Bases Regulateur PID

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Plan

Régulateur PID

Octobre 2010

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Plan

Plan

1 Mise en contexte

2 Actions proportionnelle, intégrale et dérivée

3 Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols

4 Quand utiliser un régulateur PI ou PID

5 Récapitulation

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Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée

Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID

Récapitulation

Motivation

Structure de régulateur la plus utilisée (95 pourcents desrégulateurs dans les procédés industriels)Développée initialement par des expériences; approche paressais et erreurs

P: action proportionnelle à l’erreur de réglage (la plus naturelle)I: action par intégration ; permet d’annuler l’erreur statique (pourune référence constante); dégrade généralement la réponsetransitoireD: action dérivée permet d’améliorer la réponse transitoiregrâceà l’effet d’anticipation

Fonction de transfert de base:

Dbf (p) = kp +kI

p+

kDppTf + 1

Pôle de filtrage introduit notamment pour rendre la fonctiondetransfert propre→ réalisable en pratique

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Récapitulation

Objectif

Comprendre le rôle des différentes actionsP, I et D

Introduire une méthode heuristique d’ajustement des paramètreskP, kI , kD et sensibiliser à ses limitations

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Récapitulation

Régulateur proportionnel (1)

Loi de réglage

u(t) = kP e(t) soit Dbf (p) =U(p)

E(p)= kP

kP gain proportionnel

Bande proportionnelle (proportionnal band):Pb

Définition: plage d’erreur dans laquelleumin ≤ u(t) ≤ umax

ou encoreumax − umin = kPPb

Si l’on considèreumax − umin = 100%, alors

kP =100Pb

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Récapitulation

Régulateur proportionnel (2)

Effet dans une rétroaction unitaire sur un système du 1er ordre ?Effet dans une rétroaction unitaire sur un système du 2e ordre

Système régléG(p) = bp2+a1p+a2

Fonction de transfert de la boucle fermée :T (p) = b kPp2+a1p+a2+kPb

Possibilité de modifier la pulsation naturelle du système mais passon facteur d’amortissementSystème de type 0→ erreur statique d’autant plus faible quekP

grandAugmentation de la fréquence naturelle mène à diminution del’amortissement (cfa1 = 2ζωn constant)

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Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)

Loi de réglage

u(t) = kPe(t) + kI

∫ t

0e(τ)dτ

Fonction de transfert du régulateur

Dbf (p) =U(p)

E(p)= kP +

kI

p

Boucle fermée obtenue pour un système réglé du premier ordreSystème réglé:Y(p) = K

1+pτ(U(p) + W(p))

Régulateur :U(p) = kP(R(p) − Y(p)) + kIp (R(p) − Y(p))

Boucle fermée :

Y(p) =K(kPp + kI)

τp2 + (KkP + 1)p + KkIR(p)+

Kpτp2 + (KkP + 1)p + KkI

W(p)

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Récapitulation


Boucle fermée obtenue pour un système réglé du premier ordre(suite)

Possibilité de choisirkP etkI pour obtenir des pôles complexesconjugués avec la pulsation naturelle et l’amortissement requis:ωn =

√

KkI/τ et ζ = KkP+12τωn

Noter le zéro à l’origine au numérateur de la fonction de transfertentreW(p) etY(p) et le gain statique unitaire de la fonction detransfert entreY(p) et R(p) → erreur statique nulle vis-à-visd’une référence constante et pour une perturbation constanteSystème de type 1 vis-à-vis de la référence et de la perturbation(noter l’action par intégration en amont de la perturbation)

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Récapitulation


Boucle fermée obtenue pour un système réglé du deuxième ordre

Système réglé:Y(p) = bp2+a1p+a2

(U(p) + W(p))Equation caractéristique du système en boucle fermée

1 + Dbf (p)G(p) = 1 +kPp + kI

pb

p2 + a1p + a2= 0

soitp3 + a1p2 + (a2 + kPb)p + bkI = 0

Possibilité de fixer deux coefficients sur troisMêmes propriétés de précision que dans le cas du système dupremier ordre (à démontrer comme exercice)

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Récapitulation

Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)

Action dérivée proportionnelle à la pente de l’erreure(t) (action anticipative)

Loi de réglage

u(t) = kPe(t) + kI

∫ t

t0

e(τ )dτ + kDde(t)

dt

Fonction de transfert du régulateur

Dbf (p) =U(p)

E(p)= kP +

kI

p+ kDp

Donne une réponse brusque lors d’un changement abrupt de référence→souvent utile de placer l’action dérivée dans la rétroaction

u(t) = kPe(t) + kI

∫ t

0e(τ )dτ − kD

dy(t)dt

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Récapitulation


Figure:Schémas fonctionnels sans ou avec dérivée de la référence [Franklinet al., 2010]

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Récapitulation


Système réglé:Y(p) = bp2+a1p+a2

(U(p) + W(p))

Boucle fermée dans le cas où l’action dérivée porte sure(t)

Y(p) =b(p2kD + pkP + kI)

DEN(p)R(p) +

bpDEN(p)

W(p)

où DEN(p) = p3 + (a1 + bkD)p2 + (a2 + bkP)p + bkI

Possibilité d’assigner arbitrairement les 3 racines deDEN(p) parchoix dekP, kI et kD

Boucle fermée dans le cas où l’action dérivée porte sury(t)

Y(p) =b(pkP + kI)

DEN(p)R(p) +

bpDEN(p)

W(p)

Propriétés de précision similaires au régulateur PI14 / 35

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Récapitulation


Rôle du pôle de filtrageAssure que le régulateur soit réalisableEvite l’amplification du bruit de mesureConsidéronsv(t) = α sinωOtContribution dans l’action dérivée :kD

dv(t)dt = αkDω0 cosωOt

Effet d’autant plus important queω0 grandeFiltrage du terme dérivé

Dbf (p) = kp +ki

p+

kDppTf + 1

Valeur de bonne pratique:Tf = kDkPN avecN entre 8 et 20

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Récapitulation


Autre paramétrisation courante

Dbf (p) = kP

(

1 +1

pTI+

pTD

1 + pTD/N

)

Equivalence:Constante de temps de l’action par intégrationTI = kP/kI

Constante de temps de l’action dérivéeTD = kD/kP

N entre 8 et 20

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Récapitulation


Illustration des effets P, I et D; régulation de vitesse d’unmoteur àcourant continu [Franklin et al., 2010](a) Réponse à un échelon de perturbation(b) Réponse à un échelon de consigne

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Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle(1)

Représentation de la réponse indicielle sous la forme d’un système intégrateuravec temps mortY(p)

U(p) = Ae−pL

Lp

Ajustement des paramètres du régulateur pour obtenir une réponse avec unfacteur de décroissanced égal à 0.25

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Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle(2)

Règles d’ajustement des paramètresPour un régulateur proportionnel

kP = 1/A

Pour un régulateur PI{

kP = 0.9/ATI = 3L

Pour un régulateur PID

kP = 1.2/ATI = 2LTD = L/2

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Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle (3)

Exemple d’application au système décrit parG(p) = 1(p+1)3

A = 0.218, L = 0.806→ kP = 5.50,Ti = 1.61, Td = 0.403[Aström et Hagglund, 1995]

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Récapitulation

Méthode basée sur la réponse indicielle (4)

Faible amortissement card = 0.25 équivaut àζ ≃ 0.21

Dépassement indiciel important

Meilleure réponse vis-à-vis d’une perturbation abrupte (enéchelon) que vis-à-vis d’un échelon de consigne

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Récapitulation

Méthode de la sensibilité ultime (1)

Boucle fermée à rétroaction unitaire; régulateur proportionnelAugmenter le gain du régulateur jusqu’à l’apparition d’uneoscillationentretenue (une paire de pôles sur l’axe imaginaire pour la boucle fermée)→ Gain ultimekP = Ku; Période ultimeTu

Figure:Expérience pour la détermination deTu et Ku [Franklin et al., 2010]

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Récapitulation


Règles d’ajustement des paramètresPour un régulateur proportionnel

kP = 0.5Tu

Pour un régulateur PI{

kP = 0.4Ku

TI = 0.8Tu

Pour un régulateur PID

kP = 0.6Ku

TI = 0.5Tu

TD = 0.125Tu

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Récapitulation


Exemple d’application au système décrit parG(p) = 1(p+1)3

Ku = 8, Tu = 3.63→ kp = 4.8, TI = 1.81, TD = 0.45 [Aström etHagglund, 1995]

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Récapitulation


kP généralement plus faible par la méthode de la sensibilitéultime que par l’approche basée sur la réponse indicielle→

dépassement indiciel plus faible mais encore fort important

kP important→ faibles marges de stabilité

Requiert mise en oscillation de la boucle fermée

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Récapitulation

Quand utiliser un régulateur PI

Action dérivée peu fréquemment utilisée pour la régulationdesprocédés industriels

Approprié pour les systèmes réglés dont le comportementtransitoire est proche de celui d’un système du premier ordre

Approprié pour les systèmes d’ordre supérieur s’il n’est pasnécessaire d’atteindre des performances élevées

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Récapitulation

Quand utiliser un régulateur PID

Approprié pour les systèmes réglés dont le comportementtransitoire est proche de celui d’un système du deuxième ordre

Intérêt de l’action dérivée apparaît en particulier quand lesconstantes de temps sont significativement différentes (ex:régulation de température)

Pour les systèmes d’ordre supérieur à 2, l’action dérivée permetd’améliorer la rapidité de la réponse par rapport à la réponseobtenue avec un PI. L’amélioration du facteur d’amortissementpermet d’augmenter le gain proportionnel

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Récapitulation

Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (1)

Sytème d’ordre élevé et performances exigentesExemple :G(p) = 1

(p+1)3

Comparaison des résultats obtenus par un régulateur PID et un régulateur detype RST (régulateur à deux degrés de liberté) [Aström et Hagglund, 1995]

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Récapitulation


Sytème avec un temps mort important par rapport à sa constante de tempsdominanteExemple : dy(t)

dt = −0.5y(t) + 0.5u(t − 4)Comparaison des résultats obtenus par un régulateur PI et unprédicteur deSmith [Astrom et Hagglund, 1995]

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Récapitulation


Systèmes avec modes oscillants peu amortis

Régulateur PID peut suffire si il y a une seule paire de pôlescomplexes conjugués peu amortis dans la bande passantesouhaitée pour la boucle fermée

Besoin d’un ajustement deTI et deTD spécifique (voirultérieurement utilisation d’un correcteur ”notch”)

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Récapitulation

Récapitulation

Augmenter le gain proportionnel réduit l’erreur staitique, maisun grand gain déstabilise presque toujours la boucle ferméeetsollicite fortement les actionnneurs (cf bruit de mesure)L’action par intégration annule l’erreur statique vis-à-vis d’uneperturbation constante et/ou d’une référence constante mais a uneffet déstabilisantL’action dérivée augmente l’amortissement et a un effetstabilisantLoi de réglage PID

U(p) =

(

kP +kI

p+ kDp

)

E(p)

ou

U(p) = kP

(

1 +1

TIp+ TDp

)

E(p)

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Récapitulation

Récapitulation

Méthode de Ziegler Nichols permet un premier ajustementrapide sur la base du relevé de la réponse indicielle du systèmeréglé ou d’une expérience en boucle fermée

Méthode de Ziegler Nichols résulte en une boucle fermée avecun amortissement faible et de faibles marges de stabilité

Méthode heuristique plus performante : méthodeκ-τ [Aström etHagglund, 1995]

Meilleures performances que la régulation PID possibles pour unsystème réglé d’ordre élevé, un système avec temps mortimportant ou un système avec modes oscillants peu amortis

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