BE RBF Rapport TEFFAH Cartier Michaud

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Cartier-Michaud Thomas Teffah Zakaria

Introduction aux fonctions de base radiale

Encadrant : Christophe Rabut

4me anne GMM Juin 2010

SommaireIntroduction ............................................................................................................................................. 3 1. Prsentation des fonctions de base radiale :...................................................................................... 3 1.1. Dfinitions des systmes rsoudre : ......................................................................................... 3 1.2. Champ d'applications : la Science................................................................................................ 6 2. Principaux thormes et caractristiques : ......................................................................................... 9 2.1. Unisolvance .................................................................................................................................. 9 2.2. Convergence : ............................................................................................................................... 9 2.3. Conditionnement du systme .................................................................................................... 10 3. Illustrations de fonction base radiale : ........................................................................................... 12 4. Algorithmes de rsolution : ............................................................................................................... 18 1) BFGP algorithm (Beaston Faul Goodsell Powell) ........................................................................... 18 2) mthode Multipole adapte aux RBF :.......................................................................................... 18 3) Pr conditionnement :................................................................................................................... 19 Conclusion ............................................................................................................................................. 20 Bibliographie :........................................................................................................................................ 21

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IntroductionDans ce rapport nous allons essayer de rassembler les principaux rsultats concernant les bases de fonctions radiales ainsi qu'une liste de bases. Cela a pour but de donner rapidement les outils ncessaires une premire mise en application en particulier grce des illustrations et intuitions.

1. Prsentation des fonctions de base radiale :1.1. Dfinitions des systmes rsoudre :Une fonction radiale est une fonction qui va de R dans R. Elle est utilise pour des espaces | | : . Grce une combinaison de toute dimension en la composant avec une norme : linaire de ses translates, il est possible dinterpoler ou approximer un ensemble de donnes. Linterpolant a alors la forme :2 ( X ) = J j X X j + pk 1 ( X ) j =1: p k 1 , j p ( X j ) = 0 j =1: J

(

)

Dans ce systme apparait les J points donns ainsi quun polynme de degr k. Pour 1 cela permet dassurer que le systme sera capable de reconnaitre une droite, en fait on donne au systme la possibilit de reconnaitre exactement toutes donnes non bruites qui seraient extraites dun polynme de degr k. On peut aussi voir lintroduction du polynme comme lutilisation dune base dun autre type pour augmenter le pouvoir interpolant du systme. Par exemple nous avons pu voir cette anne en mcanique des structures, en particulier lors de ltude de la rupture, que localement pour approximer une grande irrgularit due une fissure, lutilisation dune seconde base apporte un gain non ngligeable.

Interpolation : On veut interpoler les donnes Soit,

= 1, , . On choisit souvent la norme 2.( ) , ( , ) [0, ]

= (

),

,

=

Sur une ligne on retrouve lvaluation dun point donn par toutes les fonctions radiales. Tandis que sur une colonne on retrouve lvaluation dune fonction pour tout le jeu de donnes. Cette vision de la chose est importante pour comprendre comment on peut amliorer le conditionnement du systme. Le systme dinterpolation scrit alors :

3

0

=

0

Il y a ici n+k quations et n+k inconnues, n donnes du problme et les k coefficients du polynme dordre k-1. Il existe un ensemble de rsultats qui assurent lexistence et lunicit de la solution, nous les dtaillerons au chapitre suivant.

Approximation par les moindres carrs : On veut maintenant approximer N donnes ( , ) = 1, , , sur n nuds pour = 1, , . Le systme fait appel une minimisation mise en place par la mthode des moindres carrs. Soit ( , ) [1, ] ; ( , ) [1, ],

=,

=1

(||

(|| ( =

||) (|| ||) ( ) _( ( ) (|| ( )

)

||)

=,

=1

=

=1 ,

)

=

=1

||)

= On forme alors le systme : (

=1

0

0) ( ) = ( ) 0 0

Il y a ici n+2*k quations et n+2*k inconnues le systme est carr. Les inconnues sont : les n coefficients des n nuds choisis pour centrer nos fonctions radiales plus k coefficients qui interviennent dans la minimisation de lerreur et enfin les k coefficients du polynme dordre 1. Lapproximation peut tre utilise pour diminuer le nombre de donnes ncessaires pour reprsenter une fonction ou rgulariser des donnes en les filtrant. 4

Le choix des n nud est un paramtre important pour la qualit du rsultat. Deux approches sont habituellement utilises : - la premire consiste placer les n nuds en fonction de la rpartition des N donnes. On concentre alors plus de nuds l ou les donnes sont plus concentres, lide est que si linformation nest pas rparties uniformment sur le domaine, on cherche concentrer nos nuds la ou il y a le plus dinformation. Cependant il faut veiller garder une distance suffisante entre les nuds pour viter de se retrouver avec un systme numriquement singulier. - la seconde consiste placer les n nuds sur une grille cartsienne. On cherche alors repartir linformation de faon uniforme sur lensemble du domaine darrive de la fonction. Plus de thormes utilisent cette approche, la convergence et le conditionnement de tels systmes sont mieux documents. De plus, lalgorithme de rsolution peut tre optimis en tenant compte de la rpartition particulire des n nuds. Historiquement, partir des splines poly harmoniques, on a construit les splines plaques minces. Do lide des fonctions radiales est survenue.

5

1.2. Champ d'applications : la ScienceLa liste des applications des fonctions radiales est trs vaste. Cette diversit est lie leurs diffrentes caractristiques. Ces dernires se prsentent en leur dfinition sur des donnes de dimension quelconque et reparties de faons quelconque, comment faire plus gnral ? De plus, elles ont la proprit intressante de la variation diminue, ce qui leur permet de prsenter une grande rgularit. Il savre que les autre mthodes dinterpolation et dapproximation ont linconvnient dchouer totalement pour certains donnes (les scattered data : donnes parpilles) cause dun trs mauvais conditionnement du systme linaire rsoudre. Tandis que les fonctions radiales donnent de bons rsultats pour tout type de donnes et spcialement pour les donnes parpilles (par exemple track data voir figure en-dessous). Afin de toucher leur utilit dans la Science, nous allons prsenter quelques applications : 1. Traitement dimage : La reconstruction dimage partir de donnes, selon la faon de les recueillir, peut faire judicieusement appel aux fonctions de base radiale pour faire de linterpolation sil y a peut de donne et quelles ne sont pas bruite, ou de lapproximation. La reprsentation en images de synthse du corps humain fut une application importante. Ci-dessous deux images, la premire reprsente 27 000 points obtenue par le scanne dune main au laser, la seconde reprsente lapproximation de ses points au moyen de 2600 fonctions radiales. Le ratio de compression avoisine les 10 tout en ayant un excellent rsultat visuel.

2.

Ocanographie oprationnelles Afin de cartographier la surface du fond de locan et/ou prlever sa temprature, des bateaux quips de diffrents dtecteurs collectent plusieurs donnes. Ces dernires ont une forme spciale appele track data . Elles reprsentent les trajectoires de ces bateaux (voir image ci contre). Elles sont ingalement rparties dans lespace, trs serres6

dans une direction par rapport lautre, on a couramment un rapport de 100 entre les deux dimensions.

3.

Modlisation par rseau de neurones (Robotique) Les fonctions radiales sont omniprsentes dans ce domaine. Il est impossible de se renseigner sur le net sans tomber sur des rseaux de fonctions de base radiale ou rseaux de neurones artificiels. Leur grand avantage en ce qui concerne lapproximation de donnes multidimensionnelles et la taille des systmes que lon peut traiter. La constitution dun tel rseau passe par une tape appele situation dapprentissage , o le rseau de neurones cherche apprendre un comportement au moyen dun ensemble de donne et dune fonction quantifiant la qualit du comportement du rseau. Dans la robotique, approximer des donnes de photos prise par les yeux dun robot permet par exemple de dtecter des obstacles, notamment en tudiant linvariance dans les images approches par un tel rseau. On remarque que pour cette application les donnes sont de grande taille, les images utilises sont couramment de taille 1000x1000 pixels, ce qui reprsente un million de donne approcher.

4.

Rsolution dEDP et dEDO La rsolution par les fonctions radiales est particulirement intressante pour des problmes elliptiques non linaires en dimension 3 ou plus et dont la condition initiale est mal approche par les mthodes plus traditionn