave x deacutesigne un eacuteleacutement de G h(x) sa hauteur nx le numeacutero de xH dans GH et signifie que le nombre nx apparaicirct pour la premiegravere fois dans le tableau Pour deacuteterminer n~ on pourra utiliser la relation heuristique

n 12 Log x x Log 2

qui est agrave rapprocher de lalgorithme de Viggo Brun [Brun] et qui me paraicirct ecirctre mysteacuterieusement efficace

hx) 1 (xnx)

1

2

3

4

5

(l 0)

(2 12)

( ~ 7) (319)

(i 5) (424)

middotmiddotmiddot---------shy

c~ 4) ci-9) lt ~ 16) (528)

-shy

6

8

9

( ~ 3) (631 )

------shy

( ~ 8) ( ~ 17) (836) ---middot----middot---middot--middotmiddot-shy

( ~ 2) ( ~ 10) ( ~ 14) ( i 26) (938)

10

12

15

( l~ 2) ( 13deg 21 ) ( 1040)

( 1ff 15) (1243)

( 1f 11) ( 15 23) ( 15 35) (1547)

150


96 56 3616 ( ~~ 1) ( 1 10) ( 1 20) ( 1 29) (1648)

18 ( 158 22) (1850)

20 ( 2~ 14) ( 23deg 33) (2052)

etc

9) Distance harmonique sur Q Pour des raisons de commoditeacute je donne ici une deacutemonstration eacuteleacuteshy

mentaire dun reacutesultat plus geacuteneacuteral [Hellegouarch 1]

Theacuteoregraveme

La fonction (xy) __Log h(~) est une distance sur Qy +

Deacutemonstration

Nous devons deacutemontrer que

1) Log h(~) ~ 0 et que Log h(~) 0 entraicircne x = y y y

2) Log h(~) = Log h(L) y x

3) Log h(~) ~ Log h(~) + Log h(L) z y z

Ces conditions eacutequivalent agrave

1 ) h(~) ~ 1 et h(~) = 1 entraicircne x = y y y

2) h(~) = h(L) y x

3 ) h( ~) ~ h( ~) h( ~)

et les deux premiegraveres assertions sont eacutevidentes

La troisiegraveme peut seacutecrire aussi

h(rr) ~ h(r)h(r)

avec ret rEQ+

Si r (resp r) est eacutegal agrave la fraction irreacuteductible acirc(resp acirc) et si rr

151


est eacutegal agrave la fraction irreacuteductible n on a d ~ dd et n ~ nn Dougrave d

sup(d n) ~ sup(dn) sup(dn)

10) Dissonance des intervalles dune gamme

Soit une gamme T construite selon les principes preacuteceacutedents et repreacuteshysentant le groupe quotient GH et soient x et y ET

Nous noterons par d la distance harmonique sur Q et par oT(xy) le nombre d(xHyH)

oT(xy) sera appeleacute la dissonance de lintervalle J_ dans la gamme T x

Proposition Si z deacutesigne le repreacutesentant de la classe de L dans la gammex

T on a oT(xy) = Log h(z)

Deacutemonstration

d(xHyH)=infd(xuyv) u et vEH=infLog h(L w) wEH=Log h(z) x

Nous allons montrer maintenant comment cette notion de dissonance permet de retrouver des notions musicales inexplicables agrave partir de la gamme tempeacutereacutee S Dans la suite P deacutesignera la gamme de Pythagore agrave 12 degreacutes Z celle de Zarlino et z celle de Zarlino-bis

Hindemith remarque ([Hindemith] p 55) que bien que le theacuteoriciens de la musique ne soient daccord sur rien ils le sont cependant sur lordre de parenteacute deacutecroissante des degreacutes de la gamme

Lordre que donne Hindemith est le suivant unisson octave quinte quarte sixte majeure tierce majeure tierce mineure etc 0)

Il ajoute que la quarte augmenteacutee (ou quinte diminueacutee) se trouve tregraves loin

Nous allons comparer ce qui se passe dans nos trois gammes

unisson octave quinte quarte sixte

majeure tierce

majeure tierce

mineure sixte

mineure quarte

augment

op 0 Log 2 Log 3 Log 4 Log 27 Log 81 Log 32 Log 128 Log 729

oz 0 Log 2 Log 3 Log 4 Log 5 Log 5 Log 6 Log 8 Log 25

OZ 0 Log 2 Log 3 Log 4 Log 5 Log 5 Log 6 Log 8 Log 7

()Voir aussi [de Candeacute] t 2 p 186

152


1 2

On voit que la notion de dissonance dans la gamme de Zarlino reproshyduit assez bien lordre constateacute par Hindemith nous choisirons donc cette gamme dans la suite

z mibreacute b sol b la bmi fado reacute sol la si dola

16 49 6 5 25 3 8 5 9 15-5rf5 58 3 rs T T 5

T

luuml 1) Justesse expressive

La plupart des instrumentistes agrave cordes et des chanteurs pratiquent la justesse expressive ([Blum] ch V) cest-agrave-dire quils modifient la hauteur des sons quils utilisent par de leacutegers commas (ce qui ne change pas la classe modulo H) afin de jouer plus juste en fonction du contexte

Nous allons illustrer cette pratique par un exemple utilisant la gamme de Zarlino

Nous preacutesenterons dans un tableau les freacutequences des sons des gamshymes majeures de do sol fa et reacute Pour passer des freacutequences de do

majeur agrave celles des tonaliteacutes ci-dessus on multiplie par l 2 et ~-2 3 23

do do reacute mi fa fa sol la si b SI do

do maj 1 9 8

5 4

4 3

3 2

5 3

15 8 2

sol maj 1 9 8

5 4

45 32

3 2

27 16

15 8 2

fa maj 1 10 9

5 4

4 3

3 2

5 3

16 9 2

reacute maj 135 64

9 8

81 64

45 32

3 2

27 16

15 8

Dans la theacuteorie de la musique sol maj et fa maj sont consideacutereacutes comme des tonaliteacutes voisines de do maj et reacute maj comme une tonaliteacute voishysine de sol maj En dehors de lintroduction dune alteacuteration suppleacutemenshytaire (diegraveze) on constate que la monteacutee de la tonaliteacute de do maj agrave la tonaliteacute voisine de sol maj affecte le sixiegraveme degreacute qui seacutelegraveve dun

comma de Didyme ( ~~) pour devenir le second degreacute de la nouvelle

gamme- je veux dire que le la de sol rnaj est plus haut que le la de do maj et ceci dun comma Cest un des eacuteleacutements de la richesse et de la coheacuterence qui appartiennent au jeu des grands interpregravetes Et cest ce qui explique aussi que pour moduler dune tonaliteacute donneacutee dans une tonaliteacute voisine lharmonie recherchera lambiguiumlteacute et eacutevitera les notes dont la haushyteur change comme le montre lexemple suivant

~= 153


102) Attraction harmonique

Depuis des siegravecles ([Cooke] p 49) les musiciens ont constateacute que certaishynes notes eacutetaient attireacutees vers une note voisine Deryck Cooke ([Cooke] p 90) en donne un reacutesumeacute (do est la tonique)

note attraction reacute b reacute fa la b la si b si

semi-tonale do

mi

sol la do

tonale do

sol

Pour retrouver ces reacutesultats matheacutematiquement nous eacutetudierons la dissonance des intervalles bz(dox) Par exemple lattirance tonale du la par le sol signifie-t-elle que

Ocircz(dosol) lt bz(dosi)

oz( do do) 0 lt oz(doreacute) Log 9

oz(dodo) 0 lt bz(domi) Log 5

oz(domi) Log 5 lt oz( do sol b) Log 25

oz(dosol) Log 3 lt oz(dola) Log 5

oz(dosol) Log 3 lt oz(dosi) Log 15

oz(dodo) Log 2 lt bz(dola) Log 9

on voit quil y a parfuumlte coheacuterence avec les reacutesultats de Deryck Cooke

11) Conclusion

Sil mest permis de tirer une philosophie de leacutetude preacuteceacutedente je dirai que la theacuteorie quon a faite est pythagoricienne par opposition agrave la theacuteorie classique qui est neacuteopythagoricienne (termes de [Shanks])

La substitution du corps des rationnels Q au corps des reacuteels R nous donne une latitude plus large pour expliquer les diffeacuterents aspects de lapershyception musicale distance meacutelodique (dont la loi de Weber-Fechner donne une approximation grossiegravere et qui correspond agrave peu pregraves agrave la distance ordishynaire) distance harmonique (pour laquelle la loi de Weber-Fechner ne sapplique absolument pas et qui correspond agrave peu pregraves agrave la dissonance du paragraphe 10) justesse expressive (paragraphe 10) etc

Finalement cette theacuteorie permet de reacuteconcilier divers points de vue et dexpliquer comment les musiciens qui pratiquent la justesse naturelle peushyvent sentendre avec ceux qui nont pas ce privilegravege toutesOl les gammes chromatiques agrave douze degreacutes sont isomorphes entre elles (resp isomorphes agrave Z) dans un isomorphisme qui conserve 2 (resp lenvoie sur 12)

(1) Sauf la gamme de Serge Cordier (encadreacute 23 de la premiegravere partie)

154


12) Exercices

Paragraphes 3 et 4

1) Utiliser le critegravere du paragraphe 3 et le deacuteveloppement en fraction contishy

nue de LLog q pour obtenir des commas de lt235 gt lt2357gt etc og P

3 15(on pourra prendre (pq) c2 s) (2 ) etc ) 7

2) Montrer que r Log h(r) est une norme sur Q~ au sens de 1a remarque du paragraphe 2

Montrer que le critegravere du paragraphe 3 subsiste lorsque lon remplace Il Il par Ill il Paragraphe 6

1) Montrer que les intervalles suivants sont dans le groupe des commas de la gamme de Zarlino agrave douze degreacutes

53 328 255 27 519 38

Paragraphe 7

1) Montrer que les intervalles suivants sont dans le groupe des commas de la gamme de Zarlino bis

21 28 36 49 20 27 35 48

2) Hindemith (p 80) considegravere diverses secondes majeures 1~ ~ ~

Montrer quelles sont toutes dans le second degreacute de la gamme de Zarlino bis

3) Hindemith (p 71) considegravere les tierces suivantes

25 345 6 7 9 4567 3326

Trouver leurs degreacutes dans la gamme de Zarlino bis

28 524) Prendre H = lt ~ y middot gt

35 245 257

Montrer que le groupe quotient de lt2357gt par H est isomorphe agrave Z

Montrer que la classe de E_ est un geacuteneacuterateur de lt2357gtH23

En deacuteduire que cette gamme a 5 degreacutes (gamme pentaphonique du type Zarlino-bis)

155


Trouver les repreacutesentants des 5 premiegraveres classes de cette gamme

Montrer que parmi les tierces de Hindemith (exercice 3) ~ ~ ~

sont dans le premier degreacute et ~ ~ ~ dans le second degreacute

Paragraphe 9

1) Jappelle suite de Farey F n la suite croissante des fractions ~ telles que 1 h k n et (hk) = 1 et je deacutesigne par F n1 lensemble des inverses des x E F nmiddot

Montrer que pour la distance harmonique la boule fermeacutee

B(l Log n) = FnU F- 1

Montrer que si ~ et ~___ se suivent dans B(l Log n) on a

k+k gtnet k=t-k

h h hMontrer que si - et - se suivent dans B(1 Log n) on a k k k

h h+h k k+k

het que si E B (1 Log (n-1)) on a k

J h = h+h

l k = k+k

h hMontrer que si - et se suivent dans B(1 Log n) on a k k

kh - hk = 1

2) La hauteur h sur Q se prolonge naturellement au corps des nomshybres algeacutebriques Q c C

On deacutesigne par A le corps des nombres algeacutebriques reacuteels A = Q n R

Alors (xy) --Log h( ~) est une distance sur A [Hellegouarch 1]y +

(On pourra commencer par remarquer que Ill x Ill = Log h(x) est une norme sur A+ au sens de la remarque du paragraphe 2)

Etudier la structure de groupe topologique de A Geacuteneacuteraliser la notion de suite de Farey

156


Sujets deacutetude

Paragraphe 3

1) Comparer les commas de GE S pour la norme 11 11 et la norme Ill 111 (voir exercice 2 des paragraphes 3 et 4)

Paragraphe 5

1) Deacutemontrer que les convergentes de ~ et les commas de Log 2

lt 2 3 gt sont les mecircmes

2) Dans le cas ougrave G = lt pq gt peut-on preacuteciser agrave partir de quel rang

les convergentes de 1Qg_g_ et les commas de ltpqgt sont les mecircmes Log p

3) Une classe de G H peut-elle avoir plusieurs repreacutesentants de haushyteur minimale

4) Etudier la croissance supposeacutee des diffeacuterentes gammes de Pythashygore

5) Est-ce que la gamme de Pythagore agrave 12 degreacutes est un sous-ensemble de celle agrave 41 degreacutes


Paragraphes 6 et 7_ 1) Construire un algorithme efficace donnant les commas des groushy

pes lt2357gt lt235711gt etc

2) Etudier la croissance supposeacutee des gammes de Zarlino et Zarlino bis

Paragraphe 8

1) Expliquer lefficaciteacute de la formule donnant nx

Paragraphe 10

1) Utiliser la notion de dissonance (et plus geacuteneacuteralement de hauteur dans un espace projectif sur Q) pour expliquer certaines regravegles de lharshymonie

2) Est-ce que la notion de dissonance correspond agrave la perception harshymonique dune oreille eacuteduqueacutee naiumlve

3) Comment les diffeacuterentes gammes sont-elles perccedilues par une oreille eacuteduqueacutee naiumlve

Paragraphe 11

1) Deacuteterminer tous les sous-groupes H de Q tels que QH =Z et la classe de 2 soit la puissance douziegraveme de lun des geacuteneacuterateurs

157


2) Soit un corps de nombres algeacutebriques kC Ret soit un sous-groupe

de type fini G = ltx1 xngt C K G eacutetant de rang n On considegravere un sous-groupe H = lty1 yn-l gt de G dont le rang est eacutegal agrave n -1

Trouver des conditions sur les xi et les Yj pour que GH soit isomorphe agrave z

3) On reprend les notations ci-dessus avec K = Q(5 114) Peut-on trouver G et H pour que les repreacutesentants de GH contiennent la gamme meacutesotonique (encadreacute 15 de la premiegravere partie)

REacuteFEacuteRENCES

[BLUM] D BLUM Casals et lart de linterpreacutetation BuchetChastel

[BRUN] V BRUN Euclidien algorithms and musical theory LEnseignement Matheacutematique t X Genegraveve pp 125-137

[BUNTING] C BUNTING Essay on the Cra ft of Cello-Playing t 2 Cambridge University Press (1982) p 154

[COOKE] D COOKE The Language of Music Oxford University Press

[CORDIER] S CORDIER Piano bien tempeacutereacute et justesse orchestrale BuchetChastel

[DAUTREVAUX] J DAUTREVAUX A propos de Approximation en Musique Bulletin APM no 299 (juin 1975)

[DE CANDEacute] R DE CANDEacute Histoire universelle de la Musique Seuil

[DUBOIS] E DUBOIS Thegravese-Universiteacute Pierre et Marie Curie (17 mars 1980)

[HARDY] HARDY and WRIGHT An Introduction to the theory of numbers Oxford

[HELLEGOUARCH 1] Y HELLEGOUARCH Un aspect de la theacuteoshyrie des hauteurs Journeacutees arithmeacutetiques Caen (1980)

[HELLEGOUARCH 2] Y HELLEGOUARCH Scales Comptes Rendus Matheacutematiques La Socieacuteteacute Royale du -canada vol IV no 5 (oct 1982) et vol V ndeg 2 (avr 1983)

[HINDEMITH] P HINDEMITH The craft of musical composition Schott

[LEIPP] E LEI PP Acoustique Musicale Masson 1971

[B PARZYSZ] LApproximation en musique bulletin APM no 296 XII - 1974

[SHANKS] D SHANKS Solved and unsolved problems in Number Theory Chelsea

[STARK] HM STARK An introduction to Number Theory Markham

158


INDEX DES TERMES MUSICAUX

accord accord parfait majeur accord parfait mineur alteacuteration alteacutereacutee (note) am bi tus armure ascendant (intervalle) atonaliteacute attraction augmentation augmenteacute (intervalle) authente (mode)

beacutecarre beacutemol binaire (mesure) blanche briseacutee (touche)

canon cent chromatique chromatique (total) chromatisme cleacute comma contrepoint croche cycle des quintes

deacutecimal (tempeacuterament) degreacute degreacute-comma demi-pause demi-soupir descendant (intervalle) diatonique didymique (comma) diegravese diminueacute (intervalle) diminution distance (harmonique) distance (meacutelodique) dodeacutecaphonisme dominante double croche

eacutechelle enharmoniques (notes) enharmoniques (tonaliteacutes)

p p p p p p p p p p p p p

p p p p p

p p p p p p

41 41 44 38 38 27 31 14 84 68 73 72 27

31 38 34 33 49

74 15 60 86 84 30

p 52-131 p 73 p 33 p 20

p 102 p p p p p p p p p p

63 46 33 33 14 60 52 32 72 73

p 151 p 154 p 86 p 63 p 33

p 16-50 p 45 p 66

eacutequiheptaphonique (eacutechelle) p 53

finale p 27 fondamental (son) p 12 frette p 51

gamme chromatique p 128 gamme par tons p 55

harmonique p 12 hauteur p 12 Holder (comma de) p 52 homonymes (tonaliteacutes) p 68 huitiegraveme de soupir p 33

imitation directe p 74 inharmoniciteacute p 56 intensiteacute p 12 interligne p 29 intervalle p 14

ligne p 29 limma p 26 loup (quinte du) p 121 lyu p 36

majeur (demi-ton) p 43 majeur (mode) p 31 majeur (ton) p 43 majeure (tonaliteacute) p 63 meacutediante p 63 meacutesotonique (tempeacuterament) p 48 mesure p 34 mineur ancien (mode) p 31 mineur (ton) p 43 mineure (tonaliteacute) p 66 modale (note) p 68 modaliteacute p 84 modes grecs p 26 modes du plain-chant p 27 moduler p 70 mutation p 77

noire p 33 note p 16

octave p 16

pause p 33 pentatonique (eacutechelle) p 24 pi en p 26 plagal (mode) p 27

159


pointeacutee (note) polytonaliteacute porteacutee pur (son) pythagoricienne (eacutechelle)

quadruple croche quart de soupir quarte quinte quinte augmenteacutee quinte diminueacutee quintes justes (tempt agrave)

reacutecurrence relative (tonaliteacute) renversement reacutetrograde (mouvement) ronde

savart schisma (comma) seconde sensible (note) septiegraveme seacuterie silence sillet sixte son

p p p p p

p p

p 18-71 p 18-71

33 84 29 12 26

33 33

p p p

p p p p p

p p p p p p p p p p

69 69 56

78 69 77 78 33

15 52 71 63 71 86 33 51 71 12

soupir sous-dominante sujet (dune fugue) sus-dominante sus-tonique syntonique (comma)

tempeacuterament eacutegal tempeacutereacute (comma) tempeacutereacute (demi-ton) tempeacutereacute (ton) teneur ternaire (mesure) tierce timbre ton tonale (note) tonique transposition transpositions limiteacutees (mode agrave) triple croche

unisson

voisines (tonaliteacutes)

zarlinienne (eacutechelle)

p 33 p 63 p 73 p 63 p 63 p 52

p 44 p 52 p 44 p 44 p 27 p 34

p 42-71 p 12

p 26-43-44 p 69 p 63

p 40-63

p 91 p 33

p 14

p 64

p 42

160


INDEX DES NOMS DE PERSONNES Al Farabi Amiot (le Pegravere) Archytas Aristoxegravene Aureacutelien de Reacuteomeacute

Bach (Johann Sebastian) Barbaud (Pierre) Berg (Alban) Bezout Boni (Giovanni Battista) Boulez (Pierre) Brun Bun ting

Cage (John) Chailley (Jacques) Chopin (Frederyk) Cooke Cordier (Serge) Costeley (Guillaume)

Danhauser (Adolphe) Debussy (Claude)

Etienne (Luc) Euler (Leonhard)

Fare y Fechner Fogliano (Ludovico) Fourier (Joseph) Freacutedeacuteric le Grand Fritsche (Gottfried)

Gafurius (Franchinus) Gerschwin (George) Godounov (Boris) Guido dArezzo

Hindemith (Paul) HoangTi Bolder (William) Huygens (Christiaan)

p 54 p 25 p 19 p 19 p 27

p 75 p 103 p 86 p 142 p 49 p 100

p 128-150 p 127

p 102 p 17 p 85

p 129-154 p 56 p 44

p 12 p 55

p 102 p 129

p 156 p 154 p 47 p 12 p 75 p 49

p 18 p 81 p 59 p 28

p 128-152 p 36 p 46 p 44

Janko p 137-138

Kosma (Joseph) p 80 Klein (Feacutelix) p 78 Kronecker p 130

Legrand (Michel) p 80 Leipp p 128-129 Ling Luen p 36 Liszt (Ferenc) p 84

Mercator (Nicolaus) p 46-137 Meshaqa (Michael) p 54 Messiaen (Olivier) p 91 Milhaud (Darius) p 84 Moussorgsky (Modeste) p 84 Mozart (Wolfgang Amadeus) p 101

Philo laos p 19 Pythagore p 18

Ramseyer (Urs) p 65 Ravel (Maurice) p 84 Rimsky-Korsakov (Nicolaiuml) p 84

Schoenberg (Arnold) p 86 Schubert (Franz) p 80 Stockhausen (Karlheinz) p 100 Strauss (Richard) p 84 Stravinsky (Igor) p 84 Stumpf p 129

Tcheacute Yeou p 36 Tchou Tsaiuml Y ou p 46

Wagner (Richard) p 84 Weber (Wilhelm) p 14 Webern (Anton) p 86 W erckmeister (Andreas) p 44

Xenakis (Iannis) p 99

Zarlino (Gioseffo) p 42-144 Ivan le Grand p 59 Zemp (Hugo) p 53

161


BROCHURES DE LAPMEP

Sont indiqueacutes pour chaque brochure la date de parution et le nombre de pages

O Pour apprendre agrave conjecturer initiation au Calcul des Proshybabiliteacutes par L Guerber et PL Rennequin 1968 232 p

1 Charte de Chambeacutery eacutetapes et perspectives dune reacuteforme de lenseignement des matheacutematiques 1968 32 p

2 Mateacuteriaux pour lhistoire des nombres complexes par Jean Itard 1969 32 p

5 Eleacutements de logique pour servir agrave lenseignement matheacutemashytique par J Adda et W Faivre 1971 52 p

6 Charte de Caen eacutetapes et perspectives dune reacuteforme de lenseignement des matheacutematiques 1972 32 p

8 Mots 1974 100 p

9 Elem-Math 1 1975 56 p

10 Carreacutes magiques par Belouze Glaymann Haug et Herz 1975 48 p

11 Mots II 1975 108 p

13 Matheacutematique pour la formation dadultes (CUEEP) par P Loosfelt et D Poisson 1976 189 p

14 A la recherche du noyau des programmes de matheacutematishyques du premier cycle Savoir minimum en fin de troisiegraveme (IREM de Toulouse - AP MEP) 2deg eacutedition 1976 220 p

15 Mots III 1976 136 p

16 Elem-Math II 1976 56 p

17 Hasardons-nous 1976 220 p

19 Elem-Math Ill La division agrave leacutecole eacuteleacutementaire 1977 100 p

20 Quelques apports de lInformatique agrave lenseignement des matheacutematiques 1977 280 p

21 Geacuteomeacutetrie au premier cycle tome 1 1977 208 p


23 Paveacutes et bulles par Franccediloise Peacutecaut 1978 288 p

24 Calculateurs programmables et algegravebre de quatriegraveme (une recherche inter-REM) 1978 120 p

162


25 Mots IY- 1978 152 p

26 Elem-Math IV Aides peacutedagogiques pour le Cours Preacutepashyratoire 1978 64 p

28 Analyse des donneacutees tome I 1980 248 p

29 Elem-Math V Aides peacutedagogiques pour le Cours Eleacutemenshytaire 1979 192 p

30 Les manuels scolaires de matheacutematiques 1979 280 p

32 Texte dorientation APMEP 1978 dans le prolongeshyment des Chartes de Chambeacutery et de Caen (Ce texte figure aussi dans le Bulletin no 314)

33 Activiteacutes matheacutematiques en Quatriegraveme-Troisiegraveme tome I 1979 248 p

35 Du quotidien agrave la matheacutematique une expeacuterience en forshymation dadultes 1979 104 p

36 Elem-Math VL Le triangle agrave lEcole Eleacutementaire 1980 64 p

37 Mots V 1980 114 p

38 Activiteacutes matheacutematiques en Quatriegraveme-Troisiegraveme tome 2 1981 140 p

40 Analyse des donneacutees tome 2 1980 296 p

41 Fragments dhistoire des matheacutematiques 1981 176 p

42 Mini-grille danalyse des manuels scolaires de matheacuteshymatiques 1981 56 p

43 Matheacutematique active en Seconde 1981 228 p

44 Jeu 1 Les jeux et les matheacutematiques 1982 184 p et 13fiches

45 Matheacutematiques et Sciences Physiques en LEP brochure UdP -- APMEP 1981 48 p gratuit

46 Mots VI Grandeur- Mesure 1982 134 p

47 Obstacles et deacuteblocages en matheacutematiques par M Bruston etC Rouxel 1982 130 p

48 Evariste Galois (1811-1832) format 21x297 1982 56 p

49 Elem-Math VIL Aides peacutedagogiques pour le cycle moyen 1983 116 p

50 Du mateacuteriel pour les Matheacutematiques (Journeacutees de Poitiers 82) 1983 100 p

163


51 Ciel Passeacute Preacutesent par G Walusinski 1983 222 p

52 Ludojiches 83 (19 fiches de Jeux) 1983

53 Musique et Matheacutematique par B Parzysz et Y Helleshygouarch 1983 160 p

54 La Presse et les Matheacutematiques par M Chouchan 1983

55 Algegravebre des Carreacutes magiques par J-M Groizard 1983

56 Deacutemarches de penseacutee et concepts utiliseacutes par les eacutelegraveves de lenseignement secondaire en geacuteomeacutetrie euclidienne plane par G Audibert 830 p

Dl La matheacutematique parleacutee par ceux qui lenseignent dicshytionnaire de lAPMEP 1962-1979 113 notices 211 fiches

D2 Dictionnaire APMEP milleacutesime 1980 20 fiches

Publications de la Reacutegionale parisienne de lAPMEP bull Initiation agrave la matheacutematique de base 213 p bull Initiation au langage matheacutematique analyse dune expeacuterience

denseignement par J Adda 190 p

164


Pour tout renseignement concernant lAPMEP

(Association des Professeurs de Matheacutematiques de lEnseignement Public)

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Publications (Bulletin de l APMEP brochures en particulier les collections ELEM-MATH et MOTS)

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Secreacutetariat de l AP MEP 13 rue du Jura 75013 PARIS

Teacutel (1) 3313405





AVANT-PROPOS





Bonne lecture

BP



SOMMAIRE

Introduction p 7







5










6


INTRODUCTION









7



Etc etc









8






9




















10




PASCAL

11


I LE SON








bull





12


Encadreacute 1

Avec trois trous

Majeur ndex


OTrou ouvert

fondamental

bull bull 0

secte eshy

2 +1 1 Qg

0

l bull

l l lr l f e

-e-1~ ocirc0 0

Q


1 1




2 $ q6- o~middot~




13


II LES INTERVALLES


f f(ft fz) R (f3 fJ = ~ = _1_






J = [Ik kER

lk = [(f kf) fER

Remarques






kf = f + Ik



f kf

14





Encadreacute 2







15


III LES NOTES


f f f (pEN) 2 4 2P


f 1 G f2 ~(3 n E Z f 2 = 211 bull f 1)











16



Encadreacute 3

Vrai ou Faux





17










_ - - - - -- octave - - - - shy



Encadreacute 4

Pythagore


18








4 x l_ x l_ = 9) 2 2


octave

~----- 1116

19







f2n = 1_2_) n et f 2n + 1 = 1_ X 1_2_) n 8 2 8




3 f 3 - n Sl - fn lt 2f 2 2

l_fn 2 si 1_ fn 2f 2 2








20














(1- 8) $ [1 2 [ Dougrave 1 8 = 1 - +Un 1






21






n 8

5 005078125

7 006787109

12 001364326

41 001139745

53 000209031

306 000102172

359 000106645

665 000004366

15601 000001819





ft + ---~------

fz +-----------shy

rs +

22




et 1 r2 = 1 1middot




r 5 = 2

~ L~

Nous avons donc

logD2) = 0 +-shy1 +_____

1 +-------------------shy

2 +--------shy

2 +------shy3 + _____

1 +


11 12 35 712 2441 3153

23




n 57124153










24


Encadreacute 5



KAYPIPAS



l ) oooo

icirc~~i~ 8

25



243 f et fs 729 ffs 128 512


12_ 11 amp_ _h _h = 1_ (A)23fo fz f4 fl f3

28_h ~ (C)35fs fs


fa fi ~ ~ ~ ~ Ps (2~) A A A c A A c







5 lydien

4 hypophrygien

3 phrygien

2 hypodorien

1 dorien


26


Encadreacute 6












T (+) bull F T






27


Encadreacute 7






bull bull ----

FA-mu-li bJ- ~-um


Sallc-U lo-haVl-IIU






28


Encadreacute 8












29


Exemple












i) bull1

Reacute3 Igto-1





Exemple

30









A c A A c A A





1 98 81 -64

43 32

---shy

1 2716

1 243128

1


31





28

se

Do

D







(Suite page 38)

32


Encadreacute 9



~OTE ~---------t-------S-J_L_EN_C_E_______-i


VALEUR) 1 1 EN) --+----i---------1













33


Encadreacute 10












34


r Encadreacute 11







T LA SIE











Exemple



35


Encadreacute 12




36









37







~ D ~ c reg DoR~b

~c gtlt


quences

122187 256 = 3 = (1_) 12

21 (environ 235 cents) 2192048 243 2




n = 41


38



p p Qp p

----o c~



a) D - 3 P = 3 C - 2 D

b) C - 2 P = 3 C - 2 D




)219


329



n = 53 1



8P p p p

-- ~ p p



219) 265



39


V LA TRANSPOSITION









i Reacute

A i tli

A c 0 i

Sol A

j La

A i

Si A c

acirc) (Reacute)


40









Remarques








41








MiT t r




4 2 4

Do t1i SoT t





42




Do T Mi t Sol

T t















Reacute La Si Jo) B

A A A A Zadino

43







9uint








44


Encadreacute 13



f j_f 81 f i_f l_f 27 f ~f (2f) 8 64 3 2 16 128






f JLf 8

2_f 4

i_f 3

]__f2

2f 3

~f 8

(2f)







45






Pythashygo re 0 +4 +8 +2 +2 +6 + 10

Zarlino 0 +4 -14 +2 +2 -16 -12









(Suite page 49)

46


bull bull

Encadreacute 14

Le Monocorde




Partie gauche

c s A



47


Encadreacute 15













48





Encadreacute 16



Exemple


rshy - rshy PROFiL



49


Encadreacute 17







50


HAUT

chevaet

Encadreacute 18



doigt

ti_-_cor_Je __ ~_---------P-~_


660 623 588 555 524 495 467 441 416 393 371 350 330 311 293 277 262 247 233 220





51





(1 + 8)n

do d0 d08 D ou Xn-1 = --- =---=d08 (1 +8) n

(1+8)n~1 (1+8)n (1+8)n


Encadreacute 19

Quelques commas










52


Encadreacute 20





53


Encadreacute 21





- 1que AC - - AB 36









54


Encadreacute 22



00 02 04 06 08 10 et 01 03 05 07 09 11





55


Encadreacute 23







56


2 NOTRE



A DUMAS


57


I NOTATION





00 01 02 09 10 11



n Do

300 301 30l 3D3 30t 305 306 30J 301 ~10 3fl (Ut)







58




Longueur 124 117 110 107 101 95 90 88 83 78 76 72 68 64 62 en mm





59

















60






















61




~____y ~~~ A A ( A













62





300 302 304- 305 301 311 (~00)






Note -----middot

Codage






Note de Do majeur 00 02 04 05 07 09 11



06 08 01 et 03

63





u9





V

64


Encadreacute 26

Musique agrave Bali










65





PORTRAIT DE FAMILLE












66


Encadreacute 27




Fl Sol~ Laitmiddot

Fa reg

5ol e

La 9



Note Fa Sol La Do 1

Reacute


1 22112 24112 27112 1i

29112


1 1122 1259 1498 1

i 1682





1

1

98

1 125

8164

1266

32

1500

2716

1687





67




209 21-t 300 302 304- 305 (309)



111 300 301 301t 305 soa (309)













ED

68














mmeure

majeure


~-

APM

AP mineur


---middot~



69

















70
















IumlJ 1 bullUcade 1

tierct q~~t-

qui l tc sixte

~Ptl~ e oc cave

1 bull 1


Tonalite YWjeU(C

Toalite Wfe

71


X









CONCLUSION



72





JS BACH



73








gIcirc03 oz 01

4~~ 10 03ol

JQ~

II TRANSPOSITION





(it)


74















75

















76



III RENVERSEMENT





400 ~--~ 202 403 --- 111 407 --- 107 408 -- 106 311 - 203

etc



H o1 B ot

200 tf to

oJ

t-0

77


Remarques



IV REacuteCURRENCE



ltOO 11 3 oS

3or




1

1 1 1


~lt t bull tbull

l 1~C o


Remarques


78




0

e

e e

A

A

B

B

c c

A A e c B

B B c e A

c c B A e







Son

Codage


79







Codage 30 31 32 33 34


34-34-32-32-32-32-30-30-31-32-33-32-31-30



Codage 30 31 32 33 34






80


Encadreacute 29











400 __ 305


81



56 pages- 21 x 295







(D Guy)

82


4 APERCcedilUS




83









84


Encadreacute 30



NOTE 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Total

B 129 19 121 15 162 90 41 86 50 149 14 123 999

Ch 95 32 146 106 47 64 54 130 66 76 145 37 998


15

10 __ Bach

- - Chopin 5





85












86


Encadreacute 31














87


Hlb

CA

cl

Bs

Id p~l

3

r 1tU~ ___

------ 9lti-=

p=-

p~ ~- --


p=t ~ -=gt ltgt

k-

f

~~

~~-

-

1t

Cl

~c Cc vd

Cr

vd

Hl

~

z 11 1 0

A 10 4 6 3

2 11 ~ 1 0

3 5 s

4 fi io

J1 ampii 0 3 5 11 4 0



Mesure 1 2 3 415 6 7 8 9 10



Mesure 9 10

Voix pale IA SA

Accompt SA IA



~ ~ ~

88



Ici SA +3 179680

s(S 8 ) + 3 32111045



Mesure 31 32 33

SA x

xx x x x

IA x

xxx x x


Mesures 34-38 39-45 46-50 51-57


Voix pale 2 I





89














04-01 etc


r = 07 0111020008030410090605

90












Dougrave la



91



















92








A contiendra 0369















-par t2 [0124568910l


A contiendra 0 et 6




93









par t 5 [025 68 11)









f) Lensemble E



94



lA Card(Ai) Ai

lt2gt 6 A2= 02468 10

lt3gt 4 A3 = 0369

8 A4 = 013467910

3 A 5 = 048

lt4gt 6 A6 = 014589

9 A 7 = 0124568910

2 A8 =06J

4 A9 =0167 A1o = 0268

lt6gt 6 A11 = 0156711) A12 = 013679) A13 = 0146710)

8 A14 = 0 1256 7 811) A15 = 0245681011)

10 A1s = 01235678911)




Ces 7 modes sont




ze mode 013467910 ~ 10)

-~a ~ gtto o



95








~ e (o)6e mode 024S681011


7e mode 0123S678911l ~ L b lu d to ~8- ()8110

-e-bullO 1 o









96



9 noles

8 Mes

6 notts

4 notu

3 notes

2 notes




97






f Egtobelfo o o






3

2


() Voir Annexe

98


Encadreacute 32









99











100


Encadreacute 33






Mode demploi



AS C D E

101






V REcircVONS UN PEU



2 10 ffi = (i=Ol 9)










102


Encadreacute 34








Conseacutequences




Hn





b) Type zarlinien







a 013468)

b = 023568)

c = 023468

d = [013568]



104






s s 1 s 1 e e e 0 3 5

~

6 tict-camp

t

(0) tietCamp

(1)

luink ~





A B c D E F (A)

0 3 5 6 8 (0)



105


Quid du contrepoint







106


CODA






107















A B

f(A) f(B)

108



A B

g(B) g(A)

















A = [014589) ou A = [0347811



A = [012678) ou A = 0156711) ou A = [04561011)

109








lt8gt 3 aucun

lt2gt 6 (014589] et (0347 811]


lt3gt 4 (012678] (0156711] et (04561011J

lt6gt 2


jo 1 2 3 4







Remarques




110








lt3gt 4 aucun


lt4gt 3 [014589) et [0347811]










Ill






Valeurs dei

paires


(pas densemble A)

1 2 3 4 5 6

0 ou ou ou ou ou 11 10 9 8 7

3 1 4 5 6 7

0 ou ou ou ou ou 2 11 10 9 8

5 1 2 6 7 8

0 ou ou ou ou ou 4 3 11 10 9

7 1 2 3 8 9

0 ou ou ou ou ou 6 5 4 11 10

9 1 2 3 4 10

0 ou ou ou ou ou 8 7 6 5 11

11 1 2 3 4 5

0 ou ou ou ou 0 u 10 9 8 7 6





112





Remarques















113




icirc III IV v VI

210 39 48 57

310 49 58 67

2 02 17 311 410 59 1 68

3 03 12 411 510 69 78

4 04 28 13 511 610 79

P= 05 14 23 611 710 89 -----middot------shy

06 39 15 24 711 810

7 07 16 25 34 811 910

8 08 410 17 26 35 911

9 09 18 27 36 45 1011

10 010 511 19 28 37 46

11 011 110 29 38 47 56





A = Lj(A) = Lj(A)




114




















115




t 6(A) = B(C) 3j E [1357911] B


(C) t6(A) = B 3jE[l357911j tj( A) = t6(A)


(C) t 6(A) = B 3kE[l357911] tk(-A) =A





01] 211 310 49] 58] 67]



2 11 J 58

310] [49



116






4 ou 8 aucun


26 ou 10 15 ou 9 0347811)

37 ou 11 0 1 45 89)

1 ou 7 0456 1011 J

3 ou 9 3 ou 9 0156711)

5 ou 11 0 1267 8)

1 25) 34)

07)U ou u ou 811) 910)

3 18) 45)

09)U ou u ou 27) 1011)

6

5 110) 29)

011) u ou u ou 47) 38)

7 211) 3 10)

01)U ou u ou 58) 49)

9 12) 411)

03)U ou u ou 78) 510)

11 14) 23)

05)U ou u ou 7 10) 89)



117


PORTRAIT DE FAMILLE










R

T

R



0246810 (gamme par tons) 014589 0347811 045610 11 0156711 012678

118


--

ET HORIZONTALEMENT



3e total S 1

rA B 1



1 --~ 3 ~4 ~ 5 6




s = 10463592178110


t 5(-S) = 71112083410965


217 81105691043


119


POUR FINIR







120







B) La _12 f 15 l = 1758f 8 8 2



ENCADREacute 15







ENCADREacute 22



_12_) 48

121



X 1 Xp = AC I (1 2_) p= 1 p= 1 48

24 soit X = AC (24 I p) = AC (24 - 2425)

48 p= 1 248

71ACou enfin X 4







p




AB (p2 - 95p + 3456) 3456


p2 95p + 3456 = 1 + 2 -----4_7_-__P ___ 2ep+ 1 p - 93p + 3362 p2 93p + 3362


AB-x1 95+3456


47y = f(x) = 1 + 2 - x x2 93x+ 3362

122



f(1) = 102813 f(23) = 102830 f(13) = 102928 f(14) = 102925



NON MAIS PRESQUE

ENCADREacute24



ENCADREacute 25






123







p 121

124














125












126



Preacuteambule

1) Introduction






8) Crible


11) Conclusion




[Bun ting]

127


PREacuteAMBULE








1 Introduction




1





128















7


3




129



219









Deacutemonstration






130





3) Commas




1) a t 1


Remarques








Deacutemonstration



11





131





on a rn n+1 a+1

~ ~ n n a

ou encore

Log rn ~ Log a+ n a











le scheacutema






1

132


Deacutemonstration


soit r 11 gtl


xn+OYn


lt 1

dougrave Log

lt 1 Log rn


soit encore agrave






Deacutemonsru1ion



Log rngt Log ri



133



1 Log r [2 + r 2

dougrave




















134




n





Theacuteoregraveme


Remarque


toujours p q gt 1

Deacutemonstration





h(xy) E (xnyn)Z



hx = fxn hy = fyn



f = hk




135















Or on a

dougrave

Si n est impair



(- 1)ll





F = lt23gt

136





paragraphe 4)



n = 1

z 22relation =1

3freacutequence


z 0 1 1 2

3freacutequence 2 2


z 0123 45


Remarque





137



4z 0 1 2 6 7 8 10 Il 123 5 9

28 32 25 34 22 36 27 2433 353 - -freacutequence 1 - - - - 223 26 2935 33 34 24 32 273 2







est faux


138


8 12 PYTHAGORE 2 = 122 =193 = 135 shy 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 28

35

32

23

25

33

34

22

3

36

29 3-2

27

33

~ 24

l r 27

2 29

35

32

22

26

33 ~ 25

23

3

36

28 3

20 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 33 34 35 36 37 38 39

28 1 33 34 23

25

l 35 62

22 210

35

32

2

27

33

34

~ 2

1

3

36

27 1 923 ~

33

22

26

32

35

25 23

211

35 32 28

33

60484o 41 42 44 46 49 54 56 5843 45 47 50 51 52 53 55 57 59



-- --

0


0 1 4 202 6 8 1810 11 14 163 11 13 15 1975 179

210312 227 216 314 224 31628 319 232 213 311 2292232 3425 39 c__i_ 77 222219 211 230 n320 225 313-w 23 nshy 33 ~ 7~ ~ 73

-~-



21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

318

78 218

311 1 2

-~

G

313

220

226

~ 27

ii egrave

h

_t 212

320

TI 215

7 ~ 2

=shy

A ~

315

223

223

7iuml 24

32

nPgt

310

--5 231

~ 212

middot3 7

35

27

B

317 220

~1- AltC


--


0 1 2 43 65

265 246 227 28 319

329 37

211 230317 35

=

fiT D~-nl_J~

DEGREumlS

Holder)

18 19 20 21 22 23 24 25

34 259 240 221 l L 248 229

26 337 l5 313 3 217 ~ ~ = =

E F

26

210

7

IMA

36

_t_ 212

t

37

253

333

38

234

~

39

215

39

tshy

40

33

~ =

A

~

41

~ 223

42

242

b

7

235

322

43

223

~

265]il = 5312 = 843

8

216

310

44

24

32

Bj

~

9

32

23

~

D lU

27

36

29

Fitshy

ts-

45

~ 215

10

262

339

28

256

335

46

322

~

11

243

327

29

237

323

47

231

319

12

224

315

30

218

311

48

231

37

13

25

33

Eigt ~~

L

31

l 2

=-= G

Mlt

49

r 27

B A-lt

14

39

~

32

~ 220

50

317

~

15

251

332

33

245

328

51

239

284 53= 1 3

16 17

232 213

320 7

34 35

226

~ =

bgt

152 53

220 2

312

=

c olo


6 Gammes de Zarlino



22 23 322 3 3x5 23 x3 24 x5 34 x52

310 x 516 254 x 52 362 ---etc

253 337 217 x 535



Theacuteoregraveme

1) Posons

x a

y 3 3 ax + 3y + Yz

z



a a


c

Deacutemonstration






Exemples


142


-- -- --






22 1) r = 3

r 5 22

2x5 32

24 3x5 23x 3

s 2 2 2 _1_ 22

24x 5 5~ 2

2) r

24 52 342x55r -22 32 3x5 23x 3 24x5

3 3 3 5 3s - - - - -222 2 2 2

r 5 2x5 24 52 34 - -shy -shy22 y 3x5 23x3 24x 5

s 32 32 32 25 32 - - - -shy -23 23 23 32 23

143


-- --

-- --

4) r

52 5624 342x55r -22 32 23 x 3 24x 5 26x 353x5

24 3428 28 28 34 - - -s 25 35 35 24x524x 5 3x5



z 0 2


2

32 52 1


z 0 2 3 4

freacutequences 3 2

2

( 28


z 0 1 2 3 4 5 7 8 106 9



z 0 2 3 4 5 6


-shy24x 5 35 32 23 27 x 5 33

7 8 9

5 34 26x5 22 26 35


144


-- -- -- -- --

-- --- -- --- -- -- -- --

-- -- -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --

10 12 14 1511 13 16 17 18 19

22 3533 36 27 3323x5 28 x 5 3 -29 33 24 363 22x 5 2 25x 5 34 +

20 21 22 23 24


dite

7z 2 4 8 91 3 5 60


10 11 12

2





26 x 35 24 x 5

z 4 5 70 1 2 3 6 8 9


10 12 14 15 17 18 1911 13 16

27 2452 2322x 32 3 5 3x5 24x 3 252 24 32 23 523 x 522 5 3


145


312 340 ZARLI NO ~01219 1 2 bull 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

14 15

1 24

35 l ~

2_]_ 5

2 22

22 3

2- 232

3 2

23 5

2 3

_3_2

5 3x5-J 2

25 35 1

1

~

2 2

3 ~

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 2

23 3

5x3 2

il 3 24

5 ~

3 _d

5 35 7

22 52 23

32 2

23 3 5 5

24 3

Li 3

23 2 2

4o 41 42 1 4332 34 38 3933 35 36 37 11

25__2 2232 52 25 253hll6 23 ~32 2 5 2 3-5shy 3zz 3 352 1 7 1 ~44 45 46 47

22 2

33 2

23 l-5shy 35

48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60

24 8 3

2l u_ 5 2

25

26 3

532 -2shy 233 52 33 2432

5 235 25








2 23 7 25 5 37 2232 ---

5 2332 27 225 57

26 34 5232 25352 - -- -----etc 74327 24 5 257





Theacuteoregraveme

1) Posons 1x a a a

y (3 (3 (3 ax + (3y + 111

Z + ot z

Il

t 0 o o



a a a a

b (3 (3 (3 aa + (3b + 111

C + od plusmn1 c

d 0 o o


t47




Nous avons

x -19 -4 -5 y

z

12

0

4

-1

2

2 12x + 19y + 28z + 34t

t 0 0 -1



148


--

~tZ 4 2 1

J = 3 3 5 = 1ZARLINO BIS 29- 1 1 257shy24 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15

1 35

27 f3 7

u 5

_L_ 22

22 3

7 5

]_ 2

23 5

2 3

1_ 22 ~23

2 35 7

32

22 7 3

24 26 2821 22 2518 20 23 27 29 30 3116 1917

23 Jd_ 2~ 724 242 ~ 77 2 7i3 22hlu 232 53 -3shy23 35 gt25 52 5

42 1 43 44 46 474138 4534 3632 33 35 37 1 39 40

ii1

25 1_2 52 37 532 rhl 1226 3223 27 357 32 23322 T 27

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

24 _____ 3

232 237 3

22 5 37 532

2 23 52 33 middot7

235 25

1gtshyD


8) Crible



n 12 Log x x Log 2


hx) 1 (xnx)

1

2

3

4

5

(l 0)

(2 12)

( ~ 7) (319)

(i 5) (424)


c~ 4) ci-9) lt ~ 16) (528)

-shy

6

8

9

( ~ 3) (631 )

------shy


( ~ 2) ( ~ 10) ( ~ 14) ( i 26) (938)

10

12

15

( l~ 2) ( 13deg 21 ) ( 1040)

( 1ff 15) (1243)

( 1f 11) ( 15 23) ( 15 35) (1547)

150


96 56 3616 ( ~~ 1) ( 1 10) ( 1 20) ( 1 29) (1648)

18 ( 158 22) (1850)

20 ( 2~ 14) ( 23deg 33) (2052)

etc



Theacuteoregraveme


Deacutemonstration







2) h(~) = h(L) y x

3 ) h( ~) ~ h( ~) h( ~)



h(rr) ~ h(r)h(r)

avec ret rEQ+


151










Deacutemonstration








majeure tierce

majeure tierce

mineure sixte

mineure quarte

augment





152


1 2



16 49 6 5 25 3 8 5 9 15-5rf5 58 3 rs T T 5

T







do maj 1 9 8

5 4

4 3

3 2

5 3

15 8 2

sol maj 1 9 8

5 4

45 32

3 2

27 16

15 8 2

fa maj 1 10 9

5 4

4 3

3 2

5 3

16 9 2

reacute maj 135 64

9 8

81 64

45 32

3 2

27 16

15 8




~= 153





semi-tonale do

mi

sol la do

tonale do

sol










11) Conclusion





154


12) Exercices

Paragraphes 3 et 4







53 328 255 27 519 38

Paragraphe 7


21 28 36 49 20 27 35 48




25 345 6 7 9 4567 3326



35 245 257




155





Paragraphe 9





k+k gtnet k=t-k


h h+h k k+k


J h = h+h

l k = k+k


kh - hk = 1






156


Sujets deacutetude

Paragraphe 3


Paragraphe 5












Paragraphe 8


Paragraphe 10




Paragraphe 11


157























158









p p p p p

p p p p p p

41 41 44 38 38 27 31 14 84 68 73 72 27

31 38 34 33 49

74 15 60 86 84 30

p 52-131 p 73 p 33 p 20


63 46 33 33 14 60 52 32 72 73

p 151 p 154 p 86 p 63 p 33

p 16-50 p 45 p 66









octave p 16


159






p p p p p

p p

p 18-71 p 18-71

33 84 29 12 26

33 33

p p p

p p p p p

p p p p p p p p p p

69 69 56

78 69 77 78 33

15 52 71 63 71 86 33 51 71 12



unisson



p 33 p 63 p 73 p 63 p 63 p 52

p 44 p 52 p 44 p 44 p 27 p 34

p 42-71 p 12

p 26-43-44 p 69 p 63

p 40-63

p 91 p 33

p 14

p 64

p 42

160










p 54 p 25 p 19 p 19 p 27

p 75 p 103 p 86 p 142 p 49 p 100

p 128-150 p 127

p 102 p 17 p 85

p 129-154 p 56 p 44

p 12 p 55

p 102 p 129

p 156 p 154 p 47 p 12 p 75 p 49

p 18 p 81 p 59 p 28

p 128-152 p 36 p 46 p 44

Janko p 137-138











161


BROCHURES DE LAPMEP







8 Mots 1974 100 p

9 Elem-Math 1 1975 56 p


11 Mots II 1975 108 p



15 Mots III 1976 136 p









162


25 Mots IY- 1978 152 p









37 Mots V 1980 114 p













163












164





AVANT-PROPOS





Bonne lecture

BP



SOMMAIRE

Introduction p 7







5










6


INTRODUCTION









7



Etc etc









8






9




















10




PASCAL

11


I LE SON








bull





12


Encadreacute 1

Avec trois trous

Majeur ndex


OTrou ouvert

fondamental

bull bull 0

secte eshy

2 +1 1 Qg

0

l bull

l l lr l f e

-e-1~ ocirc0 0

Q


1 1




2 $ q6- o~middot~




13


II LES INTERVALLES


f f(ft fz) R (f3 fJ = ~ = _1_






J = [Ik kER

lk = [(f kf) fER

Remarques






kf = f + Ik



f kf

14





Encadreacute 2







15


III LES NOTES


f f f (pEN) 2 4 2P


f 1 G f2 ~(3 n E Z f 2 = 211 bull f 1)











16



Encadreacute 3

Vrai ou Faux





17










_ - - - - -- octave - - - - shy



Encadreacute 4

Pythagore


18








4 x l_ x l_ = 9) 2 2


octave

~----- 1116

19







f2n = 1_2_) n et f 2n + 1 = 1_ X 1_2_) n 8 2 8




3 f 3 - n Sl - fn lt 2f 2 2

l_fn 2 si 1_ fn 2f 2 2








20














(1- 8) $ [1 2 [ Dougrave 1 8 = 1 - +Un 1






21






n 8

5 005078125

7 006787109

12 001364326

41 001139745

53 000209031

306 000102172

359 000106645

665 000004366

15601 000001819





ft + ---~------

fz +-----------shy

rs +

22




et 1 r2 = 1 1middot




r 5 = 2

~ L~

Nous avons donc

logD2) = 0 +-shy1 +_____

1 +-------------------shy

2 +--------shy

2 +------shy3 + _____

1 +


11 12 35 712 2441 3153

23




n 57124153










24


Encadreacute 5



KAYPIPAS



l ) oooo

icirc~~i~ 8

25



243 f et fs 729 ffs 128 512


12_ 11 amp_ _h _h = 1_ (A)23fo fz f4 fl f3

28_h ~ (C)35fs fs


fa fi ~ ~ ~ ~ Ps (2~) A A A c A A c







5 lydien

4 hypophrygien

3 phrygien

2 hypodorien

1 dorien


26


Encadreacute 6












T (+) bull F T






27


Encadreacute 7






bull bull ----

FA-mu-li bJ- ~-um


Sallc-U lo-haVl-IIU






28


Encadreacute 8












29


Exemple












i) bull1

Reacute3 Igto-1





Exemple

30









A c A A c A A





1 98 81 -64

43 32

---shy

1 2716

1 243128

1


31





28

se

Do

D







(Suite page 38)

32


Encadreacute 9



~OTE ~---------t-------S-J_L_EN_C_E_______-i


VALEUR) 1 1 EN) --+----i---------1













33


Encadreacute 10












34


r Encadreacute 11







T LA SIE











Exemple



35


Encadreacute 12




36









37







~ D ~ c reg DoR~b

~c gtlt


quences

122187 256 = 3 = (1_) 12

21 (environ 235 cents) 2192048 243 2




n = 41


38



p p Qp p

----o c~



a) D - 3 P = 3 C - 2 D

b) C - 2 P = 3 C - 2 D




)219


329



n = 53 1



8P p p p

-- ~ p p



219) 265



39


V LA TRANSPOSITION









i Reacute

A i tli

A c 0 i

Sol A

j La

A i

Si A c

acirc) (Reacute)


40









Remarques








41








MiT t r




4 2 4

Do t1i SoT t





42




Do T Mi t Sol

T t















Reacute La Si Jo) B

A A A A Zadino

43







9uint








44


Encadreacute 13



f j_f 81 f i_f l_f 27 f ~f (2f) 8 64 3 2 16 128






f JLf 8

2_f 4

i_f 3

]__f2

2f 3

~f 8

(2f)







45






Pythashygo re 0 +4 +8 +2 +2 +6 + 10

Zarlino 0 +4 -14 +2 +2 -16 -12









(Suite page 49)

46


bull bull

Encadreacute 14

Le Monocorde




Partie gauche

c s A



47


Encadreacute 15













48





Encadreacute 16



Exemple


rshy - rshy PROFiL



49


Encadreacute 17







50


HAUT

chevaet

Encadreacute 18



doigt

ti_-_cor_Je __ ~_---------P-~_


660 623 588 555 524 495 467 441 416 393 371 350 330 311 293 277 262 247 233 220





51





(1 + 8)n

do d0 d08 D ou Xn-1 = --- =---=d08 (1 +8) n

(1+8)n~1 (1+8)n (1+8)n


Encadreacute 19

Quelques commas










52


Encadreacute 20





53


Encadreacute 21





- 1que AC - - AB 36









54


Encadreacute 22



00 02 04 06 08 10 et 01 03 05 07 09 11





55


Encadreacute 23







56


2 NOTRE



A DUMAS


57


I NOTATION





00 01 02 09 10 11



n Do

300 301 30l 3D3 30t 305 306 30J 301 ~10 3fl (Ut)







58




Longueur 124 117 110 107 101 95 90 88 83 78 76 72 68 64 62 en mm





59

















60






















61




~____y ~~~ A A ( A













62





300 302 304- 305 301 311 (~00)






Note -----middot

Codage






Note de Do majeur 00 02 04 05 07 09 11



06 08 01 et 03

63





u9





V

64


Encadreacute 26

Musique agrave Bali










65





PORTRAIT DE FAMILLE












66


Encadreacute 27




Fl Sol~ Laitmiddot

Fa reg

5ol e

La 9



Note Fa Sol La Do 1

Reacute


1 22112 24112 27112 1i

29112


1 1122 1259 1498 1

i 1682





1

1

98

1 125

8164

1266

32

1500

2716

1687





67




209 21-t 300 302 304- 305 (309)



111 300 301 301t 305 soa (309)













ED

68














mmeure

majeure


~-

APM

AP mineur


---middot~



69

















70
















IumlJ 1 bullUcade 1

tierct q~~t-

qui l tc sixte

~Ptl~ e oc cave

1 bull 1


Tonalite YWjeU(C

Toalite Wfe

71


X









CONCLUSION



72





JS BACH



73








gIcirc03 oz 01

4~~ 10 03ol

JQ~

II TRANSPOSITION





(it)


74















75

















76



III RENVERSEMENT





400 ~--~ 202 403 --- 111 407 --- 107 408 -- 106 311 - 203

etc



H o1 B ot

200 tf to

oJ

t-0

77


Remarques



IV REacuteCURRENCE



ltOO 11 3 oS

3or




1

1 1 1


~lt t bull tbull

l 1~C o


Remarques


78




0

e

e e

A

A

B

B

c c

A A e c B

B B c e A

c c B A e







Son

Codage


79







Codage 30 31 32 33 34


34-34-32-32-32-32-30-30-31-32-33-32-31-30



Codage 30 31 32 33 34






80


Encadreacute 29











400 __ 305


81



56 pages- 21 x 295







(D Guy)

82


4 APERCcedilUS




83









84


Encadreacute 30



NOTE 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Total

B 129 19 121 15 162 90 41 86 50 149 14 123 999

Ch 95 32 146 106 47 64 54 130 66 76 145 37 998


15

10 __ Bach

- - Chopin 5





85












86


Encadreacute 31














87


Hlb

CA

cl

Bs

Id p~l

3

r 1tU~ ___

------ 9lti-=

p=-

p~ ~- --


p=t ~ -=gt ltgt

k-

f

~~

~~-

-

1t

Cl

~c Cc vd

Cr

vd

Hl

~

z 11 1 0

A 10 4 6 3

2 11 ~ 1 0

3 5 s

4 fi io

J1 ampii 0 3 5 11 4 0



Mesure 1 2 3 415 6 7 8 9 10



Mesure 9 10

Voix pale IA SA

Accompt SA IA



~ ~ ~

88



Ici SA +3 179680

s(S 8 ) + 3 32111045



Mesure 31 32 33

SA x

xx x x x

IA x

xxx x x


Mesures 34-38 39-45 46-50 51-57


Voix pale 2 I





89














04-01 etc


r = 07 0111020008030410090605

90












Dougrave la



91



















92








A contiendra 0369















-par t2 [0124568910l


A contiendra 0 et 6




93









par t 5 [025 68 11)









f) Lensemble E



94



lA Card(Ai) Ai

lt2gt 6 A2= 02468 10

lt3gt 4 A3 = 0369

8 A4 = 013467910

3 A 5 = 048

lt4gt 6 A6 = 014589

9 A 7 = 0124568910

2 A8 =06J

4 A9 =0167 A1o = 0268

lt6gt 6 A11 = 0156711) A12 = 013679) A13 = 0146710)

8 A14 = 0 1256 7 811) A15 = 0245681011)

10 A1s = 01235678911)




Ces 7 modes sont




ze mode 013467910 ~ 10)

-~a ~ gtto o



95








~ e (o)6e mode 024S681011


7e mode 0123S678911l ~ L b lu d to ~8- ()8110

-e-bullO 1 o









96



9 noles

8 Mes

6 notts

4 notu

3 notes

2 notes




97






f Egtobelfo o o






3

2


() Voir Annexe

98


Encadreacute 32









99











100


Encadreacute 33






Mode demploi



AS C D E

101






V REcircVONS UN PEU



2 10 ffi = (i=Ol 9)










102


Encadreacute 34








Conseacutequences




Hn





b) Type zarlinien







a 013468)

b = 023568)

c = 023468

d = [013568]



104






s s 1 s 1 e e e 0 3 5

~

6 tict-camp

t

(0) tietCamp

(1)

luink ~





A B c D E F (A)

0 3 5 6 8 (0)



105


Quid du contrepoint







106


CODA






107















A B

f(A) f(B)

108



A B

g(B) g(A)

















A = [014589) ou A = [0347811



A = [012678) ou A = 0156711) ou A = [04561011)

109








lt8gt 3 aucun

lt2gt 6 (014589] et (0347 811]


lt3gt 4 (012678] (0156711] et (04561011J

lt6gt 2


jo 1 2 3 4







Remarques




110








lt3gt 4 aucun


lt4gt 3 [014589) et [0347811]










Ill






Valeurs dei

paires


(pas densemble A)

1 2 3 4 5 6

0 ou ou ou ou ou 11 10 9 8 7

3 1 4 5 6 7

0 ou ou ou ou ou 2 11 10 9 8

5 1 2 6 7 8

0 ou ou ou ou ou 4 3 11 10 9

7 1 2 3 8 9

0 ou ou ou ou ou 6 5 4 11 10

9 1 2 3 4 10

0 ou ou ou ou ou 8 7 6 5 11

11 1 2 3 4 5

0 ou ou ou ou 0 u 10 9 8 7 6





112





Remarques















113




icirc III IV v VI

210 39 48 57

310 49 58 67

2 02 17 311 410 59 1 68

3 03 12 411 510 69 78

4 04 28 13 511 610 79

P= 05 14 23 611 710 89 -----middot------shy

06 39 15 24 711 810

7 07 16 25 34 811 910

8 08 410 17 26 35 911

9 09 18 27 36 45 1011

10 010 511 19 28 37 46

11 011 110 29 38 47 56





A = Lj(A) = Lj(A)




114




















115




t 6(A) = B(C) 3j E [1357911] B


(C) t6(A) = B 3jE[l357911j tj( A) = t6(A)


(C) t 6(A) = B 3kE[l357911] tk(-A) =A





01] 211 310 49] 58] 67]



2 11 J 58

310] [49



116






4 ou 8 aucun


26 ou 10 15 ou 9 0347811)

37 ou 11 0 1 45 89)

1 ou 7 0456 1011 J

3 ou 9 3 ou 9 0156711)

5 ou 11 0 1267 8)

1 25) 34)

07)U ou u ou 811) 910)

3 18) 45)

09)U ou u ou 27) 1011)

6

5 110) 29)

011) u ou u ou 47) 38)

7 211) 3 10)

01)U ou u ou 58) 49)

9 12) 411)

03)U ou u ou 78) 510)

11 14) 23)

05)U ou u ou 7 10) 89)



117


PORTRAIT DE FAMILLE










R

T

R



0246810 (gamme par tons) 014589 0347811 045610 11 0156711 012678

118


--

ET HORIZONTALEMENT



3e total S 1

rA B 1



1 --~ 3 ~4 ~ 5 6




s = 10463592178110


t 5(-S) = 71112083410965


217 81105691043


119


POUR FINIR







120







B) La _12 f 15 l = 1758f 8 8 2



ENCADREacute 15







ENCADREacute 22



_12_) 48

121



X 1 Xp = AC I (1 2_) p= 1 p= 1 48

24 soit X = AC (24 I p) = AC (24 - 2425)

48 p= 1 248

71ACou enfin X 4







p




AB (p2 - 95p + 3456) 3456


p2 95p + 3456 = 1 + 2 -----4_7_-__P ___ 2ep+ 1 p - 93p + 3362 p2 93p + 3362


AB-x1 95+3456


47y = f(x) = 1 + 2 - x x2 93x+ 3362

122



f(1) = 102813 f(23) = 102830 f(13) = 102928 f(14) = 102925



NON MAIS PRESQUE

ENCADREacute24



ENCADREacute 25






123







p 121

124














125












126



Preacuteambule

1) Introduction






8) Crible


11) Conclusion




[Bun ting]

127


PREacuteAMBULE








1 Introduction




1





128















7


3




129



219









Deacutemonstration






130





3) Commas




1) a t 1


Remarques








Deacutemonstration



11





131





on a rn n+1 a+1

~ ~ n n a

ou encore

Log rn ~ Log a+ n a











le scheacutema






1

132


Deacutemonstration


soit r 11 gtl


xn+OYn


lt 1

dougrave Log

lt 1 Log rn


soit encore agrave






Deacutemonsru1ion



Log rngt Log ri



133



1 Log r [2 + r 2

dougrave




















134




n





Theacuteoregraveme


Remarque


toujours p q gt 1

Deacutemonstration





h(xy) E (xnyn)Z



hx = fxn hy = fyn



f = hk




135















Or on a

dougrave

Si n est impair



(- 1)ll





F = lt23gt

136





paragraphe 4)



n = 1

z 22relation =1

3freacutequence


z 0 1 1 2

3freacutequence 2 2


z 0123 45


Remarque





137



4z 0 1 2 6 7 8 10 Il 123 5 9

28 32 25 34 22 36 27 2433 353 - -freacutequence 1 - - - - 223 26 2935 33 34 24 32 273 2







est faux


138


8 12 PYTHAGORE 2 = 122 =193 = 135 shy 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 28

35

32

23

25

33

34

22

3

36

29 3-2

27

33

~ 24

l r 27

2 29

35

32

22

26

33 ~ 25

23

3

36

28 3

20 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 33 34 35 36 37 38 39

28 1 33 34 23

25

l 35 62

22 210

35

32

2

27

33

34

~ 2

1

3

36

27 1 923 ~

33

22

26

32

35

25 23

211

35 32 28

33

60484o 41 42 44 46 49 54 56 5843 45 47 50 51 52 53 55 57 59



-- --

0


0 1 4 202 6 8 1810 11 14 163 11 13 15 1975 179

210312 227 216 314 224 31628 319 232 213 311 2292232 3425 39 c__i_ 77 222219 211 230 n320 225 313-w 23 nshy 33 ~ 7~ ~ 73

-~-



21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

318

78 218

311 1 2

-~

G

313

220

226

~ 27

ii egrave

h

_t 212

320

TI 215

7 ~ 2

=shy

A ~

315

223

223

7iuml 24

32

nPgt

310

--5 231

~ 212

middot3 7

35

27

B

317 220

~1- AltC


--


0 1 2 43 65

265 246 227 28 319

329 37

211 230317 35

=

fiT D~-nl_J~

DEGREumlS

Holder)

18 19 20 21 22 23 24 25

34 259 240 221 l L 248 229

26 337 l5 313 3 217 ~ ~ = =

E F

26

210

7

IMA

36

_t_ 212

t

37

253

333

38

234

~

39

215

39

tshy

40

33

~ =

A

~

41

~ 223

42

242

b

7

235

322

43

223

~

265]il = 5312 = 843

8

216

310

44

24

32

Bj

~

9

32

23

~

D lU

27

36

29

Fitshy

ts-

45

~ 215

10

262

339

28

256

335

46

322

~

11

243

327

29

237

323

47

231

319

12

224

315

30

218

311

48

231

37

13

25

33

Eigt ~~

L

31

l 2

=-= G

Mlt

49

r 27

B A-lt

14

39

~

32

~ 220

50

317

~

15

251

332

33

245

328

51

239

284 53= 1 3

16 17

232 213

320 7

34 35

226

~ =

bgt

152 53

220 2

312

=

c olo


6 Gammes de Zarlino



22 23 322 3 3x5 23 x3 24 x5 34 x52

310 x 516 254 x 52 362 ---etc

253 337 217 x 535



Theacuteoregraveme

1) Posons

x a

y 3 3 ax + 3y + Yz

z



a a


c

Deacutemonstration






Exemples


142


-- -- --






22 1) r = 3

r 5 22

2x5 32

24 3x5 23x 3

s 2 2 2 _1_ 22

24x 5 5~ 2

2) r

24 52 342x55r -22 32 3x5 23x 3 24x5

3 3 3 5 3s - - - - -222 2 2 2

r 5 2x5 24 52 34 - -shy -shy22 y 3x5 23x3 24x 5

s 32 32 32 25 32 - - - -shy -23 23 23 32 23

143


-- --

-- --

4) r

52 5624 342x55r -22 32 23 x 3 24x 5 26x 353x5

24 3428 28 28 34 - - -s 25 35 35 24x524x 5 3x5



z 0 2


2

32 52 1


z 0 2 3 4

freacutequences 3 2

2

( 28


z 0 1 2 3 4 5 7 8 106 9



z 0 2 3 4 5 6


-shy24x 5 35 32 23 27 x 5 33

7 8 9

5 34 26x5 22 26 35


144


-- -- -- -- --

-- --- -- --- -- -- -- --

-- -- -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --

10 12 14 1511 13 16 17 18 19

22 3533 36 27 3323x5 28 x 5 3 -29 33 24 363 22x 5 2 25x 5 34 +

20 21 22 23 24


dite

7z 2 4 8 91 3 5 60


10 11 12

2





26 x 35 24 x 5

z 4 5 70 1 2 3 6 8 9


10 12 14 15 17 18 1911 13 16

27 2452 2322x 32 3 5 3x5 24x 3 252 24 32 23 523 x 522 5 3


145


312 340 ZARLI NO ~01219 1 2 bull 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

14 15

1 24

35 l ~

2_]_ 5

2 22

22 3

2- 232

3 2

23 5

2 3

_3_2

5 3x5-J 2

25 35 1

1

~

2 2

3 ~

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 2

23 3

5x3 2

il 3 24

5 ~

3 _d

5 35 7

22 52 23

32 2

23 3 5 5

24 3

Li 3

23 2 2

4o 41 42 1 4332 34 38 3933 35 36 37 11

25__2 2232 52 25 253hll6 23 ~32 2 5 2 3-5shy 3zz 3 352 1 7 1 ~44 45 46 47

22 2

33 2

23 l-5shy 35

48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60

24 8 3

2l u_ 5 2

25

26 3

532 -2shy 233 52 33 2432

5 235 25








2 23 7 25 5 37 2232 ---

5 2332 27 225 57

26 34 5232 25352 - -- -----etc 74327 24 5 257





Theacuteoregraveme

1) Posons 1x a a a

y (3 (3 (3 ax + (3y + 111

Z + ot z

Il

t 0 o o



a a a a

b (3 (3 (3 aa + (3b + 111

C + od plusmn1 c

d 0 o o


t47




Nous avons

x -19 -4 -5 y

z

12

0

4

-1

2

2 12x + 19y + 28z + 34t

t 0 0 -1



148


--

~tZ 4 2 1

J = 3 3 5 = 1ZARLINO BIS 29- 1 1 257shy24 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15

1 35

27 f3 7

u 5

_L_ 22

22 3

7 5

]_ 2

23 5

2 3

1_ 22 ~23

2 35 7

32

22 7 3

24 26 2821 22 2518 20 23 27 29 30 3116 1917

23 Jd_ 2~ 724 242 ~ 77 2 7i3 22hlu 232 53 -3shy23 35 gt25 52 5

42 1 43 44 46 474138 4534 3632 33 35 37 1 39 40

ii1

25 1_2 52 37 532 rhl 1226 3223 27 357 32 23322 T 27

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

24 _____ 3

232 237 3

22 5 37 532

2 23 52 33 middot7

235 25

1gtshyD


8) Crible



n 12 Log x x Log 2


hx) 1 (xnx)

1

2

3

4

5

(l 0)

(2 12)

( ~ 7) (319)

(i 5) (424)


c~ 4) ci-9) lt ~ 16) (528)

-shy

6

8

9

( ~ 3) (631 )

------shy


( ~ 2) ( ~ 10) ( ~ 14) ( i 26) (938)

10

12

15

( l~ 2) ( 13deg 21 ) ( 1040)

( 1ff 15) (1243)

( 1f 11) ( 15 23) ( 15 35) (1547)

150


96 56 3616 ( ~~ 1) ( 1 10) ( 1 20) ( 1 29) (1648)

18 ( 158 22) (1850)

20 ( 2~ 14) ( 23deg 33) (2052)

etc



Theacuteoregraveme


Deacutemonstration







2) h(~) = h(L) y x

3 ) h( ~) ~ h( ~) h( ~)



h(rr) ~ h(r)h(r)

avec ret rEQ+


151










Deacutemonstration








majeure tierce

majeure tierce

mineure sixte

mineure quarte

augment





152


1 2



16 49 6 5 25 3 8 5 9 15-5rf5 58 3 rs T T 5

T







do maj 1 9 8

5 4

4 3

3 2

5 3

15 8 2

sol maj 1 9 8

5 4

45 32

3 2

27 16

15 8 2

fa maj 1 10 9

5 4

4 3

3 2

5 3

16 9 2

reacute maj 135 64

9 8

81 64

45 32

3 2

27 16

15 8




~= 153





semi-tonale do

mi

sol la do

tonale do

sol










11) Conclusion





154


12) Exercices

Paragraphes 3 et 4







53 328 255 27 519 38

Paragraphe 7


21 28 36 49 20 27 35 48




25 345 6 7 9 4567 3326



35 245 257




155





Paragraphe 9





k+k gtnet k=t-k


h h+h k k+k


J h = h+h

l k = k+k


kh - hk = 1






156


Sujets deacutetude

Paragraphe 3


Paragraphe 5












Paragraphe 8


Paragraphe 10




Paragraphe 11


157























158









p p p p p

p p p p p p

41 41 44 38 38 27 31 14 84 68 73 72 27

31 38 34 33 49

74 15 60 86 84 30

p 52-131 p 73 p 33 p 20


63 46 33 33 14 60 52 32 72 73

p 151 p 154 p 86 p 63 p 33

p 16-50 p 45 p 66









octave p 16


159






p p p p p

p p

p 18-71 p 18-71

33 84 29 12 26

33 33

p p p

p p p p p

p p p p p p p p p p

69 69 56

78 69 77 78 33

15 52 71 63 71 86 33 51 71 12



unisson



p 33 p 63 p 73 p 63 p 63 p 52

p 44 p 52 p 44 p 44 p 27 p 34

p 42-71 p 12

p 26-43-44 p 69 p 63

p 40-63

p 91 p 33

p 14

p 64

p 42

160










p 54 p 25 p 19 p 19 p 27

p 75 p 103 p 86 p 142 p 49 p 100

p 128-150 p 127

p 102 p 17 p 85

p 129-154 p 56 p 44

p 12 p 55

p 102 p 129

p 156 p 154 p 47 p 12 p 75 p 49

p 18 p 81 p 59 p 28

p 128-152 p 36 p 46 p 44

Janko p 137-138











161


BROCHURES DE LAPMEP







8 Mots 1974 100 p

9 Elem-Math 1 1975 56 p


11 Mots II 1975 108 p



15 Mots III 1976 136 p









162


25 Mots IY- 1978 152 p









37 Mots V 1980 114 p













163












164


SOMMAIRE

Introduction p 7







5










6


INTRODUCTION









7



Etc etc









8






9




















10




PASCAL

11


I LE SON








bull





12


Encadreacute 1

Avec trois trous

Majeur ndex


OTrou ouvert

fondamental

bull bull 0

secte eshy

2 +1 1 Qg

0

l bull

l l lr l f e

-e-1~ ocirc0 0

Q


1 1




2 $ q6- o~middot~




13


II LES INTERVALLES


f f(ft fz) R (f3 fJ = ~ = _1_






J = [Ik kER

lk = [(f kf) fER

Remarques






kf = f + Ik



f kf

14





Encadreacute 2







15


III LES NOTES


f f f (pEN) 2 4 2P


f 1 G f2 ~(3 n E Z f 2 = 211 bull f 1)











16



Encadreacute 3

Vrai ou Faux





17










_ - - - - -- octave - - - - shy



Encadreacute 4

Pythagore


18








4 x l_ x l_ = 9) 2 2


octave

~----- 1116

19







f2n = 1_2_) n et f 2n + 1 = 1_ X 1_2_) n 8 2 8




3 f 3 - n Sl - fn lt 2f 2 2

l_fn 2 si 1_ fn 2f 2 2








20














(1- 8) $ [1 2 [ Dougrave 1 8 = 1 - +Un 1






21






n 8

5 005078125

7 006787109

12 001364326

41 001139745

53 000209031

306 000102172

359 000106645

665 000004366

15601 000001819





ft + ---~------

fz +-----------shy

rs +

22




et 1 r2 = 1 1middot




r 5 = 2

~ L~

Nous avons donc

logD2) = 0 +-shy1 +_____

1 +-------------------shy

2 +--------shy

2 +------shy3 + _____

1 +


11 12 35 712 2441 3153

23




n 57124153










24


Encadreacute 5



KAYPIPAS



l ) oooo

icirc~~i~ 8

25



243 f et fs 729 ffs 128 512


12_ 11 amp_ _h _h = 1_ (A)23fo fz f4 fl f3

28_h ~ (C)35fs fs


fa fi ~ ~ ~ ~ Ps (2~) A A A c A A c







5 lydien

4 hypophrygien

3 phrygien

2 hypodorien

1 dorien


26


Encadreacute 6












T (+) bull F T






27


Encadreacute 7






bull bull ----

FA-mu-li bJ- ~-um


Sallc-U lo-haVl-IIU






28


Encadreacute 8












29


Exemple












i) bull1

Reacute3 Igto-1





Exemple

30









A c A A c A A





1 98 81 -64

43 32

---shy

1 2716

1 243128

1


31





28

se

Do

D







(Suite page 38)

32


Encadreacute 9



~OTE ~---------t-------S-J_L_EN_C_E_______-i


VALEUR) 1 1 EN) --+----i---------1













33


Encadreacute 10












34


r Encadreacute 11







T LA SIE











Exemple



35


Encadreacute 12




36









37







~ D ~ c reg DoR~b

~c gtlt


quences

122187 256 = 3 = (1_) 12

21 (environ 235 cents) 2192048 243 2




n = 41


38



p p Qp p

----o c~



a) D - 3 P = 3 C - 2 D

b) C - 2 P = 3 C - 2 D




)219


329



n = 53 1



8P p p p

-- ~ p p



219) 265



39


V LA TRANSPOSITION









i Reacute

A i tli

A c 0 i

Sol A

j La

A i

Si A c

acirc) (Reacute)


40









Remarques








41








MiT t r




4 2 4

Do t1i SoT t





42




Do T Mi t Sol

T t















Reacute La Si Jo) B

A A A A Zadino

43







9uint








44


Encadreacute 13



f j_f 81 f i_f l_f 27 f ~f (2f) 8 64 3 2 16 128






f JLf 8

2_f 4

i_f 3

]__f2

2f 3

~f 8

(2f)







45






Pythashygo re 0 +4 +8 +2 +2 +6 + 10

Zarlino 0 +4 -14 +2 +2 -16 -12









(Suite page 49)

46


bull bull

Encadreacute 14

Le Monocorde




Partie gauche

c s A



47


Encadreacute 15













48





Encadreacute 16



Exemple


rshy - rshy PROFiL



49


Encadreacute 17







50


HAUT

chevaet

Encadreacute 18



doigt

ti_-_cor_Je __ ~_---------P-~_


660 623 588 555 524 495 467 441 416 393 371 350 330 311 293 277 262 247 233 220





51





(1 + 8)n

do d0 d08 D ou Xn-1 = --- =---=d08 (1 +8) n

(1+8)n~1 (1+8)n (1+8)n


Encadreacute 19

Quelques commas










52


Encadreacute 20





53


Encadreacute 21





- 1que AC - - AB 36









54


Encadreacute 22



00 02 04 06 08 10 et 01 03 05 07 09 11





55


Encadreacute 23







56


2 NOTRE



A DUMAS


57


I NOTATION





00 01 02 09 10 11



n Do

300 301 30l 3D3 30t 305 306 30J 301 ~10 3fl (Ut)







58




Longueur 124 117 110 107 101 95 90 88 83 78 76 72 68 64 62 en mm





59

















60






















61




~____y ~~~ A A ( A













62





300 302 304- 305 301 311 (~00)






Note -----middot

Codage






Note de Do majeur 00 02 04 05 07 09 11



06 08 01 et 03

63





u9





V

64


Encadreacute 26

Musique agrave Bali










65





PORTRAIT DE FAMILLE












66


Encadreacute 27




Fl Sol~ Laitmiddot

Fa reg

5ol e

La 9



Note Fa Sol La Do 1

Reacute


1 22112 24112 27112 1i

29112


1 1122 1259 1498 1

i 1682





1

1

98

1 125

8164

1266

32

1500

2716

1687





67




209 21-t 300 302 304- 305 (309)



111 300 301 301t 305 soa (309)













ED

68














mmeure

majeure


~-

APM

AP mineur


---middot~



69

















70
















IumlJ 1 bullUcade 1

tierct q~~t-

qui l tc sixte

~Ptl~ e oc cave

1 bull 1


Tonalite YWjeU(C

Toalite Wfe

71


X









CONCLUSION



72





JS BACH



73








gIcirc03 oz 01

4~~ 10 03ol

JQ~

II TRANSPOSITION





(it)


74















75

















76



III RENVERSEMENT





400 ~--~ 202 403 --- 111 407 --- 107 408 -- 106 311 - 203

etc



H o1 B ot

200 tf to

oJ

t-0

77


Remarques



IV REacuteCURRENCE



ltOO 11 3 oS

3or




1

1 1 1


~lt t bull tbull

l 1~C o


Remarques


78




0

e

e e

A

A

B

B

c c

A A e c B

B B c e A

c c B A e







Son

Codage


79







Codage 30 31 32 33 34


34-34-32-32-32-32-30-30-31-32-33-32-31-30



Codage 30 31 32 33 34






80


Encadreacute 29











400 __ 305


81



56 pages- 21 x 295







(D Guy)

82


4 APERCcedilUS




83









84


Encadreacute 30



NOTE 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Total

B 129 19 121 15 162 90 41 86 50 149 14 123 999

Ch 95 32 146 106 47 64 54 130 66 76 145 37 998


15

10 __ Bach

- - Chopin 5





85












86


Encadreacute 31














87


Hlb

CA

cl

Bs

Id p~l

3

r 1tU~ ___

------ 9lti-=

p=-

p~ ~- --


p=t ~ -=gt ltgt

k-

f

~~

~~-

-

1t

Cl

~c Cc vd

Cr

vd

Hl

~

z 11 1 0

A 10 4 6 3

2 11 ~ 1 0

3 5 s

4 fi io

J1 ampii 0 3 5 11 4 0



Mesure 1 2 3 415 6 7 8 9 10



Mesure 9 10

Voix pale IA SA

Accompt SA IA



~ ~ ~

88



Ici SA +3 179680

s(S 8 ) + 3 32111045



Mesure 31 32 33

SA x

xx x x x

IA x

xxx x x


Mesures 34-38 39-45 46-50 51-57


Voix pale 2 I





89














04-01 etc


r = 07 0111020008030410090605

90












Dougrave la



91



















92








A contiendra 0369















-par t2 [0124568910l


A contiendra 0 et 6




93









par t 5 [025 68 11)









f) Lensemble E



94



lA Card(Ai) Ai

lt2gt 6 A2= 02468 10

lt3gt 4 A3 = 0369

8 A4 = 013467910

3 A 5 = 048

lt4gt 6 A6 = 014589

9 A 7 = 0124568910

2 A8 =06J

4 A9 =0167 A1o = 0268

lt6gt 6 A11 = 0156711) A12 = 013679) A13 = 0146710)

8 A14 = 0 1256 7 811) A15 = 0245681011)

10 A1s = 01235678911)




Ces 7 modes sont




ze mode 013467910 ~ 10)

-~a ~ gtto o



95








~ e (o)6e mode 024S681011


7e mode 0123S678911l ~ L b lu d to ~8- ()8110

-e-bullO 1 o









96



9 noles

8 Mes

6 notts

4 notu

3 notes

2 notes




97






f Egtobelfo o o






3

2


() Voir Annexe

98


Encadreacute 32









99











100


Encadreacute 33






Mode demploi



AS C D E

101






V REcircVONS UN PEU



2 10 ffi = (i=Ol 9)










102


Encadreacute 34








Conseacutequences




Hn





b) Type zarlinien







a 013468)

b = 023568)

c = 023468

d = [013568]



104






s s 1 s 1 e e e 0 3 5

~

6 tict-camp

t

(0) tietCamp

(1)

luink ~





A B c D E F (A)

0 3 5 6 8 (0)



105


Quid du contrepoint







106


CODA






107















A B

f(A) f(B)

108



A B

g(B) g(A)

















A = [014589) ou A = [0347811



A = [012678) ou A = 0156711) ou A = [04561011)

109








lt8gt 3 aucun

lt2gt 6 (014589] et (0347 811]


lt3gt 4 (012678] (0156711] et (04561011J

lt6gt 2


jo 1 2 3 4







Remarques




110








lt3gt 4 aucun


lt4gt 3 [014589) et [0347811]










Ill






Valeurs dei

paires


(pas densemble A)

1 2 3 4 5 6

0 ou ou ou ou ou 11 10 9 8 7

3 1 4 5 6 7

0 ou ou ou ou ou 2 11 10 9 8

5 1 2 6 7 8

0 ou ou ou ou ou 4 3 11 10 9

7 1 2 3 8 9

0 ou ou ou ou ou 6 5 4 11 10

9 1 2 3 4 10

0 ou ou ou ou ou 8 7 6 5 11

11 1 2 3 4 5

0 ou ou ou ou 0 u 10 9 8 7 6





112





Remarques















113




icirc III IV v VI

210 39 48 57

310 49 58 67

2 02 17 311 410 59 1 68

3 03 12 411 510 69 78

4 04 28 13 511 610 79

P= 05 14 23 611 710 89 -----middot------shy

06 39 15 24 711 810

7 07 16 25 34 811 910

8 08 410 17 26 35 911

9 09 18 27 36 45 1011

10 010 511 19 28 37 46

11 011 110 29 38 47 56





A = Lj(A) = Lj(A)




114




















115




t 6(A) = B(C) 3j E [1357911] B


(C) t6(A) = B 3jE[l357911j tj( A) = t6(A)


(C) t 6(A) = B 3kE[l357911] tk(-A) =A





01] 211 310 49] 58] 67]



2 11 J 58

310] [49



116






4 ou 8 aucun


26 ou 10 15 ou 9 0347811)

37 ou 11 0 1 45 89)

1 ou 7 0456 1011 J

3 ou 9 3 ou 9 0156711)

5 ou 11 0 1267 8)

1 25) 34)

07)U ou u ou 811) 910)

3 18) 45)

09)U ou u ou 27) 1011)

6

5 110) 29)

011) u ou u ou 47) 38)

7 211) 3 10)

01)U ou u ou 58) 49)

9 12) 411)

03)U ou u ou 78) 510)

11 14) 23)

05)U ou u ou 7 10) 89)



117


PORTRAIT DE FAMILLE










R

T

R



0246810 (gamme par tons) 014589 0347811 045610 11 0156711 012678

118


--

ET HORIZONTALEMENT



3e total S 1

rA B 1



1 --~ 3 ~4 ~ 5 6




s = 10463592178110


t 5(-S) = 71112083410965


217 81105691043


119


POUR FINIR







120







B) La _12 f 15 l = 1758f 8 8 2



ENCADREacute 15







ENCADREacute 22



_12_) 48

121



X 1 Xp = AC I (1 2_) p= 1 p= 1 48

24 soit X = AC (24 I p) = AC (24 - 2425)

48 p= 1 248

71ACou enfin X 4







p




AB (p2 - 95p + 3456) 3456


p2 95p + 3456 = 1 + 2 -----4_7_-__P ___ 2ep+ 1 p - 93p + 3362 p2 93p + 3362


AB-x1 95+3456


47y = f(x) = 1 + 2 - x x2 93x+ 3362

122



f(1) = 102813 f(23) = 102830 f(13) = 102928 f(14) = 102925



NON MAIS PRESQUE

ENCADREacute24



ENCADREacute 25






123







p 121

124














125












126



Preacuteambule

1) Introduction






8) Crible


11) Conclusion




[Bun ting]

127


PREacuteAMBULE








1 Introduction




1





128















7


3




129



219









Deacutemonstration






130





3) Commas




1) a t 1


Remarques








Deacutemonstration



11





131





on a rn n+1 a+1

~ ~ n n a

ou encore

Log rn ~ Log a+ n a











le scheacutema






1

132


Deacutemonstration


soit r 11 gtl


xn+OYn


lt 1

dougrave Log

lt 1 Log rn


soit encore agrave






Deacutemonsru1ion



Log rngt Log ri



133



1 Log r [2 + r 2

dougrave




















134




n





Theacuteoregraveme


Remarque


toujours p q gt 1

Deacutemonstration





h(xy) E (xnyn)Z



hx = fxn hy = fyn



f = hk




135















Or on a

dougrave

Si n est impair



(- 1)ll





F = lt23gt

136





paragraphe 4)



n = 1

z 22relation =1

3freacutequence


z 0 1 1 2

3freacutequence 2 2


z 0123 45


Remarque





137



4z 0 1 2 6 7 8 10 Il 123 5 9

28 32 25 34 22 36 27 2433 353 - -freacutequence 1 - - - - 223 26 2935 33 34 24 32 273 2







est faux


138


8 12 PYTHAGORE 2 = 122 =193 = 135 shy 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 28

35

32

23

25

33

34

22

3

36

29 3-2

27

33

~ 24

l r 27

2 29

35

32

22

26

33 ~ 25

23

3

36

28 3

20 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 33 34 35 36 37 38 39

28 1 33 34 23

25

l 35 62

22 210

35

32

2

27

33

34

~ 2

1

3

36

27 1 923 ~

33

22

26

32

35

25 23

211

35 32 28

33

60484o 41 42 44 46 49 54 56 5843 45 47 50 51 52 53 55 57 59



-- --

0


0 1 4 202 6 8 1810 11 14 163 11 13 15 1975 179

210312 227 216 314 224 31628 319 232 213 311 2292232 3425 39 c__i_ 77 222219 211 230 n320 225 313-w 23 nshy 33 ~ 7~ ~ 73

-~-



21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

318

78 218

311 1 2

-~

G

313

220

226

~ 27

ii egrave

h

_t 212

320

TI 215

7 ~ 2

=shy

A ~

315

223

223

7iuml 24

32

nPgt

310

--5 231

~ 212

middot3 7

35

27

B

317 220

~1- AltC


--


0 1 2 43 65

265 246 227 28 319

329 37

211 230317 35

=

fiT D~-nl_J~

DEGREumlS

Holder)

18 19 20 21 22 23 24 25

34 259 240 221 l L 248 229

26 337 l5 313 3 217 ~ ~ = =

E F

26

210

7

IMA

36

_t_ 212

t

37

253

333

38

234

~

39

215

39

tshy

40

33

~ =

A

~

41

~ 223

42

242

b

7

235

322

43

223

~

265]il = 5312 = 843

8

216

310

44

24

32

Bj

~

9

32

23

~

D lU

27

36

29

Fitshy

ts-

45

~ 215

10

262

339

28

256

335

46

322

~

11

243

327

29

237

323

47

231

319

12

224

315

30

218

311

48

231

37

13

25

33

Eigt ~~

L

31

l 2

=-= G

Mlt

49

r 27

B A-lt

14

39

~

32

~ 220

50

317

~

15

251

332

33

245

328

51

239

284 53= 1 3

16 17

232 213

320 7

34 35

226

~ =

bgt

152 53

220 2

312

=

c olo


6 Gammes de Zarlino



22 23 322 3 3x5 23 x3 24 x5 34 x52

310 x 516 254 x 52 362 ---etc

253 337 217 x 535



Theacuteoregraveme

1) Posons

x a

y 3 3 ax + 3y + Yz

z



a a


c

Deacutemonstration






Exemples


142


-- -- --






22 1) r = 3

r 5 22

2x5 32

24 3x5 23x 3

s 2 2 2 _1_ 22

24x 5 5~ 2

2) r

24 52 342x55r -22 32 3x5 23x 3 24x5

3 3 3 5 3s - - - - -222 2 2 2

r 5 2x5 24 52 34 - -shy -shy22 y 3x5 23x3 24x 5

s 32 32 32 25 32 - - - -shy -23 23 23 32 23

143


-- --

-- --

4) r

52 5624 342x55r -22 32 23 x 3 24x 5 26x 353x5

24 3428 28 28 34 - - -s 25 35 35 24x524x 5 3x5



z 0 2


2

32 52 1


z 0 2 3 4

freacutequences 3 2

2

( 28


z 0 1 2 3 4 5 7 8 106 9



z 0 2 3 4 5 6


-shy24x 5 35 32 23 27 x 5 33

7 8 9

5 34 26x5 22 26 35


144


-- -- -- -- --

-- --- -- --- -- -- -- --

-- -- -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --

10 12 14 1511 13 16 17 18 19

22 3533 36 27 3323x5 28 x 5 3 -29 33 24 363 22x 5 2 25x 5 34 +

20 21 22 23 24


dite

7z 2 4 8 91 3 5 60


10 11 12

2





26 x 35 24 x 5

z 4 5 70 1 2 3 6 8 9


10 12 14 15 17 18 1911 13 16

27 2452 2322x 32 3 5 3x5 24x 3 252 24 32 23 523 x 522 5 3


145


312 340 ZARLI NO ~01219 1 2 bull 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

14 15

1 24

35 l ~

2_]_ 5

2 22

22 3

2- 232

3 2

23 5

2 3

_3_2

5 3x5-J 2

25 35 1

1

~

2 2

3 ~

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 2

23 3

5x3 2

il 3 24

5 ~

3 _d

5 35 7

22 52 23

32 2

23 3 5 5

24 3

Li 3

23 2 2

4o 41 42 1 4332 34 38 3933 35 36 37 11

25__2 2232 52 25 253hll6 23 ~32 2 5 2 3-5shy 3zz 3 352 1 7 1 ~44 45 46 47

22 2

33 2

23 l-5shy 35

48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60

24 8 3

2l u_ 5 2

25

26 3

532 -2shy 233 52 33 2432

5 235 25








2 23 7 25 5 37 2232 ---

5 2332 27 225 57

26 34 5232 25352 - -- -----etc 74327 24 5 257





Theacuteoregraveme

1) Posons 1x a a a

y (3 (3 (3 ax + (3y + 111

Z + ot z

Il

t 0 o o



a a a a

b (3 (3 (3 aa + (3b + 111

C + od plusmn1 c

d 0 o o


t47




Nous avons

x -19 -4 -5 y

z

12

0

4

-1

2

2 12x + 19y + 28z + 34t

t 0 0 -1



148


--

~tZ 4 2 1

J = 3 3 5 = 1ZARLINO BIS 29- 1 1 257shy24 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15

1 35

27 f3 7

u 5

_L_ 22

22 3

7 5

]_ 2

23 5

2 3

1_ 22 ~23

2 35 7

32

22 7 3

24 26 2821 22 2518 20 23 27 29 30 3116 1917

23 Jd_ 2~ 724 242 ~ 77 2 7i3 22hlu 232 53 -3shy23 35 gt25 52 5

42 1 43 44 46 474138 4534 3632 33 35 37 1 39 40

ii1

25 1_2 52 37 532 rhl 1226 3223 27 357 32 23322 T 27

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

24 _____ 3

232 237 3

22 5 37 532

2 23 52 33 middot7

235 25

1gtshyD


8) Crible



n 12 Log x x Log 2


hx) 1 (xnx)

1

2

3

4

5

(l 0)

(2 12)

( ~ 7) (319)

(i 5) (424)


c~ 4) ci-9) lt ~ 16) (528)

-shy

6

8

9

( ~ 3) (631 )

------shy


( ~ 2) ( ~ 10) ( ~ 14) ( i 26) (938)

10

12

15

( l~ 2) ( 13deg 21 ) ( 1040)

( 1ff 15) (1243)

( 1f 11) ( 15 23) ( 15 35) (1547)

150


96 56 3616 ( ~~ 1) ( 1 10) ( 1 20) ( 1 29) (1648)

18 ( 158 22) (1850)

20 ( 2~ 14) ( 23deg 33) (2052)

etc



Theacuteoregraveme


Deacutemonstration







2) h(~) = h(L) y x

3 ) h( ~) ~ h( ~) h( ~)



h(rr) ~ h(r)h(r)

avec ret rEQ+


151










Deacutemonstration








majeure tierce

majeure tierce

mineure sixte

mineure quarte

augment





152


1 2



16 49 6 5 25 3 8 5 9 15-5rf5 58 3 rs T T 5

T







do maj 1 9 8

5 4

4 3

3 2

5 3

15 8 2

sol maj 1 9 8

5 4

45 32

3 2

27 16

15 8 2

fa maj 1 10 9

5 4

4 3

3 2

5 3

16 9 2

reacute maj 135 64

9 8

81 64

45 32

3 2

27 16

15 8




~= 153





semi-tonale do

mi

sol la do

tonale do

sol










11) Conclusion





154


12) Exercices

Paragraphes 3 et 4







53 328 255 27 519 38

Paragraphe 7


21 28 36 49 20 27 35 48




25 345 6 7 9 4567 3326



35 245 257




155





Paragraphe 9





k+k gtnet k=t-k


h h+h k k+k


J h = h+h

l k = k+k


kh - hk = 1






156


Sujets deacutetude

Paragraphe 3


Paragraphe 5












Paragraphe 8


Paragraphe 10




Paragraphe 11


157























158









p p p p p

p p p p p p

41 41 44 38 38 27 31 14 84 68 73 72 27

31 38 34 33 49

74 15 60 86 84 30

p 52-131 p 73 p 33 p 20


63 46 33 33 14 60 52 32 72 73

p 151 p 154 p 86 p 63 p 33

p 16-50 p 45 p 66









octave p 16


159






p p p p p

p p

p 18-71 p 18-71

33 84 29 12 26

33 33

p p p

p p p p p

p p p p p p p p p p

69 69 56

78 69 77 78 33

15 52 71 63 71 86 33 51 71 12



unisson



p 33 p 63 p 73 p 63 p 63 p 52

p 44 p 52 p 44 p 44 p 27 p 34

p 42-71 p 12

p 26-43-44 p 69 p 63

p 40-63

p 91 p 33

p 14

p 64

p 42

160










p 54 p 25 p 19 p 19 p 27

p 75 p 103 p 86 p 142 p 49 p 100

p 128-150 p 127

p 102 p 17 p 85

p 129-154 p 56 p 44

p 12 p 55

p 102 p 129

p 156 p 154 p 47 p 12 p 75 p 49

p 18 p 81 p 59 p 28

p 128-152 p 36 p 46 p 44

Janko p 137-138











161


BROCHURES DE LAPMEP







8 Mots 1974 100 p

9 Elem-Math 1 1975 56 p


11 Mots II 1975 108 p



15 Mots III 1976 136 p









162


25 Mots IY- 1978 152 p









37 Mots V 1980 114 p













163












164










6


INTRODUCTION









7



Etc etc









8






9




















10




PASCAL

11


I LE SON








bull





12


Encadreacute 1

Avec trois trous

Majeur ndex


OTrou ouvert

fondamental

bull bull 0

secte eshy

2 +1 1 Qg

0

l bull

l l lr l f e

-e-1~ ocirc0 0

Q


1 1




2 $ q6- o~middot~




13


II LES INTERVALLES


f f(ft fz) R (f3 fJ = ~ = _1_






J = [Ik kER

lk = [(f kf) fER

Remarques






kf = f + Ik



f kf

14





Encadreacute 2







15


III LES NOTES


f f f (pEN) 2 4 2P


f 1 G f2 ~(3 n E Z f 2 = 211 bull f 1)











16



Encadreacute 3

Vrai ou Faux





17










_ - - - - -- octave - - - - shy



Encadreacute 4

Pythagore


18








4 x l_ x l_ = 9) 2 2


octave

~----- 1116

19







f2n = 1_2_) n et f 2n + 1 = 1_ X 1_2_) n 8 2 8




3 f 3 - n Sl - fn lt 2f 2 2

l_fn 2 si 1_ fn 2f 2 2








20














(1- 8) $ [1 2 [ Dougrave 1 8 = 1 - +Un 1






21






n 8

5 005078125

7 006787109

12 001364326

41 001139745

53 000209031

306 000102172

359 000106645

665 000004366

15601 000001819





ft + ---~------

fz +-----------shy

rs +

22




et 1 r2 = 1 1middot




r 5 = 2

~ L~

Nous avons donc

logD2) = 0 +-shy1 +_____

1 +-------------------shy

2 +--------shy

2 +------shy3 + _____

1 +


11 12 35 712 2441 3153

23




n 57124153










24


Encadreacute 5



KAYPIPAS



l ) oooo

icirc~~i~ 8

25



243 f et fs 729 ffs 128 512


12_ 11 amp_ _h _h = 1_ (A)23fo fz f4 fl f3

28_h ~ (C)35fs fs


fa fi ~ ~ ~ ~ Ps (2~) A A A c A A c







5 lydien

4 hypophrygien

3 phrygien

2 hypodorien

1 dorien


26


Encadreacute 6












T (+) bull F T






27


Encadreacute 7






bull bull ----

FA-mu-li bJ- ~-um


Sallc-U lo-haVl-IIU






28


Encadreacute 8












29


Exemple












i) bull1

Reacute3 Igto-1





Exemple

30









A c A A c A A





1 98 81 -64

43 32

---shy

1 2716

1 243128

1


31





28

se

Do

D







(Suite page 38)

32


Encadreacute 9



~OTE ~---------t-------S-J_L_EN_C_E_______-i


VALEUR) 1 1 EN) --+----i---------1













33


Encadreacute 10












34


r Encadreacute 11







T LA SIE











Exemple



35


Encadreacute 12




36









37







~ D ~ c reg DoR~b

~c gtlt


quences

122187 256 = 3 = (1_) 12

21 (environ 235 cents) 2192048 243 2




n = 41


38



p p Qp p

----o c~



a) D - 3 P = 3 C - 2 D

b) C - 2 P = 3 C - 2 D




)219


329



n = 53 1



8P p p p

-- ~ p p



219) 265



39


V LA TRANSPOSITION









i Reacute

A i tli

A c 0 i

Sol A

j La

A i

Si A c

acirc) (Reacute)


40









Remarques








41








MiT t r




4 2 4

Do t1i SoT t





42




Do T Mi t Sol

T t















Reacute La Si Jo) B

A A A A Zadino

43







9uint








44


Encadreacute 13



f j_f 81 f i_f l_f 27 f ~f (2f) 8 64 3 2 16 128






f JLf 8

2_f 4

i_f 3

]__f2

2f 3

~f 8

(2f)







45






Pythashygo re 0 +4 +8 +2 +2 +6 + 10

Zarlino 0 +4 -14 +2 +2 -16 -12









(Suite page 49)

46


bull bull

Encadreacute 14

Le Monocorde




Partie gauche

c s A



47


Encadreacute 15













48





Encadreacute 16



Exemple


rshy - rshy PROFiL



49


Encadreacute 17







50


HAUT

chevaet

Encadreacute 18



doigt

ti_-_cor_Je __ ~_---------P-~_


660 623 588 555 524 495 467 441 416 393 371 350 330 311 293 277 262 247 233 220





51





(1 + 8)n

do d0 d08 D ou Xn-1 = --- =---=d08 (1 +8) n

(1+8)n~1 (1+8)n (1+8)n


Encadreacute 19

Quelques commas










52


Encadreacute 20





53


Encadreacute 21





- 1que AC - - AB 36









54


Encadreacute 22



00 02 04 06 08 10 et 01 03 05 07 09 11





55


Encadreacute 23







56


2 NOTRE



A DUMAS


57


I NOTATION





00 01 02 09 10 11



n Do

300 301 30l 3D3 30t 305 306 30J 301 ~10 3fl (Ut)







58




Longueur 124 117 110 107 101 95 90 88 83 78 76 72 68 64 62 en mm





59

















60






















61




~____y ~~~ A A ( A













62





300 302 304- 305 301 311 (~00)






Note -----middot

Codage






Note de Do majeur 00 02 04 05 07 09 11



06 08 01 et 03

63





u9





V

64


Encadreacute 26

Musique agrave Bali










65





PORTRAIT DE FAMILLE












66


Encadreacute 27




Fl Sol~ Laitmiddot

Fa reg

5ol e

La 9



Note Fa Sol La Do 1

Reacute


1 22112 24112 27112 1i

29112


1 1122 1259 1498 1

i 1682





1

1

98

1 125

8164

1266

32

1500

2716

1687





67




209 21-t 300 302 304- 305 (309)



111 300 301 301t 305 soa (309)













ED

68














mmeure

majeure


~-

APM

AP mineur


---middot~



69

















70
















IumlJ 1 bullUcade 1

tierct q~~t-

qui l tc sixte

~Ptl~ e oc cave

1 bull 1


Tonalite YWjeU(C

Toalite Wfe

71


X









CONCLUSION



72





JS BACH



73








gIcirc03 oz 01

4~~ 10 03ol

JQ~

II TRANSPOSITION





(it)


74















75

















76



III RENVERSEMENT





400 ~--~ 202 403 --- 111 407 --- 107 408 -- 106 311 - 203

etc



H o1 B ot

200 tf to

oJ

t-0

77


Remarques



IV REacuteCURRENCE



ltOO 11 3 oS

3or




1

1 1 1


~lt t bull tbull

l 1~C o


Remarques


78




0

e

e e

A

A

B

B

c c

A A e c B

B B c e A

c c B A e







Son

Codage


79







Codage 30 31 32 33 34


34-34-32-32-32-32-30-30-31-32-33-32-31-30



Codage 30 31 32 33 34






80


Encadreacute 29











400 __ 305


81



56 pages- 21 x 295







(D Guy)

82


4 APERCcedilUS




83









84


Encadreacute 30



NOTE 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Total

B 129 19 121 15 162 90 41 86 50 149 14 123 999

Ch 95 32 146 106 47 64 54 130 66 76 145 37 998


15

10 __ Bach

- - Chopin 5





85












86


Encadreacute 31














87


Hlb

CA

cl

Bs

Id p~l

3

r 1tU~ ___

------ 9lti-=

p=-

p~ ~- --


p=t ~ -=gt ltgt

k-

f

~~

~~-

-

1t

Cl

~c Cc vd

Cr

vd

Hl

~

z 11 1 0

A 10 4 6 3

2 11 ~ 1 0

3 5 s

4 fi io

J1 ampii 0 3 5 11 4 0



Mesure 1 2 3 415 6 7 8 9 10



Mesure 9 10

Voix pale IA SA

Accompt SA IA



~ ~ ~

88



Ici SA +3 179680

s(S 8 ) + 3 32111045



Mesure 31 32 33

SA x

xx x x x

IA x

xxx x x


Mesures 34-38 39-45 46-50 51-57


Voix pale 2 I





89














04-01 etc


r = 07 0111020008030410090605

90












Dougrave la



91



















92








A contiendra 0369















-par t2 [0124568910l


A contiendra 0 et 6




93









par t 5 [025 68 11)









f) Lensemble E



94



lA Card(Ai) Ai

lt2gt 6 A2= 02468 10

lt3gt 4 A3 = 0369

8 A4 = 013467910

3 A 5 = 048

lt4gt 6 A6 = 014589

9 A 7 = 0124568910

2 A8 =06J

4 A9 =0167 A1o = 0268

lt6gt 6 A11 = 0156711) A12 = 013679) A13 = 0146710)

8 A14 = 0 1256 7 811) A15 = 0245681011)

10 A1s = 01235678911)




Ces 7 modes sont




ze mode 013467910 ~ 10)

-~a ~ gtto o



95








~ e (o)6e mode 024S681011


7e mode 0123S678911l ~ L b lu d to ~8- ()8110

-e-bullO 1 o









96



9 noles

8 Mes

6 notts

4 notu

3 notes

2 notes




97






f Egtobelfo o o






3

2


() Voir Annexe

98


Encadreacute 32









99











100


Encadreacute 33






Mode demploi



AS C D E

101






V REcircVONS UN PEU



2 10 ffi = (i=Ol 9)










102


Encadreacute 34








Conseacutequences




Hn





b) Type zarlinien







a 013468)

b = 023568)

c = 023468

d = [013568]



104






s s 1 s 1 e e e 0 3 5

~

6 tict-camp

t

(0) tietCamp

(1)

luink ~





A B c D E F (A)

0 3 5 6 8 (0)



105


Quid du contrepoint







106


CODA






107















A B

f(A) f(B)

108



A B

g(B) g(A)

















A = [014589) ou A = [0347811



A = [012678) ou A = 0156711) ou A = [04561011)

109








lt8gt 3 aucun

lt2gt 6 (014589] et (0347 811]


lt3gt 4 (012678] (0156711] et (04561011J

lt6gt 2


jo 1 2 3 4







Remarques




110








lt3gt 4 aucun


lt4gt 3 [014589) et [0347811]










Ill






Valeurs dei

paires


(pas densemble A)

1 2 3 4 5 6

0 ou ou ou ou ou 11 10 9 8 7

3 1 4 5 6 7

0 ou ou ou ou ou 2 11 10 9 8

5 1 2 6 7 8

0 ou ou ou ou ou 4 3 11 10 9

7 1 2 3 8 9

0 ou ou ou ou ou 6 5 4 11 10

9 1 2 3 4 10

0 ou ou ou ou ou 8 7 6 5 11

11 1 2 3 4 5

0 ou ou ou ou 0 u 10 9 8 7 6





112





Remarques















113




icirc III IV v VI

210 39 48 57

310 49 58 67

2 02 17 311 410 59 1 68

3 03 12 411 510 69 78

4 04 28 13 511 610 79

P= 05 14 23 611 710 89 -----middot------shy

06 39 15 24 711 810

7 07 16 25 34 811 910

8 08 410 17 26 35 911

9 09 18 27 36 45 1011

10 010 511 19 28 37 46

11 011 110 29 38 47 56





A = Lj(A) = Lj(A)




114




















115




t 6(A) = B(C) 3j E [1357911] B


(C) t6(A) = B 3jE[l357911j tj( A) = t6(A)


(C) t 6(A) = B 3kE[l357911] tk(-A) =A





01] 211 310 49] 58] 67]



2 11 J 58

310] [49



116






4 ou 8 aucun


26 ou 10 15 ou 9 0347811)

37 ou 11 0 1 45 89)

1 ou 7 0456 1011 J

3 ou 9 3 ou 9 0156711)

5 ou 11 0 1267 8)

1 25) 34)

07)U ou u ou 811) 910)

3 18) 45)

09)U ou u ou 27) 1011)

6

5 110) 29)

011) u ou u ou 47) 38)

7 211) 3 10)

01)U ou u ou 58) 49)

9 12) 411)

03)U ou u ou 78) 510)

11 14) 23)

05)U ou u ou 7 10) 89)



117


PORTRAIT DE FAMILLE










R

T

R



0246810 (gamme par tons) 014589 0347811 045610 11 0156711 012678

118


--

ET HORIZONTALEMENT



3e total S 1

rA B 1



1 --~ 3 ~4 ~ 5 6




s = 10463592178110


t 5(-S) = 71112083410965


217 81105691043


119


POUR FINIR







120







B) La _12 f 15 l = 1758f 8 8 2



ENCADREacute 15







ENCADREacute 22



_12_) 48

121



X 1 Xp = AC I (1 2_) p= 1 p= 1 48

24 soit X = AC (24 I p) = AC (24 - 2425)

48 p= 1 248

71ACou enfin X 4







p




AB (p2 - 95p + 3456) 3456


p2 95p + 3456 = 1 + 2 -----4_7_-__P ___ 2ep+ 1 p - 93p + 3362 p2 93p + 3362


AB-x1 95+3456


47y = f(x) = 1 + 2 - x x2 93x+ 3362

122



f(1) = 102813 f(23) = 102830 f(13) = 102928 f(14) = 102925



NON MAIS PRESQUE

ENCADREacute24



ENCADREacute 25






123







p 121

124














125












126



Preacuteambule

1) Introduction






8) Crible


11) Conclusion




[Bun ting]

127


PREacuteAMBULE








1 Introduction




1





128















7


3




129



219









Deacutemonstration






130





3) Commas




1) a t 1


Remarques








Deacutemonstration



11





131





on a rn n+1 a+1

~ ~ n n a

ou encore

Log rn ~ Log a+ n a











le scheacutema






1

132


Deacutemonstration


soit r 11 gtl


xn+OYn


lt 1

dougrave Log

lt 1 Log rn


soit encore agrave






Deacutemonsru1ion



Log rngt Log ri



133



1 Log r [2 + r 2

dougrave




















134




n





Theacuteoregraveme


Remarque


toujours p q gt 1

Deacutemonstration





h(xy) E (xnyn)Z



hx = fxn hy = fyn



f = hk




135















Or on a

dougrave

Si n est impair



(- 1)ll





F = lt23gt

136





paragraphe 4)



n = 1

z 22relation =1

3freacutequence


z 0 1 1 2

3freacutequence 2 2


z 0123 45


Remarque





137



4z 0 1 2 6 7 8 10 Il 123 5 9

28 32 25 34 22 36 27 2433 353 - -freacutequence 1 - - - - 223 26 2935 33 34 24 32 273 2







est faux


138


8 12 PYTHAGORE 2 = 122 =193 = 135 shy 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 28

35

32

23

25

33

34

22

3

36

29 3-2

27

33

~ 24

l r 27

2 29

35

32

22

26

33 ~ 25

23

3

36

28 3

20 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 33 34 35 36 37 38 39

28 1 33 34 23

25

l 35 62

22 210

35

32

2

27

33

34

~ 2

1

3

36

27 1 923 ~

33

22

26

32

35

25 23

211

35 32 28

33

60484o 41 42 44 46 49 54 56 5843 45 47 50 51 52 53 55 57 59



-- --

0


0 1 4 202 6 8 1810 11 14 163 11 13 15 1975 179

210312 227 216 314 224 31628 319 232 213 311 2292232 3425 39 c__i_ 77 222219 211 230 n320 225 313-w 23 nshy 33 ~ 7~ ~ 73

-~-



21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

318

78 218

311 1 2

-~

G

313

220

226

~ 27

ii egrave

h

_t 212

320

TI 215

7 ~ 2

=shy

A ~

315

223

223

7iuml 24

32

nPgt

310

--5 231

~ 212

middot3 7

35

27

B

317 220

~1- AltC


--


0 1 2 43 65

265 246 227 28 319

329 37

211 230317 35

=

fiT D~-nl_J~

DEGREumlS

Holder)

18 19 20 21 22 23 24 25

34 259 240 221 l L 248 229

26 337 l5 313 3 217 ~ ~ = =

E F

26

210

7

IMA

36

_t_ 212

t

37

253

333

38

234

~

39

215

39

tshy

40

33

~ =

A

~

41

~ 223

42

242

b

7

235

322

43

223

~

265]il = 5312 = 843

8

216

310

44

24

32

Bj

~

9

32

23

~

D lU

27

36

29

Fitshy

ts-

45

~ 215

10

262

339

28

256

335

46

322

~

11

243

327

29

237

323

47

231

319

12

224

315

30

218

311

48

231

37

13

25

33

Eigt ~~

L

31

l 2

=-= G

Mlt

49

r 27

B A-lt

14

39

~

32

~ 220

50

317

~

15

251

332

33

245

328

51

239

284 53= 1 3

16 17

232 213

320 7

34 35

226

~ =

bgt

152 53

220 2

312

=

c olo


6 Gammes de Zarlino



22 23 322 3 3x5 23 x3 24 x5 34 x52

310 x 516 254 x 52 362 ---etc

253 337 217 x 535



Theacuteoregraveme

1) Posons

x a

y 3 3 ax + 3y + Yz

z



a a


c

Deacutemonstration






Exemples


142


-- -- --






22 1) r = 3

r 5 22

2x5 32

24 3x5 23x 3

s 2 2 2 _1_ 22

24x 5 5~ 2

2) r

24 52 342x55r -22 32 3x5 23x 3 24x5

3 3 3 5 3s - - - - -222 2 2 2

r 5 2x5 24 52 34 - -shy -shy22 y 3x5 23x3 24x 5

s 32 32 32 25 32 - - - -shy -23 23 23 32 23

143


-- --

-- --

4) r

52 5624 342x55r -22 32 23 x 3 24x 5 26x 353x5

24 3428 28 28 34 - - -s 25 35 35 24x524x 5 3x5



z 0 2


2

32 52 1


z 0 2 3 4

freacutequences 3 2

2

( 28


z 0 1 2 3 4 5 7 8 106 9



z 0 2 3 4 5 6


-shy24x 5 35 32 23 27 x 5 33

7 8 9

5 34 26x5 22 26 35


144


-- -- -- -- --

-- --- -- --- -- -- -- --

-- -- -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --

10 12 14 1511 13 16 17 18 19

22 3533 36 27 3323x5 28 x 5 3 -29 33 24 363 22x 5 2 25x 5 34 +

20 21 22 23 24


dite

7z 2 4 8 91 3 5 60


10 11 12

2





26 x 35 24 x 5

z 4 5 70 1 2 3 6 8 9


10 12 14 15 17 18 1911 13 16

27 2452 2322x 32 3 5 3x5 24x 3 252 24 32 23 523 x 522 5 3


145


312 340 ZARLI NO ~01219 1 2 bull 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

14 15

1 24

35 l ~

2_]_ 5

2 22

22 3

2- 232

3 2

23 5

2 3

_3_2

5 3x5-J 2

25 35 1

1

~

2 2

3 ~

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 2

23 3

5x3 2

il 3 24

5 ~

3 _d

5 35 7

22 52 23

32 2

23 3 5 5

24 3

Li 3

23 2 2

4o 41 42 1 4332 34 38 3933 35 36 37 11

25__2 2232 52 25 253hll6 23 ~32 2 5 2 3-5shy 3zz 3 352 1 7 1 ~44 45 46 47

22 2

33 2

23 l-5shy 35

48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60

24 8 3

2l u_ 5 2

25

26 3

532 -2shy 233 52 33 2432

5 235 25








2 23 7 25 5 37 2232 ---

5 2332 27 225 57

26 34 5232 25352 - -- -----etc 74327 24 5 257





Theacuteoregraveme

1) Posons 1x a a a

y (3 (3 (3 ax + (3y + 111

Z + ot z

Il

t 0 o o



a a a a

b (3 (3 (3 aa + (3b + 111

C + od plusmn1 c

d 0 o o


t47




Nous avons

x -19 -4 -5 y

z

12

0

4

-1

2

2 12x + 19y + 28z + 34t

t 0 0 -1



148


--

~tZ 4 2 1

J = 3 3 5 = 1ZARLINO BIS 29- 1 1 257shy24 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15

1 35

27 f3 7

u 5

_L_ 22

22 3

7 5

]_ 2

23 5

2 3

1_ 22 ~23

2 35 7

32

22 7 3

24 26 2821 22 2518 20 23 27 29 30 3116 1917

23 Jd_ 2~ 724 242 ~ 77 2 7i3 22hlu 232 53 -3shy23 35 gt25 52 5

42 1 43 44 46 474138 4534 3632 33 35 37 1 39 40

ii1

25 1_2 52 37 532 rhl 1226 3223 27 357 32 23322 T 27

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

24 _____ 3

232 237 3

22 5 37 532

2 23 52 33 middot7

235 25

1gtshyD


8) Crible



n 12 Log x x Log 2


hx) 1 (xnx)

1

2

3

4

5

(l 0)

(2 12)

( ~ 7) (319)

(i 5) (424)


c~ 4) ci-9) lt ~ 16) (528)

-shy

6

8

9

( ~ 3) (631 )

------shy


( ~ 2) ( ~ 10) ( ~ 14) ( i 26) (938)

10

12

15

( l~ 2) ( 13deg 21 ) ( 1040)

( 1ff 15) (1243)

( 1f 11) ( 15 23) ( 15 35) (1547)

150


96 56 3616 ( ~~ 1) ( 1 10) ( 1 20) ( 1 29) (1648)

18 ( 158 22) (1850)

20 ( 2~ 14) ( 23deg 33) (2052)

etc



Theacuteoregraveme


Deacutemonstration







2) h(~) = h(L) y x

3 ) h( ~) ~ h( ~) h( ~)



h(rr) ~ h(r)h(r)

avec ret rEQ+


151










Deacutemonstration








majeure tierce

majeure tierce

mineure sixte

mineure quarte

augment





152


1 2



16 49 6 5 25 3 8 5 9 15-5rf5 58 3 rs T T 5

T







do maj 1 9 8

5 4

4 3

3 2

5 3

15 8 2

sol maj 1 9 8

5 4

45 32

3 2

27 16

15 8 2

fa maj 1 10 9

5 4

4 3

3 2

5 3

16 9 2

reacute maj 135 64

9 8

81 64

45 32

3 2

27 16

15 8




~= 153





semi-tonale do

mi

sol la do

tonale do

sol










11) Conclusion





154


12) Exercices

Paragraphes 3 et 4







53 328 255 27 519 38

Paragraphe 7


21 28 36 49 20 27 35 48




25 345 6 7 9 4567 3326



35 245 257




155





Paragraphe 9





k+k gtnet k=t-k


h h+h k k+k


J h = h+h

l k = k+k


kh - hk = 1






156


Sujets deacutetude

Paragraphe 3


Paragraphe 5












Paragraphe 8


Paragraphe 10




Paragraphe 11


157























158









p p p p p

p p p p p p

41 41 44 38 38 27 31 14 84 68 73 72 27

31 38 34 33 49

74 15 60 86 84 30

p 52-131 p 73 p 33 p 20


63 46 33 33 14 60 52 32 72 73

p 151 p 154 p 86 p 63 p 33

p 16-50 p 45 p 66









octave p 16


159






p p p p p

p p

p 18-71 p 18-71

33 84 29 12 26

33 33

p p p

p p p p p

p p p p p p p p p p

69 69 56

78 69 77 78 33

15 52 71 63 71 86 33 51 71 12



unisson



p 33 p 63 p 73 p 63 p 63 p 52

p 44 p 52 p 44 p 44 p 27 p 34

p 42-71 p 12

p 26-43-44 p 69 p 63

p 40-63

p 91 p 33

p 14

p 64

p 42

160










p 54 p 25 p 19 p 19 p 27

p 75 p 103 p 86 p 142 p 49 p 100

p 128-150 p 127

p 102 p 17 p 85

p 129-154 p 56 p 44

p 12 p 55

p 102 p 129

p 156 p 154 p 47 p 12 p 75 p 49

p 18 p 81 p 59 p 28

p 128-152 p 36 p 46 p 44

Janko p 137-138











161


BROCHURES DE LAPMEP







8 Mots 1974 100 p

9 Elem-Math 1 1975 56 p


11 Mots II 1975 108 p



15 Mots III 1976 136 p









162


25 Mots IY- 1978 152 p









37 Mots V 1980 114 p













163












164


INTRODUCTION









7



Etc etc









8






9




















10




PASCAL

11


I LE SON








bull





12


Encadreacute 1

Avec trois trous

Majeur ndex


OTrou ouvert

fondamental

bull bull 0

secte eshy

2 +1 1 Qg

0

l bull

l l lr l f e

-e-1~ ocirc0 0

Q


1 1




2 $ q6- o~middot~




13


II LES INTERVALLES


f f(ft fz) R (f3 fJ = ~ = _1_






J = [Ik kER

lk = [(f kf) fER

Remarques






kf = f + Ik



f kf

14





Encadreacute 2







15


III LES NOTES


f f f (pEN) 2 4 2P


f 1 G f2 ~(3 n E Z f 2 = 211 bull f 1)











16



Encadreacute 3

Vrai ou Faux





17










_ - - - - -- octave - - - - shy



Encadreacute 4

Pythagore


18








4 x l_ x l_ = 9) 2 2


octave

~----- 1116

19







f2n = 1_2_) n et f 2n + 1 = 1_ X 1_2_) n 8 2 8




3 f 3 - n Sl - fn lt 2f 2 2

l_fn 2 si 1_ fn 2f 2 2








20














(1- 8) $ [1 2 [ Dougrave 1 8 = 1 - +Un 1






21






n 8

5 005078125

7 006787109

12 001364326

41 001139745

53 000209031

306 000102172

359 000106645

665 000004366

15601 000001819





ft + ---~------

fz +-----------shy

rs +

22




et 1 r2 = 1 1middot




r 5 = 2

~ L~

Nous avons donc

logD2) = 0 +-shy1 +_____

1 +-------------------shy

2 +--------shy

2 +------shy3 + _____

1 +


11 12 35 712 2441 3153

23




n 57124153










24


Encadreacute 5



KAYPIPAS



l ) oooo

icirc~~i~ 8

25



243 f et fs 729 ffs 128 512


12_ 11 amp_ _h _h = 1_ (A)23fo fz f4 fl f3

28_h ~ (C)35fs fs


fa fi ~ ~ ~ ~ Ps (2~) A A A c A A c







5 lydien

4 hypophrygien

3 phrygien

2 hypodorien

1 dorien


26


Encadreacute 6












T (+) bull F T






27


Encadreacute 7






bull bull ----

FA-mu-li bJ- ~-um


Sallc-U lo-haVl-IIU






28


Encadreacute 8












29


Exemple












i) bull1

Reacute3 Igto-1





Exemple

30









A c A A c A A





1 98 81 -64

43 32

---shy

1 2716

1 243128

1


31





28

se

Do

D







(Suite page 38)

32


Encadreacute 9



~OTE ~---------t-------S-J_L_EN_C_E_______-i


VALEUR) 1 1 EN) --+----i---------1













33


Encadreacute 10












34


r Encadreacute 11







T LA SIE











Exemple



35


Encadreacute 12




36









37







~ D ~ c reg DoR~b

~c gtlt


quences

122187 256 = 3 = (1_) 12

21 (environ 235 cents) 2192048 243 2




n = 41


38



p p Qp p

----o c~



a) D - 3 P = 3 C - 2 D

b) C - 2 P = 3 C - 2 D




)219


329



n = 53 1



8P p p p

-- ~ p p



219) 265



39


V LA TRANSPOSITION









i Reacute

A i tli

A c 0 i

Sol A

j La

A i

Si A c

acirc) (Reacute)


40









Remarques








41








MiT t r




4 2 4

Do t1i SoT t





42




Do T Mi t Sol

T t















Reacute La Si Jo) B

A A A A Zadino

43







9uint








44


Encadreacute 13



f j_f 81 f i_f l_f 27 f ~f (2f) 8 64 3 2 16 128






f JLf 8

2_f 4

i_f 3

]__f2

2f 3

~f 8

(2f)







45






Pythashygo re 0 +4 +8 +2 +2 +6 + 10

Zarlino 0 +4 -14 +2 +2 -16 -12









(Suite page 49)

46


bull bull

Encadreacute 14

Le Monocorde




Partie gauche

c s A



47


Encadreacute 15













48





Encadreacute 16



Exemple


rshy - rshy PROFiL



49


Encadreacute 17







50


HAUT

chevaet

Encadreacute 18



doigt

ti_-_cor_Je __ ~_---------P-~_


660 623 588 555 524 495 467 441 416 393 371 350 330 311 293 277 262 247 233 220





51





(1 + 8)n

do d0 d08 D ou Xn-1 = --- =---=d08 (1 +8) n

(1+8)n~1 (1+8)n (1+8)n


Encadreacute 19

Quelques commas










52


Encadreacute 20





53


Encadreacute 21





- 1que AC - - AB 36









54


Encadreacute 22



00 02 04 06 08 10 et 01 03 05 07 09 11





55


Encadreacute 23







56


2 NOTRE



A DUMAS


57


I NOTATION





00 01 02 09 10 11



n Do

300 301 30l 3D3 30t 305 306 30J 301 ~10 3fl (Ut)







58




Longueur 124 117 110 107 101 95 90 88 83 78 76 72 68 64 62 en mm





59

















60






















61




~____y ~~~ A A ( A













62





300 302 304- 305 301 311 (~00)






Note -----middot

Codage






Note de Do majeur 00 02 04 05 07 09 11



06 08 01 et 03

63





u9





V

64


Encadreacute 26

Musique agrave Bali










65





PORTRAIT DE FAMILLE












66


Encadreacute 27




Fl Sol~ Laitmiddot

Fa reg

5ol e

La 9



Note Fa Sol La Do 1

Reacute


1 22112 24112 27112 1i

29112


1 1122 1259 1498 1

i 1682





1

1

98

1 125

8164

1266

32

1500

2716

1687





67




209 21-t 300 302 304- 305 (309)



111 300 301 301t 305 soa (309)













ED

68














mmeure

majeure


~-

APM

AP mineur


---middot~



69

















70
















IumlJ 1 bullUcade 1

tierct q~~t-

qui l tc sixte

~Ptl~ e oc cave

1 bull 1


Tonalite YWjeU(C

Toalite Wfe

71


X









CONCLUSION



72





JS BACH



73








gIcirc03 oz 01

4~~ 10 03ol

JQ~

II TRANSPOSITION





(it)


74















75

















76



III RENVERSEMENT





400 ~--~ 202 403 --- 111 407 --- 107 408 -- 106 311 - 203

etc



H o1 B ot

200 tf to

oJ

t-0

77


Remarques



IV REacuteCURRENCE



ltOO 11 3 oS

3or




1

1 1 1


~lt t bull tbull

l 1~C o


Remarques


78




0

e

e e

A

A

B

B

c c

A A e c B

B B c e A

c c B A e







Son

Codage


79







Codage 30 31 32 33 34


34-34-32-32-32-32-30-30-31-32-33-32-31-30



Codage 30 31 32 33 34






80


Encadreacute 29











400 __ 305


81



56 pages- 21 x 295







(D Guy)

82


4 APERCcedilUS




83









84


Encadreacute 30



NOTE 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Total

B 129 19 121 15 162 90 41 86 50 149 14 123 999

Ch 95 32 146 106 47 64 54 130 66 76 145 37 998


15

10 __ Bach

- - Chopin 5





85












86


Encadreacute 31














87


Hlb

CA

cl

Bs

Id p~l

3

r 1tU~ ___

------ 9lti-=

p=-

p~ ~- --


p=t ~ -=gt ltgt

k-

f

~~

~~-

-

1t

Cl

~c Cc vd

Cr

vd

Hl

~

z 11 1 0

A 10 4 6 3

2 11 ~ 1 0

3 5 s

4 fi io

J1 ampii 0 3 5 11 4 0



Mesure 1 2 3 415 6 7 8 9 10



Mesure 9 10

Voix pale IA SA

Accompt SA IA



~ ~ ~

88



Ici SA +3 179680

s(S 8 ) + 3 32111045



Mesure 31 32 33

SA x

xx x x x

IA x

xxx x x


Mesures 34-38 39-45 46-50 51-57


Voix pale 2 I





89














04-01 etc


r = 07 0111020008030410090605

90












Dougrave la



91



















92








A contiendra 0369















-par t2 [0124568910l


A contiendra 0 et 6




93









par t 5 [025 68 11)









f) Lensemble E



94



lA Card(Ai) Ai

lt2gt 6 A2= 02468 10

lt3gt 4 A3 = 0369

8 A4 = 013467910

3 A 5 = 048

lt4gt 6 A6 = 014589

9 A 7 = 0124568910

2 A8 =06J

4 A9 =0167 A1o = 0268

lt6gt 6 A11 = 0156711) A12 = 013679) A13 = 0146710)

8 A14 = 0 1256 7 811) A15 = 0245681011)

10 A1s = 01235678911)




Ces 7 modes sont




ze mode 013467910 ~ 10)

-~a ~ gtto o



95








~ e (o)6e mode 024S681011


7e mode 0123S678911l ~ L b lu d to ~8- ()8110

-e-bullO 1 o









96



9 noles

8 Mes

6 notts

4 notu

3 notes

2 notes




97






f Egtobelfo o o






3

2


() Voir Annexe

98


Encadreacute 32









99











100


Encadreacute 33






Mode demploi



AS C D E

101






V REcircVONS UN PEU



2 10 ffi = (i=Ol 9)










102


Encadreacute 34








Conseacutequences




Hn





b) Type zarlinien







a 013468)

b = 023568)

c = 023468

d = [013568]



104






s s 1 s 1 e e e 0 3 5

~

6 tict-camp

t

(0) tietCamp

(1)

luink ~





A B c D E F (A)

0 3 5 6 8 (0)



105


Quid du contrepoint







106


CODA






107















A B

f(A) f(B)

108



A B

g(B) g(A)

















A = [014589) ou A = [0347811



A = [012678) ou A = 0156711) ou A = [04561011)

109








lt8gt 3 aucun

lt2gt 6 (014589] et (0347 811]


lt3gt 4 (012678] (0156711] et (04561011J

lt6gt 2


jo 1 2 3 4







Remarques




110








lt3gt 4 aucun


lt4gt 3 [014589) et [0347811]










Ill






Valeurs dei

paires


(pas densemble A)

1 2 3 4 5 6

0 ou ou ou ou ou 11 10 9 8 7

3 1 4 5 6 7

0 ou ou ou ou ou 2 11 10 9 8

5 1 2 6 7 8

0 ou ou ou ou ou 4 3 11 10 9

7 1 2 3 8 9

0 ou ou ou ou ou 6 5 4 11 10

9 1 2 3 4 10

0 ou ou ou ou ou 8 7 6 5 11

11 1 2 3 4 5

0 ou ou ou ou 0 u 10 9 8 7 6





112





Remarques















113




icirc III IV v VI

210 39 48 57

310 49 58 67

2 02 17 311 410 59 1 68

3 03 12 411 510 69 78

4 04 28 13 511 610 79

P= 05 14 23 611 710 89 -----middot------shy

06 39 15 24 711 810

7 07 16 25 34 811 910

8 08 410 17 26 35 911

9 09 18 27 36 45 1011

10 010 511 19 28 37 46

11 011 110 29 38 47 56





A = Lj(A) = Lj(A)




114




















115




t 6(A) = B(C) 3j E [1357911] B


(C) t6(A) = B 3jE[l357911j tj( A) = t6(A)


(C) t 6(A) = B 3kE[l357911] tk(-A) =A





01] 211 310 49] 58] 67]



2 11 J 58

310] [49



116






4 ou 8 aucun


26 ou 10 15 ou 9 0347811)

37 ou 11 0 1 45 89)

1 ou 7 0456 1011 J

3 ou 9 3 ou 9 0156711)

5 ou 11 0 1267 8)

1 25) 34)

07)U ou u ou 811) 910)

3 18) 45)

09)U ou u ou 27) 1011)

6

5 110) 29)

011) u ou u ou 47) 38)

7 211) 3 10)

01)U ou u ou 58) 49)

9 12) 411)

03)U ou u ou 78) 510)

11 14) 23)

05)U ou u ou 7 10) 89)



117


PORTRAIT DE FAMILLE










R

T

R



0246810 (gamme par tons) 014589 0347811 045610 11 0156711 012678

118


--

ET HORIZONTALEMENT



3e total S 1

rA B 1



1 --~ 3 ~4 ~ 5 6




s = 10463592178110


t 5(-S) = 71112083410965


217 81105691043


119


POUR FINIR







120







B) La _12 f 15 l = 1758f 8 8 2



ENCADREacute 15







ENCADREacute 22



_12_) 48

121



X 1 Xp = AC I (1 2_) p= 1 p= 1 48

24 soit X = AC (24 I p) = AC (24 - 2425)

48 p= 1 248

71ACou enfin X 4







p




AB (p2 - 95p + 3456) 3456


p2 95p + 3456 = 1 + 2 -----4_7_-__P ___ 2ep+ 1 p - 93p + 3362 p2 93p + 3362


AB-x1 95+3456


47y = f(x) = 1 + 2 - x x2 93x+ 3362

122



f(1) = 102813 f(23) = 102830 f(13) = 102928 f(14) = 102925



NON MAIS PRESQUE

ENCADREacute24



ENCADREacute 25






123







p 121

124














125












126



Preacuteambule

1) Introduction






8) Crible


11) Conclusion




[Bun ting]

127


PREacuteAMBULE








1 Introduction




1





128















7


3




129



219









Deacutemonstration






130





3) Commas




1) a t 1


Remarques








Deacutemonstration



11





131





on a rn n+1 a+1

~ ~ n n a

ou encore

Log rn ~ Log a+ n a











le scheacutema






1

132


Deacutemonstration


soit r 11 gtl


xn+OYn


lt 1

dougrave Log

lt 1 Log rn


soit encore agrave






Deacutemonsru1ion



Log rngt Log ri



133



1 Log r [2 + r 2

dougrave




















134




n





Theacuteoregraveme


Remarque


toujours p q gt 1

Deacutemonstration





h(xy) E (xnyn)Z



hx = fxn hy = fyn



f = hk




135















Or on a

dougrave

Si n est impair



(- 1)ll





F = lt23gt

136





paragraphe 4)



n = 1

z 22relation =1

3freacutequence


z 0 1 1 2

3freacutequence 2 2


z 0123 45


Remarque





137



4z 0 1 2 6 7 8 10 Il 123 5 9

28 32 25 34 22 36 27 2433 353 - -freacutequence 1 - - - - 223 26 2935 33 34 24 32 273 2







est faux


138


8 12 PYTHAGORE 2 = 122 =193 = 135 shy 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 28

35

32

23

25

33

34

22

3

36

29 3-2

27

33

~ 24

l r 27

2 29

35

32

22

26

33 ~ 25

23

3

36

28 3

20 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 32 33 34 35 36 37 38 39

28 1 33 34 23

25

l 35 62

22 210

35

32

2

27

33

34

~ 2

1

3

36

27 1 923 ~

33

22

26

32

35

25 23

211

35 32 28

33

60484o 41 42 44 46 49 54 56 5843 45 47 50 51 52 53 55 57 59



-- --

0


0 1 4 202 6 8 1810 11 14 163 11 13 15 1975 179

210312 227 216 314 224 31628 319 232 213 311 2292232 3425 39 c__i_ 77 222219 211 230 n320 225 313-w 23 nshy 33 ~ 7~ ~ 73

-~-



21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

318

78 218

311 1 2

-~

G

313

220

226

~ 27

ii egrave

h

_t 212

320

TI 215

7 ~ 2

=shy

A ~

315

223

223

7iuml 24

32

nPgt

310

--5 231

~ 212

middot3 7

35

27

B

317 220

~1- AltC


--


0 1 2 43 65

265 246 227 28 319

329 37

211 230317 35

=

fiT D~-nl_J~

DEGREumlS

Holder)

18 19 20 21 22 23 24 25

34 259 240 221 l L 248 229

26 337 l5 313 3 217 ~ ~ = =

E F

26

210

7

IMA

36

_t_ 212

t

37

253

333

38

234

~

39

215

39

tshy

40

33

~ =

A

~

41

~ 223

42

242

b

7

235

322

43

223

~

265]il = 5312 = 843

8

216

310

44

24

32

Bj

~

9

32

23

~

D lU

27

36

29

Fitshy

ts-

45

~ 215

10

262

339

28

256

335

46

322

~

11

243

327

29

237

323

47

231

319

12

224

315

30

218

311

48

231

37

13

25

33

Eigt ~~

L

31

l 2

=-= G

Mlt

49

r 27

B A-lt

14

39

~

32

~ 220

50

317

~

15

251

332

33

245

328

51

239

284 53= 1 3

16 17

232 213

320 7

34 35

226

~ =

bgt

152 53

220 2

312

=

c olo


6 Gammes de Zarlino



22 23 322 3 3x5 23 x3 24 x5 34 x52

310 x 516 254 x 52 362 ---etc

253 337 217 x 535



Theacuteoregraveme

1) Posons

x a

y 3 3 ax + 3y + Yz

z



a a


c

Deacutemonstration






Exemples


142


-- -- --






22 1) r = 3

r 5 22

2x5 32

24 3x5 23x 3

s 2 2 2 _1_ 22

24x 5 5~ 2

2) r

24 52 342x55r -22 32 3x5 23x 3 24x5

3 3 3 5 3s - - - - -222 2 2 2

r 5 2x5 24 52 34 - -shy -shy22 y 3x5 23x3 24x 5

s 32 32 32 25 32 - - - -shy -23 23 23 32 23

143


-- --

-- --

4) r

52 5624 342x55r -22 32 23 x 3 24x 5 26x 353x5

24 3428 28 28 34 - - -s 25 35 35 24x524x 5 3x5



z 0 2


2

32 52 1


z 0 2 3 4

freacutequences 3 2

2

( 28


z 0 1 2 3 4 5 7 8 106 9



z 0 2 3 4 5 6


-shy24x 5 35 32 23 27 x 5 33

7 8 9

5 34 26x5 22 26 35


144


-- -- -- -- --

-- --- -- --- -- -- -- --

-- -- -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --

10 12 14 1511 13 16 17 18 19

22 3533 36 27 3323x5 28 x 5 3 -29 33 24 363 22x 5 2 25x 5 34 +

20 21 22 23 24


dite

7z 2 4 8 91 3 5 60


10 11 12

2





26 x 35 24 x 5

z 4 5 70 1 2 3 6 8 9


10 12 14 15 17 18 1911 13 16

27 2452 2322x 32 3 5 3x5 24x 3 252 24 32 23 523 x 522 5 3


145


312 340 ZARLI NO ~01219 1 2 bull 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

14 15

1 24

35 l ~

2_]_ 5

2 22

22 3

2- 232

3 2

23 5

2 3

_3_2

5 3x5-J 2

25 35 1

1

~

2 2

3 ~

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2 2

23 3

5x3 2

il 3 24

5 ~

3 _d

5 35 7

22 52 23

32 2

23 3 5 5

24 3

Li 3

23 2 2

4o 41 42 1 4332 34 38 3933 35 36 37 11

25__2 2232 52 25 253hll6 23 ~32 2 5 2 3-5shy 3zz 3 352 1 7 1 ~44 45 46 47

22 2

33 2

23 l-5shy 35

48 49 50 51 52 53 51 55 56 57 58 59 60

24 8 3

2l u_ 5 2

25

26 3

532 -2shy 233 52 33 2432

5 235 25








2 23 7 25 5 37 2232 ---

5 2332 27 225 57

26 34 5232 25352 - -- -----etc 74327 24 5 257





Theacuteoregraveme

1) Posons 1x a a a

y (3 (3 (3 ax + (3y + 111

Z + ot z

Il

t 0 o o



a a a a

b (3 (3 (3 aa + (3b + 111

C + od plusmn1 c

d 0 o o


t47




Nous avons

x -19 -4 -5 y

z

12

0

4

-1

2

2 12x + 19y + 28z + 34t

t 0 0 -1



148


--

~tZ 4 2 1

J = 3 3 5 = 1ZARLINO BIS 29- 1 1 257shy24 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15

1 35

27 f3 7

u 5

_L_ 22

22 3

7 5

]_ 2

23 5

2 3

1_ 22 ~23

2 35 7

32

22 7 3

24 26 2821 22 2518 20 23 27 29 30 3116 1917

23 Jd_ 2~ 724 242 ~ 77 2 7i3 22hlu 232 53 -3shy23 35 gt25 52 5

42 1 43 44 46 474138 4534 3632 33 35 37 1 39 40

ii1

25 1_2 52 37 532 rhl 1226 3223 27 357 32 23322 T 27

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

24 _____ 3

232 237 3

22 5 37 532

2 23 52 33 middot7

235 25

1gtshyD


8) Crible



n 12 Log x x Log 2


hx) 1 (xnx)

1

2

3

4

5

(l 0)

(2 12)

( ~ 7) (319)

(i 5) (424)


c~ 4) ci-9) lt ~ 16) (528)

-shy

6

8

9

( ~ 3) (631 )

------shy


( ~ 2) ( ~ 10) ( ~ 14) ( i 26) (938)

10

12

15

( l~ 2) ( 13deg 21 ) ( 1040)

( 1ff 15) (1243)

( 1f 11) ( 15 23) ( 15 35) (1547)

150


96 56 3616 ( ~~ 1) ( 1 10) ( 1 20) ( 1 29) (1648)

18 ( 158 22) (1850)

20 ( 2~ 14) ( 23deg 33) (2052)

etc



Theacuteoregraveme


Deacutemonstration







2) h(~) = h(L) y x

3 ) h( ~) ~ h( ~) h( ~)



h(rr) ~ h(r)h(r)

avec ret rEQ+


151










Deacutemonstration








majeure tierce

majeure tierce

mineure sixte

mineure quarte

augment





152


1 2



16 49 6 5 25 3 8 5 9 15-5rf5 58 3 rs T T 5

T







do maj 1 9 8

5 4

4 3

3 2

5 3

15 8 2

sol maj 1 9 8

5 4

45 32

3 2

27 16

15 8 2

fa maj 1 10 9

5 4

4 3

3 2

5 3

16 9 2

reacute maj 135 64

9 8

81 64

45 32

3 2

27 16

15 8




~= 153





semi-tonale do

mi

sol la do

tonale do

sol










11) Conclusion





154


12) Exercices

Paragraphes 3 et 4







53 328 255 27 519 38

Paragraphe 7


21 28 36 49 20 27 35 48




25 345 6 7 9 4567 3326



35 245 257




155





Paragraphe 9





k+k gtnet k=t-k


h h+h k k+k


J h = h+h

l k = k+k


kh - hk = 1






156


Sujets deacutetude

Paragraphe 3


Paragraphe 5












Paragraphe 8


Paragraphe 10




Paragraphe 11


157























158









p p p p p

p p p p p p

41 41 44 38 38 27 31 14 84 68 73 72 27

31 38 34 33 49

74 15 60 86 84 30

p 52-131 p 73 p 33 p 20


63 46 33 33 14 60 52 32 72 73

p 151 p 154 p 86 p 63 p 33

p 16-50 p 45 p 66









octave p 16


159






p p p p p

p p

p 18-71 p 18-71

33 84 29 12 26

33 33

p p p

p p p p p

p p p p p p p p p p

69 69 56

78 69 77 78 33

15 52 71 63 71 86 33 51 71 12



unisson



p 33 p 63 p 73 p 63 p 63 p 52

p 44 p 52 p 44 p 44 p 27 p 34

p 42-71 p 12

p 26-43-44 p 69 p 63

p 40-63

p 91 p 33

p 14

p 64

p 42

160










p 54 p 25 p 19 p 19 p 27

p 75 p 103 p 86 p 142 p 49 p 100

p 128-150 p 127

p 102 p 17 p 85

p 129-154 p 56 p 44

p 12 p 55

p 102 p 129

p 156 p 154 p 47 p 12 p 75 p 49

p 18 p 81 p 59 p 28

p 128-152 p 36 p 46 p 44

Janko p 137-138











161


BROCHURES DE LAPMEP







8 Mots 1974 100 p

9 Elem-Math 1 1975 56 p


11 Mots II 1975 108 p



15 Mots III 1976 136 p









162


25 Mots IY- 1978 152 p









37 Mots V 1980 114 p













163












164


Bernard P ARZYSZ

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