ASSERVISSEMENTS SECOND ORDRE Réponse à l'échelon unitaire en fonction du coefficient...

ASSERVISSEMENTSASSERVISSEMENTSSECOND ORDRESECOND ORDRE

Réponse à Réponse à l'échelon unitairel'échelon unitaire

en fonction du en fonction du

coefficient d'amortissement zcoefficient d'amortissement z

Exprimer H(p)Exprimer H(p) pour un gain statique unitairepour un gain statique unitaire

et une pulsation propre et une pulsation propre 0 0 = 1rad.s= 1rad.s-1-1

en fonction de la variable zen fonction de la variable z

H(p) = 1

1+ 2zp+ p2

Réseau de courbes réponses Réseau de courbes réponses en fonction de zen fonction de z

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

1.5

2.0

t(s)

e(t)=1

s(t)

Réponse à l'échelon pour z=0Réponse à l'échelon pour z=0

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

1.5

2.0

t(s)

e(t)=1

s(t)

Et la sortie:Et la sortie:

H(p) = 1

p2+1

S(p) = 1p

1p2+1

.

Si z=0Si z=0

S(p) =

Mise sous forme d’éléments simplesMise sous forme d’éléments simples

Et la sortie:Et la sortie:

H(p) = 1

p2+1

S(p) = 1p

1p2+1

.

Si z=0Si z=0

S(p) = 1p

pp2+1

1- cos(t)

Expression en temporel :Expression en temporel :

s(t) =


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

1.5

2.0

t(s)

e(t)=1

s(t) Période des oscillations ?

T0 = 2 s

Réponse à l'échelon pour z=0.25Réponse à l'échelon pour z=0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.5

1.0

1.5

2.0

0t(s)

e(t)=1

s(t)

S(t) = 1e1-0.252

sin(

(-0.25t)

H(p) = 1

p2+0.5p+1

Si z=0.25 la fonctionSi z=0.25 la fonctionde transfert devient:de transfert devient:

Et laEt la sortie: sortie: (voir la formule donnée dans le cours)(voir la formule donnée dans le cours)

1-z20a=

1- 0.252 t +

(en rad) tel que cos = z

1.32)

-z0


0 2 14 16

0.5

1.0

1.5

2.0

0t(s)

e(t)=1

s(t)

Premier dépassement D1% ?

- 0.25 1- 0.252e D1 = 0,44 = D1%=

4 6 8 1012

e(t)=1

- z 1- z2eD1%=


0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.5

1.0

1.5

2.0

0t(s)

e(t)=1

s(t)

Deuxième dépassement D2% ?

D2 = 0.442= 0.20


0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.5

1.0

1.5

2.0

0t(s)

e(t)=1

s(t)

Troisième dépassement D3% ?

0.085 D3 = 0.443=


0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.5

1.0

1.5

2.0

0t(s)

e(t)=1

s(t)

Période des oscillations ?

Ta = 6.48 s = 1-0.252

2Ta


0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.5

1.0

1.5

2.0

0t(s)

e(t)=1

s(t)Temps de réponse à 5%

Tr.0

z 3

Tr 12 s

Trexact = 10.8s

10.8s

1.05


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

1.5

t(s)

e(t)=1

s(t)

1.05

Si z=0.707 la fonctionSi z=0.707 la fonctionde transfert devient:de transfert devient:

H(p) = 1

p2+1.414p+1

S(t) = 1 e0.707

sin(0.707 t + 0.786) -0.707t

Et laEt la sortie: sortie: (voir la formule donnée dans le cours)(voir la formule donnée dans le cours)


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

1.5

t(s)

s(t)

Premier dépassement D1% ?

- 0.707

1- 0.7072 D1 % =

D1%= 0.043 =

0.043

D1


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

1.5

t(s)

s(t)

Tr5%=3s

Temps de réponse à 5%

Tr.0 = 3

0.95Tr = 3s


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

t(s)

e(t)=1

s(t)

5

Si z=1 la fonctionSi z=1 la fonctionde transfert devient:de transfert devient:

Et la sortie:Et la sortie: H(p) = 1

(p+1)2

S(p) = 1p

1p+1 s(t) =1

(p+1)21-(1+ t)e-t


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

t(s)

e(t)=1

s(t)

Tr5%=5s


Tr.0 = 50.95

Tr = 5s


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

t(s)

e(t)=1

s(t)

Si z=1.25 la fonction Si z=1.25 la fonction de transfert devient:de transfert devient:

Et la sortie:Et la sortie:H(p) =

1(p+2)(p+ )1

2

S(p) = s(t) =3(p+ )1p + 1

3(p+2)-4

12

e-2t

3- 4e-

3t21+


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1.0

t(s)

e(t)=1

s(t)

Tr5%=6.3s

0.95

Tr = 6.3s


Z=1.25

Tr.0 = 6.3

Tr = 6.3s

Les racines du dénominateurLes racines du dénominateur

z = 0 z = 0

ri = -z0 j0 1-z2

p = + j et p = - jp = + j et p = - j

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

Le lieu des pôlesLe lieu des pôles

p = + jp = + j

p = - jp = - j

z = 0z = 0


z = 0 z = 0 p = + j et p = - j p = + j et p = - j

z = 0.25z = 0.25 p = -0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 j 1- 0.2522

ri = -z0 j0 1-z2

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

z = 0.25z = 0.25 j 1- 0.25j 1- 0.2522

- j 1- 0.25- j 1- 0.2522

-0.25-0.25


z = 0 z = 0 p = + j et p = - j p = + j et p = - j

z = 0.25z = 0.25 p = -0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 j 1- 0.2522

z = 0.707z = 0.707


p = -0.707 (1 p = -0.707 (1 j) j)

ri = -z0 j0 1-z2

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

0.25

0.7

z = 0.707z = 0.707

0.707 j0.707 j

-0.707j-0.707j

-0.707-0.707



z = 0 z = 0 p = + j et p = - j p = + j et p = - j

z = 0.25z = 0.25 p = -0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 j 1- 0.2522

z = 0.707z = 0.707 p = -0.707 (1 p = -0.707 (1 j) j)

z = 1 z = 1 racine double p = - 1racine double p = - 1

ri = -z0 j0 1-z2

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

0.7 0.25

-10.7 0.25

z = 1z = 1



z = 0 z = 0 p = + j et p = - j p = + j et p = - j

z = 0.25z = 0.25 p = -0.25 p = -0.25 j 1- 0.25 j 1- 0.2522

z = 0.707z = 0.707 p = -0.707 (1 p = -0.707 (1 j) j)

z = 1 z = 1 racine double p = - 1 racine double p = - 1

z = 1.25z = 1.25 p = - 2 et p = - 0.5 p = - 2 et p = - 0.5

ri = -z0 0 z2-1

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

0.7 0.25

0.7 0.25-0,5-2

z = 1.25z = 1.25


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

0.8 0.7 0.6 0.25

Z=1

0.8 0.7 0.6 0.25

Z=1.25 Z=1.25


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)


z0

1-z20 ?

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)


z0

1-z20 0


cos = z

si z = cste = cste

Cette droite est

une « isoZ »

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles)

0.8 0.7 0.6 0.25

Z=1

0.8 0.7 0.6 0.25

1.25 1.25

On observe des droites « iso z » pour z<1


-2.0 0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.5

REEL(poles)

IMAG(poles) Dans un repère orthonormé, on observe des cercles « iso 0 »

cercle de rayon 0 =1

-1.0

1.0 pour z1


POUR TERMINERPOUR TERMINER( Et pour information )( Et pour information )

ANNEXE 1:ANNEXE 1: La réponse à La réponse à une rampe une rampe unitaireunitaire

La réponse à une La réponse à une rampe unitairerampe unitaire

POUR EN FINIR VRAIMENTPOUR EN FINIR VRAIMENT( En liaison avec ( En liaison avec

le cours de physique )le cours de physique )

ANNEXE 2 : ANNEXE 2 : La réponse La réponse harmoniqueharmonique

La réponse harmoniqueLa réponse harmonique

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